SlideShare une entreprise Scribd logo
Université Larbi Tébessi - Tébessa
Faculté Des Sciences Exactes et De La Nature et de la Vie
Département : Mathématiques et Informatique
Module : EDO
1ere
année Master EDP
Année Universitaire : 2017-2018
Serie 01
Solution d’exercice 01 :
y
0
(t) = 2ty2
)
y
0
y2
= 2t )
Z
dy
y2
=
Z
2tdt
)
1
y
= t2
+ c ) y (t) =
1
t2 + c
y (0) = 1 )
1
c
= 1 ) c = 1 ) y (t) =
1
t2 + 1
donc le problème de Cauchy
y
0
(t) = 2ty2
y (0) = 1
admet une solution globale
y (t) =
1
t2 + 1
, (8t 2 R)
Solution d’exercice 02 :
La fonction
f : ]0; +1[ R ! R
(t; y) 7!
sin(ty)
t2
est de classe C1
donc continue et localement Lipschitzienne par rapport à la
seconde variable sur son domaine de de…nition.
puisque (1; 1) 2 ]0; +1[ R, par application du théorème de Cauchy-Lipschitz,
on en déduit l’existence et l’unicité d’une solution maximale à l’équation
di¤érentielle.
Solution d’exercice 03 :
On résout le problème pour t > 0 ou t < 0
1) t < 0
tx
0
+ x = t2
,
x tx
0
t2
= 1 ,
d
dt
x
t
= 1
,
x
t
= t + c1 où c1 2 R
, x = t2
+ c1t; c1 2 R
1
Les solutions x (t) = t2
+ c1t; t 2 ] 1; 0[ sont maximales dans R.
2) t > 0
tx
0
+ x = t2
,
d
dt
(tx) = t2
, tx =
t3
3
+ c2; c2 2 R
, x =
t2
3
+
c2
t
, c2 2 R
Les solutions x (t) =
t2
3
+
c2
t
; t 2 ]0; +1[ sont maximales dans R.
3) Existe-t-il des solutions globales dans R.
On a lim
t!0
t2
+ c1t = 0 pour tout c1 2 R
lim
t!0+
t2
3
+
c2
t
=
8
<
:
+1 si c2 > 0
0 si c2 = 0
1 si c2 < 0
Pour obtenir une solution continuie, il faut donc c2 = 0.
On a alors
lim
t!0
t2
+ c1t
0
= lim
t!0
c1 2t = c1
lim
t!0+
t2
3
0
= lim
t!0+
2
3
t = 0
On obtient alors une fonction de classe C1
sur R si et seulement si c1 = c2 = 0:
il existe donc solution globale
x (t) =
8
<
:
t2
si t 0
t2
3
si t > 0
Solution d’exercice 04 :
a) (1)
f : R ]0; +1[! R
(t; x) 7!
1
x
f (t; x) =
1
x
est continue sur R ]0; +1[ car
1
x
est continue sur R
donc sur ]0; +1[.
f (t; x) est localement Lipschitzienne par rapport à la seconde variable
car f est de classe C1
.
b) (1) f est continue et localement Lipschitzienne par rapport à la seconde
variable alors 9!solution maximale au problème (1) (Théorème de C.L)
avec J =]t ; T [ contenant 0.
2
8
<
:
x
0
(t) =
1
x (t)
x (0) = x0
, x (t) x
0
(t) = 1 ,
1
2
(x (t))2
= t + c
, x (t) =
p
2t + c; c 2 R
x (0) = x0 ,
p
c = x0 , c = x2
0
, x (t) =
q
2t + x2
0
x (t) > 0 , 2t + x2
0 > 0 , 2t > x2
0 , t <
x2
0
2
on a donc J = 1;
x2
0
2
intervalle maximale, t = 1; T =
x2
0
2
:
2. lim
t!T
x (t) = lim
t!
x2
0
2
p
2t + x2
0 = 0, 0 =2 ]0; +1[ donc x (t) sort de tout compact
de ]0; +1[ donc n’est pas global.
Solution d’exercice 05 : (Pas d’unicité)
1) Si y(t) > 0
)
y
0
(t)
p
y(t)
= 1 ) 2
p
y(t) = t + c
) y(t) =
t + c
2
2
; y (0) = 0 ) c = 0
) y(t) =
t2
4
; t > 0.
Si y(t) < 0
)
y
0
(t)
p
y(t)
= 1 ) 2
p
y(t) = t + c; y (0) = 0
) c = 0 ) 2
p
y(t) = t
) y(t) =
t2
4
; t < 0.
) y(t) =
8
>>><
>>>:
t2
4
si t < 0
0 si t = 0
t2
4
si t > 0
Par prolongement alors les solutions globales sont :
y(t) =
8
>>><
>>>:
t2
4
si t < 0
0 si t = 0
t2
4
si t > 0
3
et y(t) = 0; 8t 2 R.
2) Le théorème de Cauchy-Lipschitz ne s’applique pas car f(t; x) n’est pas
localement Lipschitzienne par rapport x.
* On vois de 0 :
p
jy1j
p
jy2j
jy1 y2j
=
1
p
jy1j +
p
jy2j
p
jy1j+
p
jy2j !0
! +1
