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Géométrie Classe EB7
- 1. Géométrie Classe : EB7 Matière : Mathématiques Préparé par : Jennifer TOMKO 1
- 2. Plan Droite, demi-droite et d’un segment Angles et bissectrice. Définition et propriétés de la médiatrice. Définition de la symétrie. Cercle. Jennifer TOMKO 2
- 3. Droite, demi-droite et segment (𝑥𝑦) est une droite qui peut se nommer aussi 𝐴𝐵 𝐴 et 𝐵 sont deux points qui appartiennent à (𝑥𝑦) [𝐴𝐵] est un segment de droite; 𝐴 et 𝐵 sont les extrémités de [𝐴𝐵] 𝐼 est le milieu de [𝐴𝐵] alors 𝐴𝐼 = 𝐼𝐵 [𝐴𝑦) ; [𝐵𝑥) ; [𝐴𝑥) et [𝐵𝑦) sont des demi-droites. JenniferTOMKO JenniferTOMKO 3
- 4. Droites JenniferTOMKO Les droites (𝑑) et (𝑑′) sont deux droites sécantes ou concourantes en 𝐴. Les droites (𝑑) et (𝑑′) sont deux droites perpendiculaires en 𝐴. JenniferTOMKO 4 𝑥 𝑦 𝑢 𝑣 Les droites (𝑥𝑦) et (𝑢𝑣) sont parallèles.
- 5. Droites JenniferTOMKO 𝑥 𝑦 𝑢 𝑣 x A Par un point pris hors d’une droite, on peut mener une parallèle à cette droite et une seule. JenniferTOMKO 5
- 7. Angles JenniferTOMKO JenniferTOMKO 7 𝑥𝑂𝑦 est un angle aigu 𝑥𝑂𝑦 < 90° 𝑥𝑂𝑦 est un angle droit 𝑥𝑂𝑦 = 90° 𝑥𝑂𝑦 est un angle obtus 90° < 𝑥𝑂𝑦 < 180° 𝑥𝑂𝑦 est un angle plat 𝑥𝑂𝑦 = 180°
- 8. Angles opposés par le sommet JenniferTOMKO JenniferTOMKO 8 𝑥𝑂𝑡 𝑒𝑡 𝑦𝑂𝑧 sont deux angles opposés par le sommet 𝑂 𝑥𝑂𝑡 = 𝑦𝑂𝑧 𝑥𝑂𝑧 𝑒𝑡 𝑦𝑂𝑡 sont deux angles opposés par le sommet 𝑂 𝑥𝑂𝑧 = 𝑦𝑂𝑡
- 9. Angles adjacents JenniferTOMKO JenniferTOMKO 9 Deux angles sont adjacents s’ils : - ont un même sommet - ont un côté commun - sont situés de part et d’autre de leur côté commun.
- 10. Angles adjacents complémentaires JenniferTOMKO JenniferTOMKO 10 Deux angles sont adjacents s’ils : - ont un même sommet - ont un côté commun - sont situés de part et d’autre de leur côté commun. Deux angles adjacents complémentaires forment un angle droit. 𝑥𝑂𝑦 + 𝑦𝑂𝑧 = 90°
- 11. Angles adjacents supplémentaires JenniferTOMKO JenniferTOMKO 11 Deux angles sont adjacents s’ils : - ont un même sommet - ont un côté commun - sont situés de part et d’autre de leur côté commun. Deux angles adjacents supplémentaires forment un angle plat. 𝑥𝑂𝑦 + 𝑦𝑂𝑧 = 180°
- 12. Application 1 JenniferTOMKO JenniferTOMKO 12 Trace un angle 𝒙𝑶𝒚 = 𝟒𝟎° Trace un angle 𝒚𝑶𝒛 = 𝟓𝟎° Comment sont les angles 𝒙𝑶𝒚 et 𝒚𝑶𝒛 ? 𝑥𝑂𝑦 et 𝑦𝑂𝑧 ont un sommet commun 𝑂 et un côté commun [𝑂𝑦) et ces deux angles sont situés de part et d’autre de leur côté commun Donc 𝑥𝑂𝑦 et 𝑦𝑂𝑧 sont deux angles adjacents. 𝑥𝑂𝑦 + 𝑦𝑂𝑧 = 40° + 50° = 90° Par suite, 𝑥𝑂𝑦 et 𝑦𝑂𝑧 sont deux angles adjacents complémentaires.
