composition

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Lycée officiel Kobayate Examen 1 Année scolaire :2018/2019
Professeur:Hassan Abas Classe : 2S Date : Lundi 28/1/2019
Matière :mathématique Durée : 120min Note sur :20 District :
AkkarNuméro du lycée dans le CRDP : 635 Gouvernât : Akkar
I (5 points)
On considère l’équation ( 𝐸 𝑚
): 𝑥2
+ (2𝑚 − 1) 𝑥 − 1 = 0, 𝑒𝑡 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑥′
𝑒𝑡 𝑥′′
ses
racines lorsqu’elles existent.
on note 𝑃 = 𝑥′
𝑥′′
𝑒𝑡 𝑆 = 𝑥′
+ 𝑥′′
.
Pour 𝑥 est l’inconnue de l’équation ( 𝐸 𝑚
) et 𝑚 est un paramètre réel :
1. Résoudre les équations ( 𝐸0
) et ( 𝐸1
2
) correspondant à 𝑚 = 0; 𝑚 =
1
2
respectivement.
2. Démontrer que ( 𝐸 𝑚
) admet des racines quelle que soit la valeur de
𝑚.
3.
a. Sans calculer les racines 𝑥′
et 𝑥′′, trouver en fonction de 𝑚,
l’expression de :
2𝑥′
+ 2𝑥′′
; 2𝑥′( 𝑥′′
+ 1) + 2𝑥′′
; 𝑥′2
𝑥′′
+ 𝑥′
𝑥′′2
.
b. Déduire la valeur de 𝑚 dans le cas où 2𝑥′
= −𝑥′
𝑥′′
− 2𝑥′′.
4. Trouver en fonction de 𝑃 𝑒𝑡 𝑆 l’expression :
𝑥′
−1
𝑥′′
+
𝑥′′
−1
𝑥′
.
5. Sans calculer 𝑥′
𝑒𝑡 𝑥′′
, Trouver la valeur de 𝑚, dans le cas où les
points A et B d’abscisses respectifs 𝑥′ 𝑒𝑡 𝑥′′ , sont symétriques par
rapport au point I d’abscisse
−5
6
.
II (𝟕
𝟏
𝟐
points)
Partie A :
a. Résoudre chacune des équations suivantes :
𝑐𝑜𝑠𝑥 =
−1
2
; 𝑠𝑖𝑛𝑥 =
√3
2
; 𝑡𝑎𝑛𝑥 −
1
4
= 0 .
b. Résoudre l’équation : 5𝑠𝑖𝑛2
𝑥 − 8𝑐𝑜𝑠𝑥 + 8 = 0.
c. Résoudre géométriquement l’équation :𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥.
Partie B :
a. Montrer que : 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛3𝑥 = 𝑠𝑖𝑛2𝑥(2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1).
b. Montrer que : 𝑐𝑜𝑠𝑥(2𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥) − 𝑠𝑖𝑛2
𝑥 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥(2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1).
c. Déduire les solutions de l’équation :
𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛3𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥(2𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥) − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥
= tan (−𝑥 +
𝜋
3
).

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Partie C :
Sachant que 𝑠𝑖𝑛𝑎 =
3
5
et 𝑎 ∈ [
𝜋
2
; 𝜋].
a. Calculer 𝑠𝑖𝑛2𝑎.
b. Déduire la valeur de 𝑠𝑖𝑛3𝑎.
III (𝟕
𝟏
𝟐
points)
On considère le tétraèdre COAB ci-dessus tel que : 𝐴𝑂𝐵̂ = 𝐴𝑂𝐶̂ = 90°
.
OA=OB=1=
𝑂𝐶
2
𝑒𝑡 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶.
M est le milieu de [AB].
Partie A :
1.
a. Calculer AB ; AC et BC.
b. Vérifier que BOC est un triangle rectangle en O.
2.
a. Démontrer que (AB) est perpendiculaire au plan (OCM).
b. Déduire que (ABC) et (OCM) sont perpendiculaires.
3. Soit E est le projeté orthogonal de O sur (CM).
a. Démontrer que (OE) est perpendiculaire au plan (ABC).
b. Déduire que E est l’orthocentre de ABC.
4.
a. Calculer OM.
b. Calculer l’angle entre les deux plans (OAB) et (ABC).
Partie B :
L’espace est rapporté au repère ( 𝑂; 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ) .
Soit 𝑄(0;
7
2
;
−5
2
).

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1. Déterminer les coordonnées des points : O ; A ; B ; C et M.
2. Déterminer les coordonnées du centre de gravité H de ABC.
3. Montrer que les points B ; C et Q sont alignées.
4. Déterminer les coordonnées du point S de l’espace tel que :
𝐵𝑆⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝑆𝐶⃗⃗⃗⃗ −
1
2
𝑆𝑂⃗⃗⃗⃗⃗ .
5. Montrer qu’ils existent deux réels 𝛼 𝑒𝑡 𝛽 tels que :
𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛼𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛽𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .( 𝑂𝑛 𝑛𝑒 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝛼 𝑒𝑡 𝛽).
6. Trouver les deux réels 𝛼 𝑒𝑡 𝛽.
Bonne chance

