Cours Trigonométrie 1S

1. CHAPITRE 4 : Trigonométrie
I ) Lectures sur le cercle trigonométrique
1) Enroulement de la droite numérique :
Propriété et définition :
Dans un repère orthonormé (O ; ⃗i , ⃗j ), le cercle trigonométrique C
est le cercle de centre O est de rayon 1, parcouru dans le sens
direct, c'est-à-dire dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
On considère la droite d tangente au cercle C en I sur laquelle
on définit un repère d'origine I.
On enroule la droite d autour de C. Pour tout réel , le point
d'abscisse  sur d coïncide avec un unique point M sur le cercle C ;
M s'appelle l'image de  sur le cercle trigonométrique.
Réciproquement, tout point M du cercle trigonométrique est l'image
d'une infinité de réels. Si  est un de ces réels, les autres réels ayant
comme image M sont de la forme α+2k π , où k est un entier relatif.
Illustration : https://www.geogebra.org/material/show/id/1236779
2) Radian :
Définition:
Soit U, le point du cercle trigonométrique, image du nombre réel 1
de la droite d.
On définit 1 radian comme la mesure de l'angle ̂IOU . On note 1 rad.
Exemple : Le point image de π
2
est J. Donc la mesure en radians de l'angle
̂IOJ est
π
2 . Cela correspond à un angle de 90°.
Propriété :
Les mesures d'un angle en degrés d'une part et en radians d'autre part sont
proportionnelles. On en déduit le tableau de conversion suivant :
Mesure en degrés 30 45 60 90 180
Mesure en radians π
6
π
4
π
3
π
2
π
3) Mesure principale d'un angle :
Soit M, un point du cercle trigonométrique. OI et OM sont appelés des vecteurs unitaires,
c'est-à-dire de norme 1.
Propriété et définition :
Le réel  d'image M est appelé une mesure en radians de l'angle orienté des
vecteurs ( ⃗OI , ⃗OM ).
Tous les réels ayant pour image le point M sur C sont aussi des mesures en radians de
l'angle ( ⃗OI , ⃗OM ). Toutes les mesures x en radians de l'angle ( ⃗OI , ⃗OM ) sont de la
forme x =  + 2kπ , où k est un entier relatif.
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..×
180
π
..× π
180

2. Définition :
L'angle ( ⃗OI , ⃗OM ) a une unique mesure appartenant à l'intervalle ] –π ; π ].
On appelle cette mesure la mesure principale de l'angle ( ⃗OI , ⃗OM ).
Remarque : Si a est la mesure principale de l'angle ( ⃗OI , ⃗OM ), alors la mesure de
l'angle géométrique ̂IOM est ̂IOM = |a|.
Exemple : Sur le cercle trigonométrique, une mesure de l'angle ( ⃗OI , ⃗OJ ) est
3π
2
; sa
mesure principale est −π
2
car −π
2
∈]- π ; π ] et ̂IOJ'=π
2
.
II ) Angle orienté d'un couple de vecteurs
1) Introduction :
Dans un repère (O ; I,J), on considère le cercle
trigonométrique et 2 vecteurs ⃗u et ⃗v non nuls.
On considère A' et B' les points définis par ⃗OA' = ⃗u
et ⃗OB ' = ⃗v .
Les demi-droites [OA') et [OB') coupent le cercle
trigonométrique respectivement en A et B.
Les vecteurs ⃗OA et ⃗OB sont unitaires et sont
respectivement colinéaires à ⃗u et ⃗v , de même sens.
Définition :
Les mesures en radians de l'angle orienté de vecteurs ( ⃗u , ⃗v ) sont celles de l'angle
orienté de vecteurs unitaires ( ⃗OA , ⃗OB ). Si x est une mesure de ( ⃗u , ⃗v ), alors toutes
les mesures de ( ⃗u , ⃗v ) sont de la forme x+2k π , avec k un entier relatif.
Exemple :
( ⃗u , ⃗v ) =
π
2 signifie qu'une mesure de l'angle orienté de vecteurs ( ⃗u , ⃗v ) est égale à
π
2 .
Toutes les mesures de l'angle ( ⃗u , ⃗v ) sont de la forme (⃗u ,⃗v )= π
2
+2kπ , k∈ℤ.
