Cours d'Analyse - FI-GL-SID

FI-GLSID Fatiha AKEF
UNIVERSITE HASSAN II DE CASABLANCA
ENSET - Mohemmadia
Analyse

Plan Général
2F. AKEF
› Chapitre 1 : Espace Métriques  Espaces Normés
› Chapitre 2 : Equations différentielles
› Chapitre 3 : Séries de Fourier et transformée de Fourier
› Chapitre 4 : Distributions
› Chapitre 5 : Fonctions Holomorphes
› Chapitre 6 : Transformée de Laplace
› Chapitre 7 : Espaces de Hilbert

Chapitre 1 :
Espace Métriques  Espaces Normés
I. Distances et topologie métrique
II. Normes et espaces de Banach
Chapitre 1 : Espace
Métriques  Espaces
Normés
Chapitre 2 : Equations
différentielles
Chapitre 3 : Séries de
Fourier et transformée de
Fourier
Chapitre 4 : Distributions
Chapitre 5 : Fonctions
Holomorphes
Chapitre 6 : Transformée de
Laplace
Chapitre 7 : Espaces de
Hilbert
ANALYSE

CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES
NORMÉS
4F. AKEF
Distance
› Définition :
› Soit E un ensemble différent de l’ensemble vide, on appelle distance sur E toute
application d : E  E ℝ+
› (x, y)  d(x, y) qui vérifie
i)d(x, y) = 0 x = y x, yE
ii)d(x, y) = d(y, x) x,yE
iii)d(x, z)  d(x, y) + d(y, z) x,y,zE
I - DISTANCES ET TOPOLOGIE MÉTRIQUE

NORMÉS
5F. AKEF

NORMÉS
6F. AKEF
Définition :
› On appelle espace métrique tout ensemble muni d’une distance
›
Proposition
› Soit (E, d) un espace métrique, alors :
› i) | d(x, z)  d(x, y) | d(y, z) x, y, zE
Démonstration
› i) d(x, z)  d(x, y) + d(y, z) d(y, z) d(x, z)  d(x, y)  d(y, z).
› d(x, y)  d(x, z) + d(z, y) d(x, y)  d(x, z)  d(z, y)
› donc | d(x, y)  d(x, z) | d(y, z) .
› ii)par récurrence

NORMÉS
7F. AKEF
Boules
Définitions :
› Soient AE, r > 0, on appelle boule ouverte de centre a et de rayon r
l’ensemble
› B(a, r) = {aE tel que d(x, a) < r}.
On appelle boule fermée de centre a et de rayon r l’ensemble
› Bf(a, r) = {aE tel que d(x, a)  r}.
 On appelle la sphère de centre a et de rayon r S(a, r) = {aE tel que
d(x, a) = r}
› S(a, r) = Bf(a, r) CB(a, r)

NORMÉS
8F. AKEF
Remarque
B(a, r) pour distance discrète soit {a}, soit
E

NORMÉS
9F. AKEF
Distance d’un point par rapport à un ensemble borné
Définition
› Soit (E, d) espace métrique, soit AE, A  . Soit aE. On appelle de d(a, A) le
nombre suivant d(a, A) = inf.{d(x, a) tel que xA}
Remarque
› d(a, A) existe car cet ensemble (ci-dessus) est minoré non vide.
› Si aA d (a, A) = 0
› Si d (a, A) = 0  0 aA
› a = 2 A = {2, 3} d( 2, ]2, 3[ ) = 0 et 2  A.

NORMÉS
10F. AKEF
Définition :
› On appelle diamètre d’un ensemble A différent du vide la quantité
› d(A) = sup{d(x, y) tel que (x, y)A2}
› Si d(A) est fini on dit que A est borné
› Par conversation  est borné
Proposition
› Soit A  E, A est dit bornée si et seulement si aE, r > 0 tel que A  Bf(a, r)
Preuve
› / ? Si A =  vrai
› Si A aA alors A  Bf(a, D(A))
› xA d(x, a) D (A)  x Df(a, D(A))
›  / ?A  Bf(a, r)
› Soit (x, y)A2 d(x, y)  d(x, a) + d(a, y)  r + r = 2r
› L’ensemble {D(x, y), x,yA} est majoré, non vide donc admet une borne

NORMÉS
11F. AKEF
Propriété
› Soient A et B deux ensembles bornés, alors AB est borné
› Preuve
› Si A = ou B  AB =  résultat
› Si A  et B  soit x,yAB
› (x, y)A2 d(x, y) d(A) < + a
› (x, y)B2 d(x, y)  D(B) < + a
› xA, yB, soit (a1, a2)A  B d(x, y)  d(x, a1) + d(a1, a2) + d(a2, y)
 d(A) + D(B) + d(a1, a2)
{(d(x, y) tel que (x, y)(AB)2} non vide majoré donc admet une borne sup D(AB) .

NORMÉS
12F. AKEF
Topologie Métrique
Définition :
› Soit (E, d) espace métrique
› On pose Td
= {E tel que xr > 0 tel que B(x, r)}
› Td= Td
{}
Proposition
› Td définie une topologie sur E
› Cette topologie est appelé topologie métrique associé à d
Preuve
› i)Td , ETd soit xE soit r > 0 B(x, r) E.

NORMÉS
13F. AKEF
Preuve :

NORMÉS
14F. AKEF
Proposition
› Toute boule ouverte est un ouvert, et toute boule fermée est un fermé et toute
sphère est un fermé
Preuve
› B(a, r) ouvert ?
› Soit xB(a, r)  ? r tel que B(a, r)  B(a, r)
› Soit r = r  rr‫ج‬ = d(a, x) alors B(x, r) B(a, r) car soit yB(r, r)
› d(y, a) d(y, x) + d(x, a) <  yB(a, r)

NORMÉS
15F. AKEF
Continuité et continuité uniforme
Définition
› Soit (E, d) et (E, d) et f(E, d)  (E, d). On dit que f est continue en xoE si
> 0 > 0 d(xo, x) < d(f(x), f(xo)) <
> 0 > 0 tel que B(xo, )  f1(B(f(x), ))
› On dit que f est continue sur E si elle est continue en toute point de E.
› On dit que f uniformément continue sur E si
› > 0 > 0 tel que d(f(x), f(x)) <
Remarques
› i) Continuité uniforme  continuité
› ii) f continue sur E  f1 d’un ouvert est ouvert
› iii) f continue en x (xn) tel que xn x alors f(xn)  f(x)
›

