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Trigonométrie et relations métriques dans le triangle Page 1 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
TRIGONOMÉTRIE
RELATIONS MÉTRIQUES DANS LE TRIANGLE
1. Rappels sur les angles associés
Une lecture efficace du cercle trigonométrique permet de retrouver les relations suivantes :
Démonstration :
Les relations cos(-x) = cos x et sin(-x) = -sin x s'obtiennent immédiatement par symétrie par rapport à l'axe
des abscisses. (On dit que la fonction cosinus est paire et la fonction sinus impaire).
Supposons tout d'abord que x est un angle aigu : x Î 0 ;
2
pé ù
-ê ú
ë û
Montrons les relations : cos
2
x
pæ ö
-ç ÷
è ø
= sin x et sin
2
x
pæ ö
-ç ÷
è ø
= cos x
(Les autres se démontrent de manière analogue)
Notons I, J, M et N les points du cercle trigonométrique correspondants aux angles de 0,
p
2
, x et
p
2
- x radians
respectivement. Notons H (resp. K) le projeté orthogonal de M (resp. N) sur l'axe des abscisses (resp.
ordonnées). D'après la relation de Chasles sur les angles :
( ),OI OJ
uur uuur
= ( ),OI ON
uur uuur
+ ( ),ON OJ
uuur uuur
[2p]
p
2
=
p
2
- x + ( ),ON OJ
uuur uuur
[2p]
( ),ON OJ
uuur uuur
= x [2p]
(On pouvait s'en douter vu la symétrie de la figure et la présence de triangles isométriques)
2
x
p
+
cos(–x) = cos x
sin(–x) = –sin x
p–x
p+x
x
–x
cos(p – x) = –cos x
sin(p – x) = sin x
cos(p + x) = –cos x
sin(p + x) = –sin x
p
2
- x
cos
2
x
pæ ö+ç ÷
è ø
= -sin x
sin
2
x
pæ ö+ç ÷
è ø
= cos x
cos
2
x
pæ ö-ç ÷
è ø
= sin x
sin
2
x
pæ ö-ç ÷
è ø
= cos x
N
J
M
I
1
1
x
x
K
HO
Trigonométrie et relations métriques dans le triangle Page 2 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
Les coordonnées du point M sont : M( )cos ; sinx x
Celles du point N sont : N cos ; sin
2 2
x x
æ p p öæ ö æ ö
- -ç ÷ç ÷ ç ÷
è ø è øè ø
Comme x est un angle aigu, toutes ces coordonnées sont positives et :
cos
2
x
pæ ö
-ç ÷
è ø
= KN et sin
2
x
pæ ö
-ç ÷
è ø
= OK
Mais par ailleurs, d'après les relations métriques dans le triangle ONK rectangle en K, on a :
cos x = OK et sin x = KN
D'où les relations : cos
2
x
pæ ö
-ç ÷
è ø
= sin x et sin
2
x
pæ ö
-ç ÷
è ø
= cos x
Les autres relations se démontrent de manière analogue.
Si x n'est pas un angle aigu, on se ramène à ce cas par changement de variable.
Par exemple, si x appartient à ; 0
2
pé ù
-ê ú
ë û
, on pose y = -x.
Comme y est maintenant un angle aigu, on a par exemple, en utilisant ce qui précède :
cos
2
y
pæ ö
-ç ÷
è ø
= sin y et cos
2
y
pæ ö
+ç ÷
è ø
= -sin y
C'est-à-dire : cos
2
x
pæ ö
+ç ÷
è ø
= sin(-x) = -sin(x) et cos
2
x
pæ ö
-ç ÷
è ø
= -sin(-x) = sin x
De même, si x appartient à
3
;
2 2
p pé ù
ê ú
ë û
, alors on pose y = p - x et on utilise les formules précédentes.
2. Le point de départ de toutes les formules de trigonométrie
Étudions la quantité cos(a – b) où a et b sont deux nombres réels.
Dans un repère orthonormé (O,
r r
i j, ), considérons deux vecteurs u
®
et v
®
unitaires, tels que :
( i
®
, u
®
) = a et ( i
®
, v
®
) = b
Une première expression du produit scalaire donne :
u
®
. v
®
= cos( u
®
, v
®
) ( u
®
et v
®
sont des vecteurs unitaires)
En outre, d'après la relation de Chasles, on a :
( u
®
, v
®
) = ( u
®
, i
®
) + ( i
®
, v
®
) = b – a
donc u
®
. v
®
= cos(b – a) = cos(a – b) car la fonction cosinus est paire.
D'autre part, d'après la définition du cosinus et du sinus, on a :
u
® cos
sin
a
a
et v
® cos
sin
b
b
D'après l'expression du produit scalaire avec les coordonnées (xx' + yy'), on obtient alors :
u
®
. v
®
= cos a cos b + sin a sin b
Ce qui nous donne une première formule de trigonométrie :
cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b
j
®
i
®
v
®
u
®
O
b – a
b
a
Trigonométrie et relations métriques dans le triangle Page 3 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
Autre méthode n'utilisant pas le produit scalaire :
Étudions cette fois-ci la quantité cos(a + b) où a et b sont deux nombres réels.
Toujours dans un repère orthonormé (O ; I, J), on considère le cercle de centre O et de rayon 1, puis sur ce
cercle, le point A tel que ( ),OI OA
uur uuur
= a, le point M tel que ( ),OA OM
uuur uuuur
= b et le point A' tel que ( ),OA OA¢
uuur uuur
=
p
2
.
