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CHAPITRE 4
LA TRANSFORMÉE DE FOURIER
4.1 Fonctions localement intégrables
Soit I un intervalle de R et soit f : R −→ R une application.
Définition 4.1.1
On dit que f est localement intégrable sur I si f est intégrable sur tout intervalle fermé borné contenu
dans I.
C’est à dire, f est localement intégrable sur I, si quelque soit [a, b] ⊂ I, alors
b
a
f(x)dx existe.
Remarque 4.1.1
Il est clair que toutes les fonctions continues sont localement intégrables.
On note par Loc(I, R) = {f : I −→ R : f localement intégrable}.
On a alors C(I, R) ⊂ Loc(I, R) et l’inclusion est stricte. Comme exemple la fonction f(x) = [x], (partie
entière de x) est localement intégrable mais non continue.
Proposition 4.1.1
L’ensemble Loc(I, R) est un sous-espace vectoriel de F (I, R), (espace de toutes les fonctions définies
de I dans R).
4.2 L’intégrale de Fourier
Pour conclure l’étude de la théorie des séries de Fourier, on examinera le cas limite où
l’intervalle ]− ℓ, ℓ[, dans lequel on étudie la série de Fourier , tend vers ]− ∞, ∞[, c’est à dire
lorsque ℓ −−−→ ∞.
Soit f : R → R une fonction localement intégrable sur R et telle que I =
∞
−∞
| f(t)|dt converge.
On suppose que f satisfait aux conditions de Dirichlet et admet un développement en série
de Fourier dans l’intervalle [−ℓ, ℓ], ℓ > 0. Donc il existe une fonction g : R → R périodique,
de période T = 2ℓ =
2π
ω
, vérifiant les hypothèses de Dirichlet (donc développable en série
de Fourier) telle que la restriction g|[−ℓ,ℓ]
= f.
61
LA TRANSFORMÉE DE FOURIER
Alors pour tout x ∈ [−ℓ, ℓ] on a :
(a) f(x) =
a0
2
+
∞
n=1
an cos(nωx)+bn sin(nωx) =
a0
2
+
∞
n=1
an cos
nπ
ℓ
x + bn sin
nπ
ℓ
x
(b) an =
ω
π
π/ω
−π/ω
f(x) cos(nωx)dx =
1
ℓ
ℓ
−ℓ
f(x) cos
nπ
ℓ
x dx
(c) bn =
ω
π
π/ω
−π/ω
f(x) sin(nωx)dx =
1
ℓ
ℓ
−ℓ
f(x) sin
nπ
ℓ
x dx
En remplaçant les quantités (b) et (c) dans (a), on a :
f(x) =
1
2ℓ
ℓ
−ℓ
f(x)dx +
1
ℓ


∞
n=1
ℓ
−ℓ
f(t) cos
nπ
ℓ
t cos
nπ
ℓ
x + sin
nπ
ℓ
t sin
nπ
ℓ
x dt

 =
1
2ℓ
ℓ
−ℓ
f(x)dx +
1
ℓ
∞
n=1
ℓ
−ℓ
f(t) cos
nπ
ℓ
(t − x) dt (1)
Nous allons étudier cette dernière intégrale quand ℓ → ∞.
Posons α1 =
π
ℓ
, α2 =
2π
ℓ
, . . . , αn =
nπ
ℓ
et ∆αn = αn − αn−1 =
π
ℓ
.
En reportant dans l’expression (1) ci-dessus, on obtient :
f(x) =
1
2ℓ
+ℓ
−ℓ
f(t)dt +
1
π


∞
n=1
ℓ
−ℓ
f(t) cos αn(t − x)dt

 ∆αn
Posons ϕ(αn) =
+ℓ
−ℓ
f(t) cos (αn(t − x)) dt. Il résulte de cela
n−1
k=1
ϕ(αk)∆αk =
n−1
k=1
ℓ
−ℓ
f(t) cos(αk(t − x)dt)∆αk
Par conséquent
lim
n→∞
n−1
k=1
ϕ(αk)∆αk =
∞
π/ℓ
ϕ(α)dα (l’intégrale de Riemann.)
Donc lim
n→∞
1
π
n−1
k=1
ϕ(αk)∆αk = lim
n→∞


1
π
n−1
k=1
ℓ
−ℓ
f(t) cos(αk(t − x))dt) ∆αk

.
Ainsi
1
π
∞
π/ℓ
ϕ(α)dα =
1
π
∞
π/ℓ
ℓ
−ℓ
f(t) cos(α(t − x))dt dα.
Comme
lim
ℓ→∞
1
π
∞
π/ℓ
ϕ(α)dα =
1
π
∞
0
ϕ(α)dα
lim
ℓ→∞
1
π
∞
π/ℓ
ℓ
−ℓ
f(t) cos(α(t − x))dt dα =
1
π
∞
0
∞
−∞
f(t) cos(α(t − x))dt dα.
On a finalement la relation pour f continue :
f(x) =
1
π
∞
0
∞
−∞
f(t) cos(α(t − x))dt dα
M er
A  N -E  62
4.2 L’intégrale de Fourier
Cette dernière expression est appelée intégrale de Fourier. Cette égalité a lieu en tout point
x où f est continue.
Si f possède des discontinuités, on a la formule valable pour tout x :
1
π
∞
0
∞
−∞
f(t) cos(α(t − x))dt dα =
f(x + 0) + f(x − 0)
2
Posons maintenant φ(α) =
∞
−∞
f(t) cos(α(t − x))dt. Il est clair que φ(−α) = φ(α) et donc φ est
paire et par suite
∞
0
φ(α)dα =
1
2
∞
−∞
φ(α)dα.
