Le document présente une série d'exercices mathématiques portant sur les nombres complexes, l'analyse des fonctions, les probabilités et les suites. Chaque exercice requiert des calculs précis, des démonstrations géométriques et des études de variation. Les thèmes abordés incluent la résolution de systèmes, l'analyse des limites, et l'étude des propriétés des suites convergentes.

1. 1
é
é à
Exercice1 : 3pts
Soient 1 2z et z deux nombres complexes tel que : 1 2
1 2
2 3
. 4
z z
z z
  


1-resoudre ce système dans 
2-dans le plan complexe rapporte au repère orthonormé direct ; ;O u v . On
considère les points      ;A B CA z B z et C z tel que
3 ; 3A B C Az i z i et z z     
a-calculer Dz l’affixe du pont D le barycentre du système       ; 1 ; ;1 ; ;1A B C
b-montrer que ABCD est un parallélogramme
c-calculer
1954
1962 2017
;
2 2 2
A B Cz z z
et
     
     
     
3-montrerque l’ensemble des points  M z tel que :   .A B C Cz z z z z z   est un
cercle (C) et déterminer l’affixe de son centre et son rayon.
4-determiner (C’) l’image du cercle (C) par l’homothétie du centre A et de
rapport 2.
5-determner l’ensemble des points M(z) tel que :  arg 2
2Az z k telque k



   
Exercice 2 : 8pts
I-Soit   2
1 x
g x x e 
   définie sur IR
1-calculer    lim lim
x x
g x et g x
 

2. 2
2-calculer  'g x pour tout x IR puit étudier son signe et donner le tableau de
variation de g.
II-Soit   2
1 x
f x x xe 
   définie sur IR
1-montrer que    lim lim
x x
f x et que f x
 
   
2-montrer que     lim 1 0
x
f x x

   et interpréter ce résultat géométriquement
3-determiner l’intersection de la courbe  fC avec la droite  : 1y x   .
4-etudier la position de  fC avec   sur  ;0 et  0;
5-a-montrer que    2
: ' .x
x R f x e g x
  
b-en déduire que la fonction f est croissante sur IR
c-donner le tableau de variation de f
6-a-montrer que l’équation   0f x  admet une solution unique  tel que
0,1 0,2 et interpréter ce résultat géométriquement.
b-en déduire que : les solutions de l’inéquation : 2 1x
e


 
 .
c-montrer que f admet une fonction réciproque 1
f 
définie sur IR
7-a- montrer que     2
: '' 2 x
x IR f x x e 
   
b-déterminer le point d’inflexion A de la courbe fC .
c-déterminer l’équation de la tangente (T) à la courbe  fC au point A.
8-construire   ; (T) et  fC puis  1
f
C  dans le même repère orthonormé  ; ;O i j
9-discuter suivant les valeurs du paramétré réel m les solutions de l’équation
 f x x m 
10-calculer en 2
cm l’aire du domaine plan limitée par la courbe fC , l’axe des
abscisses et les droites d’équations respectives : x=1 et x=2
Exercice 3 : 3pts

3. 3
Un sac contient 3 boules noires, 4 boules blanches et une boule jaune. On tire au
Hazard et sans remise 3 boules du sac. Les boules sont indiscernables au
toucher.
1-calculer la probabilité de chaque évènement suivant :
A :<<tirer une boule de couleur l’une des couleurs existantes>>
B :<<tirer 3 boules de même couleur>>.
C :<<tirer 2 couleurs uniquement>>.
D :<<tirer une boule jaune>>.
2-calculer la probabilité d’obtenir 2 couleurs uniquement sachant que la boule
jaune est tirée.
3-on répète l’expérience précédente 5 fois de suite avec retour des boules tirées
chaque fois dans le sac.
Calculer la probabilité de réaliser au moins l’évènement A.
Exercice 4 : 3pts
Soit la suite  nu définie par :  
3
3
1 0
1
: 1 0
8
n nn IN u u et u    
1-calculer 1u et 2u
2-montrer que : :0 1nn IN u   
2-etudier la monotonie de la suite  nu , en déduire que  nu est convergente
4-on pose : 3 1n nv u  .
a-montrer que : la suite  nv est géométrique de raison
1
2
b-calculer nu en fonction de n et calculer lim n
n
u

c- écrire 3 33 3
0 1 2 ......n nS u u u u    en fonction de n et calculer lim n
n
S