D'après la relation de Chasles pour les angles, on a :
( ),OI OM
uur uuuur
= ( ),OI OA
uur uuur
+ ( ),OA OM
uuur uuuur
= a + b [2p]
Donc : OM
uuuur
= cos(a + b)OI
uur
+ sin(a + b)OJ
uuur
Mais en se plaçant maintenant dans le repère orthonormé (O ; A, A'), on a :
OM
uuuur
= cos(b) OA
uuur
+ sin(b) OA¢
uuur
Et en exprimant les coordonnées des vecteurs OA
uuur
et OA¢
uuur
dans le repère (O ; I, J), on a :
OA
uuur
= cos(a) OI
uur
+ sin(a) OJ
uuur
et OA¢
uuur
= cos
2
a
pæ ö
+ç ÷
è ø
OI
uur
+ sin
2
a
pæ ö
+ç ÷
è ø
c= -sin(a) OI
uur
+ cos(a) OJ
uuur
Finalement, cela donne :
OM
uuuur
= cos(b) cos(a) OI
uur
+ cos(b) sin(a) OJ
uuur
- sin(b) sin(a) OI
uur
+ sin(b) cos(a) OJ
uuur
OM
uuuur
= [cos(a) cos(b) - sin(a) sin(b)] OI
uur
+ [sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)] OJ
uuur
Et par unicité des coordonnées d'un vecteur dans un repère, il vient les deux relations :
cos(a + b) = cos(a) cos(b) - sin(a) sin(b) et sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)
A' M
J
A
I
O
b
a
Trigonométrie et relations métriques dans le triangle Page 4 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
3. Formules de trigonométrie
Formules d'addition
cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b
sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b
Formules de duplication
cos(2a) = cos2
a – sin2
a sin(2a) = 2 sin a cos a
Formules de linéarisation
cos2
a =
)+1 cos(2
2
a
sin2
a =
)-1 cos(2
2
a
Démonstrations
Formules d'addition
On en a déjà démontré trois plus haut. Néanmoins, une seule suffit à retrouver les autres, montrons comment.
Partons de cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b.
· En remplaçant b par –b, il vient :
cos(a + b) = cos a cos (–b) + sin a sin (–b) = cos a cos b – sin a sin b.
· En remplaçant b par
p
2
– b, il vient :
cos
2
a b
æ p öæ ö
- -ç ÷ç ÷
è øè ø
= cos ( )
2
a b
pæ ö
- +ç ÷
è ø
= cos a cos
2
b
pæ ö
-ç ÷
è ø
+ sin a sin
2
b
pæ ö
-ç ÷
è ø
Ce qui donne (voir les rappels) :
sin(a + b) = cos a sin b + sin a cos b = sin a cos b + cos a sin b
· En remplaçant b par –b dans cette dernière formule, il vient :
sin(a – b) = sin a cos(–b) + cos a sin(–b) = sin a cos b – cos a sin b
Formules de duplication
cos(2a) = cos(a + a) = cos a cos a – sin a sin a = cos2
a – sin2
a
sin(2a) = sin (a + a) = sin a cos a + cos a sin a = 2 sin a cos a.
Formules de linéarisation
Rappelons ici une formule fondamentale : (conséquence du théorème de Pythagore)
cos2
x + sin2
x = 1 quelque soit le réel x
Donc cos(2a) = cos2
a – (1 – cos2
a) = 2 cos2
a – 1, d'où : cos2
a =
1 cos(2 )
2
a+
De même cos(2a) = (1 – sin2
a) – sin2
a = 1 – 2sin2
a, d'où sin2
a =
1 cos(2 )
2
a-
Curiosité : cos4
x - sin4
x = (cos2
x - sin2
x)(cos2
x + sin2
x) = cos2
x - sin2
x = cos(2x)
Info : ce qui est noté
cos2
a désigne (cos a)2
.
Trigonométrie et relations métriques dans le triangle Page 5 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
Applications classiques : calcul des valeurs exactes du cosinus et du sinus de
p
8
et de
p
12
:
En utilisant les formules de linéarisation :
cos2 p
8
=
1
4
2
+ cos
p
=
1
2
2
2
+
=
2 2
4
+
, et comme cos
p
8
> 0, il vient : cos
p
8
=
2 2
2
+
sin2 p
8
=
1
4
2
- cos
p
=
1
2
2
2
-
=
2 2
4
-
, et comme sin
p
8
> 0, il vient : sin
p
8
=
2 2
2
-
D'où : tan
p
8
=
2 2
2 2
-
+
Or :
2 2
2 2
-
+
=
( )
( )( )
2 2
2 2 2 2
2
-
- +
=
6 4 2
4 2
-
-
= 3 - 2 2 = 1 - 2 2 + 2 = (1 - 2 )2
D'où : tan
p
8
= |1 - 2 | = 2 - 1
En utilisant les formules d'addition :
cos
p
12
= cos
3 4
p pæ ö
-ç ÷
è ø
= cos
p
3
cos
p
4
+ sin
p
3
sin
p
4
=
1
2
´
2
2
+
3
2
´
2
2
=
6 2
2
+
sin
p
12
= sin
3 4
p pæ ö
-ç ÷
è ø
= sin
p
3
cos
p
4
– cos
p
3
sin
p
4
=
3
2
´
2
2
–
1
2
´
2
2
=
6 2
2
-
D'où : tan
p
12
=
6 2
6 2
-
+
=
( )
( )( )
6 2
6 2 6 2
2
-
+ -
=
8 2 12
6 2
-
-
= 2 - 3
Remarque : on peut retrouver tan
p
8
et tan
p
12
avec la relation : tan x =
)2sin(
)2cos(1
x
x-
pour x Î 0 ;
2
pù é
ú ê
û ë
.
4. Relations métriques dans le triangle quelconque
Dans tout ce paragraphe, on considère un triangle ABC. S désigne son aire, a, b et c désignent le côtés opposés
à A, B et C respectivement. On notera (par abus) cos A au lieu de cos ¶A etc .
On a alors les trois relations fondamentales suivantes :
Formule d'Al-Kashi : a2
= b2
+ c2
– 2 bc cos A
Formule de l'aire du triangle : S =
1
2
bc sin A
Formule des sinus :
a
Asin
=
b
Bsin
=
c
Csin
A
S
c b
a CB
Trigonométrie et relations métriques dans le triangle Page 6 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
Démonstrations :
Formule d'Al-Kashi
À l'aide du produit scalaire, c'est immédiat :
a2
= BC
® 2
= ( BA
®
+ AC
®
)2
= ( AC
®
– AB
®
)2
= AC2
+ AB2
– 2 AC
®
. AB
®
= b2
+ c2
– 2bc cos A
Variante : on peut faire une démonstration différente en utilisant le théorème de Pythagore :
Notons H et K les pieds des hauteurs issues de B et C respectivement.
Notons h = BH, k = CK, x = AH et y = AK.