On a finalement :
L’intégrale de Fourier .
f(x) =
1
2π
∞
−∞
∞
−∞
f(t) cos(α(t − x)dt dα
4.2.1 forme complexe de l’intégrale de FOURIER
Posons ψ(α) =
∞
−∞
f(t) sin(α(t − x))dt.
ψestune fonction impaire etdoncpourtouta > 0,
a
−a
ψ(α)dα = 0 =
a
−a
∞
−∞
f(t) sin(α(t − x))dt dα.
Donc
lim
a→∞
a
−a
ψ(α)dα =
∞
−∞
∞
−∞
f(t) sin(α(t − x))dt dα = 0.
On dit dans ce cas que l’intégrale converge en valeur principale de Cauchy vers 0. Ceci
implique qu’on a aussi
−i
2π
∞
−∞
∞
−∞
f(t) sin(α(t − x))dt dα = 0 et donc ;
Forme complexe de l’intégrale de Fourier .
f(x) =
1
2π
∞
−∞
∞
−∞
f(t)e−iα(t−x)
dt dα.
Posons :
F(f)(α) = f(α) =
1
√
2π
∞
−∞
f(t)e−iαt
dt;
alors ∞
−∞
f(α)eiαx
dα =
1
√
2π
∞
−∞
∞
−∞
f(t)e−iα(t−x)
dt dα =
2πf(x)
√
2π
=
√
2πf(x).
On peut écrire généralement si f possède des discontinuités :
1
√
2π
∞
−∞
f(α)eiαx
dα =
f(x + 0) + f(x − 0)
2
Maintenant on peut définir la notion de transformée de Fourier.
63 M er
A  N -E 
LA TRANSFORMÉE DE FOURIER
4.3 Transformée de Fourier
Définition 4.3.1
Soit f : R → R une fonction localement intégrable et absolument intégrable sur R.
On définit la transformée de Fourier de f, la fonction notée f ou F(f) de R → C ; et sa
transformée inverse de C → R par :
Transformée de Fourier .
F(f)(α) = f(α) =
1
√
2π
∞
−∞
f(x)e−iαx
dx
Transformée inverse de Fourier.
f(x) =
1
√
2π
∞
−∞
f(α)eiαx
dα =
f(x + 0) + f(x − 0)
2
Exemple 4.3.1
Soit f(x) = e−|x|
.
f(α) =
1
√
2π
∞
−∞
e−|x|
e−iαx
dx =
1
√
2π
0
−∞
ex
e−iαx
dx +
∞
0
e−x
e−iαx
dx
=
1
√
2π
0
−∞
e(1−iα)x
dx +
∞
0
e−(1+iα)x
dx =
1
√
2π
1
1 + iα
+
1
1 − iα
=
1
√
2π
2
1 + α2
.
Puisque f est continue sur R, La transformaée inverse donne :
f(x) = e−|x|
=
1
√
2π
∞
−∞
f(α)eiαx
dα =
1
π
∞
−∞
1
1 + α2
eiαx
dα
=
1
π
∞
−∞
cos αx
1 + α2
dα +
i
π
∞
−∞
sin αx
1 + α2
dα =
2
π
∞
0
cos αx
1 + α2
dα + i.0 ;
d’où : ∞
0
cos αx
1 + α2
dα =
π
2
e−|x|
.
En particulier on a ;
∞
0
cos x
1 + x2
dx =
π
2 e
·
4.4 Propriétés
Lemme 4.4.1 (Riemann)
On pose IK = R ou C. Soit f : [a, b] → IK une fonction intégrable sur [a, b].
Alors les fonctions f(t) cos αt et f(t) sin αt sont intégrables dans [a, b] pour tout α
dans R et on a :
lim
α→±∞
b
a
f(t) cos αt dt = lim
α→±∞
b
a
f(t) sin αt dt = 0
M er
A  N -E  64
4.4 Propriétés
Preuve.
f intégrable sur [a, b] implique que pour tout ε > 0,
il existe une subdivision de [a, b] a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b
et une fonction en escalier,
g : [a, b] → R telles que | f(t) − g(t)| <
ε
2(b − a)
.
b
a
(f(t) − g(t)) cos αtdt ≤
b
a
| f(t) − g(t)|| cos αt|dt ≤
ε
2(b − a)
b
a
dt =
ε
2
.
Or, dans chaque intervalle ]xk, xk+1[, la fonction g est constante et vaut g|]xk,xk+1[
(t) = ck.
On a alors,
b
a
g(t) cos αt dt =
n−1
k=0
xk+1
xk
g(t) cos αt dt =
n−1
k=0
ck
xk+1
xk
cos αt dt
=
n−1
k=0
ck
sin αt
α
xk+1
xk
=
1
α
n−1
k=0
ck(sin αxk+1 − sin αxk)−−−−−−→
α−→±∞
0.
Et par suite,
lim
α→±∞
b
a
f(t) cos αt dt = 0.
Raisonnement identique pour la deuxième intégrale.
Théorème 4.4.1
Soit f : R → C une fonction localement intégrable et absolument intégrable
sur R. Alors
1. f(α) =
1
√
2π
∞
−∞
f(x)e−iαx
dx est normalement convergente.
2. f est bornée.
3. lim
α→± ∞
f(α) = 0
Preuve.
1. C’est immédiat car | f(x)e−iαx
| = | f(x)| qui est intégrable sur R par hypothèse.
2. | f(α)| ≤
1
√
2π
∞
−∞
| f(x)e−iαx
| dx =
∞
−∞
| f(x)| dx = M.
3. Posons I(a) =
1
√
2π
a
−a
| f(x)| dx.
lim
a→∞
I(a) =
1
√
2π
∞
−∞
| f(x)| dx = I existe.
