4. Séries de Fourier
Page 4
SEER1-TS
Un signal périodique de période
peut être décomposé en une somme
d’ondes sinusoïdales dont les
fréquences sont multiples de
fréquence
Joseph Fourier
(1768-1830)
fo =
1
T
T
5. Séries de Fourier
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SEER1-TS
fo =
1
T
Soit xT(t) un signal périodique de période . Son développement en séries
de Fourier est par définition:
xT t
( )= a0 + an
n=1
+¥
å cos 2p nf0t
( )+ bn
n=1
+¥
å sin 2p nf0t
( )
Où:
of0 est la fréquence fondamentale du signal.
oa0 est la valeur moyenne ou composante continue du signal .
oak et bk sont les coefficient de Fourier du développement en cosinus et sinus.
T
6. Calcul des coefficient de Fourier :
Remarque :
• xT(t) pair bn=0
• xT(t) impair an=0
Séries de Fourier
ao =
1
T
xT t
( )dt = xT
-
T
2
T
2
ò
an =
2
T
xT t
( )cos 2p nfot
( )dt
-
T
2
T
2
ò
bn =
2
T
xT t
( )sin 2p nfot
( )dt
-
T
2
T
2
ò n ³1
7. le développement en série de Fourier peut s’écrire:
où
En considérant la relation trigonométrique suivante:
avec
Acos(x)+ Bsin(x) = A2
+ B2
cos(x +f)
f = artg(
-B
A
)
xT (t)= A0 + An cos(2pnf0t
1
¥
å +an )
A0 = a0 An = an
2
+bn
2
an = arctg(
-bn
an
)
Série de Fourier en cosinus
Séries de Fourier
8. - La représentation en cosinus est très importante car elle
correspond à la description des signaux en régime sinusoïdal
permanent où l’on représente un courant ou une tension par
son amplitude et sa phase.
- D’un point de vue pratique, cela revient à considérer que le
signal x(t) est créé de manière équivalente par une infinité de
générateur sinusoïdaux.
La représentation spectrale dans ce cas est unilatérale.
Remarques :
Séries de Fourier
9. Séries de Fourier
formules d’Euler :
xT t
( ) = cn
n=-¥
+¥
å e
j 2p nfot
( )
avec cn =
1
T
xT t
( )e
- j×2p nfot
( )
dt
-
T
2
T
2
ò
co = ao
cn =
an - jbn
2
c-n =
an + jbn
2
Notation complexe :
fo =
1
T
la SF peut être transformée en SF complexe :
cos(x) =
ejx
+e- jx
2
, sin(x) =
ejx
-e- jx
2 j
10. Relation entre les trois formes :
cos-sin cos complexe
0
n 0
a 0
0 a
A 0
0 a
c
0
n n
n b
,
a
2
2
n
n
n b
a
A
2
2
n
n
n
n
n
n
jb
a
c
jb
a
c
Séries de Fourier
11. La transformée de Fourier est une extension de la décomposition en
série de Fourier pour les signaux non périodiques.
En effet, la passage d’un signal périodique à un autre apériodique
peut se faire en considérant une période qui tend vers l’infini.
Transformée de Fourier
12. TF x(t)
{ }= X f
( )= x t
( )e- j2p ft
-¥
+¥
ò dt
x t
( )=TF-1
X f
( )
{ }= X f
( )ej×2p ft
-¥
+¥
ò df
Transformée de Fourier :
Transformée de Fourier inverse :
Transformée de Fourier
13. Linéarité :
f
Y
.
b
f
X
.
a
t
y
.
b
t
x
.
a F
Homothétie :
R
avec
1
a
a
f
X
a
at
x F
Propriétés :
Transformée de Fourier
14. Décalage en temps et en fréquence :
Dérivation :
x t -t0
( ) F
¬ ®
¾ X f
( ).e- j2p ft0
et
x t
( ).ej2p f0t F
¬ ®
¾ X f - f0
( )
f
X
f
j
dt
t
x
d
f
X
.
