Vers l'Entreprise 2.0 - Séminaire Melcion - 23 août 2007Miguel Membrado
Pourquoi il est nécessaire d'adopter le nouveau paradigme de l'Entreprise 2.0, suite à la révolution du Web 2.0 et d'un certain nombre d'autres facteurs fondamentaux.
Vers l'Entreprise 2.0 - Séminaire Melcion - 23 août 2007Miguel Membrado
Pourquoi il est nécessaire d'adopter le nouveau paradigme de l'Entreprise 2.0, suite à la révolution du Web 2.0 et d'un certain nombre d'autres facteurs fondamentaux.
La sécurité des bases de données est une condition critique à leur exploitation. Effacement, falsification ou simplement divulgation sont les menaces les plus sérieuses qui rôdent et attendent le premier faux-pas des administrateurs. Il est primordial de bien connaître les aspects sécurité de MySQL, et de faire des choix éclairés parmi les protections natives.Durant cette présentation nous examinerons le système de droits, les directives de configurations, les techniques d'intrusion et les vulnérabilités sur le Web : pour chaque menace, nous verrons quels sont les défenses disponibles pour se protéger efficacement.
Newsletter SPW Agriculture en province du Luxembourg du 03-06-24BenotGeorges3
Les informations et évènements agricoles en province du Luxembourg et en Wallonie susceptibles de vous intéresser et diffusés par le SPW Agriculture, Direction de la Recherche et du Développement, Service extérieur de Libramont.
https://agriculture.wallonie.be/home/recherche-developpement/acteurs-du-developpement-et-de-la-vulgarisation/les-services-exterieurs-de-la-direction-de-la-recherche-et-du-developpement/newsletters-des-services-exterieurs-de-la-vulgarisation/newsletters-du-se-de-libramont.html
Bonne lecture et bienvenue aux activités proposées.
#Agriculture #Wallonie #Newsletter #Recherche #Développement #Vulgarisation #Evènement #Information #Formation #Innovation #Législation #PAC #SPW #ServicepublicdeWallonie
Formation M2i - Prise de parole face caméra : performer en distancielM2i Formation
Le travail en distanciel est de plus en plus incontournable et s'installe durablement dans la société, mais bien souvent, les collaborateurs d'une même entreprise n'ont pas toutes les aptitudes permettant d'être efficaces et impactants avec cette nouvelle façon de travailler : le télétravail !
Cette formation flash vous montrera qu'il est important de se professionnaliser et de faire du distanciel un agréable moment de travail.
Pour approfondir ces sujets et aller plus loin, vous pourrez vous inscrire à notre formation Prise de parole face caméra : performer en distanciel.
Formation offerte animée à distance par notre expert Camel Termellil
Sainte Jeanne d'Arc, patronne de la France 1412-1431.pptxMartin M Flynn
sainte patronne de la France, honorée en tant que défenseure de la nation française pour son rôle dans le siège d'Orléans et son insistance sur le couronnement de Charles VII de France pendant la guerre de Cent Ans.
Newsletter SPW Agriculture en province du Luxembourg du 17-05-24BenotGeorges3
Les informations et évènements agricoles en province du Luxembourg et en Wallonie susceptibles de vous intéresser et diffusés par le SPW Agriculture, Direction de la Recherche et du Développement, Service extérieur de Libramont.
https://agriculture.wallonie.be/home/recherche-developpement/acteurs-du-developpement-et-de-la-vulgarisation/les-services-exterieurs-de-la-direction-de-la-recherche-et-du-developpement/newsletters-des-services-exterieurs-de-la-vulgarisation/newsletters-du-se-de-libramont.html
Résultats enquête RH 2024 Fonction Publique.pdfGERESO
Nous avons le plaisir de vous présenter les résultats de la 1ère édition de l’enquête « Professionnels RH de la Fonction Publique, comment allez-vous ? »
Forts du succès de notre baromètre annuel « Professionnels RH, comment allez-vous ? », publié pour la 4e fois en début d’année, et qui concerne principalement les professionnels RH des entreprises privées (90% des répondants exercent dans le secteur privé) nous avons souhaité, à travers ce nouveau baromètre, nous intéresser spécifiquement au moral des professionnels RH de la fonction publique.
