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Le semiconducteur
hors équilibre 2
2
LE SEMICONDUCTEUR HORS
ÉQUILIBRE
2-1
2-2Recombinaison et génération
Phénomènes de transport
Phénomènes de transport dans
Les semiconducteurs
2-1
Phénomènes de transport
• Mouvement thermique
• Mouvement de dérive
• Mouvement de diffusion
Chap: II -4-
Mobilité-conductivité
Mouvement thermique
Approche classique
Soit un cristal Sc contenant des e- et des trous libres de
densité n et p. Si on ajoute un kT, cette énergie va augmenter
l'agitation thermique. Si vth est la vitesse moyenne d'agitation
thermique, l'énergie cinétique d'agitation thermique vaut :
2
0
3 1
2 2
thE kT m v  5
0
3
10 /
300
th
kT T
v m s
m
  
A 300K, on obtient vth ≈ 105 m/s (soit 400 000 km/h). Les
porteurs ont ainsi une vitesse thermique moyenne, orientée
dans toutes les directions de l’espace.
Les trajectoires sont très complexes Interaction avec
la réseau
Chap: II -5-
En l’absence d'un champ électrique E, la vitesse
moyenne d'entraînement est nulle
th
v


Trajectoire
linéaire entre
choc
Dans l’approximation classique l’électron subit des collisions.
On définie:
 < >: Le temps caractéristique représente le temps
moyen entre deux collisions.
 <ℓ>: le libre parcours moyen , ou distance moyenne
parcourue entre deux collisions
on a <ℓ> = vth<>
0thv 
Chap: II -6-
Collisions multiples dues à
l’agitation thermique d’origines:
- atomes du réseau
- impuretés ionisées
- défauts






Pour Si: <> = 0.1 à 1 ps, <ℓ> = 10 à 100 nm
E
Mouvement de dérive
Appliquer champ électrique sur le semiconducteurs:
E ≡ champ électrique [V cm-1] ⇒ force nette
2
0
1 3
2 2
thm v kT 5
10 /thv m s
0thv 
0v 
2
0
1 3
2 2
m v kT
Chap: II -7-
Chap: II -8-
Condition: faible champ électrique E
temps moyen entre deux collisions constant, accroissement
de vitesse dû au champ reste faible par rapport à vth,
redistribution isotrope des vitesses après chaque collision.
Soit la force F=qE agissant sur le mouvement des porteurs
composante de vitesse parallèle à la direction du champ E
qui s’ajoute à la composante thermique
Conductivité sous l’effet d’un champ électrique.
En présence d'un champ électrique E constant et uniforme, La
force à laquelle est soumis l’électron est :
F = Fappliquée + Flocale
Cette dernière est due à toutes les interactions avec le réseau
(vibration thermique).
0 0l
dv
F qE F m m
dt
    
0 0
1
( ) l
q
v t Et F dt
m m
   
Les porteurs ont une vitesse thermique moyenne, orientée dans toutes
les directions de l’espace qui est légèrement modifiée en imposant une
direction statistique préférentielle par la présence du champ électrique.
Trajectoire
incurvée
entre choc
Chap: II -9-
Conductivité sous l’effet d’un champ électrique.
0
q
v E
m

    
La vitesse d'entraînement vaut donc:
0 0
1
( ) 0l
q
v t v E car Fdt
m m
   
Soit  la mobilité:
Pour les Semiconducteurs:
n nv E  nv  Vitesse moyenne des électrons
E
qE
p pv E pv  Vitesse moyenne des trous qE
E
*n
n
q
m

  *p
p
q
m

 
*
pm *
pmet sont les masses effectives de conduction
Si v << vth ou E faible
(cm2/Vs)
-10-Chap: II
Cristal
À T=300K
n(cm2/Vs) p(cm2/Vs)
GaAs 8000 300
InAs 30000 450
Diamand 1800 1200
Si 1350 480
Ge 3600 1800
PbS 550 600
In0.53Ga0.47As 11000
-11-Chap: II
 La mobilité est une grandeur déterminante pour les composants
électroniques → performances des dispositifs
 Elle est inversement proportionnelle à la masse effective et dépend des
collisions dans le cristal
 Ces collisions peuvent être dues aux impuretés, aux phonons, aux autres
porteurs, et à tout autre défaut
 La mobilité s’exprime en cm2/Vs, (Rq: en MKSA m2/Vs = 1/T)
 La masse effective des
électrons est plus faible que
celle des trous et le temps de
relaxation est plus long →
mobilité des électrons est
supérieur à la mobilité des trous
 Le temps de collision
augmente quand la température
diminue, du moins dans un
semiconducteur pur
-12-
• Pour faible niveau de dopage, μ est limitée par les collisions avec
les réseaux. Si la Température augmente; μ diminue.
• Pour le dopage moyen et haut niveau de dopage, μ est limitée par
les collisions avec les impuretés ionisées.
• Trous "plus lourd" que les électrons: Pour le même niveau de
dopage, μn> μp
Chap: II
Mobilité en
fonction de la
température
Densité de courant et Mobilité
Courant causé par le champ électrique due aux électrons:
nqn tAQ
j
A t A t
 
 
 
Loi d’Ohm : j E
2
*
n
n n
n
nq
qn
m

  
q
A
vnt
(due aux électrons
seulement)
(A/cm2)
-13-Chap: II
2
*
n
n n
n
nq
j qn E nq E
m

     
Densité de courant et Mobilité
Courant total due aux électrons et aux trous:
 n p n pj qn qp nq pq E E         
n pqn qp   
p( est la mobilité des trous)*
p
p p
p
q
E E
m

  Pour les trous,
jn et jp sont les courants de dérive dans le champ électrique.
-14-Chap: II
*
0
2
5
? 300 1.18
? 1000 / 0.15 / ( )
3
1.08 10 / s
150 / s
th e
d
th th
d d
V T K m m
V E V m m V s
kT
V V m
m
V E V m



  
  
   
  
Exercice: Calculer la vitesse d'un électron dans un morceau de
silicium de type n causée par son énergie thermique à
température ambiante et sa vitesse due l'application d'un champ
électrique de 1000 V / m à travers le morceau de silicium.
Chap: II -15-
• Importance de la mobilité sur les composants
– Mobilité la plus élevée possible => vitesse plus grande
pour un même E
– Facteurs limitant:
• Dopage
• Défauts (cristallins, structuraux, …)
• Température
• Champ électrique de saturation + géométrie
Densité de courant et Mobilité
-16-Chap: II
• Vitesse de saturation des électrons
– La relation linéaire vitesse – champ valide uniquement pour:
• Des champs électrique pas trop élevés
• Porteurs en équilibre thermique avec le réseau
– Sinon:
• Au-delà d’un champ critique, saturation de la vitesse
• Apparition d’un autre phénomène: « velocity overshoot »
pour des semiconducteurs multivallée.
• Régime balistique: pour des dispositifs de dimensions
inférieures au libre parcours moyen (0.1µm)
-17-Chap: II
Densité de courant et Mobilité
-18-Chap: II
Influence du champ électrique sur la mobilité
• Pour des champs électriques
faibles, la loi de proportionnalité
(vitesse–champ) est valable  la
courbe réelle est linéarisée et la
pente définit la mobilité 
• Dès que les champs électriques deviennent importants
(quelques kilovolts), la vitesse sature et converge vers la
vitesse thermique. Bien que les trajectoires entre chocs
soient suffisamment incurvées pour prendre la direction du
champ, l’énergie thermique reste très supérieure à l’énergie
apportée entre ces chocs et la mobilité décroît
n nv E  n nj qn E
Vitesse de saturation
-19-
Chap: II
Dans le cas du GaAs, la situation est
plus complexe dès que l’on dépasse un
certain champ électrique critique, car
le semiconducteur est « multi-vallée »
Dès que l’énergie de l’électron se
rapproche de EL ou EX , les
porteurs transfèrent de la vallée
centrale vers les vallées satellites et
voient leur masse effective changer
et augmenter. En conséquence, leur
mobilité diminue.
En général
* * *
1 2 3,m m m
Vitesse de saturation
Survitesse
(« overshoot »)
Différents comportement
en fonction du SC
-20-
Chap: II
Le GaAs présente une meilleure
mobilité (rapport 5) et une
survitesse qui est exploitée dans
la réalisation de certains
composants très rapides HF
-21-Chap: II
Influence de la température sur la mobilité
L’augmentation de température
se traduit par une agitation
thermique plus importante dans
le réseau cristallin et, de ce fait,
le temps de relaxation va
diminuer car la probabilité de
chocs avec les atomes augmente.
Il s’en suit une diminution de la
mobilité qui suit une loi empirique
de la forme:
3/2
T 
 est un coefficient qui dépend de la nature du matériau et du
type de porteur
2
*
n
n n
n
nq E
J E
m