* Supposons qu’il existe un voisinage V de (0; 0) sur lequel f est Lipschitzienne
par rapport x.
On peut supposer que V est de la form ] a; a[ ] b; b[, 8 (t; x) et
(t; y) 2 ] a; a[ ] b; b[
p
jxj
p
jyj L jx yj
en particulier, 8x 2 ]0; b[,
p
x Lx; (x > 0; y = 0) donc 8x 2 ]0; b[,p
x
x
=
1
p
x
L Absurd car
1
p
x
! +1
x!0+
:
Alors le théorème de C.L ne s’applique pas donc il n’y a pas d’unicité.
Solution d’exercice 06 :
1) f est de classe C1
donc localement Lipschitzienne par rapport x donc 9 unique
solution maximale (x; I) à ce problème.
2) x est impaire , x ( t) = x (t)
Soit
y(t) = x(t); t 2 ~I; ~I = ft 2 R, t 2 Ig
Montrons que ~I = I et 8t 2 I; x(t) = y(t).
y
0
(t) = x
0
( t) = t2
+ x2
( t) = t2
+ ( x ( t))2
= t2
+ y2
(t) et y(0) = x(0) = 0:
donc y solution au problème de Cauchy et ~I I et 8t 2 ~I; y(t) = x(t) par unicité
de la solution maximale
~I I et ~I symétrique de I ) ~I = I; donc x est impaire.
x
0
(t) 0 donc x est croissante.
x (0) = 0 et x croissante ) x positive sur R+
.
x est impaire et x positive sur R+
) x négative sur R .
x est deux fois dérivable et
x
00
(t) = 2t + 2x
0
(t)x(t)
= 2t + 2 t2
+ x2
(t) x(t)
x
00
(t) est positive sur R+
) x est convexe.
x
00
(t) est négative sur R ) x est concave.
4
3) Supposons I = R
x est croissante, x(t)
t!+1
! ; 2 R+ [ f+1g
Si t > 0 ) x (t) > 0
8t > 0;
x
0
(t)
x2(t)
=
t2
x2(t)
+ 1
Soit t > 1 on a :
tZ
1
x
0
(s)
x2(s)
ds =
1
x(t)
+
1
x(1)
=
tZ
1
s2
x2(s)
+ 1 ds
tZ
1
ds = t 1
)
1
x(t)
1
x(1)
+ 1 t
t!+1
! 1
) x(t)
t!+1
! 0 pas possible
donc sup I < +1 et par symétrique inf I > +1 d’où I est borné.
Autre Méthode :
Si sup I = +1
pour t 1; x
0
(t) = t2
+ x2
(t) 1 + x2
(t) )
x
0
(t)
1 + x2(t)
1
) Arctg (x(t)) Arctg (x(1)) t 1
) Arctg (x(t)) t 1 + Arctg (x(1)) impossible car Arctg bornée.
donc sup I < +1 et par symétrique inf I > +1 d’où I est borné.
Etudions les limites de x aux bornes de I :
x est croissante donc elle admet une limite en sup (I) par le théorème de sortie
de compact elle est sort de tout compact de R, donc
lim
t!sup(I)
x(t) = +1; par imparité lim
t!inf(I)
x(t) = 1
Solution d’exercice 07 :
1) Montrons que f est 1-Lipschitzienne, c-à-d
8x; y 2 R jf(x) f(y)j jx yj :
Soit x; y 2 R on suppose que x y (par symétrie) on a 6 cas :
1) x y 0 ) jf(x) f(y)j = 0 y x = jy xj = jx yj
2) x 0 y 1 ) jf(x) f(y)j = j0 yj = y y x = jx yj
3) x 0 et y 1 ) jf(x) f(y)j = j0 1j = 1 y y x = jx yj
4) 0 x y 1 ) jf(x) f(y)j = jx yj
5) 0 x 1 y ) jf(x) f(y)j = jx 1j = 1 x y x = jx yj
6) 1 x y ) jf(x) f(y)j = j1 1j = 0 y x = jx yj
Conclusion : 8x; y 2 R, jf(x) f(y)j jx yj :
5
D’après le théorème de Cauchy-Lipschitz global on en déduit l’éxistence et l’uni-
cité d’une solution globale de l’équation y
0
= f(y) avec condition initiale y (t0) = y0
pour tout (t0; y0) 2 R2
:
2)
y
0
= y
y (0) = y0; y0 2 ]0; 1[
la solution de cette équation est y (t) = y0et
pour t > 0 tel que
y(t ) = 1 , y0et
= 1 , t = ln
1
y0
,
on a que : y
0
= 1; 8t t , alors y (t) = t + c; 8t t ; y(t ) = 1 = t + c
) c = 1 t ) y(t) = t + 1 t ; t t .
de même, on calcule : y (t ) = 0 , y0et
= 0, cette équation n’admet pas le
solution.
Conclusion :
y(t) =
8
>><
>>:
y0et
; t < ln
1
y0
1 t + t; t ln
1
y0
=
8
>><
>>:
y0et
; t < ln
1
y0
t + 1 ln
1
y0
; t ln
1
y0
Rémarque : t = ln
1
y0
> 0 car y0 2 ]0; 1[.
6

