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1
Module d’Electricité
2ème partie : Electrostatique
© Fabrice Sincère (version 3.0.1)
http://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere
2
Introduction
• Principaux constituants de la matière :
- protons : charge électrique + e ≈ +1,6 10 -19 coulomb
- neutrons : pas de charge (= neutre)
- électrons : - e
• Un atome a autant d’électrons que de protons : il est
globalement neutre.
• Un corps électrisé (+ ou -) est un corps qui n’est pas neutre.
3
Conducteurs et isolants électriques
Un conducteur métallique possède des électrons libres.
• mouvement d’ensemble d’électrons libres = courant électrique
• l’électrocinétique est l’étude des courants électriques
Un isolant ne possède pas d’électron libre.
L’électrostatique est l’étude de l’électricité statique des corps
électrisés (conducteur ou isolant).
4
Electrisation d’un corps
• Excès d’électrons (-): corps électrisé négativement
• Carence en électrons (+) : ‘ ‘ positivement
- électrisation des isolants : par frottement
Les charges sont immobiles (= statiques)
- électrisation des conducteurs : par influence
Les charges se déplacent jusqu’à atteindre un état
d’équilibre (fig. 1) :
boule en métal
(initialement neutre)
+ + +
On approche une règle en
verre (électrisée par
frottement avec un chiffon)
+
+
+
-
-
-
5
• Application : Machine de Whimshurst (100 kV)
6
Décharge électrostatique
Un courant apparaît quand un corps électrisé se décharge
dans un autre.
Remarque : courant très intense (mais très bref)
tension très élevée >> kV
spectaculaire : foudre >> MV
Exemple : décharge électrostatique d’un corps humain :
• 10 A
• 10 kV
• < 1 µs
7
8
Chapitre 1 Champ électrostatique
Force électrostatique
• Soit deux corps ponctuels de charges q1 et q2 (fig. 2) :
• Sens
- charges de même signe : répulsion
- signe opposé : attraction
1/2F
r
2/1F
r
9
• Intensité : Loi de Coulomb
²r
qq
109
²r
qq
4
1
FFF 21921
0
1/22/1 ⋅≈
πε
===
ε0 ≈ 8,85⋅10-12 F/m : permittivité diélectrique du vide
r : distance (m)
F en newton (N)
10
Champ électrostatique E
Un corps ponctuel de charge q crée un champ électrostatique
radial (fig.3) :
E
r
q < 0 : sens du champ inversé
Intensité (en V/m) :
²r
q
109E 9
⋅≈
11
Relation entre E et F
Un corps chargé soumis à un champ électrostatique est l’objet
d’une force électrostatique (fig. 4) :
Champ électrostatique crée par un ensemble de charges (fig.5)
EqF
rr
=
E
r
F
r
2E
r 1E
r
E
r
∑=
i
i )M(E)M(E
rr
12
Lignes de champ
Une ligne de champ est tangente en tous points au champ
(fig. 6) :
L’ensemble des lignes de champ forme le spectre.
Exemple : spectre d’une charge ponctuelle (fig. 7) :
E
r
E
r
q>0
13
Chapitre 2 Théorème de Gauss
Flux d’un champ à travers une surface
Cas particulier (fig. 8) :
• champ uniforme (lignes de champ parallèles)
• surface plane
Remarques : Φ = ES quand E ⊥ surface
Φ = 0 quand E // surface
S
r
S
r S
r
ESSE =⋅=Φ
rr
°=
⋅=Φ
45cosES
SE
rr
0SE =⋅=Φ
rr
E
r
E
r
E
r
14
Théorème de Gauss
Soit une surface fermée (S) contenant une charge électrique totale
qint (fig. 9) :
ΦΦΦΦ = qint / εεεε0
+
++++++
++
+
+++++ +
+
+
+
+
(S)
15
Application : champ crée par un plan uniformément chargé (fig. 10)
Densité surfacique de charge : σ (C/m²)
Champ ⊥ plan
On choisit une surface cylindrique fermée de section S :
qint = σS
Φ = ES + ES + 0 = 2ES
Φ = qint / ε0
02
E
ε
σ
=
+ + + + + + ++ + + + + + + +
+ + + + + + ++ + + + + + + +
+ + + + + + ++ + + + + + + +
+ + + + + + ++ + + + + + + +
+ + + + + + ++ + + + + + + +
+ + + + + + ++ + + + + + + +
S
r
E
r
S
r
E
r
16
Chapitre 3 Potentiel électrique
A tout point M de l’espace, on peut associer un potentiel électrique
V(M).
