Séries de Fourier complexes, Transformées de Fourier, Spectres d’amplitude et de phases, Relation d’indéterminatoin d’Heisenberg-Gabor, Produit de convolution, Théorème de convolution, Impulsion de Dirac, Éléments sur les distributions
L'essentiel du programme de l'agrégation de mathématiquesCharvetXavier
Pages de remplacement que j'ai envoyées aux éditions Ellipses début avril mais qui n'ont malheureusement pas pu être substituées avant publication pour des raisons logistiques.
Polynomial Regression on Riemannian Manifolds, report, 2012Florent Renucci
D’un point de vue général, la méthode statistique de régression consiste à estimer la relation mathématique entre un ensemble de variables, appelées variables explicatives ou descriptives ou indépendantes, et une variable observée ou mesurée. On cherche donc à déterminer, parmi une certaine classe de fonctions, la fonction qui décrive de façon optimale (en un certain sens) cette relation. La régression polynomiale consiste à estimer la relation entre variables explicatives et données observées à l’aide d’une fonction polynomiale de degré fixé k. Le nombre de paramètres inconnus est alors k + 1 et ils sont le plus souvent estimés en minimisant un critère des moindres carrés, qui est le carré de la distance euclidienne entre les valeurs observées et les valeurs prédites par le modèle polynomial. L’un des problèmes à résoudre dans ce contexte est évidemment le choix du degré du polynôme.
Matrices, opérations élémentaires (addition, produit, transposition), déterminant, inverse, méthodes d'inversion, lien avec les systèmes d'équations linéaires, résolution des systèmes d'équations linéaires, système de Cramer
SUITES ET SÉRIES NUMÉRIQUES
VARIATION DES SUITES
CONVERGENCE DES SÉRIES NUMÉRIQUES
SÉRIES DE FONCTIONS
SÉRIES ENTIÈRES
Développement en séries entières
In previous works, we have proposed a local dissimilarity map (LDM) in order
to compare images. In this research, we show how the LDM can be applied in the
field of symbol recognition. A global dissimilarity measure (GDM) is obtained
from the LDM. This versatile allow to measure symetric as well as asymetric
similarities. A matcher is derived by summing the values of the LDM. The
obtained matcher is compared to the chamfer matching. Its properties are
related to the human similarity judgement from Tversky results. It is tested
on the grec2005 symbol recognition database. Good to excellent results are
obtained without any knowledge on images, and no pre-processing nor
segmentation involved.
M2i Webinar - « Participation Financière Obligatoire » et CPF : une opportuni...M2i Formation
Suite à l'entrée en vigueur de la « Participation Financière Obligatoire » le 2 mai dernier, les règles du jeu ont changé !
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Webinar exclusif animé à distance en coanimation avec la CDC
Newsletter SPW Agriculture en province du Luxembourg du 03-06-24BenotGeorges3
Les informations et évènements agricoles en province du Luxembourg et en Wallonie susceptibles de vous intéresser et diffusés par le SPW Agriculture, Direction de la Recherche et du Développement, Service extérieur de Libramont.
https://agriculture.wallonie.be/home/recherche-developpement/acteurs-du-developpement-et-de-la-vulgarisation/les-services-exterieurs-de-la-direction-de-la-recherche-et-du-developpement/newsletters-des-services-exterieurs-de-la-vulgarisation/newsletters-du-se-de-libramont.html
Bonne lecture et bienvenue aux activités proposées.
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Newsletter SPW Agriculture en province du Luxembourg du 03-06-24
Introduction à la transformée en z et convolution discrète (GEII MA32)
1. MA32 (GEII - S3)
B - T RANSFORMÉE EN Z ET CONVOLUTION DISCRÈTE :
EXPOSITION
F. Morain-Nicolier
frederic.nicolier@univ-reims.fr
2013 - 2014 / URCA - IUT Troyes
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2. O UTLINE
1. S IGNAUX DISCRETS
2. U N SYSTÈME DISCRET SIMPLE
3. P RINCIPALES PROPRIÉTÉS DE LA TZ
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3. 1.1 S IGNAUX DISCRETS ?
