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Béton Armé aux Etats Limites
B.A.E.L.
B.A.E.L.

Chapitre I: INTRODUCTION - GENERALITES
Le Béton
mélange dans des proportion convenable des éléments suivants :
+ éventuellement, et en faible quantité, des produits d’addition, les adjuvants,
influençant certaines propriétés ou comportements du matériau béton.
L’intérêt du matériau béton réside dans sa facilité de mise en œuvre
puisqu’il se présente à l’état pâteux et qu’il suffit de remplir des
moules (coffrages) de la forme de l’élément à réaliser.

Le Béton Armé
Le béton armé peut être défini comme l’association judicieuse de
deux matériaux, le béton et l’acier. Ces aciers sont appelés
armatures. On distingue les armatures longitudinales disposées
suivant l’axe longitudinal de la pièce et les armatures
transversales disposées dans des plans perpendiculaires à l’axe
transversales disposées dans des plans perpendiculaires à l’axe
de la pièce.
Béton → Compression (Résistance à la compression = 20 MPa à 40MPa)
(Résistance à la traction = 2 MPa à 4MPa)
Acier → Traction ou compression (200 MPa à 500 MPa)

Domaine d’application du BAEL
Les règles BAEL91 modifiées 99 sont applicables à tous les
ouvrages en béton armé, dont le béton est constitué de granulats
naturels normaux, avec un dosage en ciment au moins égal à 300
kg/m3 de béton mis en œuvre.
Les constructions suivantes restent en dehors du domaine
Les constructions suivantes restent en dehors du domaine
d’application :
- les constructions en béton non armé,
- les constructions en béton léger,
- les constructions mixtes acier-béton,
- les constructions en béton de résistance caractéristique supérieure à
80MPa
- les éléments soumis à des températures s’écartant de celles qui
résultent des seules influences climatiques.

PRINCIPE DU BETON ARME
Fonctionnement du béton armé en flexion

Première poutre : béton non armé
La rupture intervient brutalement sous une charge faible suite à
une insuffisance en traction.
La résistance en compression du béton, d’environ 25 à 35 MPa
est 10 fois plus importante que sa résistance en traction.

Deuxième poutre : Poutre armée longitudinalement
Nous disposons des armatures en fibres inférieures, là où se
développent les contraintes de traction et donc là où le béton
montre des insuffisances.
L’acier est un matériau possédant d’excellentes capacités de
résistances tant en traction qu’en compression mais il est cher et
résistances tant en traction qu’en compression mais il est cher et
donc à utiliser à bon escient et avec parcimonie.

Sous charges, des fissures apparaissent en partie centrale. A ce
niveau, le béton a donc cessé de résister en traction et c'est l’acier
qui a pris le relais. Les armatures empêcheront donc ces micro
fissures de s’ouvrir davantage et prendront seuls en compte les
Deuxième poutre : Poutre armée longitudinalement
fissures de s’ouvrir davantage et prendront seuls en compte les
efforts de traction. En augmentant les charges appliquées, des
fissures à 45° se créent au niveau des deux zones d’appuis
provenant d’une insuffisance
de résistance du béton à
l’effort tranchant.
La rupture intervient
ensuite le long de
ces fissures.

Troisième poutre : Poutre armée longitudinalement et
transversalement
Disposons maintenant en supplément des armatures transversales
particulièrement au niveau des appuis.
La rupture intervient beaucoup plus tard que dans les deux cas
précédents. Les armatures en présence tant longitudinales que
transversales limiteront l’ouverture des fissures dans le béton.

Synthèse
Nous pouvons présenter, à partir de ces essais, le principe de
ferraillage d’une poutre en BA en flexion.

Avantages et inconvénients du béton armé
Avantages
L’intérêt économique : Le béton est le moins coûteux des
matériaux résistant à la compression et susceptible d’être associé à
d’autres éléments; et l’utilisation de l’acier sous forme de barres est
judicieuse et économique, puisqu’elles ne sont disposées que dans
les parties utiles.
les parties utiles.
La souplesse d’utilisation : le béton étant mis en place (dans des
moules : coffrage) à l’état pâteux ; il est possible de réaliser des
constructions aux formes les plus variées et les armatures peuvent
être facilement liées.
Le béton armé se traite facilement à la pré-fabrication en usine.

Résistance au feu : les constructions en béton armé se comportent
Economie d’entretien : les constructions en béton armé ne
nécessitent aucun entretien tandis que les constructions métalliques
ont besoins d’être peintes régulièrement.
Avantages
Résistance au feu : les constructions en béton armé se comportent
beaucoup mieux en cas d’incendie que les constructions métallique
ou en bois. Le béton, grâce à sa mauvaise conductibilité thermique
retarde les effets de la chaleur sur les armatures, il est possible de
remettre en service la construction après les réparations
superficielles ce qui est impossible pour les constructions
métalliques. Cette propriété a permis d’utiliser le béton armé dans
certaines parties des fours.

Résistance aux efforts accidentels : le béton armé en raison de
son poids important est moins sensible aux variations de
Avantages
surcharges que d’autres modes de constructions.
Durabilité : le béton armé résiste bien à l’action de l’eau et de
l’air; la seule condition à observer est la protection des
armatures; et l’acier et le béton ont des coefficients de dilatation
thermique rapprochés, ce qui évite les dilatations différentielles
entre les deux matériaux.

Inconvénients
Le poids : les ouvrages en B.A sont plus lourds que les autres
modes de constructions.
L’exécution : pour exécuter un ouvrage en béton armé il faut :
Préparation de coffrage qui demande beaucoup de temps et un
travail de charpente important. Ce coffrage doit rester en place
jusqu'à se que le béton atteint une résistance suffisante.
Le placement des armatures
Pendant et après les mises en place du béton, il faut prendre des
précautions pour le protéger contre le gel et l’évaporation de l’eau.
Le contrôle de la qualité du matériau perfectionné lors du
gâchage.

Inconvénients
Brutalité des accidents : les accidents qui surviennent aux ouvrages
en béton armé sont en général soudains ou brutaux, en général ces
accidents sont dus à des erreurs de calculs ou de réalisations.
Difficulté de modification d’un ouvrage déjà réalisé : il est
difficile de modifier un élément déjà réalisé.

Sécurité et Réglementation
La sécurité est définie comme l’absence de risque et dans le
domaine de construction ; cela implique la stabilité et la durabilité
et l’aptitude à l’emploi. La sécurité absolue n’existe pas; il faut
accepter une probabilité non négligeable d’accident.
Le dimensionnement des ouvrages et la vérification de la sécurité
Le dimensionnement des ouvrages et la vérification de la sécurité
reposent sur des règles de calcul utilisant la méthode des
contraintes admissibles qui consiste à vérifier les contraintes
calculés par la R.D.M en tout point d’une structure par rapport à
une contrainte admissible obtenue en divisant la contrainte de
ruine du matériau par un coefficient de sécurité fixé à l’avance.

Théorie semi -probabiliste - Etats limites :
(B.A.E.L) 91 modifiées 99
consiste a :
1-Définir les phénomènes que l’on veut éviter (l’état limite) :
- Ouverture des fissures soit par :
a- Compression successive dans le béton.
a- Compression successive dans le béton.
b- Traction successive dans l’acier.
- Déformation importante dans l’ensemble.
2-Estimer la gravité des risques liés à ces phénomènes (on distingue
les états limites ultimes et les états limites de services).
3-Dimensionner les éléments de la construction de telle manière
que la probabilité d’atteindre l’un de ces phénomènes reste faible.

Définition des états limites
Un état limite est un état pour lequel une condition requise d’une
construction est strictement satisfaite et cesserait de l’être en cas de
modification défavorable d’une seule action.
modification défavorable d’une seule action.
Un ouvrage doit être conçu et calculé de manière à présenter
pendant toute sa durée de vie des sécurités suffisantes vis-à-vis :
de sa ruine ou de celle de l’un quelconque de ses éléments
(effondrement de tout ou partie du bâtiment),
d’un comportement en service susceptible d’affecter
gravement sa durabilité, son aspect, le confort des usagers.

BAEL distingue deux catégories d’états limites :
Etats limites ultimes (E.L.U) :
Il correspond à la valeur maximale de la capacité portante de la
construction et dont le dépassement entraîne la ruine de la
construction, ces états limites sont relatifs à la limite:
a- Etat limite ultime d’équilibre statique de l’ouvrage : c’est la perte
a- Etat limite ultime d’équilibre statique de l’ouvrage : c’est la perte
de la stabilité d’une partie ou de l’ensemble de la construction (le
renversement).
b- Etat limite ultime de résistance de l’un des matériaux de
construction : c’est la perte de résistance soit du béton soit de
l’acier.
c- Etat limite ultime de stabilité de forme (flambement) : les pièces
élancées soumises à des efforts de compression subissent des
déformations importantes et deviennent instable.

Etat limite de service (E.L.S)
Ils constituent les limites au-delà desquelles les conditions normales
d’exploitation ou de durabilité de l’ouvrage ne sont plus satisfaites.
On est conduit à effectuer des vérifications portant sur:
a- Etat limite de service de compression de béton : cette limitation à
pour but d’empêcher la formation des fissures.
pour but d’empêcher la formation des fissures.
b- Etat limite de service d’ouverture des fissures (corrosion des
armatures) : il consiste à assurer que les armatures sont
convenablement disposées dans la section et les contraintes ne
dépassent pas la valeur limite.
c- Etat limite de service de déformation (flèche) : il consiste à
vérifier que les déformations sont inférieures à des déformations
limites.

La vérification de la construction selon qu’il s’agit d’un ELU ou d’un ELS
conduit à des calculs très différents en ce qui concerne :
- les actions à prendre en compte et la façon de les combiner
(pondération).
- le comportement du matériau (et des sections des poutres) à utiliser.
A l’ELU, une section de poutre BA est amenée à la rupture lorsque le
béton comprimé ou l’acier tendu dépasse leur capacité de résistance et
entrent en plasticité. Le calcul est donc mené dans l’hypothèse d’un
comportement plastique des matériaux, le domaine élastique étant dépassé.
L’ELS est atteint bien que la structure soit encore loin de son
effondrement, par exemple du fait d’une trop grande déformabilité d’un
élément. Le calcul est mené dans l’hypothèse d’un comportement
élastique des matériaux.

Chapitre II: ACTIONS ET SOLLICITATIONS
Définitions
Les actions sont des forces ou des couples directement appliquées à
la construction, ainsi que celles qui résultent des déformations dues
au retrait, à la dilatation, au tassement d’appui.
Les valeurs de chacune de ces actions ont un caractère nominal,
Les valeurs de chacune de ces actions ont un caractère nominal,
c’est-à-dire connu dès le départ ou donné par des textes
réglementaires ou contractuels.
On distingue trois types d'actions :
Actions permanentes.
Actions variables (d'exploitations).
Actions accidentelles.

a- actions permanentes (G) :
Ce sont des actions continues dont l'intensité est constante ou très
peu variable dans le temps. Exemple : le poids propre.
b- actions variables (Q) :
Ce sont des actions dans l'intensité varie fréquemment et d'une façon
importante dans le temps. La durée d'application est très faible par
importante dans le temps. La durée d'application est très faible par
rapport aux durées de vie de constructions. Les valeurs de ces
charges sont fixées par le règlement, en fonction des conditions
d'exploitation de la construction.
c- actions accidentelles (FA) :
Ce sont des actions provenant de phénomènes se produisant rarement
avec une faible durée d'application. Exemple : Vent (accidentel et
non normal), séisme…

• Actions permanentes (notées G) :
- Poids propre de la structure : charges 1, 2, 8 et 12.
- Poids des autres éléments de la construction : charges 9 et 11.
- Poussées des terres, pression des liquides : 7 et 14
- Actions dues aux déformations différées : raccourcissement par
retrait du béton dans le plancher 8.
• Actions variables (notées Q) :
• Actions variables (notées Q) :
- Charges d’exploitation : 3, 5, 6 et 13
- Charges climatiques : 4
- Action de la température climatique due aux variations
d’ambiance au cours de la journée : 10.
- Actions appliquées en cours de construction qui proviennent des
équipements de chantier.

Les sollicitations
Ce sont les effort normaux et tranchants et les moments fléchissant
et de torsions qui sont calculés à partir des actions en utilisant les
procédés de la RDM.
- Nx est l’effort normal: les contraintes de compression sont positives.
- Vy l’effort tranchant,
- Mz le moment fléchissant.

Les combinaisons d'actions
Principe
En fonction des situations qu’une construction va connaître, nous
allons être obligés de superposer les effets de plusieurs actions.
Pour cela :
a) Nous affectons à chaque type d’action, un coefficient de sécurité
partiel.
b) Nous combinons les actions obtenues (principe de superposition
des effets)
c) Nous déterminons la ou les combinaisons qui engendrent les
sollicitations les plus défavorables dans les éléments de la
construction.

Nous utiliserons les combinaisons avec les notations suivantes :

Cas d’un mur de soutènement
La poussée Q pousse vers un renversement du mur et agit donc dans
un sens défavorable: elle intervient en Gmax.
L’action des terres R derrière le voile agit dans le sens de la stabilité
donc favorable : elle intervient donc en Gmin.

Cas d’une marche en console :
Le poids P de la marche intervient en Gmax et le contrepoids C du
mur en Gmin.

Etats limites ultimes : (E.L.U)
i
Qi
n
i
Q Q
Q
G
G ×
×
+
×
+
+
× ∑
=1
1
1
min
max 3
,
1
35
,
1 γ
γ
γ Q1 : coefficient multiplicateur est égal à 1,5 dans le cas général
et 1,35 pour la température, les charges d’exploitation étroitement
bornées et de caractère particulier (convois militaires ou
exceptionnels) et pour les bâtiments agricoles abritant des
animaux et des produits sans présence humaine permanente.

Lorsque nous introduisons les actions accidentelles elle s'écrit :
Etats limites ultimes : (E.L.U)
n
F
Q
G
G +
×
+
+ ∑γ
Généralement la combinaison s'écrit : 1,35 . G + 1,5 . Q
A
i
i
Qi F
Q
G
G +
×
+
+ ∑
=1
min
max γ
avec:
FA: action accidentelle

Etats limites de services : (E.L.S)
i
Qi
n
i
Q
Q
G
G ×
+
+
+ ∑
=1
1
min
max γ
γQ1 : coefficient multiplicateur
Généralement la combinaison s'écrit : Gmax + Gmin + Q
i=1

Eléments courants des structures en B.A. uniquement soumis aux actions
des charges permanentes G et des charges d’exploitation QB (à l’exclusion
de toute action climatique) :

Eléments courants des structures en B.A. uniquement soumis
aux actions des charges permanentes G et des charges
d’exploitation QB (à l’exclusion de toute action climatique) :

Eléments courants des structures en B.A. uniquement soumis aux actions
des charges permanentes G et des charges d’exploitation QB (à l’exclusion
de toute action climatique) :

CHAPITRE III - CARACTERES DES MATERIAUX
Caractéristiques physiques et mécaniques du béton
Masse volumique :
- La masse volumique béton à granulats courants (normal) → 2200 à
2400 kg/m3
2400 kg/m3
-La masse volumique béton à granulats légers → 700 à 1500 kg/m3
-La masse volumique béton à granulats lourds → 3500 à 4000 kg/m3
- La masse volumique du béton armé → 2500 kg/m3

Résistance caractéristique à la compression
La résistance caractéristique à la compression du béton fcj à j jours
d’âge est déterminée à partir d’essais sur des éprouvettes 16 x 32.
Elle est définie comme la valeur de la résistance en dessous de
laquelle on peut s’attendre à rencontrer 5% au plus de l’ensemble
des ruptures des essais de compression.
des ruptures des essais de compression.
En pratique, comme le nombre d’essais réalisés ne permet pas un
traitement statistique suffisant, on adopte la relation simplifiée
suivante :
15
,
1
j
cj
f
σ
=
où σj est la valeur moyenne des résistances obtenues sur l’ensemble
des essais réalisés.

Résistance caractéristique à la compression

Attention, ces courbes sont adimensionnées par rapport à fc28

Résistance caractéristique à la traction
la résistance caractéristique à la traction ftj à j jours est
conventionnellement définie par les relations :

Module de déformation longitudinale instantané
σ σ
avec: fc28<60 MPa
ε ε

Sous des contraintes de longue durée d’application, les effets du
fluage du béton rajoutent une déformation complémentaire du double
de la déformation instantanée du béton. La déformation totale sera
donc triple.
Module de déformation longitudinale différé
donc triple.
Trouver la relation entre le module de déformation longitudinal
instantané (correspondant à la déformation instantanée) et le
module de déformation longitudinal différé Evj (correspondant à
la déformation instantanée et celle différée).

Module de déformation longitudinale différé
On a:
3
3
.
.
. i
vj
i
vj
i
i
vj
E
E
E
E
E =
⇒
=
⇒
= ε
ε
ε
σ
En exprimant les résistances en MPa, le module de déformation
longitudinale différé du béton Evj est égal :

Module de déformation longitudinale différé :
Evolution du module de Young différé Evj en fonction de la résistance
caractéristique à la compression du béton fcj .
L’ajout de fumée de silice augmente la résistance à la déformabilité du Béton

Déformation transversale
Le Coefficient de poisson sera pris égal à ν=0 pour un calcul de sollicitations à
l’ELU ( Béton déjà fissuré) et à ν=0,2 pour un calcul de déformations à l’ELS (Béton
pas encore fissuré).

Les déformations nécessaires pour atteindre l’ELS sont
relativement faibles et on suppose donc que le béton reste dans le
domaine élastique. On adopte donc la loi de Hooke de l’élasticité
pour décrire le comportement du béton à l’ELS, avec pour des
Modèle de calcul à l’ELS
pour décrire le comportement du béton à l’ELS, avec pour des
charges de longue durée Eb=Evj et ν=0,2.
La résistance mécanique du béton tendu est négligé. De plus, on
adopte en général une valeur forfaitaire pour le module de Young
du béton égal à 1/15 de celle de l’acier (Eb=13 333 MPa).

On adopte le diagramme
parabole-rectangle:
0<εbc<2‰
Modèle de calcul à l’ELU
2‰ <εbc<3,5‰
γb : coefficient de sécurité qui prend les valeurs:
γb = 1,5 cas général et γb = 1,15 cas accidentel















 −
−
= −
− 2
3
3
10
.
2
10
.
2
1
.
.
85
,
0 bc
b
cj
bc
f ε
γ
σ
b
cj
bc
f
γ
σ
.
85
,
0
=

Condition de pénétration du béton dans les moules
Durant sa mise en place, le Béton doit passer à travers les mailles
qui sont obtenus avec les ferraillages.
Ces mailles sont caractérisées par un rayon r de la plus petite
Ces mailles sont caractérisées par un rayon r de la plus petite
maille qui existe, avec :
périmètre
le
surface
la
r =

Condition de pénétration du béton dans les moules
Cg: dimension maximale des granulats

LES ACIERS
Présentation
Le matériau acier est un alliage fer et carbone en faible
pourcentage.
pourcentage.
Les aciers utilisés en BA sont les aciers de nuance douce (0,15 à
0,25 % de carbone) et les aciers de nuance mi-dure et dure (0,25
à 0,40 % de carbone).

Caractères mécaniques
LES ACIERS

Diagramme des contraintes-déformations conventionnel
LES ACIERS

Dans le domaine élastique, l’expression de la contrainte en fonction
de l’allongement sera :
σst = E . ε
avec : E = 200 000 MPa le module de young
LES ACIERS
avec : E = 200 000 MPa le module de young
ε : la déformation.
La contrainte correspondante à la limite de proportionnalité entre
contrainte et déformation est appelée limite élastique ou limite
d’élasticité, elle est notée par Fe.
Dans la zone de raffermissement la contrainte atteint un maximum;
on l’appelle contrainte de rupture et elle sera notée par Fr.

Différents types d’aciers
Les ronds lisses (∅
∅
∅
∅)
L’acier se forme de barre, en principe d’une longueur de 12 m et
une section circulaire et ils ont une surface qui est lisse. Les
diamètres généralement utilisés sont les suivants :
LES ACIERS
diamètres généralement utilisés sont les suivants :
6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 14 ; 16 ; 20 ; 25 ; 32 ; 40mm.
Les ronds lisses sont utilisés en deux nuances (catégories).
Qui sont notées par : FeE220 ou FeE215. FeE240 ou FeE235
ε est en ‰

Les armatures à hautes adhérences (HA)
les barres à haute adhérence ont une section sensiblement circulaire
qui présente des nervures d’une hauteur de 0,5 à 3 mm (la hauteur est
suivant le diamètre) pour améliorer l’adhérence entre l’acier et le
LES ACIERS
béton. Les diamètres ou les barres à
haute adhérence utilisés sont :
6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 14 ; 16 ; 20 ; 25 ; 25 ; 32 ; 40 mm.
les hautes adhérences se divisent en deux nuances :FeE400 et FeE500

Les treillis soudés (TS)
certains éléments dans le B.A tel que les dalles, les murs voiles sont
armés suivant deux directions perpendiculaire. On utilise pour cela
les treillis soudés qui sont composés de fils porteurs de diamètre plus
important disposés dans le sens des efforts principaux et de fils de
LES ACIERS
important disposés dans le sens des efforts principaux et de fils de
répartition de diamètre plus faible, disposés dans le sens
perpendiculaire.
Les diamètres couramment utilisés sont les suivants :
3 - 3,5 - 4 - 4,5 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 12 mm.
Les espacements entre fils porteurs : 75 - 100 - 125 - 150 - 200 mm.
Les espacements entre fils de répartition : 100 - 150 - 200 - 250 -300
mm.

Désignation des aciers
LES ACIERS

LES ACIERS

Diagramme Contrainte - Déformation de calcul
Modèle de calcul `a l’ELU
Le comportement des aciers
pour les calculs à l’ELU
LES ACIERS
pour les calculs à l’ELU
vérifie une loi de type
élasto-plastique parfait, où
la valeur de calcul de la
limite d’élasticité garantie fsu
est définie par :

Comme le béton, à l’ELS on suppose que les aciers travaillent dans le
domaine élastique. On utilise donc la loi de Hooke de l’élasticité. On
adopte une valeur du module de Young forfaitaire Es = 200 000MPa.
Modèle de calcul `a l’ELS
LES ACIERS

L’association béton /acier est efficace pour les raisons suivantes :
Le béton résiste aux essais à la compression.
L’acier résiste aux essais à la traction.
L’acier adhère au béton, ce qui permet la transmission des
CHAPITRE IV - Association Béton - Acier
Rappel
L’acier adhère au béton, ce qui permet la transmission des
efforts d’un matériau à l’autre .
Il n’y a pas de réaction chimique entre l’acier et le béton et
en plus le béton protège l’acier de la corrosion .
Le coefficient de dilatation des deux matériaux est
pratiquement le même.

L’adhérence
Définition
Dans les constructions du béton armé les efforts sont appliqués au
béton et non pas aux aciers; ceux-ci seront sollicités grâce à leurs
liaisons avec le béton.
La transmission des efforts a lieu le long de la surface latérale des
barres grâce au phénomène d’adhérence.
L’adhérence désigne l’action des forces de liaisons qui s’opposent au
glissement des barres suivant l’axe par rapport au béton qui l’entoure.
Ces forces de liaisons sont mesurées par la contrainte d’adhérence.

Définition
L’adhérence
la contrainte d’adhérence est définie comme étant le rapport entre la
variation par unité de longueur de l’effort axial équilibré par la
barre et le périmètre de cette barre:
dF 1
.
=
τ
U : le périmètre de la barre
: la variation de l'effort axial par
unité de longueur.
dx
dF
U
dx
dF 1
.
=
τ

Fonctions d’adhérence
Entraînement des barres :
L’association entre le béton et l’acier est efficace parce qu’il y a
adhérence entre deux matériaux ; ce qui permet le transfert des
efforts entre eux.
L’adhérence
efforts entre eux.
Ancrage des barres :
Appelé scellement, si la barre est trop courte, elle risque de
s’arracher du béton sous l’effet de l’effort de traction. La barre
doit être suffisamment longue pour être convenablement ancrée
(scellée) et pour reprendre tout les efforts de traction.

distribution de la fissuration :
L’adhérence permet de répartir les fissures. Plus l’adhérence
Fonctions d’adhérence
L’adhérence
L’adhérence permet de répartir les fissures. Plus l’adhérence
est grande (meilleure), plus le nombre de fissure augmente
mais la largeur cumulée reste la même, donc l’adhérence évite
la formation de grandes fissures concentrées.

Facteurs agissant sur l’adhérence
Etat de surface des barres :
Les surfaces rugueuses augmentent le frottement entre le
béton et l’acier et par conséquent augmente l’adhérence.
La résistance de barres au glissement est caractérisée par
deux coefficients :
L’adhérence
deux coefficients :
η : Coefficient d’adhérence ou de fissuration.
η = 1 pour R.L
η = 1,6 pour H.A
ψ : Coefficient de scellement (ancrage)
ψ = 1 pour R.L
ψ = 1,5 pour H.A

Forme des barres :
l’adhérence circulaire (rond) est supérieure à celle des barre ayant
une autre forme.
Groupement d’armatures :
L’adhérence
Groupement d’armatures :
l’adhérence d’une barre individuelle est supérieure à
l’adhérence de deux barres groupée.
l’adhérence de deux barres groupée dans le sens verticale est
supérieure à l’adhérence de deux barres groupées
horizontalement.

La résistance du béton :
L’adhérence augmente avec l’augmentation de la résistance à la
compression du béton.
La compression transversale :
L’adhérence
La compression transversale :
Dans une pièce comprimée, l’adhérence va augmenter par la
contrainte créée (le serrage).
L’épaisseur du béton :
Plus l’élément est épais plus l’adhérence est assurée car l’épaisseur
du béton évite l’éclatement.

Ancrage des barres
La longueur d’ancrage sera la longueur nécessaire pour équilibrer
l’effort axial exercé sur la barre. Sur la longueur d’ancrage la
contrainte d’adhérence sera supposée constante et elle est donnée de
façon forfaitaire:
Définition
ψ : Coefficient de scellement.
ψ = 1 pour R.L
ψ = 1,5 pour H.A
τs = 0,6 . ψ².ftj

Ancrages rectilignes
Variation de l’effort axial le long d’une barre droite :
La variation de l’effort FA-FB sera transmise au béton qui
équilibre cet effort par l’adhérence.
Ancrage des barres
U
dx
dF
s
1
.
=
τ
Pour contrer l’entraînement des barres suivant FA:
FA – FB = τs. U . L = τs. π. ∅ . L
U
dx
s .
=
τ
dx
U
dF s .
.
τ
=
⇒

Longueur de scellement droit:
la longueur de scellement droit ls sera la longueur nécessaire pour
qu’une barre rectiligne de diamètre ∅ soumise à une contrainte
Ancrage des barres
qu’une barre rectiligne de diamètre ∅ soumise à une contrainte
égale à sa limite élastique soit convenablement ancrée (ancrage
total) .

