SlideShare une entreprise Scribd logo
1  sur  12
Chapitre 2 : Potentiel électrostatique

Circulation d’un champ de vecteurs……………………………………………………….
Circulation d’un champ électrique créé par une charge ponctuelle-Notion de potentiel…..
Potentiel créé par une distribution de charges……………………………………………...
Travail des forces électrostatiques………………………………………………………….
Relation entre champ et potentiel électrostatiques………………………………………...
Topographie électrostatique………………………………………………………………...



                             Potentiel électrostatique


I- Circulation d’un champ de vecteurs

1) Définition
ur
 A(M) est un champ de vecteurs et (L) une courbe dans
l’espace. La circulation élémentaire dC du champ de
          u
          r                           u
                                      r     uu
                                             r
vecteurs A(M) est donnée par : dC = A(M) dl(M) où
uu
 r                                                                               A(M)
dl est un déplacement élémentaire pris sur (L) au point
M.                                                                          dl
La circulation de ce champ de vecteurs le long de la
courbe (L), se déduit de la circulation élémentaire
                                          u
                                          r    uu
                                                r
comme suit :    ΔC =   ∫
                       (L)
                             dC =   ∫
                                    (L)
                                          A(M) dl(M)                                    (L)



2) Champ conservatif

       a) Définition
                       u
                       r
Un champ de vecteurs A est conservatif si la circulation de ce champ entre deux points M et
N ne dépend que de ces points. En d’autres termes, la circulation du champ de vecteurs ne
dépend pas du chemin suivi.

                                    N              N   u uu
                                                       r r
                       ΔC =     ∫   M
                                        dC =   ∫M
                                                       A dl = C(N) − C(M)


C(M) étant la valeur de la circulation au point M et C(N) la valeur de la circulation au point
N.

       b) Propriétés
u
                       r
Un champ de vecteurs A(M) est conservatif si et seulement s’il dérive d’une fonction scalaire
f(M). Ceci se traduit par la relation :
                                                          u
                                                          r          uu
                                                                      r
                                        df = dC = A(M) dl(M)
                                u
                                r
Lorsqu’un champ de vecteurs A(M) dérive d’un champ de scalaires f(M), alors la circulation
                                                                                   u
                                                                                   r         uu
                                                                                              r
de ce champ le long d’une courbe fermée est nulle :                           Ñ
                                                                              ∫    A(M) dl(M) = 0
II- Circulation du champ électrique créé par une charge
ponctuelle - Notion de potentiel

1) Calcul de la circulation

On considère une charge ponctuelle q placée en un point O. Elle crée au point M un champ
                  r                 r           uuur               r
                            q                                 r r
électrique :      E(M) =          2
                                    u , r = OM          et    u=
                          4πε o r                                  r
                                                 uu
                                                  r
Soient (L), une courbe dans l’espace et dl un déplacement élémentaire le long de (L).




                                                                     E(M)
                                                      M
                                                          dl


                                         r
                                                                                           (L)



                                    u ≡ er
                           O
                                q
                                             r
La circulation élémentaire du vecteur E le long de la courbe (L), est donnée par :

                                    r        uu
                                              r                      q            r uu
                                                                                     r
                           dC = E(M) dl(M) =                              2
                                                                                  u dl
                                                                4πε o r
                           uu
                            r
L’élément déplacement dl exprimé en coordonnées sphériques (cf.fig.page 12) a pour
expression :
       uu
        r        r          r                         r          r            r        r          r      r    r
       dl = dr e rφ + r dθ e θ + r sinθ dφ e                   , u ≡ er ,              u ⊥ eθ         et u ⊥ e φ
La circulation élémentaire peut s’écrire alors sous la forme :

                                                   q           dr
                                        dC =                    2
                                                  4πε o r
                                      q               
soit :                    dC = − d              + K  = − dV(M)
                                      4πε o r         
où V(M) est un champ de scalaires défini par :
                                                   q
                                     V(M) =                    + K
                                                 4πε o r

Remarquons que V n’est pas unique (il est défini à une constante additive près), on mettra
cette liberté à profit pour choisir le potentiel scalaire le plus adapté à la résolution de chaque
problème.

Dans le cas d’une charge ponctuelle, on prend un potentiel de référence tel que V = 0 lorsque
r → ∞ , on a : 0 = 0 + K . La constante K est alors nul et le potentiel créé par une charge
ponctuelle en tout point de l’espace est :

                                                       q
                                        V(M) =
                                                    4πε o r




2) Potentiel électrostatique

         a) Définition
                                                                                      r
Le potentiel électrostatique au point M, généré par un champ électrostatique E(M) est la
fonction scalaire V(M) tel que :
                                                           r        uu
                                                                     r
                               dV(M) = − dC = − E(M) dl(M)

         b) Remarque

Le potentiel électrique n’est connu qu’à une constante près. V(∞) = 0 est un choix arbitraire,
car seule la différence de potentiel entre deux points est une grandeur mesurable.

Dans le système international (SI), l’unité du potentiel est le volt (symbole : V).



III- Potentiel créé par une distribution de charges
1) Charge ponctuelle

On sait qu’une charge ponctuelle placée en O crée en un point M de l’espace un champ
électrique qui dérive d’un potentiel électrique V tel que :

                                                                               q                               uuu
                                                                                                                 r
                                                      V(M) =                             où            r = OM
                                                                             4πε o r

2) Distribution discrète de charges ponctuelles – Principe de superposition

Soient     q       , ..................... q , ............ , q
                                                                  n   ,      un    ensemble        de      n     charges      ponctuelles         placées
               1                           i

respectivement en des points O 1 , ..................... O i , ............ , O n , le potentiel V(M) créé par ces
charges en un point M est la somme algébrique des potentiels créés par chacune des ses
charges.

                                                                       n          qi                             uuuu
                                                                                                                    r
                                               V(M) =                 ∑
                                                                      i =1    4πε o ri
                                                                                            où          ri = Oi M



    3) Distribution linéique

(L) est une ligne chargée et λ est la densité
                                                                                                                                        fil chargé
linéique de charges. On divise la charge de la
distribution en petits éléments infinitésimaux
qui peuvent être considérés comme des                                                                                         λ
charges ponctuelles. Un élément de longueur
dl centré en A et portant la charge                                                                    d
        =
dq(A) λ(A) d (A) l       crée en un point M de
                                                                                                           A
l’espace le potentiel élémentaire :
                                                                                                                              r
                                          dq(A)
               dV(M) =
                                           4πε o r                                                                                            M
                                                                                                 (L)
                                                                                                                                              dV
Le potentiel total en M est :

                                                    λ(A) dl(A)
                      V(M) =               ∫
                                          (L)
                                                          4πε o r
                                                                                   :     l’intégration (ici simple) porte sur le fil chargé
                                                                                                                                                     M
                                                                                                                                                         dV

4) Distribution surfacique
                                                                                                                                         r

(S) est une surface chargée et σ est la densité
superficielle de charges . On divise la charge
de la distribution en petits éléments                                                                      (S)
                                                                                                                                  dS
                                                                                                                          A




                                                                                                    surface chargée                      σ
infinitésimaux qui peuvent être considérés
comme des charges ponctuelles. Un élément
de surface dS centré en A et portant la charge
dq(A) = σ(A) dS(A) crée en un point M de
l’espace le potentiel élémentaire :

                          dq(A)
           dV(M) =
                       4πε o r
Le potentiel total en M est :

                           σ(A) dS(A)
          V(M) =    ∫
                    (S)
                                 4πε o r
                                               :        l’intégration (ici double) porte sur la surface chargée




5) Distribution volumique

(τ) est un volume chargé et ρ est la densité
volumique de charges . On divise la charge                                                                           M
                                                                                                                         dV
de la distribution en petits éléments
infinitésimaux qui peuvent être considérés
comme des charges ponctuelles. Un élément
                                                                                                        r
de volume dτ centré en A et portant la charge
        =
dq(A) ρ(A) d (A)  τ      crée en un point M de                                  ρ
l’espace le potentiel élémentaire :
                                                                                        A
                                                                                        A
           dV(M) =
                          dq(A)                                                              dτ
                                                                                                               (τ)
                           4πε o r

Le potentiel total en M est :
                                                                                         volume chargé

