Analyse1 cour.pdf

Université Ibn Zohr
Faculté Polydisciplinaire de Ouarzazate
Département de Mathématiques, Informatique et Gestion
Cours
Analyse 1 - SMI - S1
Tarik BERROUG
1

Chapitre 1
Nombres réels - Compléments
1 Valeur absolue
Dé…nition. On appelle valeur absolue de x 2 R; le réel noté jxj, dé…ni par :
jxj =
x si x > 0
x si x 6 0:
On a les propriétés suivantes :
Soit x 2 R et y 2 R, alors :
1. jxj > 0:
2. jxj = j xj :
3. jxj 6 x 6 jxj :
4. x2
= jxj
2
= x2
:
5.
p
x2 = jxj :
6. jxyj = jxj jyj :
7. jxj = 0 () x = 0:
8. Si x 6= 0, alors 1
x = 1
jxj :
9. Soit 2 R+
:
(a) jxj = () x 2 f ; g :
(b) jxj 6 () 6 x 6 :
(c) jxj < () < x < :
(d) jxj > () x 2] 1; ] [ [ ; +1[:
(e) jxj > () x 2] 1; [[] ; +1[:
10. jxj = jyj () x = y ou x = y:
11. jxj = jyj () x2
= y2
:
12. jxj 6 jyj () x2
6 y2
:
13. jx + yj 6 jxj + jyj :
14. jjxj jyjj 6 jx yj :
2 Majorants, minorants, borne supérieure, borne inférieure
2.1 Dé…nitions
Dé…nition. Soit A R et soit a 2 R: On dit que a est
1. un majorant de A si et seulement si 8x 2 A; x 6 a:
2. un minorant de A si et seulement si 8x 2 A; a 6 x:
2

Dé…nition. Soit A R et soit a 2 R: On dit que a est
1. le plus grand élément de A si et seulement si a 2 A et 8x 2 A; x 6 a:
2. le plus petit élément de A si et seulement si a 2 A et 8x 2 A; a 6 x:
Remarque :
S’
il existe, le plus grand élément de A est unique. Il est noté : max(A).
De même, s’
il existe, le plus petit élément de A est unique. Il est noté :
min(A).
Démonstration :
Supposons que a et a0
soient deux plus grands éléments de l’
ensemble A,
alors on a :
d’
une part a0
2 A, donc a0
6 a et
d’
autre part a 2 A, donc a 6 a0
:
Ainsi, on obtient l’
égalité a = a0
:
L’
unicité du plus petit élément se démontre de la même manière.
Remarque :
Un majorant n’
est pas unique.
S’
il existe, le plus grand élément de A est un majorant de A qui appartient
à l’
ensemble A.
Exemple :
2 et 5 sont deux majorants de [0; 1]:
2 et 0 sont deux minorants de [0; 1]:
[0; 1] admet un plus grand élément et un plus petit élément.
]0; 1[ n’
a pas de plus grand élément et n’
a pas de plus petit élément.
N, Q et R n’
ont pas de plus grand élément.
N admet un plus petit élément 0.
Dé…nition. Soit A R:
1. La borne supérieure de A est, si elle exite, le plus petit élément de l’
en-
semble des majorants de A. On la note : sup(A).
2. La borne inférieure de A est, si elle exite, le plus grand élément de l’
en-
semble des minorants de A. On la note : inf(A).
Remarque :
Si A désigne l’
ensemble constitué par les majorants de A, alors
sup(A) = min(A):
Si B désigne l’
ensemble constitué par les minorants de A, alors
inf(A) = max(B):
Les bornes supérieures et inférieures de A sont uniques.
3

On a les équivalences :
s = sup(A) () s = min(A) () s 2 A et 8s0
2 A; s 6 s0
()
s majore A
8s0
2 R; (s0
2 A =) s 6 s0
)
()
s majore A
8s0
2 R; (s0
< s =) s0
ne majore pas A)
()
s majore A
8s0
2 R; (s0
< s =) 9x 2 A; s0
< x) :
De même :
m = inf(A) () m = max(B)
()
m minore A
8m0
2 R; (m0
> m =) 9x 2 A; x < m0
) :
Théorème. Soient A R et a 2 R: Il y a équivalence entre :
1. a est la borne supérieure de A.
2. 8x 2 A; x 6 a et 8" > 0; 9x 2 A; a " < x 6 a:
Remarque :
m est la borne inférieure de A si et seulement si :
8x 2 A; m 6 x et 8" > 0; 9x 2 A; x < m + ":
Si a = sup(A) et m = inf(A); alors
l’
ensemble des majorants de A est l’
intervalle : [a; +1[:
l’
ensemble des minorants de A est l’
intervalle : ] 1; m]:
Soit a < b: On a
sup ([a; b]) = sup ([a; b[) = sup (]a; b]) = sup (]a; b[) = sup (] 1; b]) =
sup (] 1; b[) = b:
inf ([a; b]) = inf ([a; b[) = inf (]a; b]) = inf (]a; b[) = inf ([a; +1[) =
inf (]a; +1[) = a:
On admet les deux axiomes suivants :
Axiome de la borne supérieure (BS) : toute partie non vide et majorée
de R admet une borne supérieure dans R.
Axiome de la borne inférieure (BI) : toute partie non vide et minorée
de R admet une borne inférieure dans R.
2.2 Propriétés de la borne supérieure et de la borne inférieure
A et B sont deux parties non vides de R.
Proposition.
1. Si A est majorée, alors
est un majorant de A () 8x 2 A; x 6 () sup(A) 6 :
2. Si A est minorée, alors
est un minorant de A () 8x 2 A; 6 x () 6 inf(A):
4

Proposition.
1. Si A est majorée, alors
max(A) existe () sup(A) 2 A:
Dans ce cas, on a sup(A) = max(A):
2. Si A est minorée, alors
min(A) existe () inf(A) 2 A:
Dans ce cas, on a inf(A) = min(A):
Proposition.
1. Si B est majorée et si A B; alors A est majorée et sup(A) 6 sup(B):
2. Si B est minorée et si A B; alors A est minorée et inf(B) 6 inf(A):
Proposition.
1. Si A est majorée, alors ( A) est minorée et inf( A) = sup(A):
2. Si A est minorée, alors ( A) est majorée et sup( A) = inf(A):
Avec A = f a : a 2 Ag:
3 Propriété d’
Archimède, partie entière d’
un réel
Proposition. (Propriété d’
Archimède)
8a 2 R; 9n 2 N; n > a:
Conséquences :
1. 8a 2 R+; 8b 2 R; 9n 2 N; b < na:
2. 8" >0; 9n 2 N ; 1
n < ":
Théorème et dé…nition. (Partie entière)
Pour tout nombre réel x, il existe un nombre entier relatif unique n (n 2 Z)
tel que :
n 6 x < n + 1:
Ce nombre est appelé la partie entière de x. Il est noté E(x) ou [x]:
Remarque :
La partie entière est caractérisée par : E(x) 2 Z et E(x) 6 x < E(x) + 1:
Soient x 2 R et A = fk 2 Z : k 6 xg: On a : n = E(x) = max(A):
On a pour tout x 2 R; E(x) 6 x < E(x) + 1 et x 1 < E(x) 6 x:
Proposition. Soit (x; y) 2 R2
: Alors
1. E(x) = x () x 2 Z:
2. x 6 y =) E(x) 6 E(y): La partie entière est une fonction croissante :
supposons que x 6 y: On a E(x) 6 x 6 y et E(x) 2 Z: Comme E(y) est
le plus grand entier relatif inférieur à y, on obtient E(x) 6 E(y):
5

