Fractions EB7

1. Fractions
Classe : EB7
Matière : Mathématiques
Préparé par : Jennifer TOMKO
1

2. Fractions
Jennifer TOMKO
2
a et b sont deux entiers
𝑎
𝑏
numérateur
dénominateur
Termes de
la fraction
Exemple :
3
8
;
15
17
;
24
53
;
125
540
sont des fractions.
En particulier :
3
1
= 3
𝑎
1
= 𝑎
0
15
= 0
0
𝑏
= 0
154
154
= 1
𝑏
𝑏
= 1
0,7
2,5
n’est pas une fraction

3. Divisibilité
Jennifer TOMKO
3
Un entier est divisible par :
➢ 2 :
➢ 3 :
➢ 5 :
➢ 9 :
➢ 10 :
s’il se termine par 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8.
si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
s’il se termine par 0 ; 5.
si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
s’il se termine par 0.

4. Fraction réductible et irréductible
Jennifer TOMKO
4
48
60
fraction
réductible
=
4
5
Parmi ces fractions, lesquelles sont réductibles ?
175
2 005
;
420
5 400
;
13
15
;
28
1 056
;
42
17
;
390
19
175
2 005
420
5 400
28
1 056

5. Méthodes de réduction
Jennifer TOMKO
5
1. Méthode des divisions successives
2. Méthode de décomposition en facteurs premiers
3. Méthode en utilisant le PGCD

6. Méthodes de réduction
Jennifer TOMKO
6
1. Méthode des divisions successives :
108
144
=
54
72
=
27
36
=
9
12
=
3
4
105
65
=
21
13
1 260
1 350
=
630
675
=
210
225
=
70
75
=
14
15

7. Méthodes de réduction
Jennifer TOMKO
7
2. Méthode de décomposition en facteurs premiers :
108
144 =
2 2 × 3 3
2 4 × 3 2
=
2 × 2 × 3 × 3 × 3
2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3
=
3
2 × 2
=
3
4
105
65
=
3 × 5 × 7
5 × 1 3
=
3 × 7
1 3
=
2 1
1 3

8. Méthodes de réduction
Jennifer TOMKO
8
3. Méthode en utilisant le PGCD :
108
144
1 0 8 = 22 × 33
1 4 4 = 24 × 32
P G C D ( 1 0 8 ; 1 4 4 ) = 22
× 32 = 36
÷ 36
÷ 36
=
3
4

9. Méthodes de réduction
Jennifer TOMKO
9
3. Méthode en utilisant le PGCD :
105
65
1 0 5 = 3 × 5 × 7
6 5 = 5 × 1 3
P G C D ( 1 0 5 ; 6 5 ) = 5
÷ 5
÷ 5
=
2 1
1 3

10. Exercice 1
Jennifer TOMKO
10
Compléter.
49
56
=
8
24
=
4
7
15
25
=
3 5
8
=
40
6
10
=
54 123
=
3
5
7
5
90
42
25
205

11. Exercice 2
Jennifer TOMKO
11
Simplifier les fractions suivantes.
4
12
5 × 11 × 5
7 × 11
45
60
5 × 62 × 112
32 × 7 × 11
140
105
24 × 32 × 5
12
30
75
300
600
=
1
3
=
3
4
=
4
3
=
2
5
=
1
2
=
25
7
=
220
7
= 60

12. Exercice 3
Jennifer TOMKO
12
1° Compléter.
216
720
=
360
=
54
=
90
=
9
=
2° Donner la fraction irréductible égale à
216
720
.
3° Donner trois fractions simplifiées égales à
216
720
.
108
180
27
30
3
10
216
720
=
3
10
216
720
=
108
360
=
54
180

13. Exercice 4
Jennifer TOMKO
13
Donner la fraction irréductible égale à chacune des fractions suivantes :
30
25
90
126
500
800
42
96
=
6
5
=
5
7
=
5
8
=
7
16