                                 ρ(A) dτ(A)
             V(M) =        ∫
                          (τ )       4πε o r
                                                   :   l’intégration (ici triple) porte sur le volume chargé




6) Calcul du potentiel V

L’intégration dans les trois cas cité précédemment s’effectue suivant les méthodes usuelles.
Le choix du système de coordonnées les mieux adaptées (celui qui tiendra compte des
propriétés de symétrie particulières de la densité de charges et du système chargé) au
problème posé est alors important car il simplifie grandement le calcul de V. Notons que le
modèle de la distribution peut comporter des charges à l’infini. Dans ce cas, le choix d’un
potentiel nul à l’infini doit être exclu. On adopte alors une valeur de référence en un point
donné, cette convention n’ayant aucune conséquence sur la détermination du champ
électrostatique.
IV- Travail des forces électrostatiques

                                                                                                           r
Une charge ponctuelle q placée dans une région ou règne un champ électrostatique E dérivant
                                             r                                    uu
                                                                                   r
d’un potentiel V, est soumise à une force F . Lors d’un déplacement élémentaire dl de la
charge q, la force effectue le travail élémentaire suivant :
                                                r uu
                                                   r            r uu
                                                                   r
                                       dW = F dl = q E dl = − q dV


Lorsque q se déplace du point A au point B le travail total se calcule comme suit :
                                                          B                     B

                                         WA → B =     ∫   A
                                                              dW = − q     ∫A
                                                                                    dV



                                                  = q (VA − VB )


V- Relation entre le champ et le potentiel électrostatique


1) Notion de gradient

            a) Différentielle d’une fonction à plusieurs variables

Soit f une fonction à plusieurs variables x 1 , ..................... x i , ............ , x n . La différentielle totale
exacte de f, notée df est donnée par :
                                              n
                                                    ∂f
                                       df =
                                            i =1   ∂x i
                                                          ∑   dx i

     ∂f
où          est la dérivée partielle de f par rapport à la variable xi.
     ∂x i
Dans le repère cartésien (Oxyz), un point M est repéré par ses coordonnées x, y et z tel que
uuu r r        r     r                  r r         r
OM = xe x + ye y + ze z . Les vecteurs e x , e y et e z sont respectivement les vecteurs unitaires
des axes (Ox), (Oy) et (Oz).
Si f(M) est une fonction à trois variables, la différentielle totale exacte s’écrit :

                                                 ∂f            ∂f          ∂f
                                          df =        dx +          dy +        dz
                                                 ∂x            ∂y          ∂z

                                ∂f r    ∂f r    ∂f r           r        r        r
                       df = (      ex +    ey +    e z ) ⋅ (dx e x + dy e y + dz e z )
                                ∂x      ∂y      ∂z
∂f r    ∂f r    ∂f r uu     r
soit :                                df = (       ex +    ey +    e z ) ⋅ dl
                                                ∂x      ∂y      ∂z

         b) Définition du gradient
                             uuur
Le gradient de f, noté ( grad f ) est le vecteur dont les composantes en coordonnées
                        ∂f       ∂f       ∂f
cartésiennes sont : (        ,        ,        ).
                        ∂x       ∂y       ∂z
                                  uuuur      ∂f r    ∂f r    ∂f r
                                  grad f = (    ex +    ey +    ez )
                                                        ∂x           ∂y                 ∂z


2) Relation entre le champ et le potentiel électrostatiques
                          r uu
                             r
On sait que dV = − dC = − E dl . Sachant que V(x,y,z) est un champ scalaire et en écrivant

la différentielle de V, il vient :

                                                        ∂V          ∂V             ∂V
                                           dV =              dx +         dy +          dz
                                                        ∂x          ∂y             ∂z
                                                                  uuur        uu
                                                                               r
soit :                                                  dV = grad V d l

                         r uu
                            r                                uuur        uu
                                                                          r                      r        uuur
               dV = − E dl                et        dV = grad V d l                →             E = − grad V

Les composantes du vecteur champ électrique, sont données par les relations suivantes :

                                          ∂V                             ∂V                          ∂V
                        Ex = −                      ;   Ey = −                 ;    Ez = −
                                          ∂x                             ∂y                          ∂z

En coordonnées cylindriques et sphériques, nous avons les relations suivantes :


                    ∂V                                                                               ∂V
             Eρ = − ∂ ρ                                                                      Er = − ∂ r
                                                                                            
                    1 ∂V                                                                             1 ∂V
             Eφ = −                                          ;                               Eθ = −
                     ρ ∂φ                                                                             r ∂θ
            
                    ∂V                                                                                  1 ∂V
             Ez = −                                                                          E φ = − r sin θ ∂ φ
                    ∂z                                                                      

              r         uuur
La relation E = − grad V permet de déterminer soit le champ électrostatique à partir du
                                                                                             r
potentiel V, soit le potentiel électrostatique à partir du champ E .
3) Application : Calcul du champ électrostatique d’une charge ponctuelle à
partir de son potentiel.
                                                        r r r
Considérons une charge ponctuelle placée en O, origine du repère (O ; e z , e z , e z ) . En un point
M repéré par ses coordonnées x, y et z, le potentiel associé à la charge ponctuelle est donné
par :

                             q                   q                      1                                                          uuu
                                                                                                                                     r
             V(M) =                   =                                                                  où           r = OM
                           4πε o r            4πε o               2
                                                                 x + y + z
                                                                             2               2




Les composantes du champ électrostatique associé à la charge q au point M sont calculées par
les formules :

                      ∂V(x,y,z)                                       ∂V(x,y,z)                                           ∂V(x,y,z)
           Ex = −                         ,      Ey = −                                              ,   Ez = −
                           ∂x                                                ∂y                                                   ∂z

                                                      ∂  2 2 2
                                                                                     )
                                                                                                     
                                                             (
                                                                                              1
                                          q                                                  −2          q        x
                           Ex = −                        x +y +z                                    =
                                      4πε o          ∂x 
                                                                                                    
                                                                                                       4πε o     r
                                                                                                                      3




En opérant de la même manière pour y et z, on trouve :

                                                     ∂  2 2 2
                                                                                         )
                                                                                                     
                                                             (
                                                                                              1
                                          q                                                  −2           q           y
                           Ey = −                        x +y +z                                     =
                                         4πε o       ∂y 
                                                                                                    
                                                                                                        4πε o        r
                                                                                                                          3




                                                     ∂  2 2 2
                                                                                     )
                                                                                                     
                                                             (
                                                                                              1
                                          q                                                  −2          q        z
et                         Ez = −                        x +y +z                                    =
                                         4πε o       ∂z 
                                                                                                    
                                                                                                       4πε o     r
                                                                                                                      3




               r       r             r               r                                   uuu r
                                                                                           r                  r               r        r
Sachant que E = E x e x + E y e y + E z e z                             et               OM = r = xe x + ye y + ze z , le champ
électrostatique sous forme vectorielle s’écrit :
                                                                       r             u
                                                                                     r                   r
                                     r                   q            x ex + y e y + z ez
                                     E(M) =                                              3
                                                     4πε o                           r

                                                                                                 r
                                                         r                       q               r
soit :                                                   E(M) =                                  3
                                                                           4πε o r
r
On peut aussi déduire le champ E de l’expression du gradient en coordonnées sphériques. Le
résultat est immédiat :

                                   dV(r)               q
                     E rθ = −              φ
                                               =             2
                                                                     ;   E = 0 ;         E = 0
                                     dr            4πε o r

                                                                          r
                                                   r                 q    er
soit :                                             E(M) =                  2
                                                                 4πε o r



VI- Topographie électrostatique

1) Surfaces équipotentielles

Soit V une fonction potentiel définissant un champ de scalaire, une surface Σ est dite
équipotentielle si et seulement si la valeur de V est la même en chacun de ses points.


1) Lignes de champ

Une ligne de champ est une courbe où en chacun de ses points le champ électrique lui est
tangent. Elle est orientée par continuité avec le vecteur champ.




