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Automatique Linéaire 1 – Travaux Dirigés
1A ISMIN
Travaux dirigés, Automatique linéaire 1 – J.M. Dutertre – 2011
Travaux Dirigés, Automatique Linéaire 1 1A ISMIN
www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2011 2
TD 1 – Introduction, modélisation, outils.
Exercice 1.1 : Calcul de la réponse d’un 2nd
ordre à une rampe
On considère un système régi par l’équation différentielle :
)(.2)(.3.3 2
2
3
3
te
dt
de
ts
dt
ds
dt
sd
dt
sd
+=+++
Calculer la réponse de ce système à une rampe d’entrée e(t) = t.
Exercice 1.2 : Asservissement de température d’un four (1er
ordre) de
type proportionnelle dérivée.
On considère l’asservissement de température du système constitué d’un four et d’un capteur
de température associé, représenté figure suivante :
système
θθθθ(t)p(t)
+_
θθθθc(t) εεεε(t) Loi de
commande
four +
capteur
Avec :
θc(t) tension de consigne [V]
Elle représente la température de consigne désirée pour le four (par
rapport à la température ambiante).
θ(t) tension de mesure [V]
C’est la tension image de la température intérieure du four délivrée par
le capteur (exprimée par rapport à la température ambiante).
p(t) puissance électrique délivrée au four [W].
ε(t) erreur entre la consigne et la mesure [V].
La loi de commande est telle que :




+=
dt
td
tKtp dc
)(
.)(.)(
ε
τε Eq. 1
Avec Kc gain statique
τd constante de dérivation
Et les équations de fonctionnement du système conduisent à :
Travaux Dirigés, Automatique Linéaire 1 1A ISMIN
www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2011 3
)(.
)(
.)( tpK
dt
td
t =+
θ
τθ Eq. 2
Avec τ constante de temps du système
K gain statique du système
1. Exprimer l’équation différentielle liant θc(t) et θ (t).
2. Donner la transformée de Laplace de l’équation différentielle trouvée au 1.
(à t = 0 on a θ (0) = 0)
La mettre sous la forme Θ(p) = G(p). Θc(p)
3. On considère une consigne de la forme : θc(t) = A0.Γ(t) A0 constante réelle.
Quelles sont alors les valeurs initiales θ(0+
) et finale θ(+∞) de θ(t) ? Conclusions ?
4. Exprimer P(p) en fonction de Θc(p).
En déduire les valeurs initiale et finale de la commande p(t) pour θc(t) = A0.Γ(t).
Conclusion ?
5. On considère τd = τ = 60 s, K = 0,01 V/W, et A0 = 7.
Tracer sur un même graphe : θc(t), θ (t), et p(t) pour Kc = 100. Commentaire ?
Exercice 1.3 : Asservissement du 2nd
ordre.
Un processus physique est modélisé par une fonction de transfert du 2nd
ordre :
ssG
pp
G
pG 2,10,1,
)1).(1(
)( 210
21
0
===
++
= ττ
ττ
Ce processus est inséré dans une boucle d’asservissement contenant un régulateur
proportionnel : C(p) = K.
processus
S(p)U(p)
+_
E(p) εεεε(p)
correcteur
G(p)C(p)
1. a. Déterminer l’expression de la fonction de transfert en boucle fermée :
H(p) = S(p)/E(p) et la mettre sous la forme canonique :
2
00
0
21
)(