 
2
*
p
p p
p
pq E
J E
m

 
La loi d'Ohm locale (microscopique) :
pour les électrons, et
pour les trous.
2
1 1
*
2
1 1
*
( )
( )
n
n n
n
p
p p
p
nq
nq cm
m
pq
pq cm
m

 

 
 
 
  
  
n p n pqn qp       
Def: Les conductivités électriques s'écrivent :
Le courant total étant la somme des courants de trous et d'électrons, la
conductivité totale du matériau s'écrit naturellement:
pour les électrons, et
pour les trous.
-24-Chap: II
n p n pqn qp       
22
* *
( )
pn
n p
n p
n p
pq Enq E
J J J
m m
E E

  
    
  
1 1
( )
( )
1
1
n p
n
n
p
p
cm
q n p
si n p
qn
si p n
qp

  




  

 
 
Le courant total étant la somme des courants de trous et d'électrons,
la conductivité totale du matériau s'écrit naturellement:
La résistivité  d’un matériau est l’inverse
de la conductivité 
-25-Chap: II
Resistance
t
wL
pn qpqn  

 1
wt
L
wt
L
I
V
R 
I
IV
Pour calculer R, Il faut
trouver  de la concentration
des électron et des trous, et
après utiliser les dimensions
de l’échantillon
-26-Chap: II
-27-Chap: II
 Cas du silicium dopé à 300K :
n=280 cm²/V.s et p=90 cm²/V.s
n=ND=1018 cm-3 et p=2,2 102 cm-3
=2,2 10-2 cm et
= 48 -1 cm-1
 Cas du silicium intrinsèque à 300K :
n=1350 cm²/V.s et p=480 cm²/V.s
p=n=ni=1,5 1010 cm-3
=3,4 105 cm et
= 2,9 10-6 -1 cm-1
Résistivité
La concentration en impuretés peut cependant différée de la concentration
réelle en porteurs :
Exemple : cas du silicium dopé p (Gallium) avec NA=1017 cm-3, on peut
montrer qu’il y a en réalité 23% d’accepteurs non-ionisés ce qui fait une
concentration réelle de porteurs de 7,7 1016 cm-3 !
 Même pour de très forts dopages la résistivité du semi-conducteur reste
très supérieure à celle d’un métal dont l’ordre de grandeur est le µ.cm.
-28-Chap: II
 La concentration en impuretés d’un
semi-conducteur peut être obtenue si
sa résistivité est connue.
Résistivité
Temps pour la dérive à travers L = 0,1 m
Très rapide
6
10 /dn thv cm s v 
der
n th n
E
J qnv qn E E 

   
3 2
4.8 10 /der
nJ A cm 
10d
th
L
t ps
v
 
Chap: II
Exercices-1
Soit le Silicium avec ND = 3 x 1016 cm-3 à la température ambiante
μn ≈ 1000 cm2 / V • s, ρ n ≈ 0.21 Ω • cm, n ≈ 3X 1016 cm-3
Appliquer E = 1 kV / cm
Solution Exercice 1-
Exercices-2
-30-Chap: II
Quelle est la résistivité d'un morceau de silicium de type n avec
n = 1 000 cm2V-1s-1 et p = 100 cm2V-1s-1 ? La densité de porteurs
due au dopage de type n = 1017 cm-3. ni = 1.5x 1010 cm-3
Conductivité (type n seulement, pourquoi?)
Résistivité
17 3 2 1 1 19 1 1
10 1000 1.6 10 16 ( )
n nnq
cm cm V s Coulombe cm
 
     

     
1 1
0.0625 ( )
16n
cm

   
Solution Exercice 2
Exercice-3
-31-Chap: II
Un échantillon de Si est dopé avec 1018 atomes/cm3 /. Quelle est la
concentration p de trou d'équilibre à 300 K? Où est EF par rapport à Ei?
Solution Exercice 3
Ec
Ev
Ei
EF
0.465 eV
Concentration de trous à l'équilibre
18
10
ln
10
0.025 ln 0.465
1.5 10
F i
i
n
E E kT
n
eV
 
  

2 20
3
18
2.25 10
225
10
in
p cm
n

  
Niveau de Fermi
Exercice 4
-32-Chap: II
Vrai ou faux:
• Quant masse affectifs augmente, la mobilité diminue
• Mobilité pour un semi-conducteur particulier restera constant dans
chaque direction
•Pour un semi-conducteur de type n, le niveau de Fermi EF sera toujours
plus près de la bande de conduction qu’au centre de la bande interdite Ei
•Quant la bande interdite d'un semi-conducteurs augmente, la densité des
paires trou-électron généré thermiquement diminue
•Le produit de la concentration d'électrons et la concentration de trous dans
un semiconducteur est constante indépendamment de la température
Vrai
Faux
Faux
Faux
Vrai
    61019
1039.4105.11830106.1 
 ipni nq  (Ω.cm)-1
5
1028.2
1

i
i


(Ω.cm)
Pour le Silicium intrinsèque : mn = 1350 et mp = 480 cm2/V-s .
Ainsi, étant donné que : n = p = ni
Calculer la résistivité intrinsèque du Silicium à 300 K
-33-Chap: II
Exercice-5
Solution Exercice 5
Exercice 6-
En considérant une erreur maximale admissible de 1% , déterminer à partir
de quel dopage on peut considérer que, dans le calcul de la résistivité, seul
les porteurs majoritaires interviennent. Application numérique au cas du
Germanium, Silicium et Arséniure de gallium.
On donne:
Germanium n = 4500 cm2/V.s p = 2000 cm2/V.s
Silicium n = 1500 cm2/V.s p = 600 cm2/V.s
Arséniure de Gallium n = 7500 cm2/V.s p = 300 cm2/V.s
-34-Chap: II
Solution Exercice 6-
-35-Chap: II
La résistivité d’un matériau semi-conducteur s’exprime par la relation:
La conductivité est l’inverse de la résistivité. Elle vaut donc:
Le matériau étant à l’équilibre, les densités de porteurs sont reliées par la loi d’action de masse
En utilisant cette dernière relation, on peut exprimer la conductivité en fonction d’un seul type de
porteurs, par exemple les électrons.
Il s’en suit
En développant cette relation, on obtient une équation du second degré qui permet de relier n et s.
Les solutions de cette équation peuvent se mettre sous la forme:
 
1
n pq n p

 


 n pq n p   
2
inp n
2
i
n p
n
q n
n
  
 
  
 
2 2
0
p
i
n n
n n n
q

 
  
Solution Exercice 6-
-36-Chap: II
Les solutions de cette équation peuvent se mettre sous la forme:
Le terme est très petit devant l’unité.
La racine carrée est donc de la forme .
Le développement limité au premier ordre de ce terme est .
La solution peut donc se mettre sous la forme:
2 2
2
1 1 4
2
i n p
n
q n
n
q
 
 
 
   
 
 
1 1
2

  
2 2
2
4
i n pq n  

2 2
2
1 1 4
2 2
i n p
n
q n
n
q
 
 
  
      
  
1 
Solution Exercice 6-
-37-Chap: II
Une seule des solutions est physiquement réaliste. C’est celle qui correspond au signe +. Le signe –
donnerait la densité des électrons dans le cas ou ils sont minoritaires. On obtient donc:
L’erreur commise en négligeant les porteurs minoritaires est donc égale à: .
Pour une erreur inférieure à 1%, on aura:
On obtient donc:
ou encore, en repassant à la résistivité:
On peut donc calculer cette valeur pour chacun des matériaux les plus couramment utilisés. Dès que la
résistivité sera inférieure à cette valeur, on pourra considérer que la résistivité dépend exclusivement
de la concentration des porteurs majoritaires.
2 2
2
1
i n p
D
n
q n
n N
q
 
 
 
    
 
2 2
2
i n pq n  

2 2
2
2
10
i n pq n  



10 i n pq n  
1
10 i n pq n

 

Solution Exercice 6-
-38-Chap: II
Applications numériques
2 2
13 3 1
4500 / 2000 /
2.510 8.3
n p
i
Gremanium cm V s cm V s
n cm cm
 
 
   
  
2 2
10 3 1
1500 / 600 /
1.510 41.1
n p
i
Silicium cm V s cm V s
n cm cm
 
 
   
  
2 2
7 3 1
: 7500 / 300 /
10 33.9
n p
i
Arséniure de Gallium cm V s cm V s
n cm cm
 
 
   
  
Solution Exercice 6-
-39-Chap: II
Applications numériques suite
Si la résistivité satisfait à la condition énoncée ci dessus, on pourra écrire:
Matériau de type P
Matériau de type N
Dans la réalité, cette condition sera TOUJOURS respectées et la résistivité (ou la
conductivité) ne dépendront que de la densité des porteurs Majoritaires.
2
1
, ,i
A
A A p
n
p N n
N qN