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Micro-barème.
N˚ Réponse Note
I
1
( 𝐸0
): 𝑥2
− 𝑥 − 1 = 0; 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑛𝑒𝑠
1 − √5
2
𝑒𝑡
1 + √5
2
(𝐸1
2
): 𝑥2
− 1 = 0; 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑛𝑒𝑠 ∶ −1 𝑒𝑡 1.
0.5×2
2 ∆= (𝑚 − 1)2
+ 4 > 0 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑜𝑛 𝑎 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑛𝑒𝑠. 0.5
3
a
 2S=2(1-2m). [0.25]
 2(P+S)=2(-1+1-2m)=-4m. [0.5]
 P.S=-1.(1-2m)=2m-1. [0.5]
b 2S+P=0 ; 2(1-2m)-1=0 ; m=1/4. 0.75
4
𝑥′2+𝑥′′2−𝑆
𝑃
=
𝑆2−2𝑃−𝑆
𝑃
=
𝑆( 𝑆−1)−2𝑃
𝑃
. 1
5
𝑆
2
=
−5
6
𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑆 =
−10
6
; 𝑚 =
4
3
. 0.5
II
A
a
 𝐶𝑜𝑠𝑥 = cos ( 𝜋 −
𝜋
3
) 𝑒𝑡 𝑥𝜖 {
−2𝜋
3
;
2𝜋
3
} +
{2𝑘𝜋; 𝑘𝜖𝑍}. [0.5]
 𝑆𝑖𝑛𝑥 = 𝑆𝑖𝑛
𝜋
3
𝑒𝑡 𝑥𝜖 {
𝜋
3
;
2𝜋
3
} + {2𝑘𝜋; 𝑘𝜖𝑍}.
[0.5]
 Calculette : 𝑥 ≅ 14° + 𝑘𝜋 [0.5]
b
−5𝑐𝑜𝑠𝑥2
− 8𝑐𝑜𝑠𝑥 + 13 = 0 [0.25]
-5-8+13=0 donc 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1 𝑜𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑥 =
−13
5
[0.5]
 𝑥 = 2𝑘𝜋 𝑒𝑡 𝑘𝜖𝑧 𝑜𝑢 𝑥𝜖∅. [0.5+0.25]
C
La première bissectrice coupe le cercle
trigonométrie en deux point M’ et M’’.
En chaque point les sins et les cos sont égaux.
𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑥 =
𝜋
4
+ 𝑘𝜋; 𝑘𝜖𝑍.
1
B
a 2sin2xcosx+sin2x=sin2x(2cosx+1). 0.5
b 2cosxcos2x+cos2x=cos2x(2cos+1). 0.5
c
Par simplification : tan2x=tan(-x+π/3). [0.25]
Donc 2x=-x+π/3+kπ ; donc x=π/9+kπ/3 avec k
est un entier. [0.5]
C
a
 1-9/25=16/25 ; donc cosa=-4/5
donc sin2a=2.3/5.-4/5=-24/25. 0.75
b
Sin3a=sina.cos2a+cosa.sin2a=
3
5
(1 − 2𝑠𝑖𝑛𝑎2 ) +
−4
5
×
−24
25
=
117
125
1
III A 1
a 𝐴𝐶 = √5; 𝐴𝐵 = √2 ; 𝐵𝐶 = √5 0.25×3
b
Réciproque de Pythagore dans BOC entraine
que 𝐵𝑂𝐶̂ = 90°.
0.25

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2
a
ABC isocèle en C donc (CM) perpen.(AB).
AOB isocèle en O donc (AB) perpen (OM).
Donc (AB) perpen (OCM).
0.75
b
(AB) incluse dans (ABC) donc (ABC) perp
(OCM).
0.25
3
a
 (OE) orth (CM).
 (AB) perp (COB) qui contient (OE).
donc (OE) orth (AB).
 D’où (OE) perp (ABC).
0.5
b
 (CM) orth (AB).
 (BC) perpen (AOE) car (OE) perp
(ABC) donc (OE) orth (BC) et (OA)
perp (COB)
donc (BC) orth (OA). Donc (BC) orth
(AE).
 D’où (CM) perp (AB) et (BC) perp
(AE).
alors E est l’orthocentre de ABC.
0.75
4
a .𝐴𝑂𝑀 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝑖𝑠𝑜𝑐𝑒𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑀 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑂𝑀 =
√2
2
0.25
b
 (AB) est l’intersection.
 (AB) perp (OM).
 (AB) perp (CM)
donc 𝑂𝑀𝐶̂ est l’angle.
 COM rectangle en O car (OC)
perp(OAB)
donc 𝑡𝑎𝑛𝑂𝑀𝐶̂ =
𝑂𝐶
𝑂𝑀
= 2√2.
Calculette : 𝑂𝑀𝐶̂ =70.52˚
0.5+0.25
B
1
O(0,0,0) ; A(1,0,0) ; B(0,1,0) ; C(0,0,1) ; [0.125×4]
M(1/2,1/2,0). [0.25]
2 H(1/3 ;1/3 ;1/3). 0.5
3
𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ (0, −1,1); 𝐵𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ (0,
5
2
,
−5
2
) 𝑒𝑡 𝐵𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ =
−5
2
𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ .
Alors B, C et Q sont alignés. 0.5
4 𝑥 = 0; 𝑦 =
2
7
; 𝑧 =
6
7
. 0.75
5
Oui car tous les points considérés sont dans le
plan (ABC).
0.25
6 𝛼 = 1 𝑒𝑡 𝛽 = −2. 0.25×2

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