SERIE DE FOURIER

1. Chapitre 3
S´erie de Fourier
Une technique tr`es commune en ing´enierie est de r´eduire un probl`eme complexe en
plusieurs probl`emes simples. Les probl`emes simples sont alors r´esolus, et la solution glo-
bale est la somme des solutions simples. Ces solutions simples permettent souvent de
mieux comprendre le probl`eme complexe.
Une des m´ethodes les plus utiles dans l’analyse des signaux est la s´erie de Fourier. La
s´erie de Fourier permet de transformer n’importe quel signal p´eriodique en une somme
de sinuso¨ıdes. On peut donc prendre un signal p´eriodique complexe et le simplifier `a des
sinuso¨ıdes.
Pourquoi s’int´eresse-t’on aux signaux p´eriodiques ? Plusieurs sources ´electriques pro-
duisent des signaux p´eriodiques. Les g´en´erateurs de fonction produisent des ondes trian-
gulaires, rectangulaires et carr´ees. Les redresseurs, utilis´es pour produire des sources DC
`a partir d’un signal AC, produisent des sinuso¨ıdes qui sont p´eriodiques, mais redress´es.
3.1 S´erie de Fourier
Le math´ematicien franc¸ais Jean-Batiste Fourier d´ecouvrit qu’on pouvait transformer
n’importe quel signal p´eriodique en une somme de sinuso¨ıdes. Donc, pour une fonction
p´eriodique quelconque f (t), Fourier d´emontra qu’on pouvait faire l’´equivalence suivante :
f (t) = av +
∞
n=1
an cos(nω0t) + bn sin(nω0t) (3.1)
o`u av, an et bn sont les coefficients de Fourier, et ω0 est la fr´equence fondamentale. Les
fr´equences qui sont des multiples entiers de ω0 (comme 2ω0, 3ω0, etc.) sont nomm´es
1

2. CHAPITRE 3. S ´ERIE DE FOURIER
les harmoniques. Par exemple, 2ω0 est la deuxi`eme harmonique, 3ω0 est la troisi`eme
harmonique, et ainsi de suite.
Pour faire l’analyse de circuits dont la source est p´eriodique mais non sinuso¨ıdale, il
faut d´ecomposer l’entr´ee en une s´erie de Fourier. Le premier coefficient obtenu, av, est
la composante DC du signal. Les autres composantes repr´esentent diff´erentes fr´equences
qui sont pr´esentent dans notre signal d’entr´ee. Ensuite, pour obtenir la sortie, on calcul la
sortie pour chaque fr´equence, puis on fait la superposition.
3.2 Coefficients de Fourier
Les coefficients de Fourier sont obtenus selon les ´equations suivantes :
av =
1
T
t0+T
t0
f (t) dt (3.2)
an =
2
T
t0+T
t0
f (t)cos(nω0t) dt (3.3)
bn =
2
T
t0+T
t0
f (t)sin(nω0t) dt (3.4)
Remarquer que av est la valeur moyenne (ou DC) du signal.
Exemple 1
Calculer la s´erie de Fourier pour le signal p´eriodique suivant.
v(t)
t
Vm
0 T 2T
Lorsqu’on utilise les ´equations 3.2 `a 3.4, on peut choisir la valeur de t0. Le meilleur
choix est de prendre t0 = 0, ce qui simplifie beaucoup les calculs. L’´equation de v(t) entre
0 et T est :
v(t) =
Vm
T
t
Gabriel Cormier 2 GELE2511

3. CHAPITRE 3. S ´ERIE DE FOURIER
Donc l’´equation pour av est :
av =
1
T
T
0
Vm
T
t dt =
1
2
Vm
L’´equation de an est :
an =
2
T
T
0
Vm
T
t cos(nω0t) dt
=
2Vm
T 2
1
n2ω2
0
cos(nω0t) +
t
nω0
sin(nω0t)
T
0
=
2Vm
T 2
1
n2ω2
0
(cos(2πn) − 1) = 0 pour tout n
L’´equation de bn est :
bn =
2
T
T
0
Vm
T
t sin(nω0t) dt
=
2Vm
T 2
1
n2ω2
0
sin(nω0t) +
t
nω0
cos(nω0t)
T
0
=
2Vm
T 2
0 −
T
nω0
cos(2πn)
=
−Vm
πn
La s´erie de Fourier de v(t) est :
v(t) =
Vm
2
−
Vm
π
∞
n=1
1
n
sin(nω0t)
On peut reconstruire le signal original `a l’aide de la s´erie de Fourier pour v´erifier si on
peut bel et bien obtenir l’original. La figure 3.1 montre la reconstruction en utilisant 7, 15
et 51 harmoniques.