++
=
ωω
pp
m
H
pH
En déduire les expressions des paramètres de H(p) :
H0 gain statique
m coefficient d’amortissement
ω0 pulsation propre non amortie
En fonction de τ1, τ2, G0, et K.
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b. Calculer la valeur de K pour obtenir m = 0,7.
2. Dans la suite de l’exercice, la consigne est un échelon unitaire et K est réglé tel que
m = 0,7.
a. On se place en régime permanent, déterminer l’expression de s(+∞) et calculer sa
valeur.
b. Exprimer ε0(+∞) = e(+∞) - s(+∞), la calculer.
c. Calculer la valeur du tr5% .
d. Représenter l’allure de s(t).
3. Pour diminuer l’erreur de position, on augmente la valeur de K.
a. Calculer la valeur de K permettant d’obtenir ε0(+∞) = 0,05 V.
b. En déduire la nouvelle valeur du coefficient d’amortissement m.
c. Calculer l’amplitude relative (en %) du premier dépassement D1.
d. Calculer la nouvelle valeur du tr5% .
e. Représenter l’allure de s(t).
f. Calculer u(0+
). Sachant que cette grandeur de commande est maximale à l’instant t = 0+
, en déduire la dynamique nécessaire à la sortie du correcteur pour que l’asservissement
fonctionne toujours en régime linéaire.
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TD 2 – Stabilité des systèmes asservis.
Exercice 2.1 : Stabilité d’un système du 3ème
ordre (Routh)
On considère un système de F.T.B.O. :
0
)2).(1.(
)( >
++
= K
ppp
K
pT
Déterminer à l’aide du critère de Routh les conditions de stabilité de ce système en boucle
fermée lorsqu’il est placé dans une boucle d’asservissement à retour unitaire.
Exercice 2.2 : Réglage d’un système avec deux conditions de stabilité
On considère un système de fonction de transfert en boucle ouverte :
0
)100(
)( 2
>
+
= K
pp
K
pT
Déterminer les conditions sur K de manière à ce que le système soit caractérisé, en boucle
fermée à retour unitaire, par une marge de phase supérieure à 45° et par une marge de gain
supérieure à 6 dB.
Exercice 2.3 : Mise en évidence des marges sur les diagrammes de Bode
On considère un système de fonction de transfert en boucle ouverte :
0
)10(
)( 3
>
+
= K
p
K
pT
Déterminer la valeur de K qui assure au système une marge de gain égale à 6 dB. Calculer la
marge de phase pour cette valeur de K.
Tracer les diagrammes de Bode du système en boucle ouverte en y faisant apparaître ces
marges.
Exercice 2.4 : Nyquist
On considère un système de fonction de transfert en boucle ouverte :
0
)2)(1(
)( >
++
= K
ppp
K
pT
1. Tracer son diagramme de Nyquist.
2. Etudier sa stabilité.
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Exercice 2.5 : Nyquist
On considère un système de F.T.B.O. :
0
)1).(1.(
)1.(
)( 321
32
2
1
>>>
++
+
= τττ
ττ
τ
ppp
pK
pT
K gain positif réglable
1. Tracer le diagramme de Bode asymptotique de la B.O. pour le cas particulier τ1 = 1 s,
τ2 = 0,1 s, τ3 =0,01 s, et K = 1.
2. Chercher la pulsation ωπ non nulle pour laquelle ΦBO(ωπ) = -180°. A quelle condition
sur τ1, τ2, et τ3 existe-t-elle ?
3. Tracer l’allure du lieu de Nyquist de la boucle ouverte selon que cette condition est
réalisée ou non.
4. En déduire les conditions de stabilité en boucle fermée pour les valeurs particulières
des constantes de temps données au 1. Retrouver ces conditions à l’aide du critère du
revers.
5. Etablir les conditions de stabilité à l’aide du critère de Routh (sur les constantes de
temps et sur K).
Exercice 2.6 : Nyquist
On considère un système de F.T.B.O. :
0
)1).(1).(1(
)( 321
321
>>>
−++
= τττ
τττ ppp
K
pT
K gain positif réglable
1. Tracer le diagramme de Bode asymptotique de la boucle ouverte.
2. Tracer l’allure du lieu de Nyquist de la boucle ouverte.
3. En déduire les conditions de stabilité en boucle fermée. Quel serait le résultat par
application du critère du revers ? Conclusion ?
Exercice 2.7 : Nyquist
On considère un système de fonction de transfert en boucle ouverte :
)100)(10(
10
)(
4
++
=
ppp
pT
1. Tracer son diagramme de Bode asymptotique (module et phase).
2. En déduire son diagramme de Nyquist. Vous démontrerez l’existence d’une asymptote
à la courbe de Nyquist lorsque ω → 0.
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TD 3 – Correction des systèmes asservis.
Exercice 3.1 : Correction à avance de phase.
La fonction de transfert en boucle ouverte d’un système asservi s’écrit :
ss
ppp
C
pT 02,016,0
)1).(1(
)( 21
21
==
++
= ττ
ττ
C réel et positif
1. Tracer le diagramme de Bode asymptotique de T(p) (gain et phase) pour C = 1, et
préciser les points remarquables.
2. Le système est à retour unitaire. Calculer C = Cmax qui rend le système instable en
boucle fermée.
3. Retrouver Cmax en appliquant le critère de Routh.
4. Calculer C = C0 qui assure une marge de phase de 45°.
5. Pour une entrée indicielle d’amplitude Xc, expliciter la transformée de Laplace de la
sortie Y(p) du système bouclé. En déduire la valeur de y(+∞).
6. Calculer l’erreur de traînage du système bouclé pour une entrée en rampe :
xc(t) = Xc.t (∀t>0).
7. On désire améliorer le comportement du système à l’aide d’un correcteur qui présente
la fonction de transfert suivante :
positifsetréels
p
p
pC βα
β
α
,
).1(
).1(
)(
+
+
=
Tracer le diagramme de Bode de C(p) pour un comportement dit à avance de phase.
On posera : k = α/β.
8. Donner la valeur de α permettant de corriger intégralement le pôle dominant. On
impose le déphasage maximal apporté par le correcteur : ϕmax = 45°. Et, on veut
obtenir au final après correction une marge de phase de 45°. Calculer les valeurs
de α, β, et C = C0c permettant de remplir ces conditions.
9. Tracer dans le plan de Black les fonctions de transfert en boucle ouverte du système
corrigé et non corrigé à partir des valeurs données dans le tableau suivant (elles
correspondent au cas C = C0) :
ω (rad/s) 1 2 5 10 17,5 30 50
T(jω)dB 16,3 9,9 0,22 -9,3 -18,4 -28,3 -38
Arg(T(jω)) -100 -110 -134 -160 -180 -199 -218
C(jω).T(jω)dB 16,4 10,3 2,3 -4 -9,8 -16,7 -25
Arg(C(jω).T(jω)) -93 -95,4 -103,4 -116 -134 -160 -189
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Retrouver la valeur de C0c à l’aide du diagramme.
10. Quelle est la fréquence de résonance du système corrigé (pour C = C0c) en boucle
fermée? Dessiner l’allure approchée du module de la F.T.B.F. en dB (1er
diagramme
de Bode). Quel sont sa bande passante à -3 dB, et son temps de réponse à 5% ?
Comparer ces valeurs à celles obtenues sans correction (C = C0).
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Exercice 3.2 : Asservissement de fréquence d’un laser Hélium-Néon.
La mesure de la fréquence f d’émission d’un laser hélium-néon est réalisée à l’aide d’un filtre
optique sélectif dont le coefficient de transmission varie rapidement en fonction de la
différence f – f0, f0 étant la fréquence à laquelle le laser est susceptible d’émettre.
Après conditionnement électronique du signal issu de ce filtre, on dispose d’un signal
électrique xr(t) = K.[f(t) – f0] avec K une constante. Ce signal de mesure est utilisé au sein
d’un asservissement dont le schéma est donné figure suivante :
ε(t)
+
xc(t)
C(p)
y(t)=f(t) – f0
_ +
+
p
A
τ+1
0
)(~ ty
K
xr(t)
On a : K = 5.10-8
V/Hz A0 = 90 MHz/V τ = 0,1 ms
)(~ ty est un signal perturbateur.
I. Correction proportionnelle.
C(p) est un correcteur proportionnel : C(p) = C0.
a. Tracer le diagramme de Bode de la fonction de transfert en boucle ouverte TBO(p)
pour C0 = 1 et 0)(~ =ty .
b. Calculer C0 afin d’obtenir une pulsation de transition de 105
rad/s.
c. Calculer alors la réponse en boucle fermée à un échelon de tension à l’entrée.
d. )(~ ty est maintenant un signal perturbateur contenant une composante continue ainsi
qu’une composante sinusoïdale de pulsation 500 rad/s : )500cos(.1010.5)(~ 78
tty +=
Quel est l’effet sur la sortie d’un tel signal perturbateur ?
II. Correction intégrale.
C(p) est un correcteur intégral : C(p) = C0 / p.
a. Tracer le diagramme de Bode de la fonction de transfert en boucle ouverte TBO(p)
pour C0 = 1 et 0)(~ =ty .
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b. Calculer C0 afin d’obtenir une marge de phase de 45°.
c. Donner l’expression de la fonction de transfert en boucle fermée et déterminer la
valeur du temps de réponse à 5% à partir des abaques (pour un 2nd
ordre).
d. )(~ ty prend la même valeur qu’au I.d. Quel est l’effet sur la sortie d’un tel signal
perturbateur ?
III. Correction proportionnelle et intégrale.
C(p) est un correcteur proportionnel et intégral : C(p) = C0 (1+τp)/ p.
a. Tracer le diagramme de Bode de la fonction de transfert en boucle ouverte TBO(p)
pour C0 = 1 et 0)(~ =ty .
b. Calculer C0 afin d’obtenir une pulsation de transition de 105
rad/s.
c. Déterminer la valeur du temps de réponse à 5% lorsque l’entrée est un échelon de
tension.
d. )(~ ty prend la même valeur qu’au I.d. Quel est l’effet sur la sortie d’un tel signal
perturbateur ?
IV. Bilan.
Discuter et comparer les performances des trois correcteurs envisagés précédemment.
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Exercice 3.3 : Correcteur P.I.D.
On considère le système (non corrigé) de fonction de transfert en boucle ouverte :
)2).(1.(
4
)(
++
=
ppp
pTBO
Il est inséré dans une boucle d’asservissement à retour unitaire, comprenant un correcteur,
C(p), de type P.I.D. tel que :
4
.
.
1
1.)( i
dd
i
avecp
p
KpC
τ
ττ
τ
=