- 13. Application 2 JenniferTOMKO JenniferTOMKO 13 Trace un angle 𝒙𝑶𝒚 = 𝟕𝟎° Trace la demi-droite [𝑶𝒛) pour que les deux angles 𝒙𝑶𝒚 et 𝒚𝑶𝒛 soient deux angles adjacents supplémentaires. Quelle est la mesure de l’angle 𝒚𝑶𝒛 ? 𝑥𝑂𝑦 et 𝑦𝑂𝑧 sont deux angles adjacents supplémentaires Alors 𝑥𝑂𝑦 + 𝑦𝑂𝑧 = 180° 𝑦𝑂𝑧 = 180° − 𝑥𝑂𝑦 = 180° − 70° = 110°
- 14. Exercice JenniferTOMKO JenniferTOMKO 14 1° angle droit : 𝑡𝑂𝑦 ; 𝑡𝑂𝑥 angle plat : 𝑥𝑂𝑦 ; 𝑠𝑂𝑢 2° angle aigu : 𝑡𝑂𝑢 ; 𝑢𝑂𝑦 ; 𝑦𝐼𝑧 ; 𝑥𝑂𝑠 angle obtus : 𝑥𝑂𝑢 ; 𝑠𝑂𝑦 ; 𝑥𝐼𝑧 ; 𝑠𝑂𝑡 3° 𝑥𝑂𝑠 et 𝑢𝑂𝑦 ; 𝑥𝑂𝑢 et 𝑠𝑂𝑦 4° 𝑥𝑂𝑡 et 𝑡𝑂𝑢 ; 𝑡𝑂𝑢 et 𝑢𝑂𝑦 ; 𝑦𝑂𝑠 et 𝑠𝑂𝑥 ; 𝑦𝐼𝑧 et 𝑧𝐼𝑥 .
- 15. Exercice JenniferTOMKO JenniferTOMKO 15 5° adjacents complémentaires : 𝑡𝑂𝑢 et 𝑢𝑂𝑦 adjacents supplémentaires: 𝑢𝑂𝑡 et 𝑡𝑂𝑠 ; 𝑥𝑂𝑡 et 𝑡𝑂𝑦 ; 𝑦𝐼𝑧 et 𝑧𝐼𝑥 ; 𝑢𝑂𝑦 et 𝑦𝑂𝑠 ; 𝑥𝑂𝑠 et 𝑠𝑂𝑦 ; 𝑢𝑂𝑥 et 𝑥𝑂𝑠 6° a) Faux b) Faux c) Faux d) Vrai e) Faux
- 16. Bissectrice d’un angle JenniferTOMKO JenniferTOMKO 16 La bissectrice d’un angle est la demi-droite issue du sommet de cet angle et qui le partage en deux angles adjacents et de même mesure. 𝒙𝑶𝒚 = 𝒚𝑶𝒛 = 𝒙𝑶𝒛 𝟐 [𝑶𝒚) est la bissectrice de l’angle 𝒙𝑶𝒛 alors :
- 17. Bissectrice d’un angle JenniferTOMKO JenniferTOMKO 17 Construction 1. Sur [𝑂𝑥) et [𝑂𝑦) on prend respectivement deux points à égale distance de 𝑂. 2. On prend une ouverture du compas et on trace un arc de cercle du premier point et avec la même ouverture, un trace un arc de cercle du deuxième point. 3. Ces deux arcs se coupent en un point. 4. La demi-droite [𝑂𝑧) mené du point 𝑂 et qui passe par ce point d’intersection des deux arcs est la bissectrice de cet angle.
