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Racines carrées
Préparé par : Jennifer TOMKO
Classe : EB8
Matière : Mathématiques
Quels sont les nombres qui ont pour carré 49 ?
Jennifer TOMKO
2
(7)2
= 7 × 7 = 49
(−7)2
= −7 × −7 = 49
49 est le carré de 7
49 est le carré de −7
Racine carrée : Définition
7 est la racine carrée positive de 49
−7 est la racine carrée négative de 49
Un nombre 𝑎 admet deux racines carrées : l’une positive et l’autre négative.
𝒂 est la racine carrée positive de 𝑎.
− 𝒂 est la racine carrée négative de 𝑎.
49
7 = 49
−7 = − 49
Jennifer TOMKO
3
−4 (−3)2 = 9 32 = 9
Deux nombres opposés ont le même carré.
Racine carrée : Définition
Racine carrée : Définition
Soit 𝑎 un nombre positif.
La racine carrée de 𝑎 notée 𝑎 est le nombre positif dont le carré vaut 𝑎.
Jennifer TOMKO
4
49 = 7
16 = 4
9 = 3
100 = 10
9 = 3
9
2
= 32 = 9
36
2
= 62 = 36
144
2
= 122 = 144
𝑎 2 = 𝑎
Racine carrée : Définition
Soit 𝑎 un nombre positif.
La racine carrée de 𝑎 notée 𝑎 est le nombre positif dont le carré vaut 𝑎.
Jennifer TOMKO
5
62 = 36 = 6
−52 = −25 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒
(9 + 𝑥2)2 = 9 + 𝑥2
(−6)2 = 36 = 6
(5𝑥4)2 = 5𝑥4
(3 − 𝜋)2 = 𝜋 − 3
(6𝜋 − 15)2 = 6𝜋 − 15
(3𝜋 − 10)2 = 10 − 3𝜋
La racine carré d’un nombre est toujours un nombre positif.
𝑎2 = 𝑎 si 𝑎 ≥ 0
𝑎2 = 𝑜𝑝𝑝 𝑎 si 𝑎 ≤ 0
Application 1
Calculer.
Jennifer TOMKO
6
49 =
32 =
812 =
5 × 5 =
3
2
2
=
1,5 2 =
7
−92 =
1 =
0 =
24 =
16 =
510 =
𝑥8 =
𝑦4 =
3
81
5
2
= 5
3
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𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒
1
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𝑥4 2 = 𝑥4
𝑦2 2 = 𝑦2
36 =
− 1,2 2 =
25
36
=
29
2
=
𝑎4 =
−3 2 =
−5 2 =
5 × 5 =
Application 2
Calculer :
Jennifer TOMKO
7
6
−1,2
5
6
29
𝑎2 2 = 𝑎2
9 = 3
25 = 5
5
2
= 5
6𝑥 + 8𝑥 =
Réduire des expressions contenant des radicaux
Rappel
Jennifer TOMKO
8
6 + 8 𝑥 = 14𝑥
8𝑥 + 2𝑦 − 6𝑥 − 5𝑦 = 8 − 6 𝑥 + 2 − 5 𝑦 = 2𝑥 − 3𝑦
8 2 − 2 2 = 8 − 2 2 = 6 2
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4 𝑎 + 6 𝑎 − 2 𝑎 = 4 + 6 − 2 𝑎 = 8 𝑎
8 𝑎 + 5 𝑏 − 𝑎 − 2 𝑏 = 8 − 1 𝑎 + (5 − 2) 𝑏 = 7 𝑎 + 3 𝑏
7 5 − 2 4 + 3 5 + 2 4 = 7 + 3 5 + (−2 + 2) 4 = 10 5
Réduire des expressions contenant des radicaux
Jennifer TOMKO
9
5 5 + 3 = 5
2
+ 3 5
= 5 + 3 5
5 − 3 5 + 3 = 52
+ 5 3 − 5 3 − 3
2
= 25 − 3
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19 − 6 19 + 6 = 19
2
+ 6 19 − 6 19 − 62
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Application
1° Quel est le carré de 34 ?
