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2éme Bac PC-SVT
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Matière : Mathématiques
Professeur : Yahya MATIOUI
Fonction exponentielle
1 Dé…nition et résultats
Dé…nition 1 La fonction réciproque de la fonction ln s’
appelle la fonction
exponentielle est notée exp; et
exp R ! ]0; +1[
x 7 ! exp x
avec exp(0) = 1:
Notation nouvelle :
exp x = exp(x 1) = (exp(1))x
= ex
: On note pour tout x réel, on a
exp x = ex
Résultats
La fonction exponentielle est dé…nie sur l’
ensemble R:
La fonction exponentielle est continue et dérivable sur R; et on a : (ex
)0
=
ex
:
La fonction exponentielle est strictement croissante sur R:
(8x 2 R); ex
0
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2 Propriétés
Propriété 2 Pour tous les nombres réels x et y, et l’
entier naturel n; on a :
1. e0
= 1 et e1
w 2; 718
2. ex+y
= ex
ey
3. ex y
= ex
ey
4. e x
= 1
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Remarque 3 (Lien avec le logarithme népérien)
1. 8x 2 R; ln(ex
) = x:
2. 8x 2 ]0; +1[ ; eln x
= x:
Propriété 4 1. (8x 2 R)(8a 2 ]0; +1[); ex
= a () x = ln a
2. 8x; y 2 R; ex
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3. 8x; y 2 R; ex
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Exemple 5 Résoudre dans l’
ensemble R l’
équation (E) : e2x2+3
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:
e2x2+3
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Résoudre dans l’
ensemble R l’
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3 Limites de références
Propriété 6 Soit n 2 N:
1. limx !+1 ex
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ex
x
= +1 et limx !+1
ex
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4. limx ! 1 xex
= 0 et limx ! 1 xn
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5. limx !0
ex 1
x
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Exemple 7 Calculer les limites suivantes :
lim
x !+1
(x + e 3x
) ; lim
x ! 1
e1 1
x et lim
x !+1
ex
+ x
ex x2
Calculons la limite : limx !+1(x + e 3x
):
lim
x !+1
(x + e 3x
) = +1 + 0 = +1
Car : lim
x !+1
e 3x
= 0
Calculons la limite : limx ! 1 e1 1
x :
lim
x ! 1
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Car : lim
x ! 1
(1
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Calculons la limite : limx !+1
ex+x
ex x2
lim
x !+1
ex
+ x
ex x2
= lim
x !+1
ex
(1 + x
ex )
ex(1 x2
ex )
= lim
x !+1
1 + x
ex
1 x2
ex
Comme : lim
x !+1
x
ex
= lim
x !+1
1
ex
x
= 0: car lim
x !+1
ex
x
= +1
et lim
x !+1
x2
ex
= lim
x !+1
1
ex
x2
= 0: car lim
x !+1
ex
x2
= +1
alors
lim
x !+1
ex
+ x
ex x2
= 1
3
4 Courbe représentative de la fonction expo-
nentielle
D’
après les résultats obtenus dans le premier paragraphe, on déduit le tableau
de variations de la fonction exponentielle ainsi sa courbe représentative dans
un repère orthonormé (O;
!
i ;
!
j ) :
f R ! ]0; +1[
x 7 ! ex
La courbe représentative de la fonction exponentielle.
2 3
-1
-2
-3
-4
-5
2
3
4
5
0 1
1
x
y
4
5 Fonction de la forme x 7 ! eu(x)
5.1 Dérivée de la fonction eu
:
Propriété 8 Soit la fonction u dérivable sur un intervalle I, alors la fonc-
tion eu
est dérivable sur I et :
(eu
)0
= u0
eu
Exemple 9 Soient f et g deux fonctions dé…nies sur R par : f(x) = e2x 1
et g(x) = e x2
:
f et g sont dérivable sur R, donc f0
(x) = 2e2x 1
et g0
(x) = 2xe x2
:
Propriété 10 Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I: Les fonc-
tions u et eu
ont le même sens de variations.