Soit ε > 0. Il existe alors b > 0 tel que |I − I(b)| = I − I(b) ≤
ε
2
.
| f(α)| =
1
√
2π
∞
−∞
f(x)e−iαx
dt =
1
√
2π
−b
−∞
f(x)e−iαx
dx +
1
√
2π
b
−b
f(x)e−iαx
dx +
1
√
2π
∞
b
f(x)e−iαx
dx ≤
1
√
2π
−b
−∞
| f(x)| dx +
1
√
2π
b
−b
f(x)e−iαx
dx +
1
√
2π
∞
b
| f(x)| dx.
65 M er
A  N -E 
LA TRANSFORMÉE DE FOURIER
Donc | f(α)| ≤ I − I(b) +
1
√
2π
b
−b
f(x)e−iαx
dx .
Comme la fonction f(x)e−iαx
est localement intégrable, d’après le lemme de Riemann (4.4.1),
lim
α→±∞
b
−b
f(x)e−iαx
dx = 0.
Il existe alors M > 0, tel que pour tout |α| ≥ M, on a
1
√
2π
b
−b
f(x)e−iαx
dx ≤
ε
2
.
Il résulte que pour tout |α| ≥ M, | f(α)| ≤
ε
2
+
ε
2
= ε, ce qui traduit le fait que lim
α→±∞
f(α) = 0.
Notations.
• K = f : R → C : f ∈ Loc(R) et
∞
−∞
| f(t)|dt < ∞ .
• B = f : R → C : lim
x→±∞
f(x) = 0 .
• D : opérateur de dérivation définie sur l’ensemble des fonction dérivables D(R, C)
par D f = f′
.
• P : opérateur défini dans l’ensemble des fonctions B(R, C) par (P f)(x) = x f(x).
• f(α) = F(f(x))(α)
Théorème 4.4.2 [Dérivée de la transformée de Fourier]
Soit f : R → C une fonction satisfaisant aux conditions suivantes :
i) f ∈ K
ii) f continue
iii) P f ∈ K
Alors f ∈ C1
(R, C) (fonctions continûment dérivables) et on a :
F′
(f(x))(α) = −iF(x f(x))(α)
Preuve.
Soit la fonction ϕ : R × R → C définie par ϕ(t, x) = f(t)e−itx
.
ϕ possède les propriétés suivantes :
a) ϕ est continue comme produit de deux fonctions continues
b)
∂ϕ
∂x
(t, x) = −itf(t)e−itx
= −itϕ(t, x) est continue
c) L’intégrale
∞
−∞
ϕ(t, x)dt est normalement convergente car |ϕ(t, x)| = | f(t)| et f ∈ K
d)
∞
−∞
∂ϕ
∂x
(t, x)dt est normalement convergente car
∂ϕ
∂x
(t, x) = |tf(t)| = |(P f)(t)| et P f ∈ K
Pour ces raisonsf(x) =
1
√
2π
∞
∞−
ϕ(t, x)dt est dérivable dans R et on a :
(f)′
(x) = (D f)(x) =
1
√
2π
∞
∞−
∂ϕ
∂x
(t, x)dt =
−i
√
2π
∞
−∞
[tf(t, x)]e−itx
dt
M er
A  N -E  66
4.5 Quelques propriétés de la transformation de Fourier
Ce qui se traduit par (D f)(x) = −i(P f)(x) ou i(D f)(x) = (P f(x) en multipliant par i chaque
membre.
Théorème 4.4.3 [Transformée de Fourier de la dérivée]
Soit f : R → C une fonction satisfaisant aux conditions suivantes :
1. f ∈ K
2. f ∈ C1
(R)
3. D f ∈ K
Alors f ∈ B et
F(f′
(x))(α) = iαF(f(x))(α)
Preuve.
1) Pour tout x ∈ R on a f(x) = f(0) +
x
0
f′
(t)dt. Puisque D f ∈ K , l’intégrale
∞
−∞
| f′
(t)|dt est
convergente et par suite
∞
−∞
f′
(t)dt converge. D’où lim
x→∞
f(x) = ℓ existe. Montrons que ℓ = 0.
Pour cela, on fait un raisonnement par l’absurde. Supposons que ℓ 0.
a) Supposons ℓ > 0.
lim
x→∞
f(x) = ℓ. Par définition de la limite, pour tout ε > 0 il existe M ≥ 0 tel que pour tout
x ≥ M on a : ℓ − ε < f(x) < ℓ + ε. Choisissons ε tel que ℓ − ε > 0. Il résulte alors que f(x) > 0
pour tout x ≥ M. Donc
a
M
(ℓ − ε)dx ≤
a
M
f(x)dx ≤
a
M
(ℓ + ε)dx puis lorsqu’on fait tendre
a → ∞, on obtient
∞
M
f(x)dx ≥ ∞ et par conséquent
∞
M
f(x)dx diverge. Il en est de même
pour
∞
0
f(x)dx =
M
0
f(x)dx +
∞
M
f(x)dx. D’où contraction car f ∈ K .
b) Supposons que ℓ < 0.
On prend (− f) et on adopte le même raisonnement. Conclusion ℓ = 0.
Exercice.
En s’inspirant de cette démonstration, montrer que lim
x→−∞
f(x) = 0.
2) i(P f)(x) = ix f(x) =
ix
√
2π
∞
−∞
f(x)e−iαx
dx =
1
√
2π
∞
−∞
ix f(x)e−iαx
dx.
Une intégration par parties avec u = f et dv = ixe−itx
dt, on obtient :
i(P f)(x) =
1
√
2π
−e−itx
f(t)
∞
−∞
+
∞
−∞
f′
(t)e−itx
dt =
1
√
2π
∞
−∞
f′
(t)e−itx
dt = (D f)(x).