   
2
1
, ,i
D
D D n
n
n N p
N qN


   
-40-Chap: II
Exercice 7- Calculer la résistivité maximale de ces trois
matériaux. Comparer cette valeur avec la résistivité intrinsèque .
Conclusion.
Exercice 8- La pureté maximale possible avec les technologies
actuelles étant de 1013 cm–3, calculer les conductivités
correspondantes pour les trois corps étudiés précédemment.
Exercice 9- On dope un barreau de silicium avec du phosphore.
Donner le type et la valeur du dopage pour obtenir un matériau de
résistivité  = 0,6 .cm.
Quelle est la masse de phosphore nécessaire pour doper un lingot
de 40 cm de long et de 15 cm de diamètre. Sachant que l’on peut
garantir la pesée du phosphore au 1/100ème de milligramme, quelle
est l’erreur maximale commise sur le dopage?
Solution Exercice 7-
Si la résistivité passe par un maximum, la conductivité passera par un
minimum. Celle ci s’exprime en fonction d’un seul type de porteurs par la
relation (Exercice n° 6):
Cette fonction passera par un minimum pour la valeur de n qui annulera la
dérivée;
On obtient donc: = m . On peut remarquer que cette valeur est inférieure à ni
car p < n. Le matériau présentant la résistivité maximale serait donc de type P.
En reportant cette valeur de la densité dans l’expression de , on obtient:
2
i
n p
n
q n
n
  
 
  
 
2
2
0i
n p
n
q
n n

 
 
   
  
p
i
n
n n



max
1
2
i
i n pqn

 

-41-Chap: II
Solution Exercice 7-
-42-Chap: II
Applications numériques
2 2
13 3 1
max
4500 / 2000 /
2.510 41.7
n p
i i
Gremanium cm V s cm V s
n cm cm
 
 
   
  
2 2
10 3 1
max
1500 / 600 /
1.510 205
n p
i i
Silicium cm V s cm V s
n cm k cm
 
 
   
  
2 2
7 3 1
max
: 7500 / 300 /
10 169.5
n p
i i
Arséniure de Gallium cm V s cm V s
n cm M cm
 
 
   
  
Solution Exercice 7-
-43-Chap: II
La résistivité Intrinsèque s’exprime par la relation:
Applications numériques
2 2
13 3 1
4500 / 2000 /
2.510 38.5
n p
i t
Gremanium cm V s cm V s
n cm cm
 
 
   
  
2 2
10 3 1
1500 / 600 /
1.510 186
n p
i t
Silicium cm V s cm V s
n cm k cm
 
 
   
  
2 2
7 3 1
: 7500 / 300 /
10 70.2
n p
i t
Arséniure de Gallium cm V s cm V s
n cm M cm
 
 
   
  
 
1
i n pqn

 


On pourra remarquer que le matériau le plus résistif n’est pas l’intrinsèque;
Cela est dû à la différence des mobilités
Solution Exercice 8-
La pureté maximale permettant d’obtenir des dopages de 1013 cm-3 on pourra, dans le
cas du Germanium, obtenir un matériau Intrinsèque. Pour les deux autres, cela ne
sera pas possible. Les résistivités limites que l’on pourra obtenir seront donc:
 
2
1 1
: , ,i
A
A A pn p
n
Typ P p N n
N qNq n p

 
   

 
2
1 1
: , ,i
D
D D nn p
n
Typ N n N p
N qNq n p

 
   

1 1
: 1 ; : 417typ P k cm typ N cm  
   
Application numérique pour le Silicium
1 1
: 1.56 ; : 73.5typ P k cm typ N cm  
   
Application numérique pour l’Arséniure de Gallium
Les dopages couramment utilisés en technologie étant toujours nettement supérieurs
à cette valeur de 1013 cm-3 , la résistivité ne dépendra que des majoritaires.
La valeur de la résistivité que l’on souhaite obtenir est nettement inférieure à la valeur pour laquelle
on peut considérer que seuls les porteurs majoritaires interviennent. Le phosphore étant de type N
on aura donc:
On peut tirer la valeur de ND de cette relation. Cela nécessite toutefois la connaissance de n.
Solution Exercice 9-
1
D nqN



15 3
19
1 1
710
1.610 0.6 1500
D
n
N cm
q


  
 
On pourra résoudre le problème en
procédant par approximations
successives.
-On se donne une valeur de la
mobilité et on en déduit le dopage. De
cette valeur du dopage on tire une
valeur de mobilité à l’aide de l’abaque
correspondant et on recommence le
calcul jusqu’à obtenir deux valeurs
consécutives dont l’écart est inférieur
à l’erreur que l’on peut tolérer.
Si par exemple on se fixe une mobilité de 1500 cm2/Vs, on obtient un dopage qui vaut:
Ce dopage donne une mobilité qui vaut sensiblement 1100 cm2/Vs. On peut donc
recalculer la nouvelle valeur du dopage qui vaut: 9,5 1015 soit une mobilité de 1050
approximativement et un nouveau dopage de 1016 cm-3. Vu l’écart entre ces deux
dernières valeurs, on s’arrêtera là.
Il faudra donc introduire sensiblement 1 atome de Phosphore tous les 1 Million
d’atomes de Silicium.
Dans ce type de calculs, l’important est de déterminer la puissance de
10 car on travaille sur des grands nombres. Une erreur de quelques
pourcents sur le résultat est tout à fait acceptable.
Solution Exercice 9-
Calcul du poids de Phosphore utilisé.
Le lingot est cylindrique de longueur 40 cm et de diamètre 15 cm. Son volume est donc:
V = p r2 h = p * 7,52 * 40 = 7068 cm3.
La masse atomique du silicium est de 28.1 g/mole et celle du phosphore vaut 31 g/mole
(voir tableau de Mendeleïev).
Le nombre d’atomes par mole est égal à 6,02 1023 (nombre d’Avogadro).
La densité d’atomes de Silicium est de 5,02 1022 cm-3.
La masse de phosphore utilisée vaut donc:
On peut rapprocher cette valeur du poids du lingot de silicium qui vaut:
Le poids du dopant est donc infiniment petit par rapport à celui du lingot.
Si l’erreur absolue sur la pesée du Phosphore est de 1/100ème de mg, l’erreur relative
vaut: 0,01/3,64 c’est à dire 2,7 10-3. L’erreur sur le dopage sera la même car la densité
d’atomes dopants est directement proportionnelle au poids. Cette précision est illusoire
car les variations du process ne permettent pas d’atteindre de telles précisions.
Solution Exercice 9-
16
23
7068 10
31 3.64
6.0210
PM g mg

  
22
23
7068 5.0210
28.1 16.56
6.0210
SiM g kg

  
Solution Exercice 10- Pour obtenir un matériau de type opposé, le dopant utilisé
devra être un accepteur c’est-à-dire appartenir à la colonne III de la classification
périodique des éléments. Pour le silicium, le dopant généralement utilisé est le Bore.
Le processus sera le même que celui décrit ci-dessus pour le phosphore. Toutefois,
le matériau n’étant pas intrinsèque au départ de l’opération, il faudra d’abord injecter
une quantité d’atomes de Bore égale à celle du phosphore pour compenser le
matériau. On obtiendra du silicium « Intrinsèque par compensation ». A partir de ce
matériau compensé, on appliquera le même raisonnement que précédemment.
Le nombre de trous dans ce matériau sera donc: p = NA – ND
La résistivité s’écrit:
On obtient NA = 1016 + 6,25 1015 = 1,625 10 16 cm-3.
Qui correspond à un poids de 2,06 mg de Bore.
 
