Le document présente une série d'exercices mathématiques comprenant des équations géométriques, des probabilités, des suites numériques, des rotations dans le plan complexe, et des limites de fonctions. Chaque exercice est structuré avec des questions qui nécessitent des démonstrations et des calculs. Les exercices sont conçus pour évaluer la maîtrise de concepts mathématiques variés sur plusieurs points de la géométrie et de l'analyse.

1. 1
é
é à
L’usage de la calculatrice scientifique est autorisé : durée : 3h
Exercice 1 : 3pts
L’espace rapporte à un repère orthonormé direct ; ; ;O i j k . On considère
 2;2; 1A  ; le plan (P) d’équation : 2x+y+2z-13=0 et (S) la sphère de centre
 1;0;1 et de rayon 3.
1-determiner l’équation cartésienne de la sphère (S)
2- vérifie que  A S
2-calculer   ;d P et déduire que le plan (P) est tangent à la sphère (S).
3-Soit (D) la droite orthogonale au plan (P) et qui passe par A.
a-montrer que :  2;1;2u est un vecteur directeur de la droite (D).
b-déduire que  6; 6; 3A u   
c- calculer
A u
u
 
en déduire que la droite (D) est tangente à la sphère (S) au
point A
Exercice 2 : 3pts
Un sac contient 9 boules indiscernables au toucher portant respectivement les
nombres : 0 ; 0 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 2 ; 2 ; 2. On tire simultanément au Hazard deux
boules du sac.
1-montrer que les nombres de cas possibles est 36
2-Soit X la variable aléatoire qui correspond à la somme des deux nombre portés
par les deux boules tirées.

2. 2
a-Montrer que  
12
2
36
p X  
b-copier le tableau ci-contre et le compléter en justifiant la réponse.
Exercice 3 : 3pts
On considère la suite  nu définie par : 1 0
1 3
: 4
2 2
n nn IN u u et u    
1-verifier que :   1
1
: 3 3
2
n nn IN u u    
2-montrer que : : 3nn IN u 
3-a-verifier que :    1
1
: 3
2
n nn IN u u u

     en déduire que la suite  nu est
décroissante
b-déduire que la suite  nu est convergente.
4-on pose : : 3n nn IN v u   
a-montrer que la suite  nv est géométrique de raison
1
2
b-calculer nv en fonction de n
c-déduire que
1
: 3
2
n
nn IN u
 
    
 
et calculer lim n
n
u

d-Montrer que : 0 1
1
: 3 5 .......
2
n n nn
n IN S n telque S u u u         et calculer
lim n
n
S

Exercice 4 : 3pts
1-resoudere dans l’équation suivante : 2
18 82 0z z  
2-on considère dans le plan complexe rapporte au repère orthonormé  ; ;O u v
d’les points A ;B ;C d’affixes respectifs 9 ; 9 ; 11a i b i c i     
Soit    ' 'M z et M z son image par la rotation R de centre B et d’angle
3
2

a-montrer que : ' 10 8z iz i   

3. 3
b-vérifier que : ' 9 3c i  est l’affixe du point C’ l’image du point C par la
rotation R.
c-montrer que
c b
i
a b

 

en déduire que le triangle ABC est rectangle en B
d-déterminer   arg 4 1 i et prouver que :    4 1c a c b i   
e-en déduire que : 4 2AC BC  .
Exercice 5 : 8pts
Soit    2
2 3 3 x
f x x x e
   tel que x IR
1-verifier que :  
2
2 3 3
: x x x
x x
x IR f x
e e e
    
2-calculer    lim lim
x x
f x et f x
 
et donner une interprétation graphique de ce
résultat.
3-montrer que :     : ' 2 3 2 x
x IR f x x x e
     
4-donner le tableau de variation de f
5-donner l’équation de la tangente (T) à la courbe  fC au point A d’abscisse 0.
6-deteminer les coordonnées du point d’intersection de la courbe  fC avec l’axe
des abscisses.
7-tracer la courbe  fC dans un repère orthonormé  ; ;O i j . (Unité : 1cm)
8-soit    2
2 7 4x
F x e x x telque x IR
    
a-vérifier que F est une primitive de f sur IR
c-prouver que l’aire du domaine délimite par la courbe fC , l’axe des abscisses,
les droites d’équation x= -1 et x=2 est égale à 2
1,26cm .