Contenu connexe

Tendances

Equations différentielles, DUT MP, CM1
Equations différentielles, DUT MP, CM1Equations différentielles, DUT MP, CM1
Equations différentielles, DUT MP, CM1Christophe Palermo
 
Equations différentielles, DUT MP, CM 2
Equations différentielles, DUT MP, CM 2Equations différentielles, DUT MP, CM 2
Equations différentielles, DUT MP, CM 2Christophe Palermo
 
Equations différentielles, DUT MP, CM 4
Equations différentielles, DUT MP, CM 4Equations différentielles, DUT MP, CM 4
Equations différentielles, DUT MP, CM 4Christophe Palermo
 
Cours continuité et limites
Cours continuité et limitesCours continuité et limites
Cours continuité et limites
Yessin Abdelhedi
 
SYStèmes d'équations linéaires
SYStèmes d'équations linéairesSYStèmes d'équations linéaires
SYStèmes d'équations linéaires
sarah Benmerzouk
 
Le pendule
Le penduleLe pendule
Le pendule
RichardTerrat1
 
Généralisation du théorème de weierstrass et application
Généralisation du théorème de weierstrass et applicationGénéralisation du théorème de weierstrass et application
Généralisation du théorème de weierstrass et applicationKamel Djeddi
 
Maths Annexes
Maths AnnexesMaths Annexes
Maths Annexes
Walid Chamour
 
Integrcurvcor 2
Integrcurvcor 2Integrcurvcor 2
Integrcurvcor 2
Mohamedlemine Sarr
 
Equations différentielles, DUT MP, CM 5
Equations différentielles, DUT MP, CM 5Equations différentielles, DUT MP, CM 5
Equations différentielles, DUT MP, CM 5Christophe Palermo
 
Exercices avec les solutions d'analyse complexe
Exercices avec les solutions d'analyse complexeExercices avec les solutions d'analyse complexe
Exercices avec les solutions d'analyse complexeKamel Djeddi
 
Mathématiques - Fonction génératrice
Mathématiques - Fonction génératriceMathématiques - Fonction génératrice
Mathématiques - Fonction génératriceLoïc Dilly
 