NORMÉS
16F. AKEF
Distances équivalentes
Définition
› Soit d et d deux distances sur E, on dit que d et d sont équivalents si
elles définissent la même topologie c’est à dire Td = Td (d  d)
›
Proposition
› i) d  d
› ii)> 0 xE ,> 0 tel que Bd(x, ) Bd(x, ) et Bd(x, d) Bd(x, )
› ii)> 0 xE yE ,> 0 tel que d(x, y) < d  d(x, y) <
› et d(y, x) < d(x, y) <
› iv)idE : (E, d)  (E, d) est continue ainsi que sa réciproque

NORMÉS
17F. AKEF
Preuve
i)ii) d  dTd = TdTdTd et TdTd
› soit> 0 soit xE Bd(x, a)Td = Td> 0 tel que Bd(x, )Bd(x, )
› de même pour l’autre (échanger d et d).
ii)i) Td = Td? soit Tdx> tel que Bd (x, )
iii)d tel que Bd(x, d)Bd (x, )TdTdTd
› De même pour l’autre (Échanger d et d)
› Les autres sont évidentes
Proposition
› S’il existe M1> 0 et M2> 0 tel que M1d  d M2 d (M1d (x, y)  d(x, y) M1d(x, y)) pour tout
x,yE alors d  d
› Preuve
› d diii) (propriété précédente)
› Prendre  = et  = M1

NORMÉS
18F. AKEF
Espaces métriques complets
Définition :
› Soit (E, d) un espace métrique, soit (xn) une suite d’éléments de E, on dit que
(xn) converge vers x pour d si :
› > 0 no tel que n  no d(xn, x) < .
Proposition
› La limite d’une suite convergente est unique
Preuve
› Supposons que x et x sont des limites de xn
›

NORMÉS
19F. AKEF

NORMÉS
20F. AKEF
Définition :
› On dit que (xn) est une suite de Cauchy dans (E, d) si > 0 no p > q  no
on a d(xp, xq) <
Remarque
› Si d  d et xn de Cauchy pour d ⇏ xn de Cauchy pour d
Exercice
› Sur ℝ d(x, y) = |x  y| d(x, y) =.
› Montrer que
› 1) ddistance
› 2) d  d
› 3) (xn) xn = n (xn) de Cauchy pour d

NORMÉS
21F. AKEF
Définition
› On dit que (E, d) est un espace vectoriel complet si toute suite de Cauchy
dans E converge dans E
›  On dit que (E, d) est un espace métrique typologiquement complet si  d  d
tel que (E, d) soit complet
›  Soit (E, d) un espace métrique et f E  E on dit que f est une contraction ou
bien f est une fonction contractante s’il existe ]0, 1[ tel que d(f(x), f(y))d(x, y)pour
tout (x, y)E2
Théorème du point fixe
› Soit (E, d) un espace métrique complet et f contractante sur E, alors il existe
un unique xo tel que f(xo) = xo.

NORMÉS
22F. AKEF

NORMÉS
24F. AKEF
Normes
Définition
› Soit E un espace vectoriel, on appelle norme sur E toute application noté
› ||.|| : Eℝ+ vérifiant les trois conditions suivantes
i) || x || = 0  x = 0.
ii) ||  x || = |  | || x || xE, ℝ ou ℂ
iii) || x + y ||  || x || + || y || x,yE2
›
Proposition
› i) Cette norme est non bornée (E  {0})
Remarque
› On posant d(x, y) = || x  y || si || .|| est une norme, alors d est une distance.
› Réciproquement cette écriture ne nous donne pas le résultat
II - NORMES ET ESPACES DE BANACH

NORMÉS
25F. AKEF
Proposition
› || .|| : E ℝ
› x  || x|| est uniformément continu
Preuve
› | f(x)  f(x) | = || x ||  || x ||  || x  x || = d(x, x)  fonction uniformément
continue ( Le ptsychienne k1 ).
Définition
› Si un espace normé est complet, on dit que c’est un espace de Banach
Proposition
› Soit E1, E2, …, En, n espace de Banach ( Ei muni de || . ||i) on pose
› est un Banach

NORMÉS
26F. AKEF
Preuve
› Soit (xn)n  0 une suite de Cauchy dans (E, ||.||) c’est à dire> 0 no tel que
› Pq no ||xpxq || <

NORMÉS
27F. AKEF
Normes équivalentes
Définition
› On dit que deux normes sont équivalentes si elles définissent la même topologie
› ( || . ||1 || . ||2 d1 d2)
Proposition
› || . ||1 || . ||2M1, M2> 0 tels que M1|| . ||1 || . ||2 M2 || . ||1
Preuve
›  / M1||x  y ||1 || x  y ||2 M2 || x  y ||1
›  M1d1 d2  M2 d1
›  d1d2 . (d’après une proposition précédente)
›  || . ||1 || . ||2.
›  / || . ||1 || . ||2  d1 d2
› > 0 xE , > 0 tel que

NORMÉS
28F. AKEF
Proposition
› Soit || . ||1 et || . ||2 deux normes équivalentes sur E alors
› ( (E, || . ||1) de Banach) ( (F, || . ||2) de Banach)
Preuve
› M1|| . ||1 || . || M2 || . ||1M1|| xp xq||1 || xp xq|| M2 || xp xq||1
›  (xn) de Cauchy pour || . ||1 (xn) de Cauchy pour || . ||2 d’où le
résultat
Proposition
› Sur ℝn, toutes les normes sont équivalentes

NORMÉS
29F. AKEF

NORMÉS
30F. AKEF
Isomorphismes d’espaces normés
Définition
› Soit E et F deux espaces normés et f : E  F linéaire, f est dite
isomorphisme d’espace normé si
› i) fℒ(E, F)
› ii)g(=f1) : F  E fog = IFet gof = IE et g continue
Théorème de Hann – Banach
› Soit E et F deux espaces de Banach et f : E  F linéaire continue et bijective,
alors f1 est continue

NORMÉS
31F. AKEF

NORMÉS
32F. AKEF
Proposition
› Soit f : E F isomorphisme d’espace normé alors E Banach  F Banach
Preuve
› Soit (xn) Cauchy dans E c’est à dire > 0 xo tel que ||xp xq || < pour
Pq xo fℒ(E, F) M tel que || f(x) ||  M || x || xE
›  || f(xp)  f(xq) ||  M ||xp xq ||
› (f(xn)) de Cauchy
› f(xn)  f(xo) = y car F de Banach
› f 1continue f 1(f(xn))  f 1(f(xo))
›  xn  xo
› L’autre implication se démontre de la même manière