5.2 Primitives
Propriété 11 Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I:
L’
ensemble des fonctions primitives de la fonction u0
eu
sur I sont les
fonctions eu
+ k avec k 2 R:
Exemple 12 On considère la fonction f dé…nie sur ] 1; +1[ par :
f(x) =
1
2
p
x + 1
e
p
x+1
La fonction f est continue sur ] 1; +1[, elle admet donc des fonctions
primitives sur ] 1; +1[ :
f est de la forme u0
eu
avec u(x) =
p
x + 1 et u0
(x) = 1
2
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x+1
pour tout
x 2 ] 1; +1[ :
On a
f(x) = (
p
x + 1)0
e
p
x+1
donc
F(x) = e
p
x+1
+ k; (k 2 R)
5
6 Exercice d’
application
Exercice 13 Soit f la fonction dé…nie sur R par :
f(x) = xe
x
2
et (Cf ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;
!
i ;
!
j ):
1. Calculer : limx !+1 f(x) et limx ! 1 f(x):
2. Calculer la dérivée de la fonction f; et dresser le tableau de variations
de la fonction f:
3. Tracer la courbe représentative de la fonction f:
Solution 14 1. La limite de la fonction f en +1:
lim
x !+1
f(x) = lim
x !+1
xe
x
2
= lim
x !+1
x
e
x
2
= lim
x !+1
2x
2
e
x
2
= lim
x !+1
2
e
x
2
x
2
= 0
car : lim
x !+1
e
x
2
x
2
= +1
La limite de la fonction f en 1:
lim
x ! 1
f(x) = lim
x ! 1
xe
x
2 = 1
car : lim
x ! 1
e
x
2 = +1 et lim
x ! 1
x = 1:
2. Justi…ons d’
abord la dérivabilité de la fonction f sur R:
La fonction f s’
écrit comme le produit de deux fonctions u et v:
u(x) = x et v(x) = e
x
2
6
* u est une fonction polynôme dérivable sur R:
On pose h la fonction dé…nie par : h : x 7 ! x
2
:
* h est une fonction polynôme dérivable sur R; donc la fonction v est
dérivable sur R:
On déduit que la fonction f est dérivable sur R comme le produit
de deux fonctions derivables:
Calculons f0
(x) pour tout x 2 R:
f0
(x) = (xe
x
2 )0
= e
x
2 + x (
1
2
)e
x
2
= (1
x
2
)e
x
2
Comme e
x
2 0, alors le signe de f0
(x) sur R est celui de (1 x
2
):
On dresse le tableau de variations :
3. La courbe représentative de la fonction f:
2 3 4 5 6 7
-1
-2
-3
-4
2
3
-1
-2
-3
0 1
1
x
y
7
7 La fonction exponentielle de base a 2 R+
7.1 Dé…nition et propriétés
Dé…nition 15 La fonction dé…nie sur R telle que x 7 ! ex ln a
s’
appelle la
fonction exponentielle de base a, notée ax
:
Propriété 16 Pour tous réels x et y, on a :
1. ax+y
= ax
ay
2. ax y
= ax
ay
3. (ax
)y
= axy
4. a x
= 1
ax :
Propriété 17 Soit a un élément de R+ n f1g :
1. (8x 2 R)(8y 2 ]0; +1[); ax
= y () x = ln y
ln a
:
2. (8x 2 R); loga(ax
) = x:
Exemple 18 Résoudre dans R l’
équation : 4x
= 18
4x
= 18 () x =
ln 18
ln 4
donc
S =
ln 18
ln 4
8 L’
étude de la fonction x 7 ! ax
Propriété 19 La fonction x 7 ! ax
est dérivable sur R et on a : (ax
)0
=
ln a ax
:
Propriété 20 1. Si a 1 alors la fonction x 7 ! ax
est strictement
croissante sur R:
2. Si 0 a 1 alors la fonction x 7 ! ax
est strictement décroissante
sur R:
8
3. Si a 1 alors limx !+1 ax
= +1 et limx ! 1 ax
= 0:
4. Si 0 a 1 alors limx !+1 ax
= 0 et limx ! 1 ax
= +1:
FIN
Pr : Yahya MATIOUI