Cas d'un triangle ABC acutangle
Dans le triangle AHB rectangle en H, on a : x = c cos qA
Dans le triangle AKC rectangle en C, on a : y = b cos qA
D'où : bx + cy = 2bc cos qA (S)
D'après le théorème de Pythagore appliqué aux triangles BCK puis AKC rectangles en K :
a2
= k2
+ (c - y)2
= b2
- y2
+ (c - y)2
= b2
+ c2
- 2cy
D'après le théorème de Pythagore appliqué aux triangles BCH puis AHB rectangles en H :
a2
= h2
+ (b - x)2
= c2
- x2
+ (b - x)2
= c2
+ b2
- 2bx
En additionnant ces deux dernières relations :
2a2
= 2b2
+ 2c2
- 2(bx + cy)
a2
= b2
+ c2
- (bx + cy)
Et tenant compte de (S) : a2
= b2
+ c2
- 2bc cos qA
Cas d'un triangle ABC obtusangle
Dans le triangle AHB rectangle en H, on a :
x = c cos(p - qA) = - c cos qA
Dans le triangle AKC rectangle en C, on a :
y
x
b
c
a
k
h
K
H
CB
qA
A
Trigonométrie et relations métriques dans le triangle Page 7 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
y = b cos(p - qA) = -b cos qA
D'où : bx + cy = -2bc cos qA (S)
D'après le théorème de Pythagore appliqué aux triangles BCK puis AKC rectangles en K :
a2
= k2
+ (c + y)2
= b2
- y2
+ (c + y)2
= b2
+ c2
+ 2cy
D'après le théorème de Pythagore appliqué aux triangles BCH puis AHB rectangles en H :
a2
= h2
+ (b + x)2
= c2
- x2
+ (b + x)2
= c2
+ b2
+ 2bx
En additionnant ces deux dernières relations :
2a2
= 2b2
+ 2c2
+ 2(bx + cy)
a2
= b2
+ c2
+ (bx + cy)
Et tenant compte de (S) : a2
= b2
+ c2
- 2bc cos qA
Formule de l'aire du triangle
L'aire du triangle ABC est donnée par : S =
1
2
AB ´ CH
Or CH = AC sin A (situation 1) ou CH = AC sin(p – A) = AC sin A (situation 2).
Dans les deux situations, on a : S =
1
2
AB ´ AC sin A =
1
2
bc sin A
Formule des sinus
D'après ce qui précède, on a : S =
1
2
bc sin A =
1
2
ac sin B =
1
2
ab sin C
En multipliant tout par
2
abc
, on obtient
2S
abc
=
sin A
a
=
sin B
b
=
sinC
c
ou encore (passage à l'inverse, les sinus
sont non nuls car les angles le sont) :
abc
S2
=
a
Asin
=
b
Bsin
=
c
Csin
BH A
CC
BHA
Situation 2
(Triangle obtusangle)
Situation 1
(Triangle acutangle)
x
y
bc
a
h
k
H
K
CB
qA
A
Trigonométrie et relations métriques dans le triangle Page 8 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
Autres formules : si on note R (respectivement r) le rayon du cercle circonscrit (respectivement inscrit) au
triangle ABC et p le demi périmètre (2p = a + b + c) on a :
a
Asin
=
b
Bsin
=
c
Csin
= 2R S =
abc
R4
= pr
Démonstration :
D'après le théorème de l'angle au centre :
1
2
·BOC = ·BAC si A est sur le grand arc
1
2
·BOC = p - ·BAC (p) si A est sur le petit arc
On a donc, dans tous les cas :
sin A = sin ·BAC = sin
1
2
·BOC
Comme le triangle BOC est isocèle, on a :
sin
1
2
·BOC =
1
2
BC
R
=
1
2
a
R
D'où : sin A =
1
2
a
R
et
a
Asin
= 2R
Tenant compte de la relation S =
1
2
bc sin A, il vient S =
1
2
bc ´
1
2
a
R
d'où :
S =
abc
R4
Et enfin, en décomposant le triangle ABC en trois triangles, BOC, AOC, AOB dont les aires sont
respectivement,
1
2
ar,
1
2
br et
1
2
cr, il vient : S =
1
2
(a + b + c)r = pr
5. Exemples d'applications
On considère trois carrés disposés comme dans la figure ci-dessous.
Montrer que a = b + g.
Naturellement, a =
p
4
. Montrons donc que b + g =
p
4
.
D'après une formule d'addition : cos(b + g) = cos b cos g – sin b sin g
Or, si l'on note a la longueur des côtés des carrés, on a (d'après le théorème de Pythagore et les relations du
cosinus et du sinus dans un triangle rectangle) :
bg a
A
O
RR
I
B C
Trigonométrie et relations métriques dans le triangle Page 9 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
cos b =
2
5
a
a
=
2
5
; cos g =
3
10
a
a
=
3
10
; sin b =
a
a5
=
1
5
; sin g =
a
a10
=
1
10
Donc : cos(b + g) =
2
5
´
3
10
–
1
5
´
1
10
=
5
5 10
=
5
5 5 2
=
1
2
=
2
2
Et comme 0 < b + g < p (puisque 0 < b <
p
2
et 0 < g <
p
2
) on a b + g =
p
4
.
Remarque : on peut retrouver ce résultat avec la configuration suivante :
On montre facilement que le triangle ABC est rectangle isocèle en A, ce
qui entraîne bien b + g =
p
4
.
ABC est un triangle avec a = 2, b = 3 et c = 4.
Calculer la valeur exacte de l'aire S de ABC.
D'après la formule d'Al-Kashi : a2
= b2
+ c2
– 2bc cos A
Donc : cos A =
b c a
bc
2 2 2
2
+ -
Ce qui donne : cos A =
9 16 4
24
+ -
=
7
8
Or, cos2
A + sin2
A = 1, donc : sin2
A = 1 –
49
64
=
15
64
Or, ABC étant un triangle, l'angle A est compris entre 0 et p rad donc son sinus est positif.
D'où : sin A =
15
8
Enfin, d'après la formule de l'aire du triangle, on obtient :
S =
1
2
bc sin A =
3 15
4
ABC est un triangle avec b = 3, c = 8 et A = 60°.
Calculer la valeur exacte de a ainsi que B et C (en degrés à 10-1
près).
D'après la formule d'Al-Kashi :
a2
= b2
+ c2
– 2bc cos A = 9 + 64 - 48 ´
1
2
= 49
D'où : a = 7
Déterminons cos B à l'aide de la formule d'Al-Kashi :
cos B =
a c b
ac
2 2 2
2
+ -
=
13
14
On a cos B > 0 et ABC triangle donc B Î ]0 ; 90[. On calcule donc B = arccos
13
14
 21,8°.