14. Fractions égales à une fraction irréductible
Jennifer TOMKO
14
En multipliant les deux termes d’une fraction irréductible par un même entier non nul,
on obtient une fraction qui lui est égale.
𝑎
𝑏
irréductible, alors
𝑎
𝑏
=
𝑎 × 𝑘
𝑏 × 𝑘
avec 𝑘 non nul

15. Opérations sur les fractions
Jennifer TOMKO
15
1. Addition et soustraction
Calculer.
1°
1
2
−
1
3
+
1
6
2°
4
5
+
2
3
+
7
1 5
=
3
6
−
2
6
+
1
6
=
2
6
=
1
3
=
1 2
1 5
+
1 0
1 5
+
7
1 5
=
2 9
1 5

16. Opérations sur les fractions
Jennifer TOMKO
16
1. Addition et soustraction
Calculer.
3° 3 +
3
5
−
3
1 5
4° 1 +
1
3
−
1
2
=
4 5
1 5
+
9
1 5
−
3
1 5
=
5 1
1 5
=
1 7
5
=
6
6
+
2
6
−
3
6
=
5
6

17. Opérations sur les fractions
Jennifer TOMKO
17
1. Addition et soustraction
Calculer.
5°
3
1 2
−
1
6
−
3
3 6
6° 5 −
1
2
=
9
3 6
−
6
3 6
−
3
3 6
=
0
3 6
= 0
=
1 0
2
−
1
2
=
9
2

18. Opérations sur les fractions
Jennifer TOMKO
18
2. Multiplication
Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs et on multiplie les dénominateurs
𝑎
𝑏
×
𝑐
𝑑
=
𝑎 × 𝑐
𝑏 × 𝑑
a )
4
9
×
1
2
=
2
9
b )
7
6
× 3 =
7
2
c )
7
6
×
4
1 2
=
7
1 8

19. Opérations sur les fractions
Jennifer TOMKO
19
3. Division
Pour diviser deux fractions, on multiplie la première par l’inverse de la deuxième.
𝑎
𝑏
÷
𝑐
𝑑
=
𝑎
𝑏
×
𝑑
𝑐
a )
2
3
÷
4
5
=
2
3
×
5
4
=
5
6
b ) 5 ÷
3
7
= 5 ×
7
3
=
3 5
3
c )
7
6
÷ 3 =
7
6
×
1
3
=
7
1 8
d )
5
1 3
÷
9
1 3
=
5
1 3
×
1 3
9
=
5
9

20. Exercice 5
Jennifer TOMKO
20
Écrire la fraction qui correspond à :
1 °
6
8
3
×
3
4
2
=
3
4
3
×
3
4
2
=
3
4
3 + 2
=
3
4
5

21. Exercice 5
Jennifer TOMKO
21
Écrire la fraction qui correspond à :
2 °
1 5
2 5
5
×
1 2
2 0 =
3
5
5
×
3
5
=
3
5
5 + 1
=
3
5
6

22. Exercice 5
Jennifer TOMKO
22
Écrire la fraction qui correspond à :
3 °
9
4
1 0
×
3
2
5
=
3
2
2 1 0
×
3
2
5
=
3
2
2 0 + 5
=
3
2
2 5

23. Exercice 6
Jennifer TOMKO
23
1° Réduire la fraction
105
195
en appliquant des divisions successives à 105 et 195.
1 0 5
1 9 5
=
2 1
3 9
=
7
1 3

24. Exercice 6
Jennifer TOMKO
24
1° Réduire la fraction
105
195
en appliquant des divisions successives à 105 et 195.
2° Soit 𝑑 le 𝑝. 𝑔. 𝑐. 𝑑. de 105 et 195
a. Calculer 𝑑.
b. Déterminer :
105 ∶ 𝑑
195 ∶ 𝑑
c. Que peux-tu dire de la fraction obtenue ?
a. 𝑑 = 𝑃𝐺𝐶𝐷 105 ; 195 = 3 × 5 = 15
b.
105 ∶ 5
195 ∶ 5
=
7
13
c. La fraction obtenue est égale à la fraction irréductible.