- 18. Application 3 JenniferTOMKO JenniferTOMKO 18 Tracer un angle 𝒙𝑶𝒚 = 𝟔𝟎°. Tracer [𝑶𝒕) la bissectrice de 𝒙𝑶𝒚. Calcule la mesure de 𝒙𝑶𝒕. [𝑂𝑡) est la bissectrice de 𝑥𝑂𝑦 Alors 𝑥𝑂𝑡 = 𝑥𝑂𝑦 2 = 60° 2 = 30°
- 19. Remarque JenniferTOMKO JenniferTOMKO 19 • Les bissectrices de deux angles adjacents supplémentaires forment un angle droit. • Les bissectrices de deux angles adjacents complémentaires forment un angle de 45°.
- 20. Médiatrice d’un segment JenniferTOMKO JenniferTOMKO 20 (𝑑) est la médiatrice de [𝐴𝐵] (𝑑) ⊥ (𝐴𝐵) (𝑑) coupe [𝐴𝐵] en son milieu 𝑂. La médiatrice d’un segment est la droite qui coupe ce segment perpendiculairement en son milieu.
- 21. Médiatrice d’un segment JenniferTOMKO JenniferTOMKO 21 Construction 1. Prendre une ouverture du compas plus grande que la moitié du segment et conserver cette ouverture pour toutes les étapes de la construction. 2. Placer la pointe sèche du compas sur 𝐴 et tracer un arc de cercle et de même sur le point 𝐵. 3. Répéter les mêmes étapes de l’autre côté du segment. 4. Chaque deux arcs de cercle se coupent en un point. La droite qui passe par ces deux points est la médiatrice du segment [𝐴𝐵].
- 22. Médiatrice d’un segment JenniferTOMKO JenniferTOMKO 22 Propriété de la médiatrice Tout point de la médiatrice d’un segment est équidistant des extrémités de ce segment. Réciproque de la médiatrice Tout point équidistant des extrémités d’un segment appartient à la médiatrice de ce segment.
- 23. Tracer le point 𝑨’ symétrique de 𝑨 par rapport à 𝑶. Symétrie d’un point par rapport à un point JenniferTOMKO JenniferTOMKO 23 𝐴𝑂 = 𝑂𝐴′ 𝑂 est le milieu de [𝐴𝐴′ ] 𝑂 est le centre de symétrie. 𝐴 ; 𝑂 et 𝐴′ sont alignés.
- 24. Tracer le point 𝑨’ symétrique de 𝑨 par rapport à (𝒅). Symétrie d’un point par rapport à une droite JenniferTOMKO JenniferTOMKO 24 𝐼 est le milieu de [𝐴𝐴′] (𝑑) est perpendiculaire à [𝐴𝐴′ ] en son milieu 𝐼 alors (𝑑) est la médiatrice de [𝐴𝐴′ ].
- 25. Tracer le segment [𝑨’𝑩′] symétrique de [𝑨𝑩] par rapport à 𝑶. Symétrie d’un segment par rapport à un point JenniferTOMKO JenniferTOMKO 25 𝐴𝐵 = 𝐴′ 𝐵′ (𝐴𝐵) ∥ (𝐴′ 𝐵′) 𝑂 est le centre de symétrie. 𝐴 ; 𝑂 et 𝐴′ sont alignés. 𝐵 ; 𝑂 et 𝐵′ sont alignés.
- 26. Tracer le segment [𝑨’𝑩′] symétrique de [𝑨𝑩] par rapport à (𝒅). Symétrie d’un segment par rapport à une droite JenniferTOMKO JenniferTOMKO 26 𝐴𝐵 = 𝐴′ 𝐵′ (𝑑) est la médiatrice [𝐵𝐵′ ] et [𝐴𝐴′ ].