On peut calculer C avec la relation A + B + C = 180. Cependant, à titre de vérification, procédons comme
précédemment : déterminons cos C à l'aide de la formule d'Al-Kashi :
A
B
C
Trigonométrie et relations métriques dans le triangle Page 10 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
cos C =
a b c
ab
2 2 2
2
+ -
= -
1
7
On a cette fois cos C < 0 et ABC triangle donc C Î ]90 ; 180[. On calcule C = arccos
1
7
æ ö
-ç ÷
è ø
 98,2°.
On vérifie bien A + B + C = 180.
ABC est un triangle avec b = 6 2 , A = 105° et C = 45°.
Calculer les valeurs exactes de a et c.
D'après la formule des sinus :
a
Asin
=
b
Bsin
=
c
Csin
D'où : c =
b C
B
sin
sin
=
6 2 45
30
sin
sin
= 12
On ne peut pas calculer a avec la formule des sinus car on "ignore" la valeur exacte de sin A.
En fait si ! 105° correspond à
7
12
p
et sin
7
12
p
peut se calculer puisque
7
12
p
=
p
2
+
p
12
:
sin
7
12
p
= sin
2 12
p pæ ö
+ç ÷
è ø
= cos
p
12
=
6 2
2
+
(voir ci-dessus)
Mais l'énoncé ne semble pas nous inciter à faire ce calcul ...
Utilisons plutôt une formule d'Al-Kashi : c2
= a2
+ b2
- 2ab cos C
D'où une équation du second degré d'inconnue a :
a2
- 2ab cos C + b2
- c2
= 0
C'est-à-dire : a2
- 12a - 72 = 0
On trouve, tous calculs faits : a = 6 + 6 3 ou a = 6 - 6 3
Et comme a est une distance : a = 6 + 6 3 = 6(1 + 3 )
Aire maximale d'un rectangle inscrit dans un cercle.
Soit C un cercle de rayon 1 cm.
Quelle est l'aire maximale d'un rectangle dont les sommets sont sur le cercle C ?
Notons O le centre du cercle et fixons I et K deux points diamétralement opposés.
Soit M un point mobile sur le cercle et notons x une mesure en radian de l'angle ( ),OI OM
uur uuuur
.
Enfin, on note M' le point diamétralement opposé à M.
Trigonométrie et relations métriques dans le triangle Page 11 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
D'après la formule de l'aire d'un triangle exprimée avec un sinus :
Aire(MOI) =
1
2
OM ´ OI sin x
Comme le rayon du cercle est égal à 1 : Aire(MOI) =
1
2
sin x
Enfin, les diagonales d'un rectangle partagent celui-ci en quatre triangles de même aire (puisque la médiane
dans un triangle partage celui-là en deux triangles de même aire) donc :
Aire(MKM'I) = 2 sin x
L'aire du rectangle inscrit dans le cercle est donc maximale lorsque le sinus l'est, à savoir pour x =
p
2
, c'est-à-
dire lorsque le rectangle est un carré ; l'aire maximale est alors 2 cm2
.
La formule de Héron :
Soit ABC un triangle de demi-périmètre p (p est défini par la relation 2p = a + b + c)
L'aire S de ABC est donnée par : S = p p-a p-b p-c( )( )( )
D'après la formule d'Al-Kaschi, on a : a2
= b2
+ c2
– 2bc cos ¶A
cos ¶A =
b c a
bc
2 2 2
2
+ -
1 – cos ¶A = 1
2
2 2 2
-
+ -b c a
bc
=
a b bc c
bc
2 2 2
2
2
- - +( )
=
a b c
bc
2 2
2
- -( )
=
( )( )a b c a b c
bc
- + + -
2
1 + cos ¶A = 1
2
2 2 2
+
+ -b c a
bc
=
( )b bc c a
bc
2 2 2
2
2
+ + -
=
( )b c a
bc
+ -2 2
2
=
( )( )b c a b c a
bc
+ - + +
2
sin2 ¶A = 1 – cos2 ¶A = (1 – cos ¶A )(1 + cos ¶A ) =
( )( )( )( )a b c a b c b c a a b c
b c
- + + - + - + +
4 2 2
4b2
c2
sin2 ¶A = (2p – 2b)(2p – 2c)(2p – 2a)(2p) = 16p(p – a)(p – b)(p – c)
En outre S2
=
1
4
b2
c2
sin2
A
Ù
= p(p – a)(p – b)(p – c)
M
xO
K I
M'
Trigonométrie et relations métriques dans le triangle Page 12 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
D'où la formule de Héron : S = p p-a p-b p-c( )( )( )
Inégalités dans le triangle
ABC est un triangle. On note a = BC, b = AC et c = AB.
Démontrer que : |b - c|  a  b + c
D'après la formule d'Al-Kaschi, on a : a2
= b2
+ c2
– 2bc cos ¶A
cos ¶A =
b c a
bc
2 2 2
2
+ -
On en déduit l'encadrement : -2bc  a2
- b2
- c2
 2bc
D'où : (b - c)2
 a2
 (b + c)2
Par croissance de l'application t a t sur [0, +¥[, nous obtenons :
|b - c|  |a|  |b + c|
Et comme a, b et c sont des quantités positives :
|b - c|  a  b + c
On a des relations analogues avec les autres côtés.
Retrouver les longueurs des côtés d'un triangle à partir des longueurs des hauteurs.
ABC est un triangle. On note a = BC, b = AC et c = AB.
On note ha, hb, et hc les hauteurs issues respectivement de A, B et C.
On donne ha = 3, hb = 4 et hc = 5. Calculer a, b et c.