On voit bien que plus le nombre d’harmoniques utilis´es est ´elev´e, plus le signal origi-
nal est reconstruit fid`element. Cependant, il y a un pic lorsque la fonction a un change-
ment abrupte (`a t = 1s, par exemple). Ce pic est dˆu `a ce qu’on appelle l’effet Gibbs.
Le calcul des coefficients de Fourier est, g´en´eralement, un calcul assez long. N’importe
quoi qui simplifie la tˆache est donc b´en´efique. On verra dans la prochaine section que si
le signal poss`ede de la sym´etrie, on peut grandement simplifier le calcul des coefficients
de Fourier.
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4. CHAPITRE 3. S ´ERIE DE FOURIER
0 0.5 1 1.5 2
0
0.5
1
Temps (s)
Original
0 0.5 1 1.5 2
0
0.5
1
Temps (s)
n = 7
0 0.5 1 1.5 2
0
0.5
1
Temps (s)
n = 15
0 0.5 1 1.5 2
0
0.5
1
Temps (s)
n = 51
Figure 3.1 – Onde en dent de scie reconstruite par s´erie de Fourier
3.3 Sym´etrie et les coefficients de Fourier
Le type de sym´etrie d’un signal peut simplifier le calcul des coefficients de la s´erie de
Fourier. Voir le chapitre 1 pour les types de sym´etrie. Selon le type de sym´etrie, certains
des coefficients de la s´erie de Fourier sont nuls. Il est important de bien identifier le type
de sym´etrie d’un signal avant de d´ecomposer en s´erie de Fourier.
Gabriel Cormier 4 GELE2511

5. CHAPITRE 3. S ´ERIE DE FOURIER
Sym´etrie paire
Pour des fonctions paires, on peut d´emontrer que les coefficients de Fourier sont :
av =
2
T
T /2
0
f (t) dt (3.5)
an =
4
T
T /2
0
f (t)cos(nω0t) dt (3.6)
bn = 0 (3.7)
Sym´etrie impaire
Pour des fonctions impaires, on peut d´emontrer que les coefficients de Fourier sont :
av = 0 (3.8)
an = 0 (3.9)
bn =
4
T
T /2
0
f (t)sin(nω0t) dt (3.10)
Sym´etrie demi-onde
Pour des fonctions ayant de la sym´etrie demi-onde, on peut d´emontrer que les coeffi-
cients de Fourier sont :
av = 0 (3.11)
an = 0 pour n pair (3.12)
an =
4
T
T /2
0
f (t)cos(nω0t) dt pour n impair (3.13)
bn = 0 pour n pair (3.14)
bn =
4
T
T /2
0
f (t)sin(nω0t) dt pour n impair (3.15)
Sym´etrie quart-d’onde
Une fonction p´eriodique qui a la sym´etrie quart-d’onde peut toujours ˆetre rendue
soit paire ou impaire en faisant un choix appropri´e de t = 0. Pour une fonction ayant
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6. CHAPITRE 3. S ´ERIE DE FOURIER
la sym´etrie quart-d’onde, si on la rend paire, alors
av = 0 (3.16)
an = 0 pour n pair (3.17)
an =
8
T
T /4
0
f (t)cos(nω0t) dt pour n impair (3.18)
bn = 0 (3.19)
Pour une fonction ayant la sym´etrie quart-d’onde, si on la rend impaire, alors
av = 0 (3.20)
an = 0 (3.21)
bn = 0 pour n pair (3.22)
bn =
8
T
T /4
0
f (t)sin(nω0t) dt pour n impair (3.23)
Exemple 2
Calculer les coefficients de Fourier pour la fonction de la figure suivante :
i(t)
t
Im
−Im
La premi`ere chose `a faire est de chercher pour de la sym´etrie. La fonction est impaire,
et de plus, poss`ede de la sym´etrie demi-onde et quart-d’onde. Puisque la fonction est
impaire, av = 0, et an = 0. `A cause de la sym´etrie demi-onde, bn = 0 pour les valeurs paires
de n. `A cause de la sym´etrie quart-d’onde, l’´equation de bn pour les valeurs impaires de n
est :
bn =
8
T
T /4
0
i(t)sin(nω0t) dt
Dans l’intervalle 0 ≤ t ≤ T /4, l’´equation de i(t) est :
i(t) =
4Im
T
t
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7. CHAPITRE 3. S ´ERIE DE FOURIER
Alors,
bn =
8
T
T /4
0
4Im
T
t sin(nω0t) dt
=
32Im
T 2
sin(nω0t)
n2ω2
0
−
t cos(nω0t)
nω0
T /4
0
=
8Im
π2n2
sin
nπ
2
n est impair
La repr´esentation en s´erie de Fourier de i(t) est :
i(t) =
8Im
π2
∞
n=1,3,5...