FA =FB + τs. π. ∅ . L
B extrémité de la barre ⇒ FB = 0 ⇒FA = τs. π. ∅ . Ls
L'ancrage sera dit total si l'effort FA est l'effort ultime de la barre
(exercé sur la surface transversale de la barre) :
Ancrage des barres
. 2
φ
π
Pour déterminer la longueur de scellement "Ls" il faut donc :
On retiendra que la longueur de scellement droit Ls dépend du type
d’acier (via fe et ψs ) et de la qualité du béton (via ftj ).
e
A f
F .
4
. 2
φ
π
=
s
e
s
s
s
f
L
L
τ
φ
φ
π
φ
π
τ .
4
4
.
.
.
.
2
=
⇒
=
τs = 0,6 . ψ².ftj

Les ancrages courbes
La longueur Ls est souvent trop importante par rapport à ce que l'on
dispose pour cela, dans ce cas on utilise les ancrages courbes.
Variation de l'effort axial le long d'une barre courbe:
Ancrage des barres
le long d'une barre courbe, l'effort axial varie en fonction de deux
choses :
1. l'adhérence entre le béton et l'acier.
2. en fonction du frottement résultant de la réaction du
béton
sur la barre, le coefficient de frottement Acier-Béton sera noté :

• FA et FB sont des efforts aux extrémités
du tronçon courbe.
• N et N+dN sont les efforts aux
extrémités d'un petit élément.
• dR et φdR sont les composantes
Ancrage des barres
• dR et φdR sont les composantes
normale et tangentielle de la réaction du
béton sur la barre (effort de frottement).
• dF est la force d'adhérence qui sera
donnée par :
dF = τs . π..∅
∅
∅
∅ .r . dθ (dLs=rdθ)
avec r : le rayon de courbure.

Projection sur la normale:
Ancrage des barres

Projection sur la tangente:
Ancrage des barres

On remplace dF et dR:
Ancrage des barres
On intègre:

Ancrage des barres
Soit:

Ancrage des barres
θ est l’angle fait par la perpendiculaire de la partie droite de la
barre et la perpendiculaire de l’extrémité de la barre.

Calcul d'un ancrage courbe :
L : la longueur d'ancrage.
Pour un tronçon rectiligne : FA = FB + τs. π. ∅ . L
∅
Ancrage des barres
Pour un tronçon rectiligne : FA = FB + τs. π. ∅ . L
Pour un tronçon courbe : FA = α . FB + β . π . ∅ . r . τs
•A4-A3 : rectiligne ⇒ FA3 = FA4 + τs. π. ∅ . L1 (avec FA4 = 0)
⇒ FA3 = τs. π. ∅ . L1
•A3-A2 : courbe ⇒ FA2 = α . FA3 + β . π . ∅ . r . τs
⇒ FA2 = α . τs. π. ∅ . L1 + β . π . ∅ . r . τs
•A2-A1 : rectiligne ⇒ FA1 = FA2 + τs. π. ∅ . L2
⇒ FA1 = α . τs. π. ∅ . L1 + β . π . ∅ . r . τs + τs. π. ∅ . L2

FA1 = α . τs. π. ∅ . L1 + β . π . ∅ . r . τs + τs. π. ∅ . L2
et on sait que: FA1 = τs. π. ∅ . Ls
donc: τ . π. ∅ . L = α . τ . π. ∅ . L1 + β . π . ∅ . r . τ + τ . π. ∅ . L2
⇔
Ancrage des barres
∅ ∅ ∅
∅
donc: τs. π. ∅ . Ls = α . τs. π. ∅ . L1 + β . π . ∅ . r . τs + τs. π. ∅ . L2
⇔ Ls = α . L1 + β . r + L2
d’où :
L2 = Ls - α . L1 - β . r
On ne confondra pas Ls à la longueur développée de l’ancrage
courbe Ld donnée par :
Ld=L1+L2+r.θ

Le B.A.E.L. propose les dispositions suivantes:
Ancrage des barres

La longueur d’ancrage
Ancrage des barres
On a:
La= L2+r.cos(α/2)+ϕ/2
or on a:
or on a:
α/2 = (π/2)-(θ/2)
donc:
cos(α/2) = 1-cos(θ/2)
d’où:
La=L2+r[1-cos(θ/2)]+ ϕ/2

Dispositions constructives
Ferraillage de la poutre

Les armatures longitudinales:
on utilise généralement du « haute adhérence » avec de diamètres
supérieurs ou égales à 12 mm, elle seront disposées dans la partie
tendue de la poutre pour reprendre les efforts de traction (armatures
tendue de la poutre pour reprendre les efforts de traction (armatures
principales).
Dans la partie comprimée sont disposées les barres de montage, qui
peuvent éventuellement reprendre une partie des efforts de
compression lorsque le béton ne suffit pas.
Pour les armatures de traction, il peut y avoir plusieurs nappes dans la
partie où le moment est maximum.

Les armatures transversales:
sont appelées armatures de couture puisqu'elles coudent les fissures.
Elles ont un diamètre inférieur à 10 mm. Il existe trois sorte
d'armatures transversales :
d'armatures transversales :
• Les armatures transversales sont disposées le long de la poutre,
elles sont très rapprochées au niveau des appuis parce que l'effort
tranchant est maximum.
• Les armatures transversales sont attachées aux barres longitudinales
en maintenant leurs écartements.

Protection des armatures
cette protection appelée l'enrobage « c » ou
« e ». L'enrobage de toute armature doit au
moins être égal :
5cm: pour les ouvrages de mer ou exposés
aux atmosphères très agressives.
3 cm : pour les ouvrages soumis à des
actions agressives et des ouvrages exposés
aux intempéries (pluie, neige) ou en contact
avec un liquide ( pont…).
1 cm : pour les parois situées dans des
locaux ouverts.

Distance entre barres
barres isolées:
e > max ( ∅ ; Cg)
eh > max ( ∅ ; 1,5.Cg)
ev > max ( ∅ ; Cg)

Distance entre barres
hp < 2.lp
Enrobage correct: c>lp
Espacement correct:
Horizontalement: eh > Max(lp et 1,5.Cg)
Verticalement: ev> Max (lp et Cg)
avec Cg le diamètre du plus gros granulat.

Toute armature courbe et tendue exerce sur le béton une poussée dans
le plan de courbure et du côté de la concavité. Si l’armature est
comprimée, la poussée est exercée du côté de la convexité.
Poussée au vide

Poussée au vide
la présence d'ancrage courbe tente à faire fléchir la barre au point de
changement de courbure. Il peut en résulter la poussée au vide
capable de faire éclater le béton; alors on devrait soit supprimer cette
poussée en modifiant le ferraillage, soit réduire le risque d'éclatement
en inclinant la barre, ou encore équilibrer la poussée, en attachant la
en inclinant la barre, ou encore équilibrer la poussée, en attachant la
barre par des ligatures.

Condition de non écrasement du béton
(rayon de courbure minimal)
Pour que la condition de non écrasement du béton soit assurée, il
faut vérifier l'inégalité suivante:
er : distance de la plus proche des parois (recouvrement).
∅ : diamètre des barres courbées.
σs : la contrainte de l'acier calculée dans l'état limite ultime.
λ : coefficient
λ = 1 si les barres sont disposées en une seule nappe.

Ancrage d'une barre comprimée
l'ancrage d'une barre comprimée courbée (ancrage courbe) est interdit.
Pour une barre rectiligne l'ancrage en compression sera calculé comme
suit :
∅ : diamètre des barres.
σsc : la contrainte à la compression.
τs : la contrainte d'adhérence.

JONCTION DES BARRES : RECOUVREMENT
Objectif et principe
Les armatures du commerce ont une longueur limitée, il est parfois
nécessaire d’utiliser plusieurs barres pour les éléments de grande
longueur. Pour établir la continuité des barres, nous effectuons un
longueur. Pour établir la continuité des barres, nous effectuons un
recouvrement. Cette longueur sera donc la longueur nécessaire
pour assurer la transmission des efforts qui sollicitent l’armature.

recouvrement rectiligne : (droit)
Jonction des barres tendues

Recouvrement par couvre-joint:
Les 2 barres sont dans le même alignement et la transmission est
assurée par une troisième barre de même diamètre.
assurée par une troisième barre de même diamètre.

recouvrement courbé:

Jonction des barres comprimées
Les jonctions de barres susceptibles d’être comprimées sont
obligatoirement rectilignes. Si la barre est toujours comprimée, si
elle ne fait pas partie d’un paquet de 3 barres et si les entre-axes
des barres en jonction sont au plus égaux à 5 fois leur diamètre,
des barres en jonction sont au plus égaux à 5 fois leur diamètre,
nous pourrons considérer que :
lr = 0,6 ls

Le BAEL propose d’adopter pour le crochet normal à 180° la
longueur d’encombrement de l’ancrage la = 0,4.ls pour des
aciers HA et la=0,6.ls pour des Ronds Lisses.

Chapitre V : Les hypothèses de calcul
Hypothèses à L’E .L .U :
Hypothèse (1) :
toute section plane avant déformation reste plane après déformation,
c’est l’hypothèse de Navier-Bernouilli, de laquelle il résulte que le
diagramme de déformation est représenté par une droite et que la
déformation d’une fibre est proportionnelle à sa distance à l’axe
déformation d’une fibre est proportionnelle à sa distance à l’axe
neutre.

Hypothèse (2) :
Il n’y a pas de glissement relatif entre le béton et l’acier . La
déformation de deux matériaux est la même.

εbc : la déformation du béton à la compression.
εs : la déformation des l’aciers tendue .
x : la distance de l’axe neutre à la fibre la plus comprimée.
d : la distance du centre de gravité aux armatures tendues.

Hypothèse (3) : la résistance du béton tendu est négligée.
Hypothèse (4) : On suppose concentré en leur centre de gravité la
section d’un groupe de plusieurs barres tendues ou comprimées, si
l’erreur commise sur les déformations unitaires ne dépassent pas
15% .
15% .

Hypothèse (5) :
C’est le diagramme déformations-contraintes qui peut être utilisé
dans tous les cas.
σbc : contrainte de compression du béton
fcj : résistance caractéristique du béton en compression à j jours
fbu : résistance conventionnelle ultime à la compression
εbc : déformation du béton en compression

La valeur fbu de la contrainte de calcul pour une déformation
comprise entre 2 ‰ et 3,5 ‰ est :
γb : coefficient de sécurité
γb = 1,5 dans le cas général
γb = 1,15 pour les combinaisons accidentelles
θ : dépend de la durée d’application des charges.

Lorsque la section est partiellement comprimée (cas de la flexion
simple), nous pouvons remplacer le diagramme parabole-rectangle
par un diagramme rectangulaire simplifié.

Notations
b et h sont la largeur et la hauteur de la section de béton.
As (ou Ast) est la section d’acier, dont le centre de gravité est positionné à d de
la fibre la plus comprimée du coffrage.
yu est la position de l’axe neutre par rapport à la fibre la plus comprimée.
σst est la valeur de la contrainte de calcul des aciers, limitée à fsu.
σst est la valeur de la contrainte de calcul des aciers, limitée à fsu.

Hypothèse (6) :
le raccourcissement unitaire du béton est limité à 2 ‰ en
compression simple et 3,5‰ en flexion composée avec
compression, de même l’allongement unitaire des aciers sera limité
à 10‰.
DIAGRAMME DEFORMATIONS-CONTRAINTES DU BETON

DIAGRAMME DEFORMATIONS-CONTRAINTES DES ACIERS

Règle des 3 pivots : Le diagramme de déformation d’une section à
l’état limite ultime de résistance représenté par une droite doit
obligatoirement passé par l’un des pivots A - B - C. Cette règle se
fixe comme objectif pour utiliser au mieux le béton et l’acier .

Le domaine( 1) :
les diagrammes passent par le pivot A qui correspond à un
allongement maximum de 10% des armature tendues, supposées
concentré en leur centre de gravité .
Deux sous-domaines:

Le Pivot A: Utilisation maximale d’Acier (ELU acier)
Hypothèses à L’E .L .U
εs=10‰ et εbc≤3,5‰
La position limite AB correspond à un axe neutre situé à la distance:
yAB=αAB.d de la fibre la plus comprimée avec:
yAB=αAB.d de la fibre la plus comprimée avec:
La flexion simple ou composée avec: 0≤α≤0,259 admet le pivot A.
Le cas particulier où: εs=10‰ et εbc=2‰ correspond à:

le sous domaine 1-a :
le béton est toujours tendue et ne participe pas à la résistance de la
le béton est toujours tendue et ne participe pas à la résistance de la
section

Le sous domaine 1-b : le béton est partiellement comprimé.

Le domaine(2) : Utilisation maximale du béton (ELU atteint pour
le béton)
les diagrammes passent par le pivot B qui correspond à un
raccourcissement de 3,5‰ de la fibre la plus comprimée.

Sous domaine 2-a :
l’allongement des armatures est supérieur à l’allongement
élastique (εes) pour une contrainte fe/γs (acier bien utilisé).
Sous domaine 2-b :
Le domaine(2) : Utilisation maximale du
béton (ELU atteint pour le béton)
Sous domaine 2-b :
L’allongement des armatures tendues est inférieure à
l’allongement étatique (εes) et la contrainte dans les aciers sera
inférieure à fe/ γs (Les aciers ne sont alors pas bien utilisés).
Sous domaine 2-c :
les armatures seront comprimées
le domaine(2) sera décrit par la condition :
d
h
≤
≤ α
259
,
0

les diagrammes passent par le pivot qui correspond à un
raccourcissement de 2% de la fibre du béton située à 3h/7
de la fibre supérieure. La section est entièrement comprimée .
2‰≤ε ≤3,5‰ sur la fibre la plus
Le domaine(3) : Section entièrement comprimée
2‰≤εbc≤3,5‰ sur la fibre la plus
comprimée,
εbc≤2‰ sur la fibre la moins
comprimée.
d
h
d
y
≥
=
α

Hypothèses à L’E .L .U.

Récapitulation
Pivot A: traction simple ou composée, flexion avec état limite ultime
atteint dans l’acier, ce pivot est conditionné par l’allongement maximal
de l’acier sans épuisement de la résistance du béton: εst=10‰ et
0≤εbc≤3,5‰ .
Pivot B: flexion avec état limite ultime atteint dans le béton, ce pivot
est conditionné par le raccourcissement maximal du béton (épuisement
de la résistance du béton sur la fibre la plus comprimée): εbc=3,5‰ et
0≤εst≤10‰ .
Pivot C: compression simple ou composée, ce pivot correspond à un
raccourcissement relatif du béton de 2‰ de la fibre située à une
distance de la fibre la plus comprimée égale à 3h/7.

Calculs à l’ELU

Equations d’équilibre de la section à l’E.L.U.:
soit une section sollicitée par un moment de flexion Mu
Calculs à l’ELU
Effort de compression dans le béton:
dy
y
b
y
F
d
b
bc ).
(
).
(
0
∫
=
α
σ
équilibre des efforts: Fb+Fsc-Fst=0
Équilibre des moments: Mu=Fbc.z+(d-d’)Asc.σsc
Effort de compression dans l’acier:
Fsc=Asc σsc avec σsc = f(εsc)
Effort de traction dans l’acier: Fst=Ast.σst avec: σst = f(εst)
0
∫

Hypothèses à l’E .L .S (durabilité de la structure )
Hypothèse (1) :
les sections droites planes avant déformation restent planes après
déformation
déformation
→Il n’est y a pas de glissement relatif entre le béton et l’acier .
Hypothèse (2) :
le béton tendu est négligé.

Hypothèse (3) :
Le béton et l’acier seront considérés comme des matériaux linaires
élastiques, donc on leur applique la loi de HOOKE σ=E.ε
élastiques, donc on leur applique la loi de HOOKE σ=E.ε
e
équivalenc
d
t
coéfficien
E
E
n
avec
n
E
E
E
E
et
E
E
b
s
b
b
b
s
s
b
b
s
s
b
s
s
s
s
b
b
b
'
:
.
.
.
.
=
=
=
⇒
=
⇒
=
=
=
σ
σ
σ
σ
σ
ε
ε
ε
σ
ε
σ
Or on a: Es= 200 000 MPa et Eb= 13 333 MPa, donc: n=15

Homogénéisation de la section:
Pour pouvoir appliquer au Béton Armé, qui est un matériau
hétérogène, les règles de RDM pour les corps homogènes, il sera
nécessaire d’homogénéiser la section de béton armé.
Une section d’acier travaille n fois
plus qu’une même section de béton.
Donc une section d’acier équivaut n
sections de béton.
Pour homogénéiser la section de béton armé, on remplace la
section d’acier par n fois sa section de béton.

Hypothèse(4) :
On ne tient pas compte du fluage de béton et du retrait.
Hypothèse(5) :
On suppose concentré en leur centre de gravité un ensemble de
plusieurs barres: On peut remplacer dans les calculs, la section totale
d'un groupe de barres tendues ou comprimées par la section d'une
barre unique située au centre de gravité du groupe.

Hypothèses à l’E .L .S de compression du béton
La contrainte de compression du béton est limitée à 0,6.fc28
σb ≤ 0,6 fc28
Remarques:
Remarques:
- La limitation de la compression du béton est destinée à éviter la
formation des fissures parallèles à la direction des contraintes de
compression.
- Lorsqu'une section est soumise à la traction simple ou si, étant
soumise à la flexion composée, elle est entièrement tendue, il n'y a
aucune vérification à effectuer en ce qui concerne la contrainte du
béton.

Pour les poutres à sections rectangulaires soumises à la flexion
simple dont les armatures sont en acier FeE400, il peut être admis
de ne pas procéder à la vérification de la contrainte de compression
Hypothèses à l’E .L .S de compression du béton
de ne pas procéder à la vérification de la contrainte de compression
du béton lorsque:
avec: γ = Mu/Ms
yu : distance entre l’axe neutre à I'E.L.U. et la fibre la plus comprimée
cj
u
f
d
y
01
,
0
2
1
+
−
≤
γ

Il est conseillé de vérifier que la flèche d’une poutre ne dépasse
pas:
Hypothèse à l’ E .L .S de déformation

1°-Si la fissuration est peu préjudiciable :
Aucune vérification n’est demandé pour les aciers et la contrainte
dans les aciers n’est pas limitée. La fissuration est considérée comme
peu préjudiciable, lorsque l’élément à vérifier est situé dans les
Hypothèse à l’ E .L .S d’ouverture des fissures
peu préjudiciable, lorsque l’élément à vérifier est situé dans les
locaux couverts.
Exemple: bâtiments à usage d'habitation, bureaux, écoles, hôpitaux,
etc...
En pratique:
il ne sera pas nécessaire de déterminer les contraintes des armatures
tendues obtenues lors de l'étude à I'E.L.U.

-Pour les poutres de grande hauteur, on doit disposer des
Dispositions constructives dans le cas de fissuration peu
préjudiciable
-Pour les poutres de grande hauteur, on doit disposer des
armatures dites de « peau » uniformément réparties le long de
chaque parement, parallèles à la fibre moyenne et leur section
doit être au moins de 3 cm2 par m de longueur de parement
- Lorsque la membrure d'une poutre est constituée de barres de
diamètre supérieur à 20mm, leur écartement horizontal ne doit
pas dépasser 4 fois leur diamètre

2- Si la fissuration est préjudiciable : la fissuration considérée comme
préjudiciable si les éléments sont exposés aux intempérie (pluie, neige,
vent...) ou bien en contact avec l’eau. La contrainte de traction dans les
armatures tendues sera limitée à la valeur suivante :




≤
2
η
σ
fe : limite élastique et ft28 : la contrainte du béton à la traction à 28 j.
η : coefficient de fissuration.
η=1 pour les R.L. y compris les TS formés de fils tréfilés lisses.
η=1,6 pour les H.A.
η=1,3 pour les H.A. en fils de diamètre inférieur à 6 mm.






≤ 28
.
110
;
3
2
min t
e
st f
f η
σ

*Le diamètre des armatures les plus proches des parois est au moins
égal à 6mm
Dispositions constructives dans le cas de fissuration
préjudiciable
égal à 6mm
* Prévoir des armatures de peau dont la section doit être au moins de 3
cm2 par m de longueur de parement
* Lorsque le diamètre des armatures tendues d'une poutre est supérieur
à 20 mm , la distance entre axes de 2 barres consécutives dans le sens
horizontal ne doit pas excéder 4 fois leurs diamètres
* Pour les dalles et les voiles faisant au plus 40cm d'épaisseur, la
distance entre axes des armatures d'une même nappe ne doit pas
dépasser la plus petite des 2 valeurs (25cm ; 2 h)

3- Si la fissuration est très préjudiciable :
la fissuration sera considérée comme très préjudiciable si l’élément
est soumis à un milieu agressif ( eau de mer, sols corrosifs.... ). La
contrainte de traction des armatures tendues sera limitée par la
valeur suivante :
valeur suivante :
η=1 pour les R.L. y compris les TS formés de fils tréfilés lisses.
η=1,6 pour les H.A.
η=1,3 pour les H.A. en fils de diamètre inférieur à 6 mm.






≤ 28
.
90
;
2
1
min t
e
st f
f η
σ

* Le diamètre des armatures les plus proches des parois est au moins
Dispositions constructives dans le cas de fissuration très
préjudiciable
* Le diamètre des armatures les plus proches des parois est au moins
égal à 8mm
* Les armatures de peau doivent présenter une section d'au moins 5
cm2 / m de parement.
* Si ø>20mm, la distance entre axes de 2 barres consécutives dans le
sens horizontal ne doit pas dépasse 3 ø
* pour les dalles ou les voiles d'épaisseur au plus égale à 40 cm, la
distance entre axes des armatures d'une même nappe doit être
inférieure à min (20cm ; 1,5 h)

Vérifications à effectuer à l’E.L.S.:
a- Cas de fissuration peu nuisible ou peu préjudiciable:
b- Cas de fissuration nuisible ou préjudiciable:
Récapitulation
28
60
,
0 c
b
b f
=
≤ σ
σ
b- Cas de fissuration nuisible ou préjudiciable:
c- Cas de fissuration très nuisible ou très préjudiciable






=
≤
=
≤
tj
e
s
s
c
b
b
f
f
f
η
σ
σ
σ
σ
110
;
3
2
min
60
,
0 28
( )
tj
e
s
s
c
b
b
f
f
f
η
σ
σ
σ
σ
90
;
5
,
0
min
60
,
0 28
=
≤
=
≤

Les contraintes admissibles à l’E.L.S.
Contrainte de traction admissible à l’ELS dans les aciers tendus
en fissuration préjudiciable (1ère colonne) et très préjudiciable
(2ème colonne)

En pratique:
Les armatures de la sections sont déterminées par le calcul à I'E.L.U.
•Une 1ère méthode consiste à calculer la valeur de σ et
•Une 1ère méthode consiste à calculer la valeur de σb et
éventuellement celle de σst; Si les conditions précédentes sont
vérifiées, ces armatures conviennent même pour I’E.L.S, sinon il faut
recalculer la section d 'acier à I'E.L.S.
* Une 2ème méthode consiste à calculer directement les sections
d'acier à I'E.L.U. et à I'E.L.S. et on retiendra la plus grande des 2
valeurs.

Calculs à l’ELS
Axe neutre
y: distance du centre de gravité de l’élément ds à l’axe neutre gg’
(y est compté positif si ds se trouve au-dessus de l’axe neutre et négatif si
c’est au-dessous),
α= angle (Ga, Ga’).

On pose K = tgα = σ/y σ = Ky
La force interne agissant sur l’élément ds est: d = σ.ds = Ky.ds
L’effort interne total pour toute la section :
Ni = Σ d i = Σ K yi.ds = K Σ yi.ds
Calculs à l’ELS
Axe neutre
Ni = Σ d i = Σ K yi.ds = K Σ yi.ds
L’équilibre des efforts: Ne = Ni
or on a une flexion simple donc : Ne = 0
K Σ yi.ds = 0 Σ yi.ds = 0 ( K ≠ 0)
Or Σ yi.ds représente le moment statique par rapport à l’axe neutre
de la section homogénéisée,
Donc la position de l’axe neutre est déterminé par la relation :
Σ yi.ds = 0 ( Mmt statique de la section homogène)

D'après les triangles semblables Gaa’ et Gbb’ :
d
y
y
d
y
s
b
b
s
b
.
15
15
15
1
1
1
σ
σ
σ
σ
σ
+
=
⇒
−
=
Calculs à l’ELS
Axe neutre
Posons K1 =σs/σb et α1 = y1/d
résumé
15
1
1
1
1
1
)
1
(
15
15
15
:
'
α
α
α
−
=
+
= K
et
k
où
d
1
1
1
1
1
1
1
1
)
1
(
15
,
15
15
,
,
.
α
α
α
σ
σ
α
−
=
+
=
=
= k
k
k
d
y
b
s

Calculs à l’ELS
Calcul des contraintes
On considère que la poutre est constituée d'une section homogène
comprenant la section de béton comprimé et les sections d'acier
comptées n fois en gardant le même centre de gravité

Calculs à l’ELS
. 1
1 y
K
tg
y
b =
= α
σ
Donc pour avoir les contraintes, il faut calculer la valeur de K.
)
(
15
)
(
15
)
'
(
15
'
)
'
(
15
'
.
1
1
1
1
1
1
y
d
K
y
d
K
d
y
K
d
y
K
y
K
tg
y
s
s
s
s
b
−
=
⇒
−
=
−
=
⇒
−
=
=
=
σ
σ
σ
σ
α
σ

L'équilibre des moments par rapport au c.d.g. de la section homogénéisée
Calculs à l’ELS
e
i
e
M
M
avec
M
M =
= : s
G
G
G M
M
avec
M
M =
= :
ds
y
K
ds
Ky
M
y
df
dM i
i
i
G
i
i
i
G ∑
∑ =
=
⇒
=
2
2
.
Σkyi
2ds représente l’inertie I par rapport à l’axe neutre de la section
homogénéisée:
'
'
gg
s
gg
s
I
M
K
KI
M =
⇒
=

Calculs à l’ELS
)
(
15
);
'
(
15
'
;
; 1
1
1
'
y
d
K
d
y
K
Ky
I
M
K s
s
b
gg
s
−
=
−
=
=
= σ
σ
σ
α1 = y1/d
On pose: d’=δ’d
s
s
s
b
b
s
y
d
d
y
y
d
y
σ
α
δ
α
σ
σ
σ
α
δ
α
σ
σ
1
1
1
1
1
1
1
1
1
'
)
(
)
'
(
'
)
'
(
15
)
'
(
15
'
−
−
=
−
−
=
−
=
−
=
α1 = y1/d

Résultante des forces dans l’acier et le béton :
Dans le cas d'une section rectangulaire, la résultante des forces de
compression dans le béton est égale à :
Calculs à l’ELS
.
.y
b σ
Le point d'application de cette force est situé à y1/3 à partir de la fibre
supérieure.
2
.
. 1 b
b
y
b
F
σ
=
Fs = A.σs : Acier tendu
F’s = A’.σ’s : Acier comprimé

Si nous considérons les moments par rapport au c.d.g. des armatures
tendues, on aura :
Calculs à l’ELS
Soit F la résultante de Fb et F’s:
Ni=F-Fs=0 F=Fs
s
s
s
s
s
s
i
s
e
i
e
Z
M
A
Z
A
Z
F
M
A
F
F
or
Z
F
M
Z
F
M
M
M
M
M
σ
σ
σ
.
.
.
.
.
.
.
=
⇒
=
=
⇒
=
=
=
⇒





=
=
=

Chapitre VI : La traction simple
Définition
Un tirant est une poutre droite soumise uniquement à la traction
simple centrée: l’ensemble des forces extérieures agissant à gauche
d’une section (Σ) se réduit à un effort normal unique N de traction
perpendiculaire à (Σ) appliquée au centre de gravité G.
Dans un tirant le centre de gravité des aciers est confondu avec celui
de la section puisque lé béton (tendu) n’intervient pas dans la
de la section puisque lé béton (tendu) n’intervient pas dans la
résistance et que les aciers seront évidemment placés de façon
symétrique par rapport au centre de traction.