Proposition. Soient x 2 R et m 2 Z: Alors
1. E(x) = m () x 2 [m; m + 1[:
2. E(x + m) = E(x) + m:
Exemple :
E(3; 14) = 3; E(2) = 2; E( 2) = 2; E( ) = 4; E( 4; 273) = 5 ...
4 Droite numérique achevée
Dé…nition. On note R, l’
ensemble R[f 1; +1g: Cet ensemble est appelé
droite numérique achevée.
On a :
1. 8x 2 R; x + (+1) = (+1) + x = +1:
2. 8x 2 R; x + ( 1) = ( 1) + x = 1:
3. (+1) + (+1) = +1 et ( 1) + ( 1) = 1:
4. 8x 2 R+; x(+1) = (+1) x = +1:
5. 8x 2 R+; x( 1) = ( 1) x = 1:
6. 8x 2 R ; x(+1) = (+1) x = 1:
7. 8x 2 R ; x( 1) = ( 1) x = +1:
8. (+1) (+1) = +1 = ( 1) ( 1) :
9. (+1) ( 1) = 1 = ( 1) (+1) :
10. 8x 2 R; 1 < x < +1:
11. 1 6 1; +1 6 +1 et 1 < +1:
5 Densité de Q dans R
Théorème. Tout intervalle non vide et non réduit à un singleton, contient
au moins un rationnel : Si x et y sont deux réels tels que x < y; alors il existe
r 2 Q tel que x < r < y: On dit que Q est dense dans R.
6 Approximation d’
un réel
Soit x un réel et p un entier naturel. On a
E(x10p
) 6 x10p
< E(x10p
) + 1;
d’
où
E(x10p
)10 p
6 x < E(x10p
)10 p
+ 10 p
:
E(x10p
)10 p
est un nombre décimal approchant x à 10 p
près par défaut et
E(x10p
)10 p
+10 p
est un nombre décimal approchant x à 10 p
près par excès.
Remarque :
Un nombre décimal est un rationnel de la forme q
10p où q 2 Z et p 2 N :
6

Chapitre 2
Suites numériques
1 Dé…nitions
Dé…nition. Une suite numérique est une application u de N dans K (avec
K = R ou K = C). L’
image u(n) est notée un et est appelée terme général de la
suite u. La suite u est notée (un)n2N ou (un)n>0 ou simplement (un).
Remarque :
Nous appellerons aussi, suites numériques toutes les applications dé…nies
sur fn 2 N : n > n0g et à valeurs dans K où n0 2 N est …xé. u sera notée
(un)n>n0 ou simplement (un) ; son premier terme est un0 et non u0: L’
étude
d’
une telle suite peut se ramener à celle d’
une suite (vn)n2N; en posant :
8n 2 N; vn = un+n0 :
(On fait un changement d’
indice.)
Par exemple, l’
étude de la suite 1
n n>1
se ramène à l’
étude de la suite
1
n+1
n>0
dé…nie sur tout N: Dans les deux cas, il s’
agit d’
étudier la suite
1; 1
2 ; 1
3 ; 1
4 ; : : : :
Dans ce chapitre, on travaille avec des suites dé…nies à partir du rang 0 ;
c’
est-à-dire dé…nies sur N tout entier. Ce travail peut se prolonger aux autres
suites dé…nies à partir d’
un rang n0:
On parle de suite réelle si K = R et complexe si K = C:
L’
ensemble des valeurs de la suite se note
fun : n 2 Ng = fu0; u1; u2; : : : ; un; : : :g:
Deux suites (un)n>0 et (vn)n>0 sont égales si et seulement si
8n 2 N; un = vn:
Par exemple, les suites de termes généraux un = ( 1)n
et vn = ( 1)n+1
ne
sont pas égales, mais elles ont le même ensemble de valeurs : f 1; 1g:
Dé…nition. Soit (un)n2N une suite réelle. On dit qu’
elle est :
1. Constante s’
il existe 2 R tel que : 8n 2 N; un = :
2. Stationnaire s’
il existe 2 R et p 2 N tels que : 8n > p; un = :
C’
est-à-dire constante à partir d’
un certain rang p.
elle est :
1. Majorée par M 2 R si : 8n 2 N; un 6 M:
2. Minorée par m 2 R si : 8n 2 N; m 6 un:
3. Bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
7

Remarque :
La suite (un)n2N est majorée si l’
ensemble de ses valeurs est majoré dans
R. Elle est minorée si cet ensemble est minoré dans R.
Si M est un majorant de (un); alors tout réel plus grand que M en est un
autre. Même remarque pour les minorants.
Proposition. (un)n2N est bornée si et seulement si la suite (junj)n2N est
majorée :
9C > 0; 8n 2 N; junj 6 C:
Exemple :
La suite (sin(n)) est bornée.
La suite (n2
) est minorée par 0, mais elle n’
est pas majorée.
Soit un = sin(n)
3 cos(n) : La suite (un) est bornée.
Montrer que : 8n 2 N; junj 6 1
2 :
elle est :
1. Croissante (resp. strictement croissante) si
8n 2 N; un 6 un+1
(resp. un < un+1):
2. Décroissante (resp. strictement décroissante) si
8n 2 N; un > un+1
(resp. un > un+1):
3. Monotone (resp. strictement monotone) si elle est croissante ou décrois-
sante (resp. strictement croissante ou strictement décroissante).
Remarque :
Minorée n’
est pas le contraire de majorée, décroissante n’
est pas le contraire
de croissante : la suite de terme général ( 1)n
n’
est ni croissante ni décroissante.
Proposition. Soient u = (un)n2N et v = (vn)n2N deux suites numériques et
2 R: Si u et v sont bornées, alors u; u + v et uv sont bornées.
Démonstration :
Il existe M; M0
2 R tels que : 8n 2 N; junj 6 M et 8n 2 N; jvnj 6 M0
:
On a :
j unj 6 j j M:
jun + vnj 6 junj + jvnj 6 M + M0
:
junvnj = junj jvnj 6 MM0
:
Dé…nition. (Suite extraite)
Soit (un)n2N une suite. On appelle suite extraite de (un)n2N; toute suite
(vn)n2N dont le terme général peut s’
écrire : vn = u'(n); pour tout n 2 N: ' est
une application strictement croissante de N dans N:
8

Remarque :
' : N ! N strictement croissante et 8n 2 N; vn = u'(n) = u '(n):
' dé…nit des entiers naturels qui seront utilisés comme de nouveaux in-
dices : La suite extraite (vn)n2N est la liste des termes de (un)n2N qui sont
associés aux indices dé…nis par l’
application ': Il s’
agit d’
une sélection d’
une
in…nité de termes de la suite.
Par exemple, si '(0) = 2; '(1) = 4; '(2) = 7; '(3) = 8; '(4) = 23;
'(5) = 56; . . . La suite (vn)n2N est la suite :
(v0; v1; v2; v3; v4; v5; : : :) = (u2; u4; u7; u8; u23; u56; : : :) :
Exemple :
La suite (un+1)n2N est une suite extraite de (un)n2N:
La fonction ' : N ! N correspondante est dé…nie par : '(n) = n + 1:
La suite (u2n)n2N est une suite extraite de (un)n2N: La fonction ' : N ! N
correspondante est dé…nie par : '(n) = 2n: Les termes d’
indices pairs de
(un)n2N:
La suite (u2n+1)n2N est une suite extraite de (un)n2N:
La fonction ' : N ! N correspondante est dé…nie par : '(n) = 2n + 1: Les
termes d’
indices impairs de (un)n2N:
Si un = ( 1)n
; les suites (u2n)n2N et (u2n+1)n2N sont les suites constantes
de valeurs respectives 1 et 1.
De façon plus générale, la suite (ukn+p)n2N où k et p sont des entiers est
une suite extraite de (un)n2N:
Théorème. Soit ' une application strictement croissante de N dans N.
Alors : 8n 2 N; '(n) > n:
Démonstration :
Par récurrence. On a '(0) 2 N; alors '(0) > 0:
Soit n 2 N tel que '(n) > n: Alors '(n + 1) > '(n) > n avec '(n + 1) 2 N;
donc '(n + 1) > n + 1:
Dé…nition. (Suite dé…nie par récurrence)
Une suite peut être dé…nie par récurrence :
1. On donne son premier terme u0:
2. On donne une relation (dite de récurrence), de la forme : un+1 = f(un)
où f est une fonction dé…nie sur une partie D R et à valeurs réelles.
Dé…nition. Soit E un ensemble, f : E ! E une application et F une
partie de E (F E): On dit que F est stable par f si f(F) F, c’
est-à-dire
si : 8x 2 F; f(x) 2 F:
Exemple :
Soit u0 2 [ 1; +1[ et soit la fonction f : x 7 !
p
1 + x dé…nie sur [ 1; +1[:
Alors
1. On peut dé…nir une suite (un)n2N par : 8n 2 N; un+1 = f(un) =
p
1 + un:
2. D = [ 1; +1[ est stable par f : f(D) D:
9