Un signal est le support physique d’une information (ex :
signaux sonores, visuels)
signaux continus (analogiques), discrets (échantillonnés),
numériques (échantillonnés et quantifiés)
F IGURE : Signal échantillonné
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4. 1.1 S IGNAUX DISCRETS ?
F IGURE : Signal mal échantillonné
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5. 1.2 N OTATION MATHÉMATIQUE DES SIGNAUX
DISCRETS
Un signal discret est donc un liste ordonné de valeurs réelles
ou complexes
En mathématique, on le représente donc par une suite
numérique
(D ÉFINITION ) Une suite numérique (un )n∈N est une
application de N sur R (ou C). un est le terme
général de la suite.
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6. 1.2 S UITES ET SÉRIES
Une série est obtenue en sommant les termes généraux d’une
suite, en particulier :
(Définition) Une série {un } est la somme des termes généraux
un de la suite (un ).
∞
{un } =
∑
n=0
∞
un ou {un } =
∑
n=−∞
un
ex : série de Fourier
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7. 1.3 Q UELQUES EXEMPLES
impulsion unité
δn =
1
0
si n = 0
.
sinon
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8. 1.3 Q UELQUES EXEMPLES
Échelon unité
un =
1
0
si n ≥ 0
sinon
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9. 1.3 Q UELQUES EXEMPLES
Signal exponentiel
xn = an
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10. O UTLINE
1. S IGNAUX DISCRETS
2. U N SYSTÈME DISCRET SIMPLE
3. P RINCIPALES PROPRIÉTÉS DE LA TZ
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11. 2.1. É TUDE D ’ UN SYSTÈME DISCRET SIMPLE
(xk)
(yk)
+
a
retard
F IGURE : système discret simple
yk = xk + ayk−1 . (0)
C’est une équation aux différences (simple)
Cherchons à exprimer explicitement (yk ) en fonction de
(xk )
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12. 2.1. É TUDE D ’ UN SYSTÈME DISCRET SIMPLE
On a donc
k
yk =
∑
n=−∞
ak−n xn .
Reformulons la sortie en posant
hn =
0
an
si t < 0
.
si n ≥ 0
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13. 2.1. É TUDE D ’ UN SYSTÈME DISCRET SIMPLE
(hn ) est donc la réponse impulsionnelle du système.
Cherchons la réponse à une entrée
xk = zk
où z est un nombre complexe fixé.
Montrons alors que
yk =
z
xk .
z−a
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14. 2.1. É TUDE D ’ UN SYSTÈME DISCRET SIMPLE
H (z) =
z
z−a
est la fonction de transfert du filtre.
C’est une fonction de la variable z, définie dans le domaine
|z| > |a|.
Explicitons l’obtention de H (z) à partir de (hn ).
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15. 2.1. É TUDE D ’ UN SYSTÈME DISCRET SIMPLE
H (z) est donc la transformée en z de (hn ), avec
∞
Z [ fn ] =
∑
n=−∞
fn z − n .
quelles sont ses propriétés ?
quelles sont ses conditions d’existence et de convergence ?
⇒ suites et séries numériques et de fonctions
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16. O UTLINE
1. S IGNAUX DISCRETS
2. U N SYSTÈME DISCRET SIMPLE
3. P RINCIPALES PROPRIÉTÉS DE LA TZ
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17. 3.1. D ÉFINITION
(D ÉFINITION ) La transformée en z d’un signal discret (xn ) est
∞
X ( z ) = Z [ fn ] =
∑
n=−∞
fn z − n
où z est une variable complexe.
La TZ peut-être considérée comme une généralisation de
la transformée de Fourier (poser z = eiω )
La TZ constitue l’outil privilégié pour l’étude des système
discrets.
Elle joue un rôle équivalent à la transformée de Laplace
Par exemple, la TZ permet de représenter un signal possédant
une infinité d’échantillons par un ensemble fini de nombres.
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18. 3.2 D OMAINE DE CONVERGENCE
TRANSIORMATIONIN/
45
r R*- la limite
La TZ n’a de sens que si l’on précise le domaine des valeurs de
lim lr( & 1l 1/* = 4,(2.8)
z pour lesquelles la série existe.
série
Xr(z)
converge alors pour lzl
>Rr_.