Relation entre champ E et différence de potentiel électrique (fig. 11)
Remarques :
dans un circuit électrique : d.d.p. = tension
E est dirigé dans le sens des potentiels décroissants
E ⊥ surface équipotentielle (V=cte)
E = 0 dans un volume équipotentiel
E
r
rd
r
rdEVVdV 12
rr
⋅−=−=
17
Cas particulier : champ uniforme
Considérons deux plaques métalliques parallèles, soumises à
une tension U (fig. 12) :
Application : accélération du faisceau d’électrons d’un
téléviseur à tube cathodique (25 kV)
E
r
E = U/d
18
Origine du courant électrique (fig. 13)
fem (tension)
⇒ champ électrique
⇒ force électrostatique
⇒ mise en mouvement des électrons libres
⇒ courant électrique
E
r
F
r
19
Chapitre 4
Conducteur en équilibre électrostatique
Soit un conducteur plein chargé négativement (fig. 14) :
Charges uniquement en surface.
Champ nul à l’intérieur
(application : cage de Faraday).
Conducteur équipotentiel (V=cte).
A l’extérieur :
lignes de champ ⊥ surface
-
-
-
-
-
-
- -
-
0E
cteV
rr
=
=
E
r
20
Chapitre 5 Le condensateur
Un condensateur est constitué de deux conducteurs (= armatures)
séparés par un isolant (= diélectrique).
Symbole :
U ⇒ champ E ⇒ charges électriques sur les armatures
Q = QA = - QB : charge du condensateur
Capacité électrique (en farad) :
Appliquons une tension U
aux bornes d’un condensateur (fig. 15) :
E
r
C = Q/U
21
εr : permittivité diélectrique relative
≈ 1 pour l’air sec
jusqu’à 10 000 pour les céramiques
S : aire de chaque armature (m²)
d : épaisseur du diélectrique (m)
Capacité d’un condensateur plan
C = εεεε0 εεεεr S/d
22
Champ disruptif (ou rigidité diélectrique)
Au delà d’une certaine intensité (Ed), un isolant devient conducteur.
Exemples :
• Condensateur : U > tension de “claquage”
⇒ destruction du diélectrique
• Air : Ed ≈ 3⋅106 V/m
d = 1 mm : U >> kV ⇒ décharge électrostatique
(bougies d’automobile, briquet piézo-électrique …)
23
d >> m : U >> MV : foudre
24
Chapitre 6 Compléments sur le condensateur
∑=
i
iéq CC
Association de condensateurs
♦ en parallèle
Q1 = C1U
Q2 = C2U
Q = CéqU
Conservation de la charge : Q = Q1 + Q2
Donc : Céq = C1 + C2
En parallèle, les capacités s’additionnent :
25
♦ association en série
∑=
i iéq C
1
C
1
Energie emmagasinée par un condensateur
Un condensateur contient de l’énergie sous forme électromagnétique :
²CU
2
1
W =
avec :
W : énergie en joule (J)
C : capacité (F)
U : tension aux bornes (V)
26
dt
dq
i +=
Relation entre courant et tension dans un condensateur
q = +Cu
d’où :
dt
du
Ci += (en convention récepteur)
Rappel :
L’intensité du courant électrique i (en A) est définie par :
27
Charge et décharge d’un condensateur
♦ Charge d’un condensateur à travers une résistance
Loi des branches : E = Ri + u
On obtient une équation différentielle : E
dt
du
RCu =+
28
Supposons le condensateur initialement déchargé (u = 0 V).
On ferme K à l’instant t = 0.
Solution : )e1(E)t(u RC
t
−
−=
τ = RC est la constante de temps du circuit.
Remarque : après une durée de 3τ, le condensateur est chargé à 95 %
29
dt
du
Ci −=
♦ Décharge d’un condensateur à travers une résistance
Loi d’Ohm : u = +Ri
0
dt
du
RCu:où'd =+
30
Supposons le condensateur initialement chargé (u = E).
On ferme K à t = 0.
τ
−
⋅=
t
eE)t(u:Solution
31
dt
du
CI +=
♦ Charge à courant constant
La charge est linéaire (tension en forme de rampe) :
C
I
t
u
:pente =
∆
∆
32
Condensateur en régime sinusoïdal
Alimentons un condensateur avec une tension sinusoïdale
alternative de pulsation ω.