En effet, les enjeux, les missions, les conditions de travail
des professionnels RH dans les établissements publics sont souvent bien distincts de ceux de leurs homologues du secteur privé…
Et leur moral également ! Ces différences justifiaient donc une enquête spécifique !
Merci à vous ! Vous avez été 240 professionnels RH dans
des établissements publics à répondre à nos questions et à nous livrer des aspects très personnels de votre vie de professionnel(le) des
ressources humaines du secteur public.
Alors, avez-vous un bon ou un mauvais moral en ce printemps 2024 ? Découvrez dans ce document tous les résultats de cette étude !
1. Trigonométrie et relations métriques dans le triangle Page 1 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
TRIGONOMÉTRIE
RELATIONS MÉTRIQUES DANS LE TRIANGLE
1. Rappels sur les angles associés
Une lecture efficace du cercle trigonométrique permet de retrouver les relations suivantes :
Démonstration :
Les relations cos(-x) = cos x et sin(-x) = -sin x s'obtiennent immédiatement par symétrie par rapport à l'axe
des abscisses. (On dit que la fonction cosinus est paire et la fonction sinus impaire).
Supposons tout d'abord que x est un angle aigu : x Î 0 ;
2
pé ù
-ê ú
ë û
Montrons les relations : cos
2
x
pæ ö
-ç ÷
è ø
= sin x et sin
2
x
pæ ö
-ç ÷
è ø
= cos x
(Les autres se démontrent de manière analogue)
Notons I, J, M et N les points du cercle trigonométrique correspondants aux angles de 0,
p
2
, x et
p
2
- x radians
respectivement. Notons H (resp. K) le projeté orthogonal de M (resp. N) sur l'axe des abscisses (resp.
ordonnées). D'après la relation de Chasles sur les angles :
( ),OI OJ
uur uuur
= ( ),OI ON
uur uuur
+ ( ),ON OJ
uuur uuur
[2p]
p
2
=
p
2
- x + ( ),ON OJ
uuur uuur
[2p]
( ),ON OJ
uuur uuur
= x [2p]
(On pouvait s'en douter vu la symétrie de la figure et la présence de triangles isométriques)
2
x
p
+
cos(–x) = cos x
sin(–x) = –sin x
p–x
p+x
x
–x
cos(p – x) = –cos x
sin(p – x) = sin x
cos(p + x) = –cos x
sin(p + x) = –sin x
p
2
- x
cos
2
x
pæ ö+ç ÷
è ø
= -sin x
sin
2
x
pæ ö+ç ÷
è ø
= cos x
cos
2
x
pæ ö-ç ÷
è ø
= sin x
sin
2
x
pæ ö-ç ÷
è ø
= cos x
N
J
M
I
1
1
x
x
K
HO
2. Trigonométrie et relations métriques dans le triangle Page 2 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
Les coordonnées du point M sont : M( )cos ; sinx x
Celles du point N sont : N cos ; sin
2 2
x x
æ p p öæ ö æ ö
- -ç ÷ç ÷ ç ÷
è ø è øè ø
Comme x est un angle aigu, toutes ces coordonnées sont positives et :
cos
2
x
pæ ö
-ç ÷
è ø
= KN et sin
2
x
pæ ö
-ç ÷
è ø
= OK
Mais par ailleurs, d'après les relations métriques dans le triangle ONK rectangle en K, on a :
cos x = OK et sin x = KN
D'où les relations : cos
2
x
pæ ö
-ç ÷
è ø
= sin x et sin
2
x
pæ ö
-ç ÷
è ø
= cos x
Les autres relations se démontrent de manière analogue.