NORMÉS
33F. AKEF
Proposition
› Soit f : ℝn (F, || . || ) isomorphisme algébrique alors f est un isomorphisme
d’espaces normés
Preuve
› Soit xℝn, on pose (x) = || f(x) ||  norme sur ℝn
(x) = 0  || f(x) || = 0  f(x) = 0  x = 0
(x) = || f(x) || = | | . || f(x) || = |  | f(x)
(x + y) = || f(x + y) || = || f(x) + f(y) ||  || f(x) || + || f(y) || = (x) + (y)
› Soit || . ||une norme sur ℝn.
›  || . ||M1, M2> 0 tel que M1|| x ||(x) M2 || x ||
› 
› f1 continue f continue
› f(x) = y
› M1 || f1 (y) |||| y ||  || f1 (y) || || y ||

Chapitre 2 :
Equations différentielles
I. Equations différentielles du 1er ordre
II. Equations différentielle du 2ème ordre
Chapitre 1 : Espace
Normés
différentielles
Fourier
Holomorphes
Laplace
Hilbert
ANALYSE

CHAPITRE 2 : EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
35F. AKEF
Définition
› Soient U et V deux intervalles de ℝ et g une fonction de U  V dans ℝ. On appelle
équation différentielle du 1er degré une équation de la forme : y = g(x, y) (1) où
› On appelle solution générale de (1) une solution quelconque.
› On appelle solution particulière de (1) une solution qui est soumise à des conditions.
Exercice
› y = f(x). f continue sur ℝ
› Résoudre ou intégrer (1) c’est trouver toutes les solutions
I - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU 1ER ORDRE

36F. AKEF

37F. AKEF

38F. AKEF

39F. AKEF
Equations homogènes
› On appelle équation homogène du 1er ordre une équation de la forme y  = f (y/x) où f
est une fonction constante.
Méthode de résolution de cette équation

40F. AKEF
Equations linéaires
› On appelle équation différentielle linéaire du 1er degré une équation différentielle
de la forme :
› y = a(x) y + b(x) (1) où a et b sont des fonctions continues.
› L’équation y = a(x) y (2) s’appelle équation homogène associée à (1).
Proposition
› Si y1 et y2 sont solution de V alors y1 y2 est solution de (2)
› Preuve :

41F. AKEF
Proposition
› La solution de l’équation (1) est obtenue en ajoutant à une solution particulière
de (1) la solution générale de (2)
Preuve
› Soit yo solution particulier de (1) [on admet l’existence].
› Soit y une solution de (1) donc y  yo est solution de (2)
› On pose y  yo =  y =  +yo
› Réciproquement
› Si y = u + yo avec u solution de (2) et yo solution particulier de (1) on a
› y = u + = a(x) u + a(x) yo + b(x)
› (u + yo) = (x) (u + yo) + b(x)
› y solution de (1)

42F. AKEF
Proposition
› Soit y = a(x) y (2) avec a continué.
› Soit F une primitive de a alors la solution générale de (2) est de la forme
› Y(x) = K eF(x)
Preuve
› Soit yo définie par yo (x) = eF(x). Soit y une solution de (2)
› Posons u =  y = u yo .
› Y = uyo + u = a(x)y = a(x) u yo
›  U yo + u = a(x) u yo
›  Uyo + u a(x) yo = a(x) u yo.
›  U yo = 0
›  u = 0  u = K  y = K eF(x)

43F. AKEF
Exemple
› Intégrer l’équation y = 2y + x (1)
› Equation homogène y = 2y (2)
› y = K.e2x
› Solution particulière yo = ax + b = a
› a = 2ax + 2b + x 
› ( a = , b = )
› Solution générale de (1) y = K e2x  x 
Problème
› Donner une solution particulière ?

44F. AKEF
Méthode de la variation de la constante
› C’est pour trouver une solution particuliere de y = a(x) y + b(x) (1)
› Soit y1 = eF(x), F primitive de a. Soit y une solution de (1), on pose
Y = u y1, y = u y1 + u
U y1 + u = a(x) y + b(x)

46F. AKEF
Définition
› On appelle équation différentielle du 2ème ordre, toute équation qui est de la
forme y = f(x, y, y) où f est une fonction trois variables. Une telle équation
est dite linéaire si elle est de la forme : y + a(x) y + b(x) y = c(x) (1) où a, b, c
sont trois fonctions réelles.
› Si a et b sont des fonctions constantes, l’équation est dite linéaire à
coefficients constants
› L’équation : y + a(x) y + b(x) y = 0 (2) est dite équation homogène associée à (1)
Proposition
› La différence de deux solutions de l’équation (1) est une solution de l’équation
(2).
Proposition
› La solution générale de l’équation (1) est obtenu en ajoutant à la solution
générale de l’équation (2) une solution particulier de l’équation (1)
II - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLE DU 2ÈME
ORDRE

47F. AKEF
Résolution de : y + 2 by + cy = 0
› Proposition
› La solution de y + 2 by + cy = 0, vérifiant : y(0) = y(0) = 0 est y = 0
› Preuve
ORDRE

48F. AKEF
Proposition
› L’ensemble S des solutions de y + 2by + ay = 0 est un espace vectoriel sur ℝ de dim 
2.
Preuve
› Pour la structure on vérifie directement que c’est un sous-espace vectoriel de Ao (ℝ, ℝ)
› Montrons qu’il n’existe pas trois éléments des linéairement indépendants
› Soient y1, y2 et y3 trois éléments des linéairement indépendants
ORDRE

49F. AKEF
ORDRE

50F. AKEF
ORDRE

51F. AKEF
ORDRE

52F. AKEF
Proposition
› L’ensemble des solutions de y + 2b y + cy = 0 est un espace vectoriel de
dimension 2. Les conditions initiales y(0) = yo et y(0) = y1 déterminent une
solution unique
Preuve
› dim S = 2 (proposition précédente). Soit (y1, y2) une base de S, soit yS, ( 1, 2)
tel que y = 1y1+ 2 y2
› y est tel que y(0) = yo , y(0) = zo
› Question : Unicité de ( 1, 2) .
ORDRE

53F. AKEF
ORDRE

54F. AKEF
Solution particulière de y + 2b y + cy = f (1)
a) f polynôme de degré p
Proposition
› dans ce cas il existe une solution particulière sous la forme d’un polynôme de
degré.
ORDRE

