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Lycée officiel des filles Classe : S1
Kobayat Examen mi- année
MATHS
Durée :
120 mn
I. (3 pts)
Dans le tableau ci-dessous, une seule réponse à chaque question est correcte.
Écrire le numéro de la question et la réponse correspondante. Justifier votre choix.
No Questions
Réponses
a b c
1o
On suppose que a < −1,
l’expression |1 −
1
a+1
| est égale a :
−
𝑎
𝑎 + 1
𝑎
𝑎 + 1
𝑎
𝑎 − 1
2 o
−3 ≤ 𝑥 ≤ 4 alors : 9 ≤ 𝑥2
≤ 16 0 ≤ 𝑥2
≤ 16 0 ≤ 𝑥2
≤ 9
3 o Si 𝑥 ∈ [1; 3] alors
𝑥2+2
𝑥
appartient
à :
[1; 3] [1; 10] [1; 11]
4º 𝐴 =
1
√3−2
et 𝐵 =
1
√3−3
𝐴 = 𝐵 𝐴 > 𝐵 𝐴 < 𝐵
II. (3.5 pts)
Soit l’ensemble 𝐸 = {0; 1; 2; 3; 4;5; 6;7;8;9}.
𝐴 = { 𝑥 ∈ 𝐸 / 2𝑥2
− 2𝑥 = 0} ,
𝐵 = {1;3; 9} ,
𝐶 = { 𝑥 ∈ 𝐸 / 𝑥 = 𝑦 − 1 𝑒𝑡 𝑦 ∈ 𝐵} et
𝐷 = {3;6;9} sont des sous-ensembles de 𝐸.
1) Ecrire 𝐴,𝐶 , 𝐷̅ et 𝐵̅ en extension.
2) Ecrire 𝐸, 𝐵 et 𝐷 en compréhension.
3) Ecrire en extension 𝐷⋂𝐵, 𝐷⋂𝐵̅̅̅̅̅̅̅ , 𝐷̅⋃𝐵̅ .
4) Ecrire en extension 𝑃( 𝐵) .
5) Trouver l’ensemble 𝐹 tel que 𝐹⋃𝐷 = 𝐸 et 𝐹⋂𝐷 = ∅.
III. (2.5 pts)
Simplifier les expressions suivantes:
1)
22×10−5
(22×53)3 ×
210×253
25−4 .
2) | 𝑥2
− √𝑥2| + √𝑥4 + | 𝑥 + 1| , avec 𝑥 ∈ ]−1;0[ .
3)
√4𝑎2 𝑏4
√32𝑎10 𝑏55 avec 𝑎 < 0 et 𝑏 > 0.
IV. (4 pts)
Soit 𝑥 et 𝑦 deux nombres réels tel que :
|2𝑥 − 5| < 3 et −3 < 𝑦 < −1
1) Montrer que 1 < 𝑥 < 4.
2) Encadrer 𝑥 − 𝑦 et 𝑦2
.
3) Déduire un encadrement de
−𝑦2
2(𝑥−𝑦)
.
4) Soit 0 < √ 𝑎 − 𝑏 < 1.
Ranger par ordre croissant :
√ 𝑎 − 𝑏 ,
1
√ 𝑎−𝑏
, 1 , (√ 𝑎 − 𝑏)
2
, √√ 𝑎 − 𝑏
5) Résoudre les inéquations suivantes, puis écrire la solution sous la forme d’un
intervalle ou de réunion d’intervalles.
a) | 𝑥 + 2| − 1 > 4 b) |−3𝑥 + 1| + 6 < 2
V. (4 pts)
1) Simplifier :
𝐴( 𝑥) = cos(9𝜋 − 𝑥) + sin (
11𝜋
2
− 𝑥) − sin(−𝜋 − 𝑥) + cos (
5𝜋
2
+ 𝑥)
𝐵( 𝑥) = tan(5𝜋 − 𝑥) − tan (
7𝜋
2
+ 𝑥) + tan( 𝑥 −
𝜋
2
)
2) Trouver 𝛼 tel que 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = −
√3
2
et 0 ≤ 𝛼 ≤ 𝜋.
3) Soit 𝑥 un angle tel que
𝜋
2
< 𝑥 < 𝜋 et 𝑠𝑖𝑛2
𝑥 + 5𝑐𝑜𝑠2
𝑥 = 2.
Montrer que cos 𝑥 = −
√2
2
.
4) Démontrer l’égalité suivante : 𝑐𝑜𝑠2
𝑦 × (2 + 𝑡𝑎𝑛2
𝑦) = 2 − 𝑠𝑖𝑛2
𝑦
VI. (3 pts)
Considérons un triangle 𝐴𝐵𝐶.
𝑃 et 𝑄 sont deux points definis par : 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ et 3𝑄𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑄𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ .
1) Montrer que : 𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
3
𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ =
2
5
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ , puis construire 𝑃 et 𝑄.
2) Le point 𝐺 est défini par −𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0.
𝑀 et 𝑀′ sont deux points definis par : 𝑀𝑀′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
Montrer que 𝑀𝑀′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 4𝑀𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
Que peut-on dire des points 𝑀, 𝑀′ et 𝐺 ? Justifier votre réponse.