4.5 Quelques propriétés de la transformation de Fourier
Adoptons la notation f = F(f).
4.5.1 Linéarité
Soient f, g ∈ K et α, β ∈ R. Alors F(αf + βg)(x) = αF(f)(x) + βF(g)(x).
La démonstration de cette propriété est simple.
67 M er
A  N -E 
LA TRANSFORMÉE DE FOURIER
4.5.2 Transformée de Fourier de la translation.
Soit T ∈ R et soit f : R → C une application. On note fT(x) = f(x − T).
Si f ∈ K .
F(fT)(α) =
1
√
2π
∞
−∞
fT(x)e−iαx
dx =
1
√
2π
∞
−∞
f(x − T)e−iαx
dx. On pose x − T = t.
Alors F(fT)(α) =
1
√
2π
∞
−∞
f(t)e−i(t+T)α
dt =
1
√
2π
∞
−∞
f(t)e−iαt
e−iαT
dt =
e−iαT
√
2π
∞
−∞
f(t)e−iαt
dt.
Donc F(fT)(α) = e−iαT
F(f)(α).
4.5.3 Transformée de Fourier de l’homothétie
Soit k > 0 et soit f : R → C. On note fk(x) = f(kx).
Si f ∈ K ,
F(fk)(α) =
1
√
2π
∞
−∞
fk(x)e−ixα
dx =
1
√
2π
∞
−∞
f(kx)e−ixα
dx.
En posant kx = t, on obtient :
F(fk)(α) =
1
√
2π
∞
−∞
f(t)e−iα (t/k) dt
k
=
1
k
1
√
2π
∞
−∞
f(t)e−it (α/k)dt =
1
k
F(f)
α
k
.
4.5.4 Produit de convolution
Problème : Étant données deux fonctions f et g et leurs transformées de Fourier F(f)(α)
et F(g)(α), peut-on trouver une fonction k telle que
F(k)(α) = F(f)(α) · F(g)(α)?
Solution
On a
F(f)(α) · F(g)(α) =
1
√
2π
∞
−∞
f(x)e−iαx
dx ·
1
√
2π
∞
−∞
g(y)e−iαy
dy
=
1
2π
∞
−∞
∞
−∞
f(x)g(y)e−iα(x+y)
dxdy
Posons : x + y = t et donc dy = dt, l’intégrale double devient :
F(f)(α) · F(g)(α) =
1
2π
∞
−∞
∞
−∞
f(x)g(t − x)e−iαt
dxdt
Posons : h(t) =
∞
−∞
f(x)g(t − x) dx, on a donc :
F(f)(α) · F(g)(α) =
1
2π
∞
−∞
h(t)e−iαt
dt
=
1
√
2π
1
√
2π
∞
−∞
h(t)e−iαt
dt
=
1
√
2π
F(h)(α)
M er
A  N -E  68
4.6 « Sinus et Cosinus-transformées »de Fourier
En posant k(t) =
1
√
2π
h(t), la fonction k est solution du problème posée.
Définition 4.5.1
Soit f, g : R → R deux fonctions intégrables sur R. On appelle produit de convolution de f
par g, la fonction notée f ⋆ g : R → R définie par (f ⋆ g)(t) =
∞
−∞
f(t − x)g(x)dx
Proposition 4.5.1
Le produit de convolution est commutatif ; et on a :
F(f ⋆ g)(α) =
√
2πF(f)(α)F(g)(α)
Preuve :
La preuve découle directement de la définition ; puisque :
∀α ∈ R F(f)(α) · F(g)(α) = F(g)(α) · F(f)(α)
Exercice 1
Démontrer la commutativité directement à partir de la définition intégrale.
En effet dans l’intégrale (f ⋆ g)(t) =
∞
−∞
f(t − x)g(x)dx, on fait le changement de variable
en posant t − x = y. On obtient :
(f ⋆ g)(t) = −
−∞
∞
f(y)g(t − y)dy =
∞
−∞
g(t − y)f(y)dy = (g ⋆ f)(t).
Théorème 4.5.1 [Égalité de Parseval]
Soit f : R → C admettant une transformée de Fourier F(f).
Alors on a ∞
−∞
F(f)(α)
2
dα =
∞
−∞
f(t)
2
dt
4.6 « Sinus et Cosinus-transformées »de Fourier
Définition 4.6.1
Soit f : R → R une fonction absolument intégrable sur R.
1. On appelle cosinus-transformée de Fourier de f, la fonction :
fc(α) =
2
π
∞
0
f(x) cos(αx) dx
L’expression
f(x) =
2
π
∞
0
fc(α) cos(αx) dα
est appelée inverse de cosinus-transformée de Fourier de f.
69 M er
A  N -E 
LA TRANSFORMÉE DE FOURIER
2. On appelle sinus-transformée de Fourier de f, la fonction :
fs(α) =
2
π
∞
0
f(x) sin(αx) dx
L’expression
f(x) =
2
π
∞
0
fs(α) sin(αx) dα
est appelée inverse de sinus-transformée de Fourier de f.
Remarque 4.6.1
Soit f : R → R une fonction admettant une transformée de Fourier f.
a) Si f est paire.
f(α) =
1
√
2π
∞
−∞
f(x)e−iαx
dx =
1
√
2π
∞
−∞
f(x) cos(αx) − i sin(αx) dx
=
1
√
2π
∞
−∞
f(x) cos(αx) dx −
i
√
2π
∞
−∞
f(x) sin(αx) dx.
Or la fonction x → f(x) cos(αx) est paire et la fonction t → f(x) sin(αx) est impaire. Il
s’ensuit alors :
f(α) =
2
π
∞
0
f(x) cos(αx) dx car
∞
−∞
f(x) sin(αx) dx = 0. D’où :
f(α) = fc(α) =
2
π
∞
0
f(x) cos(αx) dx
b) Si f est impaire.