1 1 1
A D
p A D p p
et donc N N
qp q N N q

  
   

Exercice 10- A partir du semi-conducteur précédent, on souhaite obtenir
un matériau de type opposé. Quel dopant va-t-on utiliser et quelle est la
concentration et le poids nécessaire permettant d’obtenir un matériau de
résistivité égale à 2 cm.
-49-Chap: II
Exercice 11- Calculer le rapport du courant d’électrons et de trous correspondant
au matériau de l’exercice n° 9. Conclusion.
Solution Exercice 11-
Le matériau étant homogène, le courant est dû à la conduction. On peut donc écrire:
Application numérique: ce rapport vaut 0.78 1012 ce qui revient à dire que le
courant de conduction est le courant d ’électrons c’est-à-dire le courant des porteurs
majoritaires.
2
2 2
n n n n n n
iP P P p i p
p
I J qn n n
nI J qp n
n
   
  

    
Solution Exercice 12-Le courant de conduction s’écrit:
:
: 9000 /
n n D
D
D
D
I j S S E q n S E q n v S
I I
Donc v
q n S q N S
AN v cm s
              
 
   

Exercice 12- On considère un barreau de silicium de 2 cm de long et 0,1 cm2 de
section . Le silicium est de type N (ND = 5 1015 cm-3 ). On applique aux bornes de ce
barreau une tension de 12 Volts et on mesure un courant de 720 mA. Calculer la
mobilité des électrons.
-51-Chap: II
Exercice 13- Comparer la vitesse des électrons dans un semi-conducteur (par
exemple celui de l’exercice n° 9) à celle des électrons dans un métal qui serait
parcouru par la même densité de courant. En déduire la mobilité des électrons dans le
cuivre .
On donne: densité atomique: 5 1022 cm-3.
Solution Exercice 13-
Pour une même densité de courant, on aura:
22 3
4
5 10
' :
: 9 10 / 9 /
sc sc métal m
sc m m sc
m
j q n v et j q N v avec N cm
n
D ou q n v q N v onoblient v v
N
AN v cm s soit m s

       
     
 
Ceci s’explique simplement par le fait que dans un métal il y a un électron libre par
atome d’ou une population extrêmement importante qui se déplacera très lentement.
Il ne faut pas confondre vitesse de déplacement des porteurs et vitesse de
propagation du courant électrique.
Exercice 14- Calculate the mean free time of an electron and mean free
path having a mobility of 1000 cm2/V-s at 300 K. Assume me = 0.26m0,
where m0 = electron rest mass = 9.1 x 10-31 kg.
31 4 2 -1 -1
19
2
5
From (5),
(0.26 9.1 10 kg)(1000 10 m .V .s )
1.6 10 C
0.148 ps
3
;
2 2
3
10 m/s
14.8 nm
e e
th
th
m
e
s mv kT
v
t
kT
v
m
l v



 


  



 

 
Exercice 14- Calculate the mean free time of an electron and mean free
path having a mobility of 1000 cm2/V-s at 300 K. Assume me = 0.26m0,
where m0 = electron rest mass = 9.1 x 10-31 kg.
Solution Exercice 14-
Exercice 15- In metals, μe = 5 x 10-3 m3/(V-s) and l = 1 cm, V = 10 volts
is applied. Find the drift velocity vD and compare to thermal velocity vth.
2
3
2
23
31
5
m 10 V
5 10
V.s 10 cm
5 m/s
3 3 1.38 10 J/K 300K
9.1 10 kg
1.17 10 m/s
D e e
D
th
th
D th
V
v E
l
v
kT
v
m
v
v v
 




 
   
 
  
   
  

  
 

 

Exercice 15- In metals, μe = 5 x 10-3 m3/(V-s) and l = 1 cm, V = 10 volts
is applied. Find the drift velocity vD and compare to thermal velocity vth.
Solution Exercice 15-
Transport sous l’effet d’un gradient de
concentration
Il apparaît un courant qui tend à homogénéiser la concentration
Ce courant est d'autant plus faible que la différence de concentration est
faible (il tend vers 0 à l'équilibre)
-56-Chap: II
( )C x
I
x

 

négatif parce que les
particules diffusent vers
les régions de plus faible
concentration
proportionnel
au gradient de
concentration
Mouvement de diffusion des porteurs
Le phénomène de diffusion est lié à l’existence de gradient de
concentration ou gradient de température
Il y a diffusion des régions de forte concentration vers les régions de
faible concentrations
Loi de Fick : le mouvement des porteurs de charges s’effectuera
dans une direction qui a tendance à uniformiser leur distribution
spatiale. Ce phénomène est équivalent à celui de l’équilibre de la
pression d’un gaz dans une enceinte.
C
C i
x

 

0
C
x



F D C

  
C : concentration de l’espèce
C
i
(Loi de Fick) : D : coefficient de diffusion (cm-2s-1)
Le flux des particules F est proportionnel au gradient de concentration
Le signe( – ) vient du fait que pour qu’il y ait étalement, le gradient doit être < 0. Cette
loi est générale et s’applique aussi bien aux électrons, aux trous , aux atomes et aux ions.
-57-Chap: II
 Cas des électrons :
Dn : coefficient de diffusion des électrons.
Par convention la densité de courant est de sens opposé au
déplacement des électrons. Les électrons étant de charge
<0, se déplaçant vers les x>0, le gradient de concentration
<0, la densité de courant est <0.
, ,
1
. .n n D n D nF J J q D n
q

     
Cas des trous :
Dp : coefficient de diffusion des trous
Par convention la densité de courant est dans le même sens
que celui des tous. Les trous étant de charge>0, se déplaçant
vers les x>0, le gradient de concentration<0, la densité de
courant est>0.
, ,
1
. .p p D p D pF J J q D p
q

   
 Courants de Diffusion : En considérant macroscopiquement la diffusion des
électrons et des trous, leur déplacement est équivalent à un courant. On peut
donc exprimer les densités de courant de diffusion des électrons et des trous en
multipliant le flux des porteurs par la charge élémentaire.
-58- Chap: II
,
,
( ). .
( ). .
.( )
n D n n
p D p p
D n p
J q F q D n
J q F q D p
J q D n D p


 
    
    
   
Pour les électrons
Pour les trous
Total
Densité de courant de diffusion
-59-Chap: II
Densité de courant totale
 Les coefficients de diffusion s’expriment en cm²/s. Ils sont de l’ordre de
grandeur de l’unité et en général tels que Dn>Dp.
 Les équations présentées ici ne sont valables que pour un semi-conducteur
homogène et à température constante. Ces équations sont profondément
modifiées quand le dopage, le « gap » ou la température varient.
 Le modèle utilisé ici unidimensionnel permet de mener à bien des calculs
analytiques.
 Densité de courant total d’électrons dans un semi-conducteur :
 Densité de courant total de trous dans un semi-conducteur :
 Densité de courant total dans un semi-conducteur :
, ,
( )
n n deriv n Dif n n
dn x
J J J q nE qD
dx
   
, ,
( )
p p deriv p Dif p p
dp x
J J J q pE qD
dx
   
, ,
n p deriv diff
n p n p
J J J J J    
-60-
Chap: II
Relations d’Einstein
Démonstration simple de la relation d’Einstein;
dan le cas à une dimension on a:
2
0
1 1
2 2
thm v kT
2 0
( ) n
n th th th th n
m kT
D v l v v v
q q

    
0
n
q
m

 
De même pour les trous:
p p
kT
D
q

p n
p n
D D kT
q 
  Relation d’Einstein
-61-Chap: II
-62-Chap: II
Equations de Maxwell
 Equations de Maxwell pour des matériaux isotropes et homogènes :
Conditions statiques
 E et D sont le champ et l’induction électrique.
 H et B sont le champ et l’induction magnétique.
 s et 0 sont la permittivité du semi-conducteur et la perméabilité du vide.
 (x,y,z) est la densité de charge électrique totale, Jcond la densité de
courant de conduction et Jtot la densité de courant total (incluant à la fois
la conduction et la diffusion  .Jtot=0).
 Parmi les six équations de Maxwell, la plus importante est sans doute celle
de Poisson.
, cond tot
B D
E H J J
t t
 
       
 
00 ,B B H  
( , , ) , ( , ) ( ') ( , ') '
t
sD x y z D r t t t E r t dt 

    sD E
-63-
Chap: II
Equation de Poisson
 L’équation de Poisson est issue des équations de Maxwell et
reste valable dans un semi-conducteur. En supposant un modèle
à une dimension on peut écrire :
On peu l’écrire comme:
Concentration de charges C/m3
Permittivité du semi-conducteur en
F/cm
Laplacien en V/cm²
( , , )sD E x y z    
2
2
0 r
V
x

 

 

-64-Chap: II
sc
x
dx
dE
dx
Vd

 )(
2
2

Equation de Poisson
-65-Chap: II
 )()()()(2
2
xNxNxnxp
e
dx
Vd
AD
sc



Charge mobiles
(électrons et trous)
Charges fixes
(dopants ionisés)
 Dans un semi-conducteur dopé par les deux types de dopants,
la concentration de charges totales tient compte des porteurs
libres et des atomes ou impuretés ionisées :
 Dans de nombreux cas, pour aboutir à une solution analytique,
il faudra simplifier cette expression en comparant les
différentes concentrations.
( )D Aq p n N N  
    
Longueur de Debye
• Si on écrit l’équation de Poisson dans un type n en exprimant n en
fonction de :
• Si Nd(x) => Nd+DNd(x) , alors FFi est modifié de FFi
Fi

 kTe
id
sc
Fi Fi
enxN
e
dx
d /
2
2
)( F

F

en remarquant que: V(x)=FFi cte
)(
2
2
2
xN
e
kT
Ne
dx
d
d
sc
Fi
sc
dFi






-66-Chap: II
Longueur de Debye
• Signification physique?
– Solution de l’équation différentielle du 2° degré:
– La « réponse » des bandes n’est pas abrupte mais
« prend » quelques LD ( si Nd=1016 cm-3, LD=0.04µm).
Dans cette région, présence d’un champ électrique
(neutralité électrique non réalisée)
avec
expFi
D
x
A
L
  