f
j
dt
t
dx n
F
n
n
F
2
et
2
Propriétés :
Transformée de Fourier
15. Produit de convolution :
d
t
y
x
t
y
x
t
y
t
x
)
)(
*
(
)
(
*
)
(
f
Y
t
y
f
X
t
x F
F
et
f
Y
*
f
X
t
y
.
t
x
f
Y
.
f
X
t
y
*
t
x
F
F
et
Propriétés :
Transformée de Fourier
16. Transformée de Fourier & Systèmes :
Un SLTI est caractérisé par sa réponse impulsionnelle h(t)
La transformée de Fourier de h(t) donne la réponse en fréquence du système H(f)
et inversement.
h(t)
x(t) y(t)=x(t)*h(t)
H(f)
X(f) Y(f)=X(f) . H(f)
TF TF TF
Transformée de Fourier
17. Théorème de Parseval :
Propriétés :
Transformée de Fourier
E = x2
(t)dt
-¥
+¥
ò = X(f )
2
df
-¥
+¥
ò
Densité Spectrale d ’Energie
18. )
f
(
TF
1
d(t) TF
¾ ®
¾ 1
f
t
j
TF
e
)
t
t
( 0
2
0
=
)
f
f
(
e TF
t
f
j
0
2 0
)
f
f
(
)
f
f
(
)
t
f
cos( TF
0
0
0
2
1
2
)
f
f
(
)
f
f
(
j
)
t
f
sin( TF
0
0
0
2
1
2
dTe
(t) TF
¾ ®
¾
1
Te
d( f -
n
Te
)
-¥
+¥
å
Distribution de Dirac :
Transformée de Fourier
20. • Échantillonnage idéal
• Transformée de Fourier
périodisation en fréquence
xe(t) = x(t)dT (t) = x(t) d(t -kT)= x[kT]d(t -kT)
k=-¥
+¥
å
k=-¥
+¥
å
X f
T
X f f
T
X f
k
T
e
T k
( ) ( )* ( ) ( )
1 1
1
Échantillonnage temporel <=> périodisation en fréquence
Transformée de Fourier
21. Analyse spectrale
La transformée de Fourier est l’outil mathématique permettant d’obtenir une
représentation fréquentielle des signaux déterministes.
Elle a pour but de représenter, l’amplitude, la phase, l’énergie ou la puissance
d’un signal en fonction de sa fréquence notée f et permet ainsi son
analyse spectrale ou harmonique.
Remarque : la transformée de Fourier permet d’analyse un signal sous forme
d’une infinité de composantes sinusoïdales.
22. • Forme exponentielle du développement en série de Fourier d’un signal
périodique xT(t) de période T :
o cn.exp(jnωt) est l’harmonique d’ordre n du signal xT(t)
o l’harmonique d’ordre1 est appelé le fondamental
o l’harmonique d’ordre 0 correspond à la valeur moyenne du signal xT(t).
22
Analyse spectrale
Signaux périodiques
fo =
1
T
xT t
( )= cn
n=-¥
+¥
å e
j2p nfot
( )
23. • Transformée de Fourier XT(f) d’un signal périodique xT(t) de période T :
• Le spectre d’un signal périodique est donc un spectre de raies puisque
c’est la
somme d’impulsions de Dirac décalées de 1/T de poids pondérés par les
coefficients cn appelés composantes du spectre.
Si X(f) est la transformée de Fourier du motif x(t) de xT(t), alors :
• X(f) est appelée l’enveloppe complexe de XT(f) 23
Analyse spectrale
Signaux périodiques
XT ( f )= cnd( f -
n
T
)
n=-¥
+¥
å
cn =
1
T
X(
n
T
)
24. • Forme réelle du développement en série de Fourier d’un signal périodique
xT(t) de période T :
Les coefficients an et bn sont les coefficients réels de la série de Fourier ou
coefficients de Fourier trigonométriques.
- ancos(nωt)+bnsin(nωt) est l’harmonique d’ordre n du signal xT(t).