++=
4. Représenter TBO(jω) dans le plan de Black.
On donne :
ω (rad/s) 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,6 2 2,5
|TBO| dB 20 13 8,7 5,2 2 -1 -5,4 -10,5 -15
Arg(TBO) (degrés) -107 -123 -138 -150 -162 -172 -186 -200 -210
On pourra également utiliser l’abaque A5.1 donnée ci-après pour tracer le lieu de Black de
la FTBO.
5. Le correcteur P.I.D. est tel que K = 1 et on pose u = τi.ω.
Calculer |C(jω)|dB et Arg(C(jω)) pour u = 1 2 4 6 8 10 12 16 20 25.
6. Le P.I.D. est calculé par la méthode du pivot.
On choisi comme pivot le point ω = 0,2 rad/s, en déduire τi.
Dessiner la FTBO corrigée pour K = 1 :
)().()( pTpCpT BOBOC =
Déterminer la valeur de K permettant d’obtenir un coefficient d’amortissement m = 0,7
pour le second ordre dominant équivalent.
7. Quelles sont les erreurs à l’échelon, à la rampe, et à la parabole unitaire ?
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Bibliographie.
"Cours d’automatique, tome 2 – Asservissement, régulation, commande analogique", Maurice
Rivoire, Jean-Louis Ferrier, Ed. Eyrolles.
"Electronique Tome 2 : Systèmes bouclés linéaires, de communication et de filtrage : Cours et
exercices", François Manneville, Jacques Esquieu, Ed. Dunod.
"Automatique: Commande des systèmes linéaires" , Philippe de Larminat, Ed. Hermes.
"Feedback Control of Dynamic Systems", Franklin G.F., Powell J.D., Naemi-Emani A.,
Addison-Wesley.
Beaucoup de liens de bonne qualité (dans tous les domaines) sur :
http://pagesperso-orange.fr/xcotton/electron/coursetdocs.htm
"Cours d’automatique 1ère
année", Jean-Paul Bourguet, cours cycle ISMIN.
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Annexe 1 – Transformée de Laplace.
Transformée de Laplace monolatérale.
[ ] ∫
+∞
−
==
0
).()()( dtetfpFtfTL pt
ωσ jp +=
Linéarité. Convolution.
)(.)(.)(.)(. pGbpFatgbtfa TL
+→+ )().())(( pGpFtgf TL
→∗
Fonction de transfert – H(p).
)(
)(
)()().()())(()(
pU
pY
pHpHpUpYthuty TL
==→∗=
Dérivation en temps. Intégration.
[ ] )0()(.)( −
−=′ fpFptfTL )(.
1
)(
0
pF
p
dfTL
t
=




∫ θθ
Dérivation en p. Translation en p.
[ ])(.
)(
tftTL
dp
pdF
−= [ ] )()(. αα
−= pFtfeTL t
Théorème du retard temporel.
[ ] )(.)()()( pFetgTLtftg pτ
τ −
=→−=
Théorème de la valeur initiale. Théorème de la valeur finale.
[ ] )0()(. +
+∞→ = ftfTLplimp [ ] )()()(.0 +∞== +∞→→ ftflimtfTLplim tp
Transformées de Laplace usuelles.
Dirac : 1)( →TL
tδ 22
)(
ω
ω
ω
+
→
p
tsin TL
Échelon :
p
t TL 1
)( →Γ 22
)cos(
ω
ω
+
→
p
p
t TL
Rampe : 2
1
p
t TL
→
( ) 22
.
)(.
ω
ω
++
+
→−
ap
ap
tcose TLta
ap
e TLta
+
→− 1.
( )2
. 1
.
ap
et TLta
+
→−
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Transformées de Laplace inverses usuelles (f(t) causale) :
( )
1
!1
1 1
1
≥
−
→
−
−
n
n
t
p
n
TL
n
τ
ττ
t
TL
e
p
−
→
+
−
.
1
.1
1 1