2
sc
D
D
kT
L
e N


-67-Chap: II
Equations de continuité
 Hors équilibre thermodynamique, on cherche à déterminer le taux de
variation de la concentration des porteurs (électrons et trous) en fonction
du temps (modèle unidimensionnel).
 Soit un élément de volume d’épaisseur dx. Si le
flux entrant F(x) est supérieur au flux sortant
F(x+dx), la concentration des particules
augmente. L’évolution du nombre de porteurs
par unité de temps est donné par:
( ) ( )
( ) ( ( ) )
N C
Sdx
t t
F x S F x dx S
F F
F x S S F x dx S dx
x x
 
 
 
  
 
    
 
C
div F
t

 

x
x dx
dx
S
F
C(t)
-68-Chap: II
( ) ( )
( ) ( )
F F x dx F x
x x dx x
F
dx F x F x dx
x
  

  

  

Equations de continuité
 Pour les électrons:
Variation de concentration = variation du flux + génération-recombinaison
C dF
G U
t dx

   

Supposons que dans cet élément il soit possible de générer des paires de
porteurs par des photons (taux de génération G, cm-3/s) ou d’en faire
disparaître sur place par recombinaison (taux de recombinaison U , cm-3/s)
,
1
n n n n n
n
J qF J q nE qD n
n
div J G U
t q
   

  

 Pour les trous:
,
1
p p p p p
p
J qF J q pE qD p
p
div J G U
t q
   

   
 -69-Chap: II
 
2
2
1 tot
n n n n
n n
F j D nE G U
q t x x

  
     
  
 Hors équilibre thermodynamique, on cherche à déterminer le taux de
variation de la concentration des porteurs (électrons et trous) en fonction
du temps (modèle unidimensionnel).
 Hypothèse de faible injection i.e la densité de porteurs injectés est
inférieure à la densité de porteurs majoritaires à l’équilibre  le taux de
recombinaison U  (np-np0)/n avec np la densité de porteurs minoritaires,
np0 la densité de porteurs minoritaires à l’équilibre thermodynamique et n
le temps de vie des électrons.
 La même hypothèse existe pour les trous conduisant à la relation :
U  (pn-pn0)/p
 Si les électrons et les trous sont générés et recombinés par paires sans
pièges ou autres effets similaires alors on peut écrire que:
n=p.
 
2
2
1 tot
p p p p
p n
F j D pE G U
q t x x

  
    
  
-70-Chap: II
Exercice 14
Un échantillon de Si est dopé avec 1017 atomes de phosphore par cm3.
- Ce semi-conducteur est de quel type?
-Quelle est la concentration de porteur de charge majoritaire?
- Que mesurer sa résistivité?
- Quelle est la tension de Hall dans un échantillon de 100 m
d'épaisseur si Ix = 1.0 mA et ?
-71-Chap: II
5 2
10 /z

 Wb cmB
-Puisque le phosphore est un élément de la Vème colonne il a un 1 électron
faiblement lié dans la matrice Si. Ainsi, il s'agit d'impureté donneur et le semi-
conducteur est de type n.
-Comme l'énergie de Fermi devrait être suffisamment en dessous de EC (c.-à-d
EC - EF >> kT = 0,0259 eV). Ainsi presque tous les niveaux donneurs seront ionisés
et les électrons occuperont des états dans la bande de conduction. En conséquence
-A partir des courbes données dans le cours, la mobilité des électrons est de 700
cm2/(Vs). Ainsi, la conductivité est (p0 est négligeable):
-La résistivité est:
-Le coefficient de Hall pour les électrons est donné comme
-La tension de Hall est
Solution de l’exercice 14
0 dn N
19 17 1
0 1.6 10 700 10 11.2( ) .nq n   
      cm
1/ 0.0893   cm
3 5 2
3
2
10 10 /
( 62.5 / ) 62.5
10
x z
AB H
I
V R
t

 


     
A Wb cm
cm C V
cm
B
 
1 3
0 62.5 /HR qn

    cm C
-72-
Chap: II
Silicium
-73-Chap: II
Trouver la résistivité du silicium intrinsèque à la température ambiante
et le classer comme un isolant, semi-conducteur, ou conducteur.
On donne n et p
-74-Chap: II
Exercice 15
Pour le silicium intrinsèque, les densités d'électrons et de trous sont toutes
deux égales à ni.
Les inconnues: la résistivité  et la classification.
Approche: Utiliser l’équation:  = q(n n + p p) (cm)-1
Hypothèses: La température est indéterminée; supposent «température
ambiante» avec ni 1010/cm3.
Compte tenu de courant de dérive et de la mobilité, nous pouvons calculer
la résistivité:
jn
drift = Qnvn = (-qn)(- nE) = qn nE A/cm2
jp
drift = Qpvp = (-qp)(- pE) = qp pE A/cm2
jT
drift = jn + jp = q(n n + p p)E = E
Ceci définit la conductivité électrique:
 = q(n n + p p) (cm)-1
La résistivité  est l'inverse de la conductivité
 = 1/ (cm)
-75-Chap: II
Solution de l’exercice 15
-76-Chap: II
Phénomènes de diffusion (Exercices).
Exercice n° 16- Soit un échantillon de silicium de type N de résistivité  = 0,5 cm. La
durée de vie des porteurs en excès est inversement proportionnelle au dopage et vaut
 = 10 s pour N = 1016 cm-3. On génère à la surface du semi-conducteur des porteurs
en excès avec une vitesse de génération qui vaut: g = 1017 cm-3.s-1.
A) La longueur de l’échantillon est supposée infinie.
1°) Déterminer la loi de répartition des trous en fonction de la distance. Calculer la
densité des trous dans le plan x = 0 .
2°) A quelle distance l’excès de densité de trous devient-il égal au 110ème de sa
valeur en 0? Quelle est à cette distance la densité du courant de trous?
3°) Calculer la vitesse de diffusion des trous. Quelle serait la valeur du champ
électrique qui leur communiquerait la même vitesse?
4°) Calculer la quantité d’électricité emmagasinée lors de la diffusion.
B) Mêmes questions lorsque on place un contact Ohmique à la distance W = 10-4 cm.
-77-Chap: II
Phénomènes de diffusion: Exercice n° 16- (Solution).
Le premier travail est déterminer la densité des porteurs à l’équilibre
thermodynamique afin de savoir si la génération satisfait l’hypothèse de
faible niveau d’injection. Le matériau est de type N et sa résistivité vaut :  =0,5 cm.
L’abaque des résistivités en fonction du dopage nous
permet de lire pour  =0,5 cm une valeur de dopage qui est sensiblement égale à:
ND=1016 cm-3 . Compte tenu de cette valeur, on en déduit:
Dans le plan x = 0, la densité des porteurs excédentaires injectés vaut:
On peut donc vérifier que: Cette double condition satisfait donc
l’hypothèse de faible niveau d’injection.
On peut donc considérer que la densité des porteurs en excès obéit à l’équation de
conservation des porteurs qui s’écrit:
16 3
0
2
4 3
0
10
2.5610
D
i
D
n N cm
n
p cm
N


 
 
17 7 10 3
0 10 10 10 /p g paireélectron trou cm 
     
0 0p p et p n
1
p
p
p p
div J g
t q 

  

-78-Chap: II
Les conditions particulières liées à notre cas entraînent:
g = 0 dans le volume car la génération est localisée dans le plan x = 0.
 car on se place dans le cas d’un régime permanent.
Le champ électrique est nul en volume (pas de tension appliquée).
L’équation se ramène donc à:
Les solutions de cette équation sont donc de la forme:
2 2
2
2 2 2
0 ' 0p p p p
p p
d p p d p p
D qui s écrie avec L D
x x L


    
 
0
dp
dt

( ) p p
x x
L L
p x Ae Be

 
Phénomènes de diffusion: Exercice n° 16- (Solution suite)
-79-Chap: II
A) – La longueur de l’échantillon est supposée infinie.
1°)- La détermination des constantes d’intégration satisfait aux conditions aux limites
énoncées ci-dessous:
en x =0 p (0) = p = g0
en x = p() =0 car à une distance infiniment grande, tous les porteurs sont
recombinés.
On en déduit donc:
Cette deuxième relation impose que B = 0 (le
terme de réflexion est nul).
Il s’en suit:
La solution s’écrit donc:
C’est la solution générale, en physique, de tout système que l’on laisse évoluer
librement.
La densité du courant de trous (lié à la diffusion) est proportionnelle à la dérivée de la
distribution des porteurs. Elle s’écrit:
En x = 0, la valeur de la densité de courant est:
/ /
( ) ( )p px L x Lp
p x p
p
D pd
J qD pe q e
dx L
 
