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Examen Seconde 2018-2019
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2.
IV. (4 pts) Soit
𝑥 et 𝑦 deux nombres réels tel que : |2𝑥 − 5| < 3 et −3 < 𝑦 < −1 1) Montrer que 1 < 𝑥 < 4. 2) Encadrer 𝑥 − 𝑦 et 𝑦2 . 3) Déduire un encadrement de −𝑦2 2(𝑥−𝑦) . 4) Soit 0 < √ 𝑎 − 𝑏 < 1. Ranger par ordre croissant : √ 𝑎 − 𝑏 , 1 √ 𝑎−𝑏 , 1 , (√ 𝑎 − 𝑏) 2 , √√ 𝑎 − 𝑏 5) Résoudre les inéquations suivantes, puis écrire la solution sous la forme d’un intervalle ou de réunion d’intervalles. a) | 𝑥 + 2| − 1 > 4 b) |−3𝑥 + 1| + 6 < 2 V. (4 pts) 1) Simplifier : 𝐴( 𝑥) = cos(9𝜋 − 𝑥) + sin ( 11𝜋 2 − 𝑥) − sin(−𝜋 − 𝑥) + cos ( 5𝜋 2 + 𝑥) 𝐵( 𝑥) = tan(5𝜋 − 𝑥) − tan ( 7𝜋 2 + 𝑥) + tan( 𝑥 − 𝜋 2 ) 2) Trouver 𝛼 tel que 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = − √3 2 et 0 ≤ 𝛼 ≤ 𝜋. 3) Soit 𝑥 un angle tel que 𝜋 2 < 𝑥 < 𝜋 et 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 5𝑐𝑜𝑠2 𝑥 = 2. Montrer que cos 𝑥 = − √2 2 . 4) Démontrer l’égalité suivante : 𝑐𝑜𝑠2 𝑦 × (2 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑦) = 2 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑦 VI. (3 pts) Considérons un triangle 𝐴𝐵𝐶. 𝑃 et 𝑄 sont deux points definis par : 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ et 3𝑄𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑄𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ . 1) Montrer que : 𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 3 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 5 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ , puis construire 𝑃 et 𝑄. 2) Le point 𝐺 est défini par −𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0. 𝑀 et 𝑀′ sont deux points definis par : 𝑀𝑀′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Montrer que 𝑀𝑀′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 4𝑀𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Que peut-on dire des points 𝑀, 𝑀′ et 𝐺 ? Justifier votre réponse. Bon travail
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