Tirants rectilignes
ils sont normalement utilisés pour les
couvertures voûtées des bâtiments
industriels ou bien pour les mosquées. Les
armatures résistent à l’effort de traction
Définition
armatures résistent à l’effort de traction
selon les armatures longitudinales.
Les armatures transversales ne jouent
qu’un rôle de montage. La section de béton
devra être aussi petite que possible et les
barres doivent être réparties uniformément
dans la section (il faut respecter le symétrie
et choisir un nombre pair).

Tirants circulaires
Ils sont normalement utilisés dans les parois de réservoirs circulaires et
des silos.
Définition

Projection verticale :
Définition
Tirants circulaires
d’où: N=P.R

Condition de non-fragilité
Détermination des armatures
la section tendue ou fléchie est considérée comme non fragile si les
armatures travaillants à leur limite élastique peuvent équilibrer les
sollicitations provoquant la fissuration du béton dans cette section:
.
. f
B
f
A ≥ f
AsB : Armature longitudinale, B : Section du béton.
La condition de non fragilité nous conduit à une quantité minimale
d’acier pour une section de béton donnée B, ou à une section
maximale de béton pour une section d’acier donnée.
28
.
. t
e
SB f
B
f
A ≥
e
t
SB
f
f
B
A 28
.
≥
donc:

Condition de résistance à l’E.L.U.
La totalité de l’effort de traction est supportée par les armatures de
section As qui subissent toutes les mêmes contraintes (en raison de la
symétrie), l’E.L.U. est atteint au pivot A (puisque seuls les aciers
sont pris en compte); la contrainte dans les aciers est donc: σsu=fe/γs.
La condition de résistance à l’E.L.U:
Asu. σsu≥Nu avec Nu: l’effort de traction à l’E.L.U.
d’où:
Asu≥Nu/ σsu

Condition de résistance à l’E.L.S.
En raison de risque de corrosion des armatures, il est judicieux de
considérer un tirant comme étant soumis au minimum aux
conditions de la fissuration préjudiciable.

Ainsi, la section des armatures longitudinales sera la suivante:
Armatures longitudinales
As = Max (Asu; Ass; AsB)

Armatures transversales
elles n’ont aucun rôle dans la résistance à la traction. Leur diamètre
est calculé comme suit :
Φt ≥ 0,3 . ΦL avec Φtmin = 6 mm
Espacement : esp ≤ Min (40 cm ; a + 10 cm)
avec: a : la plus petite dimension.

Chapitre VII : FLEXION SIMPLE-SECTION RECTANGULAIRE
Définition
Une poutre sera sollicitée en flexion simple lorsqu'elle sera soumise à
l'action de force disposée symétriquement par rapport au plan moyen.
La réduction de cette force au centre de gravité de la section se
décompose en moment fléchissant et un effort tranchant.

Calcul à l'E.L.U.
Dimensionnement d'une section de béton :
Les dimensions géométriques de la section sont fixées de telles
Les dimensions géométriques de la section sont fixées de telles
manière à faire travailler le béton et l 'acier convenablement ( par
exemple : b/h ≈ 0,4 et d ≈ 0,9 h)
On essaie d’avoir un α tel que : 0,167 ≤ α ≤ αR

Equilibre d'une section fléchie:
Calcul à l'E.L.U.
Dans le cas où on a un béton qui travaille bien.

Calcul à l'E.L.U.
Les efforts :
Nst=Ast.σst
N =A .σ
L’équilibre de la section:
u
x M
M
et
F =
Σ
=
Σ 0
Nsc=Asc.σsc
Nbc=0,8.yu.b.σbc

Section sans armatures comprimées:
L'équilibre des efforts :
Nst = Nbc Ast . σst = 0,8 . yu . b . σbc
L'équilibre des moments :
M = M = F . z = 0,8 . y . b . σ .z
Calcul à l'E.L.U.
Chapitre VII : FLEXION SIMPLE-
SECTION RECTANGULAIRE
Mu = Mbc = Fbc. z = 0,8 . yu . b . σbc .z
Avec: z = d – 0,4 . yu et yu = α.d
⇒ z = d . ( 1 - 0,4. α)
)
4
,
0
1
(
.
.
.
:
)
4
,
0
1
(
.
.
.
.
8
,
0
)
4
,
0
1
.(
.
.
.
.
.
8
,
0
2
α
σ
α
σ
α
α
σ
α
−
=
=
−
=
⇒
−
=
⇒
d
A
Z
N
M
a
on
or
b
d
M
d
b
d
M
st
st
st
u
bc
u
bc
u

Le moment réduit " u" :
Calcul à l'E.L.U.
)
4
,
0
1
(
8
,
0
)
4
,
0
1
(
.
.
.
.
8
,
0 2
2
α
α
σ
α
σ
α −
=
⇒
−
=
bc
u
bc
u
bd
M
b
d
M
On appellera cette quantité le moment réduit:
(On a: α>0,167)
σbc
bd
bc
u
u
bd
M
σ
µ 2
=
)
4
,
0
1
(
8
,
0 α
α
µ −
=
u
donc:
( )
u
µ
α 2
1
1
25
,
1 −
−
=
d’où:

Le moment de référence d'une section MAB:
La règle des 3 pivots se fixe comme
objectif d'utiliser les matériaux à
leurs maximum. Le diagramme de
déformation correspondant sera le
Calcul à l'E.L.U.
déformation correspondant sera le
diagramme qui passe par les pivots
A et B.
Le moment réduit AB correspond à un moment fléchissant appelé
moment de référence :
186
,
0
:
'
259
,
0
10
5
,
3
5
,
3
=
=
+
=
+
=
AB
st
bc
bc
où
d µ
ε
ε
ε
α
bc
AB
AB d
b
M σ
µ .
.
. 2
=

Le moment résistant MR :
On désigne par un moment
résistant le moment obtenu lorsque
l'allongement des armatures est
égal à l'allongement élastique (ε ).
Calcul à l'E.L.U.
égal à l'allongement élastique (εes).
Si α > α1 ⇔ ε < εes : alors les aciers ne travaillent pas suffisamment.
(On a: α>0,167)
bc
R d
b
M σ
µ .
.
. 2
1
=
Le moment résistant s’écrit:
)
4
,
0
1
.(
.
8
,
0 1
1
1 α
α
µ
µ −
=
=
R
avec:
es
es
bc
bc
R
ε
ε
ε
ε
α
α
+
=
+
=
=
5
,
3
5
,
3
1

Les différentes valeurs de α1 et 1 suivant les nuances d’acier
Calcul à l'E.L.U.
En littérature on peut trouver R ou 1 comme on peut trouver αR ou α1.

Pour FeE500 avec γs = 1,15
Calcul à l'E.L.U.

Considérons le cas limite où εbc = 2‰, les équations d’équilibre:
Valeur particulière de
Calcul à l'E.L.U.
∫
∫
+
−
=
=
−
d
bx
u
st
st
d
bx
dx
x
d
d
b
M
A
dx
x
b
α
α
α
σ
σ
σ
0
0
)
(
0
.
)
(
Équilibre des efforts:
Équilibre des moments:
Après intégration de σbx(x) représentant l’équation de la partie du
diagramme parabole, il vient:
Pour: α=0,167 = 0,104
∫0
)
375
,
0
1
(
.
.
.
.
667
,
0
.
.
.
.
667
,
0
.
2
α
α
σ
σ
α
σ
−
=
=
bc
u
bc
st
st
d
b
M
d
b
A
)
375
,
0
1
(
667
,
0
2
α
α
σ
µ −
=
=
⇒
bc
u
bd
M

Calcul à l'E.L.U.
Pivot A: Cet état sera caractérisé par les déformations suivantes:
εs=10‰
εbc=0 à 3,5‰
-si 0<μ < 0,104 ⇒ 0<α < 0,167 ⇒ εbc < 2‰ ⇒ σb < σbc
⇒ le béton travaille mal et nous avons alors une section
surdimensionnée
⇒ redimensionner la section du béton
- si 0,104<μ < 0,186 ⇒ 0,167 < α < 0,259 ⇒ Le béton est bien utilisé.
εbc=0 à 3,5‰
0 < α ≤ 0,259

Calcul à l'E.L.U.
εbc=3,5‰
εs=0 à 10‰
Pivot B: Cet état sera caractérisé par les déformations suivantes:
Si 0,186<μ < μ1 ⇒ 0,259 <α < α1 ⇒ εst > εes ⇒ σst = fe/γs
⇒ alors il 'y a une bonne utilisation des armatures
Si μ > μ1 ⇒ α>α1 ⇒ εst < εes ⇒ σst < fe/γs
⇒ alors les aciers ne travaillent pas suffisamment; il convient
alors de redimensionner la section ou d'introduire des
armatures comprimées
0,259 < α ≤ 1

Principe :
Nous commençons par calculer le moment réduit u.
Ce moment réduit est comparé au moment AB = 0,186:
Si u < 0,186 ⇒ Pivot A
Si u > 0,186 ⇒ Pivot B
Calcul à l'E.L.U.
⇒
Si u > 0,186 ⇒ Pivot B
Dans le cas du pivot B, nous devons comparer u à 1 :
Si u ≤ 0,104 ⇒ redimensionner la section du béton
Si u > 0,104 ⇒ Armatures simples
Dans le cas du pivot B, nous devons comparer u à 1 :
Si u ≤ 1 ⇒ Armatures simples
Si u > 1 ⇒ Armatures doubles

Calcul à l'E.L.U.
Dimensionnement des armatures tendues dans le
cas de section à armatures simples:
Les données du problème sont :
Les caractéristiques des matériaux
La sollicitation Mu
Les dimensions b et d de la section de béton
(si d est inconnu; on prendra : d = 0,9 . h)
On calcule:
bc
u
bd
M
σ
µ 2
=

Si < 0,186 le pivot est A.
Calcul à l'E.L.U.
Section à armatures simples:
b
c
bc
f
γ
θ
σ
.
85
,
0 28
=
( )
µ
α −
−
=
On devrait avoir > 0,104 sinon redimensionner la section
( )
µ
α 2
1
1
25
,
1 −
−
=
st
st
st
bc
bc
u
bc
A
F
d
b
y
b
F
σ
σ
α
σ
.
.
.
.
8
,
0
.
.
.
8
,
0
=
=
=
st
st
bc
st
bc A
F
F
F σ
.
0 =
⇒
=
−
Pivot A donc:
s
e
st
f
γ
σ =
s
e
bc
st
bc
st
f
bd
F
A
γ
σ
α
σ
8
,
0
=
=
⇒

Calcul à l'E.L.U.
ou d’une autre manière:
Z
A
Z
F
M
M st
st
bc
u
bc .
.
. σ
=
=
=
Z
A
Z
F
M
M st
st
bc
u
bc .
.
. σ
=
=
=
avec:
)
4
,
0
1
(
4
,
0 α
−
=
−
= d
y
d
Z u
s
e
u
st
f
Z
M
A
γ
.
=

La contrainte des armatures tendues est égale à la contrainte
élastique de calcul fe/γs , ce qui correspond à une bonne utilisation
Calcul à l'E.L.U.
Si : 0,186≤ ≤ R < le pivot est B avec: εel≤εst≤10‰ σst=fe/γs
élastique de calcul fe/γs , ce qui correspond à une bonne utilisation
de l'acier, et le diagramme est rectangulaire simplifié.
Le calcul est identique au cas précédent :
bc
u
bd
M
σ
µ 2
=
( )
µ
α 2
1
1
25
,
1 −
−
=
)
4
,
0
1
( α
−
= d
Z
s
e
u
st
f
Z
M
A
γ
.
=

Si: > R le pivot est B avec: εst< εe σst < fe/γs
ce qui correspond à une mauvaise utilisation de I'acier.
Si on ne prévoit pas d'armatures comprimées, le calcul de la section
Calcul à l'E.L.U.
Si on ne prévoit pas d'armatures comprimées, le calcul de la section
d'acier est effectué comme dans le cas précédent, cependant son
allongement relatif est inférieur à l'allongement élastique εe.
En pratique, cette solution ne pourra être adoptée que si les valeurs
et R sont voisines.
Dans le cas général, il est nécessaire d'établir une armature
comprimée

En pratique, on calcule les contraintes limites:
Après on calcule le moment réduit:
Calcul à l'E.L.U.
b
c
bc
f
γ
θ
σ
.
85
,
0 28
=
s
e
st
f
γ
σ =
u
bd
M
σ
µ 2
=
Après on calcule le moment réduit:
On calcule le paramètre de déformation:
On calcule le bras de levier:
On calcule la section d’acier tendu:
bc
bd σ
2
Si: 0,104< < 1 armatures simples
( )
µ
α 2
1
1
25
,
1 −
−
=
)
4
,
0
1
( α
−
= d
Z
s
e
u
st
f
Z
M
A
γ
.
=

Calcul à l'E.L.U.
Section à armatures doubles:
Si u ≥ 1, le calcul de la section en armatures simples conduit à
utiliser les aciers à une contrainte faible:
e
e
f
car
f
ε
ε
σ =
<
<
Dans ce cas, deux possibilités existent :
- Changer les dimensions de la poutre en augmentant par
exemple sa hauteur ;
- Ajouter au béton comprimé, des aciers comprimés.
s
s
e
st
s
e
st
E
f
car
f
.
1
γ
ε
ε
γ
σ =
<
<

Dans le cas où nous choisissons d’utiliser des aciers comprimés, nous
nous fixons le diagramme de déformation tel que : εbc = 3,5 ‰
εst = εe (dépend du type d’acier utilisé); d’où: y1 = α1.d
calculer εsc:
Calcul à l'E.L.U.

Calcul à l'E.L.U.
( )
( )
( ) e
bc
bc
e
bc
bc
e
bc
bc
e
bc
bc
bc
bc
bc
sc
d
d
d
d
d
d
d
d
y
d
d
d
y
y
d
y
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
−
−
=
−
+
=
+
−
+
=
−
=
−
=
'
'
'
'
.
'
.
'
.
1
1
1
1
( )
( )
( ) e
e
bc
sc
e
e
e
bc
bc
sc
e
bc
bc
e
bc
e
bc
sc
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
−
−
+
=
−
+
−
−
=
−
−
=
+
+
=
'
'
'
'
'
1
e
e
sc
e
st
d
d
d
et ε
ε
ε
ε
ε −
−
+
=
=
⇒
'
)
/
5
,
3
( 00
0

Moment résistant du béton :
Le moment résistant du béton est le moment ultime que peut
équilibrer la section sans lui ajouter les aciers comprimés.
Calcul à l'E.L.U.
bc
R d
b
M σ
µ .
.
. 2
1
=
Si u > 1 alors Mu > MR donc la section nécessite des aciers
comprimés.
Moment résiduel :
Le moment résiduel est la différence entre le moment ultime
sollicitant la section et le moment résistant du béton.
bc
R d
b
M σ
µ .
.
.
1
=
R
u
r M
M
M −
=

Détermination des armatures comprimées :
On choisit comme origine de l'axe "z" le centre de gravité des
armatures inférieures Ast :
Calcul à l'E.L.U.
sc
sc
bc
bc
u Z
N
Z
N
M .
. +
= sc
sc
bc
bc
u
)
'
.(
.
)
4
,
0
1
.(
.
.
.
.
8
,
0 1
2
1 d
d
A
b
d
M sc
sc
bc
u −
+
−
= σ
α
σ
α
)
'
.(
.
.
.
. 2
1 d
d
A
d
b
M sc
sc
bc
u −
+
= σ
σ
µ
)
'
(
)
'
( d
d
M
d
d
M
M
A
sc
r
sc
R
u
sc
−
=
−
−
=
σ
σ

Détermination des armatures tendues :
Calcul à l'E.L.U.
bc
sc
st
bc
sc
st N
N
N
N
N
N
N
+
=
⇒
=
−
−
=
Σ
0
0
sc
sc
bc
st
st A
b
d
A σ
σ
α
σ .
.
.
.
.
8
,
0
. 1 +
=
'
)
4
,
0
1
(
.
1 d
d
M
d
M
A r
R
st
st
−
+
−
=
α
σ








−
+
−
=
)
4
,
0
1
(
'
1
1
α
σ d
M
d
d
M
A R
r
st
st

Calcul à l’E.L.S.
Il est nécessaire de vérifier à l' E .L.S que la compression du béton
reste admissible ainsi que la traction dans les armatures en fonction
de la préjudiciabilité de la fissuration :
σbc = 0,6.fc28
σbc = 0,6.fc28
La fissuration préjudiciable:
La fissuration très préjudiciable:






≤ 28
.
110
;
3
2
min t
e
st f
f η
σ






≤ 28
.
90
;
2
1
min t
e
st f
f η
σ

CALCUL DES CONTRAINTES
On considère les sections d 'aciers Asc et Ast calculées à I'E.L.U
Il s'agit de calculer les contraintes maximales pour le béton
comprimé et les aciers tendues et les comparer aux contraintes
admissibles du béton et de l' acier.
d’ = δ’d

effort de compression dans le béton:
CALCUL DES CONTRAINTES :
K = tgα = σ/y σ = Ky
)
(
15
)
'
(
15
'
.
1
1
1
y
d
K
d
y
K
y
K
s
s
b
−
=
−
=
=
σ
σ
σ
.
.
.
.
2
1
1 y
b
K
y
b
F b
=
=
σ
effort de compression dans le béton:
effort dans les armatures comprimées:
effort dans les armatures tendues:
2
.
.
2
.
. 1
1 y
b
K
y
b
F b
b =
=
σ
)
'
(
'
15
'
.
' 1 d
y
K
A
A
F s
sc
s −
=
= σ
)
(
15
. 1
y
d
AK
A
F s
st
s −
=
= σ

L’équilibre des efforts: Ne+Ni = 0
or: Ne = 0 Ni = 0
Fb+F’s+Fs=0
0
. =
∑ ds
yi
y1 sera la racine positive de cette équation.
0
)
'
(
30
)
(
30
0
)
(
15
)
'
(
15
2
0
.
1
2
1
1
1
2
1
=
+
−
+
+
=
−
+
−
+
⇒
=
∑
d
A
d
A
y
A
A
by
d
y
K
A
d
y
K
A
y
Kb
ds
y
st
sc
st
sc
st
sc
i

L’équilibre des moment / G: s
G
e
G
i
G
e
M
M
et
M
M =
=
2
2
1
1
3
1
1
)
'
(
15
)
'
(
'
)
(
15
)
(
3
3
2
.
d
y
K
A
d
y
F
M
y
d
K
A
y
d
F
M
Kby
y
F
M
st
s
Fs
b
Fb
−
=
−
=
−
=
−
=
=
=
2
1
1
' )
'
(
15
)
'
(
' d
y
K
A
d
y
F
M sc
s
s
F −
=
−
=
2
1
2
1
3
1
)
(
15
)
'
(
15
3
d
y
A
d
y
A
by
K
M
st
sc
s
−
+
−
+
=
2
1
2
1
3
1
' )
(
15
)
'
(
15
3
d
y
A
d
y
A
by
I st
sc
gg −
+
−
+
=
On pose:
Igg’ est le moment d’inertie de la section homogénéisé par rapport
à l’axe neutre.
'
gg
s
I
M
K =

En résumé:
Ast et Asc sont déterminées par l’E.L.U.
On cherche y1 la racine positive de l’équation:
On cherche y1 la racine positive de l’équation:
0
)
'
(
30
)
(
30 1
2
1 =
+
−
+
+ d
A
d
A
y
A
A
by st
sc
st
sc
Pour cela on calcule:
)
'
(
30
)
(
15
d
A
d
A
b
E
et
b
A
A
D st
sc
sc
st
+
=
+
=
E
D
D
y +
+
−
=
⇒ 2
1

On calcule ensuite:
2
1
2
1
3
1
' )
(
15
)
'
(
15
3
d
y
A
d
y
A
by
I st
sc
gg −
+
−
+
=
'
gg
s
I
M
K =
et

 = . 1
y
K
b
σ
Lorsque, après avoir dimensionné la section à l’E.L.U., la
vérification à l’E.L.S. n’est pas assurée, il faut recalculer la section
d’acier à l’E.L.S.





−
=
−
=
=
)
(
15
)
'
(
15
'
.
1
1
1
y
d
K
d
y
K
y
K
s
s
b
σ
σ
σ
Lorsque la section ne comporte pas d’armatures comprimées: Asc=0

CALCUL DES ARMATURES :

CALCUL DES ARMATURES
On pose: d
y 1
1 α
=
Nous avons:
s
s
b
s
b
y
d
y
y
d
y
σ
α
α
σ
σ
σ
σ
.
)
1
(
15
.
)
(
15 1
1
1
1
1
1
−
=
−
=
⇒
−
=
s y
d
y
d α
σ )
1
(
15
)
(
15
15
1
1
1 −
−
−
On pose:
1
1
1 1
)
1
(
15 k
k
s
b
=
−
=
=
α
α
σ
σ
Or:
0
.
2
.
. 1
=
− s
b
A
y
b
σ
σ
s
s
b
b A
F
et
y
b
F σ
σ
.
2
.
. 1
=
=
L’équilibre des efforts:

On remplace Fb et y1 :
L’équilibre des moments par rapport à A: 





−
=
3
1
y
d
F
M b
s
0
3
1
2
1
1
=






−
−
α
σ
d
by
M b
s
1 1
α
β −
=
On pose: 3
2 

1
2
1
1
2
1
2
0
2
β
σ
α
β
σ
α s
s
s
s
k
d
b
M
k
d
b
M =
⇒
=
−
On pose:
s
s
bd
M
σ
µ 2
1 = et on a:
1
1
1 1
)
1
(
15 k
k =
−
=
α
α
1
1
1
1
1
1
2
2 k
k β
α
β
α
µ =
=
⇒
3
1 1
1
α
β −
=
On pose:
On remplace σb et y1 :

Calculons A :






−
=






−
=
3
1
2
3
1
1
1 α
σ
d
by
y
d
F
M b
b
s
or: b
A
y
b
σ
σ
.
.
. 1
=
on:
or:
s
b
A
y
b
σ
σ
.
2
.
. 1
=
1
1
3
1 β
σ
α
σ d
A
d
A
M s
s
s =






−
=
⇒
donc:
s
s
d
M
A
σ
β .
.
1
=
σs? On prend σs de façon à faire travailler l’acier au maximum.

CALCUL DES ARMATURES :
En résumé: On prend: s
s σ
σ = pour avoir la section minimale.
On calcule:
s
s
bd
M
σ
µ 2
1 =
Les valeurs β1 et k1 sont tirées du tableau en fonction de la valeur 1.
σ
On calcule:
Pour que la section ne comporte pas d'armatures comprimées, il faut:
Si cette condition est réalisée, la section d'acier tendue est donnée par:
1
k
s
b
σ
σ =
On calcule:
28
6
,
0 c
b
b f
×
=
≤ σ
σ
s
s
d
M
A
σ
β .
.
1
=

Section avec armatures tendues et armatures comprimées :
Si: , il est nécessaire de prévoir des armatures comprimées.
Dans ce cas: et on calcule:
b
b σ
σ >
b
b
s
s σ
σ
σ
σ =
= ,
15
15σ
σ
2
,
15
15
15
15
,
1
1
1
1
1
1
b
b
s
b
b
b
s
by
F
d
y
k
k
σ
α
σ
σ
σ
α
σ
σ
=
=
+
=
+
=
=
( )
b
s
y
d
y
et σ
σ
1
1 '
15
'
−
=

Section avec armatures tendues et armatures comprimées :
L’équilibre des moments donne:
L’équilibre des forces donne:
)
3
(
)
'
(
'
' 1
y
d
F
d
d
A
M b
s
s −
+
−
= σ
( ) s
s
b
s
b
s
A
F
A
et
d
d
y
d
F
M
A
σ
σ
σ
'
'
'
'
3
'
1
+
=
−





 −
−
=
s
b
s A
F
A '
'σ
σ +
=
donc:

Chapitre VIII : FLEXION SIMPLE-SECTION EN TÉ
INTRODUCTION
Lorsque des poutres supportent un plancher constitué d’une dalle en
béton armé, le règlement autorise de considérer qu’une certaine
largeur du hourdis fasse partie intégrante des poutres.
Table ou
hourdis
hourdis
Nervure
ou
retombée
La partie rectangulaire de dimension b x h est l’âme de la poutre.
h0 : hauteur de la table de compression (du hourdis)
b : largeur de la table de compression
b0 : largeur de la nervure

LARGEUR DE LA TABLE A CONSIDERER
Le BAEL définit la largeur du débord à prendre en compte de façon
Forfaitaire, comme au plus égale à :
- le dixième de la portée de la poutre,
- les deux tiers de la distance de la section considérée à l’axe de
l’appui le plus proche,
- la moitié de la distance entre deux poutres supportant la même dalle.

CALCUL A L’ELU :
Position de l' axe neutre
Soit Mu le moment ultime sollicitant la section.
Le calcul de ces sections s’effectue différemment selon que la zone
comprimée de hauteur égale à 0,8y se trouve uniquement dans la
table ou s’étend aussi dans la nervure.

Supposons que la table est entièrement comprimée tel que la
hauteur de la zone comprimée est égale à h0 (0,8y = h0) qui
correspond à α0 et 0, donc Mb
T = 0 bd2 σbc
D’autre part:
CALCUL A L’ELU
Position de l' axe neutre
Fbc = bh0σbc
Si la table n’est pas entièrement comprimée α1< α0
1< 0 1 bd2 σbc< 0 bd2 σbc Mu< Mb
T
Si la table est entièrement comprimée Mu≥Mb
T






−
=






−
=
2
2
0
0
0 h
d
bh
h
d
F
M bc
bc
T
b σ

CALCUL A L’ELU :
Si Mu< Mb
T la table n’est pas entièrement comprimée
Si Mu>Mb
T la table est entièrement comprimée
1er cas: M < M T
La table n’est pas entièrement
comprimée, comme le béton tendu
n’intervient pas dans les calculs de
résistance, on conduit le calcul comme
si la section était rectangulaire de
largeur b et de hauteur h.
1er cas: Mu< Mb
T

Section sans armatures comprimées :
CALCUL A L’ELU :
2ème cas: Mu≥Mb
T :
La table est entièrement comprimée

CALCUL A L’ELU
On divise la partie comprimée en 2 zones:
1. Les 2 ailes de la table de compression: (1)
2. La nervure : (2)
Les efforts dus au béton comprimé sont:
dans (1):
bc
b h
b
b
F σ
0
0
1
)
( −
=
dans (2):
L’effort dû aux armatures tendues:
bc
b h
b
b
F σ
0
0 )
( −
=
bc
bc
u
b d
b
y
b
F σ
α
σ .
8
,
0
8
,
0 0
0
2
=
=
st
st
st A
F σ
=

CALCUL A L’ELU :
Les moments équilibrés par ces efforts sont:
( ) 





−
−
=






−
=
2
2
0
0
0
0
1
1 h
d
h
b
b
h
d
F
M bc
b
b σ
( ) ( )
α
σ
α
2
2
−
=
−
= ( ) ( )
α
σ
α 4
,
0
1
.
.
.
8
,
0
4
,
0 2
0
2
2
−
=
−
= bc
u
b
b d
b
y
d
F
M
1
2
2
1
b
u
b
b
b
u M
M
M
M
M
M −
=
⇒
+
=
( ) ( ) 





−
−
−
=
−
2
4
,
0
1
.
.
.
8
,
0 0
0
0
2
0
h
d
h
b
b
M
d
b bc
u
bc σ
α
σ
α

Cela revient à calculer une section rectangulaire de largeur b0, de
hauteur (h,d) soumise à un moment fictif égal à:
CALCUL A L’ELU
Chapitre VIII : FLEXION
SIMPLE-SECTION EN TÉ
( ) 2
0
0
0
2
.
. b
bc
u M
h
d
h
b
b
M =






−
−
− σ
M
2
2 

On calcule:
bc
b
d
b
M
σ
µ
.
. 2
0
2
2 =
Selon les valeurs de 2, la droite des déformations passe par le pivot A
ou le pivot B:
Si 2> R il faut augmenter la section du Béton ou introduire
des armatures comprimées,
Si 2≤ R pivot A ou pivot B α2 yu.