   
0
A B p
Ae Be 
  
 
A p 
/
( ) px L
p x Ae


(0)
p
p
p
D p
J q
L


Phénomènes de diffusion: Exercice n° 16- (Solution suite)
-80-Chap: II
A) –Application Numérique: il faut donc déterminer Dp et Lp. L’abaque de mobilités
nous donne pour : p = 450 cm2/V.s
On en déduit: Dp = p * UT = 450 * 26 10-3 = 11,7 cm2/s, d’ou;
La densité de courant dans le plan origine vaut donc:
-
2°)- La densité des porteurs décroît exponentiellement. La distance pour laquelle elle
sera divisée par 10 se déduit de:
Au delà de cette distance, l’excès de densité de porteurs devient très faible. Cela
permet de relativiser l’infini pour un porteur. La densité de courant varie suivant la
même loi ce qui implique que dans un système, si on place un contact à une
distance grande devant la longueur de diffusion, la densité de courant tendra vers 0.
On comprend donc que les dimensions des composants devront être petites.
16 3
10DN cm

2 7 3
11.7 10 1.08 10 10.8p p p pL D soit L cm m  
      
10
19 3
(0) 3
11.7 10
1.610 17.33 /
1.08 10
p
p
p
D p
J q A cm
L


 
   

/
( ) 1
ln10 2.3 24.84
10
px L
p p
p x pe
soit x L L qui donne x m
p p



    
 
Phénomènes de diffusion: Exercice n° 16- (Solution suite)
-81-Chap: II
A) 3°)- Vitesse de diffusion des trous.
dans laquelle, est la vitesse de dérive des porteurs.
On en tire:
On peut remarquer que la vitesse du porteur est une constante indépendante de sa
position
Le champ électrique qui communiquerait la même vitesse aux porteurs serait:
ce qui est très faible
( ) ( )p x D DJ v q p x v    
Dv
( )
2
3
( ) ( )
10.8 10 /
p p
p x D D
p p
p p
D
p p p
D D
J q p x v q p x qui donne v
L L
L L
ou encore v V cm
L  
    
   

24.07 /
pD T
D p
p p p p
Dv U
v E soit E soit E V cm
L L

 
    
Phénomènes de diffusion: Exercice n° 16- (Solution suite)
-82-Chap: II
A) 4°)- Quantité d’électricité emmagasinée lors de la diffusion.
Elle s’exprime par la relation:
S est la section du barreau.
La charge par unité de surface vaut donc:
Cette valeur peut paraître faible mais on verra que dans les composants, on obtient
des valeurs beaucoup plus petites .
On peut exprimer cette charge en fonction du courant. Il vient;
La constante de temps qui intervient dans le calcul de la charge est la Durée de vie
du porteur.
Dans le régime libre, les paramètres associés au phénomène de diffusion sont
les paramètres caractéristiques dus porteurs.
/
0 0
( ) px L
pQ qS p x dx qS p e dx q S p L
 
       
2
1.73 /p
Q
q p L pCb cm
S
   
2 2
p p p p
p p p p
p p p p
p p
D p D p L L
I J S q S or Q q S p L q S I
L L D D
donc Q I 
  

 
          
 
Phénomènes de diffusion: Exercice n° 16- (Solution suite)
-83-Chap: II
B) – La longueur de l’échantillon est finie, de dimension W.
La seule modification intervient sur les conditions aux limites de l’équation de
conservation. Elles deviennent:
L’annulation de l’excès de densité est due au contact Ohmique qui est recombinant.
Il s’en suit:
On a donc un système de deux équations à deux inconnues à résoudre. Cela donne:
00 (0)
( ) 0
en x p p g
en x W p W
    
 
/ /
0p pW L W L
A B p
Ae Be

  
 
/ / /
/ /
/ /
1
0
1 1
2
p p p
p p
p p
W L W L W L
W L W L
W L W L
p
p
e e e
A p p
We e sh
Le e



    

/ / /
/ /
/ /
1
0
1 1
2
p p p
p p
p p
W L W L W L
W L W L
W L W L
p
p
e e e
B p p
We e sh
Le e




    

Phénomènes de diffusion: Exercice n° 16- (Solution suite)
-84-Chap: II
B) En reportant, on obtient.
C’est la solution générale du système.
On pourra vérifier que le passage à la limite x →infini nous ramène à la solution en
exponentielle.
La densité de courant peut donc se déduire de la loi de distribution des porteurs.
Pour la vitesse de diffusion des porteurs, on aura:
( )
2
p p
W x W x
L L p
p p
W x
sh
Lp
p x e e p
W W
sh sh
L L
 


 
    
 
 
( )
p p
p x p
p
p
p p
W x
sh
L qD pd W x
J qD p ch
W Wdx Lsh L sh
L L
 
       
 
 
 
( ) ( )
p
p x D
p
p
p
qD p W x
J qp x v ch
W LL sh
L
 
  
Phénomènes de diffusion: Exercice n° 16- (Solution suite)
-85-Chap: II
B) qui donne:
La proximité du contact ohmique se traduit donc par une accélération des porteurs. La vitesse tend
théoriquement vers l’infini. En réalité, la limitation physique correspond à la vitesse thermique qui vaut
sensiblement 107 cm/s à 300 °K.
La quantité d’électricité emmagasinée s’exprime par:
Ces expressions sont relativement compliquées mais vont généralement se simplifier dans les cas
pratiques.
Dans le cas de l’exercice, W = 1m. Dans toutes les expressions précédentes, on remarque des termes
faisant intervenir des fonctions du rapport W/Lp. Ce terme intervient sous forme de sinus ou de cosinus
hyperboliques.
Dès que ce rapport sera inférieur à 1/3, on pourra simplifier. En effet:
pour  << , sh  →; ch →1 + 2/2 … etc.
Par exemple; sh(1/3) = 0,339. On considèrera donc que dès que le rapport W/L est inférieur à 1/3 on peut
linéariser les relations en utilisant les développements limités des fonctions correspondantes
( )
coth
( )
p x p p p
D
p p p
p
W x
ch
J D L D W x
v
W xqp x L L Lsh
L


  

0 0
¨0
( ) 1
W
W W p p p
p
p
p p p
W x W x
sh ch
L L qS pL W
Q qS p x dx qS p dx qS pL ch
W W W Lsh sh sh
L L L
  
   
          
    
 
 
 
Phénomènes de diffusion: Exercice n° 16- (Solution suite)
-86-Chap: II
B) W = 1 mm; W/L = 1:10,8 = 0,0926 <<1/3.
Compte tenu de ce qui précède, on peut donc linéariser les équations. On obtient donc:
Pour la distribution des porteurs La distribution est donc linéaire.
Le courant, qui est la dérivée de la distribution , sera donc constant (les porteurs injectés seront récupérés
au niveau du contact!)
On peut en effet se contenter d’un développement limité au 1er ordre pour le cosinus hyperbolique qui tend
donc vers 1 alors que dans le cas du calcul de la charge ou intervient un terme en 1-ch, on prendra le
développement au second ordre.
On peut remarquer que par rapport à la distance infinie, on a remplacé dans l’expression du courant, la
longueur de diffusion par la dimension du barreau. Cette dernière étant beaucoup plus petite que la
longueur de diffusion et intervenant en dénominateur d’une fraction fait que le courant devient plus
important. De plus, il est indépendant de la distance.
( ) 1
p
p
W x
sh
L x
p x p p
W x Wsh
L

 
       
2
( ) 2
2
2
1
2
1
2
p p p
p x p
p p
p p
p p p
p p
p
W x
sh
L qD p qD pd W x W
J qD p ch
W W Wdx L Lsh L sh L
L L L
qD p qD pW
W L W
 
               
 
 
  
    
 
Phénomènes de diffusion: Exercice n° 16- (Solution suite)
-87-Chap: II
B) En ce qui concerne la vitesse de diffusion, on a:
On remarque le phénomène d’accélération du au contact (sana oublier la limitation due à la vitesse
thermique).
Pour le calcul de la charge stockée, il vient:
On peut donc remarquer que pour passer de l’espace infini au barreau court, il suffit de remplacer Lp par W
sauf dans le cas de la charge stockée ou apparaît un facteur 1:2. Ce facteur provient du développement
limité au « second ordre »
( ) 1
coth
( ) 1
p x p p p p
D
p p p
p
p
J D D D DW x W x
v ch
W xqp x L L L W W xL sh
L W
 