Avec le changement de variable / =
-k,
peut montrer d'ure madère similaire que la série Xl (z) converge pour lzl (Â,+,
Nous montrerons (plus tard) que le domaine de convergence
R,a est la lirnite
de X(z) est un anneau du plan complexe.
R,+ = 1/[ lim lx( -/)lt/t
(2.e)
:
,- + -
si,
série TZ converge si
Ainsilaune(2.1) converge en général dans un anneau du plan complexe
0 ( R,- ( lzl ( R,* ( +R < |z| < R
x−
i est illustré sur la figure
tt évident que si Àx-
)
2. I
.
x+
(2.r 0)
Rjr, et .R, + caractérisent le signal x
série (2.1) n'est pas convergente.
Les limites
À,-} , la
des z donné
///l
Fig.2.l
([
).
résiortr de convetzenî.e
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19. 3.3 E XEMPLES
TZ de l’impulsion unité
Z[δn ] = 1
TZ de l’échelon unité
Z [ un ] =
1
1 − z−1
TZ du signal exponentiel
Z [ an u n ] =
z
z−a
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20. 3.4 P ROPRIÉTÉS
(L INÉARITÉ ) Soit sn = axn + byn alors
S(z) = aX(z) + bY(z).
Quel est le domaine de convergence ?
(D ÉCALAGE ) Si yn = xn−n0 alors
Y ( z ) = z − n0 X ( z ) .
En particulier, si yn = xn−1 , Y(z) = z−1 X(z).
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21. 3.4 P ROPRIÉTÉS
(D ÉRIVÉE ) La dérivée d’une TZ multipliée par −z est la TZ
du signal multiplié par n :
−z
∞
dX(z)
= ∑ nxn z−n = Z[nxn ]
dz
n=−∞
(C ONVOLUTION ) La convolution discrète étant définie par
∞
xn ∗ yn =
∑
xn−k yn ,
k=−∞
la TZ est
Z[xn ∗ yn ] = X(z)Y(z).
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22. 3.5 R EPRÉSENTATION PAR PÔLES ET ZÉROS
Considérons H (z) = Z[hn ].
Les pôles de H(z) sont les valeurs de z pour lequelles H (z)
tend vers l’infini.
Les zéros de H(z) sont les valeurs de z pour lesquelles H (z)
est nul.
Les pôles et les zéros complexes de H (z) sont de la forme
α ± iβ.
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23. 3.5 R EPRÉSENTATION PAR PÔLES ET ZÉROS
Si X(z) possède M zéros zm et N pôles pn , on peut la mettre sous
la forme :
X (z)
Y (z)
b + b1 z − 1 + . . . + bM z − M
= 0
1 + a1 z−1 + . . . + aN z−N
∏M (z − zm )
= A m=1
∏N=1 (z − pn )
n
H (z) =
On peut toujours écrire une TZ sous cette forme, et donc
représenter le signal par des listes de pôles et de zéros.
Exemple :
H ( z ) = Z ( an u n ) =
z
z−a
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24. 3.6. TZ INVERSE
À partir de la TZ X(z) d’un signal, l’original xn peut être
retrouvé de plusieurs manières :
en développant X(z) en une série (puissance par exemple)
en utilisant le théorème des résidus pour calculer
xn =
1
2iπ
Γ
X(z)zn−1 dz
où Γ est un lacet entourant l’origine, situé dans la
couronne de convergence et orienté dans le sens positif.
un formulaire
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25. 3.6. TZ INVERSE
Le théorème des résidus indique que l’intégrale sur un
contour fermé C d’une fonction complexe holomorphe
F(z) rationnelle vaut
C
F(z)dz = 2iπ
∑
pi ∈C
Résidu(pi )
où pi est un pôle de F(z).
(Fonction holomorphe = fonction à valeurs complexes, définie et
dérivable en tout point d’un sous-ensemble ouvert du plan complexe.)
si pi est un pôle simple : Résidu(pi ) = limz→pi (z − pi )F(z)
1
Exemple : calcul de Z−1 [ 1+az−1 ].
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