CALCUL A L’ELU :
( )
F
F
A
F
F
F
1
2
1
2
1
+
=
⇒
+
= ( )
st
b
b
st
b
b
st F
F
A
F
F
F
σ
1
2
1
2
1
+
=
⇒
+
=
( )
[ ]
st
bc
st d
b
h
b
b
A
σ
σ
α 0
2
0
0 8
,
0
+
−
=

Section avec armatures comprimées
CALCUL A L’ELU :

CALCUL A L’ELU
Section avec armatures comprimées
Chapitre VIII : FLEXION
SIMPLE-SECTION EN TÉ
Si: 2> R, on se fixe: 2= R et α2=αR → yR et εst=εe
σst=fe/γs . sc
sc
d
d
σ
α
ε →






−
=
'
1
5
,
3 00
0
⇒
=
= d
b
M
M σ
µ 2
2 M
M
M
1
−
−
=
⇒
=
= bc
R
R
b d
b
M
M σ
µ 2
0
2
( ) sc
R
b
u
sc
d
d
M
M
M
A
σ
'
−
−
−
=
st
st
sc
b
b
st A
F
F
F
F σ
.
2
1
=
+
+
=
( )
[ ]
s
e
sc
sc
bc
R
bc
st
f
A
d
b
h
b
b
A
γ
σ
σ
α
σ
1
8
,
0 0
0
0 +
+
−
=
( ) 





−
−
=
2
0
0
0
1 h
d
h
b
b
M bc
b σ

CALCUL A L'E.L.S
Les dimensions géométriques sont connues, ainsi que les valeurs Ast
et A’sc des armatures (calculées à l’E.L.U.).
Il est nécessaire de savoir si l’axe neutre se trouve dans la table ou
dans la nervure.
ou

Si on fait l’hypothèse que l’axe neutre se trouve dans la table, sachant
que le béton tendu ne travaille pas, la section est équivalente à une
section rectangulaire de largeur b et de hauteur utile d.
La distance y1 de l’axe neutre est donnée par la racine positive de
l’équation:
CALCUL A L'E.L.S
l’équation:
Construisons la courbe représentative de la fonction:
( ) ( ) 0
'
30
30 1
2
1 =
+
−
+
+ d
A
d
A
y
A
A
by st
sc
st
sc
( ) ( )
d
A
d
A
y
A
A
by
y
f st
sc
st
sc +
−
+
+
= '
30
30
)
( 1
2
1
1

CALCUL A L'E.L.S
On obtient les 2 racines de signes contraires, mais ce qui nous intéresse
c’est y1 positif.
Si h0 (valeur positive) est supérieur à y1, la valeur de f(h0) est
positive, Donc, pour que l’axe neutre se trouve dans la table, il faut
avoir:
( ) ( ) 0
'
30
30 0
2
0 ≥
+
−
+
+ d
A
d
A
h
A
A
bh st
sc
st
sc

Ce qui peut s’écrire:
Pour que l’axe neutre se trouve dans la nervure, il faut que h0<y1 et la
valeur de f(y1) pour y1=h0 sera alors négative:
CALCUL A L'E.L.S
( ) 0
30
)
'
(
30 0
0
2
0 ≥
−
−
−
+ h
d
A
d
h
A
bh st
sc
( ) 0
30
)
'
(
30 0
0
2
0 <
−
−
−
+ h
d
A
d
h
A
bh st
sc
Donc la position de l’axe neutre par rapport à la table, pour une
section soumise à la flexion simple, est donnée par application des
formules suivantes:
( ) 0
30
)
'
(
30 0
0
0 <
−
−
−
+ h
d
A
d
h
A
bh st
sc
( )
0
0
2
0
1 30
)
'
(
30 h
d
A
d
h
A
bh
H st
sc −
−
−
+
=
Si H1≥0 l’axe neutre se trouve dans la table,
Si H1<0 l’axe neutre se trouve dans la nervure.

Calcul des contraintes lorsque l’axe neutre se trouve dans la table:
CALCUL A L'E.L.S
Si H1≥0 l’axe neutre se trouve dans la table.
La section en Té est équivalente à la section rectangulaire de largeur b
et de hauteur utile d.
Les contraintes seront déterminées par application des formules
relatives à la section rectangulaire.

CALCUL A L'E.L.S
Calcul des contraintes lorsque l’axe neutre se trouve dans la
nervure:
L’expression du moment statique devient donc :
avec: n = 15
( ) ( ) ( )( )
2
'
2
2
0
1
0
1
1
2
1 h
y
b
b
y
d
nA
d
y
nA
by
A s
sc
−
−
−
−
−
−
+
=

donc:
Nous déterminons y à partir de cette équation.
CALCUL A L'E.L.S
nervure:
( ) ( )
[ ] ( ) ( )
[ ] 0
'
30
30
2 2
0
0
1
0
0
2
1
0 =
+
+
−
−
+
+
−
+
= sc
s
sc
s A
d
dA
h
b
b
y
A
A
h
b
b
y
b
A
Nous déterminons y1 à partir de cette équation.
Les deux solution de l’équation: a.x2 + b.x + c = 0
Dans notre cas on s’intéressera à la valeur positive:
a
ac
b
b
x
2
4
2
2
,
1
−
±
−
=
a
ac
b
b
x
2
4
2
1
−
+
−
=

Puis, nous calculons le moment quadratique de la poutre en « té »,
en retranchant du moment quadratique de la poutre rectangulaire
(b,d), le terme correspondant à la partie hachurée.
CALCUL A L'E.L.S
nervure:

On a:
CALCUL A L'E.L.S
nervure:
'
gg
s
I
M
K =
Igg’: moment d’inertie par rapport à gg’.
( ) ( )
[ ]
3
3
)
)(
( h
y
b
b
by −
−
−
( ) ( )
[ ]
2
1
2
1
3
0
1
0
3
1
' '
15
3
)
)(
(
y
d
A
d
y
A
h
y
b
b
by
I st
sc
gg −
+
−
+
−
−
−
=
( )





−
=
−
=
=
)
(
15
'
15
1
1
1
y
d
K
d
y
K
Ky
st
sc
b
σ
σ
σ

Calcul des armatures:
Position de l'axe neutre:
Supposons que la section ne comporte pas d’armatures comprimées et
soumise à un moment Mt tel que l’axe neutre soit confondu avec le bord
CALCUL A L'E.L.S
Les dimensions géométriques de la section sont connues.
Il est nécessaire de savoir la position de l’axe neutre:
t
inférieur de la table : y1=h0

Déterminons la valeur de Mt, c 'est à dire le moment équilibré par la
table:
Donc:
CALCUL A L'E.L.S
Z
F
M b
t .
= 





−
=
=
3
2
0
0 h
d
Z
et
bh
F b
b
σ
Donc:






−
=
3
2
0
0 h
d
bh
M b
t
σ
Or:
avec:
)
(
15
.
1
1
y
d
y s
b
−
=
σ
σ
s
s
et
h
y σ
σ =
= 0
1

CALCUL A L'E.L.S
( )
0
2
0
3
h
d
bh
M
s
t
−






−
=
σ
( )
0
30 h
d
Mt
−
=
Pour Ms=Mt y1=h0 ,
Si Ms<Mt y1<h0 l’axe neutre se trouve dans la table;
Si Ms>Mt y1>h0 l’axe neutre se trouve dans la nervure;

Calcul des armatures lorsque l’axe neutre se trouve dans la table:
CALCUL A L'E.L.S
Considérons une section en Té dont l’axe neutre se trouve dans la
table; la section est alors équivalente à une section rectangulaire de
largeur b et de hauteur utile d.

Calcul des armatures lorsque l’A.N. se trouve dans la nervure:
La section ne comporte pas d’armatures comprimées
Position de l’axe neutre:
CALCUL A L'E.L.S

Appelons:
CALCUL A L'E.L.S
FLEXION SIMPLE-SECTION
EN TÉ
La section ne comporte pas
d’armatures comprimées
Ms: le moment de flexion de service dans la section donnée,
M1
f et M2
f: les moments de flexion pour les sections fictives
représentées sur les figures.
et
donne:
représentées sur les figures.
On a: f
f
s M
M
M 2
1 −
=
Posons:
s
f
f
s
s
bd
M
bd
M
σ
µ
σ
µ 2
1
1
2
1 ; =
=
( )( ) s
f
f
h
d
b
b
M
σ
µ 2
0
0
2
2
−
−
=
La relation: f
f
M
M
M 2
1 −
=
f
f
d
h
b
b
2
2
0
0
1
1 1
1 µ
µ
µ 





−






−
−
=

CALCUL A L'E.L.S
FLEXION SIMPLE-
SECTION EN TÉ
On pose:
et
b
b0
=
β
d
h0
=
θ
( )( ) f
f 2
1
1 µ
θ
β
µ
µ −
−
−
=
⇒ ( )( ) f
f
2
2
1
1 1
1 µ
θ
β
µ
µ −
−
−
=
⇒
Nous avons pour la section rectangulaire (b,d):
( )
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
30
3
1
2
3
1
2 α
α
α
α
α
β
α
µ
−






−
=






−
=
=
k
k
f








−
=
=
− 3
1
1
)
1
(
15
1
1
1
1
1 α
β
α
α
et
k

Et pour la section rectangulaire ((b-b0), (d-h0)):
( )
2
2
2
2
2
1
30
3
1
α
α
α
µ
−





 −
=
f
On a en outre:
)
(
; h
y
y
et
h
d
y
d
y −
=
−
=
= α
α
CALCUL A L'E.L.S
FLEXION SIMPLE-
SECTION EN TÉ
0
1
2
0
2
2
1
1 )
(
; h
y
y
et
h
d
y
d
y −
=
−
=
= α
α
d’où:
θ
θ
α
α
α
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
=
1
1
0
0
1
0
0
1
0
2
2
h
d
h
d
h
d
h
y
h
d
y
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
1
90
2
3
1
1
1
30
1
3
1
α
θ
α
θ
θ
α
θ
θ
α
θ
θ
θ
α
θ
α
µ
−
−
−
−
−
=






−
−
−
−








−
−
−
−
=
⇒ f

Donc on a:
d
y
et
d
h
b
b
bd
M
s
s
1
1
0
0
2
1 ;
;
=
=
=
=
α
θ
β
σ
µ
CALCUL A L'E.L.S
FLEXION SIMPLE-SECTION EN TÉ
La section ne comporte pas d’armatures
comprimées
( )
1
1
2
1
1
1
30
3
1
α
α
α
µ
−






−
=
f
( ) ( )
( ) ( )
1
2
1
2
1
2
1
1
90
2
3
α
θ
α
θ
θ
α
µ
−
−
−
−
−
=
f
équation qui donne α1 en fonction de 1 et des caractéristiques de la
section, peut être résolue au moyen des abaques suivants.
( ) ( )( ) ( )
( )
1
1
2
1
1
2
1
1
1
90
2
3
1
3
α
α
θ
θ
α
β
α
α
µ
−
−
−
−
−
−
−
=
⇒
( )( ) f
f
et 2
2
1
1 1
1 µ
θ
β
µ
µ −
−
−
=

CALCUL A L'E.L.S
d
h
et
b
b
bd
M
s
s
0
0
2
1 ;
15
15
=
=
=
θ
β
σ
µ
Il suffit de joindre le point
correspondant à la valeur de
15 1 au point correspondant à
la valeur β, cette droite coupe
la courbe θ en un point C.
La valeur portée sur la droite
α1 passant par C est la valeur
cherchée.

Calcul du bras de levier:
CALCUL A L'E.L.S

CALCUL A L'E.L.S
Soit F : la résultante des compressions pour la nervure
Soit Fb,1: la résultante des compressions pour la nervure
2
1
0
1
,
b
b
y
b
F
σ
=
Soit Fb,2: la résultante des compressions pour la table
( )( )
2
'
' 0
0
2
,
h
b
b
cc
aa
Fb
−
+
=

On pose:
CALCUL A L'E.L.S
α
tg
K =
( ) ( )
b
b
y
h
y
h
y
K
cc
et
Ky
aa σ
σ 0
1
0
1
1 '
'
−
=
−
=
=
=
( )( )
2
'
' 0
0
2
,
h
b
b
cc
aa
Fb
−
+
=
( ) b
b
y
h
y
K
cc
et
Ky
aa σ
σ
1
0
1
1 '
' =
−
=
=
=
( ) ( )
1
0
1
0
0
2
,
2
2
y
h
y
h
b
b
F b
b
σ
−
−
=
Fb est la résultante de Fb,1 et Fb,2:
2
,
1
, b
b
b F
F
F +
=
2
1
0
1
,
b
b
y
b
F
σ
=

CALCUL A L'E.L.S
( ) ( )
[ ] )
1
(
2
.
2
.
1
0
1
0
0
2
1
0
y
Z
h
y
h
b
b
y
b
M
Z
F
M b
s
b
s
σ
−
−
+
=
⇒
=
On pose:
d
y
et
d
h
b
b
bd
Ms
1
1
0
0
2
1 ;
; α
θ
β
σ
µ =
=
=
=
On a:
d
y
et
d
b
bd s
1
1
2
1 ;
; α
θ
β
σ
µ =
=
=
=
( )
1
1
1
1
15
α
α
σ
σ −
=
=
b
s
k
( )
( ) ( )
( )
( )( )2
1
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
30
2
1
1
30
θ
α
β
α
α
µ
θ
α
θ
β
βα
α
µ
−
−
−
−
=
−
−
+
−
=
d
d
Z
On remplace Ms, b0/b, h0/d, y1 et σs/σb dans (1):

CALCUL A L'E.L.S
En remplaçant 1 par sa relation en fonction de α1, on obtient:

Calcul des armatures
CALCUL A L'E.L.S
s
Z
M
A
σ
=
s
Z
A
σ
=
et:
( ) 28
1
1
6
,
0
1
15
c
b
s
b f
=
≤
−
= σ
α
σ
α
σ

La section comporte des armatures comprimées
Considérons une section de Té, pour laquelle on a trouvé σb > 0,6 fc28,
l’axe neutre est supposé se trouver dans la nervure.
CALCUL A L'E.L.S
l’axe neutre est supposé se trouver dans la nervure.
Il est possible d’équilibrer le moment Ms en renforçant la partie
comprimée par des armatures.
nous prendrons:
s
t
s
b
b et σ
σ
σ
σ =
=

CALCUL A L'E.L.S

CALCUL A L'E.L.S
FLEXION SIMPLE-
SECTION EN TÉ
La section comporte des
( )
s d
y
et
d
y
k σ
σ
α
α
σ 1 '
15
'
;
15
;
−
=
=
=
=
La première section fictive est une section en Té simplement armée
pour laquelle y1=α1d, le bras de levier Z relatif à cette section est
calculée par la relation suivante:
b
s
b
s
y
et
d
y
k
k σ
σ
α
α
σ 1
1
1
1
1
1
1 '
;
15
; =
=
+
=
=

La résultante Fb des forces de compression dans le béton (trouvée
précédemment):
h σ

 

CALCUL A L'E.L.S
FLEXION SIMPLE-
SECTION EN TÉ
précédemment):
Le moment équilibré par cette section:
La valeur des armatures est donnée par:
( )
2
2
1
0
0
0
1
0
b
b
y
h
h
b
b
y
b
F
σ














−
−
+
=
Z
F
M b.
1 =
s
b
s
F
Z
M
A
σ
σ
=
= 1
1

La 2ème section fictive, constituée par les armatures A’ et A2 devra
donc équilibrer le moment résiduel :
CALCUL A L'E.L.S
FLEXION SIMPLE-
SECTION EN TÉ
donc équilibrer le moment résiduel :
∆M = Ms - M1 = Ms – Fb.Z
Le bras de levier est (d – d’)
( ) s
b
s
d
d
Z
F
M
A
'
'
'
σ
−
−
= et
( ) s
b
s
d
d
Z
F
M
A
σ
'
2
−
−
=

CALCUL A L'E.L.S
( ) s
s
s
b
s
b
s
s
b A
F
d
d
Z
F
M
F
A
A
A
σ
σ
σ
σ
σ
'
'
'
2
1 +
=
−
−
+
=
+
=
&
s
s
b A
F
A
σ
σ '
'
+
=
( ) s
b
s
d
d
Z
F
M
A
'
'
'
σ
−
−
=

Une poutre est sollicitée en flexion composée si la réduction au
centre de gravité (CDG) d'une section S des forces situées à gauche
de cette section se décompose en:
- Couple de moment M d'axe ⊥ à la fibre moyenne.
- Effort normal N ⊥ à la section.
Chapitre IX: FLEXI0N COMPOSÉE- section rectangulaire
Définition
⊥
- Effort normal N ⊥ à la section.
- Effort tranchant T dans le plan de la section.

Le système formé par le moment fléchissant (M) et l'effort
normal (N) peut être remplacé par une force unique équivalente à
(N) et appliquée au point (C) appelé point d'application ou centre
de pression.
Donc on remplace (M,N) → N au centre de pression tel que la
Généralités
Donc on remplace (M,N) → N au centre de pression tel que la
distance GC = e.

En flexion composée, il faut toujours préciser en quel point
on effectue la réduction des forces car la valeur des moments
est dépendante de ce point. Ce point sera normalement, soit au
CDG du béton (sans armatures) = (G); soit au centre de gravité
des armatures tendues (A).
Généralités
des armatures tendues (A).
N
M
e
N
M
e A
a
G
=
= ;

En flexion composée, la première chose à faire est de chercher la
position du centre de pression (C)
Si (N) est un effort de compression (C) sera posé au dessus de (G).
Généralités
Le point (C) peut se situer en dehors de la section donc "e" peut
être supérieure à h/2: e>h/2
e
ea ≥
⇒

Si (N) est un effort de traction (C) sera posé au dessous de (G)
Généralités
En flexion composée, la section peut être partiellement
comprimée sous un effort de traction ou compression:

La section peut être entièrement comprimée sous un effort de
compression :
Généralités
h
x >
⇒
La section peut être entièrement tendue sous un effort de traction:
0
<
⇒ x

Etat Limite Ultime
Section entièrement tendue
Une section sera dite entièrement tendue, si l'effort appliqué est un
effort de traction et si le centre de pression se trouve entre les
armatures .
le béton étant entièrement tendu, il n'intervient pas dans la résistance
de la section, donc quelle que soit la forme de la section, le calcul des
armatures est le même.
Chapitre IX : FLEXI0N COMPOSÉE- section rectangulaire
armatures est le même.

L’état limite ultime est atteint, lorsque la déformation des aciers de la
nappe la plus tendue vaut 10‰, la contrainte est alors fe/γs
Etat Limite Ultime
FLEXI0N COMPOSÉE-
section rectangulaire
Les équations d’équilibre s’écrivent:
2
2
1
1 S
S
u A
A
N σ
σ +
=
La solution la plus économique correspond à σs1=fe/γs=σs2.
En écrivant le moment successivement par rapport à A1 et A2:
2
2
1
1 S
S
u A
A
N σ
σ +
=
( ) 2
1
1
/ .
'
2
e
N
d
d
A
M u
S
A =
−
= σ
( ) ( )
s
e
u
s
e
u
f
d
d
e
N
A
et
f
d
d
e
N
A
γ
γ '
'
1
2
2
1
−
=
−
=
N
M
h
d
e
h
d
e −
−
=
−
−
=
2
2
0
2

avec A1+A2 doit être supérieure à la section minimale:
e
t
f
f
B
A 28
min
.
=
Etat Limite Ultime
FLEXI0N COMPOSÉE-
B représente la section totale du béton : c'est la condition de non
fragilité du béton.
Solution avec armatures symétriques:
e
f
s
e
u
f
N
A
A
γ
2
2
1 =
=

Etat Limite de Service
Calcul des contraintes:
Le béton tendu n’intervient pas, il suffit de vérifier que les
contraintes dans l’acier sont inférieures à dans le cas de la
fissuration préjudiciable ou très préjudiciable.
FLEXI0N COMPOSÉE-
fissuration préjudiciable ou très préjudiciable.
En écrivant successivement le moment par rapport à A1 et A2:
Avec Zs le bras de levier entre A1 et A2
2
1
2
1
2
1
.
.
;
.
.
A
Z
e
N
A
Z
e
N
s
s
S
s
s
S =
= σ
σ

Calcul des armatures:
- Solution économique:
( ) s
s
d
d
e
N
A
σ
'
. 2
1
−
=
e
N .
FLEXI0N COMPOSÉE-
De même on devrait avoir: A1+A2≥Amin.
( ) s
s
d
d
e
N
A
σ
'
. 1
2
−
=
- Solution symétrique:
s
s
N
A
A
σ
2
2
1 =
=

Section entièrement comprimée
Considérons une section rectangulaire entièrement comprimée, le
diagramme des déformation passe par le pivot C, et le diagramme
des contraintes est parabole-rectangle.

Etat Limite Ultime
On a :
F1: la résultante des compressions dans le béton pour la partie
rectangulaire du diagramme, située à f1 par rapport à l’arête supérieure.
2
7
3
;
7
3
1
1
×
=
=
h
f
bh
F bc
σ

On a:
FLEXI0N COMPOSÉE-
Etat Limite Ultime
F2: la résultante des compressions dans le béton pour la partie parabolique du
diagramme, située à f2+(3h/7) par rapport à l’arête supérieure.

 2
a








−
= 2
2
1
1
1
2
3
1
a
a
a
S
S








−
=
2
1
1
1
3
1
4
3
S
a
S
a
ag

S2=F2 et S1 = bσbc
Application à la partie du parabole avec :
7
4
1
h
a = h
y
a
7
3
−
=






−
=






−
×
=
2
0476
,
3
4
49
16
4
h
σ
σ
FLEXI0N COMPOSÉE-
Section entièrement
comprimée
Etat Limite Ultime
















−
−
=
















−
−
×
= 2
2
2
3
7
0476
,
3
7
4
7
3
3
49
1
7
4
h
y
bh
h
y
h
h
b
F bc
bc σ
σ
2
2
2
2
49
.
4
7
3
3
7
4
1
7
4
4
3
F
b
h
h
F
b
h
h
f bc
bc σ
σ
−
=










×
×
−
×
=

Etat Limite Ultime
Posons:


















−
−
= 2
2
3
7
0476
,
3
7
4
h
y
bh
F bc
σ
On a:
Comme dans une section entièrement comprimée, y varie de h à ∞
La résultante des compressions dans le béton:
Posons:
2
3
7
0476
,
3
1






−
−
=
h
y
ψ






−
=
7
3
2 ψ
σbc
bh
F
1
8095
,
0 ≤
≤ψ

 

bc
b h
b
F
F
F σ
ψ .
.
.
2
1 =
+
=

FLEXI0N COMPOSÉE-
Etat Limite Ultime
δh: la distance de Fb à l’arête supérieure de la section.
d’après l’équilibre des moments/arête supérieure entre F1, F2 et Fb:






+
+
= h
f
F
f
F
h
Fb
7
3
.
. 2
2
1
1
δ
ψ
δ
3571
,
0
8571
,
0 −
=
En remplaçant Fb, F1, f1, F2 et f2 par leurs valeurs, on aura:

Le moment de la résultante des forces de compression dans le béton
par rapport au centre de gravité des armatures inférieures a pour
valeur:
( ) bc
b
b bh
h
d
h
d
F
M σ
ψ
δ 2
8571
,
0
3571
,
0 











−
+
=
−
=
FLEXI0N COMPOSÉE-
Etat Limite Ultime
Les équations d’équilibre:
Avec M1: le moment résultant dû aux sollicitations externes évalué
par rapport au c.d.g. des armatures inférieures.
( ) bc
b
b bh
h
h
d
F
M σ
ψ
δ 8571
,
0
3571
,
0 







−
+
=
−
=
2
2
1
1
2
1 s
s
u
i
e A
A
F
F
N
N
N σ
σ +
+
+
=
⇒
=
( )
'
1
1
1 d
d
A
M
M
M
M s
b
i
e −
+
=
⇒
= σ

0
2
2
1
1 =
−
−
−
⇒ s
s
bc A
A
bh
N σ
σ
σ
ψ
( ) 0
'
8571
,
0
3571
,
0
1
1
2
1 =
−
−












−
+
−
⇒ d
d
A
bh
h
d
M s
bc σ
σ
ψ
FLEXI0N COMPOSÉE-
Etat Limite Ultime
On cherchera la solution qui fera travailler les armatures inférieures et
supérieures de façon égale avec une contrainte maximale σ:
Il est intéressant de rechercher pour A1 et A2 des valeurs telles que
(A1+A2) soit minimale.
Si (A1+A2) est minimale, il sera de même pour (A1σ+A2σ).
σ
σ
σ =
=
2
1
s
s

Donc pour Ψ = 1 donc pour y→∞
Si y→∞, toutes les fibres de la section ont un
raccourcissement égal à 2‰, avec Ψ=1; σ1
s=σ2
s= σ = σ(2‰).
bc
bh
N
A
A σ
ψ
σ
σ −
=
+ 2
1
minimal pour ψ maximal
FLEXI0N COMPOSÉE-
Etat Limite Ultime
raccourcissement égal à 2‰, avec Ψ=1; σ s=σ s= σ = σ(2‰).
Les équations d’équilibre s’écrivent:
( ) ( )



=
−
−
−
−
=
−
−
−
0
'
5
,
0
0
1
1
2
1
d
d
A
bh
h
d
M
A
A
bh
N
bc
bc
σ
σ
σ
σ
σ
( )
( ) 1
2
1
1
'
5
,
0
A
bh
N
A
et
d
d
bh
h
d
M
A bc
bc
−
−
=
−
−
−
=
σ
σ
σ
σ

(La partie sup est la plus comprimée)
Pour que le résultat obtenu ait un sens, il faut que:
0
0 2
1 ≥
≥ A
et
A
A
A
or ≥
FLEXI0N COMPOSÉE-
Etat Limite Ultime
(La partie sup est la plus comprimée)
Donc il suffit d’avoir:
2
1 A
A
or ≥
( )
( )
0
'
5
,
0
0 1
2 ≥
−
−
−
−
−
⇒
≥
σ
σ
σ
σ
d
d
bh
h
d
M
bh
N
A bc
bc
( ) ( ) bc
bh
d
h
M
d
d
N σ
'
5
,
0
' 1 −
≥
−
−