Jennifer TOMKO
10
Le carré de 34 est 34.
2° Quelle est la valeur de 34
2
?
34
2
= 34
Application
1° Quels sont les nombres dont le carré est 9 ? 3 ?
Jennifer TOMKO
11
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− 3 et 3 ont pour carré 3
2° Existe-t-il un nombre dont le carré est −3 ?
Il n’existe pas un nombre dont le carré est −3.
Exercice 1
Réduire les radicaux suivants.
Jennifer TOMKO
12
9 =
4
25
=
10 000 =
0,81 =
( 15)2
=
1
4
=
(−10)2 =
Exercice 2
Calculer.
Jennifer TOMKO
13
−15 2 =
0 =
+81 =
−7 2 =
− 36
2
=
− −0,1 2 =
152 = 15
0
9
72 = 7
−6 2 = 62 = 36 ou 36
2
= 36
− 0,1 2 = −0,1
Exercice 3
Simplifier.
Jennifer TOMKO
14
3
2
=
− 3
2
=
− 9 =
−5 2 =
− 5 2 =
3
3
−3
5
−5
Exercice 4
Compléter les tableaux suivants.
Jennifer TOMKO
15
Exercice 5
Compléter le tableau suivant.
Jennifer TOMKO
16
Encadrer une racine
Encadrer 7 entre deux entiers consécutifs.
Jennifer TOMKO
17
4 < 7 < 9
2 < 7 < 3
Encadrer 43 entre deux entiers consécutifs.
36 < 43 < 49
6 < 43 < 7
Encadrer une racine
Encadrer 51 entre deux entiers consécutifs.
Jennifer TOMKO
18
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7 < 51 < 8
Encadrer 67 entre deux entiers consécutifs.
64 < 67 < 81
8 < 67 < 9
Exercice 6
Écris les expressions suivantes sous la forme 𝑎 𝑏 (𝑏 ≥ 0)
Jennifer TOMKO
19
𝐴 = 5 2 − 3 2
𝐵 = 8 5 − 17 5
𝐶 = 3 7 − 4 7 − 8 7 + 5 7
𝐷 = 3 𝑥 + 2 𝑥 − 𝑥
𝐸 = 5 𝑦 − 12 𝑦 + 17 𝑦 − 10 𝑦
Exercice 7
Trouver le nombre positif 𝑎.
Jennifer TOMKO
20
1° 𝑎 = 11 2° 𝑎 = 9 3° 𝑎 = 0 4° 𝑎 =
9
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Exercice 8
Entourer, chaque fois, la bonne réponse.
Jennifer TOMKO
21
Exercice 9
Effectuer et réduire.
Jennifer TOMKO
22
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2°) 5 × 5 × 5
3°) 2 × 2 × 2
4°) 3 2
2
− 2 2
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6°) 11 + 15 11 − 15
7°) 4 − 𝑥 4 + 𝑥
8°) 3 2
2
− 2 2
2
Comparer deux racines
5 …… 7
Jennifer TOMKO
23
<
48 …… 18
>
2 8 …… 7 2
2 8
2
7 2
2
32 98
<
6 5 …… 5 7
6 5
2
5 7
2
180 175
>
Exercice 10
Soit 𝑎 = 19 − 𝑥
Jennifer TOMKO
24
1° Calculer 𝑎 si 𝑥 = 3.
2° Peux-tu trouver la valeur numérique de 𝑎 si 𝑥 = 28 ?
3° Trouver la valeur de 𝑥 lorsque 𝑎 = 5.
Exercice 11
Soit 𝐸 = 2𝑥2
− 3𝑥 + 4 3
Calculer la valeur numérique de 𝐸, lorsque :
1° 𝑥 = 0 2° 𝑥 = 1 3° 𝑥 = 3
Exercice 12
Calculer 𝐴 = 𝑥2 + 𝑦2 et 𝐵 = 𝑥2 + 𝑦2, dans chacun des cas suivants.