Introduction à la transformée en z et convolution discrète (GEII MA32)
Introduction à la transformée en z et convolution discrète (GEII MA32)Introduction à la transformée en z et convolution discrète (GEII MA32)
Introduction à la transformée en z et convolution discrète (GEII MA32)
Frédéric Morain-Nicolier
 
47811458 exercices-systemes-echantillonnes
47811458 exercices-systemes-echantillonnes47811458 exercices-systemes-echantillonnes
47811458 exercices-systemes-echantillonnesTRIKI BILEL
 

Tendances (19)

Exercice exponontielle
Exercice exponontielleExercice exponontielle
Exercice exponontielle
 
Equations différentielles, DUT MP, CM1
Equations différentielles, DUT MP, CM1Equations différentielles, DUT MP, CM1
Equations différentielles, DUT MP, CM1
 
Equations différentielles, DUT MP, CM 2
Equations différentielles, DUT MP, CM 2Equations différentielles, DUT MP, CM 2
Equations différentielles, DUT MP, CM 2
 
Equations différentielles, DUT MP, CM 4
Equations différentielles, DUT MP, CM 4Equations différentielles, DUT MP, CM 4
Equations différentielles, DUT MP, CM 4
 
Cours continuité et limites
Cours continuité et limitesCours continuité et limites
Cours continuité et limites
 
SYStèmes d'équations linéaires
SYStèmes d'équations linéairesSYStèmes d'équations linéaires
SYStèmes d'équations linéaires
 
Fourier
FourierFourier
Fourier
 
Le pendule
Le penduleLe pendule
Le pendule
 
Exercice intégrales
Exercice intégralesExercice intégrales
Exercice intégrales
 
Généralisation du théorème de weierstrass et application
Généralisation du théorème de weierstrass et applicationGénéralisation du théorème de weierstrass et application
Généralisation du théorème de weierstrass et application
 
Maths Annexes
Maths AnnexesMaths Annexes
Maths Annexes
 
Integrcurvcor 2
Integrcurvcor 2Integrcurvcor 2
Integrcurvcor 2
 
S2- Math
S2- Math S2- Math
S2- Math
 
Equations différentielles, DUT MP, CM 5
Equations différentielles, DUT MP, CM 5Equations différentielles, DUT MP, CM 5
Equations différentielles, DUT MP, CM 5
 
Exercices avec les solutions d'analyse complexe
Exercices avec les solutions d'analyse complexeExercices avec les solutions d'analyse complexe
Exercices avec les solutions d'analyse complexe
 
Mathématiques - Fonction génératrice
Mathématiques - Fonction génératriceMathématiques - Fonction génératrice
Mathématiques - Fonction génératrice
 
Introduction à la transformée en z et convolution discrète (GEII MA32)
Introduction à la transformée en z et convolution discrète (GEII MA32)Introduction à la transformée en z et convolution discrète (GEII MA32)
Introduction à la transformée en z et convolution discrète (GEII MA32)
 
47811458 exercices-systemes-echantillonnes
47811458 exercices-systemes-echantillonnes47811458 exercices-systemes-echantillonnes
47811458 exercices-systemes-echantillonnes
 
246242769 sequence-1-pdf
246242769 sequence-1-pdf246242769 sequence-1-pdf
246242769 sequence-1-pdf
 

Similaire à Sol td 1 edo

Cours series fourier
Cours series fourierCours series fourier
Cours series fourier
ismailkziadi
 
Fonction-Logarithme-2eme-BAC-PC-1--www.etude-generale.com.pdf
Fonction-Logarithme-2eme-BAC-PC-1--www.etude-generale.com.pdfFonction-Logarithme-2eme-BAC-PC-1--www.etude-generale.com.pdf
Fonction-Logarithme-2eme-BAC-PC-1--www.etude-generale.com.pdf
etude-generale
 
Cours fourier
Cours fourier Cours fourier
Cours fourier
Raed Ammar
 
Transformationdelaplace
TransformationdelaplaceTransformationdelaplace
Transformationdelaplace
Mustapha Madrid
 