55F. AKEF
II- EQUATIONS DIFFÉRENTIELLE DU 2ÈME ORDRE

56F. AKEF
b) f(x) = eax P(x) oùP est un polynôme de degré p
› On pose y = eaxu
› y = a eaxu + ueax
› y = a2eaxu2 + 2a eax u + ueax
› y solution de (1)  y + 2by + cy = f(x)
eax u + ueax (2a + 2b) + u eax (a2 + 2ba + c) = f(x)
› Ainsi on se ramène au cas précédent.
c) f(x) = P(x) cos(x + ) où P est un polynôme de degré P
› Règle
› Dans ce cas on cherche une solution particulière sous la forme :
› yo = A cosx + B cosx où A et B sont deux polynômes de degré P si ix
est soumis du polynôme caractéristique de degré p+1 si i est soumis du
polynôme caractéristique
ORDRE

57F. AKEF
ORDRE

58F. AKEF

59F. AKEF

Chapitre 3 :
Séries de Fourier et transformée de
Fourier
I. Séries de Fourier
II. Opérations sur les séries de Fourier
III. Transformation de Fourier
IV. Opération sur les transformées de Fourier
Chapitre 1 : Espace
Normés
différentielles
Fourier
Holomorphes
Laplace
Hilbert
ANALYSE

CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET
TRANSFORMÉE DE FOURIER
61F. AKEF
Certaines fonctions périodiques peuvent être représentées comme la somme d’une
série de fonctions trigonométriques
A cet effet, nous devons d’abord étudier les propriétés d’une telle série
1- Séries trigonométriques
› On appelle ainsi une série de fonctions dont le terme général est de la forme
xAn cos nx + Bnsin nx, où n’est un entier naturel, An et Bn des nombres réels. En
pratique, on omet le terme B0 sin 0x, nul quel que soit x. En un point où la
série est convergente, sa somme est notée.
ou encore
S(x) = Ao + A1 cosx + A2 cos 2x +…+ An cos nx +…+ B1 sinx + B2sin 2x +…+ Bn sin nx
I - SÉRIES DE FOURIER

62F. AKEF
› Les fonctions admettent toutes 2 pour période
› Si la série converge pour tout nombre réel x, un passage à la limite montre
facilement que la somme S admet encore 2 pour période
› Dans certaines applications, il est commode de ne faire apparaître que des sinus,
ou que des cosinus
› Ainsi

63F. AKEF

64F. AKEF
Fonctions orthogonales
› Considérons l’espace vectoriel E sur R des fonctions continues sur un même
intervalle [a,b] de R à valeurs réelles, où a < b
› Comme nous l’avons constaté au tome 2, l’application
› est une forme bilinéaire symétrique satisfaisant aux deux conditions suivantes
a) pour tout élément de E, le nombre réel est positif
b) le nombre réel est nul si et seulement si la fonction f est nulle
› Cette application possède donc les mêmes propriétés fondamentales que le
produit scalaire bien connu, que nous avons vu au tome 1. Nous sommes donc
amenés à dire que l’application définie par la formule (3) est un produit scalaire
sur E et que, muni de ce produit scalaire, l’espace vectoriel E est euclidien

65F. AKEF
3- Séries de Fourier
› Soit f une fonction définie sur ℝ à valeurs réelles, intégrable sur tout intégrable
sur tout intervalle de longueur 2. Nous nous proposons d’étudier l’existence et
l’unicité d’une série trigonométrique convergeant en tout point x de ℝ et telle
que
› Supposons d’abord qu’il existe une telle série trigonométrique. Nous allons
montrer que l’on peut déterminer les coefficients An et Bn d’une manière et
d’une seule. Nous aurons ainsi prouvé l’unicité de la série trigonométrique
cherchée
› Cette méthode nous fournira en même temps des formules constamment utilisées
en pratique pour le calcul effectif des coefficients

66F. AKEF

67F. AKEF
4- Théorème de Lejeune-Dirichlet
› Voici sans démonstration un théorème assurant l’existence d’un développement en
série de Fourier
› Soit f une fonction numérique définie sur R, admettant 2 pour période,
continûment dérivable sur le complémentaire d’une partie finie Q de . On suppose
que admettent des limites à gauche et des limites à droite en tout point de
Q
› Alors la série de Fourier de f converge en tout point x de R ; sa somme est
égale à
› c’est-à-dire à la somme des limites à gauche et à droite de f au point x. En
particulier, en tout point x où f est continue
› (En effet, dans ce cas les trois nombres sont égaux.)

68F. AKEF
› En outre, si f est continue sur la série de Fourier de f converge absolument
et uniformément vers f
› La plupart des fonction rencontrées dans les problèmes courants de la physique
vérifient les conditions de ce théorème. Nous n’aurons pas de difficultés soulevées
par des questions de convergence

69F. AKEF
Phénomène de Gibbs
› Nous venons de voir que si f n’est pas continue en un point x, la somme de
sa série de Fourier n’est pas égale à f(x) . Représentons f par la somme
partielle à l’ordre de sa série de Fourier :
› L’erreur commise est considérable, elle ne s’atténue par lorsque n augmente
indéfiniment. C’est le phénomène de Gibbs
› Sur la figure 1 on voit que dépasse la valeur l prise par d’environ 18 %
lorsque x est positif et voisin de 0. Si n augmente, ce dépassement ne disparaît
pas, mais l’abscisse du maximum se rapproche de 0
› Ce phénomène ne se présente pas lorsque est continûment dérivable

70F. AKEF
5- Cas d’une période quelconque
› Nous avons examiné jusqu’ici le cas de fonctions admettant une période T
› Pour tout nombre réel t

71F. AKEF

72F. AKEF
6 - Calcul pratique des coefficients de Fourier
› Le calcul des coefficients de Fourier d’une fonction périodique est généralement
long et fastidieux. Il est donc conseillé d’utiliser chaque fois que cela est
possible les remarques suivantes
A- Cas où la fonction est paire

73F. AKEF
› La série de Fourier d’une fonction paire ne comporte pas de terme en sinus
(Figure 2)
› On dit que l’on a développe f en série de cosinus. (Réciproquement, on
remarquera que la somme d’une série de cosinus est une fonction paire.)