1° 𝑥 = 4 et 𝑦 = 3.
2° 𝑥 = 4 et 𝑦 = −3.
Jennifer TOMKO
25
𝒂 𝒃 𝒂 × 𝒃 𝒂 𝒃 𝒂 × 𝒃 𝒂 × 𝒃
4 9
25 4
Règles de calcul
Produit de radicaux
Complète le tableau suivant.
Jennifer TOMKO
26
𝟑𝟔 𝟐 𝟑 𝟔 𝟔
𝟏𝟎𝟎 𝟓 𝟐 𝟏𝟎 𝟏𝟎
𝑎 × 𝑏 = 𝑎 × 𝑏
𝒂 𝒃
𝒂
𝒃
𝒂 𝒃
𝑎
𝑏
𝒂
𝒃
36 4
49 100
Règles de calcul
Quotient de deux radicaux
Complète le tableau suivant.
Jennifer TOMKO
27
𝟗 𝟔 𝟐 𝟑 𝟑
𝟎, 𝟒𝟗 𝟕 𝟏𝟎 𝟎, 𝟕 𝟎, 𝟕
𝑎
𝑏
=
𝑎
𝑏
Exercice 13
Écrire sous forme d’une puissance.
Jennifer TOMKO
28
104
106
108
1010
Jennifer TOMKO
29
Exercice 14
Calculer.
𝐴 = 8 × 2
𝐵 =
200
8
𝐶 = 12 × 3
𝐷 = 8 × 18
𝐸 =
81
16
Règles de calcul
Écrire 𝑐 sous la forme simplifiée 𝑎 𝑏
27
Jennifer TOMKO
30
𝑎 × 𝑏 = 𝑎 × 𝑏
𝑎 + 𝑏 ≠ 𝑎 + 𝑏
= 9 × 3
= 9 × 3
= 3 × 3
= 3 3
50 = 25 × 2
= 25 × 2
= 5 × 2
= 5 2
Exercice 15
Calculer.
31
𝑎 × 𝑏 = 𝑎 × 𝑏
𝑎 + 𝑏 ≠ 𝑎 + 𝑏
8 + 32 27 − 12
Jennifer TOMKO
5 + 80 20 − 45
Exercice 16
Un triangle 𝐴𝐵𝐶 est tel que :
𝐴𝐵 = 5 , 𝐵𝐶 = 20 − 5 et 𝐶𝐴 = 45 − 20
Est-il équilatéral ? Justifier.
Jennifer TOMKO
32
Exercice 17
Dans la figure ci-contre, calculer 𝑥 pour que l’aire de
la surface colorée soit égale à 16 𝑐𝑚2.
𝐴 𝐵
𝐷 𝐶
𝐸
𝐹 𝐺
Exercice 18
Dans chacun des cas suivants, comparer les deux nombres suivants.
• 7 2 et 3 2
• 6 2 et 5 3
• 7 3 et 6 5
• −7 2 et 6 5
• −7 2 et −6 5
Jennifer TOMKO
33
Exercice 19
Écrire les expressions suivantes sous la forme de 𝑎 𝑏.