Avec le même raisonnement on obtient l’expression :
f(α) =
1
√
2π
∞
−∞
f(x)e−iαx
dx = −i
2
π
∞
0
f(x) sin(αx) dx. D’où :
f(α) = −i
2
π
∞
0
f(x) sin(αx) dx = −i fs(α).
fs(α) = i f(α).
M er
A  N -E  70

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Cours fourier

  • 1. CHAPITRE 4 LA TRANSFORMÉE DE FOURIER 4.1 Fonctions localement intégrables Soit I un intervalle de R et soit f : R −→ R une application. Définition 4.1.1 On dit que f est localement intégrable sur I si f est intégrable sur tout intervalle fermé borné contenu dans I. C’est à dire, f est localement intégrable sur I, si quelque soit [a, b] ⊂ I, alors b a f(x)dx existe. Remarque 4.1.1 Il est clair que toutes les fonctions continues sont localement intégrables. On note par Loc(I, R) = {f : I −→ R : f localement intégrable}. On a alors C(I, R) ⊂ Loc(I, R) et l’inclusion est stricte. Comme exemple la fonction f(x) = [x], (partie entière de x) est localement intégrable mais non continue. Proposition 4.1.1 L’ensemble Loc(I, R) est un sous-espace vectoriel de F (I, R), (espace de toutes les fonctions définies de I dans R). 4.2 L’intégrale de Fourier Pour conclure l’étude de la théorie des séries de Fourier, on examinera le cas limite où l’intervalle ]− ℓ, ℓ[, dans lequel on étudie la série de Fourier , tend vers ]− ∞, ∞[, c’est à dire lorsque ℓ −−−→ ∞. Soit f : R → R une fonction localement intégrable sur R et telle que I = ∞ −∞ | f(t)|dt converge. On suppose que f satisfait aux conditions de Dirichlet et admet un développement en série de Fourier dans l’intervalle [−ℓ, ℓ], ℓ > 0. Donc il existe une fonction g : R → R périodique, de période T = 2ℓ = 2π ω , vérifiant les hypothèses de Dirichlet (donc développable en série de Fourier) telle que la restriction g|[−ℓ,ℓ] = f. 61
  • 2. LA TRANSFORMÉE DE FOURIER Alors pour tout x ∈ [−ℓ, ℓ] on a : (a) f(x) = a0 2 + ∞ n=1 an cos(nωx)+bn sin(nωx) = a0 2 + ∞ n=1 an cos nπ ℓ x + bn sin nπ ℓ x (b) an = ω π π/ω −π/ω f(x) cos(nωx)dx = 1 ℓ ℓ −ℓ f(x) cos nπ ℓ x dx (c) bn = ω π π/ω −π/ω f(x) sin(nωx)dx = 1 ℓ ℓ −ℓ f(x) sin nπ ℓ x dx En remplaçant les quantités (b) et (c) dans (a), on a : f(x) = 1 2ℓ ℓ −ℓ f(x)dx + 1 ℓ   ∞ n=1 ℓ −ℓ f(t) cos nπ ℓ t cos nπ ℓ x + sin nπ ℓ t sin nπ ℓ x dt   = 1 2ℓ ℓ −ℓ f(x)dx + 1 ℓ ∞ n=1 ℓ −ℓ f(t) cos nπ ℓ (t − x) dt (1) Nous allons étudier cette dernière intégrale quand ℓ → ∞. Posons α1 = π ℓ , α2 = 2π ℓ , . . . , αn = nπ ℓ et ∆αn = αn − αn−1 = π ℓ . En reportant dans l’expression (1) ci-dessus, on obtient : f(x) = 1 2ℓ +ℓ −ℓ f(t)dt + 1 π   ∞ n=1 ℓ −ℓ f(t) cos αn(t − x)dt   ∆αn Posons ϕ(αn) = +ℓ −ℓ f(t) cos (αn(t − x)) dt. Il résulte de cela n−1 k=1 ϕ(αk)∆αk = n−1 k=1 ℓ −ℓ f(t) cos(αk(t − x)dt)∆αk Par conséquent lim n→∞ n−1 k=1 ϕ(αk)∆αk = ∞ π/ℓ ϕ(α)dα (l’intégrale de Riemann.) Donc lim n→∞ 1 π n−1 k=1 ϕ(αk)∆αk = lim n→∞   1 π n−1 k=1 ℓ −ℓ f(t) cos(αk(t − x))dt) ∆αk  . Ainsi 1 π ∞ π/ℓ ϕ(α)dα = 1 π ∞ π/ℓ ℓ −ℓ f(t) cos(α(t − x))dt dα. Comme lim ℓ→∞ 1 π ∞ π/ℓ ϕ(α)dα = 1 π ∞ 0 ϕ(α)dα lim ℓ→∞ 1 π ∞ π/ℓ ℓ −ℓ f(t) cos(α(t − x))dt dα = 1 π ∞ 0 ∞ −∞ f(t) cos(α(t − x))dt dα. On a finalement la relation pour f continue : f(x) = 1 π ∞ 0 ∞ −∞ f(t) cos(α(t − x))dt dα M er A  N -E  62