Théorème. Soient D une partie de R, u0 2 D et f : D ! D une applica-
tion (D est stable par f). Soit (un)n2N la suite dé…nie par :
8n 2 N; un+1 = f(un):
1. Supposons f croissante :
(a) Si u0 6 u1, alors (un)n2N est croissante.
(b) Si u0 > u1, alors (un)n2N est décroissante.
Dans les deux cas, (un)n2N est monotone.
2. Supposons f décroissante, (u2n)n2N et (u2n+1)n2N sont monotones de sens
contraires.
Remarque :
Le terme qui suit u2n est u2n+2 et non u2n+1:
Le terme qui suit u2n+1 est u2n+3 et non u2n+2:
Dé…nition. (Suites arithmétiques)
Une suite (un)n2N est dite arithmétique s’
il existe un nombre r 2 R tel que
8n 2 N; un+1 = un + r:
r est appelé raison de la suite arithmétique. On a alors : 8n 2 N; un = u0 +nr:
Proposition. La somme des n premiers termes de (un)n2N arithmétique de
raison r est donnée par
n 1
X
k=0
uk = u0 + u1 + : : : + un 1 =
n
2
(u0 + un 1):
Dé…nition. (Suites géométriques)
Une suite (un)n2N est dite géométrique s’
il existe un nombre q 2 R tel que
8n 2 N; un+1 = qun:
q est appelé raison de la suite géométrique. On a alors : 8n 2 N; un = qn
u0:
Proposition. La somme des n premiers termes de (un)n2N géométrique de
raison q est
Si q 6= 1;
n 1
X
k=0
uk = u0
1 qn
1 q
; et si q = 1;
n 1
X
k=0
uk = nu0:
Dé…nition. La suite (un)n2N est dite arithmético-géométrique si :
9(a; b) 2 R2
; 8n 2 N; un+1 = aun + b:
Si a 6= 1; on a :
8n 2 N; un = an
u0 + b
1 an
1 a
:
10

Remarque :
Si b = 0; alors on a un+1 = aun; donc on obtient une suite géométrique de
raison a.
Si a = 1; alors on a un+1 = un + b; on obtient donc une suite arithmétique
de raison b.
Supposons a 6= 1, b 6= 0 et posons = b
1 a et vn = un :
On a :
vn+1 = un+1
= aun + b +
b
a 1
= aun +
ab b + b
a 1
= a un +
b
a 1
= a (un )
= avn:
Alors (vn) est géométrique de raison a. D’
où : 8n 2 N; vn = an
v0: Donc
8n 2 N; un = an
(u0 );
et
8n 2 N; un = an
u0 + (1 an
) = an
u0 + b
1 an
1 a
:
Exemple :
Soit
u0 = 1;
8n 2 N; un+1 = 3un 1:
Soit n 2 N et posons vn = un l; alors
vn+1 = un+1 l
= 3un 1 l
= 3un 3l + 3l 1 l
= 3vn + 2l 1:
Pour l = 1
2 ; on a vn+1 = 3vn: Comme v0 = u0
1
2 = 1
2 ; on obtient vn = 3n 1
2 ;
d’
où un = vn + l = 3n
2 + 1
2 = 1
2 (3n
+ 1) :
2 Limite d’
une suite numérique
Dé…nition. On dit que la suite (un)n2N converge vers l 2 R (ou admet l
pour limite) si :
8" > 0; 9p 2 N; 8n 2 N; (n > p =) jun lj 6 ") :
Remarque :
Les termes de la suite s’
approchent de plus en plus de l.
Dans cette dé…nition, les deux dernières inégalités peuvent être strictes ou
larges.
11

Cas de la limite +1
On dit que la suite (un)n2N admet +1 pour limite si :
8A > 0; 9p 2 N; 8n > p; un > A:
Cas de la limite 1
On dit que la suite (un)n2N tend vers 1 quand n tend vers +1 si :
8B < 0; 9p 2 N; 8n 2 N; (n > p =) un 6 B) :
Théorème. Soit (un)n2N une suite admettant une limite l 2 R[f 1; +1g:
Alors cette limite est unique et on note :
lim
n!+1
(un) = l ou un !
n!+1
l:
Remarque :
Si l 2 R (l est …ni), alors
lim
n!+1
(un) = l () lim
n!+1
(un l) = 0:
Exemple :
La suite 1
n n2N
tend vers 0 quand n tend vers +1:
Soit " > 0: Posons ensuite p = E 1
" + 1: On a p 2 N et si n > p; alors
n > 1
" ; donc 1
n 6 ":
Nous avons ainsi montré que
8" > 0; 9p 2 N; 8n > p;
1
n
6 ":
Montrons que : 8" > 0; 9p 2 N; 8n 2 N; n > p =) n
n2+2 6 " :
Soit donc " > 0 (…xé quelconque). On cherche un rang p à partir duquel, on
aura : n
n2+2 = n
n2+2 6 ":
On peut remarquer, par ailleurs, que l’
on a : n
n2+2 6 n
n2 = 1
n (pour n 6= 0).
Il su¢ t donc de trouver p à partir duquel 1
n 6 ":
D’
après l’
exemple précédent, p = E 1
" + 1 permet de conclure que
8" > 0; 9p 2 N; 8n 2 N; n > p ) n >
1
"
)
1
n
6 " )
n
n2 + 2
6 " :
Ainsi, on obtient : lim
n!+1
n
n2+2 = 0:
Dé…nition. On dit que la suite (un)n2N est convergente ou qu’
elle converge
si elle possède une limite …nie, on dit sinon qu’
elle est divergente ou qu’
elle
diverge.
Remarque :
La convergence ne signi…e pas posséder une limite : une suite de limite
1 est divergente et possède une limite. Les suites divergentes ne sont pas
12

seulement les suites tendant vers 1: Les suites (( 1)n
) ; (sin n) ; (cos n) ; : : :
ne possèdent pas de limite (ni < +1; ni 1):
Une suite peut donc converger vers une limite …nie ou diverger vers
une limite in…nie ou diverger sans limite.
Théorème. Toute suite convergente est bornée.
Remarque :
Ce théorème signi…e : CV =) Bornée.
La réciproque : Bornée =) CV est fausse en général. La suite de terme
général ( 1)n
est bornée (comprise entre 1 et 1), mais ne converge pas.
Démonstration du théorème.
On suppose que (un)n2N converge vers l 2 R: Alors, d’
après la dé…nition (et
en prenant " = 1), il existe p 2 N tel que pour tout n > p; on a
junj jlj 6 jun lj 6 1:
Donc pour n > p; on a : junj 6 1 + jlj : Posons ensuite
M = max(ju0j ; ju1j ; : : : ; jup 1j ; 1 + jlj):
Alors : 8n 2 N; junj 6 M: D’
où le résultat.
Théorème. (Limite et suites extraites)
Soient (un)n2N une suite et l 2 R [ f 1; +1g: On a les équivalences :
1 () 2 () 3:
1. lim
n!+1
un = l:
2. lim
n!+1
u2n = lim
n!+1
u2n+1 = l:
3. Toute suite extraite de (un)n2N admet l pour limite.
Exemple :
La suite 1
2n+1
n2N
est extraite de 1
n n2N
: Elle converge donc vers 0.
Remarque :
Pour montrer qu’
une suite n’
a pas de limite, il su¢ t de trouver deux suites
extraites n’
ayant pas la même limite (ou pas de limite).
Par exemple, soit un = ( 1)n
:
On a u2n = 1 !
n!+1
1 et u2n+1 = 1 !
n!+1
1: Donc (un)n2N n’
a pas de
limite.
3 Opérations sur les limites
Soient (un)n2N et (vn)n2N deux suites et 2 R:
Proposition.
1. Si lim
n!+1
un = l, alors lim
n!+1
junj = jlj ; (en notant j 1j = +1):
2. lim
n!+1
un = 0 () lim
n!+1
junj = 0:
13