25. Exercice 7
Jennifer TOMKO
25
Réponds par Vrai ou faux.
1° Si 𝒂 et 𝑏 sont deux entiers naturels avec 𝑏 ≠ 0 , alors
𝒂
𝒃
est une fraction.
2°
15
20
est une fraction irréductible.
3° Une écriture simplifiée de
12
18
est
6
9
.
4°
425
325
=
4
3
Vrai
Faux,
15
20
=
3
4
;
3
4
est une fraction irréductible.
Vrai
Faux,
425
325
=
425 ∶ 25
325 ∶ 25
=
17
13

26. Exercice 7
Jennifer TOMKO
26
Réponds par Vrai ou faux.
5°
14
20
=
14 − 6
20 − 6
6° Pour trouver la fraction irréductible égale à
240
460
, on divise les deux termes 240 et 460 par leur 𝑝. 𝑔. 𝑐. 𝑑
Faux,
14
20
=
14 ∶ 2
20 ∶ 2
=
7
10
Vrai

27. Exercice 8
Jennifer TOMKO
27
Donne la forme réduite de la fraction
𝟓𝟔𝟒
𝟖𝟓𝟐
par la méthode de la décomposition en facteurs
premiers.
5 6 4 2
2 8 2 2
1 4 1 3
4 7 47
1
564 = 22 × 3 × 47
8 5 2 2
4 2 6 2
2 1 3 3
7 1 71
1
852 = 22 × 3 × 71

28. Exercice 9
Jennifer TOMKO
28
Calculer.
1 °
4
5
×
5
2
+
3
2
× 4 = 2 + 3 × 2
= 2 + 6
= 8

29. Exercice 9
Jennifer TOMKO
29
Calculer.
2 ° 4 + 5 ×
4
3
− 2 ×
5
3 = 4 +
2 0
3
−
1 0
3
=
1 2
3
+
2 0
3
−
1 0
3
=
2 2
3

30. Exercice 9
Jennifer TOMKO
30
Calculer.
3 °
2
3
+
5
3
× 8 =
2
3
+
4 0
3
=
4 2
3

31. Exercice 9
Jennifer TOMKO
31
Calculer.
4 °
1
2
−
1
3
: 1 +
2
3 =
3
6
−
2
6
:
3
3
+
2
3
=
1
6
∶
5
3
=
1
6
×
3
5
=
1
1 0

32. Exercice 9
Jennifer TOMKO
32
Calculer.
5 ° 1 −
1
3
∶ 1 +
2
3 = 1 −
1
3
∶
3
3
+
2
3
= 1 −
1
3
∶
5
3
= 1 −
1
3
×
3
5
= 1 −
1
5
=
5
5
−
1
5
=
4
5

33. Exercice 9
Jennifer TOMKO
33
Calculer.
6 °
3
4
−
4 9
6
∶
2
3
=
9
1 2
−
9 8
1 2
∶
2
3
= −
8 9
1 2
∶
2
3
= −
8 9
1 2
×
3
2
= −
8 9
8

34. Exercice 10
Jennifer TOMKO
34
Pour 𝑎 =
1
2
et 𝑏 =
3
7
, calculer :
1 ° 3 𝑎 − 𝑏 = 3
1
2
−
3
7
=
3
2
−
3
7
=
2 1
1 4
−
6
1 4
=
1 5
1 4

35. Exercice 10
Jennifer TOMKO
35
Pour 𝑎 =
1
2
et 𝑏 =
3
7
, calculer :
2 ° 𝑏 − 𝑎 + 1 =
3
7
−
1
2
+ 1
=
6
1 4
−
7
1 4
+
1 4
1 4
=
1 3
1 4