    

2
2
1 1 1
2 2
p p
p p
p p
qS pL qS pLW W qS pW
Q ch
W WL Lsh
L L
      
                    
Phénomènes de diffusion: Exercice n° 16- (Solution suite)
-88-Chap: II
B) Comme dans le cas du barreau infini, on peut écrire la charge comme étant le produit d’un courant par
un temps. Il s’en suit:
Le terme qui apparaît s’exprime en secondes. Il s’agit du « temps de transit » entre le plan d’injection
et le contact.
Applications Numériques.
Densité de courant:
Vitesse de diffusion (en x = 0)
Charge stockée:
Ce cas particulier est celui que l’on retrouvera dans tous les composants actifs du type
bipolaire: Diodes à jonction et transistors bipolaires.
2 2
2 2 2
p p
p p p
p p
qD p qD pqS pW W W
Q or I J S S donc Q S I
W W D D
 
     
2
2 p
W
D
( ) 2
187.16
p
p x
qD p A
J
W cm

 
2
0.08
2
qS pW Q pCb
Q
S cm

  
0
260
p p
D
en x
D D cm
v
W x W s
 
   
  
Phénomènes de diffusion: Exercice n° 16- (Solution suite)
Génération et Recombinaison
des porteurs de charges 2-2
Un semi-conducteur est dit à l’équilibre thermodynamique si
sa température est constante, s’il est homogène et si les
densités de porteurs obéissent à la loi d’action de masse:
Lorsqu’on perturbe cet équilibre , on peut définir
deux cas:
- Extraction de porteurs:
- Injection de porteurs:
Le deuxième cas est le plus fréquent. L’injection peut se faire
de différentes manières:
-Élévation de température,
-Utilisation d’un rayonnement ionisant,
-Injection à partir d’une électrode.
2
00 inpn 
2
inp n
2
inp n
2
inp n
-90-
Injection ou extraction de porteurs, durée de vie
Chap: II
On désignera par n et p les densités de porteurs en excès. Les
densités totales pour un matériau hors d’équilibre s’écriront alors:
On peut classer les phénomènes d’injection en deux catégories suivant la
valeur de la densité des porteurs injectés par rapport à la densité des
porteurs majoritaires dans le matériau.
-Faible niveau d’injection si la densité des porteurs
injectés est faible par rapport à celle des majoritaires,
-Fort niveau d’injection si elle devient du même ordre de
grandeur.
0 0n n n et p p p     
-91-
Injection ou extraction de porteurs, durée de vie
Chap: II
n n pour type N
p p pour type P
 
 
n n pour type N
p p pour type P
 
 
Dans un matériau semi-conducteur, les densités de
porteurs existant dans les bandes sont le résultat de
deux mécanismes permanents d’échange entre elles. Il
s’agit de la Génération et de la Recombinaison.
-92-
Phénomènes de génération recombinaison
Chap: II
Les porteurs créés passent de la bande de valence vers celle de conduction
puis effectuent le chemin inverse en se recombinant. Il existe donc un flot
permanent de porteurs allant de la bande de valence vers la bande de
conduction et vice et versa.
Les phénomènes de génération et de recombinaison sont illustrés ci-contre.
A l’équilibre thermodynamique, les densités étant constantes, on peut en
déduire que la génération et la recombinaison sont égales: g0 = r0.
-Si g > r, on a augmentation de la densité des porteurs, c’est à dire
injection.
-Si g < r, on a une diminution de la densité des porteurs, c’est à
dire extraction.
Ces mécanismes d’écart par rapport à l’équilibre s’effectuent avec une
constante de temps  appelée durée de vie des porteurs.
fon
fon
hn>Eg
- e
- e
+ h
+ h
Génération
thermalisation
hn ~ Eg
recombinaison
Semiconducteurs hors équilibre thermodynamique
Génération des porteurs
gSi h En 
gSi h En 

Pas de création de paire
électron /trou

Possibilité de création de
paire électron /trou
L’énergie sera
perdue par relaxation des
porteurs (thermalisation)
gh En 
Soit un photon tq:
-93-Chap: II
A Noter la relation parabolique entre l'énergie et de le vecteur d’onde
Pour les trous, qui sont censés être à charge positive, la relation est inversée
Semiconducteurs à gap directe et
indirecte: Concept de l'espace k-2
Dans l‘espace d’énergie –moment
(E-k)
Gap Directe Gap indirecte
k = moment du phonon
E= énergie phononMoment
Energie
2 2
*
2
C
C
k
E E
m
 
-94-
Moment
Energie
2 2
*
2
V
V
k
E E
m
 
Chap: II
Phonon
 Les atomes vibrent autour de leur position moyenne à une
température finie. Ces vibrations produisent des ondes
vibratoires à l'intérieur du cristal.
 Les Phonons sont les quanta de ces ondes vibratoires. Les
Phonons se déplacent avec une vitesse égale à la vitesse du
son.
 Leur longueur d'onde est déterminée par la constante de réseau
cristallin. Phonons ne peut exister qu’à l'intérieur du cristal.
 La transition qui implique des phonons sans produire des photons
sont appelés transitions non radiatives.
 Ces transitions sont observées dans les semiconducteurs à bande
interdite indirecte.
 Ainsi, afin d'avoir LED et laser efficaces, il faut choisir des
matériaux ayant des bandes interdites directes telles que le
composé S / C de GaAs, AlGaAs, etc
-95-Chap: II
Pour un semiconducteur de structure de
bande directe
Sous l’effet de hn l’électron va gagner
cette énergie et va monter dans la bande de
conduction
puis descendre en perdant a chaque
fois un phonon
Conservation de l’énergie:
2 2 2 2
* *
( ) ( )
2 2
f i g f C V i
g
C V
E E E E E E E
k k
E
m m
     
  
Conservation de la quantité de mouvement:
f i photon ik k k k k   
E
Eg=1.46eV
Pour GaAs
B.V
.
B.C
-
kx
hn
Ef,kf
Ei,ki
Car le photon n’a pas de quantité
de mouvement importante
-96-Chap: II
Pour un semiconducteur de structure de
bande indirecte
Les transitions sont indirectes:
La quantité de mouvement n’est pas
conservée. On a besoin d’un phonon
Conservation de l’énergie:
si: Ef - Ei = hn + Eq (absorption de phonon)
si: Ef - Ei = hn - Eq (émission de phonon)
E
Eg
B.V
.
B.C
kx
hn
Ef,kf
Ei,ki
Δk
k
Eq
Eg=1.12eV
Pour Si
f ik k k  
Eq: énergie de
phonon
Eq: énergie de phonon
Eq= hnq
Conservation de la quantité de mouvement
f i photon i photonkk k k negligeaq q bk le    
-97-Chap: II
Tout le spectre électromagnétique
0 1 2 3 4 5 6
Eg (eV)
 (m) 1 0.8 0.6 0.4 0.3 0.22357
InS
b
Ge Si CdS
e
InN GaAs GaP
Cd
S
SiC
GaN
ZnS AlGaN AlN
Yellow
Red
Green
Blue
Violet
Infrared UltravioletVisible
 
 m
eVE

24.1

-98-Chap: II
Coefficient absorption
La dépendance d'énergie de photon du
coefficient absorption est exprimée
par le terme
1/2
1/2
( )
( ) .
( ) *( ) .
g
g
h E
h A trans directe
h
h B h E trans indirecte
n
 n
n
 n n


 
Le coefficient absorption augmente avec la racine carrée de l'énergie de
photon et le début de l'absorption est au gap
A et B* sont différent
Supposons : A = B* = 104; ils peuvent différer par ~ 5x102 (Ge / GaAs) mais
même si on les prend égaux, Des différences notables ont lieu.
Notons : pour hn grand , des transitions interbande peuvent aussi avoir lieu
dans des semiconducteurs à gap indirects.
Relation entre  et intensité de la lumière I (Loi de Baer-Lambert) :
I0 : Intensité de la lumière incidente
x : distance de la surface0
x
I I e  

-99-Chap: II
Pour un semiconducteur à base de Silicium de type N à l’équilibre
thermodynamique:
nn0=1016 cm-3 ≈ ND ; pn0=104 cm-3 ,
AM1: Aire masse 1 ; c’est l’énergie solaire à midi
AM1 F ≈ 1017 photons /cm2/s. hn>Eg
1-Quel est le taux des porteurs photogénérés?
2- Quel est le nombre des porteurs ainsi créés ?
-100-Chap: II
Exercice 17
100 s pour le Si 
Excitation lumineuse  génération de paires électrons-
trous (cas d’un semi-conducteur type n).
Soit G le taux des porteurs photogénérés:
19 3 1
10
1/
F
G F cm s

 
  