)
2
tsin(ÛC
)tcos(ÛC
)tsin(Û
dt
d
C
dt
)t(du
C)t(i
u
u
u
π
+ϕ+ωω=
ϕ+ωω=
ϕ+ω=
=
Déphasage : ϕu/i = ϕu - ϕi = -90°
Impédance :
ω
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C
1
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Cours electrostatique

  • 1. 1 Module d’Electricité 2ème partie : Electrostatique © Fabrice Sincère (version 3.0.1) http://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere
  • 2. 2 Introduction • Principaux constituants de la matière : - protons : charge électrique + e ≈ +1,6 10 -19 coulomb - neutrons : pas de charge (= neutre) - électrons : - e • Un atome a autant d’électrons que de protons : il est globalement neutre. • Un corps électrisé (+ ou -) est un corps qui n’est pas neutre.
  • 3. 3 Conducteurs et isolants électriques Un conducteur métallique possède des électrons libres. • mouvement d’ensemble d’électrons libres = courant électrique • l’électrocinétique est l’étude des courants électriques Un isolant ne possède pas d’électron libre. L’électrostatique est l’étude de l’électricité statique des corps électrisés (conducteur ou isolant).
  • 4. 4 Electrisation d’un corps • Excès d’électrons (-): corps électrisé négativement • Carence en électrons (+) : ‘ ‘ positivement - électrisation des isolants : par frottement Les charges sont immobiles (= statiques) - électrisation des conducteurs : par influence Les charges se déplacent jusqu’à atteindre un état d’équilibre (fig. 1) : boule en métal (initialement neutre) + + + On approche une règle en verre (électrisée par frottement avec un chiffon) + + + - - -
  • 5. 5 • Application : Machine de Whimshurst (100 kV)
  • 6. 6 Décharge électrostatique Un courant apparaît quand un corps électrisé se décharge dans un autre. Remarque : courant très intense (mais très bref) tension très élevée >> kV spectaculaire : foudre >> MV Exemple : décharge électrostatique d’un corps humain : • 10 A • 10 kV • < 1 µs
  • 7. 7
  • 8. 8 Chapitre 1 Champ électrostatique Force électrostatique • Soit deux corps ponctuels de charges q1 et q2 (fig. 2) : • Sens - charges de même signe : répulsion - signe opposé : attraction 1/2F r 2/1F r
  • 9. 9 • Intensité : Loi de Coulomb ²r qq 109 ²r qq 4 1 FFF 21921 0 1/22/1 ⋅≈ πε === ε0 ≈ 8,85⋅10-12 F/m : permittivité diélectrique du vide r : distance (m) F en newton (N)
  • 10. 10 Champ électrostatique E Un corps ponctuel de charge q crée un champ électrostatique radial (fig.3) : E r q < 0 : sens du champ inversé Intensité (en V/m) : ²r q 109E 9 ⋅≈
  • 11. 11 Relation entre E et F Un corps chargé soumis à un champ électrostatique est l’objet d’une force électrostatique (fig. 4) : Champ électrostatique crée par un ensemble de charges (fig.5) EqF rr = E r F r 2E r 1E r E r ∑= i i )M(E)M(E rr
  • 12. 12 Lignes de champ Une ligne de champ est tangente en tous points au champ (fig. 6) : L’ensemble des lignes de champ forme le spectre. Exemple : spectre d’une charge ponctuelle (fig. 7) : E r E r q>0
  • 13. 13 Chapitre 2 Théorème de Gauss Flux d’un champ à travers une surface Cas particulier (fig. 8) : • champ uniforme (lignes de champ parallèles) • surface plane Remarques : Φ = ES quand E ⊥ surface Φ = 0 quand E // surface S r S r S r ESSE =⋅=Φ rr °= ⋅=Φ 45cosES SE rr 0SE =⋅=Φ rr E r E r E r
  • 14. 14 Théorème de Gauss Soit une surface fermée (S) contenant une charge électrique totale qint (fig. 9) : ΦΦΦΦ = qint / εεεε0 + ++++++ ++ + +++++ + + + + + (S)
  • 15. 15 Application : champ crée par un plan uniformément chargé (fig. 10) Densité surfacique de charge : σ (C/m²) Champ ⊥ plan On choisit une surface cylindrique fermée de section S : qint = σS Φ = ES + ES + 0 = 2ES Φ = qint / ε0 02 E ε σ = + + + + + + ++ + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + S r E r S r E r