Bon travail

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Examen Seconde 2018-2019

  • 1. Lycée officiel des filles Classe : S1 Kobayat Examen mi- année MATHS Durée : 120 mn I. (3 pts) Dans le tableau ci-dessous, une seule réponse à chaque question est correcte. Écrire le numéro de la question et la réponse correspondante. Justifier votre choix. No Questions Réponses a b c 1o On suppose que a < −1, l’expression |1 − 1 a+1 | est égale a : − 𝑎 𝑎 + 1 𝑎 𝑎 + 1 𝑎 𝑎 − 1 2 o −3 ≤ 𝑥 ≤ 4 alors : 9 ≤ 𝑥2 ≤ 16 0 ≤ 𝑥2 ≤ 16 0 ≤ 𝑥2 ≤ 9 3 o Si 𝑥 ∈ [1; 3] alors 𝑥2+2 𝑥 appartient à : [1; 3] [1; 10] [1; 11] 4º 𝐴 = 1 √3−2 et 𝐵 = 1 √3−3 𝐴 = 𝐵 𝐴 > 𝐵 𝐴 < 𝐵 II. (3.5 pts) Soit l’ensemble 𝐸 = {0; 1; 2; 3; 4;5; 6;7;8;9}. 𝐴 = { 𝑥 ∈ 𝐸 / 2𝑥2 − 2𝑥 = 0} , 𝐵 = {1;3; 9} , 𝐶 = { 𝑥 ∈ 𝐸 / 𝑥 = 𝑦 − 1 𝑒𝑡 𝑦 ∈ 𝐵} et 𝐷 = {3;6;9} sont des sous-ensembles de 𝐸. 1) Ecrire 𝐴,𝐶 , 𝐷̅ et 𝐵̅ en extension. 2) Ecrire 𝐸, 𝐵 et 𝐷 en compréhension. 3) Ecrire en extension 𝐷⋂𝐵, 𝐷⋂𝐵̅̅̅̅̅̅̅ , 𝐷̅⋃𝐵̅ . 4) Ecrire en extension 𝑃( 𝐵) . 5) Trouver l’ensemble 𝐹 tel que 𝐹⋃𝐷 = 𝐸 et 𝐹⋂𝐷 = ∅. III. (2.5 pts) Simplifier les expressions suivantes: 1) 22×10−5 (22×53)3 × 210×253 25−4 . 2) | 𝑥2 − √𝑥2| + √𝑥4 + | 𝑥 + 1| , avec 𝑥 ∈ ]−1;0[ . 3) √4𝑎2 𝑏4 √32𝑎10 𝑏55 avec 𝑎 < 0 et 𝑏 > 0.
  • 2. IV. (4 pts) Soit 𝑥 et 𝑦 deux nombres réels tel que : |2𝑥 − 5| < 3 et −3 < 𝑦 < −1 1) Montrer que 1 < 𝑥 < 4. 2) Encadrer 𝑥 − 𝑦 et 𝑦2 . 3) Déduire un encadrement de −𝑦2 2(𝑥−𝑦) . 4) Soit 0 < √ 𝑎 − 𝑏 < 1. Ranger par ordre croissant : √ 𝑎 − 𝑏 , 1 √ 𝑎−𝑏 , 1 , (√ 𝑎 − 𝑏) 2 , √√ 𝑎 − 𝑏 5) Résoudre les inéquations suivantes, puis écrire la solution sous la forme d’un intervalle ou de réunion d’intervalles. a) | 𝑥 + 2| − 1 > 4 b) |−3𝑥 + 1| + 6 < 2 V. (4 pts) 1) Simplifier : 𝐴( 𝑥) = cos(9𝜋 − 𝑥) + sin ( 11𝜋 2 − 𝑥) − sin(−𝜋 − 𝑥) + cos ( 5𝜋 2 + 𝑥) 𝐵( 𝑥) = tan(5𝜋 − 𝑥) − tan ( 7𝜋 2 + 𝑥) + tan( 𝑥 − 𝜋 2 ) 2) Trouver 𝛼 tel que 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = − √3 2 et 0 ≤ 𝛼 ≤ 𝜋. 3) Soit 𝑥 un angle tel que 𝜋 2 < 𝑥 < 𝜋 et 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 5𝑐𝑜𝑠2 𝑥 = 2. Montrer que cos 𝑥 = − √2 2 . 4) Démontrer l’égalité suivante : 𝑐𝑜𝑠2 𝑦 × (2 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑦) = 2 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑦 VI. (3 pts) Considérons un triangle 𝐴𝐵𝐶. 𝑃 et 𝑄 sont deux points definis par : 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ et 3𝑄𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑄𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ . 1) Montrer que : 𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 3 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 5 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ , puis construire 𝑃 et 𝑄. 2) Le point 𝐺 est défini par −𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0. 𝑀 et 𝑀′ sont deux points definis par : 𝑀𝑀′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Montrer que 𝑀𝑀′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 4𝑀𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Que peut-on dire des points 𝑀, 𝑀′ et 𝐺 ? Justifier votre réponse. Bon travail