1. Chapitre :
Fonctions plusieurs variables - Caclul
différentiel et dérivées partielles.
Leçon 3
2.
Différentielle
Définition de la Différentiabilité.
Définition 6 ( Différentiabilité ).
On dit que
tq pour
est différentiable en un point
assez petit en une certaine norme
et
L’
lc
’l
on ait :
lc
l
quand
appelée la différentielle de
en a on la note
où
Remarques
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2. Exercice : Soit la fonction
Montrer que
est différentiable.
Lien entre différentielle et dérivées partielles.
On définit les projections :
Chacune de ces projections est linéaire , et est donc différentiable.
Notation
,
On a ainsi une base canonique pour les différentielles. Si
Théorème
Soit
et
.
1.
Si est différentiable an
et on a :
2.
Si
est
sur
alors
,
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alort
est définie en
alors :
admet des dérivées partielles du 1er ordre au point
est différentiable sur
et on a
alors
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3. Preuve du théorème.
Exemple
=
admet des dérivées partielles en
l
Alors
l
n’est pas différentiable.
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4. Généralisation :
Définition
Soit
un ouvert.
Et
On dit que
est différentielle au point a. s’il existe
Une application linéaire
Avec
On dit que
,
est
:
(une matrice
quand
sur
.
si chaque
est
L’application est la différentielle de
Jacobienne de en .
)
sur .
au point , on la note
= matrice associé à
= Matrice
Et
Exemples :
1.
..........
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5. 2.
..........
..........
3.
si est differentiable en un point a.
..........
..........
4.
;
..........
5.
..........
42
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..........
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6. Théorème
.
1.
Si
est différentiable en un point
2.
Si f est
alors
alors
admet des dérivées partielles. Et on a
est différentiable et on a (*)
Fonctions composées
Soit
et
,
;
;
;
.
Théorème
Si est différentiable en un point
différentiable en et
;
différentiable en
alors
est
Lemme
Si
est linéaire de
Soit
sa matrice canonique (qui lui est associée dans la base canonique). Soit :
Alors
Preuve
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7. ..........
Preuve du Théorème
..........
..........
..........
Corollaire
Sous les mêmes hypothèses que le théorème que le théorème.
;
.
alors
Exemple
1.
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et
.
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8. 2.
Cordonnées polaires dans
..........
..........
..........
3.
Coordonnées cylindriques
4.
Coordonnées sphériques
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9. Formules de Taylor à l’ordre
On ne considère que les fonctions numériques :
.
Généralisation du TAF
Soit
Soit
Théorème des Accroissements Finis
est
,
Il existe
tels que
,
telle que
Preuve :
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