Ce document est un examen de mathématiques pour une classe de 1ère semestre couvrant divers sujets tels que la preuve de propriétés de nombres, la résolution de systèmes d'équations, l'analyse de formules tarifaires, et des problèmes géométriques. Il contient des exercices impliquant des calculs, des démonstrations et des applications de théorèmes géométriques. L'examen comporte plusieurs sections et chaque question est accompagnée d'instructions précises.

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CCS Mathématiques 23 Déc. 2013
Classe de EB9 Examen du 𝟏é𝒓𝒆
semestre Durée : 2 hs
Nom :…………………………………..
:‫مالحظة‬‫يناسب‬ ‫الذي‬ ‫بالترتيب‬ ‫اإلجابة‬ ‫المرشح‬ ‫يستطيع‬ ‫البيانات‬ ‫لرسم‬ ‫أو‬ ‫المعلومات‬ ‫الختزان‬ ‫أو‬ ‫للبرمجة‬ ‫قابلة‬ ‫غير‬ ‫حاسبة‬ ‫آلة‬ ‫باستعمال‬ ‫يسمح‬‫بترتيب‬ ‫االلتزام‬ ‫(دون‬ ‫ه‬
.)‫المسابقة‬ ‫في‬ ‫الوارد‬ ‫المسائل‬
I. (3 points)
On considère les quatre nombres A, B ,C et D.
𝐴 = (√5 − 1)² + (√5 + 1)² , 𝐵 =
3
4
+
5
4
×
7
15
, 𝐶 =
(10√3)
4
25×10³×3+10³×6×37,5
et 𝐷 =
3,4×10−3
×(102
)³
4×10⁻³
On demande de faire apparaître les étapes de calculs suivants :
1) Prouver que A est un entier naturel.
2) Ecrire B sous la forme d’une fraction le plus simple.
3) Prouver que C est un nombre décimal.
4) Donner l’écriture scientifique de D.
II. (2 points)
Une librairie offre une réduction de 10 % sur ses articles.
La somme des prix initiaux d'un stylo et d'un agenda est trois fois le prix initial du stylo.
La somme des prix réduits du stylo et de l'agenda est 54 000 LL.
1) Traduire les informations ci-dessus par un système de deux équations à deux inconnues.
2) Résoudre ce système et trouver le prix initial d’un stylo et celui d’un agenda.
III. (2 points)
Un restaurant propose à ses clients deux formules de tarifs pour le déjeuner :
Formule A : Abonnement mensuel de 200000 LL.
Formule B : 11000 LL par repas.
1) Yara prend 20 repas par mois. Quelle est la formule la plus avantageuse pour Yara ? Justifier.
2) Youssef prend 10 repas par mois. Quelle est la formule la plus avantageuse pour Youssef ?
Justifier.
3) Soit 𝑥 le nombre de repas pris par mois. Exprimer en fonction de 𝑥, le prix à payer avec les
deux formules.
4) En résolvant une inéquation, indiquer le nombre de repas duquel la formule B est la plus
avantageuse.
IV. (3 points)
On donne un rectangle ABCD tel que AB= 5 cm et AD= 4 cm, soit M un point de [AB] tel que
BM= 2cm.
1) Calculer DM.
2) Ed déduire que le triangle DMC est isocèle.
3) Soit I est le milieu de [MC]. Montrer que les 4 points A, M, I et D appartiennent à un même
cercle de centre O, dont on calculera le rayon.
4) Calculer MC , MI et MD.

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V. (5 points)
Dans un repère orthonormé d’axes x'Ox et y'Oy, on donne la droite (D) d’équation y = -2x-3
et les deux points A (-2 ; 1) et B (6 ; 5).
1) Vérifier que (D) passe par A.
2) Placer A et B, et tracer (D).
3) Déterminer l’équation de (AB) et déduire que (D) est perpendiculaire à (AB).
4) La droite (D) coupe y'Oy en C. Trouver les coordonnées de C.
5) Soit (S) le cercle circonscrit au triangle ABC .Calculer les coordonnées du centre I de ce cercle.
6) Soit (D') la droite parallèle à (AB) menée de C. (D') recoupe le cercle (S) en E.
a. Quelle est la nature du quadrilatère ABEC ? Justifier.
b. Calculer les coordonnées du point E.
c. Soit (d) la tangente en A à (S). Trouver l’équation de (d).
VI. (5 points)
Dans la figure ci-contre on a :
 (C ) est un cercle de centre O et de diamètre
[AB].
 OA= OB= 3 cm.
 P est un point de [AB) tel que OP= 5 cm.
 E est un point de ( C) tel que EP= 4 cm.
 (D) est tangent en A au (C ).
 (PE) coupe (D) en J.
1) Reproduire la figure.
2) Prouver que (PE) est tangent au (C ) en E. Déduire
que JE= JA.
3) Soit JE= JA= 𝑥 et JP= 𝑥 + 4 où 𝑥 est un mesure de
longueur en cm.
a. Appliquer théorème de Pythagore dans le triangle
APJ pour calculer 𝑥.
b. Déduire que ABJ est un triangle rectangle
isocèle.
4) (JB) recoupe ( C) en F. Prouver que F est le milieu de [BJ] et que (FO) est la médiatrice de [AB].
5) Soit N le milieu de [MB]. Trouver le lieu géométrique de N lorsque M varie sur (C).
BON TRAVAIL.