- l’harmonique d’ordre 1 correspond au fondamental
- l’harmonique d’ordre 0, a0 est la composante continue qui correspond à la
valeur moyenne du signal xT(t).
24
Analyse spectrale
Signaux périodiques
xT t
( )= a0 + an
n=1
+¥
å cos 2p nf0t
( )+ bn
n=1
+¥
å sin 2p nf0t
( )
25. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1
-0.5
0
0.5
1
temps (sec)
amplitude
Représentation en temps
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
fréquence (Hz)
amplitude
Représentation en fréquence
Représentation des signaux
Exemples
26. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
fréquence (Hz)
amplitude
Représentation en fréquence
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1
-0.5
0
0.5
1
temps (sec)
amplitude
Représentation en temps
Représentation des signaux
Exemples
27. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1
-0.5
0
0.5
1
temps (sec)
amplitude
Représentation en temps
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
fréquence (Hz)
amplitude
Représentation en fréquence
0 5 10 15 20 25 30
Représentation des signaux
Exemples
28. -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0
0.5
1
temps (msec)
amplitude
Représentation en temps
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
fréquence (MHz)
amplitude
Représentation en fréquence
Représentation des signaux
Exemples
29. On appelle produit de convolution entre deux fonctions x(t) et h(t),
l’opération * (notée également ) définie par :
(x*h)(t) = x(t)*h(t) = x(t)Ä h(t)
= x(t).h(t -t).dt
-¥
+¥
ò = x(t -t).h(t).dt
-¥
+¥
ò
Produit de convolution
30. Propriétés :
• Le produit de convolution est :
o commutatif: x(t)*h(t)=h(t)*x(t)
o distributif : x(t)*[h(t)+g(t)]=x(t)*h(t)+x(t)*g(t)
o associatif: x(t)*[h(t)*g(t)]=[x(t)*h(t)]*g
• Élément neutre : x(t)*(t) = x(t)
Produit de convolution
31. Expression simplifiée :
Si x(t) et h(t) sont causaux,
Alors :
x t
( ) = 0 "t < 0
h t -t
( ) = 0 "t > t
ì
í
ï
î
ï
t
d
t
h
x
t
h
x
0
)
(
)
(
*
Produit de convolution
32. La convolution est une opération fondamentale de traitement du
signal.
Elle indique que la réponse d'un SL à l’instant t est la somme
(intégrale) pondérée des valeurs antérieures de l'excitation x(t).
La fonction de pondération est la réponse impulsionnelle h(t) du SL.
Produit de convolution
Réponse d’un système linéaire :
33. Considérons l’exemple de x(t) et h(t) ci-dessous :
x(t)
t
h(t)
t
Produit de convolution
Interprétation graphique
34. h()
h(-)
h(t-)
t
Remarque : le signal h(t-) est tout simplement
le signal initial h(), retourné dans le temps
pour obtenir h(-) puis translaté de t .
Produit de convolution
Interprétation graphique
35. Interprétation graphique
x().h(t-)
t
h(t-)
La surface hachurée représente :
d
t
h
x
t
h
x ).
(
).
(
)
)(
*
(
Remarque : quand t varie de - ∝ à + ∝, on obtient la fonction y(t),
convolution de x(t) et h(t). En pratique les fonctions sont non
nulles sur un support fini, donc l’intégrale a des bornes finies.
Produit de convolution
x()
36. Domaine
temporel
Domaine
fréquentiel
Variable : t Variable : f
Convolution Produit
e(t) → s(t) = ? E(f) → S(f) = ?
T. de Fourier
1
Calculer
:
S(f)
=
?
2
TF inverse
3
Le calcul du produit de convolution se fait en 3 étapes
Produit de convolution
37. Interprétation graphique
x().h(t-)
t
h(t-)
La surface hachurée représente :
d
t
h
x
t
h
x ).
(
).
(
)
)(
*
(
Remarque : quand t varie de - ∝ à + ∝, on obtient la fonction y(t),
convolution de x(t) et h(t). En pratique les fonctions sont non
nulles sur un support fini, donc l’intégrale a des bornes finies.
Produit de convolution
x()