On peut aussi écrire ( ⃗u , ⃗v ) =
π
2 ( 2π ). On lit :
π
2 modulo 2π .
Définition :
Une seule des mesures de l'angle orienté de vecteurs ( ⃗u , ⃗v ) appartient à ] –π ; π ].
Cette mesure est la mesure principale de l'angle orienté de vecteurs ( ⃗u , ⃗v ).
2) Propriétés
Propriété :
Soit ⃗u et ⃗v deux vecteurs non nuls.
• Dire que ⃗u et ⃗v sont colinéaires revient à dire que la mesure
principale de ( ⃗u , ⃗v ) est égale à 0 ( ⃗u et ⃗v sont de même sens)
ou π ( ⃗u et ⃗v sont de sens opposés).
• Dire que ⃗u et ⃗v sont orthogonaux revient à dire que la mesure
principale de ( ⃗u , ⃗v ) est égale à
π
2 ou
−π
2 .
Remarque : Pour tout vecteur ⃗u non nul, ( ⃗u , ⃗u ) = 0+2k π et ( ⃗u ,- ⃗u ) = π+2k π
Relation de Chasles pour les angles orientés :
Soient ⃗u , ⃗v , ⃗w , trois vecteurs non nuls.
On a alors : ( ⃗u , ⃗w ) = ( ⃗u , ⃗v )+( ⃗v , ⃗w )+ 2k π
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3. Propriétés :
Soient ⃗u et ⃗v , deux vecteurs non nuls, k et k' deux réels non nuls.
1. ( ⃗v , ⃗u ) = -( ⃗u , ⃗v )+ 2k π 2. ( ⃗u , −⃗v ) = (⃗u ,⃗v )+π + 2k π
3. ( −⃗u , ⃗v ) = (⃗u ,⃗v )+π + 2k π 4. ( −⃗u , −⃗v ) = (⃗u ,⃗v ) + 2k π
5. Si k et k' sont de même signe, ( k ⃗u , k ' ⃗v ) = (⃗u ,⃗v ) + 2k π
6. Si k et k' sont de signes contraires, ( k ⃗u , k ' ⃗v ) = (⃗u ,⃗v )+π + 2k π
Ces propriétés se déduisent de la relation de Chasles
Démonstration :
• Certaines sont démontrées au niveau du ROC 74 p 209.
• Manuel page 196 (bas)
• Vidéo de démonstration : https://lc.cx/ZtQF
III. Calculs trigonométriques
1) Cosinus et sinus d'un nombre réel
Définition :
Soit x , un nombre réel et M, son image sur le cercle trigonométrique.
Dans un repère (O ; I,J), on appelle :
• cosinus du réel x , noté cos( x ), l'abscisse du point M.
• sinus du réel x , noté sin( x ), l'ordonnée du point M.
2) Propriétés algébriques
Propriétés :
• Pour tout réel t, on a : −1⩽cos(t)⩽1 et −1⩽sin(t )⩽1 .
• Pour tout réel t et tout entier k, on a : cos(t+2k π ) = cos(t) et sin(t+2k π ) = sin(t).
• Pour tout réel t, cos²(t) + sin²(t) = 1.
Ces propriétés se démontrent à partir du cercle trigonométrique.
3) Angles associés
Propriétés :
Pour tout réel t, on a :
1. cos(-t) = cos(t) 2. sin(-t) = - sin(t)
3. cos( π -t) = - cos(t) 4. sin( π -t) = sin(t)
5. cos( π +t) = - cos(t) 6. sin( π -t) = - sin(t)
7.cos( π
2
−t )=sin(t ) 8.sin(π
2
−t )=cos(t )
9.cos( π
2
+t )=−sin(t ) 10.sin( π
2
+t)=cos(t )
Démonstration : Par symétrie, sur le cercle trigonométrique.
4) Résolution des équations cos(x) = cos(a) et sin(x) = sin(a)
Propriété
Soient x et a deux nombres réels.
• cos(x) = cos(a) ⇔ x=a+2k π ou x=−a+2k π , k étant entier relatif.
• sin(x) = sin(a) ⇔ x=a+2k π ou x=π−a+2 k π , k étant entier relatif.
Démonstration : A partir des propriétés du 3).
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