Supposons que cette condition ne soit pas remplie, c.à.d.:
Il résulte que A2≤0 c.à.d. que A2 serait inutile.
( ) ( ) bc
bh
d
h
M
d
d
N σ
'
5
,
0
' 1 −
<
−
−
FLEXI0N COMPOSÉE-
Etat Limite Ultime
( ) ( ) bc
bh
d
h
M
d
d
N
Si σ
'
5
,
0
'
: 1 −
<
−
−
Il résulte que A2≤0 c.à.d. que A2 serait inutile.
Nous prenons alors A2=0;
dans ces conditions:
Nous donne:
0
0 =
−
=
− i
e
i
e M
M
et
N
N
0
1
1 =
−
− s
bc
u A
bh
N σ
σ
ψ
( ) 0
'
8571
,
0
3571
,
0
1
1
2
1 =
−
−












−
+
− d
d
A
bh
h
d
M s
bc σ
σ
ψ

En éliminant A1 entre les deux équations, on obtient:
( )
bh
M
d
d
Nu '
3571
,
0 2
1
−
−
+
=
σ
ψ
FLEXI0N COMPOSÉE-
Etat Limite Ultime
( ) ( ) bc
bh
d
h
M
d
d
N
Si σ
'
5
,
0
'
: 1 −
<
−
−
On a dit que pour qu’une section soit entièrement comprimée, on doit
avoir y ≥h (même avec A2=0)
h
d
bh bc
'
8571
,
0 −
=
σ
ψ
8095
,
0
3
7
0476
,
3
1 2
≥






−
−
=
⇒
≥
h
y
h
y ψ

ce qui nous donne que:
FLEXI0N COMPOSÉE-
Etat Limite Ultime
( )
8095
,
0
'
3571
,
0 2
1
≥
−
−
+
bh
M
d
d
N
bc
u
σ
( ) ( ) bc
bh
d
h
M
d
d
N
Si σ
'
5
,
0
'
: 1 −
<
−
−
Inégalité qui exprime la condition pour qu’une section
rectangulaire soit entièrement comprimée.
(même avec A2=0 on doit avoir y≥h)
⇒
( ) ( ) 1
'
'
81
,
0
337
,
0 M
d
d
N
bh
d
h bc −
−
≤
− σ
8095
,
0
'
8571
,
0
≥
−
h
d
bh bc
σ

Calculons σ1
s: la contrainte des armatures supérieures
h
y
d
y
s
3
'
/
2 00
0
1
−
−
=
ε
FLEXI0N COMPOSÉE-
Etat Limite Ultime
( ) ( ) bc
bh
d
h
M
d
d
N
Si σ
'
5
,
0
'
: 1 −
<
−
−
On a:
Donc en remplaçant y on aura:
h
y
7
3
/
2 00 −
2
3
7
0476
,
3
1






−
−
=
h
y
ψ
ψ
ε −






−
+
= 1
'
019
,
8
437
,
3
2
1
h
d
s
( )
h
d
bh
M
d
d
N
bc
u
'
8571
,
0
'
3571
,
0 2
1
−
−
−
+
=
σ
ψ

(Si ε1
s>εe alors σ1
s=fe/γs et si ε1
s<εe alors σ1
s=E. ε1
s)
ε1
s étant connu, on en déduit σ1
s,
FLEXI0N COMPOSÉE-
Etat Limite Ultime
( ) ( ) bc
bh
d
h
M
d
d
N
Si σ
'
5
,
0
'
: 1 −
<
−
−
(Si ε1
s>εe alors σ1
s=fe/γs et si ε1
s<εe alors σ1
s=E. ε1
s)
1
1
s
bc
bh
N
A
σ
σ
ψ
−
=
La section d’acier supérieure sera:
et:
0
2 =
A

En résumé:
Une section est entièrement comprimée, si Nu est un effort de
compression et si la condition suivante est vérifiée:
1er cas: si
( ) ( ) 1
'
'
81
,
0
337
,
0 M
d
d
N
bh
d
h u
bc −
−
≤
− σ
FLEXI0N COMPOSÉE-
Etat Limite Ultime
1er cas: si
Les section d’acier seront égales à: (A1 armatures sup et A2 inf)
Avec: σ = σ(2‰)
( ) ( ) bc
u bh
d
h
M
d
d
N σ
'
5
,
0
' 1 −
≥
−
−
( )
( )σ
σ
'
5
,
0
1
1
d
d
bh
h
d
M
A bc
−
−
−
=
1
2 A
bh
N
A bc
−
−
=
σ
σ

2ème cas: si
( ) ( ) bc
u bh
d
h
M
d
d
N σ
'
5
,
0
' 1 −
<
−
−
( )
d
bh
M
d
d
N
bc
u
'
'
3571
,
0 2
1
−
−
+
=
σ
ψ
FLEXI0N COMPOSÉE-
Etat Limite Ultime
h
d'
8571
,
0 −
=
ψ
1
1
1
'
019
,
8
437
,
3
2 s
s
h
d
σ
ψ
ε →
−






−
+
=
1
1
s
bc
bh
N
A
σ
σ
ψ
−
= 0
2 =
A
et

FLEXI0N COMPOSÉE- section rectangulaire
Considérons une section entièrement comprimée:
Conditions à remplir
La flexion composée est définie par la valeur de l’effort normal Ns et
par celle du moment Ms rapporté au centre de gravité G de la section
homogène.

Soit ds un petit élément de la section
y la distance du centre de gravité de l’élément ds à l’axe gg’ passant
par le centre de gravité G de la section homogène.
y est considéré positif si l’élément ds se trouve au-dessus de gg’ et
FLEXI0N COMPOSÉE-
y est considéré positif si l’élément ds se trouve au-dessus de gg’ et
négatif dans le cas contraire.
La force interne élémentaire df agissant sur l’élément ds aura pour
valeur:
α: l’angle de ab avec a’b’, posons K=tgα
σ: la contrainte dans l’élément ds σ=GG’+Ky
Kyds
ds
GG
ds
d +
=
= '
f σ

avec:
Les équations d’équilibre:
i
e
i
e M
M
et
N
N =
=
N
N =
FLEXI0N COMPOSÉE-
avec:
et
( ) ∑ ∑
∑ ∑ ∑ +
=
+
=
= yds
K
ds
GG
Kyds
ds
GG
df
Ni '
'
s
e N
N =
Si nous appelons B l’aire de la section homogénéisée:
( )
2
1 '
'
15 A
A
B
ds +
+
=
∑

Σyds représente le moment statique par rapport à gg’ de la section
homogène.
Σ
FLEXI0N COMPOSÉE-
Comme G est le centre de gravité de la section, alors Σyds=0
d’où:
( )
[ ]
2
1 '
'
15
' A
A
B
GG
N
N
N s
i
e +
+
=
⇒
=
( )
2
1 '
'
15
'
A
A
B
N
GG s
+
+
=
⇒

L’équilibre des moments par rapport à G:
G
s
e M
M /
=
∑
∑
∑ +
=
=
= ds
Ky
yds
GG
ydf
M
M i
²
'
FLEXI0N COMPOSÉE-
Or Σyds=0 et Σy2ds représente le moment d’inertie par rapport à
l’axe gg’
∑
∑
∑ +
=
=
= ds
Ky
yds
GG
ydf
M
M G
i ²
'
∑
∑ +
=
⇒ ds
y
K
yds
GG
M i
G ²
'
'
gg
i
G KI
M =
⇒
⇒
=
⇒ '
/ gg
G
S KI
M
'
/
gg
G
S
I
M
K =

/
' G
S
s y
M
N
Ky
GG +
=
+
=
σ
On obtient:
FLEXI0N COMPOSÉE-
( ) '
/
2
1 '
'
15
'
gg
G
S
s
I
y
M
A
A
B
N
Ky
GG +
+
+
=
+
=
σ
Par rapport à la formule de la RDM:
'
gg
I
My
S
N
+
=
σ

FLEXI0N COMPOSÉE-
Considérons la fibre inférieure de la section, soit v2 la distance de
cette fibre à l’axe gg’ (y2=-v2<0 puisque la fibre est au dessous de
gg’), la contrainte σb,2 a pour valeur:
2
/G
S
s v
M
N
−
=
σ
Pour que la section soit entièrement comprimée en ELS, il faut
que σb,2 soit un effort de compression, donc:
( ) '
2
/
2
1
2
,
'
'
15 gg
G
S
s
b
I
v
M
A
A
B
N
−
+
+
=
σ
0
2
, ≥
b
σ
( )
[ ] 2
2
1
'
/
'
'
15 v
A
A
B
I
N
M gg
S
G
S
+
+
≤

En outre l’effort normal Ns doit être un effort de compression.
Par conséquent, pour qu’une section soumise à la flexion composée
soit entièrement comprimée à l’E.L.S., il faut que:
FLEXI0N COMPOSÉE-
soit entièrement comprimée à l’E.L.S., il faut que:
L’effort normal Ns soit un effort de compression,
L’inégalité suivante soit vérifiée:
( )
[ ] 2
2
1
'
/
'
'
15 v
A
A
B
I
N
M gg
S
G
S
+
+
≤
Reste à calculer Igg’ et v2.

Dans une section rectangulaire entièrement comprimée, on a: B=b.h.
La position du centre de gravité de la section homogénéisée (par
rapport à la fibre supérieure de la section) est définie par:
²
bh
FLEXI0N COMPOSÉE-
(Le moment d’inertie par rapport à l’axe gg’)
( )
( ) 1
2
2
1
2
1
1
'
'
15
'
'
'
15
2
²
v
h
v
et
A
A
bh
d
A
d
A
bh
ds
yds
v −
=
+
+
+
+
=
=
∑
∑
( ) ( ) ( )
[ ]
2
1
2
2
1
1
3
2
3
1
' '
'
'
15
3
v
d
A
d
v
A
v
v
b
Igg −
+
−
+
+
=

Or au début de calcul des armatures, les sections d’acier ne sont pas
connues, on se contente généralement de considérer la condition
approchée en négligeant ces armatures.
Si on néglige les armatures: h
bh3
FLEXI0N COMPOSÉE-
Si on néglige les armatures:
Mais il ne faut oublier que cette inégalité ne représente qu’une
condition approchée, donc, on ne sera certain que la section est
entièrement comprimée que si Ms/G/Ns est sensiblement
inférieur à h/6 (sans oublier de revérifier par la suite).
bh
B
et
h
v
bh
Igg =
=
=
2
,
12
2
3
'
6
/ h
N
M
S
G
S
≤

FLEXI0N COMPOSÉE-
Nous supposons que: h-d = d’ = δ1h
Soit : Ma,s: le moment des forces et couples situés à gauche de la
section par rapport au c.d.g. des armatures supérieures.
Ma,i: le moment des forces et couples situés à gauche de la
Calcul des Armatures
Ma,i: le moment des forces et couples situés à gauche de la
section par rapport au c.d.g. des armatures inférieures
σ b,1 et σb,2: respectivement les contrainte de la fibre supérieure et
inférieure de la section de béton,
Avec:
et
( ) ( )
'
2
'
'
2
, d
h
F
d
u
F
M s
b
i
a −
+
−
=
( )
2
2
,
1
, bh
F b
b
b
σ
σ +
=
1
,
1
1
, '
' S
S A
F σ
=

Donc: et
Fb passe par le centre de gravité du trapèze aba’b’:
( )
( )
1
,
2
,
1
3
2 b
b
h
u
σ
σ
σ
σ
+
+
=
( )
( )
1
,
2
,
1
,
2
,
2
3
2
b
b
b
b
h
u
σ
σ
σ
σ
+
+
=
FLEXI0N COMPOSÉE-
( )
1
,
2
,
1
3 b
b
u
σ
σ +
= ( )
1
,
2
,
3 b
b σ
σ +
⇒
= α
tg
K
Or on a:
( )
h
y
K
Ky
b
b
−
=
=
1
2
,
1
1
,
σ
σ ( )
( )
'
15
'
15
1
2
,
1
1
,
d
h
y
K
d
y
K
S
S
+
−
=
−
=
σ
σ
(y1 est la position de l’axe neutre de la section homogénéisée)

En remplaçant K , y1 et d’ en fonction de σb,1, σb,2 et δ1 on aura:
( )
( )
2
,
1
,
1
,
1
1
,
'
15
'
15
σ
σ
σ
σ b
b
b
S
h
d
Kd
Ky 




 −
−
=
−
=
FLEXI0N COMPOSÉE-
( )
[ ]
1
2
,
1
,
1
,
1
, 15 δ
σ
σ
σ
σ b
b
b
S
h
−
−
=
⇒




( )
[ ]
( )
( )
[ ]
1
2
,
1
,
2
,
2
,
2
,
1
,
2
,
1
2
,
15
'
15
'
15
δ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
b
b
b
S
b
b
b
S
h
d
Kd
h
y
K
−
+
=
⇒





 −
+
=
+
−
=

FLEXI0N COMPOSÉE-
( ) ( )
( ) ( ) ( )
'
2
'
'
'
2
'
2
'
'
1
,
1
2
2
,
1
,
,
2
,
d
h
A
d
u
bh
M
d
h
F
d
u
F
M
S
b
b
i
a
s
b
i
a
−
+
−
+
=
⇒
−
+
−
=
σ
σ
σ
On pose:
En remplaçant u2, σ’s,1 et d’ en fonction de σb,1, σb,2 et δ1, on aura:
2
1
,
1
2
, S
i
a
( ) ( )
[ ]
( )
[ ]( ) )
1
(
0
2
1
1
'
15
3
1
3
2
6
²
1
2
,
1
1
,
1
1
2
,
1
1
,
1
,
=
−
+
−
−
−
+
−
−
δ
σ
δ
σ
δ
σ
δ
σ
δ
b
b
b
b
i
a
h
A
bh
M
1
,
2
,
1
1
1
,
,
1
100
'
'
;
²
'
b
b
b
i
a
et
bh
A
bh
M
σ
σ
λ
ρ
σ
µ =
=
=
( )
[ ]
( )
1
2
,
1
,
1
,
1
, 15 δ
σ
σ
σ
σ b
b
b
S −
−
=
( )
( ) 







+
+
=
1
,
2
,
1
,
2
,
2
3
2
b
b
b
b
h
u
σ
σ
σ
σ

FLEXI0N COMPOSÉE-
( ) ( )
3
1
3
2
6
²
)
1
(
1
,
2
,
1
1
,
1
,
1
2
1
,
2
,








−
+
−
−
⇒
σ
σ
δ
σ
σ
δ
σ b
b
b
b
b
i
a
bh
bh
bh
M
1
1
1
,
,
1
100
'
'
²
'
b
i
a
bh
A
bh
M
σ
ρ
σ
µ
=
=
( )
[ ] ( )( ) 0
2
1
1
'
15
,
0
3
1
3
2
6
1
' 1
1
1
1
1
1
1 =
−
+
−
−
−
+
−
−
⇒ δ
λ
δ
δ
ρ
λ
δ
δ
µ
( )
[ ]
( )( )
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
90
,
0
3
1
3
2
'
6
'
δ
λ
δ
δ
λ
δ
δ
µ
ρ
−
+
−
−
+
−
−
=
( ) ( ) 0
2
1
1
'
15 1
1
,
2
,
1
1
,
1
,
1
2
1
1
,
1
,
1
,
=
−








+
−
−




δ
σ
σ
δ
σ
σ
δ
b
b
b
b
b
b
b
bh
h
A 1
,
2
,
b
b
σ
σ
λ =

En remplaçant u , σ’ et d’ en fonction de σ , σ et δ , on aura
Écrivons le moment par rapport aux armatures supérieures:
( ) ( ) 0
'
2
'
1
, =
−
+
−
+ d
h
F
d
u
F
M s
b
s
a
FLEXI0N COMPOSÉE-
En remplaçant u1, σ’s,2 et d’ en fonction de σb,1, σb,2 et δ1, on aura
( ) ( )
[ ]
( )
[ ]( ) 0
2
1
1
'
15
3
1
3
2
6
²
1
1
,
1
2
,
1
2
1
,
1
2
,
1
,
=
−
+
−
+
−
+
−
+
δ
σ
δ
σ
δ
σ
δ
σ
δ
b
b
b
b
s
a
h
A
bh
M
1
,
2
,
2
2
1
,
,
2
100
'
'
;
²
'
b
b
b
s
a
et
bh
A
bh
M
σ
σ
λ
ρ
σ
µ =
=
=
On pose:

De la même façon on obtient:
( )
[ ] ( )
[ ]( ) 0
2
1
1
'
15
,
0
3
1
3
2
1
' 1
1
1
2
1
1
2 =
−
+
−
+
−
+
−
+ δ
δ
λ
δ
ρ
δ
λ
δ
µ
FLEXI0N COMPOSÉE-
( )
[ ] ( )
[ ]( ) 0
2
1
1
'
15
,
0
3
1
3
2
6
' 1
1
1
2
1
1
2 =
−
+
−
+
−
+
−
+ δ
δ
λ
δ
ρ
δ
λ
δ
µ
( )
[ ]
( )
[ ]( )
1
1
1
1
1
2
2
2
1
1
90
,
0
3
1
3
2
'
6
'
δ
δ
λ
δ
δ
λ
δ
µ
ρ
−
+
−
−
+
−
−
−
=
( )
( )( ) 1
2
1
1
2
1
1
2
1
3
2
'
2
1
1
9
,
0
'
2
1
9
,
0
1
'
6
3
δ
ρ
δ
δ
ρ
δ
δ
µ
δ
λ
−
+
−
−
−
−
−
−
=
et:

* Armatures dissymétriques: on se donne A2’ (arm. Inf)
bh
A 2
2
'
100
' =
ρ d'
' =
δ
FLEXI0N COMPOSÉE-
Étant donné que la section est fortement comprimée on prendra:
et
bh
2
' =
ρ
h
'1 =
δ
b
b
b σ
σ
σ =
= max
1
,
b
s
a
b
s
a
bh
M
bh
M
σ
σ
µ
²
²
' ,
1
,
,
2 =
=
b
i
a
b
i
a
bh
M
bh
M
σ
σ
µ
²
²
' ,
1
,
,
1 =
=

( )
( )( ) 1
2
1
1
2
1
1
2
1
3
2
'
2
1
1
9
,
0
'
2
1
9
,
0
1
'
6
3
δ
ρ
δ
δ
ρ
δ
δ
µ
δ
λ
−
+
−
−
−
−
−
−
=
FLEXI0N COMPOSÉE-
( )
[ ]
( )( )
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
90
,
0
3
1
3
2
'
6
'
δ
λ
δ
δ
λ
δ
δ
µ
ρ
−
+
−
−
+
−
−
=
100
'
' 1
1
bh
A ρ
=

FLEXI0N COMPOSÉE-
•Armatures symétriques: dans le cas où le moment peut changer de
signes en conservant la même valeur absolue entre A1 et A2 (le
centre de pression est G): A2’= A1’=A
On a: ( ) A
bh
A
A
B 30
'
'
15 +
=
+
+
On a:
et
( ) A
bh
A
A
B 30
'
'
15 2
1 +
=
+
+
2
;
'
2
15
2
12
1
2
3
'
h
v
d
h
A
bh
Igg =






−
×
+
=
On prend:
b
b σ
σ =
1
,
)
2
(
'
2
30
12
2
30 2
3
/
1
,






−
+
+
+
=
=
⇒
d
h
A
bh
h
M
A
bh
N G
s
b
b σ
σ

Posons:
h
N
M
et
N
bh
h
d
bh
A
s
G
s
b /
1
6
;
'
;
100
=
=
=
= ε
σ
υ
δ
ρ
FLEXI0N COMPOSÉE-
Soit :
s
s
( )2
1
2
1
9
,
0
1
30
,
0
1
1
)
2
(
δ
ρ
ε
ρ
υ
−
+
+
+
=
⇒
( ) ( )( )
[ ]
( ) 0
1
2
1
1
3
30
,
0
2
1
27
,
0
2
1
2
2
1
=
−
+
−
−
−
+
−
+
−
υ
ε
ρ
δ
υ
ε
υ
ρ
δ
υ

FLEXI0N COMPOSÉE-
On prend:
( )2
1
2
1
27
,
0 δ
υ −
=
C
( )( )
[ ]
2
1
2
1
1
3
15
,
0 δ
υ
ε
υ −
−
+
−
=
D
L’équation devient:
La racine positive:
[ ]
1
υ
ε −
+
=1
E
0
2
2
=
−
+ E
D
C ρ
ρ
C
EC
D
D +
+
−
=
2
ρ
100
bh
A
ρ
=

On calcule:
On déduit:
En résumé:
h
d
h
N
M
N
bh
s
G
s
b '
;
6
; 1 =
=
= δ
ε
σ
υ
( ) ( )( )
[ ]
2
2
2
1
1
3
15
,
0
;
2
1
27
,
0 δ
υ
ε
υ
δ
υ −
−
+
−
=
−
= D
C
FLEXI0N COMPOSÉE-
On a:
Et enfin:
( ) ( )( )
[ ]
2
1
2
1 2
1
1
3
15
,
0
;
2
1
27
,
0 δ
υ
ε
υ
δ
υ −
−
+
−
=
−
= D
C
υ
ε −
+
=1
E
C
EC
D
D +
+
−
=
2
ρ
100
bh
A
ρ
=

On a: ( )
2
1
0 '
'
15 A
A
bh
B +
+
=

bh2
1
FLEXI0N COMPOSÉE-
et
On déduit:
( )





+
+
= d
A
d
A
bh
B
v 2
1
2
0
1 '
'
'
15
2
1
1
2 v
h
v −
=
( ) ( ) ( )
[ ]
2
1
2
2
1
1
3
2
3
1
' '
'
'
15
3
v
d
A
d
v
A
v
v
b
Igg −
+
−
+
+
=

Donc :
On a:
'
0
0 '
gg
G
I
M
K
et
B
N
GG =
=
=
σ
1
0
1
, Kv
b +
= σ
σ
FLEXI0N COMPOSÉE-
1
0
1
, Kv
b +
= σ
σ
2
0
2
, Kv
b −
= σ
σ
( )
[ ]
'
15 1
0
1
, d
v
K
S −
+
= σ
σ
( )
[ ]
1
0
2
, 15 v
d
K
S −
−
= σ
σ

Une section soumise à la flexion composée est partiellement
comprimée si:
Elle est soumise à un effort normal de traction et le centre de
traction est situé en dehors de la zone limitée par les
Section partiellement comprimée
Etat Limite Ultime
armatures
Ou bien:
Elle est soumise à un effort normal de compression et si:
Avec M1: le moment externe calculé par rapport au
c.d.g. des armatures inférieures.
( ) ( ) 1
'
'
81
,
0
337
,
0 M
d
d
N
bh
d
h u
bc −
−
>
− σ

Etat Limite Ultime

On calcule le moment par rapport aux armatures inférieures:
Supposons que Asc=0
FLEXI0N COMPOSÉE-
Etat Limite Ultime
Armatures simples
On calcule le moment par rapport aux armatures inférieures:
M1 = Nu.ea = Fbc.Z
Avec:
et Z = d – 0,4y
Fbc=0,8.b.y.σbc
M1=0,8.b.y.σbc(d-0,4y)=0,8.b.α.d2.σbc(1-0,4α)

R
bc
bd
M
µ
σ
µ ≤
= 2
1 Pivot A ou pivot B sans
FLEXI0N COMPOSÉE-
Etat Limite Ultime
Armatures simples
On calcule:
et
Équilibre des efforts:
Nu=Fbc-Astσst avec M1=Fbc.Z
s
e
u
st
f
N
Z
M
A
γ
1
)
( 1
−
=
bc
bd σ armatures comprimées
)
2
1
1
(
25
,
1 µ
α −
−
= Z = d-0,4y = d(1-0,4α)
M1:le moment par rapport aux armatures inférieures
Avec:

On a:
et
si: µ>µR pivot B avec armatures comprimées
MR = µRbd2σbc
ZR = d(1-0,4αR)
ε
ε −
−
+
FLEXI0N COMPOSÉE-
Etat Limite Ultime
Armatures doubles
sc
e
e
sc
e
e
sc
d
d
d
d
d
d
σ
ε
ε
ε
ε
ε
ε
→
−
−
+
=
⇒
−
=
+
+ −
−
'
)
10
.
5
,
3
(
'
10
.
5
,
3
3
3
)
'
(
)
'
(
)
4
,
0
1
(
8
,
0
)
'
(
)
4
,
0
1
(
8
,
0
)
'
(
.
8
,
0
)
'
(
.
2
1
2
1
1
1
d
d
A
bd
M
d
d
A
bd
M
d
d
A
bd
d
M
d
d
A
Z
b
y
d
d
A
Z
F
M
sc
sc
bc
R
sc
sc
bc
R
R
sc
sc
R
bc
R
sc
sc
R
bc
R
sc
sc
R
bc
−
+
=
−
+
−
=
−
+
−
=
−
+
=
−
+
=
σ
σ
µ
σ
σ
α
α
σ
α
σ
α
σ
σ
σ
Équilibre des moments par rapport aux armatures inférieures:

Équilibre des forces :
)
'
(
1 d
d
A
M
M sc
sc
R −
+
= σ
sc
R
sc
d
d
M
M
A
σ
)
'
(
1
−
−
=
R
e
N
A
M
f
A
A
A
F
N −
+
=
⇒
−
+
= σ
σ
σ
FLEXI0N COMPOSÉE-
Etat Limite Ultime
Armatures doubles
Dans le cas où Ast calculée est négative, cette section sera prise à la
section minimale Amin=0,23bdft28/fe (condition de non fragilité)
u
sc
sc
R
R
s
e
st
st
st
sc
sc
bc
u N
A
Z
M
f
A
A
A
F
N −
+
=
⇒
−
+
= σ
γ
σ
σ
s
e
u
R
R
R
st
f
N
Z
M
d
d
M
M
A
γ
1
'
1






−
+
−
−
=
N<0 pour la traction et N>0 pour la compression

Une section est partiellement comprimée si:
L’effort normal est un effort de traction et le
centre de traction se trouve en dehors de la zone
comprise entre les armatures
comprise entre les armatures
Ou bien:
L’effort normal est un effort de compression et si
en 1ère approximation:
6
/ h
N
M
S
G
S
>

Armatures simples
En premier lieu on ne prévoit pas d’armatures comprimées:
On a: avec :
0
3
1
1 =






−
−
y
d
F
M b
S b
b by
F σ
1
2
1
=

On a:
donc:
FLEXI0N COMPOSÉE-
( )
1
1
1
1
1
1
1
15
3
1
;
α
α
σ
σ
α
β
α
−
=
=
−
=
=
s
b
k
et
d
y
0
1
2
1
1 =
− β
σ
α s
S
k
d
b
M
Armatures simples
On pose:
)
min
sec
:
( aciers
des
tion
la
avoir
pour
prend
on s
s σ
σ =
0
2
1
1
1 =
− β
α
S d
b
M
2
1
1
2
1
1
β
α
σ
µ
k
bd
M
s
S
=
= 1
α
⇒
tableaux
( )
1
1
1
15 α
σ
α
σ
−
= s
b
( )
⇒
−
=
1
1
15 y
d
y
s
b
σ
σ