Si x n'est pas un angle aigu, on se ramène à ce cas par changement de variable.
Par exemple, si x appartient à ; 0
2
pé ù
-ê ú
ë û
, on pose y = -x.
Comme y est maintenant un angle aigu, on a par exemple, en utilisant ce qui précède :
cos
2
y
pæ ö
-ç ÷
è ø
= sin y et cos
2
y
pæ ö
+ç ÷
è ø
= -sin y
C'est-à-dire : cos
2
x
pæ ö
+ç ÷
è ø
= sin(-x) = -sin(x) et cos
2
x
pæ ö
-ç ÷
è ø
= -sin(-x) = sin x
De même, si x appartient à
3
;
2 2
p pé ù
ê ú
ë û
, alors on pose y = p - x et on utilise les formules précédentes.
2. Le point de départ de toutes les formules de trigonométrie
Étudions la quantité cos(a – b) où a et b sont deux nombres réels.
Dans un repère orthonormé (O,
r r
i j, ), considérons deux vecteurs u
®
et v
®
unitaires, tels que :
( i
®
, u
®
) = a et ( i
®
, v
®
) = b
Une première expression du produit scalaire donne :
u
®
. v
®
= cos( u
®
, v
®
) ( u
®
et v
®
sont des vecteurs unitaires)
En outre, d'après la relation de Chasles, on a :
( u
®
, v
®
) = ( u
®
, i
®
) + ( i
®
, v
®
) = b – a
donc u
®
. v
®
= cos(b – a) = cos(a – b) car la fonction cosinus est paire.
D'autre part, d'après la définition du cosinus et du sinus, on a :
u
® cos
sin
a
a
et v
® cos
sin
b
b
D'après l'expression du produit scalaire avec les coordonnées (xx' + yy'), on obtient alors :
u
®
. v
®
= cos a cos b + sin a sin b
Ce qui nous donne une première formule de trigonométrie :
cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b
j
®
i
®
v
®
u
®
O
b – a
b
a
3. Trigonométrie et relations métriques dans le triangle Page 3 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
Autre méthode n'utilisant pas le produit scalaire :
Étudions cette fois-ci la quantité cos(a + b) où a et b sont deux nombres réels.
Toujours dans un repère orthonormé (O ; I, J), on considère le cercle de centre O et de rayon 1, puis sur ce
cercle, le point A tel que ( ),OI OA
uur uuur
= a, le point M tel que ( ),OA OM
uuur uuuur
= b et le point A' tel que ( ),OA OA¢
uuur uuur
=
p
2
.
D'après la relation de Chasles pour les angles, on a :
( ),OI OM
uur uuuur
= ( ),OI OA
uur uuur
+ ( ),OA OM
uuur uuuur
= a + b [2p]
Donc : OM
uuuur
= cos(a + b)OI
uur
+ sin(a + b)OJ
uuur
Mais en se plaçant maintenant dans le repère orthonormé (O ; A, A'), on a :
OM
uuuur
= cos(b) OA
uuur
+ sin(b) OA¢
uuur
Et en exprimant les coordonnées des vecteurs OA
uuur
et OA¢
uuur
dans le repère (O ; I, J), on a :
OA
uuur
= cos(a) OI
uur
+ sin(a) OJ
uuur
et OA¢
uuur
= cos
2
a
pæ ö
+ç ÷
è ø
OI
uur
+ sin
2
a
pæ ö
+ç ÷
è ø
c= -sin(a) OI
uur
+ cos(a) OJ
uuur
Finalement, cela donne :
OM
uuuur
= cos(b) cos(a) OI
uur
+ cos(b) sin(a) OJ
uuur
- sin(b) sin(a) OI
uur
+ sin(b) cos(a) OJ
uuur
OM
uuuur
= [cos(a) cos(b) - sin(a) sin(b)] OI
uur
+ [sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)] OJ
uuur
Et par unicité des coordonnées d'un vecteur dans un repère, il vient les deux relations :
cos(a + b) = cos(a) cos(b) - sin(a) sin(b) et sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)
A' M
J
A
I
O
b
a
4. Trigonométrie et relations métriques dans le triangle Page 4 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
3. Formules de trigonométrie
Formules d'addition
cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b
sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b
Formules de duplication
cos(2a) = cos2
a – sin2
a sin(2a) = 2 sin a cos a
Formules de linéarisation
cos2
a =
)+1 cos(2
2
a
sin2
a =
)-1 cos(2
2
a
Démonstrations
Formules d'addition
On en a déjà démontré trois plus haut. Néanmoins, une seule suffit à retrouver les autres, montrons comment.