                                           E                                   ligne de champ

                               M
                                     dl


Remarques :

i/ Les lignes de champ sont ouvertes et ne se coupent nulle part. Elles s’éloignent des charges
positives vers l’infini, ou venir de l’infini vers les charges négatives; en particulier elles
partent des charges positives pour aboutir aux charges négatives.

ii/ L’équation qui permettra de définir une ligne de champ, puis de la tracer, s’obtient en
                uur
exprimant que d l (ayant donc pour support la tangente au point M (cf.fig. ci-dessus)) est
                       r               r               uu
                                                        r
colinéaire au vecteur E(M) → E(M) = kdl où k est une constante de proportionnalité.
Ce qui conduit au système d’équations différentielles :
                                      r            r             r                r         r    r
    •    Système cartésien :       E x e x + E y e y + E z e z = k (dx e x + dy e y + dz e z )
Par identification, on trouve : E x = k dx                       ;    E y = k dy        ;            E z = k dz


                           dx   E (x,y,z)                        dx   E (x,y,z)
Soit :                        = x                    ;              = x
                           dy   E y (x,y,z)                      dz   E z (x,y,z)

                                        r        r                   r             r                r        r
    •    Système cylindrique : E ρ e ρ + E φ e φ + E z e z = k (dρ e ρ + ρdφ e φ + dz e z )
    Par identification, on trouve : E ρ = k dρ                   ;        E φ = k ρdφ           ;        E z = k dz



                            dρ    E ρ (ρ,φ,z)                        dρ   Eρ (ρ,φ,z)
Soit :                          =                        ;              =
                           ρ dφ   E φ (ρ,φ,z)                        dz   E z (ρ,φ,z)


                                    r        r                r                r        r                        r
    •    Système sphérique :     E rθe rφ + E φ θ + E e = k (dr e + rdθφe θ + rsinθdφ e )
                                              e     r

    Par identification, on trouve : E rθ = k dr              ;           E = k rdθ
                                                                           z            ;               E = k rsinθdφ


                          dr    E (r,θ,φ)                       dr      E (r,θ,φ)
Soit :                        = r                ;                    = r
                         r dθ   Eθ (r,θ,φ)                   rsinθ dφ   E φ (r,θ,φ)


La résolution de ces couples d’équation différentielles conduit aux équations :



          f(x,y,z) = 0                       f(ρ,φ,z) = 0                                       f(r,θ,φ) = 0


         g(x,y,z) = 0                        g(ρ,φ,z) = 0                                       g(r,θ,φ) = 0



qui définissent deux surfaces. Leur intersection est la ligne de champ.


3) Propriétés
                                                                                                                 r
         a) Les lignes de champ sont perpendiculaires aux surfaces équipotentielles (E ⊥ Σ) .

         b) Le sens du champ électrique est du potentiel le plus élevé vers le potentiel le moins
            élevé.


4) Exemples de surfaces équipotentielles et de lignes de champ
a) Les surfaces Σ équipotentielles d’une charge ponctuelle q sont des sphères
   concentriques de rayon r et de centre celui occupé par la charge q et les lignes de
   champ sont des demi-droites radiales perpendiculaires aux surfaces Σ (cf.fig. ci-
   dessous).


      V3                                                 V3
                          Σ2        Σ3                                       Σ2        Σ3

 V2
                 Σ1                                 V2              Σ1
                                     E                                            E

            V1        q                                        V1        q




             q > 0                                                  q < 0
           V1 > V2        >
                               V3                             V1 <       V2   <
                                                                                  V3
  les lignes de champ divergent                      les lignes de champ convergent
   à partir de la charge positive                         vers la charge négative


b) La figure ci-dessous représente les lignes de champ d’un dipôle électrique (un
   dipôle électrique est un ensemble, supposé rigide, de deux charges de même
   grandeur et de signes opposés séparées par une très faible distance).
E




 les lignes de champ
d’un dipôle électrique

Contenu connexe

Tendances

Cours master phys sc chap 4 2015
Cours master phys sc chap 4 2015Cours master phys sc chap 4 2015
Cours master phys sc chap 4 2015omar bllaouhamou
 
Exercices corriges-sur-le-regime-triphase
Exercices corriges-sur-le-regime-triphase Exercices corriges-sur-le-regime-triphase
Exercices corriges-sur-le-regime-triphase morin moli
 
Ener1 - CM3 - Puissance électrique
Ener1  - CM3 - Puissance électriqueEner1  - CM3 - Puissance électrique
Ener1 - CM3 - Puissance électriquePierre Maréchal
 
Machines synchrones.pdf
Machines synchrones.pdfMachines synchrones.pdf
Machines synchrones.pdfYvanNgnie1
 
Circuit electrique et_electronique www.cours-online.com
Circuit electrique et_electronique www.cours-online.comCircuit electrique et_electronique www.cours-online.com
Circuit electrique et_electronique www.cours-online.commorin moli
 
Circuits Chp.3 RéGime SinusoïDal Permanent
Circuits  Chp.3  RéGime  SinusoïDal  PermanentCircuits  Chp.3  RéGime  SinusoïDal  Permanent
Circuits Chp.3 RéGime SinusoïDal PermanentChafik Cf
 
Electricité : sécurité électrique (CM1)
Electricité : sécurité électrique (CM1)Electricité : sécurité électrique (CM1)
Electricité : sécurité électrique (CM1)Christophe Palermo
 
Cours electronique puissance
Cours electronique puissanceCours electronique puissance
Cours electronique puissanceJoseph Elhou
 
moteur asynchrone'ferial'
moteur asynchrone'ferial'moteur asynchrone'ferial'
moteur asynchrone'ferial'Ferial Mechtoub
 
Cours master phys sc chap 1 2015
Cours master phys sc chap 1 2015Cours master phys sc chap 1 2015
Cours master phys sc chap 1 2015omar bllaouhamou
 
Machines électriques: Correction des exercices du chapitre Transformateur.
Machines électriques: Correction des exercices du chapitre Transformateur.Machines électriques: Correction des exercices du chapitre Transformateur.
Machines électriques: Correction des exercices du chapitre Transformateur.Mohamed Khalfaoui
 
Cours3 machine-courant-continu.pdf par www.lfaculte.com
Cours3 machine-courant-continu.pdf  par www.lfaculte.comCours3 machine-courant-continu.pdf  par www.lfaculte.com
Cours3 machine-courant-continu.pdf par www.lfaculte.comالحسين بوعيدا
 
Chapitre IV : Les machines synchrones
Chapitre IV : Les machines synchronesChapitre IV : Les machines synchrones
Chapitre IV : Les machines synchronesMohamed Khalfaoui
 
Exercices corriges en electricite triphase
Exercices corriges en electricite triphaseExercices corriges en electricite triphase
Exercices corriges en electricite triphasemorin moli
 
Electrostatique et Electrocinetique. Rappel de cours et exercices corriges de...
Electrostatique et Electrocinetique. Rappel de cours et exercices corriges de...Electrostatique et Electrocinetique. Rappel de cours et exercices corriges de...
Electrostatique et Electrocinetique. Rappel de cours et exercices corriges de...ssuserf33fd0
 
03 régime de neutre
03 régime de neutre03 régime de neutre
03 régime de neutreAhmed Tahar
 

Tendances (20)

Systemes triphases
Systemes triphasesSystemes triphases
Systemes triphases
 
Cours master phys sc chap 4 2015
Cours master phys sc chap 4 2015Cours master phys sc chap 4 2015
Cours master phys sc chap 4 2015
 
Exercices corriges-sur-le-regime-triphase
Exercices corriges-sur-le-regime-triphase Exercices corriges-sur-le-regime-triphase
Exercices corriges-sur-le-regime-triphase
 
Ener1 - CM3 - Puissance électrique
Ener1  - CM3 - Puissance électriqueEner1  - CM3 - Puissance électrique
Ener1 - CM3 - Puissance électrique
 
Machines synchrones.pdf
Machines synchrones.pdfMachines synchrones.pdf
Machines synchrones.pdf
 
Ener1 - CM2 - Triphasé
Ener1 - CM2 - TriphaséEner1 - CM2 - Triphasé
Ener1 - CM2 - Triphasé
 
Circuit electrique et_electronique www.cours-online.com
Circuit electrique et_electronique www.cours-online.comCircuit electrique et_electronique www.cours-online.com
Circuit electrique et_electronique www.cours-online.com
 
Alternateur synchrone
Alternateur synchroneAlternateur synchrone
Alternateur synchrone
 
Circuits Chp.3 RéGime SinusoïDal Permanent
Circuits  Chp.3  RéGime  SinusoïDal  PermanentCircuits  Chp.3  RéGime  SinusoïDal  Permanent
Circuits Chp.3 RéGime SinusoïDal Permanent
 
Electricité : sécurité électrique (CM1)
Electricité : sécurité électrique (CM1)Electricité : sécurité électrique (CM1)
Electricité : sécurité électrique (CM1)
 
Cours electronique puissance
Cours electronique puissanceCours electronique puissance
Cours electronique puissance
 
Exercices onduleur
Exercices onduleurExercices onduleur
Exercices onduleur
 
moteur asynchrone'ferial'
moteur asynchrone'ferial'moteur asynchrone'ferial'
moteur asynchrone'ferial'
 
Cours master phys sc chap 1 2015
Cours master phys sc chap 1 2015Cours master phys sc chap 1 2015
Cours master phys sc chap 1 2015
 
Machines électriques: Correction des exercices du chapitre Transformateur.
Machines électriques: Correction des exercices du chapitre Transformateur.Machines électriques: Correction des exercices du chapitre Transformateur.
Machines électriques: Correction des exercices du chapitre Transformateur.
 
