Ce document présente plusieurs exercices de mathématiques, traitant des espaces vectoriels, des applications linéaires, et de probabilités. Il aborde des concepts tels que les noyaux et images d'applications, les probabilités liées à des événements conditionnels, ainsi que des statistiques liées aux clients d'un magasin. Enfin, il explore des fonctions et la convergence de suites réelles, tout en démontrant des propriétés analytiques.

1. ECE 5 : CONCOURS BLANC 2008
EPREUVE ECRICOME
1 Exercice
 
b a b
1. Soit l’ensemble E = {a b a, (a, b) ∈ R2 }.
b a b
(a) Montrer que E est un sous-espace vectoriel de M3 (R).
(b) D´terminer une base de E et la dimension de E.
e
2. On introduit l’application f : M3,1 (R) →  3,1 (R)
  M 
x 2x + y + 2z
y  →  x + 2y + z .
z 2x + y + 2z
(a) Montrer que f est un endomorphisme de M3,1 (R).
(b) D´terminer sa matrice M associ´e et v´rifier que M ∈ E.
e e e
(c) D´terminer le noyau de f et sa dimension.
e
(d) D´terminer l’image de f et sa dimension.
e
(e) V´rifier le th´or`me du rang.
e e e
2 Exercice : ESLSCA 2006
3 2
Soit la matrice A = .
2 3
1. Trouver la matrice J ∈ M2 (R) telle que A = I + J.
2. Montrer que ∀k ≥ 1, J k = 4k−1 J. Que vaut J 0 ?
n
k
3. (a) Soit n ≥ 1. Calculer n
4k−1 .
k=1
5n − 1
n
(b) Montrer que pour tout n ≥ 1, A = I + J.
4
4. On dispose de deux boˆ U et V :
ıtes
U contient 3 boules blanches et 2 boules noires
V contient 2 boules blanches et 3 boules noires
On tire des boules une ` une, chaque boule ´tant remise imm´diatement dans la boˆ d’o` elle
a e e ıte u
provient avant le tirage suivant. La premi`re boule est tir´e de U. Si elle est blanche, la seconde
e e
boule est tir´e de U ; si la premi`re boule tir´e est noire, la seconde boule est tir´e de V. A chaque
e e e e
´tape si le n-i`me tirage donne une boule blanche alors le (n + 1)-i`me tirage s’effectuera dans U,
e e e
alors que si le n-i`me tirage donne une boule noire alors le (n + 1)-i`me tirage s’effectuera dans V.
e e
On d´finit les ´v´nements suivants, pour tout entier n 1 :
e e e
Bn : «le n-i`me tirage donne une boule blanche »
e
Nn : « le n-i`me tirage donne une boule noire »
e
pn
On pose pn = P (Bn ), qn = P (Nn ) et Xn = .
qn
(a) Donner les valeurs de p1 et q1 .
1