Partons de cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b.
· En remplaçant b par –b, il vient :
cos(a + b) = cos a cos (–b) + sin a sin (–b) = cos a cos b – sin a sin b.
· En remplaçant b par
p
2
– b, il vient :
cos
2
a b
æ p öæ ö
- -ç ÷ç ÷
è øè ø
= cos ( )
2
a b
pæ ö
- +ç ÷
è ø
= cos a cos
2
b
pæ ö
-ç ÷
è ø
+ sin a sin
2
b
pæ ö
-ç ÷
è ø
Ce qui donne (voir les rappels) :
sin(a + b) = cos a sin b + sin a cos b = sin a cos b + cos a sin b
· En remplaçant b par –b dans cette dernière formule, il vient :
sin(a – b) = sin a cos(–b) + cos a sin(–b) = sin a cos b – cos a sin b
Formules de duplication
cos(2a) = cos(a + a) = cos a cos a – sin a sin a = cos2
a – sin2
a
sin(2a) = sin (a + a) = sin a cos a + cos a sin a = 2 sin a cos a.
Formules de linéarisation
Rappelons ici une formule fondamentale : (conséquence du théorème de Pythagore)
cos2
x + sin2
x = 1 quelque soit le réel x
Donc cos(2a) = cos2
a – (1 – cos2
a) = 2 cos2
a – 1, d'où : cos2
a =
1 cos(2 )
2
a+
De même cos(2a) = (1 – sin2
a) – sin2
a = 1 – 2sin2
a, d'où sin2
a =
1 cos(2 )
2
a-
Curiosité : cos4
x - sin4
x = (cos2
x - sin2
x)(cos2
x + sin2
x) = cos2
x - sin2
x = cos(2x)
Info : ce qui est noté
cos2
a désigne (cos a)2
.
5. Trigonométrie et relations métriques dans le triangle Page 5 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
Applications classiques : calcul des valeurs exactes du cosinus et du sinus de
p
8
et de
p
12
:
En utilisant les formules de linéarisation :
cos2 p
8
=
1
4
2
+ cos
p
=
1
2
2
2
+
=
2 2
4
+
, et comme cos
p
8
> 0, il vient : cos
p
8
=
2 2
2
+
sin2 p
8
=
1
4
2
- cos
p
=
1
2
2
2
-
=
2 2
4
-
, et comme sin
p
8
> 0, il vient : sin
p
8
=
2 2
2
-
D'où : tan
p
8
=
2 2
2 2
-
+
Or :
2 2
2 2
-
+
=
( )
( )( )
2 2
2 2 2 2
2
-
- +
=
6 4 2
4 2
-
-
= 3 - 2 2 = 1 - 2 2 + 2 = (1 - 2 )2
D'où : tan
p
8
= |1 - 2 | = 2 - 1
En utilisant les formules d'addition :
cos
p
12
= cos
3 4
p pæ ö
-ç ÷
è ø
= cos
p
3
cos
p
4
+ sin
p
3
sin
p
4
=
1
2
´
2
2
+
3
2
´
2
2
=
6 2
2
+
sin
p
12
= sin
3 4
p pæ ö
-ç ÷
è ø
= sin
p
3
cos
p
4
– cos
p
3
sin
p
4
=
3
2
´
2
2
–
1
2
´
2
2
=
6 2
2
-
D'où : tan
p
12
=
6 2
6 2
-
+
=
( )
( )( )
6 2
6 2 6 2
2
-
+ -
=
8 2 12
6 2
-
-
= 2 - 3
Remarque : on peut retrouver tan
p
8
et tan
p
12
avec la relation : tan x =
)2sin(
)2cos(1
x
x-
pour x Î 0 ;
2
pù é
ú ê
û ë
.