74F. AKEF

75F. AKEF

76F. AKEF

77F. AKEF

78F. AKEF

79F. AKEF

81F. AKEF
II - OPÉRATIONS SUR LES SÉRIES DE FOURIER

82F. AKEF

83F. AKEF

84F. AKEF

85F. AKEF

86F. AKEF

87F. AKEF

88F. AKEF

90F. AKEF
III - TRANSFORMATION DE FOURIER

91F. AKEF
1- Equations de convolution
› Où f est une fonction périodique inconnue. D’après ce qui précède, les
coefficients de Fourier de sont nécessairement définis par
› Pour résoudre les équations de convolution dans le cas des fonctions non
nécessairement périodiques, on est amené à associer à toute fonction non plus
une série trigonométrique, mais une intégrale. Nous allons indiquer comment
s’introduit cette intégrale, à l’aide d’un passage à la limite.

92F. AKEF

93F. AKEF

94F. AKEF

95F. AKEF

97F. AKEF
1 - Premières opérations
› Voici quelques résultats élémentaires permettant de simplifier la recherche des
transformées de Fourier
Dérivation
› Soit f une fonction continûment dérivable sur R, intégrable sur R ainsi que sa
dérivée. Alors
IV - OPÉRATION SUR LES TRANSFORMÉES DE
FOURIER

98F. AKEF
FOURIER

99F. AKEF
FOURIER

100F. AKEF
FOURIER
2 - Produit de convolution

101F. AKEF
FOURIER

102F. AKEF
3 – Produit :
FOURIER

103F. AKEF
FOURIER

Chapitre 4 :
Distributions
I. Définitions
II. Opérations sur les distributions
Chapitre 1 : Espace
Normés
différentielles
Fourier
Holomorphes
Laplace
Hilbert
ANALYSE

CHAPITRE 4 : DISTRIBUTIONS
105F. AKEF
Définition d’une distribution
› On appelle distribution toute fonctionnelle T : D ℝ
›  T,  linéaire, continue sur D où D : l’ensemble des fonctions indéfinie
duale à support borné
› Notation  , car le résultat est un scalaire
Premières propriétés d’une distribution
› Linéarité
›  T, 1, 2 =  T, 1 +  T, 2 
›  T,  =  T, 
› De sorte que T,  est une forme bilinéaire
I - DÉFINITIONS

106F. AKEF
Continuité
› Si (n) , dans D
›  T, n  T, 
› i.e. : > 0 no n > no |  T1, n T1,  | <
3) Les distributions forment un espace vectoriel appelé D
› T1 +T2, n =  T1,  +  T2, 
› T,  =  T, 
› D est l’espace DUAL topologique de D
I - DÉFINITIONS

107F. AKEF
I - DÉFINITIONS

108F. AKEF
I - DÉFINITIONS

109F. AKEF
I - DÉFINITIONS

110F. AKEF
I - DÉFINITIONS

112F. AKEF
› Addition et multiplication par un scalaire :
II - OPÉRATIONS SUR LES DISTRIBUTIONS

113F. AKEF
Remarque
› La notion de translatée d’un distribution permet de définir les distributions
périodiques de période a par T(x  a) = T(x)
› T(x  a), (x)  = T(x), (x + )  car périodique T(x), (x)  donc
› i.e : T(x), (x + )  = T(x), (x) 
Transposition d’une distribution

114F. AKEF

115F. AKEF

116F. AKEF
Dérivation des distributions
› La parité essentielle des distributions et qu’elles sont infiniment de duale que toutes les
durées successives sont encore des distributions. Ceci rend l’utilisateur des distributions
extrêmement commode
› On sait que pour les fonctions, il en est autrement. En Mathématique, il y a des fonctions
continues mais non doubles
› Ceci prouve que les fonctions sont moins adaptées à représenter une réalité physique

117F. AKEF
Primitive d’une distribution
› S est primitive de T si S’ = T
Exemple
› H est primitive de
› On peut montrer que toute distribution admet une primitive, le produit de
convolution des distributions est un moyen simple pour obtenir les primitives de
distributions L’idée est la suivante
› Soient S, T deux distributions, leurs produit de convolution est la distribution
›  S * T,  =  S(x)  (y), (x + y)  où  est le produit tensoriel (ou direct)
› =  S(x),  T(y), (x + y)  =  T(y),  S(x), (x + y) 
› Par dérivation de S * T, on obtient
› (S * T) = S* T = S * T  d’où (H * T) = H* T = * T = T
› Une distribution donc T a pour primitive H * T

Chapitre 5 :
Fonctions Holomorphes
I. Généralités et propriétés
II. Intégration sur un chemin et
conséquences
III. Résidus et application
Chapitre 1 : Espace
Normés
différentielles
Fourier
Holomorphes
Laplace
Hilbert
ANALYSE

CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES
119F. AKEF
› Dans tout le chapitre, la topologie considéré sur ℂ est la topologie définie par
la norme suivante : | z | = si z = x + iy
› Ainsi en identifiant d’une manière canonique ℂ et ℝ2, on voit que ℂ n’est autre
que ℝ2muni de la norme euclidienne
Définition
› Soit U un ouvert de ℂ et f : U ℂ. Soit zoU, on dit que f est dérivable en
zo si
› l est noté f (zo). Si f est dérivable en tout point de U, on dit que f est holomorphe sur
U
Remarque
› i) f dérivable en zo défini au voisinage de 0 tel que f(zo + h)  f(zo) ℓh = (h)
avec | (h) | =  (|h|) (h  0).
› ii) f dérivable en zo f continue en zo
I - GÉNÉRALITÉS ET PROPRIÉTÉS

120F. AKEF
Proposition :
› Soient f et g dérivables en z alors :
i) f + g dérivable en z et on a (f + g) (z) = f (z) + g(z)
ii) f, (ℂ) est dérivable en z et on a (f)(z) =  f (z)
iii) f.g dérivable en z et on a (f.g)(z) = f (z) g(z) + f(z) g(z)
Cette proposition se démontre de la même manière comme dans le cas d’un
variable réelle.