 −
+→
+
+ −−
τ
τ
τ
δ
ττ
t
TL
e
a
a
t
a
p
pa
.)(.
.1
.1 1
( )
τ
τ
t
TL
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pp
−
−→
+
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1
.1.
1 1
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τ
τ
τ
τ
t
TL
e
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pa −−
+→
+
+ −
.1
.1.
.1 1
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ττ
τ
t
TL
et
pp
−
+−→
+
−
.
.1.
1 1
2
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( ) ( ) τ
ττ
τ
t
TL
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pp
pa −
−−−+→
+
+ −
.
.1.
.1 1
2
( )( ) 
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


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−
→
++
−−−
21
1
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1
.1..1
1
2121
ττ
ττττ
tt
TL
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pp
( )( ) 
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

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
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−
−→
++
−−−
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1
...
1
1
.1..1.
1
21
2121
ττ
ττ
ττττ
tt
TL
ee
ppp
( )( )
( ) 
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


−
−
−+−→
++
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12
1
...
1
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21
2
ττ
ττ
ττ
ττ
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


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−
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++
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21
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.....
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212121
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ττττ
ττττττ
tt
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( ) ( ) 
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ττ
ττ
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tt
TL
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ppp
pa
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..
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11
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21
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ττ
ττ
ττ
ττ
ττ
ττ
ττ
tt
TL
e
a
e
a
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pa −−
−
−
+
−
−
+−−+→
++
+ −
( )
τ
ττ
t
TL
e
t
p
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→
+
−
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1
22
1
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τ
ττ
τ
τ
t
TL
e
a
t
a
p
pa −






+
−
→
+
+ −
..
.1
.1
232
1
( )
τ
ττ
t
TL
e
t
pp
−






+−→
+
−
.11
.1.
1 1
2
( )
τ
τ
τ
τ
t
TL
et
a
pp
pa −






−
−
+→
+
+ −
.1.1
.1.
.1
22
1
( )
( ) τ
ττ
τ
t
TL
ett
pp
−
++−→
+
−
..2.2
.1.
1 1
22
( )
τ
τ
τ
τ
τ
t
TL
ea
a
tat
pp
pa −






−+





−+−+→
+
+ −
..21..2
.1.
.1 1
22
( ) ( )
τ
ττ
t
n
n
TL
n
e
n
t
p
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−
−
 →
+
−
.
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.
1
.1
1 1
1
( )
( ) τ
τ
ττ
t
TL
et
p
p −
−→
+
−
..
1
.1
32
1
Travaux Dirigés, Automatique Linéaire 1 1A ISMIN
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( )( )( )
( )( )( ) ( ) ( ) ( ) 



−+−+−−−−→
+++
−−−−
321
1
123312231133221
321
......
.1..1..1
1 τττ
τττττττττττττττ
τττ
ttt
TL
eee
ppp
( )( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) 



−−+−−+−−
−−−
→
+++
+ −−−−
321
1
123312231
133221321
....
..
1
.1..1..1
.1 τττ
τττττττττ
τττττττττ
ttt
TL
eaeaea
ppp
pa
( ) 10.1sin.
1.
2
1
1 2
0
2
0
2
0
2
0
0
1
<<−
−
→
++
−−
mtme
mp
p
m
tmTL
ω
ω
ωω
ω
( )mtme
mp
p
m
p tmTL
arccos.1sin.
1.
2
1
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0
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0
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−
→
++
−−
πω
ω
ωω
ω
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
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

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
−
−
+−+−
−
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++
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arctan.1sin..21.
1.
2
1
.1 0
1
ω
ω
ωωω
ω
ωω
ω
am
ma
tmeaam
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p
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( )mtme
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−
−→
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


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
++
−−
ω
ωω
ω
( )mtme
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m
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p
p
m
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.
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−
−−→
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

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++
−−
ω
ωω
ωω
ω
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Annexe 2 – Systèmes linéaires du second ordre.
Pulsation de résonance 2
0 .21 mr −= ωω
Pulsation de coupure ( )222
0 .211.21 mmc −++−= ωω
Facteur de résonance
2
12
1
mm
M
−
=
Facteur de qualité
m
Q
2
1
=
Temps de montée ( )m
m
tm arccos.
1
1
2
0
−
−
= π
ω
Temps de réponse à n% (m<0,7) 
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