2. (b) Calculer, par une m´thode clairement justifi´e, p2 et q2 .
e e
(c) Pour tout n, exprimer pn+1 et qn+1 en fonction de pn et qn .
1
(d) Montrer que Xn+1 = 5 AXn . En d´duire Xn en fonction de n, A et X1 .
e
(e) En d´duire le calcul de pn et qn . (utiliser la question 3.b))
e
5. On consid`re encore la suite de tirage de la question 3. On d´finit la variable al´atoire T ´gale au
e e e e
temps d’attente de la premi`re boule blanche : pour tout n 1, l’´v´nement (T = n) signifie que
e e e
la premi`re boule blanche est apparue au n-i`me tirage.
e e
(a) Montrer que P (T = 1) = 3 puis que pour tout n ≥ 2, P (T = n) = ( 5 )2 ( 3 )n−2 .
5
2
5
(b) V´rifier que la somme des probabilit´s des ´v´nements (T = n) vaut bien 1.
e e e e
(c) Montrer que T admet une esp´rance et la calculer.
e
3 Exercice : Ecricome 2007
Soucieux d’am´liorer le flux de sa client`le lors du passage en caisse, un g´rant de magasin a r´alis´
e e e e e
les observations suivantes :
1. L’´tude du mode de paiement en fonction du montant des achats a permis d’´tablir les probabilit´s
e e e
suivantes :
P [S = 0 ∩ U = 0] = 0.4
P [S = 0 ∩ U = 1] = 0.3
P [S = 1 ∩ U = 0] = 0.2
P [S = 1 ∩ U = 1] = 0.1
o` S repr´sente la variable al´atoire prenant la valeur 0 si le montant des achats est inf´rieur ou
u e e e
´gal ` 50 euros, prenant la valeur 1 sinon, et U la variable al´atoire prenant la valeur 0 si la somme
e a e
est r´gl´e par carte bancaire, prenant la valeur 1 sinon.
e e
(a) D´terminer les lois de S et U et v´rifier que la probabilit´ que le client r`gle par carte bancaire
e e e e
3
est ´gale ` p = .
e a
5
(b) Calculer la covariance du couple (S, U ). On rappelle que Cov(S, U ) = E(SU ) − E(S)E(U ).
(c) Quelle est la probabilit´ que la somme r´gl´e soit sup´rieure strictement ` 50 euros sachant
e e e e a
que le client utilise un autre moyen de paiement que la carte bancaire ?
2. On suppose de plus que les modes de r`glement sont ind´pendants entre les individus.
e e
Une caissi`re re¸oit n clients dans sa journ´e (n 2).
e c e
On d´finit trois variables al´atoires Cn , L1 , L2 par :
e e
-Cn comptabilise le nombre de clients qui paient par carte bancaire.
-L1 (resp.L2 ) est ´gale au rang du 1er (resp.du 2eme ) client utilisant la carte bancaire comme moyen
e `
de paiement, s’il y en a au moins un (resp.au moins deux) et ` z´ro sinon.
a e
(a) Reconnaˆ la loi de Cn , rappeler la valeur de l’esp´rance et de la variance de cette variable
ıtre e
al´atoire.
e
(b) D´terminer la loi de L1 . (on distinguera le cas L1 = 0)
e
(c) V´rifier que :
e
n
P [L1 = k] = 1
k=0
(d) D´terminer la loi du couple (L1 , L2 ).
e
(e) En d´duire la loi marginale de L2 . (traiter le cas L2 = 0 ` part)
e a
2

3. 4 Exercice : EML 2007
Pr´liminaire
e
On donne : 0, 69 < ln 2 < 0, 70.
On consid`re l’application :
e
g : ]0; +∞[ → R, x → g (x) = x2 + ln x
(a) Montrer que g est continue et strictement croissante sur ]0; +∞[ et d´terminer les limites de
e
g en 0 et en +∞
(b) Montrer que l’´quation g (x) = 0, d’inconnue x ∈ ]0; +∞[, admet une solution et une seule.
e
On note α l’unique solution de cette ´quation.
e
1
(c) Montrer : 2
<α<1
Partie A
1
On note I = 2
,1 et on consid`re l’application :
e
1 1
f : I → R, x → f (x) = x − x2 − ln x
4 4
(a) i. Montrer que f est strictement croissante sur I.
ii. Montrer : 2 < f 1 < f (1) < 1.
1
2
iii. En d´duire : ∀x ∈ I, f (x) ∈ I.
e
(b) On consid`re la suite r´elle (un )n∈N d´finie par u0 = 1 et, pour tout n ∈ N, un+1 = f (un ).
e e e
i. Calculer u1
ii. Montrer : ∀n ∈ N, un ∈ I
iii. Montrer que la suite (un )n∈N est d´croissante.
e
iv. Montrer que la suite (un )n∈N converge et que sa limite est le r´el α.
e
Partie B
On consid`re l’application :
e
F : R∗ × R → R,
+ (x, y) → F (x, y) = x ey + y ln x
(a) Calculer les d´riv´es partielles premi`res de F en tout point (x, y) de R∗ × R.
e e e +
(b) Montrer que F admet un point critique et un seul que l’on exprimera ` l’aide du r´el α.
a e
Partie C
e
On pose pour tout entier n ∈ N, In = 1 (ln x)n dx.
(a) Calculer I0 et I1 .
(b) Montrer que pour tout n ∈ N, In ≥ 0.
(c) Etablir que pour tout n ∈ N, In+1 = e − (n + 1)In .
e
(d) En d´duire que 0 ≤ In ≤ n+1 . Quelle est la limite de la suite (In ) ?
e
e
(e) A l’aide de la question c), montrer que In ∼ n .
3