Cours3 machine-courant-continu.pdf par www.lfaculte.com
Cours3 machine-courant-continu.pdf  par www.lfaculte.comCours3 machine-courant-continu.pdf  par www.lfaculte.com
Cours3 machine-courant-continu.pdf par www.lfaculte.com
 
Chapitre IV : Les machines synchrones
Chapitre IV : Les machines synchronesChapitre IV : Les machines synchrones
Chapitre IV : Les machines synchrones
 
Exercices corriges en electricite triphase
Exercices corriges en electricite triphaseExercices corriges en electricite triphase
Exercices corriges en electricite triphase
 
Electrostatique et Electrocinetique. Rappel de cours et exercices corriges de...
Electrostatique et Electrocinetique. Rappel de cours et exercices corriges de...Electrostatique et Electrocinetique. Rappel de cours et exercices corriges de...
Electrostatique et Electrocinetique. Rappel de cours et exercices corriges de...
 
03 régime de neutre
03 régime de neutre03 régime de neutre
03 régime de neutre
 

En vedette

Tous les exercices_-_electromagnétisme_pcsi_mpsi
Tous les exercices_-_electromagnétisme_pcsi_mpsiTous les exercices_-_electromagnétisme_pcsi_mpsi
Tous les exercices_-_electromagnétisme_pcsi_mpsiSmee Kaem Chann
 
Calculs des champs elctromagncatiques
Calculs des champs elctromagncatiquesCalculs des champs elctromagncatiques
Calculs des champs elctromagncatiquesLiviu Popescu
 
Chapitre 3 théorème de gauss
Chapitre 3  théorème de gaussChapitre 3  théorème de gauss
Chapitre 3 théorème de gausscoursuniv
 
Chapitre 1 loi de coulomb et champ électrostatique
Chapitre 1  loi de coulomb et champ électrostatiqueChapitre 1  loi de coulomb et champ électrostatique
Chapitre 1 loi de coulomb et champ électrostatiquecoursuniv
 
Resumen tecnologia
Resumen tecnologiaResumen tecnologia
Resumen tecnologiaelvacilon
 
2 proyecto final de carrera - inyección de hidrógeno como potencial mejora ...
2   proyecto final de carrera - inyección de hidrógeno como potencial mejora ...2   proyecto final de carrera - inyección de hidrógeno como potencial mejora ...
2 proyecto final de carrera - inyección de hidrógeno como potencial mejora ...Fernando Avila
 
03 théorème de gauss
03 théorème de gauss03 théorème de gauss
03 théorème de gaussKais Kh
 
Motor a hidrogeno
Motor a hidrogenoMotor a hidrogeno
Motor a hidrogenonataliajoan
 
La energía del hidrógeno
La energía del hidrógenoLa energía del hidrógeno
La energía del hidrógenorec_social
 
Hidrógeno como fuente de energía
Hidrógeno como fuente de energíaHidrógeno como fuente de energía
Hidrógeno como fuente de energíaHerch
 
Auxiliares de Conversación Portugueses em Espanha
Auxiliares de Conversación Portugueses em EspanhaAuxiliares de Conversación Portugueses em Espanha
Auxiliares de Conversación Portugueses em EspanhaEnsinar Português Andaluzia
 
Practicas de calculo diferencial
Practicas de calculo diferencialPracticas de calculo diferencial
Practicas de calculo diferencialSaul Duque
 
Apuntes y guia de cálculo diferencial
Apuntes y guia de cálculo diferencialApuntes y guia de cálculo diferencial
Apuntes y guia de cálculo diferencialSaul Duque
 

En vedette (20)

Tous les exercices_-_electromagnétisme_pcsi_mpsi
Tous les exercices_-_electromagnétisme_pcsi_mpsiTous les exercices_-_electromagnétisme_pcsi_mpsi
Tous les exercices_-_electromagnétisme_pcsi_mpsi
 
Calculs des champs elctromagncatiques
Calculs des champs elctromagncatiquesCalculs des champs elctromagncatiques
Calculs des champs elctromagncatiques
 
Electricité II
Electricité IIElectricité II
Electricité II
 
Cours electrostatique
Cours electrostatiqueCours electrostatique
Cours electrostatique
 
Chapitre 3 théorème de gauss
Chapitre 3  théorème de gaussChapitre 3  théorème de gauss
Chapitre 3 théorème de gauss
 
Chapitre 1 loi de coulomb et champ électrostatique
Chapitre 1  loi de coulomb et champ électrostatiqueChapitre 1  loi de coulomb et champ électrostatique
Chapitre 1 loi de coulomb et champ électrostatique
 
Resumen tecnologia
Resumen tecnologiaResumen tecnologia
Resumen tecnologia
 
PhD Thesis
PhD ThesisPhD Thesis
PhD Thesis
 
2 proyecto final de carrera - inyección de hidrógeno como potencial mejora ...
2   proyecto final de carrera - inyección de hidrógeno como potencial mejora ...2   proyecto final de carrera - inyección de hidrógeno como potencial mejora ...
2 proyecto final de carrera - inyección de hidrógeno como potencial mejora ...
 
Isis2
Isis2Isis2
Isis2
 
Hidrogeno Parte2
Hidrogeno Parte2Hidrogeno Parte2
Hidrogeno Parte2
 
El hidrogeno
El hidrogenoEl hidrogeno
El hidrogeno
 
03 théorème de gauss
03 théorème de gauss03 théorème de gauss
03 théorème de gauss
 
Motor a hidrogeno
Motor a hidrogenoMotor a hidrogeno
Motor a hidrogeno
 
Exercices sur-les-suites-corriges
Exercices sur-les-suites-corrigesExercices sur-les-suites-corriges
Exercices sur-les-suites-corriges
 
La energía del hidrógeno
La energía del hidrógenoLa energía del hidrógeno
La energía del hidrógeno
 
Hidrógeno como fuente de energía
Hidrógeno como fuente de energíaHidrógeno como fuente de energía
Hidrógeno como fuente de energía
 
Auxiliares de Conversación Portugueses em Espanha
Auxiliares de Conversación Portugueses em EspanhaAuxiliares de Conversación Portugueses em Espanha
Auxiliares de Conversación Portugueses em Espanha
 
Practicas de calculo diferencial
Practicas de calculo diferencialPracticas de calculo diferencial
Practicas de calculo diferencial
 
Apuntes y guia de cálculo diferencial
Apuntes y guia de cálculo diferencialApuntes y guia de cálculo diferencial
Apuntes y guia de cálculo diferencial
 

Similaire à Chapitre 2 potentiel électrostatique

Chapitre 1 Cour Électricité 3 - Milieux Diéléctriques.pptx
Chapitre 1 Cour Électricité 3 - Milieux Diéléctriques.pptxChapitre 1 Cour Électricité 3 - Milieux Diéléctriques.pptx
Chapitre 1 Cour Électricité 3 - Milieux Diéléctriques.pptxAYOUBBENHAMOU4
 
Loi d’ohm et loi de joule
Loi d’ohm et loi de jouleLoi d’ohm et loi de joule
Loi d’ohm et loi de joulecoursuniv
 
IMC100_Analyse vectorielle - version annotée.pdf
IMC100_Analyse vectorielle -  version annotée.pdfIMC100_Analyse vectorielle -  version annotée.pdf
IMC100_Analyse vectorielle - version annotée.pdfAlexandreLessard7
 