1
n2
sin
nπ
2
sin(nω0t)
La reconstruction de i(t) est montr´ee `a la figure 3.2. Dans ce cas-ci, tr`es peu de fr´equences
sont n´ecessaires pour reconstruire le signal original.
3.4 Formes alternatives de la s´erie de Fourier
Il y a deux autres fac¸ons d’exprimer la s´erie de Fourier : on peut utiliser une forme
polaire, ou une forme exponentielle. La forme polaire est la suivante :
f (t) = av +
∞
n=1
An cos(nω0t + θn) (3.24)
o`u An est d´efini selon :
An∠θn = an − jbn (3.25)
La forme polaire est plus utile pour faire des graphiques. Il est plus facile de com-
prendre des graphes d’amplitude et de phase que de regarder des sinus et cosinus pour
comprendre le comportement d’un signal. Cependant, lors de calculs math´ematiques
(dans un logiciel), il peut y avoir des erreurs si on utilise la notation polaire, `a cause
des approximations des radians et les fonctions trigonom´etriques inverses.
La forme exponentielle est :
f (t) =
∞
n=−∞
Cnejnω0t
(3.26)
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8. CHAPITRE 3. S ´ERIE DE FOURIER
0 0.5 1 1.5 2
−1
0
1
Temps (s)
Original
0 0.5 1 1.5 2
−1
−0.5
0
0.5
1
Temps (s)
n = 3
0 0.5 1 1.5 2
−1
0
1
Temps (s)
n = 7
0 0.5 1 1.5 2
−1
0
1
Temps (s)
n = 11
Figure 3.2 – Onde en dent de scie reconstruite par s´erie de Fourier
o`u
Cn =
1
T
t0+T
t0
f (t)e−jnω0t
dt (3.27)
La forme exponentielle est obtenue `a partir de la relation d’Euler. Cette repr´esentation de
la s´erie de Fourier est souvent plus facile `a utiliser lors de calculs math´ematiques ou lors
de la programmation.
On peut r´esumer la conversion d’une forme `a une autre `a l’aide du tableau 3.1.
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9. CHAPITRE 3. S ´ERIE DE FOURIER
Tableau 3.1 – Formes de la s´erie de Fourier
Forme ´Equation
Exponentielle
∞
n=−∞
Cnejnω0t Cn = |Cn|ejθn, C−n = C∗
n
Polaire C0 +
∞
n=1
2|Cn|cos(nω0t + θn)
Trigonom´etrique C0 +
∞
n=1
(An cos(nω0t) + Bn sin(nω0t))
2Cn = An − jBn, C0 = A0
3.5 Spectre d’amplitude et de phase
Une fonction p´eriodique est d´efinie par ses coefficients de Fourier et sa p´eriode. Si on
connaˆıt av, an, bn et T , on peut construire f (t). Si on connaˆıt an et bn, on connaˆıt aussi
l’amplitude An et le d´ephasage θn de chaque harmonique.
