Le document présente un examen de mathématiques couvrant divers thèmes, y compris la manipulation de nombres, la résolution d'équations, l'analyse de tarifs de restauration et des propriétés géométriques. Les questions incluent la démonstration de propriétés mathématiques, la résolution de systèmes d'équations et l'application du théorème de Pythagore. L'examen est structuré en plusieurs parties, chacune abordant des concepts clés des mathématiques du niveau collège.

1. CCS
Classe de EB9
Mathématiques
Examen du
semestre
23 Déc. 2013
Durée : 2 hs
Nom :…………………………………..
I.
(3 points)
On considère les quatre nombres A, B ,C et D.
,
,
et
On demande de faire apparaître les étapes de calculs suivants :
1) Prouver que A est un entier naturel.
2) Ecrire B sous la forme d’une fraction le plus simple.
3) Prouver que C est un nombre décimal.
4) Donner l’écriture scientifique de D.
II.
(2 points)
Une librairie offre une réduction de 10 % sur ses articles.
La somme des prix initiaux d'un stylo et d'un agenda est trois fois le prix initial du stylo.
La somme des prix réduits du stylo et de l'agenda est 54 000 LL.
1) Traduire les informations ci-dessus par un système de deux équations à deux inconnues.
2) Résoudre ce système et trouver le prix initial d’un stylo et celui d’un agenda.
III.
(2 points)
Un restaurant propose à ses clients deux formules de tarifs pour le déjeuner :
Formule A : Abonnement mensuel de 200000 LL.
Formule B : 11000 LL par repas.
1) Yara prend 20 repas par mois. Quelle est la formule la plus avantageuse pour Yara ? Justifier.
2) Youssef prend 10 repas par mois. Quelle est la formule la plus avantageuse pour Youssef ?
Justifier.
3) Soit le nombre de repas pris par mois. Exprimer en fonction de , le prix à payer avec les
deux formules.
4) En résolvant une inéquation, indiquer le nombre de repas duquel la formule B est la plus
avantageuse.
IV.
(3 points)
On donne un rectangle ABCD tel que AB= 5 cm et AD= 4 cm, soit M un point de [AB] tel que
BM= 2cm.
1) Calculer DM.
2) Ed déduire que le triangle DMC est isocèle.
3) Soit I est le milieu de [MC]. Montrer que les 4 points A, M, I et D appartiennent à un même
cercle de centre O, dont on calculera le rayon.
4) Calculer MC , MI et MD.
Page 1 of 2

2. V.
(5 points)
Dans un repère orthonormé d’axes x'Ox et y'Oy, on donne la droite (D) d’équation y = -2x-3
et les deux points A (-2 ; 1) et B (6 ; 5).
1) Vérifier que (D) passe par A.
2) Placer A et B, et tracer (D).
3) Déterminer l’équation de (AB) et déduire que (D) est perpendiculaire à (AB).
4) La droite (D) coupe y'Oy en C. Trouver les coordonnées de C.
5) Soit (S) le cercle circonscrit au triangle ABC .Calculer les coordonnées du centre I de ce cercle.
6) Soit (D') la droite parallèle à (AB) menée de C. (D') recoupe le cercle (S) en E.
a. Quelle est la nature du quadrilatère ABEC ? Justifier.
b. Calculer les coordonnées du point E.
c. Soit (d) la tangente en A à (S). Trouver l’équation de (d).
VI.
1)
2)
3)
4)
5)
(5 points)
Dans la figure ci-contre on a :
(C ) est un cercle de centre O et de diamètre
[AB].
OA= OB= 3 cm.
P est un point de [AB) tel que OP= 5 cm.
E est un point de ( C) tel que EP= 4 cm.
(D) est tangent en A au (C ).
(PE) coupe (D) en J.
Reproduire la figure.
Prouver que (PE) est tangent au (C ) en E. Déduire
que JE= JA.
Soit JE= JA= et JP=
où est un mesure de
longueur en cm.
a. Appliquer théorème de Pythagore dans le triangle
APJ pour calculer .
b. Déduire que ABJ est un triangle rectangle
isocèle.
(JB) recoupe ( C) en F. Prouver que F est le milieu de [BJ] et que (FO) est la médiatrice de [AB].
Soit N le milieu de [MB]. Trouver le lieu géométrique de N lorsque M varie sur (C).
BON TRAVAIL.
Page 2 of 2