عناصر الإجابة2015
عناصر الإجابة2015عناصر الإجابة2015
عناصر الإجابة2015KhalidBentama1
 
espace etudiant.licence 1er/2 anneé
espace etudiant.licence 1er/2 anneé espace etudiant.licence 1er/2 anneé
espace etudiant.licence 1er/2 anneé saoula khereddine
 
Grandeurs et unités
Grandeurs et unitésGrandeurs et unités
Grandeurs et unitésAminata Keita
 
CAPES maths 2019 composition 1
CAPES maths 2019 composition 1CAPES maths 2019 composition 1
CAPES maths 2019 composition 1Dany-Jack Mercier
 
Lignes Et Cables Electriques
Lignes Et Cables ElectriquesLignes Et Cables Electriques
Lignes Et Cables ElectriquesSais Abdelkrim
 
Polynomial Regression on Riemannian Manifolds, report, 2012
Polynomial Regression on Riemannian Manifolds, report, 2012Polynomial Regression on Riemannian Manifolds, report, 2012
Polynomial Regression on Riemannian Manifolds, report, 2012Florent Renucci
 
Cours+ +physique+dipôle+rc+-+bac+math
Cours+ +physique+dipôle+rc+-+bac+mathCours+ +physique+dipôle+rc+-+bac+math
Cours+ +physique+dipôle+rc+-+bac+mathHamdi Ayed
 
Chapitre 1 Rappels sur le filtrage numérique 1.pdf
Chapitre 1 Rappels sur le filtrage numérique 1.pdfChapitre 1 Rappels sur le filtrage numérique 1.pdf
Chapitre 1 Rappels sur le filtrage numérique 1.pdfHeithem2
 
cours-gratuit.com--id-11224-1.pdf
cours-gratuit.com--id-11224-1.pdfcours-gratuit.com--id-11224-1.pdf
cours-gratuit.com--id-11224-1.pdfOukrimMohamed
 
Meqanique du point materiel
Meqanique du point materielMeqanique du point materiel
Meqanique du point materielsarah Benmerzouk
 
Cours de maths sur optimisation 1 ère année d’école d’ingénieur
Cours de maths sur optimisation 1 ère année d’école d’ingénieurCours de maths sur optimisation 1 ère année d’école d’ingénieur
Cours de maths sur optimisation 1 ère année d’école d’ingénieurSeiliOk
 
M312_Electricité_BCG.ppt
M312_Electricité_BCG.pptM312_Electricité_BCG.ppt
M312_Electricité_BCG.pptAbdo Brahmi
 
en analyse des composantes de donnees.pdf
en analyse des composantes de donnees.pdfen analyse des composantes de donnees.pdf
en analyse des composantes de donnees.pdfELHASSANEAJARCIF1
 
40872913 formulaire-de-rdm
40872913 formulaire-de-rdm40872913 formulaire-de-rdm
40872913 formulaire-de-rdmAthanas Konin
 

Similaire à Chapitre 2 potentiel électrostatique (20)

Chapitre 1 Cour Électricité 3 - Milieux Diéléctriques.pptx
Chapitre 1 Cour Électricité 3 - Milieux Diéléctriques.pptxChapitre 1 Cour Électricité 3 - Milieux Diéléctriques.pptx
Chapitre 1 Cour Électricité 3 - Milieux Diéléctriques.pptx
 
Loi d’ohm et loi de joule
Loi d’ohm et loi de jouleLoi d’ohm et loi de joule
Loi d’ohm et loi de joule
 
IMC100_Analyse vectorielle - version annotée.pdf
IMC100_Analyse vectorielle -  version annotée.pdfIMC100_Analyse vectorielle -  version annotée.pdf
IMC100_Analyse vectorielle - version annotée.pdf
 
عناصر الإجابة2015
عناصر الإجابة2015عناصر الإجابة2015
عناصر الإجابة2015
 
espace etudiant.licence 1er/2 anneé
espace etudiant.licence 1er/2 anneé espace etudiant.licence 1er/2 anneé
espace etudiant.licence 1er/2 anneé
 
Grandeurs et unités
Grandeurs et unitésGrandeurs et unités
Grandeurs et unités
 
CAPES maths 2019 composition 1
CAPES maths 2019 composition 1CAPES maths 2019 composition 1
CAPES maths 2019 composition 1
 
Lignes Et Cables Electriques
Lignes Et Cables ElectriquesLignes Et Cables Electriques
Lignes Et Cables Electriques
 
Polynomial Regression on Riemannian Manifolds, report, 2012
Polynomial Regression on Riemannian Manifolds, report, 2012Polynomial Regression on Riemannian Manifolds, report, 2012
Polynomial Regression on Riemannian Manifolds, report, 2012
 
Cours+ +physique+dipôle+rc+-+bac+math
Cours+ +physique+dipôle+rc+-+bac+mathCours+ +physique+dipôle+rc+-+bac+math
Cours+ +physique+dipôle+rc+-+bac+math
 
Chapitre 1 Rappels sur le filtrage numérique 1.pdf
Chapitre 1 Rappels sur le filtrage numérique 1.pdfChapitre 1 Rappels sur le filtrage numérique 1.pdf
Chapitre 1 Rappels sur le filtrage numérique 1.pdf
 
cours-gratuit.com--id-11224-1.pdf
cours-gratuit.com--id-11224-1.pdfcours-gratuit.com--id-11224-1.pdf
cours-gratuit.com--id-11224-1.pdf
 
Ray chp3
Ray chp3Ray chp3
Ray chp3
 
Meqanique du point materiel
Meqanique du point materielMeqanique du point materiel
Meqanique du point materiel
 
1 circuit rlc-serie
1 circuit rlc-serie1 circuit rlc-serie
1 circuit rlc-serie
 
Intégration
IntégrationIntégration
Intégration
 
Cours de maths sur optimisation 1 ère année d’école d’ingénieur
Cours de maths sur optimisation 1 ère année d’école d’ingénieurCours de maths sur optimisation 1 ère année d’école d’ingénieur
Cours de maths sur optimisation 1 ère année d’école d’ingénieur
 
M312_Electricité_BCG.ppt
M312_Electricité_BCG.pptM312_Electricité_BCG.ppt
M312_Electricité_BCG.ppt
 
en analyse des composantes de donnees.pdf
en analyse des composantes de donnees.pdfen analyse des composantes de donnees.pdf
en analyse des composantes de donnees.pdf
 
40872913 formulaire-de-rdm
40872913 formulaire-de-rdm40872913 formulaire-de-rdm
40872913 formulaire-de-rdm
 

Plus de coursuniv

Influences électrostatiques
Influences électrostatiquesInfluences électrostatiques
Influences électrostatiquescoursuniv
 
Réseaux électriques linéaires théorèmes généraux
Réseaux électriques linéaires théorèmes générauxRéseaux électriques linéaires théorèmes généraux
Réseaux électriques linéaires théorèmes générauxcoursuniv
 
Généralité sur le courant électrique
Généralité sur le courant électriqueGénéralité sur le courant électrique
Généralité sur le courant électriquecoursuniv
 
Généralité sur le courant électrique
Généralité sur le courant électriqueGénéralité sur le courant électrique
Généralité sur le courant électriquecoursuniv
 
Chapitre 4 equilibre électrostatique des conducteurs
Chapitre 4   equilibre électrostatique des conducteursChapitre 4   equilibre électrostatique des conducteurs
Chapitre 4 equilibre électrostatique des conducteurscoursuniv
 
Analyse numerique
Analyse numeriqueAnalyse numerique
Analyse numeriquecoursuniv
 
Cours langage c
Cours langage cCours langage c
Cours langage ccoursuniv
 
programmation orienté objet c++
programmation orienté objet c++programmation orienté objet c++
programmation orienté objet c++coursuniv
 
Corrigés exercices langage C
Corrigés exercices langage CCorrigés exercices langage C
Corrigés exercices langage Ccoursuniv
 
Loi de coulomb
Loi de coulomb Loi de coulomb
Loi de coulomb coursuniv
 
Architecture des ordinateurs 3
Architecture des ordinateurs 3Architecture des ordinateurs 3
Architecture des ordinateurs 3coursuniv
 