On peut repr´esenter graphiquement une fonction p´eriodique en termes de l’amplitude
et de la phase de chaque terme de la s´erie de Fourier. On appelle ceci le spectre de la fonc-
tion. Ce graphe permet de visualiser quelles fr´equences ont une amplitude importante ;
dans certains cas, la majorit´e du signal est contenu dans quelques harmoniques.
On fera un exemple pour d´emontrer l’utilisation.
Exemple 3
Donner le spectre de la fonction suivante, si Vm = 5V et τ = T /5.
v(t)
t
−τ/2
Vm
τ/2 T
0
On utilise la forme exponentielle pour cet exemple, ce qui donnera directement l’am-
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10. CHAPITRE 3. S ´ERIE DE FOURIER
plitude de chaque composante spectrale.
Cn =
1
T
τ/2
−τ/2
Vme−jnω0t
dt
=
Vm
T
e−jnω0t
−jnω0
τ/2
−τ/2
=
2Vm
nω0T
sinnω0τ/2
On peut r´e´ecrire sous une forme un peu diff´erente :
Cn =
Vmτ
T
sinnω0τ/2
nω0τ/2
qui est de la forme (sinx)/x.
Avec les valeurs donn´ees dans le probl`eme, on a
Cn =
sinnπ/5
nπ/5
Le spectre d’amplitude est montr´e `a la figure 3.4. Remarquer que le spectre donne 0
aux multiples de 5, ou lorsque nτ/T est un entier. Ce qui veut dire que le 5i`eme, 10i`eme,
15i`eme, ... harmoniques sont nuls. L’enveloppe du signal forme la fonction sinc.
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n
|Cn|
Figure 3.3 – Spectre d’amplitude du signal de l’exemple 3
Le spectre de phase est montr´e `a la figure suivante. Puisque Cn est r´eel dans ce cas-ci,
la phase est 0◦ ou 180◦, selon le signe de Cn.
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11. CHAPITRE 3. S ´ERIE DE FOURIER
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
0
60
120
180
n
θn(degr´es)
Figure 3.4 – Spectre d’amplitude du signal de l’exemple 3
3.6 Valeur RMS
La valeur RMS d’une fonction peut ˆetre exprim´ee en fonction des coefficients de la
s´erie de Fourier. Par d´efinition, la valeur RMS d’une fonction est :
frms =
1
T
T
0
f (t)2 dt (3.28)
En remplac¸ant f (t) par son ´equivalent en s´erie de Fourier, on obtient
frms = a2
v +
∞
n=1
An
√
2
2
(3.29)
La valeur RMS d’un signal p´eriodique est la racine carr´ee de la somme des amplitudes
au carr´e de chaque harmonique et de la composante DC du signal.
Cependant, il faut typiquement une infinit´e de sinuso¨ıdes pour repr´esenter un signal,
et donc il faut faire une somme infinie pour avoir la vraie valeur RMS du signal. Il est
souvent plus simple de calculer la valeur RMS `a partir de l’´equation 3.28.
3.7 S´erie de Fourier et syst`emes
La s´erie de Fourier peut ˆetre utilis´ee pour calculer la sortie d’un syst`eme, au lieu d’uti-
liser la convolution. On peut d´emontrer que la sortie en r´egime permanent d’un syst`eme
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12. CHAPITRE 3. S ´ERIE DE FOURIER
h(t) soumis `a une entr´ee x(t) est :
y(t) =
∞
n=−∞
CnH(jnω0)ejnω0t
(3.30)
ou,
y(t) = C0|H(0)| +
∞
n=−∞
2|Cn||H(jnω0)|cos(nω0t + θn + θh(jnω0)) (3.31)
o`u les coefficients sont H(jnω0) = |H(jnω0)|∠θh. En d’autres mots, le syst`eme h(t) modifie
l’amplitude et la phase de chaque fr´equence pr´esente dans l’entr´ee x(t).
La r´eponse en fr´equence H(jω) est obtenue en faisant la transform´ee de Laplace de
h(t), puis en appliquant la substitution s → jω.
H(jω) = H(s)
s=jω
(3.32)
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