  • 3. 4.2 L’intégrale de Fourier Cette dernière expression est appelée intégrale de Fourier. Cette égalité a lieu en tout point x où f est continue. Si f possède des discontinuités, on a la formule valable pour tout x : 1 π ∞ 0 ∞ −∞ f(t) cos(α(t − x))dt dα = f(x + 0) + f(x − 0) 2 Posons maintenant φ(α) = ∞ −∞ f(t) cos(α(t − x))dt. Il est clair que φ(−α) = φ(α) et donc φ est paire et par suite ∞ 0 φ(α)dα = 1 2 ∞ −∞ φ(α)dα. On a finalement : L’intégrale de Fourier . f(x) = 1 2π ∞ −∞ ∞ −∞ f(t) cos(α(t − x)dt dα 4.2.1 forme complexe de l’intégrale de FOURIER Posons ψ(α) = ∞ −∞ f(t) sin(α(t − x))dt. ψestune fonction impaire etdoncpourtouta > 0, a −a ψ(α)dα = 0 = a −a ∞ −∞ f(t) sin(α(t − x))dt dα. Donc lim a→∞ a −a ψ(α)dα = ∞ −∞ ∞ −∞ f(t) sin(α(t − x))dt dα = 0. On dit dans ce cas que l’intégrale converge en valeur principale de Cauchy vers 0. Ceci implique qu’on a aussi −i 2π ∞ −∞ ∞ −∞ f(t) sin(α(t − x))dt dα = 0 et donc ; Forme complexe de l’intégrale de Fourier . f(x) = 1 2π ∞ −∞ ∞ −∞ f(t)e−iα(t−x) dt dα. Posons : F(f)(α) = f(α) = 1 √ 2π ∞ −∞ f(t)e−iαt dt; alors ∞ −∞ f(α)eiαx dα = 1 √ 2π ∞ −∞ ∞ −∞ f(t)e−iα(t−x) dt dα = 2πf(x) √ 2π = √ 2πf(x). On peut écrire généralement si f possède des discontinuités : 1 √ 2π ∞ −∞ f(α)eiαx dα = f(x + 0) + f(x − 0) 2 Maintenant on peut définir la notion de transformée de Fourier. 63 M er A  N -E 
  • 4. LA TRANSFORMÉE DE FOURIER 4.3 Transformée de Fourier Définition 4.3.1 Soit f : R → R une fonction localement intégrable et absolument intégrable sur R. On définit la transformée de Fourier de f, la fonction notée f ou F(f) de R → C ; et sa transformée inverse de C → R par : Transformée de Fourier . F(f)(α) = f(α) = 1 √ 2π ∞ −∞ f(x)e−iαx dx Transformée inverse de Fourier. f(x) = 1 √ 2π ∞ −∞ f(α)eiαx dα = f(x + 0) + f(x − 0) 2 Exemple 4.3.1 Soit f(x) = e−|x| . f(α) = 1 √ 2π ∞ −∞ e−|x| e−iαx dx = 1 √ 2π 0 −∞ ex e−iαx dx + ∞ 0 e−x e−iαx dx = 1 √ 2π 0 −∞ e(1−iα)x dx + ∞ 0 e−(1+iα)x dx = 1 √ 2π 1 1 + iα + 1 1 − iα = 1 √ 2π 2 1 + α2 . Puisque f est continue sur R, La transformaée inverse donne : f(x) = e−|x| = 1 √ 2π ∞ −∞ f(α)eiαx dα = 1 π ∞ −∞ 1 1 + α2 eiαx dα = 1 π ∞ −∞ cos αx 1 + α2 dα + i π ∞ −∞ sin αx 1 + α2 dα = 2 π ∞ 0 cos αx 1 + α2 dα + i.0 ; d’où : ∞ 0 cos αx 1 + α2 dα = π 2 e−|x| . En particulier on a ; ∞ 0 cos x 1 + x2 dx = π 2 e · 4.4 Propriétés Lemme 4.4.1 (Riemann) On pose IK = R ou C. Soit f : [a, b] → IK une fonction intégrable sur [a, b]. Alors les fonctions f(t) cos αt et f(t) sin αt sont intégrables dans [a, b] pour tout α dans R et on a : lim α→±∞ b a f(t) cos αt dt = lim α→±∞ b a f(t) sin αt dt = 0 M er A  N -E  64
  • 5. 4.4 Propriétés Preuve. f intégrable sur [a, b] implique que pour tout ε > 0, il existe une subdivision de [a, b] a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b et une fonction en escalier, g : [a, b] → R telles que | f(t) − g(t)| < ε 2(b − a) . b a (f(t) − g(t)) cos αtdt ≤ b a | f(t) − g(t)|| cos αt|dt ≤ ε 2(b − a) b a dt = ε 2 . Or, dans chaque intervalle ]xk, xk+1[, la fonction g est constante et vaut g|]xk,xk+1[ (t) = ck. On a alors, b a g(t) cos αt dt = n−1 k=0 xk+1 xk g(t) cos αt dt = n−1 k=0 ck xk+1 xk cos αt dt = n−1 k=0 ck sin αt α xk+1 xk = 1 α n−1 k=0 ck(sin αxk+1 − sin αxk)−−−−−−→ α−→±∞ 0. Et par suite, lim α→±∞ b a f(t) cos αt dt = 0. Raisonnement identique pour la deuxième intégrale. Théorème 4.4.1 Soit f : R → C une fonction localement intégrable et absolument intégrable sur R. Alors 1. f(α) = 1 √ 2π ∞ −∞ f(x)e−iαx dx est normalement convergente. 2. f est bornée. 3. lim α→± ∞ f(α) = 0 Preuve. 1. C’est immédiat car | f(x)e−iαx | = | f(x)| qui est intégrable sur R par hypothèse. 2. | f(α)| ≤ 1 √ 2π ∞ −∞ | f(x)e−iαx | dx = ∞ −∞ | f(x)| dx = M. 3. Posons I(a) = 1 √ 2π a −a | f(x)| dx. lim a→∞ I(a) = 1 √ 2π ∞ −∞ | f(x)| dx = I existe. Soit ε > 0. Il existe alors b > 0 tel que |I − I(b)| = I − I(b) ≤ ε 2 . | f(α)| = 1 √ 2π ∞ −∞ f(x)e−iαx dt = 1 √ 2π −b −∞ f(x)e−iαx dx + 1 √ 2π b −b f(x)e−iαx dx + 1 √ 2π ∞ b f(x)e−iαx dx ≤ 1 √ 2π −b −∞ | f(x)| dx + 1 √ 2π b −b f(x)e−iαx dx + 1 √ 2π ∞ b | f(x)| dx. 65 M er A  N -E 
