Le document contient des exercices de mathématiques de niveau lycée, incluant des limites de fonctions, des équations de droites, et des propriétés des fonctions trigonométriques. Les exercices abordent également la récurrence mathématique et la résolution d'équations linéaires et quadratiques. Plusieurs graphiques et tableaux de variation sont demandés pour illustrer les concepts présentés.

1. ------_-l
Lycée Pilote Bourguiba 3é*" année Maths
3,4, 5
Mme MILI
Tunis Mme CHEIKHROUHOU
Mme GAALOUL
0s102t20t3
DEVOIR DE CONTROTE NO2
Exercice no L (3 points)
On considère la fonction f définie par :
-/ xz+x+b
-' *,- ;
l)lx) a. b deux réels
t 1) Trouvera etb sachant que :
lim/(x) : 1 et f admet un extremum en 2
x-++Ço
* Dresser le tableau O" rfuiution de f
Exercice 2 (6 points)
Dans la figure ci-;qgrte, (O,î,n est un repère orthonormé direct, I est le demi cercle
trigonométrique AA' et C est la courbe représentative d'une fonction f définie sur
[-1,1]
1) a) Déterminer graphiquement :
(x)
lrfil f
x-+-7* X +
(x)
lrm f-
x-+L-X-l
-ô
8f {x) - 3rE
lim
xa-21 8x*4
i1i

2. b) Déterminer une approximation affine de f ( -0,4999)
/ c) Dresser le tableau de variation de f.
/ rl Prouver que f est d'équation : y -- ,{1:æ
/ 3) Soit M un point de I privé de A et A', d'abscisse x. On désigne par H le projeté
'/ orthogonal de M sur (OA) et par A(x) l'aire du triangie AMH
Montrer que A(x):1t, - x)lT - x'
,^, P 4) Sachant que (x):A(x) pour xe]-1,1[
fi) Déterminer les coordonnées cartésiennes puis polaires du point Ms de I pour
r' que l'aire du triangle (AM0H0 ) soit maximale.
Quetle est cette.aire ?
. Exercice no 3 (4 points)
1) Montrer par récurrence que pour tout neN : ÿ
32n+1 + 2x 43n+t est divisible par 11
2) x, y deux entiers naturels.
On considère l'équation (E) : 3x- 4y:14.
a) Vérifier (6 ; 1) est uhe solution de l'équation (E).
U) les couples (x;-v) d'.ïti"r. out*.t. rolutions de (E).
@ ?etenniàrarors
Exercice rc 4 : (3,5 poinis)
Soit A(x) : cos4x + 2cos2x + 1 ; xeR.
1) a) Vérifier que A(xf 2cos2 2x+ Zcas2x
b) Résoudre alors dans iR puis dans I-:,:l l'équation A(x):O
2) soitB(x): #ffi;
par
xeiR
On désigne E l'ensemble des réels x pour lesquels B(x) est définie
a) Déterminer E
y'q J
Montrer que pour xeE, B(x)- 1
c) Résoudre dansl- Tr,!l l'ioéquation :
B(x) < 2sin x
Exercice no 5 . (3,5 points)
Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (O,î,i)
On considère les points A, B et C tels que :
A de coordonnées polaires (2,a); u€ t0,il
B le point du cercle trigonométrique avec (OÂ,0Ë)= 2al2r) îC gô et -
1) a) Déterminer en fonction de a les coordonnées cartésiennes des points A et B
b) En déduire que C est de coordonnées (2cos a-cos 3a ;2sin a-sin 3a)
a) Déterminer a pour que les points O, A et B soient alignés
b) Montrer que OË. Od:2cos 2q-1
c) Déterminer alors d pour que ACOB soit un rectangle puis le construire