4. Relations métriques dans le triangle quelconque
Dans tout ce paragraphe, on considère un triangle ABC. S désigne son aire, a, b et c désignent le côtés opposés
à A, B et C respectivement. On notera (par abus) cos A au lieu de cos ¶A etc .
On a alors les trois relations fondamentales suivantes :
Formule d'Al-Kashi : a2
= b2
+ c2
– 2 bc cos A
Formule de l'aire du triangle : S =
1
2
bc sin A
Formule des sinus :
a
Asin
=
b
Bsin
=
c
Csin
A
S
c b
a CB
6. Trigonométrie et relations métriques dans le triangle Page 6 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
Démonstrations :
Formule d'Al-Kashi
À l'aide du produit scalaire, c'est immédiat :
a2
= BC
® 2
= ( BA
®
+ AC
®
)2
= ( AC
®
– AB
®
)2
= AC2
+ AB2
– 2 AC
®
. AB
®
= b2
+ c2
– 2bc cos A
Variante : on peut faire une démonstration différente en utilisant le théorème de Pythagore :
Notons H et K les pieds des hauteurs issues de B et C respectivement.
Notons h = BH, k = CK, x = AH et y = AK.
Cas d'un triangle ABC acutangle
Dans le triangle AHB rectangle en H, on a : x = c cos qA
Dans le triangle AKC rectangle en C, on a : y = b cos qA
D'où : bx + cy = 2bc cos qA (S)
D'après le théorème de Pythagore appliqué aux triangles BCK puis AKC rectangles en K :
a2
= k2
+ (c - y)2
= b2
- y2
+ (c - y)2
= b2
+ c2
- 2cy
D'après le théorème de Pythagore appliqué aux triangles BCH puis AHB rectangles en H :
a2
= h2
+ (b - x)2
= c2
- x2
+ (b - x)2
= c2
+ b2
- 2bx
En additionnant ces deux dernières relations :
2a2
= 2b2
+ 2c2
- 2(bx + cy)
a2
= b2
+ c2
- (bx + cy)
Et tenant compte de (S) : a2
= b2
+ c2
- 2bc cos qA
Cas d'un triangle ABC obtusangle
Dans le triangle AHB rectangle en H, on a :
x = c cos(p - qA) = - c cos qA
Dans le triangle AKC rectangle en C, on a :
y
x
b
c
a
k
h
K
H
CB
qA
A
7. Trigonométrie et relations métriques dans le triangle Page 7 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
y = b cos(p - qA) = -b cos qA
D'où : bx + cy = -2bc cos qA (S)
D'après le théorème de Pythagore appliqué aux triangles BCK puis AKC rectangles en K :
a2
= k2
+ (c + y)2
= b2
- y2
+ (c + y)2
= b2
+ c2
+ 2cy
D'après le théorème de Pythagore appliqué aux triangles BCH puis AHB rectangles en H :
a2
= h2
+ (b + x)2
= c2
- x2
+ (b + x)2
= c2
+ b2
+ 2bx
En additionnant ces deux dernières relations :
2a2
= 2b2
+ 2c2
+ 2(bx + cy)
a2
= b2
+ c2
+ (bx + cy)
Et tenant compte de (S) : a2
= b2
+ c2
- 2bc cos qA
Formule de l'aire du triangle
L'aire du triangle ABC est donnée par : S =
1
2
AB ´ CH
Or CH = AC sin A (situation 1) ou CH = AC sin(p – A) = AC sin A (situation 2).
