Ce document présente un examen de mathématiques pour une classe de eb8, comprenant des questions sur les statistiques, la géométrie, et un tableau de proportionnalité. Les élèves doivent traiter des données sur le nombre de livres lus, résoudre des équations polynomiales, et prouver des inégalités mathématiques. L'examen est structuré en plusieurs sections avec des points attribués pour chaque question.

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CCS Mathématiques Juin 2015
Classe de EB8 Examen du 𝟑é𝒎𝒆 semestre Durée : 2 h
Nom :…………………………………..
:‫مالحظة‬‫ينا‬ ‫الذي‬ ‫بالترتيب‬ ‫اإلجابة‬ ‫المرشح‬ ‫يستطيع‬ ‫البيانات‬ ‫لرسم‬ ‫أو‬ ‫المعلومات‬ ‫الختزان‬ ‫أو‬ ‫للبرمجة‬ ‫قابلة‬ ‫غير‬ ‫حاسبة‬ ‫آلة‬ ‫باستعمال‬ ‫يسمح‬‫االلتزام‬ ‫(دون‬ ‫سبه‬
‫ا‬ ‫بترتيب‬.)‫المسابقة‬ ‫في‬ ‫الوارد‬ ‫لمسائل‬
I. (4 points)
Une étude statistique faite sur le nombre des livres lus par 200 élèves de classe EB8, a donné les
résultats représentés par le diagramme circulaire suivant :
1) Compléter le tableau suivant :
Nombre de livres
lus
1 2 3 4 5 6 total
Fréquences en %
Effectifs
Effectif cumulé
2) Déterminer le nombre des élèves qui ont lu au moins 3 livres.
3) Quel est le pourcentage des élèves qui ont lu plus qu’un livre et moins que 5 livres ?
4) Indiquer, en le justifiant, le plus fréquent nombre des livres lus par les élèves.
5) Dresser le digramme en bâtons des nombres des élèves.
6) Dresser le polygone des effectifs cumulés.
II. (3 points)
O, A et B sont trois points distincts et non alignés.
1) Construire le point C tel que 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ .
2) Quelle est la nature du quadrilatère OACB ? Justifier.
3) Soit D le milieu du [AB]. E est le symétrique de D par rapport à O et F est le symétrique de D par
rapport à B. Montrer que (EF) et (OB) sont parallèles. Déduire que 𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ .
III. (3 points)
On considère les deux nombres réels suivants :
𝐴 = √2(1 + √6) et 𝐵 = 2 − √6
1) Ecrire 𝐴 × 𝐵sous la forme de 𝑎√2 + 𝑏√3, où a et b sont deux entiers à déterminer.
2) Calculer 𝐴² et 𝐵². Déduire que : 𝐴²+ 𝐵² = 24.
1 livre
40%
2 livres
20%
3 livres
16%
4 livres
10%
5 livres
8%
6 livres
6%

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IV. (3 points)
On considère le tableau suivant :
1) Montrer que c’est un tableau de
proportionnalité.
2) Calculer le coefficient de proportionnalité et déduire l’équation de sa fonction linéaire.
V. (4 points)
On donne les polynômes : 𝑃( 𝑥) = (2𝑥 − 3)( 𝑥 + 4) − 𝑥² + 16 et 𝑄( 𝑥) = ( 𝑥 + 5)2 − 1
1) Factoriser 𝑃(𝑥) et 𝑄(𝑥).
2) Résoudre les équations suivantes :
a) 𝑃( 𝑥) = 0.
b) 𝑃( 𝑥) = 𝑄( 𝑥).
c) 𝑄( 𝑥) = 24.
3) Soit : 𝐹( 𝑥) =
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
a) Pour quelles valeurs de x, 𝐹(𝑥) est-elle définie ?
b) Simplifier 𝐹(𝑥) puis résoudre 𝐹( 𝑥) =
1
2
.
VI. (2 points)
1) Prouver que pour tout nombre différent de zéro, l’inéquation 𝑥² + 𝑦² ≥ 2𝑥𝑦 est toujours vraie.
2) Déduire que si 𝑥 𝑒𝑡 𝑦 sont non nulles avec la même signe alors
𝑥
𝑦
+
𝑦
𝑥
≥ 2.
VII. (6 points)
1) Dans un repère orthonormé d’axes x’Ox, y’Oy, placer les points A(1 ;3), B( 5 ;8) et C(5 ;3).
2) Calculer les mesures de [AB],[AC] et [BC], puis déduire la nature du triangle ABC.
3) Déterminer les coordonnées du point D, tel que 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗
4) Quelle est la nature du quadrilatère ACBD ? Justifier.
5) Déterminer les coordonnées du point I le milieu de [AC] et du point J celui de [AB].
6) Déduire la longueur du segment IJ.
7) Prouver que le quadrilatère OACB est un
parallélogramme.
VIII. (5 points)
Dans la figure suivante, on donne un cercle (C )
de centre O et de rayon 3 cm, BP= AB et 𝐵𝐴̂ 𝑁 =
30°.
1) Calculer AP,BN et AN.
2) Calculer AQ et BQ.
3) Vérifier que M est le milieu de [AP].
4) Vérifier que (OM) est perpendiculaire à
(AB).
5) Trouver le lieu géométrique du point P
lorsque M varie sur ( C).
BON TRAVAIL
0,16 × 10² 1,3̅
3 3
4
×
25
100
÷
3
4