36. Exercice 10
Jennifer TOMKO
36
Pour 𝑎 =
1
2
et 𝑏 =
3
7
, calculer :
3 ° 𝑎 + 3 𝑏 =
1
2
+ 3 ×
3
7
=
1
2
+
9
7
=
7
1 4
+
1 8
1 4
=
2 5
1 4

37. Exercice 11
Jennifer TOMKO
37
On donne 𝑎 =
5
13
et 𝑏 =
12
13
.
Montrer que 𝑎2 + 𝑏2 = 1
𝑎2 + 𝑏2
=
5
13
2
+
12
13
2
=
2 5
1 6 9
+
1 4 4
1 6 9
=
1 6 9
1 6 9
= 1 vérifiée

38. Exercice 12
Jennifer TOMKO
38
Effectuer.
=
3
6
−
2
3
∶
3
3
+
2
3
2
=
1
6
∶
5
3
2
=
1
6
∶
2 5
9
=
1
6
×
9
2 5
=
3
5 0
1°
1
2
−
1
3
: 1 +
2
3
2

39. Exercice 11
Jennifer TOMKO
39
Effectuer.
=
5
6
×
4
3
×
15
20
+
8
20
+
4
12
+
45
12
=
1 0
9
×
2 3
2 0
+
4 9
1 2
=
2 3
1 8
+
4 9
1 2
=
4 6
3 6
+
1 4 7
3 6
=
1 9 3
3 6
2°
5
6
∶
3
4
×
3
4
+
2
5
+
1
3
+
15
4

40. Exercice 11
Jennifer TOMKO
40
Effectuer.
= 1 +
4
3
×
9
2
−
6
2
2
:
3
8
= 1 +
4
3
×
3
2
2
:
3
8
= 1 +
4
3
×
9
4
×
8
3
= 1 +
4
3
× 6
3° 1 +
4
3
×
63
14
− 3
2
:
39
104
= 1 + 4 × 2
= 1 + 8
= 9

41. Exercice 12
Jennifer TOMKO
41
Réduire les fractions suivantes.
=
7 2
3 × 5
=
4 9
1 5
1°
3 × 5 2 × 7 4
3 2 × 5 3 × 7 2

42. Exercice 12
Jennifer TOMKO
42
Réduire les fractions suivantes.
=
2 3 × 3 2 × 2 2
2×5×1 1 2
=
2 4 × 3 3
2 × 5 × 1 1 2
=
2 4 × 3 3
5 × 1 1 2
=
4 3 2
6 0 5
2°
( 2 × 3 ) 3 × 2 2
1 0 × 1 12

43. Exercice 12
Jennifer TOMKO
43
Réduire les fractions suivantes.
=
5 2 × 2 4 × 3
2 6 × 3 × 5
=
5
2 2
=
5
4
3°
2 5 × 4 8
6 4 × 1 5

44. Exercice 12
Jennifer TOMKO
44
Réduire les fractions suivantes.
=
5 × 9
3 × 9
+
3 × 9
3 × 9
=
5
3
+ 1
=
5
3
+
3
3
=
8
3
4°
5 × 9 + 3 × 9
3 × 9

45. Exercice 13
Jennifer TOMKO
45
Une salle de spectacle comporte 𝟒𝟓𝟎 places. Les quatre cinquièmes de ces places sont
occupées.
1° Quelle est le nombre de places non occupées ?
4
5
× 450 = 360
360 places sont occupées.
450 − 360 = 90
90 places sont non occupées.

46. Exercice 13
Jennifer TOMKO
46
Une salle de spectacle comporte 𝟒𝟓𝟎 places. Les quatre cinquièmes de ces places sont
occupées.
1° Quelle est le nombre de places non occupées ?
2° Le tiers des places occupées sont de première catégorie.
Quel est le nombre de places occupées de première catégorie ?
1
3
𝑑𝑒 360 ∶
1
3
× 3 6 0 = 1 2 0
120 places sont occupées de première catégorie.