3. Propriétés d’un parallélogramme
Dans un parallélogramme 𝐴𝐵𝐶𝐷 :
• Les côtés opposés sont isométriques et parallèles.
𝐴𝐵 = 𝐷𝐶 et 𝐴𝐷 = 𝐵𝐶
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• Les angles opposés sont égaux.
• Les diagonales se coupent en leur milieu.
𝐵𝐴𝐷 =
𝐵𝐶𝐷 et
𝐴𝐵𝐶 =
𝐴𝐷𝐶
𝐸𝐴 = 𝐸𝐶 et 𝐸𝐵 = 𝐸𝐷.
• Les angles consécutifs forment un angle de 𝟏𝟖𝟎°
.
𝐵𝐴𝐷 +
𝐴𝐵𝐶 = 180° et
𝐴𝐷𝐶 +
𝐵𝐶𝐷 = 180°
4. Construction d’un parallélogramme
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Tracer un parallélogramme 𝑨𝑩𝑪𝑫 tel que 𝑨𝑩 = 𝟓 𝒄𝒎 et 𝑩𝑪 = 𝟑 𝒄𝒎 avec
𝑩𝑨𝑫 = 𝟓𝟎°.
1re méthode
𝑨 𝑩
𝐷 𝐶
•
Je trace le segment 𝐴𝐵 = 5 cm.
50°
Je trace l’angle
𝐵𝐴𝐷 = 50°
Je mène par 𝐷 la parallèle à [𝐴𝐵)
Le point C est le point d’intersection et représente le 4e sommet du parallélogramme.
et par 𝐵 la parallèle à [𝐴𝐷)
5. Construction d’un parallélogramme
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2e méthode
𝐴 𝐵
𝐷 𝐶
•
Je trace le segment 𝐴𝐵 = 5 cm.
50°
Je trace l’angle
𝐵𝐴𝐷 = 50°
Je mène par 𝐷 la parallèle à [𝐴𝐵)
Le point C est le 4e sommet du parallélogramme.
et on porte une longueur 𝐵𝐶 = 𝐴𝐷 = 5 𝑐𝑚.
Tracer un parallélogramme 𝑨𝑩𝑪𝑫 tel que 𝑨𝑩 = 𝟓 𝒄𝒎 et 𝑩𝑪 = 𝟑 𝒄𝒎 avec
𝑩𝑨𝑫 = 𝟓𝟎°.
6. Construction d’un parallélogramme
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3e méthode
𝐴 𝐵
𝐶
•
Je trace le segment 𝐴𝐵 = 5 cm.
50°
Je trace l’angle
𝐵𝐴𝐷 = 50°
On détermine le milieu 𝐼 de [𝐵𝐷]
Le point C est le 4e sommet du parallélogramme.
•
𝐼
puis on prolonge [𝐴𝐼] d’une longueur 𝐼𝐶 = 𝐴𝐼.
𝐷
Tracer un parallélogramme 𝑨𝑩𝑪𝑫 tel que 𝑨𝑩 = 𝟓 𝒄𝒎 et 𝑩𝑪 = 𝟑 𝒄𝒎 avec
𝑩𝑨𝑫 = 𝟓𝟎°.
7. Conditions pour qu’un quadrilatère soit un parallélogramme
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Pour qu’un quadrilatère soit un parallélogramme, il suffit que l’une des conditions suivantes
soit vérifiée :
• les côtés opposés sont parallèles.
• les côtés opposés sont isométriques.
• deux côtés opposés sont parallèles et isométriques.
• les angles opposés sont égaux.
• les diagonales se coupent en leur milieu.
8. Application 1
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𝐴𝐵𝐶 est un triangle.
Soit 𝐽 le milieu de [𝐴𝐶] et 𝐾 le symétrique de 𝐵 par rapport à 𝐽.
Quelle est la nature du quadrilatère 𝐴𝐾𝐶𝐵 ?
Construis un parallélogramme 𝐴𝐵𝐶𝐷, dans chacun des cas suivants.
1° 𝐴𝐵 = 6 𝑐𝑚 , 𝐴𝐷 = 4 𝑐𝑚 et
𝐵𝐴𝐷 = 115°
2° 𝐴𝐵 = 5 𝑐𝑚 , 𝐵𝐶 = 3 𝑐𝑚 et 𝐴𝐶 = 6 𝑐𝑚
Application 2
9. Exercice 1
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𝑴𝑶𝑵𝑻 est un parallélogramme.
Le point 𝑨 est le milieu de [𝑶𝑵] et 𝑰 est le symétrique
de 𝑴 par rapport à 𝑨.
1° Démontre que 𝑴𝑶𝑰𝑵 est un parallélogramme.
2° Démontre que les points 𝑻, 𝑵 et 𝑰 sont alignés.
3° Démontre que 𝑵 est le milieu de [𝑻𝑰].
Exercice 2
Le quadrilatère 𝑵𝑶𝑰𝑹 est un parallélogramme.
𝑺 est le milieu de [𝑶𝑵] et 𝑼 celui de [𝑹𝑰].
1° Démontre que (𝑺𝑼) ∥ (𝑶𝑰).
2° Démontre que le quadrilatère 𝑺𝑶𝑼𝑹 est un
parallélogramme.
3° Nomme la diagonale commune à 𝑵𝑶𝑰𝑹 et 𝑺𝑶𝑼𝑹.
Déduis alors que ces deux parallélogrammes ont
le même centre de symétrie.
10. Exercice 3
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(𝒅) et (𝒅′) sont deux droites sécantes en 𝑶. 𝑱 est un
point qui n’appartient ni à (𝒅), ni à (𝒅′).
Soit 𝑲 le symétrique de 𝑶 par rapport à 𝑱.
La parallèle à (𝒅′) passant par 𝑲 coupe (𝒅) en 𝑨 et la
parallèle à (𝒅) passant par 𝑲 coupe (𝒅′) en 𝑩.
Démontre que 𝑱 est le milieu de [𝑨𝑩].
𝑨𝑩𝑪𝑫 est un parallélogramme. 𝑬 et 𝑭 sont,
respectivement, les projetés orthogonaux de 𝑨
et 𝑪 sur la droite (𝑩𝑫).
1º) Démontre que les triangles 𝑨𝑬𝑫 et 𝑩𝑪𝑭 sont
superposables.
2º) Démontre que 𝑨𝑬𝑪𝑭 est un parallélogramme.
3º) Déduis que [𝑩𝑫] et [𝑬𝑭] ont le même milieu.
Exercice 4