Analyse1 cour.pdf
Analyse1 cour.pdfAnalyse1 cour.pdf
Analyse1 cour.pdf
MohamedBouada
 
M1_exercices_corriges.pdf
M1_exercices_corriges.pdfM1_exercices_corriges.pdf
M1_exercices_corriges.pdf
DurelDonfack
 
bac tun 1.pdf
bac tun 1.pdfbac tun 1.pdf
bac tun 1.pdf
lescours
 
transparents-Algo-complexite.pdf
transparents-Algo-complexite.pdftransparents-Algo-complexite.pdf
transparents-Algo-complexite.pdf
abdallahyoubiidrissi1
 
Rappel mathématique pour étudiant d'économie gestion
Rappel mathématique pour étudiant d'économie gestionRappel mathématique pour étudiant d'économie gestion
Rappel mathématique pour étudiant d'économie gestion
Ali Hachimi Kamali
 
Traitement de signal rappel outilmathematiques
Traitement de signal rappel outilmathematiquesTraitement de signal rappel outilmathematiques
Traitement de signal rappel outilmathematiques
Djoudi KERFA
 
corr_exos.pdf
corr_exos.pdfcorr_exos.pdf
corr_exos.pdf
SongSonfack
 
Cours3 Réponse fréquentielle des systèmes dynamiques continus LTI
Cours3 Réponse fréquentielle des systèmes dynamiques continus LTICours3 Réponse fréquentielle des systèmes dynamiques continus LTI
Cours3 Réponse fréquentielle des systèmes dynamiques continus LTI
sarah Benmerzouk
 
T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre2-n ddl (1)
T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre2-n ddl (1)T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre2-n ddl (1)
T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre2-n ddl (1)
tawfik-masrour
 
ADS_Shannyyyyyyyyyyuyyuuuuuuuuuuuuuon.pdf
ADS_Shannyyyyyyyyyyuyyuuuuuuuuuuuuuon.pdfADS_Shannyyyyyyyyyyuyyuuuuuuuuuuuuuon.pdf
ADS_Shannyyyyyyyyyyuyyuuuuuuuuuuuuuon.pdf
BrsioftBlogger
 
Devoir de synthèse_n°_02--2008-2009(mr_otay)[lycée__el_aghaliba]
Devoir de synthèse_n°_02--2008-2009(mr_otay)[lycée__el_aghaliba]Devoir de synthèse_n°_02--2008-2009(mr_otay)[lycée__el_aghaliba]
Devoir de synthèse_n°_02--2008-2009(mr_otay)[lycée__el_aghaliba]
Yessin Abdelhedi
 
CAPES maths 2019 composition 2
CAPES maths 2019 composition 2CAPES maths 2019 composition 2
CAPES maths 2019 composition 2
Dany-Jack Mercier
 
sol_TD4.pdf
sol_TD4.pdfsol_TD4.pdf
sol_TD4.pdf
ImaneAitSalem2
 
Ts exam-h2014-correction
Ts exam-h2014-correctionTs exam-h2014-correction
Ts exam-h2014-correction
Daha Ahmed
 

Similaire à Sol td 1 edo (20)

Cours series fourier
Cours series fourierCours series fourier
Cours series fourier
 
CM4 - Transformée en z
CM4 - Transformée en zCM4 - Transformée en z
CM4 - Transformée en z
 
Fonction-Logarithme-2eme-BAC-PC-1--www.etude-generale.com.pdf
Fonction-Logarithme-2eme-BAC-PC-1--www.etude-generale.com.pdfFonction-Logarithme-2eme-BAC-PC-1--www.etude-generale.com.pdf
Fonction-Logarithme-2eme-BAC-PC-1--www.etude-generale.com.pdf
 
Cours fourier
Cours fourier Cours fourier
Cours fourier
 
Transformationdelaplace
TransformationdelaplaceTransformationdelaplace
Transformationdelaplace
 
Analyse1 cour.pdf
Analyse1 cour.pdfAnalyse1 cour.pdf
Analyse1 cour.pdf
 
M1_exercices_corriges.pdf
M1_exercices_corriges.pdfM1_exercices_corriges.pdf
M1_exercices_corriges.pdf
 
bac tun 1.pdf
bac tun 1.pdfbac tun 1.pdf
bac tun 1.pdf
 
transparents-Algo-complexite.pdf
transparents-Algo-complexite.pdftransparents-Algo-complexite.pdf
transparents-Algo-complexite.pdf
 
