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Exercice1 : 3pts
Soient 1 2z et z deux nombres complexes tel que : 1 2
1 2
2 3
. 4
z z
z z
  


1-resoudre ce système dans 
2-dans le plan complexe rapporte au repère orthonormé direct ; ;O u v . On
considère les points      ;A B CA z B z et C z tel que
3 ; 3A B C Az i z i et z z     
a-calculer Dz l’affixe du pont D le barycentre du système       ; 1 ; ;1 ; ;1A B C
b-montrer que ABCD est un parallélogramme
c-calculer
1954
1962 2017
;
2 2 2
A B Cz z z
et
     
     
     
3-montrerque l’ensemble des points  M z tel que :   .A B C Cz z z z z z   est un
cercle (C) et déterminer l’affixe de son centre et son rayon.
4-determiner (C’) l’image du cercle (C) par l’homothétie du centre A et de
rapport 2.
5-determner l’ensemble des points M(z) tel que :  arg 2
2Az z k telque k



   
Exercice 2 : 8pts
I-Soit   2
1 x
g x x e 
   définie sur IR
1-calculer    lim lim
x x
g x et g x
 
2
2-calculer  'g x pour tout x IR puit étudier son signe et donner le tableau de
variation de g.
II-Soit   2
1 x
f x x xe 
   définie sur IR
1-montrer que    lim lim
x x
f x et que f x
 
   
2-montrer que     lim 1 0
x
f x x

   et interpréter ce résultat géométriquement
3-determiner l’intersection de la courbe  fC avec la droite  : 1y x   .
4-etudier la position de  fC avec   sur  ;0 et  0;
5-a-montrer que    2
: ' .x
x R f x e g x
  
b-en déduire que la fonction f est croissante sur IR
c-donner le tableau de variation de f
6-a-montrer que l’équation   0f x  admet une solution unique  tel que
0,1 0,2 et interpréter ce résultat géométriquement.
b-en déduire que : les solutions de l’inéquation : 2 1x
e


 
 .
c-montrer que f admet une fonction réciproque 1
f 
définie sur IR
7-a- montrer que     2
: '' 2 x
x IR f x x e 
   
b-déterminer le point d’inflexion A de la courbe fC .
c-déterminer l’équation de la tangente (T) à la courbe  fC au point A.
8-construire   ; (T) et  fC puis  1
f
C  dans le même repère orthonormé  ; ;O i j
9-discuter suivant les valeurs du paramétré réel m les solutions de l’équation
 f x x m 
10-calculer en 2
cm l’aire du domaine plan limitée par la courbe fC , l’axe des
abscisses et les droites d’équations respectives : x=1 et x=2
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3
Un sac contient 3 boules noires, 4 boules blanches et une boule jaune. On tire au
Hazard et sans remise 3 boules du sac. Les boules sont indiscernables au
toucher.
1-calculer la probabilité de chaque évènement suivant :
A :<<tirer une boule de couleur l’une des couleurs existantes>>
B :<<tirer 3 boules de même couleur>>.
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D :<<tirer une boule jaune>>.
2-calculer la probabilité d’obtenir 2 couleurs uniquement sachant que la boule
jaune est tirée.
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Soit la suite  nu définie par :  
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n nn IN u u et u    
1-calculer 1u et 2u
2-montrer que : :0 1nn IN u   
2-etudier la monotonie de la suite  nu , en déduire que  nu est convergente
4-on pose : 3 1n nv u  .
a-montrer que : la suite  nv est géométrique de raison
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b-calculer nu en fonction de n et calculer lim n
n
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0 1 2 ......n nS u u u u    en fonction de n et calculer lim n
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  • 1. 1 é é à Exercice1 : 3pts Soient 1 2z et z deux nombres complexes tel que : 1 2 1 2 2 3 . 4 z z z z      1-resoudre ce système dans  2-dans le plan complexe rapporte au repère orthonormé direct ; ;O u v . On considère les points      ;A B CA z B z et C z tel que 3 ; 3A B C Az i z i et z z      a-calculer Dz l’affixe du pont D le barycentre du système       ; 1 ; ;1 ; ;1A B C b-montrer que ABCD est un parallélogramme c-calculer 1954 1962 2017 ; 2 2 2 A B Cz z z et                   3-montrerque l’ensemble des points  M z tel que :   .A B C Cz z z z z z   est un cercle (C) et déterminer l’affixe de son centre et son rayon. 4-determiner (C’) l’image du cercle (C) par l’homothétie du centre A et de rapport 2. 5-determner l’ensemble des points M(z) tel que :  arg 2 2Az z k telque k        Exercice 2 : 8pts I-Soit   2 1 x g x x e     définie sur IR 1-calculer    lim lim x x g x et g x  
  • 2. 2 2-calculer  'g x pour tout x IR puit étudier son signe et donner le tableau de variation de g. II-Soit   2 1 x f x x xe     définie sur IR 1-montrer que    lim lim x x f x et que f x       2-montrer que     lim 1 0 x f x x     et interpréter ce résultat géométriquement 3-determiner l’intersection de la courbe  fC avec la droite  : 1y x   . 4-etudier la position de  fC avec   sur  ;0 et  0; 5-a-montrer que    2 : ' .x x R f x e g x    b-en déduire que la fonction f est croissante sur IR c-donner le tableau de variation de f 6-a-montrer que l’équation   0f x  admet une solution unique  tel que 0,1 0,2 et interpréter ce résultat géométriquement. b-en déduire que : les solutions de l’inéquation : 2 1x e      . c-montrer que f admet une fonction réciproque 1 f  définie sur IR 7-a- montrer que     2 : '' 2 x x IR f x x e      b-déterminer le point d’inflexion A de la courbe fC . c-déterminer l’équation de la tangente (T) à la courbe  fC au point A. 8-construire   ; (T) et  fC puis  1 f C  dans le même repère orthonormé  ; ;O i j 9-discuter suivant les valeurs du paramétré réel m les solutions de l’équation  f x x m  10-calculer en 2 cm l’aire du domaine plan limitée par la courbe fC , l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives : x=1 et x=2 Exercice 3 : 3pts
  • 3. 3 Un sac contient 3 boules noires, 4 boules blanches et une boule jaune. On tire au Hazard et sans remise 3 boules du sac. Les boules sont indiscernables au toucher. 1-calculer la probabilité de chaque évènement suivant : A :<<tirer une boule de couleur l’une des couleurs existantes>> B :<<tirer 3 boules de même couleur>>. C :<<tirer 2 couleurs uniquement>>. D :<<tirer une boule jaune>>. 2-calculer la probabilité d’obtenir 2 couleurs uniquement sachant que la boule jaune est tirée. 3-on répète l’expérience précédente 5 fois de suite avec retour des boules tirées chaque fois dans le sac. Calculer la probabilité de réaliser au moins l’évènement A. Exercice 4 : 3pts Soit la suite  nu définie par :   3 3 1 0 1 : 1 0 8 n nn IN u u et u     1-calculer 1u et 2u 2-montrer que : :0 1nn IN u    2-etudier la monotonie de la suite  nu , en déduire que  nu est convergente 4-on pose : 3 1n nv u  . a-montrer que : la suite  nv est géométrique de raison 1 2 b-calculer nu en fonction de n et calculer lim n n u  c- écrire 3 33 3 0 1 2 ......n nS u u u u    en fonction de n et calculer lim n n S 