Le document traite des concepts fondamentaux relatifs aux vecteurs dans l'espace, y compris le produit scalaire et le produit vectoriel, ainsi que leurs propriétés. Il aborde aussi les transformations géométriques telles que les translations et les homothéties, et leur impact sur les figures géométriques dans l'espace. Enfin, il mentionne des opérations géométriques comme le calcul des aires et des volumes dans le contexte des vecteurs et des formes géométriques.

1. 1
L’espace est muni d’une repère orthonormé direct ( )k,j,i,O .
Produit scalaire dans l’espace.
Définition
Soit u et v deux vecteurs et les point O , M , N tels que OAu = et OBv = .
On appelle produit scalaire des vecteurs u et v le réel noté v.u et défini comme suit :
♦Si 0u = ou 0v = alors 0v.u = .
♦Si 0u ≠ et 0v ≠ alors ( )BOˆAcosvuv.u ×=
Conséquence
1°) OH.OAOB.OA = où H est le projeté orthogonal de B sur (OA).
2°) 





−−+=
222
vuvu
2
1
v.u
3°) 





−−+=
222
vuvu
2
1
v.u
4) 0v.uvu =⇔⊥
Propriétés :
Soit u , v et w trois vecteurs et a et b deux réels.
Déterminant
Soit B= ( )k,j,i est une base
Pour tout vecteur u , il existe un unique triplet (x,y,z) de réels tel que kzjyixu ++=
M(x,yz) kzjyixOM ++=
Soit










c
b
a
u ,










'c
'b
'a
v et










''c
''b
''a
w
On appelle déterminant de ( )w,v,u dans la base B, et on note detB ( )
"c'cc
"b'bb
"a'aa
w,v,u = le réel :
"b'b
"a'a
c
"c'c
"a'a
b
"c'c
"b'b
a +−
Produit vectoriel dans l’espace.
Définition :
Soit ABu = et ACv = deux vecteurs .
On appelle produit vectoriel de u par v , le vecteur défini comme suite :
▪Si u etv sont colinéaires alors 0vu =∧
▪Si u etv ne sont pas colinéaires alors :
i. vuu ∧⊥ et vuv ∧⊥ .
ii. ( )vu,v,u ∧ est une base direct.
22
uu = u.vv.u = )v.u(ab)vb).(ua( =
v.u2vuvu
22
2
++=+ v.u2vuvu
22
2
−+=+






+=−++
22
2
vu2vuvu
w.uv.u)wv(u +=+
Fiche de cours 4ème Maths
Geometrie dans l’Geometrie dans l’Geometrie dans l’Geometrie dans l’EspaceEspaceEspaceEspace
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2. 2
iii. ( )CAˆBsinvuvu ×=∧
Conséquences et propriétés
0uu =∧ 0vu =∧ , si et seulement si , u etv sont
colinéaires
( )kAC,ABsinACABACAB ××=∧ où k unitaire et
normale au plan (ABC)
( )uvvu ∧−=∧ ( )vuabvbua ∧=∧
( ) ( ) ( ) ( )w,v,udetv.uwu.wvw.vu =∧=∧=∧ ( ) wuvuwvu ∧+∧=+∧
Soit










c
b
a
u et










'c
'b
'a
v alors : k
'bb
'aa
j
'cc
'aa
i
'cc
'bb
vu +−=∧
Propriétés
Soit u , v et w des vecteurs de l’espace.
L’aire du parallélogramme ABCD est égale à :
ADAB ∧
L’aire du triangle ABD est égale à : ADAB
2
1
∧
Le volume d’un tétraèdre ABCD est égale à :
( )BA.BDBC
6
1
∧
Le volume d’un parallélépipède ABCDEFGH est
égale à : ( ) ( )AE,AD,ABdetAE.ADAB =∧
La distance d’un point M de l’espace à la droite ( )u,A∆ est le réel :
u
uMA
)∆,M(d
∧
=
AB
MBMA ∧
= avec ∆B ∈
Translation
*) ( ) u'MMMt'M
u
=⇔=
*)
u
1
u
tt
−
−
=
*) ξξ →:f / 'M)M(f = et 'N)N(f =
f est une translation si et seulement si MN'N'M = .
*)Toute translation de l’espace conserve la distance.
*) Toute translation de l’espace conserve le produit scalaire.
*)L’image d’une droite par une translation est une droite qui lui est parallèle.
*)L’image d’un plan par une translation est un plan qui lui est parallèle.
*)Toutes translation conserve la parallélisme et l’orthogonalité.
*) Toutes translation conserve le milieu
*)L’image d’un sphère S par une translation est une sphère 'S de même rayon et de centre l’image du centre.
*) Soit










c
b
a
u
Si ( ))z,y,x(Mt)'z,'y,'x('M
u
= alors





+=
+=
+=
cz'z
by'y
ax'x
Réciproquement : L’application qui à tout point )z,y,x(M associe le point )'z,'y,'x('M tel que





+=
+=
+=
cz'z
by'y
ax'x
est
la translation de vecteur










c
b
a
u .