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  • 1. 2éme Bac PC-SVT www.etude-generale.com www.etude-generale.com Matière : Mathématiques Professeur : Yahya MATIOUI Fonction exponentielle 1 Dé…nition et résultats Dé…nition 1 La fonction réciproque de la fonction ln s’ appelle la fonction exponentielle est notée exp; et exp R ! ]0; +1[ x 7 ! exp x avec exp(0) = 1: Notation nouvelle : exp x = exp(x 1) = (exp(1))x = ex : On note pour tout x réel, on a exp x = ex Résultats La fonction exponentielle est dé…nie sur l’ ensemble R: La fonction exponentielle est continue et dérivable sur R; et on a : (ex )0 = ex : La fonction exponentielle est strictement croissante sur R: (8x 2 R); ex 0 1
  • 2. 2 Propriétés Propriété 2 Pour tous les nombres réels x et y, et l’ entier naturel n; on a : 1. e0 = 1 et e1 w 2; 718 2. ex+y = ex ey 3. ex y = ex ey 4. e x = 1 ex 5. (ex )n = enx 6. ex 6= 0 Remarque 3 (Lien avec le logarithme népérien) 1. 8x 2 R; ln(ex ) = x: 2. 8x 2 ]0; +1[ ; eln x = x: Propriété 4 1. (8x 2 R)(8a 2 ]0; +1[); ex = a () x = ln a 2. 8x; y 2 R; ex = ey () x = y 3. 8x; y 2 R; ex ey () x y Exemple 5 Résoudre dans l’ ensemble R l’ équation (E) : e2x2+3 = e7x : e2x2+3 = e7x () 2x2 + 3 = 7x () 2x2 7x + 3 = 0 Calculons le discriminant de l’ équation du second degré. = 49 24 = 25 0 x1 = b + p 2a = 7 + 5 4 = 3 et x2 = b p 2a = 7 5 4 = 1 2 donc S = 1 2 ; 3 Résoudre dans l’ ensemble R l’ inéquation (I) : e3x ex+6 : e3x ex+6 () 3x x + 6 () x 3 donc S = ] 1; 3[ 2
  • 3. 3 Limites de références Propriété 6 Soit n 2 N: 1. limx !+1 ex = +1: 2. limx !+1 ex x = +1 et limx !+1 ex xn = +1: 3. limx ! 1 ex = 0: 4. limx ! 1 xex = 0 et limx ! 1 xn ex = 0: 5. limx !0 ex 1 x = 1: Exemple 7 Calculer les limites suivantes : lim x !+1 (x + e 3x ) ; lim x ! 1 e1 1 x et lim x !+1 ex + x ex x2 Calculons la limite : limx !+1(x + e 3x ): lim x !+1 (x + e 3x ) = +1 + 0 = +1 Car : lim x !+1 e 3x = 0 Calculons la limite : limx ! 1 e1 1 x : lim x ! 1 e1 1 x = e Car : lim x ! 1 (1 1 x ) = 1 Calculons la limite : limx !+1 ex+x ex x2 lim x !+1 ex + x ex x2 = lim x !+1 ex (1 + x ex ) ex(1 x2 ex ) = lim x !+1 1 + x ex 1 x2 ex Comme : lim x !+1 x ex = lim x !+1 1 ex x = 0: car lim x !+1 ex x = +1 et lim x !+1 x2 ex = lim x !+1 1 ex x2 = 0: car lim x !+1 ex x2 = +1 alors lim x !+1 ex + x ex x2 = 1 3
  • 4. 4 Courbe représentative de la fonction expo- nentielle D’ après les résultats obtenus dans le premier paragraphe, on déduit le tableau de variations de la fonction exponentielle ainsi sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O; ! i ; ! j ) : f R ! ]0; +1[ x 7 ! ex La courbe représentative de la fonction exponentielle. 2 3 -1 -2 -3 -4 -5 2 3 4 5 0 1 1 x y 4