Pas d’armatures comprimées
Si: b
b σ
σ <
FLEXI0N COMPOSÉE-
Armatures simples
Donc:
s
st
b
s
b
s A
by
F
F
N σ
σ −
=
−
= 1
2
1
s
s
b
st
N
d
b
A
σ
σ
α −
=
1
2
1
avec: N<0 pour la traction et N>0 pour la compression

Prévoir des armatures comprimées Asc
Si: b
b σ
σ >
FLEXI0N COMPOSÉE-
Armatures doubles
On calcule:
On déduit:
Ainsi que:
s
s
b
b et
prend
on σ
σ
σ
σ =
=
s
b
b
σ
σ
σ
α
+
=
15
15
1 d
y 1
1 α
=
( )
b
s
y
d
y
σ
σ
1
1 '
15
'
−
=

Le moment par rapport aux armatures inférieures:
)
'
(
'
)
3
(
)
'
(
'
)
3
( 1
1
1 d
d
A
y
d
F
d
d
F
y
d
F
M s
sc
b
s
b −
+
−
=
−
+
−
= σ
FLEXI0N COMPOSÉE-
Armatures doubles
Les armatures comprimées:
3
3
s
b
sc
d
d
y
d
F
M
A
'
)
'
(
)
3
( 1
1
σ
−
−
−
=
1
1
1
1
'
'
)
'
(
)
3
(
2
1
A
d
d
y
d
by
M
A
s
b
sc =
−
−
−
=
σ
σ
M1: le moment par rapport aux armatures inférieures.
avec:

s
st
s
s
b
s A
A
F
N σ
σ −
+
= '
'
FLEXI0N COMPOSÉE-
Armatures doubles
Les armatures tendues:
s
st
s
s
b
s A
A
F
N σ
σ −
+
= '
'
s
s
s
sc
b
st
N
A
F
A
σ
σ −
+
=
'
2
1
'
'
2
1
A
N
A
by
A
s
s
s
sc
b
st =
−
+
=
σ
σ
σ

Position de l’axe neutre:
yc: distance de l’axe neutre/au centre de pression C; compté positive
avec un effort de compression et négative en traction.
ea: distance du centre de pression C aux armatures tendues
FLEXI0N COMPOSÉE-
ea: distance du centre de pression C aux armatures tendues
C: distance du centre de pression C à la fibre la plus comprimée.
C= d-ea;
pour la compression Ns>0.
pour la traction Ns<0.
•Si Ns<0; C>0 ∀(C)
•Si Ns>0; C<0 si ea>d. ((C) à l’extérieur de la section)
C>0 si ea<d. ((C) à l’intérieur de la section)

On a: yser est la distance entre l’axe
Neutre et la fibre la plus comprimée,
donc: yser=yc+C
FLEXI0N COMPOSÉE-
donc: yser=yc+C
Aussi on a le moment Ms par rapport au
CDG de la section rectangulaire :
Ms=Ns.hg=Ns[ea-(d-h/2)]
donc: )
2
(
h
d
N
M
e
s
s
a −
+
=

En écrivant le bilan des efforts appliqués à la section, on montre que
yc est solution de:
yc
3+ρyc+q=0
FLEXI0N COMPOSÉE-
Avec:
Et
yc +ρyc+q=0
( ) ( )
c
d
b
A
b
A
d
c
c −
+
−
−
−
=
90
'
90
'
3 2
ρ
( ) ( )2
2
3 90
'
'
90
2 c
d
b
A
d
c
b
A
c
q −
−
−
−
−
=
La solution de l’équation est obtenue par:








+
=
∆
27
4 3
2 ρ
q

Si: <0 , calculer: ϕ
ρ
ρ
ϕ →
−
= 3
2
3
cos
q
ρ
−
FLEXI0N COMPOSÉE-
Choisir la solution qui convient parmi les 3 solutions (yc):
3
2 ρ
−
=
→ a






=
3
cos
1
ϕ
a
y





 °
+
= 120
3
cos
2
ϕ
a
y





 °
+
= 240
3
cos
3
ϕ
a
y

On pose:
Si: >0 :
FLEXI0N COMPOSÉE-
On pose:
Et on aura:
( )
q
t −
∆
= 5
,
0 3
1
t
z =
z
z
yc
3
ρ
−
=

On a:
(yser=yc+C)
( ) ( )
[ ]
2
2
3
'
'
15
3
d
y
A
y
d
A
by
I ser
ser
ser
−
+
−
+
=
FLEXI0N COMPOSÉE-
On pose:
Alors:
et
avec:
(yser=yc+C)
3
S
N
K = ( ) ( )
[ ]
ser
ser
ser
y
d
A
d
y
A
by
S −
−
−
+
= '
'
15
2
b
ser
b Ky σ
σ ≤
= ( ) s
ser
s y
d
K σ
σ ≤
−
=15

Compression simple-calcul des poteaux
Définition de la compression simple
ou compression centrée
Un poteau est en compression simple si le centre de
gravité des armatures longitudinales coïncident avec celui
de la pièce et avec le point d’application de l’effort
normal de compression.
Il n’y a donc pas théoriquement de moment fléchissant
qui pourrait être engendré soit par excentrement de
l’effort normal, soit par une autre action (vent, poussée
des terres, …).
Dans le cas contraire, la pièce travaille en compression et
en flexion, il s’agit alors de la flexion composée.

Dans la réalité, les poteaux sollicités en compression centrée
n'existent pas. En effet, en toute rigueur la transmission des efforts
poutre-poteau ne se fait jamais parfaitement à l'axe du poteau.
De plus, la réalisation du poteau implique des défauts : mauvaise
disposition des armatures, défauts localisés (nids de gravier, non
rectitude des poteaux…).

Néanmoins on considérera le poteau en compression centrée si:
1. le moment en tête de poteau (encastrement des poutres)
n'entraîne qu'une faible excentricité telle que:

2. La qualité de l’exécution doit être telle que l’imperfection de
rectitude des poteaux puisse être estimée au plus égale à :


≤
1
;
1 cm
Max
e
l: la longueur du poteau
3. L'élancement est limité à λ ≤ 70 (voir plus loin)






≤
500
1
;
1 cm
Max
e

EVALUATION DES CHARGES VERTICALES
Les charges verticales agissants sur les poteaux peuvent être
évaluées par application de la loi de dégression de charges
variables dans les bâtiments à étages (à voir plus tard) et en
admettant la discontinuité des différents éléments de planchers.

Toutefois dans les bâtiments comportant des travées solidaires
supportées par deux files de poteaux de rive et une ou plusieurs files
de poteaux centraux, à défaut de calcul plus précis, les charges
évaluées en admettant la discontinuité des travées doivent être
évaluées en admettant la discontinuité des travées doivent être
majorées:
-de 15% pour les poteaux centraux dans le cas des bâtiments à 2
travées.
- de 10% pour les poteaux intermédiaires voisins des poteaux de
rive dans le cas des bâtiments comportant au moins trois rives.

COMBINAISONS D'ACTIONS A CONSIDERER
Les combinaisons d’actions sont celles définies pour l’E.L.U.
Dans les cas les plus courants, l’unique combinaison d’actions à
QB: représente l’action des charges d’exploitation évaluée au niveau
considéré (en faisant application de la loi de dégression dans les
bâtiments à plusieurs étages, cf. plus tard).
Dans les cas les plus courants, l’unique combinaison d’actions à
considérer est:
1,35 G+1,5 QB

La longueur de flambement (Lf)
La longueur de flambement lf est évaluée en fonction de la longueur
libre l0 des pièces et de leurs liaisons effectives.
Longueur libre l0
La longueur libre l0 d’un poteau
appartenant à un bâtiment à étages
multiples est compté entre faces
supérieures de 2 planchers consécutifs
ou de sa jonction avec la fondation à la
face supérieure du premier plancher.

Cas des poteaux isolés
• Lf = 2L0 si le poteau est libre à une extrémité et encastré à l’autre.

•Lf = L0 si le poteau est articulé aux deux extrémités ou bien
encastré aux deux extrémités qui peuvent se déplacer l’une par
rapport à l’autre suivant une direction perpendiculaire à l’axe
longitudinal du poteau.
longitudinal du poteau.

si le poteau est articulé à une extrémité et encastré à
l’autre
l’autre

•Lf = L0/2 si le poteau est encastré aux deux extrémités avec nœuds
fixes.

Cas des poteaux dans des bâtiments à étages multiples
•Lf = 0,7 L0 si le poteau est encastré dans un massif de fondation ou
bien assemblé à des poutres de plancher le traversant
de part en part, et ayant au moins la même raideur (E.I)
que lui dans le sens considéré.
•Lf=L0 dans les autres cas ( ex: poteaux de rive ou d’angle)

Cas des poteaux dans des bâtiments à étages multiples

L'élancement de λ
avec imin: rayon de giration minimal
min
i
Lf
=
λ
avec imin: rayon de giration minimal
Définition du rayon de giration:
Avec Ixx le moment d’inertie suivant l’axe xx et B la section du poteau
B
I
i xx
xx =

Section rectangulaire
L'élancement de λ
Pour une section carrée

Section circulaire
L'élancement de λ

Détermination de la capacité portante
La justification des poteaux n'est réalisée qu'aux E.L.U.
On doit vérifier:

 f
f
B .
A : section des armatures longitudinales prises en compte dans le calcul
γb = 1,5
γ s = 1,15






+
=
≤
s
e
b
c
r
u
u
f
A
f
B
N
N
γ
γ
α
9
,
0
. 28
lim

Br est la section réduite du poteau. Elle est obtenue en déduisant 1cm
aux dimensions réelles de la section sur sa périphérie:

α: coefficient fonction de l’élancement mécanique λ






+
=
≤
s
e
b
c
r
u
u
f
A
f
B
N
N
γ
γ
α
9
,
0
. 28
lim
i
Lf
=
λ
α: coefficient fonction de l’élancement mécanique λ
Si λ>70, on n’est plus dans le cas d’une compression centrée.
min
i

Chapitre X : Compression simple-calcul des poteaux






+
=
≤
s
e
b
c
r
u
u
f
A
f
B
N
N
γ
γ
α
9
,
0
. 28
lim
•Si au moins la moitié de la charge est appliquée avant 90
jours α sera divisé par 1,1 α/1,1
•Si la majorité de la charge est appliquée avant 28 jours,
on prend la contrainte du béton fcj au lieu de fc28 et en
même temps α sera divisé par 1,2 α/1,2

On a:






+
=
≤
s
e
b
c
r
u
u
f
A
f
B
N
N
γ
γ
α
9
,
0
. 28
lim
e
s
b
c
r
u
sc
f
f
B
N
A
γ
γ
α
.
9
,
0
. 28








−
≥

•Si λ > 35 : Asc représente l'aire des armatures qui augmente
efficacement la rigidité dans le sens où le moment d'inertie est le
plus faible:
•Si λ ≤ 35 : Asc représente l'aire de toute les armatures longitudinales
à disposer sur tout le périmètre de la section considérée.
Dans les poteaux carrés, il s’agit des aciers disposés dans les angles.
Dans les poteaux rectangulaires dont le rapport
des côtés est compris entre 0,9 et 1,1, on applique
la règle des poteaux carrés.
Dans les autres poteaux rectangulaires, il s’agit des aciers disposés
le long des grands côtés de la section.

Pourcentage d'armatures minimal
La section minimale d’acier à disposer est telle que:
Ascmin = 0,2 % de la section du béton avec ∅min = 12 mm
Ascmin = 0,2 % de la section du béton avec ∅min = 12 mm
Ascmin =4cm2/m de longueur de paroi (périmètre)
avec ∅min = 12 mm





= 100
2
,
0
/
4
min 2
B
paroi
de
longueur
de
m
cm
sc Max
A

De même, la section calculée doit rester inférieure à une section
maximale d’acier telle que:
Pourcentage d'armatures maximal
Ascmax = 5% de la section totale
100
5
²
4
100
2
,
0
B
A
paroi
de
longueur
de
m
cm
B
Max sc ≤
≤











Récapitulatif:
1- A < A calculée < Ascmax ⇒ On ferraille avec Asc
⇒
Alors pour les armatures longitudinales nous avons trois cas :
1- Ascmin < Asc calculée < Ascmax ⇒ On ferraille avec Asc
calculée.
2- Asc calculée < Ascmin ⇒ On ferraille avec Ascmin
avec ∅min = 12 mm.
3- Asc calculée > Ascmax ⇒ On augmente la section du béton B et
on recalcule un nouveau Asc.
e
s
b
c
r
u
sc
f
f
B
N
A
γ
γ
α
.
9
,
0
. 28








−
≥

Armatures transversales
Elles n'ont aucun rôle de résistance, le rôle principale c'est
d'empêcher le flambement des armatures longitudinales.
Diamètre Ф :
Diamètre Фt :
L'espacement entre deux cadres St:
a est la plus petite dimension de la pièce

Les armatures transversales doivent être perpendiculaires aux
armatures longitudinales et en zone de recouvrement, le nombre
d'armatures transversales doit être supérieur ou égal à 3.
Les armatures transversales doivent former une ceinture continue
Les armatures transversales doivent former une ceinture continue
sur le pourtour du poteau.
Il faut maintenir par des étriers et des épingles les aciers situés en
dehors des angles si leur Ф est supérieur à 20 mm ou s'ils ont été pris
en compte dans les calculs.

pour la zone de recouvrement, la longueur de recouvrement lr
doit être supérieure à 50Фmax(on prend normalement lr = 50Фmax).
Section circulaire :
Section circulaire :
Section polygonale :

Prédimensionnement des poteaux rectangulaires
Pour une section rectangulaire : 0<λ<70 on prend : λ=35
On a:
d’où:

Prédimensionnement des poteaux rectangulaires

L'effort tranchant
Généralités

Généralités
•Les poutres soumises à I' effort tranchant sont justifiées
vis à vis de I'E.L.U.
•l'effort tranchant est équilibré par les armatures
L'effort tranchant
•l'effort tranchant est équilibré par les armatures
transversales.
•La justification d'une section soumise à l’effort tranchant
concerne les armatures transversales d'âmes et la
contrainte du béton.

Effort tranchant pour une section en Té
On considère que seul l'âme résiste à l'effort tranchant:
Généralités
L'effort tranchant

Contrainte tangentielle conventionnelle
L'effort tranchant fait glisser les plans les uns par rapport aux
autres, les plans perpendiculaires et les plans parallèles:
L'effort tranchant
La contrainte tangente (contrainte de cisaillement) dans la section
où se produit l'effort tranchant sera donnée par l'équation suivante :
T : l'effort tranchant.
S : Moment statique de la section.
b : la largeur de la section.
I : le moment d'inertie de la section.
avec:
I
b
S
T
.
.
=
τ

Cependant, le règlement admet par simplification le principe de la
contrainte tangente conventionnelle prise égale à:
Contrainte tangentielle conventionnelle
L'effort tranchant
Vu
u =
τ
Avec:
Vu: la valeur de calcul de l’effort tranchant déterminé à partir de la
combinaison de calcul à l’E.L.U.
b0: la largeur de l’âme de la poutre, si cette largeur est variable, on
prendra la plus petite valeur
d: la hauteur utile de la pièce.
d
b
u
0
=
τ

Nécessité d'armatures transversales
Le béton par sa faible résistance à la
traction ne peut équilibrer les contraintes
de traction engendrées par l'effort
tranchant. Il est donc nécessaire de
renforcer cette insuffisance par des
L'effort tranchant
renforcer cette insuffisance par des
armatures qui vont coudre ces fissures.
Leur disposition logique sera:

Parce que leur efficacité reste la même et pour faciliter l'exécution;
les armatures sont souvent disposées suivant le 2ème cas.
On notera le ferraillage comme suit:
At = n . ∅
∅
∅
∅
avec :
A : La quantité d'acier d'armature.
Nécessité d'armatures transversales
L'effort tranchant
∅
∅
∅
∅
At : La quantité d'acier d'armature.
n : le nombre de brin.
∅ = le diamètre du brin en général ∅6 ou ∅8.
Nous avons :
At = 4 ∅
∅
∅
∅8
Exemple:
Exemple:

Justification des poutres sous sollicitations tangentes
Justification du béton
Si la section droite de la pièce est entièrement comprimée, et si la
contrainte vérifie la relation:
L'effort tranchant






≤ MPa
fcj
5
,
1
;
06
,
0
min
τ
On doit appliquer les règles relatives aux poteaux.
Dans le cas contraire, on doit vérifier la relation:
(contrainte tangente ultime limite
indiquée ci-après)










≤ MPa
f
b
cj
u 5
,
1
;
06
,
0
min
γ
τ
u
u τ
τ ≤

•Cas d'armatures droites :
pour une fissuration peu préjudiciable.
L'effort tranchant
pour une fissuration peu préjudiciable.
pour une fissuration préjudiciable ou très préjudiciable










≤ MPa
f
b
c
u 5
;
2
,
0
min 28
γ
τ










≤ MPa
f
b
c
u 4
;
15
,
0
min 28
γ
τ

•Cas d'armatures inclinées :
L'effort tranchant



 f
27
,
0
quelle que soit la fissuration










≤ MPa
f
b
c
u 7
;
27
,
0
min 28
γ
τ
Si: τu>τulimite On doit augmenter les dimensions de la section.

Justification des Aciers
La section At des armatures d'âmes est donnée par :
L'effort tranchant
( )
τ
γ 3
,
0
−
≥
tj
u
s
t
K
f
A
Avec:
b0: largeur de la poutre.
St: espacement de 2 cours successifs.
α: angle d’inclinaison des armatures avec l’axe de la poutre
(Si on utilise des cadres droits ⇒ sin α + cos α = 1.)
( )
( )
α
α
τ
γ
sin
cos
9
,
0
3
,
0
0 +
−
≥
e
tj
u
s
t
t
f
K
f
S
b
A

Justification des Aciers
K=0 : en cas de reprise de bétonnage ou lorsque la
fissuration est très préjudiciable
K=1 : dans les autres cas en flexion simple.
L'effort tranchant
K=1+3σcm/fc28: dans les autres cas en flexion composée avec
compression avec σcm est la contrainte moyenne
du béton calculée sur la section totale supposée
non armée.
K=1-10σtm/fc28: dans les autres cas en flexion composée avec
traction avec σtm est la contrainte moyenne de
traction du béton calculée sur la section supposée
non armée.

Conditions complémentaires
Espacement St des cours d’armature
L'effort tranchant
St ≤ min [0,9d ; 40 cm]
Section minimale d’armature transversale
MPa
S
b
f
A
t
e
t
4
,
0
.
.
≥

Dimension des armatures transversales
∅ ∅
Conditions complémentaires
L'effort tranchant
∅t ≤ min [h/35 ; ∅l ; b/10]
∅t : diamètre des armatures transversales
∅l : diamètre des armatures longitudinales
h : hauteur totale de la poutre
b : largeur de la poutre

Calcul des dalles à l'effort tranchant
La contrainte tangente conventionnelle τu est définie comme pour
les poutres.
Il n’est pas nécessaire de prévoir une armature transversale d’effort
tranchant pour les dalles dans les cas suivants:
L'effort tranchant
tranchant pour les dalles dans les cas suivants:
La dalle est bétonnée sans reprise de bétonnage sur toute son
épaisseur et la contrainte tangente τu vérifie: τu <0,05fc28
Ou bien:
La dalle comporte une reprise de bétonnage et les conditions
de la non application de la règle de couture sont respectées.

Dans les autres cas, on dispose des armatures transversales calculées
suivant les règles relatives aux poutres en limitant les contraintes
tangentes limites τu à celles des poutres multipliées par le coefficient
suivant:
L'effort tranchant
suivant:
10h/3 si 0,15<h<0,30m
1 si h≥30 cm
où h est la hauteur totale de la dalle.
Aucune règle n’est donnée pour h≤15 cm, étant donné que les
éléments minces ne comportent usuellement pas d’armatures
d’efforts tranchant.

Règle de couture
La « règle de couture » relative à l’E.L.U. doit être appliquée à tous
les plans sur lesquels s’exerce un effort tangent et en particulier en
présence de surfaces de reprise.
Cependant il est admis de ne pas appliquer la règle de couture aux
L'effort tranchant
Cependant il est admis de ne pas appliquer la règle de couture aux
surfaces de reprise des pièces peu sollicitées lorsque toutes les
conditions suivantes sont satisfaites:
•La contrainte tangente ultime n’excède pas 0,35 MPa.
•Les charges sont uniformes et ne provoquent pas d’effet
dynamique.
•La contrainte normale éventuelle est une compression.
•La surface de reprise est traitée afin d’obtenir une rugosité
importante.

Règle de couture
Les armatures de couture doivent être convenablement ancrées de
part et d’autres de ces plans avec un angle α compris entre 45° et 90°
et doivent satisfaire la condition suivante:
L'effort tranchant
( ) u
u
s
t
e
t
S
b
f
A
σ
τ
α
α
γ
−
≥
+ sin
cos
0
Avec
τu: contrainte de cisaillement
réelle et non conventionnelle.
σu: contrainte normale
concomitante avec τu,
comptée positive pour la
compression et négative pour
la traction.
s
t
S
b γ
0

CALCUL PRATIQUE
Le calcul est mené à partir de l’appui, où se situent les efforts
tranchants maximaux.
Données :
- Les dimensions de la poutre
L'effort tranchant
- Les dimensions de la poutre
- L’effort tranchant Vu
Calcul de τu :
τu = Vu/bd
Nous vérifions si τu ≤ τu limite définie auparavant.
Si cette condition n’est pas vérifiée, il faut augmenter la largeur de la
poutre.

Choix d’une section transversale At
Le choix de la section transversale définit l’écartement st :
CALCUL PRATIQUE
L'effort tranchant
A
f .
.
9
,
0
Vérification des conditions complémentaires
( )
tj
u
s
t
e
t
f
K
b
A
f
S
.
3
,
0
.
.
.
9
,
0
−
≤
τ
γ

Position du premier cadre
Le premier cours d’armatures transversales est disposé à St/2 du nu
de l’appui.
CALCUL PRATIQUE
L'effort tranchant

Répartition des cadres
On a la formule donnant St:
CALCUL PRATIQUE
L'effort tranchant
A
f .
.
9
,
0
Mais la méthode la plus fréquemment employée si la poutre est de
hauteur constante et les charges uniformément réparties est la
méthode forfaitaire de CAQUOT.
( )
tj
u
s
t
e
t
f
K
b
A
f
S
.
3
,
0
.
.
.
9
,
0
−
≤
τ
γ

Méthode forfaitaire de Caquot
Cette méthode est applicable qu'aux poutres de section constante et
soumises à des charges uniformément réparties.
1°- On calcule St0
2°- On prendra l'espacement immédiatement inférieur à St0 dans la
série de Caquot suivante : 7-8-9-10-11-13-16-20-25-35-40.
CALCUL PRATIQUE
L'effort tranchant
série de Caquot suivante : 7-8-9-10-11-13-16-20-25-35-40.
On choisit les espacements successivement qu'on respectera autant
de fois en nombre entier compris dans la demi porté de la poutre ou
la porté d'une console.
Exemple : St = 9,68 cm →de la série on prend St = 9 cm
l/2 = 3,7 m → on place 4 espacements, par
exemple: 4x9, 4x10, 4x11, etc…
3°- Les cadres sont disposés symétriquement par rapport au milieu
de la poutre.

Actions et Descente de Charges
Les différentes étapes d'un projet de béton armé sont les suivantes:
1. Analyse de la structure, modélisation
2. Détermination des actions ou bilan des charges
Généralités
3. Descente de charges et combinaisons d'actions
4. Sollicitations (N, V et M)
5. Dimensionnement
6. Plans de coffrage et plans de ferraillage

On appelle « descente de charges » l’opération qui consiste à
calculer, pour tous les éléments porteurs de la construction, les
charges qu’ils supportent au niveau de chaque étage jusque sur la
fondation.
Généralités
Ainsi, la descente de charges a pour but l’évaluation des actions
de pesanteur permanentes et variables permettant le calcul:
Des poteaux ou des appuis.
De leurs fondations.
Pour cela, il faut donc d’abord considérer la nature et
l’importance des forces agissant sur les bâtiments.

On distingue:
Les actions permanentes: poids des éléments et ouvrages
Les actions variables:
•Charges d’exploitation
•Charges climatiques (règles Neige et Vent: NV)
•Températures et retrait
Généralités
•Températures et retrait
Les actions accidentelles: séismes (règles parasismiques) et
incendies
Les charges à prendre en compte dans les calculs sont les charges
« caractéristiques ». Elles sont égales aux charges « nominales », à
l’exception des charges de vent normal des règles NV 65 qui sont
à majorer de 20% en ELU.

Les charges permanentes sont obtenues à partir des dimensions
géométriques des éléments et des ouvrages, déduites des plans de
coffrage et du poids volumique des matériaux les constituant.
Charges permanentes
La norme propose à titre de renseignement, des valeurs de charges
permanentes dues aux forces de pesanteur de quelques matériaux
de construction et des éléments constitutifs d’une construction tels
que maçonnerie, enduits, planchers, revêtements, etc.
Valeurs réglementaires:

Cloisons de distribution
Charges permanentes
• Elles sont assimilables à une charge répartie de 1 KN/m2 pour les
cloisons légères de poids inférieur à 2,50 KN/m ( cas des
bâtiments à usage d’habitation ou de bureaux). La valeur de la
bâtiments à usage d’habitation ou de bureaux). La valeur de la
charge est ramenée à 0,40 KN/m2 pour les cloisons très légères,
dont le poids linéique est inférieur à 1 KN/m.
• Dans les autres cas, les cloisons sont à compter telles que
prévues sur les plans ou telles que définies dans les documents
particuliers du marché (DPM).

Etanchéité
À titre d’exemple, l’étanchéité peut se composer de :
- Une forme de pente: 7 à 8 cm d’épaisseur, avec une charge
volumique de 2100 à 2200 kg/m3
-Un complexe étanche: 3 feutres bitumineux, avec une charge
surfacique de 8 à 10 kg/m2
Charges permanentes
surfacique de 8 à 10 kg/m2
-Une protection lourde: dallots en béton de 4 cm d’épaisseur, avec une
charge volumique de 2400 kg/m3

A titre de
renseignements,
nous donnons les
valeurs de
charges
charges
permanentes
extraites
de la norme NF
P 06-004

Planchers

Actions variables
Les actions variables sont généralement définies par les pièces du
marché en fonction de l’utilisation future des locaux. On est
appelé à faire attention aux changements de destination des
locaux durant la phase d’exploitation.
Charges d’exploitation
Les charges d’exploitation sont appliquées sur les planchers, leurs
valeurs sont fonction :
-Des surfaces auxquelles elles sont appliquées
-Des dégressions horizontales ou verticales retenues, liées aux
types et caractères des charges en cause
-De leur mode de prise en compte, etc.

Les valeurs de ces charges sont définies par la norme française NF
P06-001 en fonction de la nature des locaux et en fonction du type
d’utilisation.
Actions variables
Pour une surface de moins 1m2, c’est la valeur de la charge répartie
sur un mètre carré qui est à prendre en compte à moins qu’une
charge concentrée ne soit plus défavorable.