121F. AKEF

122F. AKEF
Proposition
› f : U V g : V ℂ
› avec f dérivable en z et g dérivable en f(z) alors gof dérivable au point z et
› (gof)(z) = g(f(z)) f (z)
Preuve
› Même preuve que dans ce cas d’une variable réelle
Proposition (Conditions de Cauchy)
› f : U ℂ
› z = x + iy  f(z) = P(x, y) + i Q(x, y) alors f dérivable en z si et seulement si P
et Q sont différentiables en (x, y) et :

123F. AKEF

124F. AKEF

125F. AKEF

126F. AKEF
Séries de Laurent :

128F. AKEF
Définitions :
1) On appelle chemin sur ℂ, la donnée d’un intervalle [a, b] (a < b) et d’une
application  : [a, b] ℂ et  continue. On note (, [a, b]) ou pour simplifier
l’écriture on le note par  (, [a, b])
Exemples
› : [0, 2] ℂ
›  R ei
› (,[0, 2]) n’est que le cercle de centre O et de rayon R
› : [0, 4] ℂ
›  R ei
› (,[0, 4] ) ℂ
›  R ei
› (,[0, 4] ) est aussi le cercle de centre O et de rayon R
II - INTÉGRATION SUR UN CHEMIN ET
CONSÉQUENCES

129F. AKEF
2) Soit (, [a, b]) un chemin, (a) est appelé origine du chemin et (b) extrémité du
chemin
›  On dit que le chemin (, [a, b]) est continument différenciable si  l’est
›  On dit que (, [a, b]) est continument différentiable par morceau si  l’est
›  On dit que (, [a, b]) est simple si  est injective
›  On dit que (, [a, b]) est fermé si (a) = (b)
›
3) Soit f : U ℂ (U ouvert de ℂ). Soit  (, [a, b]) un chemin continument
différentiable. On appelle intégrale de f sur  : la quantité
CONSÉQUENCES

130F. AKEF
CONSÉQUENCES

131F. AKEF
Définition
› Soit  (, [a, b]) un chemin donné, on appelle chemin inverse le chemin
(,[a, b] ) avec  : [a, b] ℂ
› t(a + b  t)
Proposition
CONSÉQUENCES

132F. AKEF
CONSÉQUENCES

133F. AKEF
Longueur d’un chemin
Définition
CONSÉQUENCES

134F. AKEF
CONSÉQUENCES

135F. AKEF
Définition
› Soit U un ouvert de ℂ, on dit que U est étoilé par rapport à zo où zoU si
zU le chemin [zo , z]  U
Remarque
› Convexe  étoilé par rapport à zo (la réciproque est fausse)
Proposition
› On suppose U étoilé par rapport à zo et f continue. On pose pour zU
› Alors F est une primitive de f sur U qui s’annule en z0
CONSÉQUENCES

136F. AKEF
CONSÉQUENCES

137F. AKEF
CONSÉQUENCES

138F. AKEF
Proposition
› Soit f : U ℂ holomorphe, soit  un chemin fermé, simple et orienté
positivement tel que Int()  U, soit zoInt() alors f(zo) =
› Formule de Cauchy
CONSÉQUENCES

139F. AKEF
CONSÉQUENCES

140F. AKEF
Définition
› On dit que f est analytique en 0, si r > 0 tel que
Remarque
› f analytique en 0 f holomorphe sur D(0, r)
Proposition
› Soit f une fonction holomorphe sur D(0, R). Alors f est développable en série
entière sur D(0, R) (ou analytique en 0), plus exactement on a :
› où  est le cercle de centre 0 et de rayon r (0 < r < R), simple orienté
positivement
CONSÉQUENCES

141F. AKEF
Définition
› Soit f : Uℂ on pose pour zoU g(z) = f(z + zo)
› On dit que f est analytique en zo si g est analytique en 0
› f analytique en zo g analytique en 0
Remarque
› f analytique en zo f holomorphe sur D(zo, R)
Preuve
› g(z) = f(z + zo) f holomorphe sur D(zo, R)  g holomorphe sur D(0, R)
CONSÉQUENCES

142F. AKEF
Indice d’un chemin
Définition : Soit zoℂ, soit  un chemin fermé, on appelle indice de  par rapport à
zo(zo) la quantité
Proposition
› I(, zo)Z
› Preuve
CONSÉQUENCES

143F. AKEF
Remarque
› Si zoExt (Ext : extérieur de ) alors I(, zo) = 0
Exemples
›  = C(0, r) simple  :  [0, 2} ℂ
t r eit
› : [0, 8] ℂ
› T  r eit
› On vérifie que I(, 0) = 4
CONSÉQUENCES

144F. AKEF
Proposition
› Soit f : Uℂ holomorphe
› Soit  chemin fermé avec  U et Int U (Int : interieur de )
› Soit z0(U ) alors
CONSÉQUENCES

145F. AKEF
CONSÉQUENCES

146F. AKEF
Développement en série de Laurent
Rappel
› On dit que f est développable en série de Laurent sur la couronne C(0, R1, R2)
si :
On voit alors qu’une telle fonction est holomorphe donc analytique en tout point
de la couronne
Proposition
› Soit f analytique sur C(0,R1, R2) alors f est développable en série de Laurent sur
C(0,R1, R2) plus exactement on a
› de centre O et de rayon r (R1< r < R2) , simple orienté positivement
CONSÉQUENCES

148F. AKEF
Préliminaire
Définition
› Soit f : Uℂ, soit zoU, on dit que zo est un point singulier isolé de f si r > 0 tel
que f est analytique sur D(zo, r)  {zo}
› Exemple
› f(z) = 1/1-z , z = 1 point singulier
› Remarque
› Si zo est un point singulier isolé de f, alors r > 0 tel que f analytique sur D(zo, r){zo}
›  f développable en séries de Laurent sur D(zo, r){zo} c’est à dire
› g holomorphe sur D(zo, r)
III - RÉSIDUS ET APPLICATION

149F. AKEF

150F. AKEF

151F. AKEF

152F. AKEF
Méthodes de calcul du Résidus dans certains cas

153F. AKEF

154F. AKEF

155F. AKEF

156F. AKEF
Application des Résidus
Introduction
› Une des utilités fondamentale des Résidus est le calcul de certains intégrales sans passer
par l’intermédiaire des primitives
› Méthode de calcul de :

157F. AKEF

158F. AKEF

159F. AKEF

160F. AKEF
Méthode de calcul de
› Proposition
› Soit f analytique sur ℂ{z1, z2, …, zn} où zi ( i{1,…,n} ) sont des points
singulier en nombres fini situés dans le demi-plan supérieure, on suppose
que

161F. AKEF
Pour la démonstration on a besoin du Lemme suivant
Lemme (Jordan)
› Soit f analytique sur ℂ et  un arc de cercle de centre O et de rayon R. On
pose :
›  est supposé dans le demi plan supérieur au sens large
› Démonstration de la proposition
› Soit  le chemin fermé simple suivant