𝐴 = 147 + 3 48 − 5 12 − 48
𝐵 = −5 28 + 2 63 + 567
𝐶 = 2 500 − 5 125 − 3 180
𝐷 = 27 + 9 12 + 4 48
𝐸 = 80 − 20(2 − 15)
𝐹 = 6( 3 + 5) − 150
Jennifer TOMKO
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  • 1. Racines carrées Préparé par : Jennifer TOMKO Classe : EB8 Matière : Mathématiques
  • 2. Quels sont les nombres qui ont pour carré 49 ? Jennifer TOMKO 2 (7)2 = 7 × 7 = 49 (−7)2 = −7 × −7 = 49 49 est le carré de 7 49 est le carré de −7 Racine carrée : Définition 7 est la racine carrée positive de 49 −7 est la racine carrée négative de 49 Un nombre 𝑎 admet deux racines carrées : l’une positive et l’autre négative. 𝒂 est la racine carrée positive de 𝑎. − 𝒂 est la racine carrée négative de 𝑎. 49 7 = 49 −7 = − 49
  • 3. Jennifer TOMKO 3 −4 (−3)2 = 9 32 = 9 Deux nombres opposés ont le même carré. Racine carrée : Définition
  • 4. Racine carrée : Définition Soit 𝑎 un nombre positif. La racine carrée de 𝑎 notée 𝑎 est le nombre positif dont le carré vaut 𝑎. Jennifer TOMKO 4 49 = 7 16 = 4 9 = 3 100 = 10 9 = 3 9 2 = 32 = 9 36 2 = 62 = 36 144 2 = 122 = 144 𝑎 2 = 𝑎
  • 5. Racine carrée : Définition Soit 𝑎 un nombre positif. La racine carrée de 𝑎 notée 𝑎 est le nombre positif dont le carré vaut 𝑎. Jennifer TOMKO 5 62 = 36 = 6 −52 = −25 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 (9 + 𝑥2)2 = 9 + 𝑥2 (−6)2 = 36 = 6 (5𝑥4)2 = 5𝑥4 (3 − 𝜋)2 = 𝜋 − 3 (6𝜋 − 15)2 = 6𝜋 − 15 (3𝜋 − 10)2 = 10 − 3𝜋 La racine carré d’un nombre est toujours un nombre positif. 𝑎2 = 𝑎 si 𝑎 ≥ 0 𝑎2 = 𝑜𝑝𝑝 𝑎 si 𝑎 ≤ 0
  • 6. Application 1 Calculer. Jennifer TOMKO 6 49 = 32 = 812 = 5 × 5 = 3 2 2 = 1,5 2 = 7 −92 = 1 = 0 = 24 = 16 = 510 = 𝑥8 = 𝑦4 = 3 81 5 2 = 5 3 2 1,5 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 1 0 22 2 = 22 4 55 2 = 55 𝑥4 2 = 𝑥4 𝑦2 2 = 𝑦2
  • 7. 36 = − 1,2 2 = 25 36 = 29 2 = 𝑎4 = −3 2 = −5 2 = 5 × 5 = Application 2 Calculer : Jennifer TOMKO 7 6 −1,2 5 6 29 𝑎2 2 = 𝑎2 9 = 3 25 = 5 5 2 = 5
  • 8. 6𝑥 + 8𝑥 = Réduire des expressions contenant des radicaux Rappel Jennifer TOMKO 8 6 + 8 𝑥 = 14𝑥 8𝑥 + 2𝑦 − 6𝑥 − 5𝑦 = 8 − 6 𝑥 + 2 − 5 𝑦 = 2𝑥 − 3𝑦 8 2 − 2 2 = 8 − 2 2 = 6 2 13 3 + 6 3 − 5 3 = 13 + 6 − 5 3 = 14 3 4 𝑎 + 6 𝑎 − 2 𝑎 = 4 + 6 − 2 𝑎 = 8 𝑎 8 𝑎 + 5 𝑏 − 𝑎 − 2 𝑏 = 8 − 1 𝑎 + (5 − 2) 𝑏 = 7 𝑎 + 3 𝑏 7 5 − 2 4 + 3 5 + 2 4 = 7 + 3 5 + (−2 + 2) 4 = 10 5
  • 9. Réduire des expressions contenant des radicaux Jennifer TOMKO 9 5 5 + 3 = 5 2 + 3 5 = 5 + 3 5 5 − 3 5 + 3 = 52 + 5 3 − 5 3 − 3 2 = 25 − 3 = 22 19 − 6 19 + 6 = 19 2 + 6 19 − 6 19 − 62 = 19 − 36 = −17
  • 10. Application 1° Quel est le carré de 34 ? Jennifer TOMKO 10 Le carré de 34 est 34. 2° Quelle est la valeur de 34 2 ? 34 2 = 34
  • 11. Application 1° Quels sont les nombres dont le carré est 9 ? 3 ? Jennifer TOMKO 11 −3 et 3 ont pour carré 9 − 3 et 3 ont pour carré 3 2° Existe-t-il un nombre dont le carré est −3 ? Il n’existe pas un nombre dont le carré est −3.