Rappel mathématique pour étudiant d'économie gestion
Rappel mathématique pour étudiant d'économie gestionRappel mathématique pour étudiant d'économie gestion
Rappel mathématique pour étudiant d'économie gestion
 
Traitement de signal rappel outilmathematiques
Traitement de signal rappel outilmathematiquesTraitement de signal rappel outilmathematiques
Traitement de signal rappel outilmathematiques
 
corr_exos.pdf
corr_exos.pdfcorr_exos.pdf
corr_exos.pdf
 
Cours3 Réponse fréquentielle des systèmes dynamiques continus LTI
Cours3 Réponse fréquentielle des systèmes dynamiques continus LTICours3 Réponse fréquentielle des systèmes dynamiques continus LTI
Cours3 Réponse fréquentielle des systèmes dynamiques continus LTI
 
Traitement du signal
Traitement du signalTraitement du signal
Traitement du signal
 
T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre2-n ddl (1)
T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre2-n ddl (1)T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre2-n ddl (1)
T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations -chapitre2-n ddl (1)
 
ADS_Shannyyyyyyyyyyuyyuuuuuuuuuuuuuon.pdf
ADS_Shannyyyyyyyyyyuyyuuuuuuuuuuuuuon.pdfADS_Shannyyyyyyyyyyuyyuuuuuuuuuuuuuon.pdf
ADS_Shannyyyyyyyyyyuyyuuuuuuuuuuuuuon.pdf
 
Devoir de synthèse_n°_02--2008-2009(mr_otay)[lycée__el_aghaliba]
Devoir de synthèse_n°_02--2008-2009(mr_otay)[lycée__el_aghaliba]Devoir de synthèse_n°_02--2008-2009(mr_otay)[lycée__el_aghaliba]
Devoir de synthèse_n°_02--2008-2009(mr_otay)[lycée__el_aghaliba]
 
CAPES maths 2019 composition 2
CAPES maths 2019 composition 2CAPES maths 2019 composition 2
CAPES maths 2019 composition 2
 
sol_TD4.pdf
sol_TD4.pdfsol_TD4.pdf
sol_TD4.pdf
 
Ts exam-h2014-correction
Ts exam-h2014-correctionTs exam-h2014-correction
Ts exam-h2014-correction
 