Dans les deux situations, on a : S =
1
2
AB ´ AC sin A =
1
2
bc sin A
Formule des sinus
D'après ce qui précède, on a : S =
1
2
bc sin A =
1
2
ac sin B =
1
2
ab sin C
En multipliant tout par
2
abc
, on obtient
2S
abc
=
sin A
a
=
sin B
b
=
sinC
c
ou encore (passage à l'inverse, les sinus
sont non nuls car les angles le sont) :
abc
S2
=
a
Asin
=
b
Bsin
=
c
Csin
BH A
CC
BHA
Situation 2
(Triangle obtusangle)
Situation 1
(Triangle acutangle)
x
y
bc
a
h
k
H
K
CB
qA
A
8. Trigonométrie et relations métriques dans le triangle Page 8 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
Autres formules : si on note R (respectivement r) le rayon du cercle circonscrit (respectivement inscrit) au
triangle ABC et p le demi périmètre (2p = a + b + c) on a :
a
Asin
=
b
Bsin
=
c
Csin
= 2R S =
abc
R4
= pr
Démonstration :
D'après le théorème de l'angle au centre :
1
2
·BOC = ·BAC si A est sur le grand arc
1
2
·BOC = p - ·BAC (p) si A est sur le petit arc
On a donc, dans tous les cas :
sin A = sin ·BAC = sin
1
2
·BOC
Comme le triangle BOC est isocèle, on a :
sin
1
2
·BOC =
1
2
BC
R
=
1
2
a
R
D'où : sin A =
1
2
a
R
et
a
Asin
= 2R
Tenant compte de la relation S =
1
2
bc sin A, il vient S =
1
2
bc ´
1
2
a
R
d'où :
S =
abc
R4
Et enfin, en décomposant le triangle ABC en trois triangles, BOC, AOC, AOB dont les aires sont
respectivement,
1
2
ar,
1
2
br et
1
2
cr, il vient : S =
1
2
(a + b + c)r = pr
5. Exemples d'applications
On considère trois carrés disposés comme dans la figure ci-dessous.
Montrer que a = b + g.
Naturellement, a =
p
4
. Montrons donc que b + g =
p
4
.
D'après une formule d'addition : cos(b + g) = cos b cos g – sin b sin g
Or, si l'on note a la longueur des côtés des carrés, on a (d'après le théorème de Pythagore et les relations du
cosinus et du sinus dans un triangle rectangle) :
bg a
A
O
RR
I
B C
9. Trigonométrie et relations métriques dans le triangle Page 9 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
cos b =
2
5
a
a
=
2
5
; cos g =
3
10
a
a
=
3
10
; sin b =
a
a5
=
1
5
; sin g =
a
a10
=
1
10
Donc : cos(b + g) =
2
5
´
3
10
–
1
5
´
1
10
=
5
5 10
=
5
5 5 2
=
1
2
=
2
2
Et comme 0 < b + g < p (puisque 0 < b <
p
2
et 0 < g <
p
2
) on a b + g =
p
4
.
Remarque : on peut retrouver ce résultat avec la configuration suivante :
On montre facilement que le triangle ABC est rectangle isocèle en A, ce
qui entraîne bien b + g =
p
4
.
ABC est un triangle avec a = 2, b = 3 et c = 4.
Calculer la valeur exacte de l'aire S de ABC.
D'après la formule d'Al-Kashi : a2
= b2
+ c2
– 2bc cos A
Donc : cos A =
b c a
bc
2 2 2
2
+ -
Ce qui donne : cos A =
9 16 4
24
+ -
=
7
8
Or, cos2
A + sin2
A = 1, donc : sin2
A = 1 –
49
64
=
15
64
Or, ABC étant un triangle, l'angle A est compris entre 0 et p rad donc son sinus est positif.