  • 6. LA TRANSFORMÉE DE FOURIER Donc | f(α)| ≤ I − I(b) + 1 √ 2π b −b f(x)e−iαx dx . Comme la fonction f(x)e−iαx est localement intégrable, d’après le lemme de Riemann (4.4.1), lim α→±∞ b −b f(x)e−iαx dx = 0. Il existe alors M > 0, tel que pour tout |α| ≥ M, on a 1 √ 2π b −b f(x)e−iαx dx ≤ ε 2 . Il résulte que pour tout |α| ≥ M, | f(α)| ≤ ε 2 + ε 2 = ε, ce qui traduit le fait que lim α→±∞ f(α) = 0. Notations. • K = f : R → C : f ∈ Loc(R) et ∞ −∞ | f(t)|dt < ∞ . • B = f : R → C : lim x→±∞ f(x) = 0 . • D : opérateur de dérivation définie sur l’ensemble des fonction dérivables D(R, C) par D f = f′ . • P : opérateur défini dans l’ensemble des fonctions B(R, C) par (P f)(x) = x f(x). • f(α) = F(f(x))(α) Théorème 4.4.2 [Dérivée de la transformée de Fourier] Soit f : R → C une fonction satisfaisant aux conditions suivantes : i) f ∈ K ii) f continue iii) P f ∈ K Alors f ∈ C1 (R, C) (fonctions continûment dérivables) et on a : F′ (f(x))(α) = −iF(x f(x))(α) Preuve. Soit la fonction ϕ : R × R → C définie par ϕ(t, x) = f(t)e−itx . ϕ possède les propriétés suivantes : a) ϕ est continue comme produit de deux fonctions continues b) ∂ϕ ∂x (t, x) = −itf(t)e−itx = −itϕ(t, x) est continue c) L’intégrale ∞ −∞ ϕ(t, x)dt est normalement convergente car |ϕ(t, x)| = | f(t)| et f ∈ K d) ∞ −∞ ∂ϕ ∂x (t, x)dt est normalement convergente car ∂ϕ ∂x (t, x) = |tf(t)| = |(P f)(t)| et P f ∈ K Pour ces raisonsf(x) = 1 √ 2π ∞ ∞− ϕ(t, x)dt est dérivable dans R et on a : (f)′ (x) = (D f)(x) = 1 √ 2π ∞ ∞− ∂ϕ ∂x (t, x)dt = −i √ 2π ∞ −∞ [tf(t, x)]e−itx dt M er A  N -E  66
  • 7. 4.5 Quelques propriétés de la transformation de Fourier Ce qui se traduit par (D f)(x) = −i(P f)(x) ou i(D f)(x) = (P f(x) en multipliant par i chaque membre. Théorème 4.4.3 [Transformée de Fourier de la dérivée] Soit f : R → C une fonction satisfaisant aux conditions suivantes : 1. f ∈ K 2. f ∈ C1 (R) 3. D f ∈ K Alors f ∈ B et F(f′ (x))(α) = iαF(f(x))(α) Preuve. 1) Pour tout x ∈ R on a f(x) = f(0) + x 0 f′ (t)dt. Puisque D f ∈ K , l’intégrale ∞ −∞ | f′ (t)|dt est convergente et par suite ∞ −∞ f′ (t)dt converge. D’où lim x→∞ f(x) = ℓ existe. Montrons que ℓ = 0. Pour cela, on fait un raisonnement par l’absurde. Supposons que ℓ 0. a) Supposons ℓ > 0. lim x→∞ f(x) = ℓ. Par définition de la limite, pour tout ε > 0 il existe M ≥ 0 tel que pour tout x ≥ M on a : ℓ − ε < f(x) < ℓ + ε. Choisissons ε tel que ℓ − ε > 0. Il résulte alors que f(x) > 0 pour tout x ≥ M. Donc a M (ℓ − ε)dx ≤ a M f(x)dx ≤ a M (ℓ + ε)dx puis lorsqu’on fait tendre a → ∞, on obtient ∞ M f(x)dx ≥ ∞ et par conséquent ∞ M f(x)dx diverge. Il en est de même pour ∞ 0 f(x)dx = M 0 f(x)dx + ∞ M f(x)dx. D’où contraction car f ∈ K . b) Supposons que ℓ < 0. On prend (− f) et on adopte le même raisonnement. Conclusion ℓ = 0. Exercice. En s’inspirant de cette démonstration, montrer que lim x→−∞ f(x) = 0. 2) i(P f)(x) = ix f(x) = ix √ 2π ∞ −∞ f(x)e−iαx dx = 1 √ 2π ∞ −∞ ix f(x)e−iαx dx. Une intégration par parties avec u = f et dv = ixe−itx dt, on obtient : i(P f)(x) = 1 √ 2π −e−itx f(t) ∞ −∞ + ∞ −∞ f′ (t)e−itx dt = 1 √ 2π ∞ −∞ f′ (t)e−itx dt = (D f)(x). 4.5 Quelques propriétés de la transformation de Fourier Adoptons la notation f = F(f). 4.5.1 Linéarité Soient f, g ∈ K et α, β ∈ R. Alors F(αf + βg)(x) = αF(f)(x) + βF(g)(x). La démonstration de cette propriété est simple. 67 M er A  N -E 