Proposition.
1. Si lim
n!+1
un = l et lim
n!+1
vn = l0
; alors lim
n!+1
un + vn = l + l0
:
(Si l + l0
existe).
2. Si lim
n!+1
un = l et lim
n!+1
vn = l0
; alors lim
n!+1
unvn = ll0
: (Si ll0
existe).
3. Si lim
n!+1
un = l; alors lim
n!+1
un = l:
Proposition.
1. Si lim
n!+1
un = l(6= 0) et si (un)n2N est non nulle à partir d’
un certain rang ;
c’
est-à-dire si : 9n0 2 N; 8n > n0; un 6= 0; alors lim
n!+1
1
un
= 1
l
(en posant 1
1 = 0):
2. Si lim
n!+1
un = 0 et si un > 0 à partir d’
un certain rang, alors
lim
n!+1
1
un
= +1:
3. Si lim
n!+1
un = 0 et si un < 0 à partir d’
un certain rang, alors
lim
n!+1
1
un
= 1:
4 Passage à la limite et relation d’
ordre
Dé…nition. Soit (un) une suite. On dit que (un) véri…e une propriété P à
partir d’
un certain rang (APCR) s’
il existe un rang N 2 N tel que pour tout
n > N; la propriété P soit vraie.
Exemple :
une suite (un)n2N est positive si : 8n 2 N; un > 0: On dira qu’
elle est
positive à partir d’
un certain rang (APCR) s’
il existe un rang N 2 N tel que
8n 2 N; (n > N =) un > 0) ou 8n > N; un > 0:
Théorème.
Soient (un)n2N et (vn)n2N deux suites réelles, l; l0
2 R et m; M 2 R:
1. Si lim
n!+1
un = l et lim
n!+1
vn = l0
et si un 6 vn (APCR), alors l 6 l0
:
2. Si lim
n!+1
un = l et si un 6 M (APCR), alors l 6 M:
3. Si lim
n!+1
un = l et si un > m (APCR), alors l > m:
Remarque :
Les inégalités strictes ne sont pas conservées par passage à la limite :
Si n > N =) un < vn, alors l 6 l0
:
Par exemple, lim
n!+1
1
n = 0 (n’
est pas strictement positive) et 8n 2 N ; 1
n > 0:
Théorème.
Soient (un)n2N une suite réelle, l 2 R et m; M 2 R:
1. Si lim
n!+1
un = l et si l < M; alors un < M (APCR).
2. Si lim
n!+1
un = l et si l > m; alors un > m (APCR).
14

Théorème. (Théorème d’
encadrement)
Soient (un)n2N, (vn)n2N et (wn)n2N trois suites réelles et l 2 R:
Si lim
n!+1
un = lim
n!+1
vn = l et si un 6 wn 6 vn (APCR), alors la suite
(wn)n2N est convergente avec lim
n!+1
wn = l:
Démonstration :
Soit " > 0: On a
9N1 2 N; 8n > N1; jun lj 6 ":
9N2 2 N; 8n > N2; jvn lj 6 ":
9n0 2 N; 8n > n0; un 6 wn 6 vn:
Posons p = max(n0; N1; N2) et soit n > p; alors on a : wn l 6 vn l 6 "
et l wn 6 l un 6 "; donc
jwn lj 6 ":
Ainsi
8" > 0; 9p 2 N; 8n > p; jwn lj 6 ":
Proposition.
Soient (un)n2N et (vn)n2N deux suites.
1. Si lim
n!+1
un = +1 et si un 6 vn (APCR), alors lim
n!+1
vn = +1:
2. Si lim
n!+1
un = 1 et si vn 6 un (APCR), alors lim
n!+1
vn = 1:
3. Si lim
n!+1
vn = 0 et si jun lj 6 vn (APCR), alors lim
n!+1
un = l:
4. Si lim
n!+1
un = 0 et si la suite (vn)n2N est bornée, alors lim
n!+1
unvn = 0:
Démonstration : (de 1, 3 et 4)
1. On a 9N1 2 N; 8n > N1; un 6 vn:
Soit A > 0. Il existe N2 2 N tel que : 8n > N2; un > A:
On pose p = max(N1; N2) 2 N. Alors pour tout n > p; on a : A 6 un 6 vn;
donc vn > A: D’
où lim
n!+1
vn = +1:
3. On a 9N1 2 N; 8n > N1; jun lj 6 vn:
Soit " > 0: Il existe N2 2 N tel que : 8n > N2; jvn 0j 6 ":
On pose p = max(N1; N2) 2 N, on a : 8n > p; jun lj 6 ": Alors
lim
n!+1
un = l:
4. On a 9M 2 R; 8n 2 N; jvnj 6 M:
On a aussi : junvn 0j = junj jvnj 6 M junj ; donc d’
après 3. lim
n!+1
unvn = 0:
Remarque : 2. se déduit de 1. par passage à l’
opposé.
Exemples :
1. Soit un = n+sin(n)
n+1 : On a
jun 1j =
jsin(n) 1j
n + 1
6
jsin(n)j + 1
n + 1
6
2
n + 1
:
Donc lim
n!+1
un = 1:
2. Soit un = sin(n)
n : On a (sin(n))n2N est bornée et lim
n!+1
1
n = 0: Alors
lim
n!+1
sin(n)
n = 0:
15

3. vn = ( 1)n
n !
n!+1
0: Produit d’
une suite bornée par une suite de limite
nulle.
4. Soit un =
n
X
k=1
1
p
k
:
Comme 1 6 k 6 n; on a 1 6
p
k 6
p
n et alors 1
p
k
> 1
p
n
: Donc
un =
n
X
k=1
1
p
k
>
n
X
k=1
1
p
n
=
n
p
n
=
p
n;
et comme lim
n!+1
p
n = +1; alors lim
n!+1
un = +1:
Théorème. (De la limite monotone)
1. Toute suite réelle croissante et majorée est convergente.
2. Toute suite réelle décroissante et minorée est convergente.
Proposition.
1. Toute suite réelle croissante et non majorée tend vers +1.
2. Toute suite réelle décroissante et non minorée tend vers 1.
Remarque :
Si (un) est croissante, alors :
(
ou bien (un) converge,
ou bien (un) !
n!+1
+1:
Si (un) est croissante et convergente vers l; alors
l = supfun : n 2 Ng;
et en particulier : 8n 2 N; un 6 l:
Si (un) est décroissante, alors lim
n!+1
un = inffun : n 2 Ng:
Ces énoncés ( Théorème et Proposition) se généralisent aux suites mono-
tones à partir d’
un certain rang.
Montrons 1. de la Proposition.
Soit (un) croissante et non majorée.
Soit A > 0: Comme A ne majore pas (un), il existe p 2 N tel que up > A:
Ainsi,
8n > p; un > up > A;
donc lim
n!+1
un = +1:
5 Suites adjacentes
Dé…nition.
On dit que deux suites réelles (un)n>0 et (vn)n>0 sont adjacentes si l’
une
d’
elles est croissante, l’
autre décroissante et si lim
n!+1
(un vn) = 0:
16

On a le théorème suivant :
Théorème.
Soient (un)n>0 et (vn)n>0 deux suites réelles adjacentes.
Alors, elles sont convergentes de même limite l:
Si c’
est (un)n>0 qui est croissante et (vn)n>0 qui est décroissante, alors :
8n 2 N; un 6 l 6 vn:
8m; n 2 N; um 6 l 6 vn:
8n 2 N; un 6 un+1 6 l 6 vn+1 6 vn:
8n 2 N; 0 6 l un 6 vn un:
Démonstration :
On suppose que (un)n>0 % et que (vn)n>0 & :
1. Montrons que : 8n 2 N; un 6 vn:
Par l’
absurde, on suppose qu’
il existe N 2 N tel que uN > vN : Alors :
8n > N; un vn > uN vN , car un > uN et vn 6 vN :
Par passage à la limite, on obtient : 0 = lim
n!+1
(un vn) > uN vN ;
c’
est-à-dire 0 < uN vN 6 0: Impossible.
2. Montrons que : 8m; n 2 N; um 6 vn:
Soient m; n 2 N: On a deux cas :
Si m 6 n; alors um 6 un 6 vn:
Si m > n; alors um 6 vm 6 vn:
Dans les deux cas, on a um 6 vn:
3. D’
après 2.
m = 0 2 N; donc 8n 2 N; u0 6 vn:
n = 0 2 N; donc 8m 2 N; um 6 v0:
D’
après 1 on a :
(8n 2 N; un 6 vn 6 v0) et (8n 2 N; u0 6 un 6 vn) :
La suite (un)n>0 est % et majorée par v0; donc convergente de limite l:
De même, la suite (vn)n>0 est & et minorée par u0; donc convergente de
limite l0
:
Comme lim
n!+1
(un vn) = 0; on obtient l’
égalité l = l0
:
lim
n!+1
(un vn) = lim
n!+1
un lim
n!+1
vn = l l0
:
On a : (8n 2 N; un 6 l) et (8n 2 N; vn > l0
) avec l = l0
.
Ainsi, 8n 2 N; un 6 l 6 vn:
17