En exprimant l'aire S du triangle relativement à chaque base, on a :
S = aha = bhb = chc
On a donc égalité des rapports suivants :
a
b
= b
a
h
h
et
c
b
= b
c
h
h
Par ailleurs, on a : hc = b sin ¶A
(Ceci même si le triangle est obtus car un angle et son supplémentaire ont le même sinus)
Pour calculer b, il suffit donc de connaître sin ¶A , ce qui est possible via la formule d'Al-Kashi :
a2
= b2
+ c2
- 2bc cos ¶A
En divisant par b2
:
2
2
a
b
= 1 +
2
2
c
b
- 2
c
b
cos ¶A
Et d'après les égalités de rapports avec les hauteurs :
2
2
b
a
h
h
= 1 +
2
2
b
c
h
h
- 2 b
c
h
h
cos ¶A
A
hc
hb
ha
c b
a CB
Trigonométrie et relations métriques dans le triangle Page 13 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
Appliquons numériquement, il vient : cos ¶A = -
31
360
(Le triangle est donc légèrement obtus)
cos2 ¶A =
961
129600
sin2 ¶A =
128639
129600
sin ¶A =
128639
360
(Le sinus d'un angle géométrique est toujours positif)
D'où : b =
¶sin
ch
A
=
1800 128639
128639
 5,019 à 10-3
près
Il vient ensuite : a = b
a
bh
h
=
2400 128639
128639
 6,692 à 10-3
près
c = b
c
bh
h
=
1440 128639
128639
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Realatios trégonométriques

  • 1. Trigonométrie et relations métriques dans le triangle Page 1 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ TRIGONOMÉTRIE RELATIONS MÉTRIQUES DANS LE TRIANGLE 1. Rappels sur les angles associés Une lecture efficace du cercle trigonométrique permet de retrouver les relations suivantes : Démonstration : Les relations cos(-x) = cos x et sin(-x) = -sin x s'obtiennent immédiatement par symétrie par rapport à l'axe des abscisses. (On dit que la fonction cosinus est paire et la fonction sinus impaire). Supposons tout d'abord que x est un angle aigu : x Î 0 ; 2 pé ù -ê ú ë û Montrons les relations : cos 2 x pæ ö -ç ÷ è ø = sin x et sin 2 x pæ ö -ç ÷ è ø = cos x (Les autres se démontrent de manière analogue) Notons I, J, M et N les points du cercle trigonométrique correspondants aux angles de 0, p 2 , x et p 2 - x radians respectivement. Notons H (resp. K) le projeté orthogonal de M (resp. N) sur l'axe des abscisses (resp. ordonnées). D'après la relation de Chasles sur les angles : ( ),OI OJ uur uuur = ( ),OI ON uur uuur + ( ),ON OJ uuur uuur [2p] p 2 = p 2 - x + ( ),ON OJ uuur uuur [2p] ( ),ON OJ uuur uuur = x [2p] (On pouvait s'en douter vu la symétrie de la figure et la présence de triangles isométriques) 2 x p + cos(–x) = cos x sin(–x) = –sin x p–x p+x x –x cos(p – x) = –cos x sin(p – x) = sin x cos(p + x) = –cos x sin(p + x) = –sin x p 2 - x cos 2 x pæ ö+ç ÷ è ø = -sin x sin 2 x pæ ö+ç ÷ è ø = cos x cos 2 x pæ ö-ç ÷ è ø = sin x sin 2 x pæ ö-ç ÷ è ø = cos x N J M I 1 1 x x K HO
  • 2. Trigonométrie et relations métriques dans le triangle Page 2 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ Les coordonnées du point M sont : M( )cos ; sinx x Celles du point N sont : N cos ; sin 2 2 x x æ p p öæ ö æ ö - -ç ÷ç ÷ ç ÷ è ø è øè ø Comme x est un angle aigu, toutes ces coordonnées sont positives et : cos 2 x pæ ö -ç ÷ è ø = KN et sin 2 x pæ ö -ç ÷ è ø = OK Mais par ailleurs, d'après les relations métriques dans le triangle ONK rectangle en K, on a : cos x = OK et sin x = KN D'où les relations : cos 2 x pæ ö -ç ÷ è ø = sin x et sin 2 x pæ ö -ç ÷ è ø = cos x Les autres relations se démontrent de manière analogue. Si x n'est pas un angle aigu, on se ramène à ce cas par changement de variable. Par exemple, si x appartient à ; 0 2 pé ù -ê ú ë û , on pose y = -x. Comme y est maintenant un angle aigu, on a par exemple, en utilisant ce qui précède : cos 2 y pæ ö -ç ÷ è ø = sin y et cos 2 y pæ ö +ç ÷ è ø = -sin y C'est-à-dire : cos 2 x pæ ö +ç ÷ è ø = sin(-x) = -sin(x) et cos 2 x pæ ö -ç ÷ è ø = -sin(-x) = sin x De même, si x appartient à 3 ; 2 2 p pé ù ê ú ë û , alors on pose y = p - x et on utilise les formules précédentes. 2. Le point de départ de toutes les formules de trigonométrie Étudions la quantité cos(a – b) où a et b sont deux nombres réels. Dans un repère orthonormé (O, r r i j, ), considérons deux vecteurs u ® et v ® unitaires, tels que : ( i ® , u ® ) = a et ( i ® , v ® ) = b Une première expression du produit scalaire donne : u ® . v ® = cos( u ® , v ® ) ( u ® et v ® sont des vecteurs unitaires) En outre, d'après la relation de Chasles, on a : ( u ® , v ® ) = ( u ® , i ® ) + ( i ® , v ® ) = b – a donc u ® . v ® = cos(b – a) = cos(a – b) car la fonction cosinus est paire. D'autre part, d'après la définition du cosinus et du sinus, on a : u ® cos sin a a et v ® cos sin b b D'après l'expression du produit scalaire avec les coordonnées (xx' + yy'), on obtient alors : u ® . v ® = cos a cos b + sin a sin b Ce qui nous donne une première formule de trigonométrie : cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b j ® i ® v ® u ® O b – a b a
  • 3. Trigonométrie et relations métriques dans le triangle Page 3 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ Autre méthode n'utilisant pas le produit scalaire : Étudions cette fois-ci la quantité cos(a + b) où a et b sont deux nombres réels. Toujours dans un repère orthonormé (O ; I, J), on considère le cercle de centre O et de rayon 1, puis sur ce cercle, le point A tel que ( ),OI OA uur uuur = a, le point M tel que ( ),OA OM uuur uuuur = b et le point A' tel que ( ),OA OA¢ uuur uuur = p 2 . D'après la relation de Chasles pour les angles, on a : ( ),OI OM uur uuuur = ( ),OI OA uur uuur + ( ),OA OM uuur uuuur = a + b [2p] Donc : OM uuuur = cos(a + b)OI uur + sin(a + b)OJ uuur Mais en se plaçant maintenant dans le repère orthonormé (O ; A, A'), on a : OM uuuur = cos(b) OA uuur + sin(b) OA¢ uuur Et en exprimant les coordonnées des vecteurs OA uuur et OA¢ uuur dans le repère (O ; I, J), on a : OA uuur = cos(a) OI uur + sin(a) OJ uuur et OA¢ uuur = cos 2 a pæ ö +ç ÷ è ø OI uur + sin 2 a pæ ö +ç ÷ è ø c= -sin(a) OI uur + cos(a) OJ uuur Finalement, cela donne : OM uuuur = cos(b) cos(a) OI uur + cos(b) sin(a) OJ uuur - sin(b) sin(a) OI uur + sin(b) cos(a) OJ uuur OM uuuur = [cos(a) cos(b) - sin(a) sin(b)] OI uur + [sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)] OJ uuur Et par unicité des coordonnées d'un vecteur dans un repère, il vient les deux relations : cos(a + b) = cos(a) cos(b) - sin(a) sin(b) et sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) A' M J A I O b a