≅
nm
tr
100
ln.
.
1
0ω
Temps de pic
2
0 1 m
tpic
−
=
ω
π
Pseudo-période
2
0 1
2
m
Tp
−
=
ω
π
Dépassement
2
1
.
.100% m
m
eD −
−
=
π
Nombre d’oscillations complètes
m
Qn
2
1
=≅
2
0
2
0
2
1
)(
ωω
p
p
m
K
pH
++
=
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m 0ωmt 0%5 ωrt 0ωpict 0ωpT D %
0ω
ωr
0ω
ωc
r
c
ω
ω
MdB m
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
0,55
0,6
0,65
1,68
1,74
1,81
1,88
1,97
2,06
2,16
2,28
2,42
2,58
2,77
3
30
20
14
11
10,1
7,9
7,7
5,4
5,3
5,3
5,2
5
3,16
3,18
3,21
3,24
3,29
3,35
3,43
3,52
3,63
3,76
3,93
4,13
6,31
6,36
6,41
6,49
6,59
6,71
6,86
7,04
7,26
7,52
7,85
8,27
73
62
53
44
37
31
25
21
16
12,6
9,5
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0,99
0,98
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0,91
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0,77
0,71
0,63
0,53
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1,54
1,53
1,51
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1,56
1,57
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1,63
1,67
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  • 1. Automatique Linéaire 1 – Travaux Dirigés 1A ISMIN Travaux dirigés, Automatique linéaire 1 – J.M. Dutertre – 2011
  • 2. Travaux Dirigés, Automatique Linéaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2011 2 TD 1 – Introduction, modélisation, outils. Exercice 1.1 : Calcul de la réponse d’un 2nd ordre à une rampe On considère un système régi par l’équation différentielle : )(.2)(.3.3 2 2 3 3 te dt de ts dt ds dt sd dt sd +=+++ Calculer la réponse de ce système à une rampe d’entrée e(t) = t. Exercice 1.2 : Asservissement de température d’un four (1er ordre) de type proportionnelle dérivée. On considère l’asservissement de température du système constitué d’un four et d’un capteur de température associé, représenté figure suivante : système θθθθ(t)p(t) +_ θθθθc(t) εεεε(t) Loi de commande four + capteur Avec : θc(t) tension de consigne [V] Elle représente la température de consigne désirée pour le four (par rapport à la température ambiante). θ(t) tension de mesure [V] C’est la tension image de la température intérieure du four délivrée par le capteur (exprimée par rapport à la température ambiante). p(t) puissance électrique délivrée au four [W]. ε(t) erreur entre la consigne et la mesure [V]. La loi de commande est telle que :     += dt td tKtp dc )( .)(.)( ε τε Eq. 1 Avec Kc gain statique τd constante de dérivation Et les équations de fonctionnement du système conduisent à :
  • 3. Travaux Dirigés, Automatique Linéaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2011 3 )(. )( .)( tpK dt td t =+ θ τθ Eq. 2 Avec τ constante de temps du système K gain statique du système 1. Exprimer l’équation différentielle liant θc(t) et θ (t). 2. Donner la transformée de Laplace de l’équation différentielle trouvée au 1. (à t = 0 on a θ (0) = 0) La mettre sous la forme Θ(p) = G(p). Θc(p) 3. On considère une consigne de la forme : θc(t) = A0.Γ(t) A0 constante réelle. Quelles sont alors les valeurs initiales θ(0+ ) et finale θ(+∞) de θ(t) ? Conclusions ? 4. Exprimer P(p) en fonction de Θc(p). En déduire les valeurs initiale et finale de la commande p(t) pour θc(t) = A0.Γ(t). Conclusion ? 5. On considère τd = τ = 60 s, K = 0,01 V/W, et A0 = 7. Tracer sur un même graphe : θc(t), θ (t), et p(t) pour Kc = 100. Commentaire ? Exercice 1.3 : Asservissement du 2nd ordre. Un processus physique est modélisé par une fonction de transfert du 2nd ordre : ssG pp G pG 2,10,1, )1).(1( )( 210 21 0 === ++ = ττ ττ Ce processus est inséré dans une boucle d’asservissement contenant un régulateur proportionnel : C(p) = K. processus S(p)U(p) +_ E(p) εεεε(p) correcteur G(p)C(p) 1. a. Déterminer l’expression de la fonction de transfert en boucle fermée : H(p) = S(p)/E(p) et la mettre sous la forme canonique : 2 00 0 21 )(       ++ = ωω pp m H pH En déduire les expressions des paramètres de H(p) : H0 gain statique m coefficient d’amortissement ω0 pulsation propre non amortie En fonction de τ1, τ2, G0, et K.
  • 4. Travaux Dirigés, Automatique Linéaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2011 4 b. Calculer la valeur de K pour obtenir m = 0,7. 2. Dans la suite de l’exercice, la consigne est un échelon unitaire et K est réglé tel que m = 0,7. a. On se place en régime permanent, déterminer l’expression de s(+∞) et calculer sa valeur. b. Exprimer ε0(+∞) = e(+∞) - s(+∞), la calculer. c. Calculer la valeur du tr5% . d. Représenter l’allure de s(t). 3. Pour diminuer l’erreur de position, on augmente la valeur de K. a. Calculer la valeur de K permettant d’obtenir ε0(+∞) = 0,05 V. b. En déduire la nouvelle valeur du coefficient d’amortissement m. c. Calculer l’amplitude relative (en %) du premier dépassement D1. d. Calculer la nouvelle valeur du tr5% . e. Représenter l’allure de s(t). f. Calculer u(0+ ). Sachant que cette grandeur de commande est maximale à l’instant t = 0+ , en déduire la dynamique nécessaire à la sortie du correcteur pour que l’asservissement fonctionne toujours en régime linéaire.