162F. AKEF

163F. AKEF
Proposition
› Soit f vérifiant les hypothèses de la proposition précédente, et on suppose de plus
que 0 est un pôle simple de f alors

164F. AKEF

165F. AKEF
Logarithme Complexe
Problème
› Déterminer Z tel que eZ = z
› Z = x + iy , z =  ei
› eZ = z  exeiy = =  ei
› Z = ln  + i ( + 2k)
› Z = ln | z | + i ( + 2k)
› Remarque
›  0 < , z = xℝ+ , k = 0
› Z = ln x

166F. AKEF
Définition
› Soit U un ouvert convexe de ℂ*, une fonction sur U est dite une
détermination de logarithme sur U si :
i) f continue
ii) ef(z) = z zU
› Proposition
› Si f et g sont deux déterminations de logarithme sur un ouvert convexe U
de ℂ* alors kZ tel que f(z)  g(z) = 2ikzU
Preuve

167F. AKEF
Proposition
› Soit f une détermination de logarithme sur un ouvert connexe U de ℂ*,
alors f est analytique sur U
Preuve
› Soit zoU
› f(z) = zU d’où le résultat

Chapitre 6 :
Transformée de Laplace
I. Transformation de Laplace
II. Propriété de la transformation de Laplace
III. Transformation de Laplace inverse
IV. Application aux équations différentielles
Chapitre 1 : Espace
Normés
différentielles
Fourier
Holomorphes
Chapitre 6 : Transformée
de Laplace
Hilbert
ANALYSE

CHAPITRE 6 : TRANSFORMÉE DE LAPLACE
169F. AKEF
1 - Définition
› Soit f une fonction de la variable réelle x définie sur ℝ et supposée nulle
pour x < 0
› On appelle transformée de Laplace de f la fonction F définie par
› Où p est une variable réelle ou éventuellement complexe
› On écrira F(p) = ℒ(f(x))
› F(p) est appelée image de f, ce que l’on note parfois F(p)  f(x)
› f F transformation de Laplace
› La transformée de Laplace d’une fonction n’existe que si l’intégrale est
convergente.
I - TRANSFORMATION DE LAPLACE

170F. AKEF
1 - Définition
› Pour cela on est amené à imposer à f deux conditions
› Etre continue par morceaux sur tout fermé [0, xo].
› Etre d’ordre exponentiel à l’infini c’est à dire il existe M > 0 et  tels que :
› On démontre que si ces deux hypothèses sont vérifiées la transformée de
Laplace est définie pour p >, ou si p est complexe, pour Re(p) >
Remarque
› Ce sont des conditions suffisantes d’existence le domaine de convergence, ], +{
ou le demi plan complexe défini par Re(p) >

171F. AKEF

172F. AKEF
Cette limite n’est pas une fonction. Elle définit
la distribution de Dirac notée (x)
On a

173F. AKEF

174F. AKEF

176F. AKEF
II - PROPRIÉTÉ DE LA TRANSFORMATION DE
LAPLACE

177F. AKEF
LAPLACE

178F. AKEF
LAPLACE

179F. AKEF
LAPLACE

180F. AKEF
Application : Transformée d’une fonction périodique
› Soit f une fonction périodique pour n > 0, de période T
› D’où en appliquant la linéarité et le
théorème du retard
› ℒ (f(x)) = ℒ [ fn(x) ]
LAPLACE

181F. AKEF
4 - Transformée de la dérivée
Théorème fondamental
› Si f  est continue par morceau sur tout germé [0, xo] et si
› ℒ [f(x) ] = F(p) alors
LAPLACE

182F. AKEF
Généralisation
› Si f  vérifie les hypothèses du théorème
› ℒ [f (x) ] = p ℒ [f (x) ]  f(O+)
› = p [p F(p) f(O+) ] f (O+)
LAPLACE

183F. AKEF
LAPLACE

184F. AKEF
LAPLACE

185F. AKEF
1 - Définition
› Soit F(p) la transformée de Laplace d’une fonction f(x)
› On appelle transformée de Laplace inverse ou original de F(p) la fonction f(x)
› On note f(x) = ℒ1[F(p)] ou f(x)  F(p)
Exemples
III - TRANSFORMATION DE LAPLACE INVERSE

186F. AKEF
Propriétés de la transformation de Laplace inverse
Linéarité
› ℒ1 [f + g ] = ℒ1 [f] + ℒ1 [g]
› ainsi,

187F. AKEF

188F. AKEF

189F. AKEF

190F. AKEF

192F. AKEF
1 - Equations différentielles linéaires
Soit l’équation différentielle linéaire à coefficient constants
› an y(n)(x) + an1y(n1)(x) + … + ao y(x) = f(x)
› siℒ[y(x)] = (p)
› ℒ[y(x)] = p (p)  y(0)
› ℒ[y(x)] = p2(p)  p y(0)  y(0)
› ℒ[y(n)(x)] = pn(p)  pn1 y(0)  y(n1) (0)
En appliquant donc la transformation de Laplace à l’équation différentielle
› (anpn+ an1pn1 + … + ao(p) + (p) = f(p)
› (p) : polynôme de do (n  1) en p contenant y(0), y(0), …, y(n1) (0)
On en déduit : (p) =
› Par conséquent : y(x) = ℒ1 [(p) ]
IV - APPLICATION AUX ÉQUATIONS
DIFFÉRENTIELLES

193F. AKEF
IV - APPLICATION AUX ÉQUATIONS
DIFFÉRENTIELLES

Chapitre 1 :
Espaces de Hilbert
I. Produit scalaire
II. Théorème de la projection orthogonale
Chapitre 1 : Espace
Normés
différentielles
Fourier
Holomorphes
Laplace
Hilbert
ANALYSE

CHAPITRE 1 : ESPACES DE HILBERT
195F. AKEF
Introduction
› Une espace de Hilbert est un espace de Banach dont la
norme est obtenue à partir d’un produit scalaire. Ce
produit scalaire donne la possibilité de généraliser
certaines notions fondamentales en géométrie
élémentaire (angles, perpendiculaires, orthogonalité,
bases ortho normales …)
I - PRODUIT SCALAIRE

196F. AKEF
Définition :
Soit H un espace vectoriel réel
Un produit scalaire sur H est une application qui à chaque couple X , Y d’élément de H fait
correspondre un nombre réel noté X , Y , cette application ayant les propriétés suivantes :
› Symétrie : X, Y = Y, X(1)
› Linéarité : X1 + X2, Y = X1, Y + X2, Y
› = X, Y pour tout nombre réel (2)
› Positivité : X, Y 0 pour tout élément X de H
› X, Y = 0 X = 0(3)
On appelle souvent un espace vectoriel réel muni d’un produit scalaire un espace euclidien ou
espace préhilbertien

