Automatique dans l’espace d’état - II Commande optimale (AURO6) Lounis ADOUANE LASMEA , UMR CNRS 6602, Bureau 3113 24 Avenue des landais, 63177 AUBIERE Cedex Lounis.Adouane@lasmea.univ-bpclermont.fr Tel. 04 73 40 72 45

Bibliographie J. Macki , « Introduction to Optimal Control Theory » Series: Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1995. P. De Larminat , « Automatique : commande des systèmes linéaires » Hermes, 1996. P. Borne et al., « Commande et optimisation des processus », Collection Méthodes et Pratiques de l’Ingénieur, volume 1, Technip, 1990. M. Bergounioux , « Optimisation et contrôle des systèmes linéaires », Dunod, Collection Sciences Sup., 2001.

Introduction générale 1) Légende de la fondation de Carthage (814. av. JC), le souverain avait permis aux Phéniciens de fonder une ville dont le pourtour était délimité par une peau de vache ; Didon ( première reine de Carthage ) en fit une grande lanière et choisit une forme circulaire pour avoir la plus grande surface (S). Exemples historiques d’optimisation x 1 x 2 S Formulation mathématique du problème : X=[x 1 x 2 ] T S(X * ) = Max (S(X)) Sous la contrainte Longueur de la courbe = constante

Introduction générale Exemples historiques d’optimisation A B La résolution de ce problème a permis de développer les méthodes du calcul variationnel . 2) Courbe brachistochrone (vient du grec brakhisto-chronos (le plus court-temps)) Problème formalisé par Bernoulli au XVI eme siècle et qui consiste à trouver l’allure de la courbe qui permet à une masse soumise à la seule force de gravité de relier le point A au point B en un minimum de temps. L’arc d’une cycloïde est la courbe optimale.

Introduction générale Il existe deux sortes d’optimisation en automatique : 2. L’optimisation fonctionnelle , où l’on suppose au contraire que le correcteur est de structure complètement libre et donc que la loi de commande u(t) (ou u k ) qui sera appliquée à l’entrée du procédé peut être choisie arbitrairement. À une fonction u(t) donnée on fait correspondre une valeur donnée d’un certain critère J , qui est donc une fonctionnelle ( fonction de fonction ) . C’est sur cette deuxième forme d’optimisation que portera ce cours. 1. L’optimisation paramétrique , qui consiste à rechercher les paramètres optimaux d’un correcteur C(p) de structure imposée, par exemple, les paramètre K p et T i d’un correcteur de type PI, en cherchant à rendre minimale une fonction de coût J : On cherche alors K p et T i tels que :

Introduction générale Exemple : Alunissage d’une fusée Equation de la dynamique du système : Contrainte : Critère à minimiser : L’objectif est d’annuler la vitesse de la fusée au point d’impact avec le sol lunaire ( z(t f )=0 et z_p(t f )=0 ), tout en minimisant la consommation de carburant (qui est proportionnelle à la poussée P ). Surface de la lune Z Hauteur = z(t) (Poussée verticale) (Force gravitationnelle)