  • 12. Exercice 1 Réduire les radicaux suivants. Jennifer TOMKO 12 9 = 4 25 = 10 000 = 0,81 = ( 15)2 = 1 4 = (−10)2 =
  • 13. Exercice 2 Calculer. Jennifer TOMKO 13 −15 2 = 0 = +81 = −7 2 = − 36 2 = − −0,1 2 = 152 = 15 0 9 72 = 7 −6 2 = 62 = 36 ou 36 2 = 36 − 0,1 2 = −0,1
  • 14. Exercice 3 Simplifier. Jennifer TOMKO 14 3 2 = − 3 2 = − 9 = −5 2 = − 5 2 = 3 3 −3 5 −5
  • 15. Exercice 4 Compléter les tableaux suivants. Jennifer TOMKO 15
  • 16. Exercice 5 Compléter le tableau suivant. Jennifer TOMKO 16
  • 17. Encadrer une racine Encadrer 7 entre deux entiers consécutifs. Jennifer TOMKO 17 4 < 7 < 9 2 < 7 < 3 Encadrer 43 entre deux entiers consécutifs. 36 < 43 < 49 6 < 43 < 7
  • 18. Encadrer une racine Encadrer 51 entre deux entiers consécutifs. Jennifer TOMKO 18 49 < 51 < 64 7 < 51 < 8 Encadrer 67 entre deux entiers consécutifs. 64 < 67 < 81 8 < 67 < 9
  • 19. Exercice 6 Écris les expressions suivantes sous la forme 𝑎 𝑏 (𝑏 ≥ 0) Jennifer TOMKO 19 𝐴 = 5 2 − 3 2 𝐵 = 8 5 − 17 5 𝐶 = 3 7 − 4 7 − 8 7 + 5 7 𝐷 = 3 𝑥 + 2 𝑥 − 𝑥 𝐸 = 5 𝑦 − 12 𝑦 + 17 𝑦 − 10 𝑦
  • 20. Exercice 7 Trouver le nombre positif 𝑎. Jennifer TOMKO 20 1° 𝑎 = 11 2° 𝑎 = 9 3° 𝑎 = 0 4° 𝑎 = 9 4
  • 21. Exercice 8 Entourer, chaque fois, la bonne réponse. Jennifer TOMKO 21
  • 22. Exercice 9 Effectuer et réduire. Jennifer TOMKO 22 1°) 3 3 + 1 2°) 5 × 5 × 5 3°) 2 × 2 × 2 4°) 3 2 2 − 2 2 5°) 2 − 𝑦 2 + 𝑦 6°) 11 + 15 11 − 15 7°) 4 − 𝑥 4 + 𝑥 8°) 3 2 2 − 2 2 2
  • 23. Comparer deux racines 5 …… 7 Jennifer TOMKO 23 < 48 …… 18 > 2 8 …… 7 2 2 8 2 7 2 2 32 98 < 6 5 …… 5 7 6 5 2 5 7 2 180 175 >
  • 24. Exercice 10 Soit 𝑎 = 19 − 𝑥 Jennifer TOMKO 24 1° Calculer 𝑎 si 𝑥 = 3. 2° Peux-tu trouver la valeur numérique de 𝑎 si 𝑥 = 28 ? 3° Trouver la valeur de 𝑥 lorsque 𝑎 = 5. Exercice 11 Soit 𝐸 = 2𝑥2 − 3𝑥 + 4 3 Calculer la valeur numérique de 𝐸, lorsque : 1° 𝑥 = 0 2° 𝑥 = 1 3° 𝑥 = 3