  • 8. LA TRANSFORMÉE DE FOURIER 4.5.2 Transformée de Fourier de la translation. Soit T ∈ R et soit f : R → C une application. On note fT(x) = f(x − T). Si f ∈ K . F(fT)(α) = 1 √ 2π ∞ −∞ fT(x)e−iαx dx = 1 √ 2π ∞ −∞ f(x − T)e−iαx dx. On pose x − T = t. Alors F(fT)(α) = 1 √ 2π ∞ −∞ f(t)e−i(t+T)α dt = 1 √ 2π ∞ −∞ f(t)e−iαt e−iαT dt = e−iαT √ 2π ∞ −∞ f(t)e−iαt dt. Donc F(fT)(α) = e−iαT F(f)(α). 4.5.3 Transformée de Fourier de l’homothétie Soit k > 0 et soit f : R → C. On note fk(x) = f(kx). Si f ∈ K , F(fk)(α) = 1 √ 2π ∞ −∞ fk(x)e−ixα dx = 1 √ 2π ∞ −∞ f(kx)e−ixα dx. En posant kx = t, on obtient : F(fk)(α) = 1 √ 2π ∞ −∞ f(t)e−iα (t/k) dt k = 1 k 1 √ 2π ∞ −∞ f(t)e−it (α/k)dt = 1 k F(f) α k . 4.5.4 Produit de convolution Problème : Étant données deux fonctions f et g et leurs transformées de Fourier F(f)(α) et F(g)(α), peut-on trouver une fonction k telle que F(k)(α) = F(f)(α) · F(g)(α)? Solution On a F(f)(α) · F(g)(α) = 1 √ 2π ∞ −∞ f(x)e−iαx dx · 1 √ 2π ∞ −∞ g(y)e−iαy dy = 1 2π ∞ −∞ ∞ −∞ f(x)g(y)e−iα(x+y) dxdy Posons : x + y = t et donc dy = dt, l’intégrale double devient : F(f)(α) · F(g)(α) = 1 2π ∞ −∞ ∞ −∞ f(x)g(t − x)e−iαt dxdt Posons : h(t) = ∞ −∞ f(x)g(t − x) dx, on a donc : F(f)(α) · F(g)(α) = 1 2π ∞ −∞ h(t)e−iαt dt = 1 √ 2π 1 √ 2π ∞ −∞ h(t)e−iαt dt = 1 √ 2π F(h)(α) M er A  N -E  68
  • 9. 4.6 « Sinus et Cosinus-transformées »de Fourier En posant k(t) = 1 √ 2π h(t), la fonction k est solution du problème posée. Définition 4.5.1 Soit f, g : R → R deux fonctions intégrables sur R. On appelle produit de convolution de f par g, la fonction notée f ⋆ g : R → R définie par (f ⋆ g)(t) = ∞ −∞ f(t − x)g(x)dx Proposition 4.5.1 Le produit de convolution est commutatif ; et on a : F(f ⋆ g)(α) = √ 2πF(f)(α)F(g)(α) Preuve : La preuve découle directement de la définition ; puisque : ∀α ∈ R F(f)(α) · F(g)(α) = F(g)(α) · F(f)(α) Exercice 1 Démontrer la commutativité directement à partir de la définition intégrale. En effet dans l’intégrale (f ⋆ g)(t) = ∞ −∞ f(t − x)g(x)dx, on fait le changement de variable en posant t − x = y. On obtient : (f ⋆ g)(t) = − −∞ ∞ f(y)g(t − y)dy = ∞ −∞ g(t − y)f(y)dy = (g ⋆ f)(t). Théorème 4.5.1 [Égalité de Parseval] Soit f : R → C admettant une transformée de Fourier F(f). Alors on a ∞ −∞ F(f)(α) 2 dα = ∞ −∞ f(t) 2 dt 4.6 « Sinus et Cosinus-transformées »de Fourier Définition 4.6.1 Soit f : R → R une fonction absolument intégrable sur R. 1. On appelle cosinus-transformée de Fourier de f, la fonction : fc(α) = 2 π ∞ 0 f(x) cos(αx) dx L’expression f(x) = 2 π ∞ 0 fc(α) cos(αx) dα est appelée inverse de cosinus-transformée de Fourier de f. 69 M er A  N -E 
  • 10. LA TRANSFORMÉE DE FOURIER 2. On appelle sinus-transformée de Fourier de f, la fonction : fs(α) = 2 π ∞ 0 f(x) sin(αx) dx L’expression f(x) = 2 π ∞ 0 fs(α) sin(αx) dα est appelée inverse de sinus-transformée de Fourier de f. Remarque 4.6.1 Soit f : R → R une fonction admettant une transformée de Fourier f. a) Si f est paire. f(α) = 1 √ 2π ∞ −∞ f(x)e−iαx dx = 1 √ 2π ∞ −∞ f(x) cos(αx) − i sin(αx) dx = 1 √ 2π ∞ −∞ f(x) cos(αx) dx − i √ 2π ∞ −∞ f(x) sin(αx) dx. Or la fonction x → f(x) cos(αx) est paire et la fonction t → f(x) sin(αx) est impaire. Il s’ensuit alors : f(α) = 2 π ∞ 0 f(x) cos(αx) dx car ∞ −∞ f(x) sin(αx) dx = 0. D’où : f(α) = fc(α) = 2 π ∞ 0 f(x) cos(αx) dx b) Si f est impaire. Avec le même raisonnement on obtient l’expression : f(α) = 1 √ 2π ∞ −∞ f(x)e−iαx dx = −i 2 π ∞ 0 f(x) sin(αx) dx. D’où : f(α) = −i 2 π ∞ 0 f(x) sin(αx) dx = −i fs(α). fs(α) = i f(α). M er A  N -E  70