  • 4. Trigonométrie et relations métriques dans le triangle Page 4 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ 3. Formules de trigonométrie Formules d'addition cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b Formules de duplication cos(2a) = cos2 a – sin2 a sin(2a) = 2 sin a cos a Formules de linéarisation cos2 a = )+1 cos(2 2 a sin2 a = )-1 cos(2 2 a Démonstrations Formules d'addition On en a déjà démontré trois plus haut. Néanmoins, une seule suffit à retrouver les autres, montrons comment. Partons de cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b. · En remplaçant b par –b, il vient : cos(a + b) = cos a cos (–b) + sin a sin (–b) = cos a cos b – sin a sin b. · En remplaçant b par p 2 – b, il vient : cos 2 a b æ p öæ ö - -ç ÷ç ÷ è øè ø = cos ( ) 2 a b pæ ö - +ç ÷ è ø = cos a cos 2 b pæ ö -ç ÷ è ø + sin a sin 2 b pæ ö -ç ÷ è ø Ce qui donne (voir les rappels) : sin(a + b) = cos a sin b + sin a cos b = sin a cos b + cos a sin b · En remplaçant b par –b dans cette dernière formule, il vient : sin(a – b) = sin a cos(–b) + cos a sin(–b) = sin a cos b – cos a sin b Formules de duplication cos(2a) = cos(a + a) = cos a cos a – sin a sin a = cos2 a – sin2 a sin(2a) = sin (a + a) = sin a cos a + cos a sin a = 2 sin a cos a. Formules de linéarisation Rappelons ici une formule fondamentale : (conséquence du théorème de Pythagore) cos2 x + sin2 x = 1 quelque soit le réel x Donc cos(2a) = cos2 a – (1 – cos2 a) = 2 cos2 a – 1, d'où : cos2 a = 1 cos(2 ) 2 a+ De même cos(2a) = (1 – sin2 a) – sin2 a = 1 – 2sin2 a, d'où sin2 a = 1 cos(2 ) 2 a- Curiosité : cos4 x - sin4 x = (cos2 x - sin2 x)(cos2 x + sin2 x) = cos2 x - sin2 x = cos(2x) Info : ce qui est noté cos2 a désigne (cos a)2 .
  • 5. Trigonométrie et relations métriques dans le triangle Page 5 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ Applications classiques : calcul des valeurs exactes du cosinus et du sinus de p 8 et de p 12 : En utilisant les formules de linéarisation : cos2 p 8 = 1 4 2 + cos p = 1 2 2 2 + = 2 2 4 + , et comme cos p 8 > 0, il vient : cos p 8 = 2 2 2 + sin2 p 8 = 1 4 2 - cos p = 1 2 2 2 - = 2 2 4 - , et comme sin p 8 > 0, il vient : sin p 8 = 2 2 2 - D'où : tan p 8 = 2 2 2 2 - + Or : 2 2 2 2 - + = ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 - - + = 6 4 2 4 2 - - = 3 - 2 2 = 1 - 2 2 + 2 = (1 - 2 )2 D'où : tan p 8 = |1 - 2 | = 2 - 1 En utilisant les formules d'addition : cos p 12 = cos 3 4 p pæ ö -ç ÷ è ø = cos p 3 cos p 4 + sin p 3 sin p 4 = 1 2 ´ 2 2 + 3 2 ´ 2 2 = 6 2 2 + sin p 12 = sin 3 4 p pæ ö -ç ÷ è ø = sin p 3 cos p 4 – cos p 3 sin p 4 = 3 2 ´ 2 2 – 1 2 ´ 2 2 = 6 2 2 - D'où : tan p 12 = 6 2 6 2 - + = ( ) ( )( ) 6 2 6 2 6 2 2 - + - = 8 2 12 6 2 - - = 2 - 3 Remarque : on peut retrouver tan p 8 et tan p 12 avec la relation : tan x = )2sin( )2cos(1 x x- pour x Î 0 ; 2 pù é ú ê û ë . 4. Relations métriques dans le triangle quelconque Dans tout ce paragraphe, on considère un triangle ABC. S désigne son aire, a, b et c désignent le côtés opposés à A, B et C respectivement. On notera (par abus) cos A au lieu de cos ¶A etc . On a alors les trois relations fondamentales suivantes : Formule d'Al-Kashi : a2 = b2 + c2 – 2 bc cos A Formule de l'aire du triangle : S = 1 2 bc sin A Formule des sinus : a Asin = b Bsin = c Csin A S c b a CB
  • 6. Trigonométrie et relations métriques dans le triangle Page 6 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ Démonstrations : Formule d'Al-Kashi À l'aide du produit scalaire, c'est immédiat : a2 = BC ® 2 = ( BA ® + AC ® )2 = ( AC ® – AB ® )2 = AC2 + AB2 – 2 AC ® . AB ® = b2 + c2 – 2bc cos A Variante : on peut faire une démonstration différente en utilisant le théorème de Pythagore : Notons H et K les pieds des hauteurs issues de B et C respectivement. Notons h = BH, k = CK, x = AH et y = AK. Cas d'un triangle ABC acutangle Dans le triangle AHB rectangle en H, on a : x = c cos qA Dans le triangle AKC rectangle en C, on a : y = b cos qA D'où : bx + cy = 2bc cos qA (S) D'après le théorème de Pythagore appliqué aux triangles BCK puis AKC rectangles en K : a2 = k2 + (c - y)2 = b2 - y2 + (c - y)2 = b2 + c2 - 2cy D'après le théorème de Pythagore appliqué aux triangles BCH puis AHB rectangles en H : a2 = h2 + (b - x)2 = c2 - x2 + (b - x)2 = c2 + b2 - 2bx En additionnant ces deux dernières relations : 2a2 = 2b2 + 2c2 - 2(bx + cy) a2 = b2 + c2 - (bx + cy) Et tenant compte de (S) : a2 = b2 + c2 - 2bc cos qA Cas d'un triangle ABC obtusangle Dans le triangle AHB rectangle en H, on a : x = c cos(p - qA) = - c cos qA Dans le triangle AKC rectangle en C, on a : y x b c a k h K H CB qA A