3. 3
Homothétie
*) ( )( ) IMk'IMMh'M k,I =⇔= , ( *)Rk ∈
*) ( )






−
=
k
1
,I
k,I
1
hh
*) ξξ →:f / 'M)M(f = et 'N)N(f =
f est une homothétie si et seulement si MNk'N'M = .
*)L’image d’une droite par une homothétie est une droite qui lui est parallèle.
*)L’image d’un plan par une homothétie est un plan qui lui est parallèle.
*)Toutes homothétie conserve la parallélisme et l’orthogonalité.
*) Toutes homothétie conserve le milieu
*)L’image d’un sphère S du centre I et de rayon R par une homothétie est une sphère 'S de centre 'I image de I
et de rayon Rk .
*) Toutes homothétie conserve le contact.
*) Soit )c,b,a(I et { }1*Rk −∈
Si ( )( ))z,y,x(Mh)'z,'y,'x('M k,I= alors





−+=
−+=
−+=
c)k1(kz'z
b)k1(ky'y
a)k1(kx'x
Réciproquement : L’application qui à tout point )z,y,x(M associe le point )'z,'y,'x('M tel que





+=
+=
+=
γ
β
α
kz'z
ky'y
kx'x
est
une homothétie de centre 





−−− k1
,
k1
,
k1
I
γβα
et de rapport k.
Rappel
Soit )z,y,x(A 000 ,










c
b
a
u et










'c
'b
'a
v
Droite:
L'ensemble des points M tels que AM et u soient colinéaires est une droite, appelé droite passant par A et de
vecteur directeur u .
{ }uAM,R/M)u,A(D αα =∈∃℘∈=
Représentation paramétrique :





+=
+=
+=
czz
byy
axx
:)u,A(D
0
0
0
λ
λ
λ
; R∈λ
Plan:
Dans le cas où u et v non colinéaires:
L'ensemble des points M tels que AM soit combinaison linéaire de u et v , est un plan, appelé plan passant
par A et de vecteurs directeurs u et v .
{ }vuAM,R,/M)v,u,A(P βαβαξ +=∈∃∈=
.
Représentation paramétrique :





++=
++=
++=
'cczz
'bbyy
'aaxx
:)v,u,A(P
0
0
0
βλ
βλ
βλ
; R∈λ
Equation cartésienne d’un plan et d’une droite
*)Plan : 0dczbyax:P =+++ avec ( ) ( )0,0,0c,b,a ≠
*)Droite : l’ensemble des points M(x,y,z) tels que



=+++
=+++
0'dz'cy'bx'a
0dczbyax
est une droite, si et seulement si, les
triplets ( )c,b,a et ( )'c,'b,'a ne sont pas proportionnels.

4. 4
*)L’ensemble { }0n.AM/M =∈ ξ est le plan passant par A et de vecteur normal n
*)Le vecteur










c
b
a
n est le vecteur normale à P.
*)Le vecteur










γ
β
α
x est un vecteur de P si et seulement si 0cba =++ γβα
Position relatives
Soit )u,A(D , )'u,'A('D , 0dczbyax:P =+++ et 0'dz'cy'bx'a:'P =+++
Leur vecteurs normaux n et 'n
*) 'DD ⊥ si et seulement si 'uu ⊥
*) 'D//D si et seulement si 'u//u
*) 'PP ⊥ si et seulement si 'nn ⊥
*) 'P//P si et seulement si u//n
*) DP ⊥ si et seulement si 'nn ⊥
*) D//P si et seulement si un ⊥
Distance de A à P : ( )
²c²b²a
dczbyax
P,Ad
000
++
+++
=
La sphère
Etant donnés un point I de ξ et un réel R strictement positif. On appelle sphère de centre I et de rayon R, et on
note ( )R,Iζ l’ensemble des points M de ξ tels que : IM = R.
Autre définition : Soit la sphère ζ de diamètre [AB]. MBMAM ⊥⇔∈ ζ
Equation cartésienne d’un sphère : ( )R),c,b,a(Iζ : ( ) ( ) ( ) ²Rczbyax
222
=−+−+−
Réciproquement :
Soit { }0dzyx²z²y²x/)z,y,x(ME =++++++∈= γβαξ
On pose d
4
²²²
h −
++
=
γβα
Si h <0 alors oE /= Si h = 0 alors






= )
2
,
2
,
2
(IE
γβα
Si h>0 alors ( )h,I
E ζ=
Intersection d’une sphère et d’un plan.
Soit ζ une sphère de centre I et de rayon R. Soient P un plan , H le projeté orthogonal de I sur P et ( )P,Id = .
Si d > R alors OP /=ζ∩ , on dit que P et ζ sont extérieurs.
Si d = R alors { }HP =ζ∩ , on dit que P et ζ sont tangents.
Si 0 < d < R alors ζ∩P est le cercle de P de centre H et de rayon ²d²R − , on dit que P et ζ sont sécants.