  • 16. 16 Chapitre 3 Potentiel électrique A tout point M de l’espace, on peut associer un potentiel électrique V(M). Relation entre champ E et différence de potentiel électrique (fig. 11) Remarques : dans un circuit électrique : d.d.p. = tension E est dirigé dans le sens des potentiels décroissants E ⊥ surface équipotentielle (V=cte) E = 0 dans un volume équipotentiel E r rd r rdEVVdV 12 rr ⋅−=−=
  • 17. 17 Cas particulier : champ uniforme Considérons deux plaques métalliques parallèles, soumises à une tension U (fig. 12) : Application : accélération du faisceau d’électrons d’un téléviseur à tube cathodique (25 kV) E r E = U/d
  • 18. 18 Origine du courant électrique (fig. 13) fem (tension) ⇒ champ électrique ⇒ force électrostatique ⇒ mise en mouvement des électrons libres ⇒ courant électrique E r F r
  • 19. 19 Chapitre 4 Conducteur en équilibre électrostatique Soit un conducteur plein chargé négativement (fig. 14) : Charges uniquement en surface. Champ nul à l’intérieur (application : cage de Faraday). Conducteur équipotentiel (V=cte). A l’extérieur : lignes de champ ⊥ surface - - - - - - - - - 0E cteV rr = = E r
  • 20. 20 Chapitre 5 Le condensateur Un condensateur est constitué de deux conducteurs (= armatures) séparés par un isolant (= diélectrique). Symbole : U ⇒ champ E ⇒ charges électriques sur les armatures Q = QA = - QB : charge du condensateur Capacité électrique (en farad) : Appliquons une tension U aux bornes d’un condensateur (fig. 15) : E r C = Q/U
  • 21. 21 εr : permittivité diélectrique relative ≈ 1 pour l’air sec jusqu’à 10 000 pour les céramiques S : aire de chaque armature (m²) d : épaisseur du diélectrique (m) Capacité d’un condensateur plan C = εεεε0 εεεεr S/d
  • 22. 22 Champ disruptif (ou rigidité diélectrique) Au delà d’une certaine intensité (Ed), un isolant devient conducteur. Exemples : • Condensateur : U > tension de “claquage” ⇒ destruction du diélectrique • Air : Ed ≈ 3⋅106 V/m d = 1 mm : U >> kV ⇒ décharge électrostatique (bougies d’automobile, briquet piézo-électrique …)
  • 23. 23 d >> m : U >> MV : foudre
  • 24. 24 Chapitre 6 Compléments sur le condensateur ∑= i iéq CC Association de condensateurs ♦ en parallèle Q1 = C1U Q2 = C2U Q = CéqU Conservation de la charge : Q = Q1 + Q2 Donc : Céq = C1 + C2 En parallèle, les capacités s’additionnent :
  • 25. 25 ♦ association en série ∑= i iéq C 1 C 1 Energie emmagasinée par un condensateur Un condensateur contient de l’énergie sous forme électromagnétique : ²CU 2 1 W = avec : W : énergie en joule (J) C : capacité (F) U : tension aux bornes (V)
  • 26. 26 dt dq i += Relation entre courant et tension dans un condensateur q = +Cu d’où : dt du Ci += (en convention récepteur) Rappel : L’intensité du courant électrique i (en A) est définie par :
  • 27. 27 Charge et décharge d’un condensateur ♦ Charge d’un condensateur à travers une résistance Loi des branches : E = Ri + u On obtient une équation différentielle : E dt du RCu =+
  • 28. 28 Supposons le condensateur initialement déchargé (u = 0 V). On ferme K à l’instant t = 0. Solution : )e1(E)t(u RC t − −= τ = RC est la constante de temps du circuit. Remarque : après une durée de 3τ, le condensateur est chargé à 95 %
  • 29. 29 dt du Ci −= ♦ Décharge d’un condensateur à travers une résistance Loi d’Ohm : u = +Ri 0 dt du RCu:où'd =+
  • 30. 30 Supposons le condensateur initialement chargé (u = E). On ferme K à t = 0. τ − ⋅= t eE)t(u:Solution
  • 31. 31 dt du CI += ♦ Charge à courant constant La charge est linéaire (tension en forme de rampe) : C I t u :pente = ∆ ∆
  • 32. 32 Condensateur en régime sinusoïdal Alimentons un condensateur avec une tension sinusoïdale alternative de pulsation ω. ) 2 tsin(ÛC )tcos(ÛC )tsin(Û dt d C dt )t(du C)t(i u u u π +ϕ+ωω= ϕ+ωω= ϕ+ω= = Déphasage : ϕu/i = ϕu - ϕi = -90° Impédance : ω == C 1 Iˆ Uˆ Z