  • 7. Trigonométrie et relations métriques dans le triangle Page 7 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ y = b cos(p - qA) = -b cos qA D'où : bx + cy = -2bc cos qA (S) D'après le théorème de Pythagore appliqué aux triangles BCK puis AKC rectangles en K : a2 = k2 + (c + y)2 = b2 - y2 + (c + y)2 = b2 + c2 + 2cy D'après le théorème de Pythagore appliqué aux triangles BCH puis AHB rectangles en H : a2 = h2 + (b + x)2 = c2 - x2 + (b + x)2 = c2 + b2 + 2bx En additionnant ces deux dernières relations : 2a2 = 2b2 + 2c2 + 2(bx + cy) a2 = b2 + c2 + (bx + cy) Et tenant compte de (S) : a2 = b2 + c2 - 2bc cos qA Formule de l'aire du triangle L'aire du triangle ABC est donnée par : S = 1 2 AB ´ CH Or CH = AC sin A (situation 1) ou CH = AC sin(p – A) = AC sin A (situation 2). Dans les deux situations, on a : S = 1 2 AB ´ AC sin A = 1 2 bc sin A Formule des sinus D'après ce qui précède, on a : S = 1 2 bc sin A = 1 2 ac sin B = 1 2 ab sin C En multipliant tout par 2 abc , on obtient 2S abc = sin A a = sin B b = sinC c ou encore (passage à l'inverse, les sinus sont non nuls car les angles le sont) : abc S2 = a Asin = b Bsin = c Csin BH A CC BHA Situation 2 (Triangle obtusangle) Situation 1 (Triangle acutangle) x y bc a h k H K CB qA A
  • 8. Trigonométrie et relations métriques dans le triangle Page 8 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ Autres formules : si on note R (respectivement r) le rayon du cercle circonscrit (respectivement inscrit) au triangle ABC et p le demi périmètre (2p = a + b + c) on a : a Asin = b Bsin = c Csin = 2R S = abc R4 = pr Démonstration : D'après le théorème de l'angle au centre : 1 2 ·BOC = ·BAC si A est sur le grand arc 1 2 ·BOC = p - ·BAC (p) si A est sur le petit arc On a donc, dans tous les cas : sin A = sin ·BAC = sin 1 2 ·BOC Comme le triangle BOC est isocèle, on a : sin 1 2 ·BOC = 1 2 BC R = 1 2 a R D'où : sin A = 1 2 a R et a Asin = 2R Tenant compte de la relation S = 1 2 bc sin A, il vient S = 1 2 bc ´ 1 2 a R d'où : S = abc R4 Et enfin, en décomposant le triangle ABC en trois triangles, BOC, AOC, AOB dont les aires sont respectivement, 1 2 ar, 1 2 br et 1 2 cr, il vient : S = 1 2 (a + b + c)r = pr 5. Exemples d'applications On considère trois carrés disposés comme dans la figure ci-dessous. Montrer que a = b + g. Naturellement, a = p 4 . Montrons donc que b + g = p 4 . D'après une formule d'addition : cos(b + g) = cos b cos g – sin b sin g Or, si l'on note a la longueur des côtés des carrés, on a (d'après le théorème de Pythagore et les relations du cosinus et du sinus dans un triangle rectangle) : bg a A O RR I B C
  • 9. Trigonométrie et relations métriques dans le triangle Page 9 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ cos b = 2 5 a a = 2 5 ; cos g = 3 10 a a = 3 10 ; sin b = a a5 = 1 5 ; sin g = a a10 = 1 10 Donc : cos(b + g) = 2 5 ´ 3 10 – 1 5 ´ 1 10 = 5 5 10 = 5 5 5 2 = 1 2 = 2 2 Et comme 0 < b + g < p (puisque 0 < b < p 2 et 0 < g < p 2 ) on a b + g = p 4 . Remarque : on peut retrouver ce résultat avec la configuration suivante : On montre facilement que le triangle ABC est rectangle isocèle en A, ce qui entraîne bien b + g = p 4 . ABC est un triangle avec a = 2, b = 3 et c = 4. Calculer la valeur exacte de l'aire S de ABC. D'après la formule d'Al-Kashi : a2 = b2 + c2 – 2bc cos A Donc : cos A = b c a bc 2 2 2 2 + - Ce qui donne : cos A = 9 16 4 24 + - = 7 8 Or, cos2 A + sin2 A = 1, donc : sin2 A = 1 – 49 64 = 15 64 Or, ABC étant un triangle, l'angle A est compris entre 0 et p rad donc son sinus est positif. D'où : sin A = 15 8 Enfin, d'après la formule de l'aire du triangle, on obtient : S = 1 2 bc sin A = 3 15 4 ABC est un triangle avec b = 3, c = 8 et A = 60°. Calculer la valeur exacte de a ainsi que B et C (en degrés à 10-1 près). D'après la formule d'Al-Kashi : a2 = b2 + c2 – 2bc cos A = 9 + 64 - 48 ´ 1 2 = 49 D'où : a = 7 Déterminons cos B à l'aide de la formule d'Al-Kashi : cos B = a c b ac 2 2 2 2 + - = 13 14 On a cos B > 0 et ABC triangle donc B Î ]0 ; 90[. On calcule donc B = arccos 13 14  21,8°. On peut calculer C avec la relation A + B + C = 180. Cependant, à titre de vérification, procédons comme précédemment : déterminons cos C à l'aide de la formule d'Al-Kashi : A B C
  • 10. Trigonométrie et relations métriques dans le triangle Page 10 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ cos C = a b c ab 2 2 2 2 + - = - 1 7 On a cette fois cos C < 0 et ABC triangle donc C Î ]90 ; 180[. On calcule C = arccos 1 7 æ ö -ç ÷ è ø  98,2°. On vérifie bien A + B + C = 180. ABC est un triangle avec b = 6 2 , A = 105° et C = 45°. Calculer les valeurs exactes de a et c. D'après la formule des sinus : a Asin = b Bsin = c Csin D'où : c = b C B sin sin = 6 2 45 30 sin sin = 12 On ne peut pas calculer a avec la formule des sinus car on "ignore" la valeur exacte de sin A. En fait si ! 105° correspond à 7 12 p et sin 7 12 p peut se calculer puisque 7 12 p = p 2 + p 12 : sin 7 12 p = sin 2 12 p pæ ö +ç ÷ è ø = cos p 12 = 6 2 2 + (voir ci-dessus) Mais l'énoncé ne semble pas nous inciter à faire ce calcul ... Utilisons plutôt une formule d'Al-Kashi : c2 = a2 + b2 - 2ab cos C D'où une équation du second degré d'inconnue a : a2 - 2ab cos C + b2 - c2 = 0 C'est-à-dire : a2 - 12a - 72 = 0 On trouve, tous calculs faits : a = 6 + 6 3 ou a = 6 - 6 3 Et comme a est une distance : a = 6 + 6 3 = 6(1 + 3 ) Aire maximale d'un rectangle inscrit dans un cercle. Soit C un cercle de rayon 1 cm. Quelle est l'aire maximale d'un rectangle dont les sommets sont sur le cercle C ? Notons O le centre du cercle et fixons I et K deux points diamétralement opposés. Soit M un point mobile sur le cercle et notons x une mesure en radian de l'angle ( ),OI OM uur uuuur . Enfin, on note M' le point diamétralement opposé à M.
