Le document présente une série d'exercices sur les équations différentielles pour un module de mathématiques de master à l'université Larbi Tébessi. Chaque exercice aborde des concepts tels que l'unicité des solutions, la continuité, et l'existence de solutions maximales dans différents cas. Les exercices sont conçus pour illustrer des théorèmes clés et des techniques en analyse mathématique.

1. Université Larbi Tébessi - Tébessa
Faculté Des Sciences Exactes et De La Nature et de la Vie
Département : Mathématiques et Informatique
Module : EDO
1ere
année Master EDP
Année Universitaire : 2017-2018
Serie 01
Exercice 01 :
Soit l’équation di¤érentielle
y
0
(t) = 2ty2
y (0) = 1
dé…nie sur U = R R (t 2 R et y 2 R)
Donner la nature de solution ( maximale où globale )
Exercice 02 :
Démontrer que l’équation di¤érentielle suivante
(
y
0
(t) =
sin(ty)
t2
; t > 0
y (1) = 1
admet une unique solution maximale.
Exercice 03 :
Donner l’ensemble des solutions maximales et globales dans R de l’équation
di¤érentielle
jtj x
0
+ x = t2
Exercice 04 :
a) Soit f : R ]0; +1[! R la fonction dé…nie par :
8t 2 R; 8x > 0; f (t; x) =
1
x
1. Montre que f est continue sur R ]0; +1[ et localement Lipschitzienne par
rapport à sa deuxième variable.
b) Soit x0 > 0. On considère le problème de Cauchy
8
<
:
x
0
(t) =
1
x (t)
x (0) = x0
(1)
1. Calculer explicitement la solution maximale au problème (1). On note
J =]t ; T [ son intervalle de dé…nition, avec t et T …nis ou in…nis.
2. Etudier le comportement de x (t) quand t ! T . Faire le lien avec le
théorème de sortie de compact.
1

2. Exercice 05 :
On considère le problème de Cauchy suivant
y
0
(t) =
p
jy(t)j; t 2 R
y(0) = 0
(2)
1) Construire une solution non nulle au problème (2).
2) Le théorème de Cauchy-Lipschitz s’applique-t-il ici ? pourquoi ?
Exercice 06 :
On considère le problème de Cauchy suivant
x
0
(t) = t2
+ x2
(t) ; t 2 R
x(0) = 0
1) Justi…er l’existence d’une unique solution maximale (x; I) à ce problème.
2) Montrer que x est impaire, et étudier sa monotonie, sa concavité.
3) Montrer que l’intervalle I est borné, puis étudier les limites de x aux bornes
de I.
Exercice 07 :
On considère l’équation di¤érentielle
y
0
= f (y)
avec f : R ! R donné par
f(x) =
8
<
:
0 si x 0
x si 0 < x 1
1 si x > 1
(3)
1) Montrer que pour tout (t0; y0) 2 R2
il existe une et une seule solution
globale y de (3) véri…ant y(t0) = y0.
2) Obtenir cette solution explicite dans le cas où t0 = 0 et 0 < y0 < 1.
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