bareme math seconde

1. Ecole officielle des filles
koubayat
1 janvier 2019
Classe Seconde
Barème de Math mi-
année
Durée : 120 min
Exercice 1 : ( 3 points , 0.75 pour chacune)
a) |1 −
1
𝑎+1
| = |
𝑎
𝑎+1
| =
𝑎
𝑎+1
car a<0 et a+1 < 0 ⇒
𝑎
𝑎+1
> 0
b) -3 < x< 4 ⇒ -3 < x < 0 ou 0 ≤ x < 4
0< x2
< 9 ou 0 < x2
< 16 ⇒ 0 ≤ x2
< 16
c) 1< x <3 ⇒
1
3
<
1
𝑥
< 1 et 1< x2
< 9 ⇒ 3< x2
+2 < 11 ⇒ 1 <
𝑥2+2
𝑥
< 11
d) 3< 4
√3 < 2
√3 – 2 < 0
-2> -3
√3 -2> √3 -3
1
√3−2
<
1
√3−3
A < B
Exercice 2 : ( 3.5 points)
1) A = { x∈ E / 2x2
– 2x = 0 }
2x(x-1) = 0 ⇒ x=0 ou x= 1 ⇒ A = { 0 ; 1 } (0.25 pt)
C = {0 ; 2 ; 8 } (0.25 pt)
𝐷̅ = { 0;1; 2;4 ; 5;7 ; 8 } (0.25 pt)
𝐵̅ = { 0; 2;4 ; 5;6;7 ; 8 } (0.25 pt)
2) E = { x∈ N / x ≤ 9 } (0.25 pt)
B = { x∈ E* / x diviseur de 9 } (0.25 pt)
D = {x ∈ E* / x multiple de 3 } (0.25 pt)
3) D∩B = { 3 ; 9 } (0.25 pt)
𝐷 ∩ 𝐵̅̅̅̅̅̅̅̅ = { 0;1; 2;4;5; 6;7;8} (0.25 pt)

2. 𝐷̅̅̅̅ ∪ 𝐵̅̅̅̅ = { 0; 1;2; 4;5;6; 7;8} (0.25 pt)
4) P(B) = {∅ ; {1} ; {3} ;{9} ; {1 ; 3} ; {1 ; 9} ;{3 ; 9} ; 𝐵} (0.5 pt)
5) F∪ 𝐷 = 𝐸 et et F∩D = ∅ alors F= 𝐷̅ = {0 ;1 ;2 ;4 ;5 ;7 ;8} (0.5 pt)
Exercice 3 : ( 2.5 points)
1)
22×10−5
(22×53)3
×
210×253
25−4
=
22×2−5×5−5×210×56
26×59×5−8
=
27×5
26×5
= 2 (0.75 pt)
2) |𝑥2
− √ 𝑥2| + √ 𝑥4 + | 𝑥 + 1| =
| 𝑥2
+ 𝑥| + 𝑥2
+ 𝑥 + 1 =
| 𝑥(𝑥 + 1)| + 𝑥2
+ 𝑥 + 1 =
-x(x+1) + 𝑥2
+ 𝑥 + 1 = 1 (1 pt)
3)
√4𝑎2 𝑏4
√32𝑎10 𝑏55 =
2(−𝑎) 𝑏2
2𝑎2 𝑏
= −
𝑏
𝑎
(0.75 pt)
Exercice 4 : (4 points)
1) |2x− 5| < 3 ⇒ -3 < 2x-5 < 3 ⇒ 1 < x < 4 (0.5 pt)
2) -3 < y < -1
1 < -y < 3
1< x < 4
⇒ 2 < x – y < 7 (0.5 pt)
1 < y2
< 9 (0.25 pt)
3) 4 < 2(x-y) < 14 ⇒
1
14
<
1
2(𝑥−𝑦)
<
1
4
(0.5 pt)
1 < y2
< 9
1
14
<
𝑦2
2(𝑥−𝑦)
<
9
4
(0.25 pt)
−9
4
<
− 𝑦2
2(𝑥−𝑦)
<
−1
14
(0.25 pt)
4) 0 <√ 𝑎 – b < 1
(√ 𝑎 − 𝑏)2
< √ 𝑎 − 𝑏 < √√ 𝑎 − 𝑏 < 1 <
1
√𝑎−𝑏
(0.5 pt)
5) a) | 𝑥 + 2| − 1 > 4
| 𝑥 + 2| > 5
x +2 < - 5 ou x+2 > 5
x < -7 ou x > 3 (0.75 pt)

3. x ∈ ]−∞; −7[∪ ]3;+∞[
b) |−3𝑥 + 1 | +6 < 2
|−3𝑥 + 1 | < - 4 impossibledonc pas de solution . (0.5 pt)
Exercice 5 : ( 4 points)
1) A(x) = cos(9𝜋 − 𝑥) + sin(
11
2
𝜋 –x ) - sin(−𝜋 − 𝑥) + cos(
5
2
𝜋 + 𝑥) (1 pt)
= cos( 𝜋 − 𝑥) + sin(
−𝜋
2
–x ) - sin(𝜋 − 𝑥) + cos(
𝜋
2
+ 𝑥)
= - cos x –cos x – sinx – sinx= -2 cos x -2 sinx
B(x) = tan(5𝜋 − 𝑥) −tan (
7𝜋
2
+ 𝑥)+ tan (𝑥 −
𝜋
2
)
= -tan x + cot x – cot x = - tan x (0.75 pt)
2) Cos ∝ = −
√3
2
Cos (
𝜋
6
) =
√3
2
et cos ( 𝜋 −
𝜋
6
) = −cos (
𝜋
6
) = −
√3
2
Et 𝜋 −
𝜋
6
=
5𝜋
6
∈ [
𝜋
2
; 𝜋]
Donc ∝ =
5𝜋
6
(0.75 pt)
3) Sin2
x + 5 cos2
x = 2
1-cos2
x+5cos2
x= 2
Cos2
x =
1
4
Cos x = −
1
2
car cos x < 0 , x ∈ ]
𝜋
2
; 𝜋[ (0.75 pt)
4) Cos2
y(2+tan2
y) = Cos2
y(2+
𝑠𝑖𝑛2 𝑦
𝑐𝑜𝑠2 𝑦
) = 2 cos2
y + sin2
y = 2(1-sin2
y ) + sin2
y =
2 – sin2
y (0.75 pt)
Exercice 6 : ( 3 points)
1) 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗

4. 𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
3𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
3
𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ (0.5 pt)
 3𝑄𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑄𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
3𝑄𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑄𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
5𝑄𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ =
2
5
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ (0.75 pt)
2) 𝑀𝑀′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗
= −𝑀𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑀𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝑀𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
=4𝑀𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 4𝑀𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0.75 pt)
Donc 𝑀𝑀′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑒𝑡 𝑀𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sontcolinéaires et les points M,M’ et G sontalignés.
(0.5 pt)