Chapitre 3
Fonctions numériques d’
une variable réelle
1 Généralités
Dé…nition.
On appelle fonction numérique de la variable réelle toute fonction f de E
vers F avec E et F deux parties de R. E R et F R.
Dé…nition.
L’
ensemble des réels ayant une image par f est appelé ensemble de dé…nition
de f et est noté Df ou D.
Remarque :
Df = fx 2 R : f(x) existeg
Une fonction f de E vers F telle que D = Df = E est une application de
E vers F.
Notations :
On note f : D ! R une fonction dé…nie sur D. (C’
est une application).
On note f(D) l’
image de D par f :
f(D) = ff(x) : x 2 Dg
= fy 2 R : 9x 2 D; y = f(x)g:
C’
est le sous-ensemble de R dé…ni par l’
équivalence :
8y 2 R; y 2 f(D) () 9x 2 D; y = f(x):
= f(x; f(x)) : x 2 Dg est le graphe de f. Noté aussi par f :
Dans tout ce chapitre, D désigne une réunion …nie d’
intervalles de R ;
éventuellement des intervalles.
Dé…nition.
Soit f : D ! R: On dit que :
1. f est paire (resp. impaire) si : pour tout x 2 D; on a x 2 D et
f( x) = f(x) (resp. f( x) = f(x)):
2. f est périodique s’
il existe T > 0 tel que pour tout x 2 D on a x + T 2 D,
x T 2 D et f(x + T) = f(x). On dira que T est une période de f.
Opérations
F(D; R) désigne l’
ensemble des fonctions dé…nies sur D à valeurs dans R.
Soient f; g 2 F(D; R) et 2 R; on dé…nit :
L’
égalité par : f = g () 8x 2 D; f(x) = g(x):
La somme de f et g par : 8x 2 D; (f + g) (x) = f(x) + g(x):
Le produit de f et g par : 8x 2 D; (f g) (x) = f(x) g(x):
Le produit de f par le réel par : 8x 2 D; ( f) (x) = f(x):
18

Lorsque f ne s’
annule pas sur D, on dé…nit l’
inverse de f par :
8x 2 D;
1
f
(x) =
1
f(x)
:
Posons X = fx 2 D : g(x) 2 Dg: Sur X la composée de f et g est dé…nie
par :
8x 2 X; (f g) (x) = f(g(x)):
On dit que f est inférieure ou égale à g et on note f 6 g si et seulement si
8x 2 D; f(x) 6 g(x):
L’
application valeur absolue de f par : 8x 2 D; jfj (x) = jf(x)j :
Dé…nition.
Soit f 2 F(D; R) .
1. f est majorée si : 9M 2 R; 8x 2 D; f(x) 6 M:
2. f est minorée si : 9m 2 R; 8x 2 D; m 6 f(x):
3. f est bornée si f est majorée et minorée, ce qui est équivalent à :
9C 2 R; 8x 2 D; jf(x)j 6 C:
Dé…nition.
Soient E et F deux ensembles, f : E ! F une application et A E: On
appelle restriction de f à A, l’
application
f A : A ! F
x7 !f(x)
c’
est-à-dire : 8x 2 A; f A(x) = f(x):
Dé…nition.
Soient E; E0
et F trois ensembles tels que E E0
, on appelle prolongement
de f à E0
toute application g : E0
! F dont la restriction à E est l’
application
f ; c’
est-à-dire 8x 2 E; g(x) = f(x):
f = g E : E ! F
x7 !g(x)
Dé…nition. Une application f : E ! F est dite :
1. Injective si :
8(x; y) 2 E2
; (f(x) = f(y) =) x = y) ;
ou si :
8(x; y) 2 E2
; (x 6= y =) f(x) 6= f(y)) :
2. Surjective si :
8y 2 F; 9x 2 E; y = f(x);
ou si : f(E) = F:
19

Dé…nition. Une application f : E ! F est dite bijective si : elle est
injective et surjective, ou si :
8y 2 F; 9!x 2 E; y = f(x):
Dans ce cas la fonction réciproque de f est la fonction f 1
dé…nie sur F et
à valeurs dans E. Elle est dé…nie par l’
équivalence :
y 2 F et x = f 1
(y) () (x 2 E et y = f(x)) :
Dé…nition.
Soit f : D ! R: On dit que
1. f est croissante sur D si : 8x; y 2 D; (x 6 y =) f(x) 6 f(y)) :
2. f est décroissante sur D si : 8x; y 2 D; (x 6 y =) f(y) 6 f(x)) :
3. f est strictement croissante sur D si : 8x; y 2 D; (x < y =) f(x) < f(y)) :
4. f est strictement décroissante sur D si : 8x; y 2 D; (x < y =) f(y) < f(x)) :
5. f est monotone sur D (resp. strictement monotone sur D) si f est crois-
sante ou décroissante sur D (resp. strictement croissante ou strictement
décroissante sur D).
Remarque :
Seules les applications constantes sont à la fois croissantes et décroissantes.
Proposition.
Si f est strictement monotone, alors f est injective.
Démonstration :
On suppose que f est strictement croissante (on fera de même dans le cas
où f est strictement décroissante).
Si x 6= y dans D; alors x < y ou y < x, et donc f(x) < f(y) ou f(y) < f(x);
ainsi f(x) 6= f(y) dans les deux cas. La fonction f est alors injective.
Théorème.
Si f est une application strictement monotone sur D, elle réalise alors une
bijection de D sur f(D), d’
inverse f 1
strictement monotone de même sens de
variation que f:
2 Limites
Dans cette partie :
1. l 2 R [ f 1; +1g:
2. x0 = 1;
ou
3. x0 est un nombre réel qui appartient à D ou qui est une borne d’
un inter-
valle ouvert contenu dans D, c’
est-à-dire : D [ fx0g contient un intervalle
contenant x0 et non réduit à fx0g:
Par exemple, si f est la fonction dé…nie par : f(x) = 1
p
x2 1
; pour x < 1
ou x > 1; on cherchera la limite en x0 = 2 ou en x0 = 1 (par exemple),
mais pas en x0 = 0:
20

Dé…nition.
Soient f : D ! R et (x0; l) 2 R2
:
On dit que f admet l pour limite en x0 si :
8" > 0; 9 > 0; 8x 2 D; (jx x0j < =) jf(x) lj < ") :
Remarque :
Les inégalités strictes jf(x) lj < " ou jx x0j < peuvent être remplacées
par des inégalités larges.
Proposition.
Si la limite existe, alors elle est unique. On note alors lim
x!x0
f(x) = l: On
écrira aussi f(x) !
x!x0
l:
Proposition.
1. Si f est dé…nie en x0 (x0 2 D) et si lim
x!x0
f(x) = l; alors l = f(x0):
2. La notion de limite est locale : Si I est un intervalle ouvert contenant x0;
alors on a l’
équivalence
f(x) !
x!x0
l () f ID(x) !
x!x0
l:
f ID désigne la restriction de f à I D:
Exemples :
f(x) = 2x; D = R:
On a jf(x) 2j = 2 jx 1j :
Soit " > 0:
Posons = "
2 ; alors > 0 et véri…e :
8x 2 R; (jx 1j < =) jf(x) 2j < ") :
Donc lim
x!1
f(x) = 2:
f(x) = x sin 1
x ; D = R :
On a, pour x 2 D :
jf(x)j = x sin
1
x
6 jxj :
Soit " > 0:
Posons = "; alors > 0 et véri…e :
8x 2 R ; (jxj < =) jf(x)j < ") :
Donc lim
x!0
f(x) = 0:
21

Limites in…nies en x0
Dé…nition.
Soit f : D ! R: On a :
1. lim
x!x0
f(x) = +1 ()
8A > 0; 9 > 0; 8x 2 D; (jx x0j < =) f(x) > A) :
2. lim
x!x0
f(x) = 1 ()
8A < 0; 9 > 0; 8x 2 D; (jx x0j < =) f(x) < A) :
Pour les limites en +1; D R tel que D ]a; +1[; avec a 2 R:
Pour les limites en 1; D R tel que D ] 1; b[; avec b 2 R:
Dé…nition.
Soit f : D ! R et l 2 R:
lim
x!+1
f(x) = l (resp. lim
x! 1
f(x) = l) ()
8" > 0; 9B > 0; 8x 2 D; (x > B =) jf(x) lj < ") :
(resp. 8" > 0; 9B < 0; 8x 2 D; (x < B =) jf(x) lj < ") :
Dé…nition.
Soit f : D ! R:
1. lim
x!+1
f(x) = +1 ()
8A > 0; 9B > 0; 8x 2 D; (x > B =) f(x) > A) :
2. lim
x!+1
f(x) = 1 ()
8A < 0; 9B > 0; 8x 2 D; (x > B =) f(x) < A) :
3. lim
x! 1
f(x) = +1 ()
8A > 0; 9B < 0; 8x 2 D; (x < B =) f(x) > A) :
4. lim
x! 1
f(x) = 1 ()
8A < 0; 9B < 0; 8x 2 D; (x < B =) f(x) < A) :
Exemples :
f(x) = 1
x2 ; D = R :
Soit A > 0: Alors, comme
1
x2
> A () x2
<
1
A
() jxj <
1
p
A
;
22