Architecture 4
Architecture 4Architecture 4
Architecture 4coursuniv
 
Architecture 2
Architecture 2Architecture 2
Architecture 2coursuniv
 
Architecture1
Architecture1Architecture1
Architecture1coursuniv
 
exercices en C
exercices en Cexercices en C
exercices en Ccoursuniv
 

Plus de coursuniv (20)

Algo et c
Algo et cAlgo et c
Algo et c
 
Influences électrostatiques
Influences électrostatiquesInfluences électrostatiques
Influences électrostatiques
 
Réseaux électriques linéaires théorèmes généraux
Réseaux électriques linéaires théorèmes générauxRéseaux électriques linéaires théorèmes généraux
Réseaux électriques linéaires théorèmes généraux
 
Généralité sur le courant électrique
Généralité sur le courant électriqueGénéralité sur le courant électrique
Généralité sur le courant électrique
 
Généralité sur le courant électrique
Généralité sur le courant électriqueGénéralité sur le courant électrique
Généralité sur le courant électrique
 
Chapitre 4 equilibre électrostatique des conducteurs
Chapitre 4   equilibre électrostatique des conducteursChapitre 4   equilibre électrostatique des conducteurs
Chapitre 4 equilibre électrostatique des conducteurs
 
Analyse s1
Analyse s1Analyse s1
Analyse s1
 
Analyse numerique
Analyse numeriqueAnalyse numerique
Analyse numerique
 
Excel
ExcelExcel
Excel
 
Excel
ExcelExcel
Excel
 
Cours langage c
Cours langage cCours langage c
Cours langage c
 
programmation orienté objet c++
programmation orienté objet c++programmation orienté objet c++
programmation orienté objet c++
 
Corrigés exercices langage C
Corrigés exercices langage CCorrigés exercices langage C
Corrigés exercices langage C
 
C
CC
C
 
Loi de coulomb
Loi de coulomb Loi de coulomb
Loi de coulomb
 
Architecture des ordinateurs 3
Architecture des ordinateurs 3Architecture des ordinateurs 3
Architecture des ordinateurs 3
 
Architecture 4
Architecture 4Architecture 4
Architecture 4
 
Architecture 2
Architecture 2Architecture 2
Architecture 2
 
Architecture1
Architecture1Architecture1
Architecture1
 
exercices en C
exercices en Cexercices en C
exercices en C
 

Dernier

Gestion des flux de trésorerie dans les entreprises
Gestion des flux de trésorerie dans les entreprisesGestion des flux de trésorerie dans les entreprises
Gestion des flux de trésorerie dans les entreprisesHamdConseil
 
Présentation Webinaire Cohésion - Concevoir et mettre en place une CMDB, comm...
Présentation Webinaire Cohésion - Concevoir et mettre en place une CMDB, comm...Présentation Webinaire Cohésion - Concevoir et mettre en place une CMDB, comm...
Présentation Webinaire Cohésion - Concevoir et mettre en place une CMDB, comm...Technologia Formation
 
EL KATRY Reem: Proposition de Programme Artistique et Exposition pour les Écoles
EL KATRY Reem: Proposition de Programme Artistique et Exposition pour les ÉcolesEL KATRY Reem: Proposition de Programme Artistique et Exposition pour les Écoles
EL KATRY Reem: Proposition de Programme Artistique et Exposition pour les ÉcolesSOLIANAEvelyne
 
Festival de Cannes 2024. pptx
Festival    de   Cannes      2024.  pptxFestival    de   Cannes      2024.  pptx
Festival de Cannes 2024. pptxTxaruka
 
Quitter la nuit. pptx
Quitter          la        nuit.    pptxQuitter          la        nuit.    pptx
Quitter la nuit. pptxTxaruka
 
Système National de Santé au- Maroc-(2017)."pdf"
Système National de Santé au- Maroc-(2017)."pdf"Système National de Santé au- Maroc-(2017)."pdf"
Système National de Santé au- Maroc-(2017)."pdf"tachakourtzineb
 
Webinaire Technologia | DAX : nouvelles fonctions
Webinaire Technologia | DAX : nouvelles fonctionsWebinaire Technologia | DAX : nouvelles fonctions
Webinaire Technologia | DAX : nouvelles fonctionsTechnologia Formation
 
Comment enseigner la langue française en Colombie?
Comment enseigner la langue française en Colombie?Comment enseigner la langue française en Colombie?
Comment enseigner la langue française en Colombie?sashaflor182
 
Decret-n°19-10-du-23-janvier-2019-reglementant-lexportation-des-déchets-spéci...
Decret-n°19-10-du-23-janvier-2019-reglementant-lexportation-des-déchets-spéci...Decret-n°19-10-du-23-janvier-2019-reglementant-lexportation-des-déchets-spéci...
Decret-n°19-10-du-23-janvier-2019-reglementant-lexportation-des-déchets-spéci...zidani2
 
PLANNING HEBDO ET CR LYCEE COUDON 21 MAI2024
PLANNING HEBDO ET CR LYCEE COUDON 21 MAI2024PLANNING HEBDO ET CR LYCEE COUDON 21 MAI2024
PLANNING HEBDO ET CR LYCEE COUDON 21 MAI2024frizzole
 
Quitter la nuit. pptx
Quitter        la             nuit.   pptxQuitter        la             nuit.   pptx
Quitter la nuit. pptxTxaruka
 
Fiche - Accompagnement du travail coopératif au sein d’une équipe d’enseignan...
Fiche - Accompagnement du travail coopératif au sein d’une équipe d’enseignan...Fiche - Accompagnement du travail coopératif au sein d’une équipe d’enseignan...
Fiche - Accompagnement du travail coopératif au sein d’une équipe d’enseignan...Pedago Lu
 
Présentation sur les Risques Électriques et Leur Prévention en Algérie
Présentation sur les Risques Électriques et Leur Prévention en AlgériePrésentation sur les Risques Électriques et Leur Prévention en Algérie
Présentation sur les Risques Électriques et Leur Prévention en AlgérieSeifTech
 

Dernier (13)

Gestion des flux de trésorerie dans les entreprises
Gestion des flux de trésorerie dans les entreprisesGestion des flux de trésorerie dans les entreprises
Gestion des flux de trésorerie dans les entreprises
 
Présentation Webinaire Cohésion - Concevoir et mettre en place une CMDB, comm...
Présentation Webinaire Cohésion - Concevoir et mettre en place une CMDB, comm...Présentation Webinaire Cohésion - Concevoir et mettre en place une CMDB, comm...
Présentation Webinaire Cohésion - Concevoir et mettre en place une CMDB, comm...
 
EL KATRY Reem: Proposition de Programme Artistique et Exposition pour les Écoles
EL KATRY Reem: Proposition de Programme Artistique et Exposition pour les ÉcolesEL KATRY Reem: Proposition de Programme Artistique et Exposition pour les Écoles
EL KATRY Reem: Proposition de Programme Artistique et Exposition pour les Écoles
 
Festival de Cannes 2024. pptx
Festival    de   Cannes      2024.  pptxFestival    de   Cannes      2024.  pptx
Festival de Cannes 2024. pptx
 
Quitter la nuit. pptx
Quitter          la        nuit.    pptxQuitter          la        nuit.    pptx
Quitter la nuit. pptx
 
Système National de Santé au- Maroc-(2017)."pdf"
Système National de Santé au- Maroc-(2017)."pdf"Système National de Santé au- Maroc-(2017)."pdf"
Système National de Santé au- Maroc-(2017)."pdf"
 
Webinaire Technologia | DAX : nouvelles fonctions
Webinaire Technologia | DAX : nouvelles fonctionsWebinaire Technologia | DAX : nouvelles fonctions
Webinaire Technologia | DAX : nouvelles fonctions
 
Comment enseigner la langue française en Colombie?
Comment enseigner la langue française en Colombie?Comment enseigner la langue française en Colombie?
Comment enseigner la langue française en Colombie?
 
Decret-n°19-10-du-23-janvier-2019-reglementant-lexportation-des-déchets-spéci...
Decret-n°19-10-du-23-janvier-2019-reglementant-lexportation-des-déchets-spéci...Decret-n°19-10-du-23-janvier-2019-reglementant-lexportation-des-déchets-spéci...
Decret-n°19-10-du-23-janvier-2019-reglementant-lexportation-des-déchets-spéci...
 