197F. AKEF

198F. AKEF
Propriétés élémentaires
Inégalité de Schwarz
Démonstration
› On développe le produit scalaire de X + Y par lui-même en utilisant les propriétés de
symétrie et de linéarité :
› D’après la première propriété de positivé, ce trinôme en  est toujours positif ou nul donc son
discriminant est toujours négatif ou nul, ce qui donne bien l’inégalité cherchée
› D’après la seconde propriété de positivité, l’égalité s’obtient si et seulement si X = 0 Y, c’est-
à-dire si X et Y sont proportionnels

199F. AKEF
Conséquence
Définition d’un espace de Hilbert
› L’application qui à un élément X de H fait correspondre le nombre positif ou nul
, noté || X ||, définit une norme sur l’espace vectoriel H
› Si H muni de cette norme est complet, on dit que H a une structure d’espace de Hilbert

200F. AKEF
Exemples d’espaces de Hilbert
› En reprenant les exemples d’espaces munis de produit scalaire donnés ci-dessus :
› Rk est un espace de Hilbert
› L’espace des fonction n’est pas un espace de Hilbert
(Il n’est pas complet pour la norme correspondante)

201F. AKEF
Démonstration
› Suffit d’exprimer les normes au moyen des produits scalaires
› < X,Y > = 0, on obtient immédiatement la relation de Pythagore. En ajoutant ou tranchant
membre à membre, on obtient les deux identités cherchées
Orthogonalité
› Comme dans le cas de la géométrie ordinaire, on dit qu’un élément X est orthogonal à
l’élément Y de H si = 0. On note cette relation X
› On appelle orthogonal de l’élément X de H l’ensemble noté X des éléments de H
orthogonaux à X

203F. AKEF
Nous allons maintenant démontrer un résultat fondamental dans la théorie des espaces de
Hilbert. Il donne la généralisation de propriétés bien connues de la géométrie élémentaire dans
l’espace
Théorème
› Soit M un sous-espace vectoriel fermé d’un espace de Hilbert H et soit X un élément
quelconque de H
› Il existe un élément Y de M et un seul ayant les propriétés suivantes :
( Y réalise la plus courte distance de X au sous-espace M )
› X – Y est orthogonal à tous les éléments Z de M, c’est-à-dire X – Y M
( Y est le pied de la perpendiculaire abaissée de X sur M )
II - THÉORÈME DE LA PROJECTION
ORTHOGONALE

204F. AKEF
Définition
› L’élément Y ainsi associé à X est appelé la projection orthogonale de X sur M
ORTHOGONALE

205F. AKEF
2 - X – Y est orthogonal à tous les éléments de M
› Soit Z un élément quelconque de M et soit  une constante réelle non nulle
› Evaluons la distance d de X à l’élément Y + Z de M :
› d2 = || X  Y Z ||2 =  X  Y Z, X  Y Z 
› = || X  Y ||2 2 Z, X  Y  + 2 || Z ||2
› Cette distance d est supérieure ou égale à : donc
›  2 Z, X  Y  + 2 || Z ||2 = d2 || X  Y ||2 0,
› D’où 2 Z, X  Y 2 || Z ||2.
› Quel que soit 0, on a || Z ||2
› En considérant une suite de valeurs de  qui converge vers zéro par valeurs supérieures, on en
déduit
› Quel que soit 0, on a || Z ||2
› En considérant une suite de valeurs de  qui converge vers zéro par valeurs inférieures, on en
déduit
› On a donc bien quel que soit Z M
ORTHOGONALE

206F. AKEF
ORTHOGONALE

207F. AKEF
Application projections orthogonales
Définitions
› Soit M un sous-espace vectoriel fermé de l’espace de Hilbert H. A un élément X de H, on peut
associer de façon unique d’après le théorème précédent sa projection orthogonale P(X) sur M. On
définit ainsi une application :
› P : H  M ou P : H H
› X  P(X) X  P(X)
› Appelée projection orthogonale sur M
› D’autre part, toujours d’après le théorème précédent, Q(X) = X  P(X) appartient à M
et est tel que Q(X) = P(X) est orthogonal à M. L’application :
› Q : H  M ou Q : H  H
› X  Q(X) = X  P(X) X  Q(X)
› est la projection orthogonale sur le sous-espace vectoriel fermé M
› D’après ces définitions, on a P(X) + Q(X) = X
› Compte tenu du fait que M M = {0}, cette relation donne immédiatement la proposition
suivante
ORTHOGONALE

208F. AKEF
Proposition
› Si M est un sous-espace vectoriel fermé de l’espace de Hilbert H
› Tout vecteur X de H se décompose d’une manière unique en un vecteur P(X) appartenant à M et un
vecteur Q(X) appartenant à M
› H est somme directe de M et M : H = M + M
Propriétés des projections orthogonales
› Considérons P et Q comme des applications de H dans H
a) P et Q ont pour image M et M et pour noyau M et M respectivement
› Cela résulte immédiatement des définitions
b) P et Q sont linéaires
› Soient X1 et X2deux éléments de H, 1 et 2 deux nombres réels
V = P (1X1+ 2X2) 1P(X1) 2 P(X2) appartient à M
› W = Q (1X1+ 2X2) 1Q(X1) 2 Q(X2) appartient à M
ORTHOGONALE

209F. AKEF
Propriétés des projections orthogonales :
› En ajoutant ces deux vecteurs, la relation (1) montre que
› V + W = 1 X1 + 2 X21 X12 X2 = 0
› V = doit donc appartenir à la fois à M et à M et ne peut donc être que le vecteur nul On en déduit
bien que :
› P(1X1+ 2 X2 ) = 1P(X1) + 2 P(X2)
› Q(1X1+ 2 X2) = 1Q(X1) + 2 Q(X2)
c) P et Q sont continues
› En appliquant la relation de Pythagore aux vecteurs orthogonaux P(X) et Q(X)
› || P(X) ||2+ || Q(X) ||2= || X ||2 ,
› On voit que || P(X) || || X ||et || Q(X) || || X || ,
› P et Q sont bornées donc continues
› En prenant X dans M ou M (si ces espaces sont différents de {O} et H) , on a
ORTHOGONALE

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