math

2.  Les suites sont les fonctions définies sur l’ensemble des nombres naturels.
 Les parties d’une suite sont les termes,
 On les note par a1; a2; a3;……..an; ……. 𝑛 ∈ ℕ 0
 n s’appelle indice du terme
 𝑎𝑛 est le terme général
 Une suite est notée par 𝑎𝑛

3.  On peut énumérer ses termes
 A l’aide d’une instruction univoque:
𝑙𝑒𝑠 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑖𝑟𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠é𝑐𝑢𝑡𝑖𝑓𝑠 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑢𝑛 𝑜𝑟𝑑𝑟𝑒 𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡
 Par le terme général: 𝑎𝑛 = 2𝑛 − 3
 A l’aide de la formule de récurrence:
 𝑎1 = 3; 𝑎𝑛 = 4 ∙ 𝑎𝑛−1 − 7
 Par un diagramme:

4.  Donner quelques termes de la suite suivante:
 𝑎𝑛 = 2𝑛 − 5

5.  Donner quelques termes de la suite suivante:
 𝑎1 = 3; 𝑎𝑛 = 4 ∙ 𝑎𝑛−1 − 7
 𝑎1 = 3
 𝑎2 = 4 ∙ 𝑎2−1 − 7 = 4 ∙ 𝑎1 − 7 = 4 ∙ 3 − 7 = 5
 𝑎3 = 4 ∙ 𝑎3−1 − 7 = 4 ∙ 𝑎2 − 7 = 4 ∙ 5 − 7 = 13
 𝑎4 = 4 ∙ 𝑎4−1 − 7 = 4 ∙ 𝑎3 − 7 = 4 ∙ 13 − 7 = 45
 𝑎5 = 4 ∙ 𝑎5−1 − 7 = 4 ∙ 𝑎4 − 7 = 4 ∙ 45 − 7 = 173

6. 1) Une suite 𝑎𝑛 est dite monotone croissante si pour tout n on a 𝑎𝑛−1 < 𝑎𝑛
Ex. 𝑎𝑛 = 𝑛
2) Une suite 𝑎𝑛 est dite monotone non décroissante si pour tout n on a 𝑎𝑛−1 ≤ 𝑎𝑛
Ex. 𝑎𝑛 = 𝑛2 − 3𝑛 + 3, dont les premiers termes sont: 1; 1; 3; 7…
3) Une suite 𝑎𝑛 est dite monotone décroissante si pour tout n on a 𝑎𝑛−1 > 𝑎𝑛
Ex. 𝑎𝑛 = −𝑛2
4) Une suite 𝑎𝑛 est dite monotone non croissante si pour tout n on a 𝑎𝑛−1 ≥ 𝑎𝑛
Ex. 𝑎𝑛 = −𝑛2 + 3𝑛 + 2, dont les premiers termes sont: 4; 4; 2;-2

7. 1) Une suite 𝑎𝑛 est dite minorée s’il existe un nombre k tel que pour tout n on ait
𝑘 ≤ 𝑎𝑛
Ce nombre k est appelé minorant de la suite.
Ex. 𝑎𝑛 = 𝑛, parce que pour tout n 1 ≤ 𝑎𝑛
2) Une suite 𝑎𝑛 est dite majorée s’il existe un nombre K tel que pour tout n on ait
𝑎𝑛 ≤ 𝐾
Ce nombre K est appelé majorant de la suite.
Ex. 𝑎𝑛 = −𝑛, parce que pour tout n 𝑎𝑛 < 0
3) Une suite est dite bornée si elle admet un minorant et un majorant, c’est-à-dire s’il
existe un nombre k et un nombre K tels que pour tout n on ait
𝑘 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 𝐾
Ex. 𝑎𝑛 = −
3
𝑛
, puisque pour tout n −3 ≤ 𝑎𝑛 < 0

8.  La suite arithmétique est une suite telle que la différence de deux termes
consécutifs ( quelconques) est un nombre constant.
 Ce constant est appelé différence (raison) de la suite et noté par d.
 𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1 = 𝑑
Ex. 1;3;5;7;9;11;13 ………… est une suite arithmétique car la différence de deux
termes consécutifs quelconques est toujours 2.

