Bonjour Analyse Convexe : Projection sur les ensembles convexes fermés Cours d'analyse convexe dans le cadre du master : Mathématiques et Applications de la FST de Settat - Université Hassan 1er. Vidéo : https://youtu.be/j1jyD_OocY8 Cordialement Pr JAOUAD DABOUNOU FST DE SETTAT UNIVERSITE HASSAN 1er

1. Analyse Convexe 1 Jaouad DABOUNOU-FSTS
Projection sur les ensembles convexes fermés
Proposition (caractérisation d’une projection) : Soit A un convexe non vide de R
n
et x  R
n
. Un
point x̅∈A est une projection de x sur A si et seulement si : yA, <x - x̅ , y - x̅>  0.
Démonstration :
Supposons x̅∈A est une projection de x sur A. Soit y ∈ A, on pose zt = x̅ + t(y - x̅). t]0 , 1], ztA
car A est convexe. On a
||x - x̅||2
 || zt – x||2
= <x̅ + t(y - x̅) - x , x̅ + t(y - x̅) - x >
= || x̅ - x ||2
+ 2t <x̅ - x , y - x̅ > + t2
||y - x̅||2
Donc
0  2t <x̅ - x , y - x̅ > + t2
||y - x̅||2
Donc
0  2<x̅ - x , y - x̅ > + t||y - x̅||2
Ceci montre que yA, <x - x̅ , y - x̅>  0.
Supposons maintenant que pour un point x̅∈A, yA, <x - x̅ , y - x̅>  0.
On a :
y - x = y - x̅ + x̅ - x
Donc
|| y - x ||2
= || y - x̅ ||2
+ 2 < y - x̅ , x̅ - x> + ||x̅ - x||2
 ||x̅ - x||2
.

2. Analyse Convexe 2 Jaouad DABOUNOU-FSTS
Théorème : Soit un sous-ensemble convexe fermé A de R
n
et soit x  R
n
. Il existe un unique point
x̅ ∈ A tel que
yA, || x – x̅ ||  || y – x ||
Démonstration :
Existence : On pose
d = dA(x) = inf
y∈A
(‖x - y‖) qui est un réel positif ou nul.
D’après ce qui précède, on sait que PA(x), donc x admet une projection x̅ sur l’ensemble A.
Unicité : On suppose qu’il existe deux points x̅1 et x̅2 appartenant à PA(x). D’après la proposition
précédente, yA, <x - x̅1 , y - x̅1>  0 et <x - x̅2 , y - x̅2>  0.
Donc, en choisissant x̅2 dans la première inégalité et x̅1 dans la deuxième inégalité on écrit :
<x - x̅1 , x̅2 - x̅1>  0 et <x - x̅2 , x̅1 - x̅2>  0. Qui peut aussi s’écrire : <x̅2 - x , x̅2 - x̅1>  0.
Ce qui donne, en sommant la première et la dernière égalité de la ligne ci-dessus :
<x̅2 - x̅1 , x̅2 - x̅1>  0. Donc nécessairement x̅2 = x̅1.