Charges d’exploitation en fonction de la nature des locaux
Actions variables

Actions variables
Charges d’exploitation en fonction de la nature des locaux

Actions variables
Charges d’exploitation en fonction du type d’utilisation

Prise en compte des charges d’exploitation
Dégression horizontale des charges d’exploitation
Dans certains cas, la valeur de base est susceptible d'un coefficient de
dégression horizontal (réduction pour grandes surfaces ou majoration
pour faibles surfaces). Ainsi, la norme NFP06-001 permet une
dégression de 1 à 0,8 des charges pour les locaux de 15 à 50 m2 et une
augmentation éventuelle pour des locaux de 0 à 15 m2.
augmentation éventuelle pour des locaux de 0 à 15 m2.

Dégression verticale des charges d’exploitation
Pour le bâtiment à étages, il n’est pas à prévoir que les surcharges
soient appliquées simultanément avec l’intensité maximale.
Ainsi, cette loi de dégression ne s’applique qu’aux charges
d’exploitation, et aux bâtiments à grand nombre de niveaux
(normalement comportant plus de cinq étages) où les occupations
peuvent être considérées comme indépendantes. Cette dégression
n’est pas commuable avec celle de grandes surfaces (dégression
horizontale).
Cette réduction n’est applicable que pour les locaux autres que
commerciaux et industriels. Pour les bureaux, la dégression ne
s’applique que sur la part de charge d’exploitation au-delà de
1KN/m2.

Soit:
D’autre part, cette loi n’est pas applicable pour les hôpitaux,
locaux scolaires, archives, boutiques, magasins, salles de
spectacle, lieux publics, entrepôts, ateliers et garages.
Loi de dégression de base
Qo : la valeur de référence pour le toit ou la terrasse couvrant le
bâtiment.
Qi :la valeur de référence pour le plancher de l'étage «i», la
numérotation étant effectué à partir du sommet.
Qri: la fraction de la charge de l'étage « i » à laquelle on n'applique pas
la loi de dégression. Elle est égale à 1 KN/m2 pour les locaux de
bureaux et à 0 pour les autres.

Au fait, à partir de i=5 on a la même
dégression de coefficient (3+i)/2i

Lorsque la charge d'exploitation de référence est la même pour tous
les étages, cette loi revient à prendre :
- sous le toit ou la terrasse : Qo
- sous le premier étage à partir du haut : Qo + Q1
- sous le premier étage à partir du haut : Qo + Q1
- sous le deuxième étage à partir du haut : Qo+ 1,9 Q + 0,1 Qr
- sous le troisième étage à partir du haut : Qo + 2,7 Q + 0,3 Qr
- sous le quatrième étage à partir du haut : Qo + 3,4 Q + 0,6 Qr
- sous le cinquième étage à partir du haut : Qo + 4,0 Q + 1,0 Qr
- sous le sixième étage à partir du haut : Qo + 4,5 Q + 1,5 Qr
-sous le septième étage à partir du haut : Qo + 5 Q + 2 Qr
Et pour tous les étages suivants: ( ) ∑
∑ =
=
+
−
+
+
n
i
ri
n
i
ri
i Q
Q
Q
n
n
Q
1
1
0
2
3

Le cas des Immeubles à usage de logement

Surface de chargement à prendre en compte
Sur une dalle
Pour les charges permanentes, on prend en compte la charge sur la
totalité de la surface de la dalle. Il en est de même pour les charges
d’exploitation, sauf application éventuelle de la dégression
horizontale.
Sur une poutre
On répartit les charges des dalles en dessinant des lignes de partage
situées à leur mi-portée. Pour des dalles dites sur 4 appuis, on
dessine des lignes à 45° à partir des angles.

Sur une poutre
Appuis des panneaux:
•ABCD sur deux côtés
•DLNM sur deux côtés
•CGFE sur quatre côtés
•IFGH sur quatre côtés
•IJKF sur trois côtés

Pour les dalles et les poutres continues, on doit tenir compte de la
valeur des réactions d’appui due à l’hyperstacité .
À défaut de calcul précis, le BAEL propose une majoration
forfaitaire de 10% pour un appui intermédiaire voisin d’un appui de
Sur un poteau
forfaitaire de 10% pour un appui intermédiaire voisin d’un appui de
rive:
et de 15% lorsque cet appui intermédiaire est entre deux travées de
rive (2 travées et 3 appuis) sans diminution des appuis de rive.

Les charges à prendre en compte sur un voile résultent des réactions
d’appui des dalles et poutres qui prennent appui dessus. Pour des
Sur un voile
poutres continues, il faut tenir compte de la valeur de la réaction
d’appui dû à l’hyperstacité.
On peut comme pour les poutres, prendre la répartition à 45° des
surfaces concernées de dalle.
On n’oubliera pas de prendre en compte le poids propre du voile
pour la vérification en pied de voile.

Sollicitations
Dans la justification de calcul relative à l’équilibre statique de
résistance et à la stabilité de forme, on prend en compte les actions
totales pondérées ci-dessous:
•G : charges permanentes (Gmax favorables et Gmin défavorables)
•G : charges permanentes (Gmax favorables et Gmin défavorables)
•QB : charges d’exploitation des bâtiments
•W : action de vent
•Sn: action de la neige
On considère dans la justification des éléments les combinaisons
suivantes:

Vérification des états limites ultimes
Sollicitations
Avec Ψ0=0,77 pour tous les locaux à l’exception des archives et des
parcs de stationnement pour lesquels sa valeur est de 0,9.

Vérification des états limites de service
Sollicitations
Lorsque l’action de base est la neige, pour une altitude > 500 m,
cette valeur est à majorer de 10%.

Avant d’effectuer la descente de charges, il faut estimer le poids
propre de la structure, d’où la nécessité d’un prédimensionnement
Prédimensionnement des structures
propre de la structure, d’où la nécessité d’un prédimensionnement
des éléments constitutifs du plancher.
On se propose quelques formules permettant d’avoir un ordre de
grandeur des dimensions des éléments du plancher.

Dalle pleine sur deux appuis
•Travée isostatique: h≥l/
≥l/
≥l/
≥l/20
•Travée continue: h≥l/
≥l/
≥l/
≥l/30 à l/
l/
l/
l/35
•Travée continue: h≥l/
≥l/
≥l/
≥l/30 à l/
l/
l/
l/35

Dalle pleine sur 4 appuis
Prenons: α=l /l
Prenons: α=lx/ly

Travée isostatique: h≥l/
≥l/
≥l/
≥l/10
Travée continue: h≥l/
≥l/
≥l/
≥l/16
Souvent pour les poutres porteuses
principales continues on prend h≥l/
≥l/
≥l/
≥l/12
Poutres ( de la structure porteuse)
principales continues on prend h≥l/
≥l/
≥l/
≥l/12
consoles
Dalles en hourdis creux
h≥l/
≥l/
≥l/
≥l/22,5
l : portée des poutrelles
À considérer comme une poutre de portée double de celle de la
console.

poteaux
(voir le chapitre de la compression centrée)
3
2
.
λ
f
L
a =
( )
02
,
0
02
,
0
.
9
,
0
.
28
+
−
a
f
N
b
c
b
u γ
α
et
(voir le chapitre de la compression centrée)
Escaliers
Voiles
h≥0,15 à 0,20 m
h≥l/
≥l/
≥l/
≥l/28 (h est la hauteur de la paillasse)
avec l portée entre 2 points d’appui

Fondations superficielles
Généralités
Définition
Les fondations sont des ouvrages de transition destinés à
transmettre au sol dans de bonnes conditions les charges
permanentes et les charges variables d’une construction. Elles
servent donc à la transition entre les éléments porteurs de la
servent donc à la transition entre les éléments porteurs de la
structure et le sol.
Elles constituent une partie essentielle de l’ouvrage puisque de
leur bonne conception et réalisation découlent la bonne tenue de
l’ouvrage.

Stabilité des fondations
Les fondations doivent être stables, c’est-à-dire qu’elles ne doivent
donner lieu à des tassements que si ceux-ci permettent la tenue de
l’ouvrage. Des tassements uniformes sont admissibles dans
certaines mesures mais des tassements différentiels sont rarement
Généralités
certaines mesures mais des tassements différentiels sont rarement
compatibles avec la tenue de l’ouvrage.
Il est nécessaire d’adapter le type et la structure des fondations à la
nature du sol qui va supporter l’ouvrage : l’étude géotechnique a
pour but de préciser le type, le nombre et la dimension des
fondations nécessaires pour fonder un ouvrage sur un sol donné.

Différents types de fondations
Des fondations superficielles sont réalisées lorsque les couches de
terrain susceptibles de supporter l’ouvrage sont à une faible
profondeur.
Lorsque ces couches sont à une grande profondeur, des fondations
Généralités
Lorsque ces couches sont à une grande profondeur, des fondations
profondes devront être réalisées.
Nous n’étudions dans ce chapitre que les fondations superficielles,
c’est-à-dire les fondations dont la profondeur n’excède pas en général
2 à 3 mètres.
Nous distinguons :
- Les semelles isolées sous poteaux
- Les semelles continues (ou filantes) sous les murs.

DIMENSIONNEMENT DES FONDATIONS SUPERFICIELLES
Notations

Dimensions minimales-maximales
Une fondation superficielle aura une largeur minimale de 40 cm
et une hauteur de rive minimale de 20 cm.
Son piédroit sera au minimum de 6 Ø + 6 cm, où Ø est le
diamètre des aciers.
diamètre des aciers.

Solutions en fonction du type de porteurs
En fonction du type de porteur on adoptera soit une semelle filante
sous un voile soit une semelle isolée sous un poteau.

Réaction du sol
La réaction du sol sous une structure peut être le plus souvent
caractérisée par une valeur ultime qu.
La valeur de qu est calculée à partir des résultats d’essais
géotechniques du sol de fondation (essais de laboratoire ou in situ).
géotechniques du sol de fondation (essais de laboratoire ou in situ).
Le dimensionnement des fondations est effectuée à partir d’une
valeur appelée contrainte de calcul q.
La contrainte de calcul q est la plus petite (donc la plus défavorable)
des 2 valeurs :
- qu/2
- celle qui dispense de tenir compte des tassements différentiels
dans la structure.

Réaction du sol
Le rapport de sol, établi par le bureau d’étude de sol en vue d’une
construction, a pour objet notamment de préciser la valeur de la
contrainte de calcul q.
contrainte de calcul q.
La contrainte de calcul peut être déduite de l’expérience acquise sur
des réalisations existantes voisines pour un sol et un ouvrage
donnés.

Réaction du sol
A titre indicatif, le tableau suivant donne l’ordre de grandeur des
contraintes de calcul q admises en fonction de la nature du sol, en
l’absence de tout problème particulier.

Actions et sollicitations
Les fondations sont généralement calculées à l’ELU pour le
ferraillage. La combinaison d’actions à envisager est donc :

Méthode des bielles comprimées
D’une manière générale, les fondations superficielles sont des
pièces massives et peu élancées et ne se prêtent pas à l’application
des méthodes de calculs classiques telles que nous les avons
développées pour les poutres par exemple.
développées pour les poutres par exemple.
La méthode la plus simple et la plus couramment utilisée est la
méthode des bielles.

Hypothèses
Cette méthode suppose que la pièce est massive et que la répartition
des contraintes sous la semelle est uniforme.
La semelle est massive si sa hauteur totale est telle que :
La semelle est massive si sa hauteur totale est telle que :
et
De plus le dosage minimal du béton doit être de 300 kg/m3.

La théorie des bielles comprimées envisage la transmission des
efforts par l’intermédiaire de « bielles comprimées »:
Les efforts de la structure (poteau ou mur) sont transmis jusqu’au sol
Les efforts de la structure (poteau ou mur) sont transmis jusqu’au sol
par l’intermédiaire d’une semelle rigide par une succession de bielles
de béton. Ces bielles qui travaillent en compression, sont inclinées.
Les aciers reprennent les efforts qui tendent à écarter les bielles. Les
aciers inférieurs sont donc sollicités en traction.

Chapitre XIII: Fondations superficielles
La réaction exercée par le sol équilibre l’effort P apporté par la
structure. Cette réaction du sol se décomposé en une compression de
la bielle dFC et une traction de l’armature dNs.

La contrainte au sol est, pour une longueur
de semelle de 1 m :
La réaction exercée par le sol sur une
tranche de dx.1 m est :
(1)

dR se décompose en une compression
dans la bielle dFC et une traction dans
l’armature dNs:
donc :
En remplaçant dR par sa valeur en (1):

D’où la force de traction dans l’armature :
C’est l’équation de la variation de Ns le
long des armatures transversales.

L’effort Ns est maximal lorsque la dérivée de cette équation du
2ème degré (parabole) est nulle, c’est-à-dire lorsque :
d’où:

La contrainte limite de traction dans l’acier
étant σs, la section d’armatures
transversales par mètre de semelle est donc
:
:
Triangle OMC h0/d=(B/2)/[(B-b)/2]
donc:

Pour ce type de semelle,
la seule dimension
horizontale à déterminer
Semelle filante sous un mur
horizontale à déterminer
est la largeur de la
fondation, la longueur
étant celle du mur à
supporter.

Appelons:
N: la charge totale à transmettre au sol par mètre linéaire dans le sens
longitudinal du mûr à l’ELU ou à l’ELS, cette charge comprend:
Le poids de 1m du mur et de la semelle
Le poids de 1m du mur et de la semelle
Les charges permanentes agissant sur 1m du mur.
Les charges d’exploitation agissant sur 1m du mur.
(pas de tassement)

La condition des semelles rigides nous impose :
Des essais ont montré que si cette règle est vérifiée, il n’est pas
nécessaire de vérifier les conditions de poinçonnement, de
compression maximale du béton dans les bielles, de cisaillement
maximale du béton.
De plus, cette règle nous dispense d’armer la semelle à l’effort
tranchant par des cadres, étriers ou épingles.

Pour la hauteur e du bord libre:
e ≥ max{15 cm; 12Ø+6cm}
avec: Ø diamètre des armatures exprimé en cm
On dispose en général sous la semelle d’un béton de propreté d’au
moins de 5 cm d’épaisseur et de dosage minimal de 150 kg de
ciment/m3 de béton.

Aciers transversaux
Lorsque la fissuration est peu nuisible (en terrain sec), la section
d’armatures transversales (principales) par mètre de semelle vaut:
b
B
N )
( −
Lorsque la fissuration est préjudiciable (en terrain humide), la
section d’acier calculée précédemment est majorée forfaitairement
de 10 %.
Lorsque la fissuration est très préjudiciable (en présence d’eau
agressive), la section d’acier est majorée de 50 %.
s
u
S
d
b
B
N
A
σ
.
.
8
)
( −
=

Les barres doivent être suffisamment ancrées, pour cela elles peuvent
être munies de crochets ou non.
Pour déterminer la longueur des barres, en pratique on compare la
longueur de scellement ls à B:
Aciers transversaux
longueur de scellement ls à B:
ls >B/4, il faut prévoir des crochets d’ancrage
B/8<ls <B/4, un ancrage droit des barres est suffisant (sur tout B)
ls <B/8, les barres sont arrêtées comme indiqué:
Φ
≈
×
Φ
= 40
4 s
e
s
f
l
τ

Les armatures principales seront complétées par des armatures de
répartition (ou armatures longitudinales), parallèles à l’axe
Aciers longitudinaux
répartition (ou armatures longitudinales), parallèles à l’axe
longitudinales du mur et dont la section totale pour la largeur B aura
pour valeur:
4
B
A
A s
l ≥

Semelle rectangulaire sous un poteau rectangulaire
Dimensions de la semelle
Appelons:
N: la charge totale à transmettre au sol à l’ELU et à l’ELS.
a et b: les dimensions du poteau (a ≤ b)
A et B: les dimensions de la semelle à sa base

Nous devons avoir:
N
B
A sol ≥
σ
.
.
En général, les dimensions de la semelle sont déterminées de telle
sorte qu’elles soient homothétiques à celles du poteaux, c’est-à-
dire :
Dans ce cas on aura:
sol
N
a
b
B
σ
.
≥
b
B
a
A
=

On distingue deux hauteurs utiles da et db données par:
da ≥ (A-a)/4 et db ≥ (B-b)/4
da et db doivent respecter:
da et db doivent respecter:
(B-b)/4≤(da et db)≤A-a
et on a: (db-da) = (Øa+Øb)/2 ≈ 0,02m

La hauteur totale de la semelle doit vérifier:
h ≥ max (da, db) +0,05 (m);
h ≥ max (da, db) +0,05 (m);
La hauteur e du bord libre doit vérifier:
e ≥ max{15 cm; 12Ø+6cm}

Ferraillage
De la même façon, si on prend la semelle de chaque coté
indépendamment de l’autre coté, par la méthode de bielle on a du
coté de B, le point O1 étant l’origine des bielles:
coté de B, le point O1 étant l’origine des bielles:
du coté de A on aura le point O2 comme origine des bielles :
b
b d
b
B
h
B −
=
a
a d
a
A
h
A −
=

Ferraillage
Pour le calcul des aciers, on admet de calculer successivement la
semelle dans chacune des deux directions.
La section d’acier A qui correspond aux aciers parallèles au côté
La section d’acier Asa qui correspond aux aciers parallèles au côté
de longueur A est égale à:
La section d’acier Asb qui correspond aux aciers parallèles au côté
de longueur B est égale à:
s
a
u
Sa
d
a
A
N
A
σ
8
)
( −
=
s
b
u
Sb
d
b
B
N
A
σ
8
)
( −
=

Ferraillage
Ces armatures seront réparties uniformément suivant 2 directions A
et B, les armatures parallèles au grand côté (si : B>A cela serait
Asb) constitueront le lit inférieur du quadrillage.
Ces armatures s’étendent dans chaque direction arrivant ou non aux
extrémités , munies ou non de crochets par application des règles
données auparavant, en comparant la langueur de scellement ls à
celle de A et celle de B.

Semelle circulaire sous un poteau circulaire
La semelle circulaire sous pilier circulaire constitue un tronc de cône,
et peut être armée par un quadrillage de 2 nappes perpendiculaires ou
par des cerces.

N: la charge à transmettre au sol
D: diamètre de la semelle
Dp: diamètre du poteau
On doit avoir:
donc:
N
D
sol ≥
Π
σ
.
4
²
.
sol
N
D
σ
13
,
1
≥
4
p
x
D
D
d
ou
d
−
≥

Lorsque la semelle est armées par deux nappes perpendiculaires on a:
e ≥ max{15 cm; 12Ø+6cm}
Lorsqu’elle est armée par des cerces, on a:
e = m.Ø + 3.(m-1)
e = m.Ø + 3.(m-1)
avec
m: le nombre de cerces
Ø et e sont en cm.
Dans ce dernier cas, on dispose généralement des
armatures verticales liées aux cerces, qui
assurent pendant le bétonnage, le maintien des
cerces en place

Armatures constituées par 2 nappes de barres orthogonales
L’origine des bielles se détermine comme dans le cas des semelles
rectangulaires.
Section des armatures du lit inférieur:
Section des armatures du lit supérieur:
Section des armatures du lit inférieur:
s
x
d
d
D
N
A
σ
π .
.
.
3
)
(
1
−
=
y
x
s
y
d
d
A
d
d
D
N
A .
.
.
.
3
)
(
1
2 =
−
=
σ
π

Les armatures seront munies des crochets et disposées comme suit:
• si D≤1m, on admet que l’effort est uniformément réparti et on
dispose les barres avec un écartement constant dans chaque
direction, toutefois, comme les barres situées aux extrémités sont
direction, toutefois, comme les barres situées aux extrémités sont
souvent trop courtes, pour être efficaces, on ne prend pas en compte
dans la valeur trouvée pour A1 (ou A2) les 2 barres d’extrémité que
l’on considère comme des barres de répartition

• si 1m<D<3m, alors on divise les deux diamètres perpendiculaires
en 3 parties égales, et on place:
oDans la zone centrale: 0,50 A et 0,50 A
oDans la zone centrale: 0,50 A1 et 0,50 A2
oDans chaque zone latérale: 0,25 A1 et 0,25 A2

•Si D> 3 m, alors on divise les 2 diamètres perpendiculaires en 5
parties égales, et on place:
oDans la zone centrale: 0,30 A1 et 0,30 A2
oDans chaque zone intermédiaire: 0,25 A1 et 0,25 A2
oDans chaque zone latérale: 0,10 A1 et 0,10 A2

La section totale As des
cerces devra avoir une
valeur:
Armatures constituées par des cerces
valeur:
à disposer en un ou plusieurs lits
s
p
s
d
D
D
N
A
σ
π .
.
.
6
)
( −
=

Une dalle est un élément horizontal, généralement de forme
rectangulaire, dont une des dimensions (l’´epaisseur h) est petite
par rapport aux deux autres (les portées lx et ly). On désigne par lx
la plus petite des portées.
On s’intéresse au rapport α des portées l et l (α =l /l )
Définition
Calcul des Dalles
On s’intéresse au rapport α des portées lx et ly (α =lx /ly)
Dans le cas courant où il n’y a pas d’appareil d’appuis, les portées
sont définies entre nus intérieurs des poutres ou des voiles
porteurs.

Coffrage
Généralement l’épaisseur d’une dalle est fixée de manière à
satisfaire les conditions d’isolation phonique.
Les problèmes de coupe feu imposent également des épaisseurs de
l’ordre de 7 cm pour 1 heure et de 11 cm pour 2 heures
Calcul des Dalles

Coffrage
Nous pouvons utiliser pour pré-dimensionner les dalles le tableau
suivant :
Calcul des Dalles

Conditions relatives à la flèche
Dans les bâtiments, la flèche admissible dépend des éléments portés
(cloisons, revêtement…), les règles BAEL admettent qu’il n’est pas
indispensable de procéder au calcul des flèches si les conditions
suivantes sont réalisées.
1. Soit Mox, Moy les moments maximaux en travée par bande de
Épaisseur minimale d’une dalle
Calcul des Dalles
1. Soit Mox, Moy les moments maximaux en travée par bande de
largeur unité dans le sens lx et ly de la dalle supposée
simplement appuyées,
Mt le moment maximal tenant compte de la continuité dans le
sens lx (la portée principale).
On doit avoir:
ox
t
ox
t
x
M
M
avec
M
M
l
h
75
,
0
20
≥
≥

2. A étant la section des armatures tendues par bande de
largeur b, d leur hauteur utile, fe leur limite d’élasticité.
Soit ρ=A/(bd), on doit avoir:
Conditions relatives à la flèche
Calcul des Dalles
fe en MPa
e
f
bd
A 2
≤
=
ρ

Sous l’action d’une force localisée, il y’a lieu de vérifier la
résistance des dalles au poinçonnement par effort tranchant.
Cependant, en présence d’une charge localisée éloignée des bords de
la dalle, on admet qu’aucune armature d’effort tranchant n’est
acquise si la condition suivant est vérifiée:
Condition relative au poinçonnement
Calcul des Dalles
Qu: charge localisée à l’ELU
h: épaisseur de la dalle
uc :périmètre du contour au
niveau du feuillet moyen
cj
c
u f
h
u
Q ×
×
≤ 0
045
,
0

La hauteur utile correspondant à la direction du plus grand
moment fléchissant doit être telle que le moment résistant du
béton soit supérieur ou égal au moment sollicitant
Condition relative au non-emploi d’armatures comprimées
Calcul des Dalles
Rappel :
bc
R d
b
M σ
µ .
.
. 2
1
=
)
4
,
0
1
.(
.
8
,
0 1
1
1 α
α
µ −
=
es
es
bc
bc
ε
ε
ε
ε
α
+
=
+
=
5
,
3
5
,
3
1

Condition relative au non-emploi d’armatures d’effort tranchant
Les règles BAEL admettent qu’aucune armature d’efforts tranchants
n’est requise si les conditions suivantes sont remplies:
Calcul des Dalles
La pièce concernée est bétonnée sans reprise sur toute son
épaisseur
La contrainte tangente τu est au plus égale à 0,05 fcj
τu≤0,05 fcj

Types de dalles
Pour les dalles rectangulaires, on définit les portées mesurées entre
nus des appuis: lx et ly avec lx ≤ly et le rapport α=lx/ly
Suivant la nature de leurs appuis, on peut distinguer :
Les dalles portant dans une direction.
Calcul des Dalles
Les dalles portant dans une direction.
Sont considérées comme telles :
les dalles rectangulaires appuyées sur deux côtés et comportant
un ou deux bords libres.
les dalles rectangulaires appuyées sur quatre côtés dont α ≤ 0,4.
Les dalles portant sur deux directions, ce sont les dalles
rectangulaires appuyées sur 4 cotés dont 0,4<α ≤ 1

Dalles simplement appuyées portant dans un seul sens
Ces dalles sont calculées comme des poutres dans le sens de la petite
portée. Nous sommes donc ramenés à l’étude d’une poutre
rectangulaire de hauteur h, de largeur 1 mètre, et de portée lx.
La dalle porte alors dans un seul sens et le moment de flexion, dans
le cas d’une dalle uniformément chargée est :
Calcul des Dalles
le cas d’une dalle uniformément chargée est :
Nous déterminons la section d’aciers longitudinaux Ax (aciers
principaux) à partir du moment de flexion.
Les aciers sont déterminées par mètre linéaire de longueur de dalle :
Ax/ml.
8
2
x
ox
pl
M =

Dalles simplement appuyées portant dans un seul sens
Dans le sens de la grande portée ly, il faut disposer des armatures de
répartition dont la section par unité de largeur est évaluée
forfaitairement au quart de la section des aciers principaux:
Ay =Ax/4
Calcul des Dalles
Ay =Ax/4

Dalles continues portant dans un seul sens
De la même façon, la dalle est calculée comme une poutre-dalle de
largeur unitaire, mais dans ce cas, on appliquera la méthode
Calcul des Dalles
forfaitaire ou la méthode de Caquot pour déterminer les moments
de continuité (les chapitres suivants).

Dalle uniformément chargée portant dans deux sens et
articulée sur ses contours
Dans ce cas, il faut tenir compte du fait que la
dalle porte dans les 2 directions et calculer les
moments Mox et Moy qui agissent par bande de
largeur unité dans les deux directions lx et ly au
centre du panneau.
Les moments fléchissant développés au centre du
Calcul des Dalles
Les moments fléchissant développés au centre du
panneau ont pour valeur:
•dans le sens de la petite portée: Mox= x . p . lx
2
•dans le sens de la grande portée: Moy= y.Mox
Les coefficients x et y sont fonction de
α=lx/ly et de ν.
Rappel: On a ν=0 à l’ELU et ν=0,2 à l’ELS.

Calcul des Dalles

Les valeurs maximales (sur appui) de l’effort tranchant sont
données par:
4
4
x
y
y
x l
pl
V
et
l
pl
V =
=
Calcul des Dalles
On commence par vérifier les conditions relatives au non-emploi
d’armatures d’effort tranchant,
Dans le cas où ces conditions ne sont pas vérifiées, on augmentera
l’´epaisseur de la dalle (pour diminuer τu).
Si cette solution n’est pas envisageable, on placera des aciers
transversaux comme dans une poutre.
4
4
4
4
2
2 y
x
x
y
y
x
x
x
l
l
V
et
l
l
V
+
=
+
=

Dalle uniformément chargée portant dans deux
sens et sur appuis continus
Dans la réalité, les dalles en BA ne sont pas articulées sur leurs
contours.
Elles sont appuyées soit par des éléments continus avec lesquels
Calcul des Dalles
Elles sont appuyées soit par des éléments continus avec lesquels
elles forment monolithe (nervures ou poutre en BA), soit par des
murs sur lesquels elles reposent.
Dans ce cas on prend en compte un moment d’encastrement, qui
permet de diminuer dans une certaine mesure la valeur des moments
en travée déterminés pour la dalle articulée .