  • 5. Travaux Dirigés, Automatique Linéaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2011 5 TD 2 – Stabilité des systèmes asservis. Exercice 2.1 : Stabilité d’un système du 3ème ordre (Routh) On considère un système de F.T.B.O. : 0 )2).(1.( )( > ++ = K ppp K pT Déterminer à l’aide du critère de Routh les conditions de stabilité de ce système en boucle fermée lorsqu’il est placé dans une boucle d’asservissement à retour unitaire. Exercice 2.2 : Réglage d’un système avec deux conditions de stabilité On considère un système de fonction de transfert en boucle ouverte : 0 )100( )( 2 > + = K pp K pT Déterminer les conditions sur K de manière à ce que le système soit caractérisé, en boucle fermée à retour unitaire, par une marge de phase supérieure à 45° et par une marge de gain supérieure à 6 dB. Exercice 2.3 : Mise en évidence des marges sur les diagrammes de Bode On considère un système de fonction de transfert en boucle ouverte : 0 )10( )( 3 > + = K p K pT Déterminer la valeur de K qui assure au système une marge de gain égale à 6 dB. Calculer la marge de phase pour cette valeur de K. Tracer les diagrammes de Bode du système en boucle ouverte en y faisant apparaître ces marges. Exercice 2.4 : Nyquist On considère un système de fonction de transfert en boucle ouverte : 0 )2)(1( )( > ++ = K ppp K pT 1. Tracer son diagramme de Nyquist. 2. Etudier sa stabilité.
  • 6. Travaux Dirigés, Automatique Linéaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2011 6 Exercice 2.5 : Nyquist On considère un système de F.T.B.O. : 0 )1).(1.( )1.( )( 321 32 2 1 >>> ++ + = τττ ττ τ ppp pK pT K gain positif réglable 1. Tracer le diagramme de Bode asymptotique de la B.O. pour le cas particulier τ1 = 1 s, τ2 = 0,1 s, τ3 =0,01 s, et K = 1. 2. Chercher la pulsation ωπ non nulle pour laquelle ΦBO(ωπ) = -180°. A quelle condition sur τ1, τ2, et τ3 existe-t-elle ? 3. Tracer l’allure du lieu de Nyquist de la boucle ouverte selon que cette condition est réalisée ou non. 4. En déduire les conditions de stabilité en boucle fermée pour les valeurs particulières des constantes de temps données au 1. Retrouver ces conditions à l’aide du critère du revers. 5. Etablir les conditions de stabilité à l’aide du critère de Routh (sur les constantes de temps et sur K). Exercice 2.6 : Nyquist On considère un système de F.T.B.O. : 0 )1).(1).(1( )( 321 321 >>> −++ = τττ τττ ppp K pT K gain positif réglable 1. Tracer le diagramme de Bode asymptotique de la boucle ouverte. 2. Tracer l’allure du lieu de Nyquist de la boucle ouverte. 3. En déduire les conditions de stabilité en boucle fermée. Quel serait le résultat par application du critère du revers ? Conclusion ? Exercice 2.7 : Nyquist On considère un système de fonction de transfert en boucle ouverte : )100)(10( 10 )( 4 ++ = ppp pT 1. Tracer son diagramme de Bode asymptotique (module et phase). 2. En déduire son diagramme de Nyquist. Vous démontrerez l’existence d’une asymptote à la courbe de Nyquist lorsque ω → 0.
  • 7. Travaux Dirigés, Automatique Linéaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2011 7 TD 3 – Correction des systèmes asservis. Exercice 3.1 : Correction à avance de phase. La fonction de transfert en boucle ouverte d’un système asservi s’écrit : ss ppp C pT 02,016,0 )1).(1( )( 21 21 == ++ = ττ ττ C réel et positif 1. Tracer le diagramme de Bode asymptotique de T(p) (gain et phase) pour C = 1, et préciser les points remarquables. 2. Le système est à retour unitaire. Calculer C = Cmax qui rend le système instable en boucle fermée. 3. Retrouver Cmax en appliquant le critère de Routh. 4. Calculer C = C0 qui assure une marge de phase de 45°. 5. Pour une entrée indicielle d’amplitude Xc, expliciter la transformée de Laplace de la sortie Y(p) du système bouclé. En déduire la valeur de y(+∞). 6. Calculer l’erreur de traînage du système bouclé pour une entrée en rampe : xc(t) = Xc.t (∀t>0). 7. On désire améliorer le comportement du système à l’aide d’un correcteur qui présente la fonction de transfert suivante : positifsetréels p p pC βα β α , ).1( ).1( )( + + = Tracer le diagramme de Bode de C(p) pour un comportement dit à avance de phase. On posera : k = α/β. 8. Donner la valeur de α permettant de corriger intégralement le pôle dominant. On impose le déphasage maximal apporté par le correcteur : ϕmax = 45°. Et, on veut obtenir au final après correction une marge de phase de 45°. Calculer les valeurs de α, β, et C = C0c permettant de remplir ces conditions. 9. Tracer dans le plan de Black les fonctions de transfert en boucle ouverte du système corrigé et non corrigé à partir des valeurs données dans le tableau suivant (elles correspondent au cas C = C0) : ω (rad/s) 1 2 5 10 17,5 30 50 T(jω)dB 16,3 9,9 0,22 -9,3 -18,4 -28,3 -38 Arg(T(jω)) -100 -110 -134 -160 -180 -199 -218 C(jω).T(jω)dB 16,4 10,3 2,3 -4 -9,8 -16,7 -25 Arg(C(jω).T(jω)) -93 -95,4 -103,4 -116 -134 -160 -189
  • 8. Travaux Dirigés, Automatique Linéaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2011 8 Retrouver la valeur de C0c à l’aide du diagramme. 10. Quelle est la fréquence de résonance du système corrigé (pour C = C0c) en boucle fermée? Dessiner l’allure approchée du module de la F.T.B.F. en dB (1er diagramme de Bode). Quel sont sa bande passante à -3 dB, et son temps de réponse à 5% ? Comparer ces valeurs à celles obtenues sans correction (C = C0).