on pose = 1
p
A
> 0: Donc
8A > 0; 9 > 0; 8x 2 D; (jxj < =) f(x) > A) :
Donc lim
x!0
f(x) = +1:
f(x) = x2
; D = R:
Soit A > 0: On a
x2
> A () jxj >
p
A () x <
p
A ou x >
p
A;
on pose B =
p
A: On a bien :
8A > 0; 9B > 0; 8x 2 D; (x > B =) f(x) > A) :
Donc lim
x!+1
f(x) = +1:
Remarque :
Comme dans le cas des limites …nies ; si la limite existe, alors elle est
unique.
Soit W un intervalle contenant un intervalle de la forme ]c; +1[ et inclus
dans D.
f !
x!+1
l () f W !
x!+1
l:
Théorème.
Soit f : D ! R; x0 et l éléments de R [ f 1; +1g: On a l’
équivalence
lim
x!x0
f(x) = l ()
(
pour toute suite (un)n2N de D telle que lim
n!+1
un = x0;
on a lim
n!+1
f(un) = l:
Remarque et exemple :
Ce résultat est souvent utilisé pour montrer qu’
une fonction f n’
admet pas
de limite en x0 : il su¢ t de trouver une suite convergente vers x0 dont l’
image
ne converge pas, ou deux suites convergentes vers x0 dont les images par f ont
des limites di¤érentes.
Soit (un)n2N la suite dé…nie par un = n ; on a alors lim
n!+1
un = +1 et la
suite (cos(un))n2N = (( 1)n
)n2N est divergente, donc la fonction dé…nie sur
R par f(x) = cos(x); n’
a pas de limite en +1:
Limites à droite et à gauche
Dé…nition.
Soit f : D ! R et (x0; l) 2 R2
: On suppose que D contient un intervalle
de la forme ]x0; b[: On dit que l est limite à droite de f en x0 si :
8" > 0; 9 > 0; 8x 2 D; (0 < x x0 < =) jf(x) lj < ") :
23

Dé…nition.
Soit f : D ! R et (x0; l) 2 R2
: On suppose que D contient un intervalle
de la forme ]b; x0[: On dit que l est limite à gauche de f en x0 si :
8" > 0; 9 > 0; 8x 2 D; ( < x x0 < 0 =) jf(x) lj < ") :
Si ces limites existent, elles sont uniques.
On note lim
x !
x>x0
x0
f(x) = l ou lim
x!x+
0
f(x) = l pour la limite à droite et
lim
x !
x<x0
x0
f(x) = l ou lim
x!x0
f(x) = l pour la limite à gauche.
Si l = 1; on a (par exemple) :
lim
x!x0
f(x) = +1 ()
8A > 0; 9 > 0; 8x 2 D; (x0 < x < x0 =) f(x) > A) ;
et
lim
x!x+
0
f(x) = 1 ()
8A < 0; 9 > 0; 8x 2 D; (x0 < x < x0 + =) f(x) < A) :
La limite à droite de f en x0 est la limite l, quand elle existe, de la
restriction de f à D]x0; +1[:
La limite à gauche de f en x0 est la limite l, quand elle existe, de la
restriction de f à D] 1; x0[:
Remarque :
Si x0 =
2 D et si l 2 R [ f 1; +1g:
lim
x!x0
f(x) = l , lim
x!x+
0
f(x) = lim
x!x0
f(x) = l:
Si x0 2 D et si l 2 R:
lim
x!x0
f(x) = l , lim
x!x+
0
f(x) = lim
x!x0
f(x) = l et l = f(x0):
Exemples :
Soit f(x) = sup(x; 2); D = R: On a :
8
>
<
>
:
lim
x!2+
f(x) = lim
x!2+
x = 2;
lim
x!2
f(x) = lim
x!2
2 = 2;
f(2) = 2:
Donc lim
x!2
f(x) = 2:
Soit g(x) = jxj
x ; D = R : On a 0 =
2 D et
(
lim
x!0+
g(x) = lim
x!0+
1 = 1;
lim
x!0
g(x) = lim
x!0
1 = 1:
Donc g n’
admet pas de limite l en 0:
24

Opérations sur les limites
Comme pour les suites, on a :
Théorème.
Soient f; g : D ! R telles que lim
x!x0
f(x) = l et lim
x!x0
g(x) = l0
avec x0 2 R [ f 1; +1g et (l; l0
) 2 R2
:
1. lim
x!x0
jf(x)j = jlj : La réciproque est fausse, mais :
lim
x!x0
f(x) = 0 () lim
x!x0
jf(x)j = 0:
2. lim
x!x0
(f + g)(x) = l + l0
et lim
x!x0
(f g)(x) = l l0
:
3. Si l0
6= 0; alors lim
x!x0
f
g (x) = l
l0 :
Théorème. (Composition)
Soient f : D ! R et g : D0
! R telles que f(D) D0
:
Si lim
x!x0
f(x) = l0 et si lim
x!l0
g(x) = l; alors lim
x!x0
(g f) (x) = l:
Ici, x0; l0; l 2 R [ f 1; +1g:
Exemple :
On a lim
x!+1
1
x = 0 et lim
x!0
cos(x) = 1; alors lim
x!+1
cos(1
x ) = 1:
x0 = +1; l0 = 0 et l = 1:
f(x) = 1
x et g(x) = cos(x):
Limites et relation d’
ordre
Dans ce paragraphe :
Si x0 2 R; alors I est un intervalle ouvert contenant x0:
Si x0 = 1; alors I est de type ] 1; [ avec 2 R:
Si x0 = +1; alors I est de type ] ; +1[ avec 2 R:
Propriété.
Soit f : D ! R:
Si 8x 2 D I; f(x) 6 M; (M 2 R) et si lim
x!x0
f(x) = l; (l 2 R) ;
alors l 6 M:
Remarque :
Même si on a f(x) < M; on n’
a pas l < M; mais l 6 M:
Par exemple, soit f(x) = 1
x2+1 :
On a 8x 2 R; f(x) < 0 et lim
x!+1
f(x) = 0 6 0:
Si 9m 2 R; 8x 2 D I; m 6 f(x) et si lim
x!x0
f(x) = l; alors m 6 l:
Propriété.
Soient f; g : D ! R: On suppose que : 8x 2 D I; f(x) 6 g(x):
Si lim
x!x0
f(x) = l; (l 2 R) et lim
x!x0
g(x) = l0
; (l0
2 R) ; alors l 6 l0
:
25

Propriété.
Soient f; g : D ! R: On suppose que : 8x 2 D I; f(x) 6 g(x):
1. Si lim
x!x0
f(x) = +1; alors lim
x!x0
g(x) = +1:
2. Si lim
x!x0
g(x) = 1; alors lim
x!x0
f(x) = 1:
Remarque :
f(x) < g(x) n’
implique pas l < l0
; mais l 6 l0
:
Par exemple, soit f(x) = 1
x2+2 et g(x) = 1
x2+1 :
On a 8x 2 R; f(x) < g(x) et lim
x!+1
f(x) = lim
x!+1
g(x) = 0:
Théorème. (Théorème d’
encadrement)
Soient f; g; h : D ! R: On suppose que : 8x 2 DI; f(x) 6 g(x) 6 h(x):
Si lim
x!x0
f(x) = lim
x!x0
h(x) = l; alors lim
x!x0
g(x) = l:
Exemple :
On a 8x 2 R ; sin x
x 6 1
jxj :
Donc lim
x!+1
sin x
x = 0:
3 Continuité
Dé…nition.
Soit f : D ! R et x0 2 D:
f est continue en x0 si f admet une limite en x0 :
8" > 0; 9 > 0; 8x 2 D; (jx x0j < =) jf(x) f(x0)j < ") ;
ce qui est équivalent à f(x) !
x!x0
f(x0):
Dé…nition.
Soit f : D ! R et I D:
f est continue sur I (resp. sur D) si elle est continue en tout point de I
(resp. de D).
On note C(I; R) l’
ensemble des fonctions continues sur I, à valeurs dans R.
Exemples :
Les fonctions constantes sont dé…nies et continues sur R.
Soit f : x 7 ! ; ( 2 R); D = R:
Soit x0 2 R (…xé quelconque). On a f(x) f(x0) = 0; pour tout x 2 R:
Ainsi :
8" > 0; 9 > 0; 8x 2 D; (jx x0j < =) jf(x) f(x0)j < ") ;
on peut prendre, par exemple, = 1: C’
est un exemple où ne dépend ni
de x0 ni de ":
La fonction f : x 7 ! x est continue sur R.
Soit " > 0; on peut remarquer que = " convient. Ici, dépend de "; mais
pas de x0 :
8" > 0; 9 > 0; 8x 2 D; (jx x0j < =) jf(x) f(x0)j = jx x0j < ") :
26