Sol td 1 edo

  • 1. Université Larbi Tébessi - Tébessa Faculté Des Sciences Exactes et De La Nature et de la Vie Département : Mathématiques et Informatique Module : EDO 1ere année Master EDP Année Universitaire : 2017-2018 Serie 01 Solution d’exercice 01 : y 0 (t) = 2ty2 ) y 0 y2 = 2t ) Z dy y2 = Z 2tdt ) 1 y = t2 + c ) y (t) = 1 t2 + c y (0) = 1 ) 1 c = 1 ) c = 1 ) y (t) = 1 t2 + 1 donc le problème de Cauchy y 0 (t) = 2ty2 y (0) = 1 admet une solution globale y (t) = 1 t2 + 1 , (8t 2 R) Solution d’exercice 02 : La fonction f : ]0; +1[ R ! R (t; y) 7! sin(ty) t2 est de classe C1 donc continue et localement Lipschitzienne par rapport à la seconde variable sur son domaine de de…nition. puisque (1; 1) 2 ]0; +1[ R, par application du théorème de Cauchy-Lipschitz, on en déduit l’existence et l’unicité d’une solution maximale à l’équation di¤érentielle. Solution d’exercice 03 : On résout le problème pour t > 0 ou t < 0 1) t < 0 tx 0 + x = t2 , x tx 0 t2 = 1 , d dt x t = 1 , x t = t + c1 où c1 2 R , x = t2 + c1t; c1 2 R 1
  • 2. Les solutions x (t) = t2 + c1t; t 2 ] 1; 0[ sont maximales dans R. 2) t > 0 tx 0 + x = t2 , d dt (tx) = t2 , tx = t3 3 + c2; c2 2 R , x = t2 3 + c2 t , c2 2 R Les solutions x (t) = t2 3 + c2 t ; t 2 ]0; +1[ sont maximales dans R. 3) Existe-t-il des solutions globales dans R. On a lim t!0 t2 + c1t = 0 pour tout c1 2 R lim t!0+ t2 3 + c2 t = 8 < : +1 si c2 > 0 0 si c2 = 0 1 si c2 < 0 Pour obtenir une solution continuie, il faut donc c2 = 0. On a alors lim t!0 t2 + c1t 0 = lim t!0 c1 2t = c1 lim t!0+ t2 3 0 = lim t!0+ 2 3 t = 0 On obtient alors une fonction de classe C1 sur R si et seulement si c1 = c2 = 0: il existe donc solution globale x (t) = 8 < : t2 si t 0 t2 3 si t > 0 Solution d’exercice 04 : a) (1) f : R ]0; +1[! R (t; x) 7! 1 x f (t; x) = 1 x est continue sur R ]0; +1[ car 1 x est continue sur R donc sur ]0; +1[. f (t; x) est localement Lipschitzienne par rapport à la seconde variable car f est de classe C1 . b) (1) f est continue et localement Lipschitzienne par rapport à la seconde variable alors 9!solution maximale au problème (1) (Théorème de C.L) avec J =]t ; T [ contenant 0. 2
  • 3. 8 < : x 0 (t) = 1 x (t) x (0) = x0 , x (t) x 0 (t) = 1 , 1 2 (x (t))2 = t + c , x (t) = p 2t + c; c 2 R x (0) = x0 , p c = x0 , c = x2 0 , x (t) = q 2t + x2 0 x (t) > 0 , 2t + x2 0 > 0 , 2t > x2 0 , t < x2 0 2 on a donc J = 1; x2 0 2 intervalle maximale, t = 1; T = x2 0 2 : 2. lim t!T x (t) = lim t! x2 0 2 p 2t + x2 0 = 0, 0 =2 ]0; +1[ donc x (t) sort de tout compact de ]0; +1[ donc n’est pas global. Solution d’exercice 05 : (Pas d’unicité) 1) Si y(t) > 0 ) y 0 (t) p y(t) = 1 ) 2 p y(t) = t + c ) y(t) = t + c 2 2 ; y (0) = 0 ) c = 0 ) y(t) = t2 4 ; t > 0. Si y(t) < 0 ) y 0 (t) p y(t) = 1 ) 2 p y(t) = t + c; y (0) = 0 ) c = 0 ) 2 p y(t) = t ) y(t) = t2 4 ; t < 0. ) y(t) = 8 >>>< >>>: t2 4 si t < 0 0 si t = 0 t2 4 si t > 0 Par prolongement alors les solutions globales sont : y(t) = 8 >>>< >>>: t2 4 si t < 0 0 si t = 0 t2 4 si t > 0 3