  • 9. Travaux Dirigés, Automatique Linéaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2011 9 Exercice 3.2 : Asservissement de fréquence d’un laser Hélium-Néon. La mesure de la fréquence f d’émission d’un laser hélium-néon est réalisée à l’aide d’un filtre optique sélectif dont le coefficient de transmission varie rapidement en fonction de la différence f – f0, f0 étant la fréquence à laquelle le laser est susceptible d’émettre. Après conditionnement électronique du signal issu de ce filtre, on dispose d’un signal électrique xr(t) = K.[f(t) – f0] avec K une constante. Ce signal de mesure est utilisé au sein d’un asservissement dont le schéma est donné figure suivante : ε(t) + xc(t) C(p) y(t)=f(t) – f0 _ + + p A τ+1 0 )(~ ty K xr(t) On a : K = 5.10-8 V/Hz A0 = 90 MHz/V τ = 0,1 ms )(~ ty est un signal perturbateur. I. Correction proportionnelle. C(p) est un correcteur proportionnel : C(p) = C0. a. Tracer le diagramme de Bode de la fonction de transfert en boucle ouverte TBO(p) pour C0 = 1 et 0)(~ =ty . b. Calculer C0 afin d’obtenir une pulsation de transition de 105 rad/s. c. Calculer alors la réponse en boucle fermée à un échelon de tension à l’entrée. d. )(~ ty est maintenant un signal perturbateur contenant une composante continue ainsi qu’une composante sinusoïdale de pulsation 500 rad/s : )500cos(.1010.5)(~ 78 tty += Quel est l’effet sur la sortie d’un tel signal perturbateur ? II. Correction intégrale. C(p) est un correcteur intégral : C(p) = C0 / p. a. Tracer le diagramme de Bode de la fonction de transfert en boucle ouverte TBO(p) pour C0 = 1 et 0)(~ =ty .
  • 10. Travaux Dirigés, Automatique Linéaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2011 10 b. Calculer C0 afin d’obtenir une marge de phase de 45°. c. Donner l’expression de la fonction de transfert en boucle fermée et déterminer la valeur du temps de réponse à 5% à partir des abaques (pour un 2nd ordre). d. )(~ ty prend la même valeur qu’au I.d. Quel est l’effet sur la sortie d’un tel signal perturbateur ? III. Correction proportionnelle et intégrale. C(p) est un correcteur proportionnel et intégral : C(p) = C0 (1+τp)/ p. a. Tracer le diagramme de Bode de la fonction de transfert en boucle ouverte TBO(p) pour C0 = 1 et 0)(~ =ty . b. Calculer C0 afin d’obtenir une pulsation de transition de 105 rad/s. c. Déterminer la valeur du temps de réponse à 5% lorsque l’entrée est un échelon de tension. d. )(~ ty prend la même valeur qu’au I.d. Quel est l’effet sur la sortie d’un tel signal perturbateur ? IV. Bilan. Discuter et comparer les performances des trois correcteurs envisagés précédemment.
  • 11. Travaux Dirigés, Automatique Linéaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2011 11 Exercice 3.3 : Correcteur P.I.D. On considère le système (non corrigé) de fonction de transfert en boucle ouverte : )2).(1.( 4 )( ++ = ppp pTBO Il est inséré dans une boucle d’asservissement à retour unitaire, comprenant un correcteur, C(p), de type P.I.D. tel que : 4 . . 1 1.)( i dd i avecp p KpC τ ττ τ =      ++= 4. Représenter TBO(jω) dans le plan de Black. On donne : ω (rad/s) 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,6 2 2,5 |TBO| dB 20 13 8,7 5,2 2 -1 -5,4 -10,5 -15 Arg(TBO) (degrés) -107 -123 -138 -150 -162 -172 -186 -200 -210 On pourra également utiliser l’abaque A5.1 donnée ci-après pour tracer le lieu de Black de la FTBO. 5. Le correcteur P.I.D. est tel que K = 1 et on pose u = τi.ω. Calculer |C(jω)|dB et Arg(C(jω)) pour u = 1 2 4 6 8 10 12 16 20 25. 6. Le P.I.D. est calculé par la méthode du pivot. On choisi comme pivot le point ω = 0,2 rad/s, en déduire τi. Dessiner la FTBO corrigée pour K = 1 : )().()( pTpCpT BOBOC = Déterminer la valeur de K permettant d’obtenir un coefficient d’amortissement m = 0,7 pour le second ordre dominant équivalent. 7. Quelles sont les erreurs à l’échelon, à la rampe, et à la parabole unitaire ?
  • 12. Travaux Dirigés, Automatique Linéaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2011 12
  • 13. Travaux Dirigés, Automatique Linéaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2011 13 Bibliographie. "Cours d’automatique, tome 2 – Asservissement, régulation, commande analogique", Maurice Rivoire, Jean-Louis Ferrier, Ed. Eyrolles. "Electronique Tome 2 : Systèmes bouclés linéaires, de communication et de filtrage : Cours et exercices", François Manneville, Jacques Esquieu, Ed. Dunod. "Automatique: Commande des systèmes linéaires" , Philippe de Larminat, Ed. Hermes. "Feedback Control of Dynamic Systems", Franklin G.F., Powell J.D., Naemi-Emani A., Addison-Wesley. Beaucoup de liens de bonne qualité (dans tous les domaines) sur : http://pagesperso-orange.fr/xcotton/electron/coursetdocs.htm "Cours d’automatique 1ère année", Jean-Paul Bourguet, cours cycle ISMIN.