La fonction f : x 7 ! x2
est continue sur R.
On …xe donc un x0 et on se donne " > 0: On a jf(x) f(x0)j = jx + x0j jx x0j
et jx + x0j = jx x0 + 2x0j 6 jx x0j + 2 jx0j :
On pose : = min "
2jx0j+1 ; 1 : Alors 6 1 et 6 "
2jx0j+1 :
Si jx x0j < ; alors jx + x0j < +2 jx0j et donc jx + x0j < 1+2 jx0j : D’
où
jf(x) f(x0)j < (1 + 2 jx0j) "
1+2jx0j = ": Ici, dépend de " et de x0:
Si f est continue sur D, alors la restriction de f à tout intervalle I D;
est continue sur I.
Dé…nition.
Soit f : D ! R telle que D contienne un intervalle du type [x0; x0 + h[
(resp. ]x0 h; x0]) avec h > 0.
f est continue à droite (resp. à gauche) en x0 si : lim
x!x+
0
f(x) = f(x0)
(resp. lim
x!x0
f(x) = f(x0)).
On a donc la proposition suivante :
Proposition.
f est continue en x0 si et seulement si f est continue à droite et à gauche en
x0.
Démonstration :
Soit x0 2 D: Alors
lim
x!x0
f(x) = f(x0) () lim
x!x0
f(x) = f(x0) et lim
x!x+
0
f(x) = f(x0):
D’
où le résultat.
Exemple :
La fonction partie entière E : x 7 ! E(x) est continue à droite en 1,
car lim
x!1+
E(x) = 1 = E(1); mais elle n’
est pas continue à gauche en 1, car
lim
x!1
E(x) = 0 6= E(1): Par suite, E(:) n’
est pas continue en 1.
Dé…nition. (Prolongement par continuité)
Soit f une fonction non dé…nie en a 2 R (a =
2 Df ) mais qui admet une limite
…nie l en a, alors la fonction g dé…nie sur Df [ fag par :
g(x) =
8
<
:
f(x) si x 6= a (x 2 Df )
l si x = a;
est continue en a. Cette fonction g est appelée prolongement par continuité
en a de la fonction f.
Exemple :
Soit f : x 7 ! x sin 1
x ; D = R :
On a lim
x!0
f(x) = 0: La fonction g dé…nie par g(x) = x sin 1
x si x 2 R et
g(0) = 0 est le prolongement par continuité de f en 0.
27

Théorème.
Soient f : D ! R et g : D0
! R telles que f(D) D0
: Si f est continue
en x0 et si g est continue en f(x0), alors g f est continue en x0.
Théorème.
Si f; g : D ! R sont continues en x0, alors jfj ; f +g et f g sont continues
en x0. Si de plus, g(x0) 6= 0; alors 1
g et f
g sont continues en x0.
Théorème. (Continuité d’
une réciproque)
Si f est une application continue et strictement monotone de I (un intervalle
réel) dans R, alors f(I) est un intervalle et f est une bijection de I sur f(I)
d’
inverse f 1
continue strictement monotone de même sens de variation que f.
Remarque :
f 1
est une bijection de f(I) sur I.
Théorème. (Théorème des valeurs intermédiaires : TVI)
Soit f une application continue sur l’
intervalle I, à valeurs réelles et soient
a; b 2 I. Alors pour tout y compris entre f(a) et f(b); il existe au moins un x,
compris entre a et b tel que y = f(x).
Proposition.
1. L’
image d’
un intervalle de R par une fonction continue est un intervalle.
2. Si f est continue sur [a; b] avec a < b et f(a) f(b) 6 0; alors il existe
c 2 [a; b] tel que f(c) = 0.
Théorème.
Soit f une fonction continue sur [a; b] (a < b). Alors f([a; b]) = [m; M] avec
m; M réels.
Remarque :
On a : m = min
x2[a;b]
f(x) = inf
x2[a;b]
f(x) et M = max
x2[a;b]
f(x) = sup
x2[a;b]
f(x):
On n’
a pas nécessairement f([a; b]) = [f(a); f(b)] ou f([a; b]) = [f(b); f(a)]:
L’
image d’
un intervalle ouvert n’
est pas nécessairement un intervalle ou-
vert. Par exemple, si f(x) = x2
; alors f(] 1
2 ; 1]) = [0; 1] et si g(x) = jxj ; alors
g(] 1; 1[) = [0; 1[:
Toute fonction continue sur [a; b] (intervalle fermé et borné) est bornée et
atteint ses bornes :
! 9x1 2 [a; b]; f(x1) = m = minff(x) : x 2 [a; b]g:
! 9x2 2 [a; b]; f(x2) = M = maxff(x) : x 2 [a; b]g:
! 8x 2 [a; b]; m 6 f(x) 6 M:
28

4 Lipschitzianité et continuité uniforme
Dé…nition.
Soient f : D ! R et K 2 R+: On dit que f est K-lipschitzienne sur D si :
8x; y 2 D; jf(x) f(y)j 6 K jx yj :
Exemples :
? La fonction : x 7 ! jxj est 1-lipschitzienne sur R car :
8x; y 2 R; jjxj jyjj 6 jx yj :
? La fonction : x 7 ! 1
x est 1-lipschitzienne sur [1; +1[: Soient x; y 2 [1; +1[:
Alors :
1
x
1
y
=
x y
xy
=
jx yj
jxj jyj
6 jx yj :
Dé…nition.
Soit f : D ! R: On dit que f est uniformément continue sur D si :
8" > 0; 9 > 0; 8x; y 2 D; (jx yj 6 =) jf(x) f(y)j 6 ") :
Théorème.
Soit f : D ! R:
1. Si f est uniformément continue sur D, alors f est continue sur D.
2. Si f est lipschitzienne sur D, alors f est uniformément continue sur D (et
donc continue sur D).
Démonstration (de 2).
On suppose que f est K-lipschitzienne sur D.
On peut également supposer que K 6= 0:
Soit " > 0:
On pose = "
K > 0:
Montrons que :
8x; y 2 D; (jx yj 6 =) jf(x) f(y)j 6 ") :
On …xe alors x; y 2 D:
On suppose que jx yj 6 : Donc :
jf(x) f(y)j 6 K jx yj 6 K = ":
5 Dérivabilité
Dans ce paragraphe, I est un intervalle de R non vide et non réduit à un
point et x0 2 I:
29

Dé…nition.
Soit f : I ! R: On dit que f est dérivable en x0 si : lim
x!x0
f(x) f(x0)
x x0
existe
et est …nie. Cette limite est appelée dérivée de f en x0 et est notée f0
(x0):
La quantité f(x) f(x0)
x x0
est appelée taux de variation de f entre x0 et x. On
a donc
f0
(x0) = lim
x!x0
f(x) f(x0)
x x0
;
ou encore
f0
(x0) = lim
h!0
f(x0 + h) f(x0)
h
:
Dé…nition.
f est dérivable sur I si elle est dérivable en tout point de I. On appelle
fonction dérivée de f la fonction, notée f0
, qui à chaque x de I associe f0
(x) :
f0
: I ! R; x 7 ! f0
(x):
Dé…nition.
Soit f : I ! R avec I [x0; x0+k[ (resp. I ]x0 k; x0]) où k > 0: f est dé-
rivable à droite (resp. à gauche) en x0 si lim
x!x+
0
f(x) f(x0)
x x0
(resp. lim
x!x0
f(x) f(x0)
x x0
)
existe dans R. Elle est notée f0
d(x0) (resp. f0
g(x0)) et est appelée dérivée à droite
(resp. à gauche) en x0.
Exemple :
? Soit f(x) = ( 2 R); D = R: Soit x0 2 R:
Si h 6= 0; on a : f(x0+h) f(x0)
h = h = 0: Donc lim
h!0
f(x0+h) f(x0)
h = 0: Alors
f0
(x0) = 0 et donc 8x 2 R; f0
(x) = 0:
? Soit f(x) = jxj ; D = R:
On a lim
x!0+
x
x = 1; donc f0
d(0) = 1 et lim
x!0
x
x = 1; donc f0
g(0) = 1:
Propriété.
Soit f : I ! R avec x0 2 I et x0 n’
est pas une borne (extrémité) de I. On
a l’
équivalence
f est dérivable en x0 ()
8
<
:
f est dérivable à droite et à gauche en x0 et
f0
d(x0) = f0
g(x0):
Dans ce cas, on a : f0
(x0) = f0
d(x0) = f0
g(x0):
Propriété.
Soit f : I ! R:
f est dérivable en x0 si et seulement si il existe un réel a et une fonction
dé…nie sur I tels que lim
x!x0
(x) = 0 et
8x 2 I; f(x) = f(x0) + (x x0)(a + (x)):
30