9.  En écrivant trois termes consécutifs d’une suite arithmétique:
 𝑎𝑛−1 = 𝑎𝑛 − 𝑑 𝑎𝑛 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 𝑑
On peut voir que le deuxième terme est la moyenne arithmétique des deux termes
adjacents ( le nom de la suite vient de cette propriété):

𝑎𝑛−1+𝑎𝑛+1
2
=
𝑎𝑛−𝑑+𝑎𝑛+𝑑
2
=
2𝑎𝑛
2
= 𝑎𝑛
 Tout terme (à partir du deuxième) est égale à la moyenne arithmétique des deux
termes situés symétriquement à ce terme:
 𝑎𝑛 =
𝑎𝑛−𝑘+𝑎𝑛+𝑘
2
𝑛; 𝑘 ∈ ℕ, 𝑘 ≥ 1; 𝑛 ≥ 2; 𝑘 < 𝑛

10.  C’est une suite arithmétique?
 On calcule la différence des deux termes consécutifs:
 La différence est la même, c’est une suite arithmétique.

11.  C’est une suite arithmétique?
 On calcule la différence des deux termes consécutifs:
 La différence est la même, c’est une suite arithmétique.

12.  C’est une suite arithmétique?
 On calcule la différence des deux termes consécutifs:
 La différence n’est pas la même, ce n’est pas une suite arithmétique.

13.  Si la différence d’une suite arithmétique est positive, alors la suite est croissante.
 𝑑 > 0
 Si la différence d’une suite arithmétique est négative, alors la suite est
décroissante.
 𝑑 < 0
 Si la différence d’une suite arithmétique est 0, alors la suite est constante.
 𝑑 = 0

14.  .
 .
 .
 𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑛 − 1 𝑑 la formule pour calculer le n-ième terme

15.  Déterminer les termes suivants de la suite si le premier terme est 6, la différence
est 3.
 𝑎1 = 6 𝑑 = 3
 𝑎5 =? 𝑛 = 5 𝑎5 = 𝑎1 + 𝑛 − 1 𝑑 = 6 + 5 − 1 3=18
 𝑎13 =? 𝑛 = 13 𝑎13 = 𝑎1 + 𝑛 − 1 𝑑 = 6 + 13 − 1 3 = 42
 𝑎100 =? 𝑛 = 100 𝑎100 = 𝑎1 + 𝑛 − 1 𝑑 = 6 + 100 − 1 3 = 303

16.  Dans une suite arithmétique 𝑎3 = 6 𝑒𝑡 𝑎5 = 14. Déterminer la différence et le
dixième terme de la suite!
 Deux possibilités pour la résolution:
 1) 𝑎3 = 6 = 𝑎1 + 3 − 1 𝑑 6 = 𝑎1 + 2𝑑
 𝑎5 = 14 = 𝑎1 + 5 − 1 𝑑 14 = 𝑎1 + 4𝑑 deux inconnus, deux équations
Sytème d’équation 8 = 2𝑑 𝑒𝑡 𝑑 = 4
 6 = 𝑎1 + 2𝑑 6 = 𝑎1 + 2 ∙ 4 𝑎1= -2
 𝑎10 = 𝑎1 + 𝑛 − 1 𝑑 = −2 + 10 − 1 4 = 34 𝑎10 = 34

17.  Entre le troisième et le cinquième terme il y a deux différences:
 Entre le troisième et le dixième terme il y a sept différences:

18.  Calculons la somme des 100 premiers nombres positifs entiers! ( 𝑆100)
 Comment?
 Alors 100 ∙ 101 = 2 ∙ 𝑆100
 5050 = 𝑆100

20.  Calculer la somme des nombres positifs entiers de deux chiffres!
 𝑎1 = 10 𝑎𝑛 = 99 𝑑 = 1 𝑆𝑛 =?
 Il manque encore n pour la formule:
 𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑛 − 1 𝑑 99 = 10 + 𝑛 − 1 1
 𝑛 = 90 ( il y a 90 nombres positifs entiers de deux chiffres)
 La somme:𝑆90 =
10+99
2
∙ 90 = 4905