  • 5. 5 Fonction de la forme x 7 ! eu(x) 5.1 Dérivée de la fonction eu : Propriété 8 Soit la fonction u dérivable sur un intervalle I, alors la fonc- tion eu est dérivable sur I et : (eu )0 = u0 eu Exemple 9 Soient f et g deux fonctions dé…nies sur R par : f(x) = e2x 1 et g(x) = e x2 : f et g sont dérivable sur R, donc f0 (x) = 2e2x 1 et g0 (x) = 2xe x2 : Propriété 10 Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I: Les fonc- tions u et eu ont le même sens de variations. 5.2 Primitives Propriété 11 Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I: L’ ensemble des fonctions primitives de la fonction u0 eu sur I sont les fonctions eu + k avec k 2 R: Exemple 12 On considère la fonction f dé…nie sur ] 1; +1[ par : f(x) = 1 2 p x + 1 e p x+1 La fonction f est continue sur ] 1; +1[, elle admet donc des fonctions primitives sur ] 1; +1[ : f est de la forme u0 eu avec u(x) = p x + 1 et u0 (x) = 1 2 p x+1 pour tout x 2 ] 1; +1[ : On a f(x) = ( p x + 1)0 e p x+1 donc F(x) = e p x+1 + k; (k 2 R) 5
  • 6. 6 Exercice d’ application Exercice 13 Soit f la fonction dé…nie sur R par : f(x) = xe x 2 et (Cf ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O; ! i ; ! j ): 1. Calculer : limx !+1 f(x) et limx ! 1 f(x): 2. Calculer la dérivée de la fonction f; et dresser le tableau de variations de la fonction f: 3. Tracer la courbe représentative de la fonction f: Solution 14 1. La limite de la fonction f en +1: lim x !+1 f(x) = lim x !+1 xe x 2 = lim x !+1 x e x 2 = lim x !+1 2x 2 e x 2 = lim x !+1 2 e x 2 x 2 = 0 car : lim x !+1 e x 2 x 2 = +1 La limite de la fonction f en 1: lim x ! 1 f(x) = lim x ! 1 xe x 2 = 1 car : lim x ! 1 e x 2 = +1 et lim x ! 1 x = 1: 2. Justi…ons d’ abord la dérivabilité de la fonction f sur R: La fonction f s’ écrit comme le produit de deux fonctions u et v: u(x) = x et v(x) = e x 2 6
  • 7. * u est une fonction polynôme dérivable sur R: On pose h la fonction dé…nie par : h : x 7 ! x 2 : * h est une fonction polynôme dérivable sur R; donc la fonction v est dérivable sur R: On déduit que la fonction f est dérivable sur R comme le produit de deux fonctions derivables: Calculons f0 (x) pour tout x 2 R: f0 (x) = (xe x 2 )0 = e x 2 + x ( 1 2 )e x 2 = (1 x 2 )e x 2 Comme e x 2 0, alors le signe de f0 (x) sur R est celui de (1 x 2 ): On dresse le tableau de variations : 3. La courbe représentative de la fonction f: 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 2 3 -1 -2 -3 0 1 1 x y 7
  • 8. 7 La fonction exponentielle de base a 2 R+ 7.1 Dé…nition et propriétés Dé…nition 15 La fonction dé…nie sur R telle que x 7 ! ex ln a s’ appelle la fonction exponentielle de base a, notée ax : Propriété 16 Pour tous réels x et y, on a : 1. ax+y = ax ay 2. ax y = ax ay 3. (ax )y = axy 4. a x = 1 ax : Propriété 17 Soit a un élément de R+ n f1g : 1. (8x 2 R)(8y 2 ]0; +1[); ax = y () x = ln y ln a : 2. (8x 2 R); loga(ax ) = x: Exemple 18 Résoudre dans R l’ équation : 4x = 18 4x = 18 () x = ln 18 ln 4 donc S = ln 18 ln 4 8 L’ étude de la fonction x 7 ! ax Propriété 19 La fonction x 7 ! ax est dérivable sur R et on a : (ax )0 = ln a ax : Propriété 20 1. Si a 1 alors la fonction x 7 ! ax est strictement croissante sur R: 2. Si 0 a 1 alors la fonction x 7 ! ax est strictement décroissante sur R: 8
  • 9. 3. Si a 1 alors limx !+1 ax = +1 et limx ! 1 ax = 0: 4. Si 0 a 1 alors limx !+1 ax = 0 et limx ! 1 ax = +1: FIN Pr : Yahya MATIOUI www:etude generale:com 9