PLANNING HEBDO ET CR LYCEE COUDON 21 MAI2024
PLANNING HEBDO ET CR LYCEE COUDON 21 MAI2024PLANNING HEBDO ET CR LYCEE COUDON 21 MAI2024
PLANNING HEBDO ET CR LYCEE COUDON 21 MAI2024
 
Quitter la nuit. pptx
Quitter        la             nuit.   pptxQuitter        la             nuit.   pptx
Quitter la nuit. pptx
 
Fiche - Accompagnement du travail coopératif au sein d’une équipe d’enseignan...
Fiche - Accompagnement du travail coopératif au sein d’une équipe d’enseignan...Fiche - Accompagnement du travail coopératif au sein d’une équipe d’enseignan...
Fiche - Accompagnement du travail coopératif au sein d’une équipe d’enseignan...
 
Présentation sur les Risques Électriques et Leur Prévention en Algérie
Présentation sur les Risques Électriques et Leur Prévention en AlgériePrésentation sur les Risques Électriques et Leur Prévention en Algérie
Présentation sur les Risques Électriques et Leur Prévention en Algérie
 

Chapitre 2 potentiel électrostatique

  • 1. Chapitre 2 : Potentiel électrostatique Circulation d’un champ de vecteurs………………………………………………………. Circulation d’un champ électrique créé par une charge ponctuelle-Notion de potentiel….. Potentiel créé par une distribution de charges……………………………………………... Travail des forces électrostatiques…………………………………………………………. Relation entre champ et potentiel électrostatiques………………………………………... Topographie électrostatique………………………………………………………………... Potentiel électrostatique I- Circulation d’un champ de vecteurs 1) Définition ur A(M) est un champ de vecteurs et (L) une courbe dans l’espace. La circulation élémentaire dC du champ de u r u r uu r vecteurs A(M) est donnée par : dC = A(M) dl(M) où uu r A(M) dl est un déplacement élémentaire pris sur (L) au point M. dl La circulation de ce champ de vecteurs le long de la courbe (L), se déduit de la circulation élémentaire u r uu r comme suit : ΔC = ∫ (L) dC = ∫ (L) A(M) dl(M) (L) 2) Champ conservatif a) Définition u r Un champ de vecteurs A est conservatif si la circulation de ce champ entre deux points M et N ne dépend que de ces points. En d’autres termes, la circulation du champ de vecteurs ne dépend pas du chemin suivi. N N u uu r r ΔC = ∫ M dC = ∫M A dl = C(N) − C(M) C(M) étant la valeur de la circulation au point M et C(N) la valeur de la circulation au point N. b) Propriétés
  • 2. u r Un champ de vecteurs A(M) est conservatif si et seulement s’il dérive d’une fonction scalaire f(M). Ceci se traduit par la relation : u r uu r df = dC = A(M) dl(M) u r Lorsqu’un champ de vecteurs A(M) dérive d’un champ de scalaires f(M), alors la circulation u r uu r de ce champ le long d’une courbe fermée est nulle : Ñ ∫ A(M) dl(M) = 0 II- Circulation du champ électrique créé par une charge ponctuelle - Notion de potentiel 1) Calcul de la circulation On considère une charge ponctuelle q placée en un point O. Elle crée au point M un champ r r uuur r q r r électrique : E(M) = 2 u , r = OM et u= 4πε o r r uu r Soient (L), une courbe dans l’espace et dl un déplacement élémentaire le long de (L). E(M) M dl r (L) u ≡ er O q r La circulation élémentaire du vecteur E le long de la courbe (L), est donnée par : r uu r q r uu r dC = E(M) dl(M) = 2 u dl 4πε o r uu r L’élément déplacement dl exprimé en coordonnées sphériques (cf.fig.page 12) a pour expression : uu r r r r r r r r r r dl = dr e rφ + r dθ e θ + r sinθ dφ e , u ≡ er , u ⊥ eθ et u ⊥ e φ
  • 3. La circulation élémentaire peut s’écrire alors sous la forme : q dr dC = 2 4πε o r  q  soit : dC = − d  + K  = − dV(M)  4πε o r  où V(M) est un champ de scalaires défini par : q V(M) = + K 4πε o r Remarquons que V n’est pas unique (il est défini à une constante additive près), on mettra cette liberté à profit pour choisir le potentiel scalaire le plus adapté à la résolution de chaque problème. Dans le cas d’une charge ponctuelle, on prend un potentiel de référence tel que V = 0 lorsque r → ∞ , on a : 0 = 0 + K . La constante K est alors nul et le potentiel créé par une charge ponctuelle en tout point de l’espace est : q V(M) = 4πε o r 2) Potentiel électrostatique a) Définition r Le potentiel électrostatique au point M, généré par un champ électrostatique E(M) est la fonction scalaire V(M) tel que : r uu r dV(M) = − dC = − E(M) dl(M) b) Remarque Le potentiel électrique n’est connu qu’à une constante près. V(∞) = 0 est un choix arbitraire, car seule la différence de potentiel entre deux points est une grandeur mesurable. Dans le système international (SI), l’unité du potentiel est le volt (symbole : V). III- Potentiel créé par une distribution de charges
  • 4. 1) Charge ponctuelle On sait qu’une charge ponctuelle placée en O crée en un point M de l’espace un champ électrique qui dérive d’un potentiel électrique V tel que : q uuu r V(M) = où r = OM 4πε o r 2) Distribution discrète de charges ponctuelles – Principe de superposition Soient q , ..................... q , ............ , q n , un ensemble de n charges ponctuelles placées 1 i respectivement en des points O 1 , ..................... O i , ............ , O n , le potentiel V(M) créé par ces charges en un point M est la somme algébrique des potentiels créés par chacune des ses charges. n qi uuuu r V(M) = ∑ i =1 4πε o ri où ri = Oi M 3) Distribution linéique (L) est une ligne chargée et λ est la densité fil chargé linéique de charges. On divise la charge de la distribution en petits éléments infinitésimaux qui peuvent être considérés comme des λ charges ponctuelles. Un élément de longueur dl centré en A et portant la charge d = dq(A) λ(A) d (A) l crée en un point M de A l’espace le potentiel élémentaire : r dq(A) dV(M) = 4πε o r M (L) dV Le potentiel total en M est : λ(A) dl(A) V(M) = ∫ (L) 4πε o r : l’intégration (ici simple) porte sur le fil chargé M dV 4) Distribution surfacique r (S) est une surface chargée et σ est la densité superficielle de charges . On divise la charge de la distribution en petits éléments (S) dS A surface chargée σ
  • 5. infinitésimaux qui peuvent être considérés comme des charges ponctuelles. Un élément de surface dS centré en A et portant la charge dq(A) = σ(A) dS(A) crée en un point M de l’espace le potentiel élémentaire : dq(A) dV(M) = 4πε o r Le potentiel total en M est : σ(A) dS(A) V(M) = ∫ (S) 4πε o r : l’intégration (ici double) porte sur la surface chargée 5) Distribution volumique (τ) est un volume chargé et ρ est la densité volumique de charges . On divise la charge M dV de la distribution en petits éléments infinitésimaux qui peuvent être considérés comme des charges ponctuelles. Un élément r de volume dτ centré en A et portant la charge = dq(A) ρ(A) d (A) τ crée en un point M de ρ l’espace le potentiel élémentaire : A A dV(M) = dq(A) dτ (τ) 4πε o r Le potentiel total en M est : volume chargé ρ(A) dτ(A) V(M) = ∫ (τ ) 4πε o r : l’intégration (ici triple) porte sur le volume chargé 6) Calcul du potentiel V L’intégration dans les trois cas cité précédemment s’effectue suivant les méthodes usuelles. Le choix du système de coordonnées les mieux adaptées (celui qui tiendra compte des propriétés de symétrie particulières de la densité de charges et du système chargé) au problème posé est alors important car il simplifie grandement le calcul de V. Notons que le modèle de la distribution peut comporter des charges à l’infini. Dans ce cas, le choix d’un potentiel nul à l’infini doit être exclu. On adopte alors une valeur de référence en un point donné, cette convention n’ayant aucune conséquence sur la détermination du champ électrostatique.