Démonstration :
)) Supposons f dérivable en x0.
On pose pour x 6= x0 :
(x) =
f(x) f(x0)
x x0
f0
(x0):
Comme f est dérivable en x0, on a (x) !
x!x0
(x6=x0)
0; on peut ensuite prolonger par
continuité la fonction en x0: On note encore ce prolongement par continuité.
On a alors : (x0) = 0 = lim
x!x0
(x) et
8x 2 I; f(x) = f(x0) + (x x0)(f0
(x0) + (x)):
() Supposons que :
8x 2 I; f(x) = f(x0) + (x x0)(a + (x)) avec lim
x!x0
(x) = 0:
Alors pour x 6= x0; on a :
f(x) f(x0)
x x0
= a + (x):
Comme lim
x!x0
(x) = 0; on obtient
lim
x!x0
f(x) f(x0)
x x0
= a:
Remarque :
Dans ce cas, on a : a = f0
(x0):
Propriété.
Soit f : I ! R:
Si f est dérivable en x0, alors f est continue en x0.
Démonstration :
f dérivable, on a :
8x 2 I; f(x) = f(x0) + (x x0)(f0
(x0) + (x)) avec lim
x!x0
(x) = 0:
Ainsi, lim
x!x0
f(x) = f(x0): D’
où la continuité de f en x0.
Remarque :
On a d’
après cette propriété : dérivable =) continue.
La réciproque, c’
est-à-dire : continue =) dérivable, est fausse en général.
Par exemple, la fonction f : x 7 ! jxj est continue en 0, mais elle n’
est pas
dérivable en 0.
31

Opérations
f; g : I ! R; dérivables en x0.
? (f + g) est dérivable en x0 et on a : (f + g)0
(x0) = f0
(x0) + g0
(x0):
? (f g) est dérivable en x0 et on a :
(f g)0
(x0) = f0
(x0) g(x0) + f(x0) g0
(x0):
? Si f(x0) 6= 0; alors g
f est dérivable en x0 et :
g
f
0
(x0) =
g0
(x0) f(x0) g(x0) f0
(x0)
f2(x0)
:
Propriété.
Soient f : I ! R et g : J ! R avec J intervalle tels que f(I) J:
Si f est dérivable en x0 et g dérivable en f(x0), alors (g f) est dérivable en
x0 et :
(g f)
0
(x0) = g0
(f(x0)) f0
(x0)
= (g0
f) (x0) f0
(x0):
Exemple :
Soit f dé…nie sur R par
f(x) =
8
<
:
x2
sin 1
x si x 6= 0
0 si x = 0:
? Si x 6= 0:
f(x) = x2
sin 1
x dérivable en tout point x0 2 R ; comme produit d’
une
fonction polynôme et de la composée de la fonction sin(:) avec une fraction
rationnelle 1
x : On a donc : 8x 2 R ; f0
(x) = 2x sin 1
x cos 1
x :
? En x0 = 0:
Si x 6= 0; on a f(x) f(0)
x 0 = x sin 1
x ; produit de la fonction x 7 ! x qui tend
vers 0 en 0 et de la fonction bornée x 7 ! sin 1
x : On obtient : f0
(0) = 0:
f est donc dérivable sur R.
Propriété.
Soient f : I ! R continue, strictement monotone et J = f(I): Si f est
dérivable en x0 et si f0
(x0) 6= 0; alors f 1
est dérivable en y0 = f(x0) (y0 2 J)
et on a :
f 1 0
(y0) =
1
f0 (f 1(y0))
:
Dé…nition. (Dérivées successives)
Soit f : I ! R:
On note f(0)
= f:
Pour tout n 2 N ; f(n)
(x0) est, si elle existe, la dérivée de f(n 1)
en x0:
f(n)
est la fonction dérivée de f(n 1)
:
On appelle le réel f(n)
(x0); dérivée neme
de f en x0:
32

Dé…nition.
On appelle fonction dérivée neme
de f; la fonction, notée f(n)
; dé…nie par
f(n)
: I ! R; x 7 ! f(n)
(x):
On dit que f est n fois dérivable sur I, si f(n)
est dé…nie sur I.
On dit que f est indé…niment dérivable sur I, si pour tout n 2 N;
f est n fois dérivable sur I.
Exemple :
1. 8k 2 N; exp(k)
(x) = exp(x):
2. n 2 N ; fn : x 7 ! xn
: On a : f0
n(x) = nxn 1
= nfn 1(x):
? si k 2 N et k 6 n; alors
f
(k)
n (x) = n(n 1) : : : (n (k 1))xn k
:
? si k > n + 1; alors
f
(k)
n (x) = 0:
Dé…nition.
Soit f : D ! R:
On dit que f admet un maximum absolu en a 2 D, si :
8x 2 D; f(x) 6 f(a):
On dit que f admet un maximum local en a 2 D, si :
9 > 0; 8x 2 D; (jx aj < =) f(x) 6 f(a)) :
On dé…nit de même les notions de minimum absolu et de minimum local : il
su¢ t de remplacer f(x) 6 f(a) par f(x) > f(a):
On dit que f admet un extremum si f admet un maximum ou un minimum.
Théorème.
Soit f : I ! R dérivable en x0 2 I avec x0 n’
est pas une borne de I ;
c’
est-à-dire que x0 n’
est pas une extrémité de I: Si f admet un extremum local
en x0; alors f0
(x0) = 0:
Remarque :
La réciproque de ce théorème est fausse en général.
Par exemple, soit f : x 7 ! x3
; on a : I = R; f0
(0) = 0 et 0 n’
est pas un
extremum local.
Théorème. (Théorème de Rolle)
Soit f : [a; b] ! R avec a et b deux réels tels que a < b. Si f est continue
sur [a; b]; dérivable sur ]a; b[ et telle que f(a) = f(b); alors il existe c 2]a; b[ tel
que : f0
(c) = 0:
Théorème. (Formule des accroissements …nis : FAF)
Soit f une fonction continue sur [a; b], (a < b) et dérivable sur ]a; b[. Il existe
alors au moins un c 2]a; b[ tel que : f0
(c) = f(b) f(a)
b a :
33

Remarque :
Posons : x 7 ! f(b) f(a)
b a (x a) + f(a) et ' = f :
est dérivable sur [a; b]; donc ' est continue sur [a; b] et dérivable sur ]a; b[:
De plus, on a '(a) = '(b) = 0: D’
après le théorème de Rolle, il existe c 2]a; b[
tel que '0
(c) = 0: D’
où le résultat.
–Autre notation :
Soit h = b a: On a a < c < b; donc 0 < c a < b a et alors 0 < c a
b a < 1:
On pose = c a
b a = c a
h ; donc c = a + h avec 2]0; 1[:
Par suite :
f(a + h) = f(a) + hf0
(a + h);
où 0 < < 1:
Proposition.
Soit f : I ! R dérivable sur I (I est un intervalle).
1. f est croissante sur I (resp. décroissante sur I) si et seulement si :
8x 2 I; f0
(x) > 0 (resp. 8x 2 I; f0
(x) 6 0).
2. f est constante sur I si et seulement si 8x 2 I; f0
(x) = 0:
3. f est strictement croissante (resp. décroissante) sur I si : 8x 2 I; f0
(x) > 0
(resp. 8x 2 I; f0
(x) < 0).
Remarque :
f est constante si et seulement si elle est croissante et décroissante.
La réciproque de 3 est fausse en général. Par exemple, soit f : x 7 ! x3
:
On a f est strictement croissante sur R et on n’
a pas 8x 2 R; f0
(x) > 0; car
f0
(0) = 0:
Proposition. (Inégalité des accroissements …nis : IAF)
f continue sur [a; b], (a < b) et dérivable sur ]a; b[. S’
il existe m; M 2 R tels
que : 8x 2]a; b[; m 6 f0
(x) 6 M; alors on a :
m(b a) 6 f(b) f(a) 6 M(b a):
Démonstration :
D’
après la FAF, il existe c 2]a; b[; tel que : f(b) f(a) = (b a)f0
(c)
avec m 6 f0
(c) 6 M: Donc
m(b a) 6 f(b) f(a) 6 M(b a):
34

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