  • 25. Exercice 12 Calculer 𝐴 = 𝑥2 + 𝑦2 et 𝐵 = 𝑥2 + 𝑦2, dans chacun des cas suivants. 1° 𝑥 = 4 et 𝑦 = 3. 2° 𝑥 = 4 et 𝑦 = −3. Jennifer TOMKO 25
  • 26. 𝒂 𝒃 𝒂 × 𝒃 𝒂 𝒃 𝒂 × 𝒃 𝒂 × 𝒃 4 9 25 4 Règles de calcul Produit de radicaux Complète le tableau suivant. Jennifer TOMKO 26 𝟑𝟔 𝟐 𝟑 𝟔 𝟔 𝟏𝟎𝟎 𝟓 𝟐 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝑎 × 𝑏 = 𝑎 × 𝑏
  • 27. 𝒂 𝒃 𝒂 𝒃 𝒂 𝒃 𝑎 𝑏 𝒂 𝒃 36 4 49 100 Règles de calcul Quotient de deux radicaux Complète le tableau suivant. Jennifer TOMKO 27 𝟗 𝟔 𝟐 𝟑 𝟑 𝟎, 𝟒𝟗 𝟕 𝟏𝟎 𝟎, 𝟕 𝟎, 𝟕 𝑎 𝑏 = 𝑎 𝑏
  • 28. Exercice 13 Écrire sous forme d’une puissance. Jennifer TOMKO 28 104 106 108 1010
  • 29. Jennifer TOMKO 29 Exercice 14 Calculer. 𝐴 = 8 × 2 𝐵 = 200 8 𝐶 = 12 × 3 𝐷 = 8 × 18 𝐸 = 81 16
  • 30. Règles de calcul Écrire 𝑐 sous la forme simplifiée 𝑎 𝑏 27 Jennifer TOMKO 30 𝑎 × 𝑏 = 𝑎 × 𝑏 𝑎 + 𝑏 ≠ 𝑎 + 𝑏 = 9 × 3 = 9 × 3 = 3 × 3 = 3 3 50 = 25 × 2 = 25 × 2 = 5 × 2 = 5 2
  • 31. Exercice 15 Calculer. 31 𝑎 × 𝑏 = 𝑎 × 𝑏 𝑎 + 𝑏 ≠ 𝑎 + 𝑏 8 + 32 27 − 12 Jennifer TOMKO 5 + 80 20 − 45
  • 32. Exercice 16 Un triangle 𝐴𝐵𝐶 est tel que : 𝐴𝐵 = 5 , 𝐵𝐶 = 20 − 5 et 𝐶𝐴 = 45 − 20 Est-il équilatéral ? Justifier. Jennifer TOMKO 32 Exercice 17 Dans la figure ci-contre, calculer 𝑥 pour que l’aire de la surface colorée soit égale à 16 𝑐𝑚2. 𝐴 𝐵 𝐷 𝐶 𝐸 𝐹 𝐺
  • 33. Exercice 18 Dans chacun des cas suivants, comparer les deux nombres suivants. • 7 2 et 3 2 • 6 2 et 5 3 • 7 3 et 6 5 • −7 2 et 6 5 • −7 2 et −6 5 Jennifer TOMKO 33
  • 34. Exercice 19 Écrire les expressions suivantes sous la forme de 𝑎 𝑏. 𝐴 = 147 + 3 48 − 5 12 − 48 𝐵 = −5 28 + 2 63 + 567 𝐶 = 2 500 − 5 125 − 3 180 𝐷 = 27 + 9 12 + 4 48 𝐸 = 80 − 20(2 − 15) 𝐹 = 6( 3 + 5) − 150 Jennifer TOMKO 34