  • 11. Trigonométrie et relations métriques dans le triangle Page 11 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ D'après la formule de l'aire d'un triangle exprimée avec un sinus : Aire(MOI) = 1 2 OM ´ OI sin x Comme le rayon du cercle est égal à 1 : Aire(MOI) = 1 2 sin x Enfin, les diagonales d'un rectangle partagent celui-ci en quatre triangles de même aire (puisque la médiane dans un triangle partage celui-là en deux triangles de même aire) donc : Aire(MKM'I) = 2 sin x L'aire du rectangle inscrit dans le cercle est donc maximale lorsque le sinus l'est, à savoir pour x = p 2 , c'est-à- dire lorsque le rectangle est un carré ; l'aire maximale est alors 2 cm2 . La formule de Héron : Soit ABC un triangle de demi-périmètre p (p est défini par la relation 2p = a + b + c) L'aire S de ABC est donnée par : S = p p-a p-b p-c( )( )( ) D'après la formule d'Al-Kaschi, on a : a2 = b2 + c2 – 2bc cos ¶A cos ¶A = b c a bc 2 2 2 2 + - 1 – cos ¶A = 1 2 2 2 2 - + -b c a bc = a b bc c bc 2 2 2 2 2 - - +( ) = a b c bc 2 2 2 - -( ) = ( )( )a b c a b c bc - + + - 2 1 + cos ¶A = 1 2 2 2 2 + + -b c a bc = ( )b bc c a bc 2 2 2 2 2 + + - = ( )b c a bc + -2 2 2 = ( )( )b c a b c a bc + - + + 2 sin2 ¶A = 1 – cos2 ¶A = (1 – cos ¶A )(1 + cos ¶A ) = ( )( )( )( )a b c a b c b c a a b c b c - + + - + - + + 4 2 2 4b2 c2 sin2 ¶A = (2p – 2b)(2p – 2c)(2p – 2a)(2p) = 16p(p – a)(p – b)(p – c) En outre S2 = 1 4 b2 c2 sin2 A Ù = p(p – a)(p – b)(p – c) M xO K I M'
  • 12. Trigonométrie et relations métriques dans le triangle Page 12 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ D'où la formule de Héron : S = p p-a p-b p-c( )( )( ) Inégalités dans le triangle ABC est un triangle. On note a = BC, b = AC et c = AB. Démontrer que : |b - c|  a  b + c D'après la formule d'Al-Kaschi, on a : a2 = b2 + c2 – 2bc cos ¶A cos ¶A = b c a bc 2 2 2 2 + - On en déduit l'encadrement : -2bc  a2 - b2 - c2  2bc D'où : (b - c)2  a2  (b + c)2 Par croissance de l'application t a t sur [0, +¥[, nous obtenons : |b - c|  |a|  |b + c| Et comme a, b et c sont des quantités positives : |b - c|  a  b + c On a des relations analogues avec les autres côtés. Retrouver les longueurs des côtés d'un triangle à partir des longueurs des hauteurs. ABC est un triangle. On note a = BC, b = AC et c = AB. On note ha, hb, et hc les hauteurs issues respectivement de A, B et C. On donne ha = 3, hb = 4 et hc = 5. Calculer a, b et c. En exprimant l'aire S du triangle relativement à chaque base, on a : S = aha = bhb = chc On a donc égalité des rapports suivants : a b = b a h h et c b = b c h h Par ailleurs, on a : hc = b sin ¶A (Ceci même si le triangle est obtus car un angle et son supplémentaire ont le même sinus) Pour calculer b, il suffit donc de connaître sin ¶A , ce qui est possible via la formule d'Al-Kashi : a2 = b2 + c2 - 2bc cos ¶A En divisant par b2 : 2 2 a b = 1 + 2 2 c b - 2 c b cos ¶A Et d'après les égalités de rapports avec les hauteurs : 2 2 b a h h = 1 + 2 2 b c h h - 2 b c h h cos ¶A A hc hb ha c b a CB
  • 13. Trigonométrie et relations métriques dans le triangle Page 13 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ Appliquons numériquement, il vient : cos ¶A = - 31 360 (Le triangle est donc légèrement obtus) cos2 ¶A = 961 129600 sin2 ¶A = 128639 129600 sin ¶A = 128639 360 (Le sinus d'un angle géométrique est toujours positif) D'où : b = ¶sin ch A = 1800 128639 128639  5,019 à 10-3 près Il vient ensuite : a = b a bh h = 2400 128639 128639  6,692 à 10-3 près c = b c bh h = 1440 128639 128639  4,015 à 10-3 près