  • 4. et y(t) = 0; 8t 2 R. 2) Le théorème de Cauchy-Lipschitz ne s’applique pas car f(t; x) n’est pas localement Lipschitzienne par rapport x. * On vois de 0 : p jy1j p jy2j jy1 y2j = 1 p jy1j + p jy2j p jy1j+ p jy2j !0 ! +1 * Supposons qu’il existe un voisinage V de (0; 0) sur lequel f est Lipschitzienne par rapport x. On peut supposer que V est de la form ] a; a[ ] b; b[, 8 (t; x) et (t; y) 2 ] a; a[ ] b; b[ p jxj p jyj L jx yj en particulier, 8x 2 ]0; b[, p x Lx; (x > 0; y = 0) donc 8x 2 ]0; b[,p x x = 1 p x L Absurd car 1 p x ! +1 x!0+ : Alors le théorème de C.L ne s’applique pas donc il n’y a pas d’unicité. Solution d’exercice 06 : 1) f est de classe C1 donc localement Lipschitzienne par rapport x donc 9 unique solution maximale (x; I) à ce problème. 2) x est impaire , x ( t) = x (t) Soit y(t) = x(t); t 2 ~I; ~I = ft 2 R, t 2 Ig Montrons que ~I = I et 8t 2 I; x(t) = y(t). y 0 (t) = x 0 ( t) = t2 + x2 ( t) = t2 + ( x ( t))2 = t2 + y2 (t) et y(0) = x(0) = 0: donc y solution au problème de Cauchy et ~I I et 8t 2 ~I; y(t) = x(t) par unicité de la solution maximale ~I I et ~I symétrique de I ) ~I = I; donc x est impaire. x 0 (t) 0 donc x est croissante. x (0) = 0 et x croissante ) x positive sur R+ . x est impaire et x positive sur R+ ) x négative sur R . x est deux fois dérivable et x 00 (t) = 2t + 2x 0 (t)x(t) = 2t + 2 t2 + x2 (t) x(t) x 00 (t) est positive sur R+ ) x est convexe. x 00 (t) est négative sur R ) x est concave. 4
  • 5. 3) Supposons I = R x est croissante, x(t) t!+1 ! ; 2 R+ [ f+1g Si t > 0 ) x (t) > 0 8t > 0; x 0 (t) x2(t) = t2 x2(t) + 1 Soit t > 1 on a : tZ 1 x 0 (s) x2(s) ds = 1 x(t) + 1 x(1) = tZ 1 s2 x2(s) + 1 ds tZ 1 ds = t 1 ) 1 x(t) 1 x(1) + 1 t t!+1 ! 1 ) x(t) t!+1 ! 0 pas possible donc sup I < +1 et par symétrique inf I > +1 d’où I est borné. Autre Méthode : Si sup I = +1 pour t 1; x 0 (t) = t2 + x2 (t) 1 + x2 (t) ) x 0 (t) 1 + x2(t) 1 ) Arctg (x(t)) Arctg (x(1)) t 1 ) Arctg (x(t)) t 1 + Arctg (x(1)) impossible car Arctg bornée. donc sup I < +1 et par symétrique inf I > +1 d’où I est borné. Etudions les limites de x aux bornes de I : x est croissante donc elle admet une limite en sup (I) par le théorème de sortie de compact elle est sort de tout compact de R, donc lim t!sup(I) x(t) = +1; par imparité lim t!inf(I) x(t) = 1 Solution d’exercice 07 : 1) Montrons que f est 1-Lipschitzienne, c-à-d 8x; y 2 R jf(x) f(y)j jx yj : Soit x; y 2 R on suppose que x y (par symétrie) on a 6 cas : 1) x y 0 ) jf(x) f(y)j = 0 y x = jy xj = jx yj 2) x 0 y 1 ) jf(x) f(y)j = j0 yj = y y x = jx yj 3) x 0 et y 1 ) jf(x) f(y)j = j0 1j = 1 y y x = jx yj 4) 0 x y 1 ) jf(x) f(y)j = jx yj 5) 0 x 1 y ) jf(x) f(y)j = jx 1j = 1 x y x = jx yj 6) 1 x y ) jf(x) f(y)j = j1 1j = 0 y x = jx yj Conclusion : 8x; y 2 R, jf(x) f(y)j jx yj : 5
  • 6. D’après le théorème de Cauchy-Lipschitz global on en déduit l’éxistence et l’uni- cité d’une solution globale de l’équation y 0 = f(y) avec condition initiale y (t0) = y0 pour tout (t0; y0) 2 R2 : 2) y 0 = y y (0) = y0; y0 2 ]0; 1[ la solution de cette équation est y (t) = y0et pour t > 0 tel que y(t ) = 1 , y0et = 1 , t = ln 1 y0 , on a que : y 0 = 1; 8t t , alors y (t) = t + c; 8t t ; y(t ) = 1 = t + c ) c = 1 t ) y(t) = t + 1 t ; t t . de même, on calcule : y (t ) = 0 , y0et = 0, cette équation n’admet pas le solution. Conclusion : y(t) = 8 >>< >>: y0et ; t < ln 1 y0 1 t + t; t ln 1 y0 = 8 >>< >>: y0et ; t < ln 1 y0 t + 1 ln 1 y0 ; t ln 1 y0 Rémarque : t = ln 1 y0 > 0 car y0 2 ]0; 1[. 6