Pour le calcul une dalles rectangulaire encastrée, quelque soit son
élancement α, on commence par déterminer, par la méthode
précédente, les moments de flexion qui s’y développerait si elles
étaient articulées sur leurs contours.
Calcul des Dalles
Ces moments en travées sont réduits selon les conditions
d’encastrement (voir tableau suivant).
Pour tenir compte de la continuité, les moments d’encastrement
sur les grands et les petits côtés sont évalués en fonction des
moments fléchissant maximaux M0x calculés selon l’hypothèse
de l’articulation.

Lorsqu’il s’agit de la portée principale lx, si on désigne par:
M0x: le moment maximal calculé dans l’hypothèse de l’articulation
Mw et Me: les valeurs absolues prises en compte pour les moments
sur appuis à gauche et à droite.
M : le moment maximal considéré en travée suivant la portée l .
Calcul des Dalles
Mt: le moment maximal considéré en travée suivant la portée lx.
La relation suivante doit être vérifiée:
OX
e
w
t M
M
M
M 25
,
1
2
≥
+
+
Sans aller au-delà de Mox

Les valeurs des moments sur appuis sont prises égales à :
- 0,15 M0 dans le cas d’un encastrement faible, c’est-à-dire pour
une dalle simplement appuyée (cas d’un panneau de rive de dalle
sur une poutre).
Calcul des Dalles
sur une poutre).
- 0,30 M0 dans le cas d’un encastrement partiel (cas d’un panneau
de rive de dalle sur un voile béton).
-0,50 M0 dans le cas d’une dalle continue (cas d’un panneau
intermédiaire de dalle sur une poutre ou sur un mur).
Le moment sur l’appui continu commun à deux panneaux est le
plus grand en valeur absolue des moments déterminés pour chacun
des deux panneaux.

En général, on obtient la répartition suivante:
Calcul des Dalles
May doit être égal, par
continuité au moment Max

En admettant que les conditions d’appui soient les mêmes sur
l’ensemble du contour de la dalle, et en désignant par Ma1, Ma2, Ma3,
etc., les moments en rive 1 et sur les appuis intermédiaires 2, 3, etc.
du sens x , on doit retenir pour les moments sur appuis du sens y les
valeurs indiquées sur la figure:
Calcul des Dalles
valeurs indiquées sur la figure:
Toutefois, il faudrait calculer Mty comme si les
moments sur appuis sont pris égaux à May.

Exemple:
Calcul des Dalles

DISPOSITIONS REGLEMENTAIRES
Condition de non fragilité
Dans le cas des dalles cette condition est énoncée comme suit :
Soit P0 le taux d’armatures (P0 est le rapport du volume des aciers à
Calcul des Dalles
celui du béton) défini de la façon suivante :
0,0012 s’il s’agit de ronds lisses (Fe E 215 ou Fe E 235)
0,0008 s’il s’agit de barres HA Fe E 400 ou de TS ∅ > 6 mm
0,0006 s’il s’agit de barres HA Fe E 500 ou de TS ∅ ≤ 6 mm

Condition de non fragilité
lx et ly sont les dimensions de la dalle (lx ≤ ly)
Px et Py les taux minimaux d’acier en travée dans le sens «x» et dans
le sens «y».
Les taux minimaux d’acier px dans le sens «x» et py dans le sens «y»
Calcul des Dalles
Les taux minimaux d’acier px dans le sens «x» et py dans le sens «y»
doivent satisfaire les inégalités suivantes :
(En multipliant Px et Py par bh, nous aurons Ax min et Ay min)
y
x
y
x
l
l
où
P
P
et
P
P
=
≥
−
≥
α
α
0
0
2
3

Dispositions des armatures longitudinales
Le diamètre des barres employées comme armatures de dalles doit
être au plus égal au dixième de l’épaisseur totale de la dalle.
Les armatures disposées suivant deux directions perpendiculaires
sont telles que le rapport de la section armant la direction moins
Calcul des Dalles
sont telles que le rapport de la section armant la direction moins
sollicitée (armatures de répartition suivant ly) à celle armant la
direction orthogonale (armatures principales suivant lx) est
supérieur ou égal à :
- 1/3 si les charges appliquées comprennent des efforts
concentrés
-1/4 dans le cas contraire.
Les barres // à la direction du petit côté lx sont placés en dessous.

Espacements
L’écartement des armatures d’une même nappe ne doit pas dépasser
les valeurs du tableau ci-dessous où h désigne l’épaisseur totale de la
dalle.
Calcul des Dalles
dalle.

Les aciers armant à la flexion la région centrale d’une dalle sont
prolongés jusqu’aux appuis :
dans leur totalité, si la dalle est soumise à des charges
concentrées mobiles ;
à raison d’un sur deux au moins dans le cas contraire.
Arrêt des Barres
Calcul des Dalles
Les armatures prolongées jusqu’aux appuis y sont ancrées au-delà
du contour théorique de la dalle.
En cas d’absence de charge
concentrée mobile, on peut
armer suivant le schéma:

Arrêt des Barres
De même les arrêts des
armatures des chapeaux
sont effectuées avec une
longueur différentes d’une
barres sur deux.

 

1 M
Calcul des Dalles






=












+
=
2
;
max
3
,
0
4
1
;
max
1
2
1
l
l
l
l
M
M
l
l
s
x
o
a
s
Par approximation, pour des béton de résistance moyenne :
ls≈40Φ pour les HA FeE400
ls≈50Φ pour les HA FeE500 et les ronds lisses

Utilisation des Treillis Soudés
Les treillis soudés sont constitués de fils lisses ou crantés soudés en
deux nappes orthogonales avec des intervalles constants; ils
présentent pour le ferraillage des pièces « à deux dimensions »
(dalles, murs, radiers, etc.), les avantages suivants:
Calcul des Dalles
•Qualité constante: des propriétés mécaniques et géométriques;
•Économie: gain de poids dû à la limite d’élasticité élevée, gain de
temps pour le façonnage, l’assemblage, la manutention et la pose.
•Sécurité d’emploi: pour le personnel lors de la mise en place, pour
la bonne exécution et la facilité de contrôle.

Utilisation des Treillis Soudés
Coefficient d’adhérence:
η=1 pour les TS lisses
η=1,3 pour les TS à haute adhérence (HA) à fils de diamètre
< 6 mm
Calcul des Dalles
< 6 mm
η=1,6 pour les TS HA à fils de diamètre ≥ 6 mm
Produits livrés sous trois formes
Produits standard sur stock.
Produits standard à la demande.
Produits sur devis.

Méthode de calcul des planchers à charge d’exploitation
modérée « Méthode forfaitaire »
Un plancher est une aire généralement plane, destinée à limiter les
étages et à supporter les revêtements de sols.
Rappel
Ses deux principales fonctions sont :
une fonction de résistance mécanique, il doit supporter son poids
propre et les surcharges.
une fonction d’isolation acoustique et thermique qui peut être
assurée complémentairement par un faux plafond ou un
revêtement de sol approprié.

Différents types de planchers
Les planchers rencontrés dans les bâtiments de destinations diverses ou
dans les constructions industrielles se classent en trois grandes
catégories :
-les planchers
constitués
constitués
d’une dalle
associée à des
poutres secondaires
et principales

-Les planchers dalles ou planchers champignons:
Les planchers dalles sont constitués d’une dalle pleine reposant sur
des points d’appuis isolés, constitués par des poteaux. Lorsque que
ces derniers ont la tête évasée on appelle cette structure plancher
champignon.

-les planchers à poutrelles préfabriquées:
Les planchers à poutrelles (planchers mixtes) sont constitués d’une
dalle de compression coulée sur place sur des poutrelles
préfabriquées en béton armé ou précontraint ou sur une charpente
métallique. Le coffrage est obtenu par des prédalles ou des corps
creux (entrevous en béton ou en terre cuite). Les prédalles sont des
creux (entrevous en béton ou en terre cuite). Les prédalles sont des
dalles préfabriquées de faible épaisseur (4 à 5 cm).

Planchers concernés
Les planchers visés dans ces deux chapitres suivants sont constitués
d’une dalle horizontale associée à un système de poutres, ce qui est
généralement le cas de bâtiments d’habitation.
Les panneaux de la dalle reçoivent les charges statiques et
dynamiques et les transmettent aux poutres. L’ensemble des efforts
est finalement repris par des poteaux ou des murs de refend
est finalement repris par des poteaux ou des murs de refend
porteurs.

Le règlement BAEL distingue deux types de planchers en fonction
de l’importance des charges d’exploitation :
Planchers concernés
-les planchers à charge d’exploitation modérée
- les planchers à charge d’exploitation élevée

Planchers à charge d’exploitation modérée
Il s’agit des planchers des « constructions courantes » où les charges
d’exploitation sont modérées.
Les valeurs de ces charges sont au plus égales à deux fois celles des
charges permanentes ou à 5000 N/m2.
{ }
²
000
5
;
2 m
N
G
Max
Qb ≤
Entrent normalement dans cette catégorie :
les bâtiments à usage d’habitation et d’hébergement, et les
bâtiments à usage de bureaux,
les constructions scolaires, et les constructions hospitalières.
Et souvent :
les bâtiments à usage commercial (magasins, boutiques), à
l’exclusion des bâtiments de stockage,
les salles de spectacle.
{ }
²
000
5
;
2 m
N
G
Max
Qb ≤

Poutres et Planchers continus
Dans les structures des bâtiments, il est fréquent de rencontrer des
poutres et planchers continus, c’est-à-dire reposant sur plus de
deux appuis (poteaux ou murs).
Les poutres se raccordent continûment aux poteaux, à d’autres
poutres ou à des murs. Le calcul doit tenir compte de la continuité.
Une telle poutre est dite hyperstatique car les équations de la
statique ne suffisent pas à la détermination de toutes les actions de
contact.

La résistance des matériaux propose des solutions aux problèmes
hyperstatiques dans les cas de matériaux homogènes.
La méthode classique qui permet de résoudre le cas des poutres
continues est la méthode des trois moments:

Dans le cas d’une charge uniformément répartie :
( )
4
2
3
3
1
1
1
1
1
1
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
l
P
l
P
l
M
l
l
M
M
L
+
−
=
+
+
+ +
+
+
+
+
−
Expression des efforts internes dans une travée i:
Moment de flexion:
Effort tranchant:
4
( )x
l
M
M
M
x
M
x
M
i
i
i
i
1
1
0 )
(
)
( −
−
−
+
+
=
( )
i
i
i
l
M
M
x
V
x
V 1
0 )
(
)
( −
−
+
=

Cependant, l'emploi de cette méthode, bien qu'autorisée par le
BAEL, est discutable car La détermination des inconnues
hyperstatiques se fait en supposant le matériau homogène et en
supposant que la largeur de la table de compression reste constante
dans une travée.
L’expérience montre que cette méthode de continuité théorique
donne des moments trop forts sur appuis et trop faibles en travées.
Le règlement BAEL prévoit donc deux méthodes de résolution
pour des systèmes de poutres continues :
- la méthode forfaitaire
- la méthode de CAQUOT.

Portée de calcul BAEL
Dans le cas de poutres (ou de dalles) munies d'appareils d'appui, la
portée correspond à la distance entre les points d'application des
réactions d'appui.

•Dans le cas de poutres (ou de dalles) reposant sur des massifs ou
des murs en maçonnerie, la portée correspond à la distance entre les
points d'application des résultantes des réactions d'appui.

•Dans le cas de poutres (ou de dalles) reposant sur des éléments BA,
la portée correspond à la distance entre nus.

Hypothèses d’application de la méthode forfaitaire
Cette méthode est applicable aux planchers à charge d’exploitation
modérée, c’est à dire aux « constructions courantes ».
Elle ne s’applique qu’aux éléments fléchis (poutres ou dalles dans un
seul sens) remplissant les conditions suivantes :
•H1: les moments d’inertie des sections transversales sont identiques
le long de la poutre.
•H2: les portées successives sont dans un rapport entre 0,8 et 1,25
•H3: la fissuration est considérée comme non préjudiciable
Si l’une des hypothèses n’est pas vérifiée, nous appliquerons la
méthode de calcul des planchers à charge d’exploitation relativement
élevée, méthode de CAQUOT (prochain chapitre).

Principe de la méthode
La méthode consiste à évaluer les valeurs maximales des moments en
travée et des moments sur appuis à des fractions, fixées
forfaitairement, de la valeur maximale du moment fléchissant M0 dans
la « travée de comparaison ».
La « travée de comparaison »
La « travée de comparaison »
est la travée indépendante
de même portée libre que
la travée considérée et
Soumise aux
mêmes charges.

Application de la méthode
Soit :
- M0 la valeur maximale du moment de flexion dans la travée de
comparaison ou moment isostatique.
- Mw et Me respectivement les valeurs absolues des moments sur
appuis de gauche (West) et de droite (East) qui sont pris en compte
appuis de gauche (West) et de droite (East) qui sont pris en compte
dans les calculs de la travée considérée.
-Mt le moment maximal dans la travée considérée
- α est le rapport des charges d’exploitation à la somme des charges
permanentes et d’exploitation :
B
B
Q
G
Q
+
=
α

Les valeurs de Mt, Mw et Me doivent vérifier les conditions
suivantes :
( )
[ ]
0
0 3
,
0
1
;
05
,
1
2
.
1 M
M
Max
M
M
M e
w
t α
+
≥
+
+ ( )
[ ]
0
0 3
,
0
1
;
05
,
1
2
.
1 M
M
Max
Mt α
+
≥
+
0
2
3
,
0
1
.
2 M
Mt
α
+
≥
0
2
3
,
0
2
,
1
M
Mt
α
+
≥
dans le cas d’une travée intermédiaire,
dans le cas d’une travée de rive.

3. La valeur absolue de chaque moment sur appui intermédiaire
n’est pas inférieure à :
- 0,60 M0 dans le cas d’une poutre à deux travées ;
- 0,5 M0 dans le cas des appuis voisins des appuis de rive d’une
poutre à plus de deux travées ;
poutre à plus de deux travées ;
-0,4 M0 dans le cas des autres appuis intermédiaires d’une poutre
à plus de trois travées.
De part et d’autre de chaque appui intermédiaire, on retient pour la
vérification des sections la plus grande des valeurs absolues des
moments évalués à gauche et à droite de l’appui considéré.

Longueur des chapeaux et arrêts des barres inférieures du
second lit
Leur détermination se fait généralement à partir du tracé des
courbes enveloppes des moments fléchissant en envisageant les
divers cas de charges pour les diverses combinaisons d’actions
divers cas de charges pour les diverses combinaisons d’actions
(à voir en annexe) .
Cependant, nous pouvons procéder à un arrêt des barres
forfaitaire lorsque :
- La charge d’exploitation est au plus égale à la charge
permanente : QB ≤ G
-Les charges appliquées peuvent être considérées comme
uniformément réparties.

La longueur des chapeaux à partir du nu des appuis est au moins
égale à:
- 1/4ème de la plus grande portée des 2 travées encadrant l’appui
considéré s’il s’agit d’un appui intermédiaire voisin d’une travée de
rive.
second lit
rive.
-1/5ème de la plus grande portée des 2 travées encadrant l’appui
considéré s’il s’agit d’un appui n’appartenant pas à une travée de
rive.
Aussi la moitié au moins de la section des armatures inférieures
nécessaires en travée est prolongée jusqu’aux appuis, et les
armatures du second lit sont arrêtées à une distance du nu des appuis
au plus égale à 1/10ème de la portée.

second lit
Dans le cas où l’appui de rive est solidaire d’un poteau ou
une poutre, il convient de disposer sur cet appui des aciers
supérieurs pour équilibrer un moment au moins égal à :
Ma1 = -0,15 Mo1

Effort tranchant
Les efforts tranchants peuvent être déterminés en admettant la
discontinuité des différents éléments, à condition de majorer les
efforts tranchants calculés pour les appuis voisins des appuis de
rive:
rive:
- de 15 % pour les appuis voisins des appuis de rive d’une poutre à
deux travées,
- de 10 % pour les appuis voisins des appuis de rive d’une poutre
comportant au moins trois travées.

Effort tranchant
Ainsi, en notant V0i la valeur absolue de l’effort tranchant sur les
appuis de la travée isostatique de référence i, les valeurs absolues
de l’effort tranchant aux appuis sont déterminés de façon forfaitaire
comme indiqué ci-après:

Méthode de calcul des planchers à charge d’exploitation élevée
« Méthode de CAQUOT »
Domaine d’application
Cette méthode s’applique :
1. Aux planchers des « constructions industrielles », Il s’agit des
planchers des où les charges d’exploitation sont relativement
élevées. Les valeurs de ces charges sont supérieures à deux fois
celles des charges permanentes et à 5000 N/m2.
Qb > 2G et Qb > 5000 N/m2
Entrent normalement dans cette catégorie :
- les bâtiments industriels (usines, ateliers),
-les entrepôts.
2. Aux planchers à charge d’exploitation modérée quand l’une des
hypothèses complémentaire n’est pas vérifiée (Inerties variables;
différence de longueur entre les portées supérieure à 25%;
fissuration préjudiciable ou très préjudiciable).

Domaine d’application
Dans le cas où on a la charge modérée mais l’une des trois
conditions de la méthode forfaitaire n’est pas satisfaite, on
peut appliquer la méthode de Caquot, mais il est alors
admissible d’atténuer les moments/appuis dus aux seules
charges permanentes en leur appliquant un coefficient
compris entre 1 et 2/3 ( on les diminue au plus de 1/3), ce
qu’on appelle Méthode de Caquot Minoré.
Méthode de Caquot Minoré

La méthode proposée par Albert Caquot tient compte :
•de la variation du moment d’inertie due aux variations de la
largeur de la table de compression, en réduisant légèrement les
moments sur appui et en augmentant proportionnellement ceux
en travée.
•de l’amortissement de l’effet des chargements des poutres en
BA, en ne considérant que les travées voisines de l’appui pour
déterminer le moment sur appui.

C’est une méthode de continuité simplifiée : le moment fléchissant
sur un appui ne dépend que des charges sur les travées adjacentes de
cet appui.

La poutre continue est assimilée pour le calcul des moments à une
succession de poutres à deux travées de part et d’autre de l’appui
étudié. Dans ce schéma, il n’y a pas de moments sur les appuis en
amont et en aval de l’appui étudié, ce qui n’est pas conforme aux
hypothèses de la continuité.
La méthode de CAQUOT tient compte de cela en remplaçant les
portées réelles par des portées fictives l’:
l’w = 0,8 li
l’e = 0,8 li+1
Pour les travées de rive :
l’w = li
l’e = li+1
Application de la méthode aux poutres à inertie constante

Chapitre XVI: Méthode de calcul des planchers à charge
d’exploitation élevée « Méthode de CAQUOT »
Reprenons la formule des trois moments :
En l’appliquant sur le schéma suivant:
Cas de charges réparties
 
4
2
3
3
1
1
1
1
1
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
l
P
l
P
M
l
l
M
M
L





 





Nous avons:
La formule de CAQUOT apporte des corrections à la méthode de
continuité théorique pour atténuer les moments sur appuis : le
coefficient de 8 est remplacé 8,5, ce qui nous donne:
trois moments:
d’où:
Cas de charges réparties
0
0 1
1 


 
 e
i
w
i M
M
et
M
M
 
4
'
'
'
'
2
3
3
e
e
w
w
i
e
w
l
P
l
P
M
l
l




 
e
w
e
e
w
w
i
l
l
l
P
l
P
M
'
'
8
'
' 3
3




 
e
w
e
e
w
w
i
l
l
l
P
l
P
M
'
'
5
,
8
'
' 3
3





Cas de charges concentrées
Soit: et
On définit les deux coefficients:
125
,
2
)
2
)(
1
(
)
(
125
,
2
)
2
)(
1
(
)
(





 e
e
e
e
e
w
w
w
w
w
x
x
x
a
k
et
x
x
x
a
k
   
e
w
e
e
e
e
w
w
w
w
a
l
l
l
P
a
k
l
P
a
k
M
'
'
'
' 2
2




w
w
w l
a
x
'

e
e
e l
a
x
'


Calcul des Moments
On trace la courbe des moments de la travée indépendante de
longueur l (et non l’) sous l’effet de la charge permanente , puis sous
l’effet de la charge permanente et la charge d’exploitation, les
différentes charges étant affectées du coefficient de pondération
correspondant à l’état limite considéré.
Ainsi, en supposant dans chaque cas, l’application ou non des charges
d’exploitation (en ELU et en ELS) on aura:

MA
12: travée de gauche déchargée et travée de droite chargée (avec l’)
Calcul des Moments
MA
11: les deux travées sont déchargées (avec l’)

MA
22: les deux travées sont chargées (avec l’)
( c’est le schéma qui définira le ferraillage sur appuis)
MA
21: travée de gauche chargée et travée de droite déchargée (avec l’)
Calcul des Moments

MO
1: moment isostatique minimal dans la travée de comparaison
déchargée (avec l).
MO
2: moment isostatique maximal dans la travée de comparaison
chargée (avec l).
Calcul des Moments

Exemple : à l’ELS
Calcul des Moments
 
 
e
w
e
w
A
l
l
l
l
G
M
'
'
5
,
8
'
' 3
3
11




 
 
e
w
e
B
w
A
l
l
l
Q
G
Gl
M
'
'
5
,
8
'
' 3
3
12





 
 
e
w
e
w
B
A
l
l
Gl
l
Q
G
M
'
'
5
,
8
'
' 3
3
21





  
 
e
w
e
w
B
A
l
l
l
l
Q
G
M
'
'
5
,
8
'
' 3
3
22





8
2
1
0
Gl
M 
 
8
2
2
0
l
Q
G
M B



Pour avoir le moment maximal dans une travée, il faut considérer le
cas où cette travée est chargée au maximum et les 2 travées
encadrant la travée considérée déchargées, soit
Calcul des Moments
2
21
12
2
0
max
1



 i
i A
A
T
M
M
M
M

Pour avoir le moment minimal dans une travée, il faut considérer le
cas où cette travée est chargée au minimum et les 2 travées encadrant
la travée considérée chargées, soit :
Il faut vérifier qu’on a bien MTmin≥0, sinon il y a risque de
soulèvement de la travée considérée et par suite, il faut considérer
une armature supérieure pour équilibrer le moment MTmin.
Calcul des Moments
2
12
21
1
0
min
1



 i
i A
A
T
M
M
M
M

Calcul des Moments
Remarque:
Si la travée est une travée de rive, étant donné que le
moment sur l’appui de rive est considéré comme nul,
et ainsi le moment est sûrement maximal avant la
moitié de la travée, on peut remplacer le coefficient 1/2
appliqué sur la somme des moments sur appuis par
0,42.

Efforts tranchants
L’effort tranchant, pour un cas de charge donné, est calculé
classiquement comme l’opposé de la dérivée du moment fléchissant,
soit, en tenant compte de la continuité :
Avec μ (x) Moment fléchissant dans la travée isostatique associée
Le cas de charge correspondant aux efforts tranchants maximums
sur l’appui i se produit lorsque les deux travées adjacentes sont
chargées et les autres déchargées
l
M
M
dx
x
d
x
V e
w 



)
(
)
(


Sur l’appui i, les valeurs à gauche et à droite de l’effort tranchant
sont donc:
V0w et V0e sont les efforts tranchants à gauche et à droite de
l’appui i des travées isostatiques de référence i-1 et i,
respectivement.
Efforts tranchants
1
0
1





i
a
a
w
wi
l
M
M
V
V i
i
i
a
a
e
ei
l
M
M
V
V i
i


 1
0

Application de la méthode aux poutres à inertie variable
Soit Iw le moment d’inertie de la travée de gauche et Ie celui de la
travée de droite, on calcule les longueurs fictives l’=l ou 0,8l.
Dans le cas des charges réparties par unité de longueur, le moment
sur appui en valeur absolue est égal à:
avec:
On retrouve le cas précédent si Iw = Ie
)
1
(
5
,
8
'
' 2
2




 e
e
w
w
A
l
q
l
q
M
e
w
w
e
I
I
l
l


'
'


Dans le cas où on a des charges concentrées Pw et Pe à la distance
aw et ae du nu de l’appui, le moment sur appui est égal à:
et
Application de la méthode aux poutres à inertie variable
125
,
2
)
2
)(
1
(
)
(
125
,
2
)
2
)(
1
(
)
(





 e
e
e
e
e
w
w
w
w
w
x
x
x
a
k
et
x
x
x
a
k
   
 






1
'
' e
e
e
e
w
w
w
w
a
l
P
a
k
l
P
a
k
M
w
w
w l
a
x
'

e
e
e l
a
x
'


ANNEXE
Construction de la courbe des moments
Après avoir déterminé la valeur Mo du moment maximal à mi-
portée, on porte MoO' = OMo. Les droites O'W et O'E sont les
tangentes en W et E. Un point M quelconque de la parabole, à
l'abscisse WM' = x s'obtient en prenant le milieu P' de WM', le
milieu Q' de M'E, en rappelant P' et Q' en P et Q sur les tangentes
O'W et O'E puis en joignant PQ qui coupe la verticale de M' au
point M cherché. La figure suivante montre qu'il n'est pas
nécessaire de recommencer cette construction un grand nombre de
fois (2 ou 3 suffisent) pour avoir un tracé très acceptable de la
demi-parabole, et de son ensemble ensuite, par symétrie.

Construction de la courbe des moments
ANNEXE

Courbe-enveloppe des moments d'une travée de
poutre continue
Pour obtenir la courbe-enveloppe des moments de flexion, on
effectue une construction par points homologues. On trace d’abord
la courbe des moments isostatiques selon le procédé décrit
précédemment. On trace ensuite une droite Δ ’ reliant les points W’
sur la verticale de W et E’ sur la verticale de E tels que WW’ = Mw
et EE’ = Me. On trace également une deuxième droite Δ obtenue en
décalant vers le haut tous les points de la droite Δ ’ de la quantité 0,3
α 0 M0 (voir figure ci-après).
ANNEXE

La courbe-enveloppe, composée des arcs (Ct), (Cw) et (Ce), se déduit
de la courbe des moments isostatiques en portant :
- pour l’arc (Ct), en prenant pour base la droite Δ , des segments a’1
a’2, ou b’1 b’2, etc., tels que a’1a’2=a1a2, b’1b’2=b1b2, etc.,
- pour les arcs (Cw) et (Ce), en prenant pour base la droite Δ ’, des
segments c’1c’2 tels que c’1c’2=c1c2, etc.
La figure ci-après donne la construction de la courbe à partir de
laquelle sont déterminés les arrêts des panneaux de treillis soudés
après que l'on ait effectué sur elle le décalage de 0,8 h prévu par les
Règles BAEL.
poutre continue
ANNEXE

ANNEXE
poutre continue

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