D'où : sin A =
15
8
Enfin, d'après la formule de l'aire du triangle, on obtient :
S =
1
2
bc sin A =
3 15
4
ABC est un triangle avec b = 3, c = 8 et A = 60°.
Calculer la valeur exacte de a ainsi que B et C (en degrés à 10-1
près).
D'après la formule d'Al-Kashi :
a2
= b2
+ c2
– 2bc cos A = 9 + 64 - 48 ´
1
2
= 49
D'où : a = 7
Déterminons cos B à l'aide de la formule d'Al-Kashi :
cos B =
a c b
ac
2 2 2
2
+ -
=
13
14
On a cos B > 0 et ABC triangle donc B Î ]0 ; 90[. On calcule donc B = arccos
13
14
21,8°.
On peut calculer C avec la relation A + B + C = 180. Cependant, à titre de vérification, procédons comme
précédemment : déterminons cos C à l'aide de la formule d'Al-Kashi :
A
B
C
10. Trigonométrie et relations métriques dans le triangle Page 10 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
cos C =
a b c
ab
2 2 2
2
+ -
= -
1
7
On a cette fois cos C < 0 et ABC triangle donc C Î ]90 ; 180[. On calcule C = arccos
1
7
æ ö
-ç ÷
è ø
98,2°.
On vérifie bien A + B + C = 180.
ABC est un triangle avec b = 6 2 , A = 105° et C = 45°.
Calculer les valeurs exactes de a et c.
D'après la formule des sinus :
a
Asin
=
b
Bsin
=
c
Csin
D'où : c =
b C
B
sin
sin
=
6 2 45
30
sin
sin
= 12
On ne peut pas calculer a avec la formule des sinus car on "ignore" la valeur exacte de sin A.
En fait si ! 105° correspond à
7
12
p
et sin
7
12
p
peut se calculer puisque
7
12
p
=
p
2
+
p
12
:
sin
7
12
p
= sin
2 12
p pæ ö
+ç ÷
è ø
= cos
p
12
=
6 2
2
+
(voir ci-dessus)
Mais l'énoncé ne semble pas nous inciter à faire ce calcul ...
Utilisons plutôt une formule d'Al-Kashi : c2
= a2
+ b2
- 2ab cos C
D'où une équation du second degré d'inconnue a :
a2
- 2ab cos C + b2
- c2
= 0
C'est-à-dire : a2
- 12a - 72 = 0
On trouve, tous calculs faits : a = 6 + 6 3 ou a = 6 - 6 3
Et comme a est une distance : a = 6 + 6 3 = 6(1 + 3 )
Aire maximale d'un rectangle inscrit dans un cercle.
Soit C un cercle de rayon 1 cm.
Quelle est l'aire maximale d'un rectangle dont les sommets sont sur le cercle C ?
Notons O le centre du cercle et fixons I et K deux points diamétralement opposés.
Soit M un point mobile sur le cercle et notons x une mesure en radian de l'angle ( ),OI OM
uur uuuur
.
Enfin, on note M' le point diamétralement opposé à M.
11. Trigonométrie et relations métriques dans le triangle Page 11 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
D'après la formule de l'aire d'un triangle exprimée avec un sinus :
Aire(MOI) =
1
2
OM ´ OI sin x
Comme le rayon du cercle est égal à 1 : Aire(MOI) =
1
2
sin x
Enfin, les diagonales d'un rectangle partagent celui-ci en quatre triangles de même aire (puisque la médiane
dans un triangle partage celui-là en deux triangles de même aire) donc :
Aire(MKM'I) = 2 sin x
L'aire du rectangle inscrit dans le cercle est donc maximale lorsque le sinus l'est, à savoir pour x =
p
2
, c'est-à-
dire lorsque le rectangle est un carré ; l'aire maximale est alors 2 cm2
.