  • 14. Travaux Dirigés, Automatique Linéaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2011 14 Annexe 1 – Transformée de Laplace. Transformée de Laplace monolatérale. [ ] ∫ +∞ − == 0 ).()()( dtetfpFtfTL pt ωσ jp += Linéarité. Convolution. )(.)(.)(.)(. pGbpFatgbtfa TL +→+ )().())(( pGpFtgf TL →∗ Fonction de transfert – H(p). )( )( )()().()())(()( pU pY pHpHpUpYthuty TL ==→∗= Dérivation en temps. Intégration. [ ] )0()(.)( − −=′ fpFptfTL )(. 1 )( 0 pF p dfTL t =     ∫ θθ Dérivation en p. Translation en p. [ ])(. )( tftTL dp pdF −= [ ] )()(. αα −= pFtfeTL t Théorème du retard temporel. [ ] )(.)()()( pFetgTLtftg pτ τ − =→−= Théorème de la valeur initiale. Théorème de la valeur finale. [ ] )0()(. + +∞→ = ftfTLplimp [ ] )()()(.0 +∞== +∞→→ ftflimtfTLplim tp Transformées de Laplace usuelles. Dirac : 1)( →TL tδ 22 )( ω ω ω + → p tsin TL Échelon : p t TL 1 )( →Γ 22 )cos( ω ω + → p p t TL Rampe : 2 1 p t TL → ( ) 22 . )(. ω ω ++ + →− ap ap tcose TLta ap e TLta + →− 1. ( )2 . 1 . ap et TLta + →−
  • 15. Travaux Dirigés, Automatique Linéaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2011 15 Transformées de Laplace inverses usuelles (f(t) causale) : ( ) 1 !1 1 1 1 ≥ − → − − n n t p n TL n τ ττ t TL e p − → + − . 1 .1 1 1       − +→ + + −− τ τ τ δ ττ t TL e a a t a p pa .)(. .1 .1 1 ( ) τ τ t TL e pp − −→ + − 1 .1. 1 1 ( ) τ τ τ τ t TL e a pp pa −− +→ + + − .1 .1. .1 1 ( ) τ ττ τ t TL et pp − +−→ + − . .1. 1 1 2 ( ) ( ) ( ) τ ττ τ t TL eaat pp pa − −−−+→ + + − . .1. .1 1 2 ( )( )       − − → ++ −−− 21 1 . 1 .1..1 1 2121 ττ ττττ tt TL ee pp ( )( )       − − −→ ++ −−− 21 1 ... 1 1 .1..1. 1 21 2121 ττ ττ ττττ tt TL ee ppp ( )( ) ( )       − − −+−→ ++ −−− 12 1 ... 1 .1..1. 1 2 1 2 2 21 21 21 2 ττ ττ ττ ττ ττ tt TL eet ppp ( )( ) ( ) ( ) ( )     −−− − → ++ + −−− 21 1 ..... .. 1 .1..1 .1 2112 212121 ττ ττττ ττττττ tt TL eaea pp pa ( )( ) ( ) ( ) ( )     −−− − +→ ++ + −−− 21 1 ... 1 1 .1..1. .1 21 1221 ττ ττ ττττ tt TL eaea ppp pa ( )( ) ( ) ( ) ( ) 21 1 .. .1..1. .1 12 22 21 11 21 21 2 ττ ττ ττ ττ ττ ττ ττ tt TL e a e a at ppp pa −− − − + − − +−−+→ ++ + − ( ) τ ττ t TL e t p − → + − . .1 1 22 1 ( ) τ ττ τ τ t TL e a t a p pa −       + − → + + − .. .1 .1 232 1 ( ) τ ττ t TL e t pp −       +−→ + − .11 .1. 1 1 2 ( ) τ τ τ τ t TL et a pp pa −       − − +→ + + − .1.1 .1. .1 22 1 ( ) ( ) τ ττ τ t TL ett pp − ++−→ + − ..2.2 .1. 1 1 22 ( ) τ τ τ τ τ t TL ea a tat pp pa −       −+      −+−+→ + + − ..21..2 .1. .1 1 22 ( ) ( ) τ ττ t n n TL n e n t p − − −  → + − . !1 . 1 .1 1 1 1 ( ) ( ) τ τ ττ t TL et p p − −→ + − .. 1 .1 32 1
  • 16. Travaux Dirigés, Automatique Linéaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2011 16 ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )     −+−+−−−−→ +++ −−−− 321 1 123312231133221 321 ...... .1..1..1 1 τττ τττττττττττττττ τττ ttt TL eee ppp ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )     −−+−−+−− −−− → +++ + −−−− 321 1 123312231 133221321 .... .. 1 .1..1..1 .1 τττ τττττττττ τττττττττ ttt TL eaeaea ppp pa ( ) 10.1sin. 1. 2 1 1 2 0 2 0 2 0 2 0 0 1 <<− − → ++ −− mtme mp p m tmTL ω ω ωω ω ( )mtme mp p m p tmTL arccos.1sin. 1. 2 1 2 0 2 0 2 0 2 0 0 1 −+− − → ++ −− πω ω ωω ω         − − +−+− − → ++ + −− 0 2 02 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 1 1 arctan.1sin..21. 1. 2 1 .1 0 1 ω ω ωωω ω ωω ω am ma tmeaam mp p m pa tmTL ( )mtme mp p m p tmTL arccos.1sin. 1 1 1 . 2 1. 1 2 0 2 2 0 2 0 0 1 +− − −→         ++ −− ω ωω ω ( )mtme m m t p p m p tmTL arccos.2.1sin. 1. 12 . 2 1. 1 2 0 2 00 2 0 2 0 2 0 1 +− − −−→         ++ −− ω ωω ωω ω
  • 17. Travaux Dirigés, Automatique Linéaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2011 17 Annexe 2 – Systèmes linéaires du second ordre. Pulsation de résonance 2 0 .21 mr −= ωω Pulsation de coupure ( )222 0 .211.21 mmc −++−= ωω Facteur de résonance 2 12 1 mm M − = Facteur de qualité m Q 2 1 = Temps de montée ( )m m tm arccos. 1 1 2 0 − − = π ω Temps de réponse à n% (m<0,7)       ≅ nm tr 100 ln. . 1 0ω Temps de pic 2 0 1 m tpic − = ω π Pseudo-période 2 0 1 2 m Tp − = ω π Dépassement 2 1 . .100% m m eD − − = π Nombre d’oscillations complètes m Qn 2 1 =≅ 2 0 2 0 2 1 )( ωω p p m K pH ++ =
  • 18. Travaux Dirigés, Automatique Linéaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2011 18 m 0ωmt 0%5 ωrt 0ωpict 0ωpT D % 0ω ωr 0ω ωc r c ω ω MdB m 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 1,68 1,74 1,81 1,88 1,97 2,06 2,16 2,28 2,42 2,58 2,77 3 30 20 14 11 10,1 7,9 7,7 5,4 5,3 5,3 5,2 5 3,16 3,18 3,21 3,24 3,29 3,35 3,43 3,52 3,63 3,76 3,93 4,13 6,31 6,36 6,41 6,49 6,59 6,71 6,86 7,04 7,26 7,52 7,85 8,27 73 62 53 44 37 31 25 21 16 12,6 9,5 6,8 0,99 0,98 0,96 0,94 0,91 0,87 0,82 0,77 0,71 0,63 0,53 0,39 1,54 1,53 1,51 1,48 1,45 1,42 1,37 1,33 1,27 1,21 1,15 1,08 1,56 1,56 1,57 1,59 1,61 1,63 1,67 1,72 1,8 1,93 2,17 2,74 14 10,5 8,1 6,3 4,8 3,6 2,7 1,9 1,2 0,7 0,3 0,1 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 3,29 3 4,4 8,8 4,6 0,14 1,01 7,14 0 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 3,66 4,16 4,91 6,17 9,09 3,1 3,4 3,7 4 4,1 4,75 5,24 5,96 7,21 10,06 9,5 10,5 11,93 14,41 20,12 2,84 1,52 0,63 0,15 0,01 - - - - - 0,94 0,87 0,81 0,75 0,69 - - - - - - - - - - 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95
  • 19. Travaux Dirigés, Automatique Linéaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2011 19
  • 20. Travaux Dirigés, Automatique Linéaire 1 1A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 2011 20