  • 6. IV- Travail des forces électrostatiques r Une charge ponctuelle q placée dans une région ou règne un champ électrostatique E dérivant r uu r d’un potentiel V, est soumise à une force F . Lors d’un déplacement élémentaire dl de la charge q, la force effectue le travail élémentaire suivant : r uu r r uu r dW = F dl = q E dl = − q dV Lorsque q se déplace du point A au point B le travail total se calcule comme suit : B B WA → B = ∫ A dW = − q ∫A dV = q (VA − VB ) V- Relation entre le champ et le potentiel électrostatique 1) Notion de gradient a) Différentielle d’une fonction à plusieurs variables Soit f une fonction à plusieurs variables x 1 , ..................... x i , ............ , x n . La différentielle totale exacte de f, notée df est donnée par : n ∂f df = i =1 ∂x i ∑ dx i ∂f où est la dérivée partielle de f par rapport à la variable xi. ∂x i Dans le repère cartésien (Oxyz), un point M est repéré par ses coordonnées x, y et z tel que uuu r r r r r r r OM = xe x + ye y + ze z . Les vecteurs e x , e y et e z sont respectivement les vecteurs unitaires des axes (Ox), (Oy) et (Oz). Si f(M) est une fonction à trois variables, la différentielle totale exacte s’écrit : ∂f ∂f ∂f df = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z ∂f r ∂f r ∂f r r r r df = ( ex + ey + e z ) ⋅ (dx e x + dy e y + dz e z ) ∂x ∂y ∂z
  • 7. ∂f r ∂f r ∂f r uu r soit : df = ( ex + ey + e z ) ⋅ dl ∂x ∂y ∂z b) Définition du gradient uuur Le gradient de f, noté ( grad f ) est le vecteur dont les composantes en coordonnées ∂f ∂f ∂f cartésiennes sont : ( , , ). ∂x ∂y ∂z uuuur ∂f r ∂f r ∂f r grad f = ( ex + ey + ez ) ∂x ∂y ∂z 2) Relation entre le champ et le potentiel électrostatiques r uu r On sait que dV = − dC = − E dl . Sachant que V(x,y,z) est un champ scalaire et en écrivant la différentielle de V, il vient : ∂V ∂V ∂V dV = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z uuur uu r soit : dV = grad V d l r uu r uuur uu r r uuur dV = − E dl et dV = grad V d l → E = − grad V Les composantes du vecteur champ électrique, sont données par les relations suivantes : ∂V ∂V ∂V Ex = − ; Ey = − ; Ez = − ∂x ∂y ∂z En coordonnées cylindriques et sphériques, nous avons les relations suivantes :  ∂V  ∂V  Eρ = − ∂ ρ  Er = − ∂ r    1 ∂V  1 ∂V  Eφ = − ;  Eθ = − ρ ∂φ  r ∂θ   ∂V  1 ∂V  Ez = −  E φ = − r sin θ ∂ φ  ∂z  r uuur La relation E = − grad V permet de déterminer soit le champ électrostatique à partir du r potentiel V, soit le potentiel électrostatique à partir du champ E .
  • 8. 3) Application : Calcul du champ électrostatique d’une charge ponctuelle à partir de son potentiel. r r r Considérons une charge ponctuelle placée en O, origine du repère (O ; e z , e z , e z ) . En un point M repéré par ses coordonnées x, y et z, le potentiel associé à la charge ponctuelle est donné par : q q 1 uuu r V(M) = = où r = OM 4πε o r 4πε o 2 x + y + z 2 2 Les composantes du champ électrostatique associé à la charge q au point M sont calculées par les formules : ∂V(x,y,z) ∂V(x,y,z) ∂V(x,y,z) Ex = − , Ey = − , Ez = − ∂x ∂y ∂z ∂  2 2 2 )  ( 1 q −2 q x Ex = −  x +y +z = 4πε o ∂x     4πε o r 3 En opérant de la même manière pour y et z, on trouve : ∂  2 2 2 )  ( 1 q −2 q y Ey = −  x +y +z  = 4πε o ∂y     4πε o r 3 ∂  2 2 2 )  ( 1 q −2 q z et Ez = −  x +y +z = 4πε o ∂z     4πε o r 3 r r r r uuu r r r r r Sachant que E = E x e x + E y e y + E z e z et OM = r = xe x + ye y + ze z , le champ électrostatique sous forme vectorielle s’écrit : r u r r r q x ex + y e y + z ez E(M) = 3 4πε o r r r q r soit : E(M) = 3 4πε o r
  • 9. r On peut aussi déduire le champ E de l’expression du gradient en coordonnées sphériques. Le résultat est immédiat : dV(r) q E rθ = − φ = 2 ; E = 0 ; E = 0 dr 4πε o r r r q er soit : E(M) = 2 4πε o r VI- Topographie électrostatique 1) Surfaces équipotentielles Soit V une fonction potentiel définissant un champ de scalaire, une surface Σ est dite équipotentielle si et seulement si la valeur de V est la même en chacun de ses points. 1) Lignes de champ Une ligne de champ est une courbe où en chacun de ses points le champ électrique lui est tangent. Elle est orientée par continuité avec le vecteur champ. E ligne de champ M dl Remarques : i/ Les lignes de champ sont ouvertes et ne se coupent nulle part. Elles s’éloignent des charges positives vers l’infini, ou venir de l’infini vers les charges négatives; en particulier elles partent des charges positives pour aboutir aux charges négatives. ii/ L’équation qui permettra de définir une ligne de champ, puis de la tracer, s’obtient en uur exprimant que d l (ayant donc pour support la tangente au point M (cf.fig. ci-dessus)) est r r uu r colinéaire au vecteur E(M) → E(M) = kdl où k est une constante de proportionnalité. Ce qui conduit au système d’équations différentielles : r r r r r r • Système cartésien : E x e x + E y e y + E z e z = k (dx e x + dy e y + dz e z )
  • 10. Par identification, on trouve : E x = k dx ; E y = k dy ; E z = k dz dx E (x,y,z) dx E (x,y,z) Soit : = x ; = x dy E y (x,y,z) dz E z (x,y,z) r r r r r r • Système cylindrique : E ρ e ρ + E φ e φ + E z e z = k (dρ e ρ + ρdφ e φ + dz e z ) Par identification, on trouve : E ρ = k dρ ; E φ = k ρdφ ; E z = k dz dρ E ρ (ρ,φ,z) dρ Eρ (ρ,φ,z) Soit : = ; = ρ dφ E φ (ρ,φ,z) dz E z (ρ,φ,z) r r r r r r • Système sphérique : E rθe rφ + E φ θ + E e = k (dr e + rdθφe θ + rsinθdφ e ) e r Par identification, on trouve : E rθ = k dr ; E = k rdθ z ; E = k rsinθdφ dr E (r,θ,φ) dr E (r,θ,φ) Soit : = r ; = r r dθ Eθ (r,θ,φ) rsinθ dφ E φ (r,θ,φ) La résolution de ces couples d’équation différentielles conduit aux équations : f(x,y,z) = 0 f(ρ,φ,z) = 0 f(r,θ,φ) = 0 g(x,y,z) = 0 g(ρ,φ,z) = 0 g(r,θ,φ) = 0 qui définissent deux surfaces. Leur intersection est la ligne de champ. 3) Propriétés r a) Les lignes de champ sont perpendiculaires aux surfaces équipotentielles (E ⊥ Σ) . b) Le sens du champ électrique est du potentiel le plus élevé vers le potentiel le moins élevé. 4) Exemples de surfaces équipotentielles et de lignes de champ
  • 11. a) Les surfaces Σ équipotentielles d’une charge ponctuelle q sont des sphères concentriques de rayon r et de centre celui occupé par la charge q et les lignes de champ sont des demi-droites radiales perpendiculaires aux surfaces Σ (cf.fig. ci- dessous). V3 V3 Σ2 Σ3 Σ2 Σ3 V2 Σ1 V2 Σ1 E E V1 q V1 q q > 0 q < 0 V1 > V2 > V3 V1 < V2 < V3 les lignes de champ divergent les lignes de champ convergent à partir de la charge positive vers la charge négative b) La figure ci-dessous représente les lignes de champ d’un dipôle électrique (un dipôle électrique est un ensemble, supposé rigide, de deux charges de même grandeur et de signes opposés séparées par une très faible distance).
  • 12. E les lignes de champ d’un dipôle électrique