La formule de Héron :
Soit ABC un triangle de demi-périmètre p (p est défini par la relation 2p = a + b + c)
L'aire S de ABC est donnée par : S = p p-a p-b p-c( )( )( )
D'après la formule d'Al-Kaschi, on a : a2
= b2
+ c2
– 2bc cos ¶A
cos ¶A =
b c a
bc
2 2 2
2
+ -
1 – cos ¶A = 1
2
2 2 2
-
+ -b c a
bc
=
a b bc c
bc
2 2 2
2
2
- - +( )
=
a b c
bc
2 2
2
- -( )
=
( )( )a b c a b c
bc
- + + -
2
1 + cos ¶A = 1
2
2 2 2
+
+ -b c a
bc
=
( )b bc c a
bc
2 2 2
2
2
+ + -
=
( )b c a
bc
+ -2 2
2
=
( )( )b c a b c a
bc
+ - + +
2
sin2 ¶A = 1 – cos2 ¶A = (1 – cos ¶A )(1 + cos ¶A ) =
( )( )( )( )a b c a b c b c a a b c
b c
- + + - + - + +
4 2 2
4b2
c2
sin2 ¶A = (2p – 2b)(2p – 2c)(2p – 2a)(2p) = 16p(p – a)(p – b)(p – c)
En outre S2
=
1
4
b2
c2
sin2
A
Ù
= p(p – a)(p – b)(p – c)
M
xO
K I
M'
12. Trigonométrie et relations métriques dans le triangle Page 12 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
D'où la formule de Héron : S = p p-a p-b p-c( )( )( )
Inégalités dans le triangle
ABC est un triangle. On note a = BC, b = AC et c = AB.
Démontrer que : |b - c| a b + c
D'après la formule d'Al-Kaschi, on a : a2
= b2
+ c2
– 2bc cos ¶A
cos ¶A =
b c a
bc
2 2 2
2
+ -
On en déduit l'encadrement : -2bc a2
- b2
- c2
2bc
D'où : (b - c)2
a2
(b + c)2
Par croissance de l'application t a t sur [0, +¥[, nous obtenons :
|b - c| |a| |b + c|
Et comme a, b et c sont des quantités positives :
|b - c| a b + c
On a des relations analogues avec les autres côtés.
Retrouver les longueurs des côtés d'un triangle à partir des longueurs des hauteurs.
ABC est un triangle. On note a = BC, b = AC et c = AB.
On note ha, hb, et hc les hauteurs issues respectivement de A, B et C.
On donne ha = 3, hb = 4 et hc = 5. Calculer a, b et c.
En exprimant l'aire S du triangle relativement à chaque base, on a :
S = aha = bhb = chc
On a donc égalité des rapports suivants :
a
b
= b
a
h
h
et
c
b
= b
c
h
h
Par ailleurs, on a : hc = b sin ¶A
(Ceci même si le triangle est obtus car un angle et son supplémentaire ont le même sinus)
Pour calculer b, il suffit donc de connaître sin ¶A , ce qui est possible via la formule d'Al-Kashi :
a2
= b2
+ c2
- 2bc cos ¶A
En divisant par b2
:
2
2
a
b
= 1 +
2
2
c
b
- 2
c
b
cos ¶A
Et d'après les égalités de rapports avec les hauteurs :
2
2
b
a
h
h
= 1 +
2
2
b
c
h
h
- 2 b
c
h
h
cos ¶A
A
hc
hb
ha
c b
a CB
13. Trigonométrie et relations métriques dans le triangle Page 13 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
Appliquons numériquement, il vient : cos ¶A = -
31
360
(Le triangle est donc légèrement obtus)
cos2 ¶A =
961
129600
sin2 ¶A =
128639
129600
sin ¶A =
128639
360
(Le sinus d'un angle géométrique est toujours positif)
D'où : b =
¶sin
ch
A
=
1800 128639
128639
5,019 à 10-3
près
Il vient ensuite : a = b
a
bh
h
=
2400 128639
128639
6,692 à 10-3
près
c = b
c
bh
h
=
1440 128639
128639
4,015 à 10-3
près