1- En 1ére approximation les photons sont absorbés dans une
épaisseur de 1/
Pout le Silicium  = 102 cm-1
c’est l’épaisseur du silicium ou de la lumière est absorbée
-101-Chap: II
Solution de l’exercice 17
1
100 m


0
0
n n
n n
n n n
p p p
  
  
Les porteurs ainsi créés ont une durée de vie: 100 s pour le Si 
19 4 15 3
10 10 10n p G cm  
     
0
0
16 15 16 3
4 15 15 3
10 10 10
10 10 10
n n
n n
n
n n n cm
p p p cm
p p


     
     
 
Comme pn<nn0 on est en faible injection
A 100 soleils: Δn= Δp= 1017cm-3 > nno  Forte injection
-102-Chap: II
Solution de l’exercice 17 suite
2-
-103-Chap: II
Exercices
Exercice n° 18- Déterminer la longueur d’onde maximale permettant de
générer une paire électron-trou dans du silicium. Même chose pour le
Germanium et l’Arséniure de Gallium. Conclusions.
Exercice n° 19- On considère le barreau de silicium représenté sur la figure
ci contre;
Les caractéristiques du matériau sont les suivantes:
•Silicium type P (dopage: NA = 1015 cm-3)
•Longueur du barreau: 1 cm; section 4 10-2 cm2.
•Durée de vie des porteurs:  = 10-5 s
•On donne pour le silicium: ni = 1,6 1010 cm-3.
1- On applique entre les bornes de ce barreau une tension de 10 V. Calculer
le courant qui circule dans cette structure.
2- On éclaire ce barreau de silicium avec une radiation de longueur d’onde
telle que la vitesse de génération des porteurs soit constante dans tout le
volume du matériau. Cette vitesse de génération vaut: g= 1017 cm-3.s-1.
Déterminer la variation relative de la résistance du barreau sous éclairement.
Exercice n° 20- On considère un barreau de semi-conducteur homogène type N
(dopage ND = 1015 cm-3. ) d’épaisseur W, dont on éclaire la face avant avec une
radiation de courte longueur d’onde.
La génération suit une loi de la forme :
 est une constante fonction
de  et s’exprime en cm-1.
En se plaçant dans le cas de l’hypothèse de faible injection, montrer que , le système
étant isolé, il apparaît entre les deux faces du semi-conducteur une différence de
potentiel que l’on calculera.
A.N:  = 0.1 cm-1 , W = 100 mm .
-104-Chap: II
Exercices
0
x
g g e

-105-Chap: II
Injection de porteurs, variation de résistance (Solution).
Exercice n° 18- Pour générer une paire électron-trou dans un matériau semi-conducteur, il faut que
l’énergie du rayonnement soit supérieure ou
égale à la largeur de la bande interdite, soit: E ≥EG
Or, l’énergie transportée par un rayonnement s’exprime par la relation:
L’énergie étant inversement proportionnelle à la longueur d’onde, l’énergie minimum correspondra à
la longueur d’onde maximum permettant de générer des porteurs. La relation s’écrira donc:
Applications numériques.
Le tableau des constantes donne: h = 4,14 10-15 eV/s; c = 3 108 m/s;
Silicium: EG = 1,12 eV max = 1,1 m (c’est le proche infra rouge)
Germanium: EG = 0,67 eV max = 1,85 m (c’est l’ infra rouge)
As Ga: EG = 1,4 eV max = 0,88 m (c’est le rouge foncé)
On peut remarquer que pour les trois matériaux, le rayonnement visible sera efficace et que les
rayonnements de grande longueur d’onde ne seront pas arrêtés par ces matériaux. La longueur
d’onde maximum correspond au « seuil de transparence ».
Plus le rayonnement sera de courte longueur d’onde, plus son énergie sera importante et plus la
génération sera localisée au voisinage de la surface. Cette dernière obéira a une loi de la forme:
Le coefficient  est fonction de la longueur d’onde. Il vaut 0 pour max
c
E h hn

 
max
max
G
G
c c
h E h
E


  
0
x
g g e

-106-Chap: II
Injection de porteurs, variation de résistance (Solution).
La valeur du courant va se déduire de la loi d’Ohm: V = R×I. On peut donc calculer
la résistance du barreau qui s’écrit:
En remplaçant par les valeurs, on obtient:
Le courant vaut donc:
V L
R
I S

 
1
( )n p
avec
q n p

 


2
2
1
( )
i
A
iA
n p
A
n
Or p N et n
nN
q p
N

 
   

20 2
19 14
14
1 1
332
2.56 10 4 10
1.6 10 ( 1390 10 470)
10
R 

   
 
  
210
3 10
332
V
I A
R

   
-107-Chap: II
Injection de porteurs, variation de résistance (Solution).
Sous éclairement, il y aura génération de paires électrons-trous. La variation de
résistance va donc dépendre de la variation de la densité des porteurs. En effet, on
peut écrire:
Il faut donc calculer la conductivité en obscurité et sous éclairement.
 En obscurité, la conductivité (ou la résistivité) ne dépendent que des
porteurs majoritaires (équilibre thermodynamique).
 Sous éclairement, les conditions d’équilibre ne sont plus réalisées. Il faut
donc faire attention.
Les densités de porteurs sous éclairement s’écrivent:
1R R
or
R R
 

  
   
    
2
0 0
i
A
A
n
p p p N p et n n n n de plus n p g
N
               
 
0 0
2
( )
( )
( )
obscurité n p A p
i
éclairement n p n A p
A
A p n p
Donc q n p qN
n
et q n p q n N p
N
qN q n p
   
    
  
  
  
          
  
    
-108-Chap: II
Injection de porteurs, variation de résistance (Solution).
Si à l’équilibre thermodynamique seuls les majoritaires interviennent, la
variation est due aux deux types de porteurs. On remarque en effet que c’est
la somme des mobilités qui est à prendre en compte.
3
( ) ( )
: 3.95 10
n p n p
A p A p
q n p g
qN N
R
AN
R
    
  



   
 
 
   
-109-Chap: II
Injection de porteurs, variation de résistance (Solution).
Exercice n° 19- La génération de porteurs sur la face avant va créer un excès de
densité de porteurs. Le fait d’utiliser une radiation de faible longueur d’onde (bleu ou
Ultra violet), génère des porteurs de manière locale. Le taux de génération va varier
avec la distance par rapport à la face avant. La densité des porteurs excédentaires va
décroître de façon exponentielle avec la distance.
Dans le cas d’une hypothèse de faible injection, on peut considérer que seuls les
minoritaires seront perturbés.
Le gradient de concentration qui apparaît entre les deux
faces du semi-conducteur va créer un phénomène de
diffusion d’ou un courant associé. Ce courant s’écrit:
La structure étant isolée, le courant total est donc nul. Il existe donc un phénomène
antagoniste qui compense la diffusion. Ce phénomène correspondra à un courant
de conduction qui va s’opposer à la diffusion.
0
,
0
( )( ) x
p diff p p
x
p
d g ed p x
J qD qD
dx dx
qD g e



 


 
   

-110-Chap: II
Injection de porteurs, variation de résistance (Solution).
L’existence d’un courant de conduction est liée à l’apparition d’un champ électrique.
Ce courant s’exprime par une relation du type:
Les deux termes se compensant, on peut écrire:
, 0
0
( ) ( )
( )
x
p derive p
x
p
J x v q g e E
V
q g e
W


  
 


     
   
, , 0 0( ) ( )x x
p derive p diff p p
V
J J q g e qD g e
W
 
    
   
p p
V
D
W
 D’ou:
Soit; Cette tension fait apparaître un + sur la face avant .TV U W
1n
p
p
div J G R
t q

  

 En régime permanent 0np
t



Si il n y a pas de conduction de courant:
1
0pdiv J
q

G RDonc :
 En équilibre thermodynamique th thG R
G – taux de génération : nombre de paires électron-trou créé / cm3 /s
R – taux de recombinaison: nombre de paires électron-trou annihilé / cm3 /s
Une paires électron-trou est annihilé si un électron transite de la BC vers la BV
Durée de vie des porteurs
-111-Chap: II
 Hors d’équilibre: On crée GL électrons/trous par la lumière
1n
p L th
p
div J G G R
t q

   

R n p  avec
En régime permanent et pas de courant électrique:
L thG R G   U Taux net de recombinaison
1n
p
p
div J G U
t q

  

On écrit donc:
Génération et recombinaison
autre que thermique
Origine
externe
-112-Chap: II
0 0
16 4
19 3 1 16 3 5 3
10 ; 2 10 ;
10 ; 10 ; 10
n n
L n n
n p
G cm s n cm p cm   
  
  
A l’équilibre thermodynamique:
0 0
2
0n n i thn p n et U 
Hors d’équilibre thermodynamique:
0 0
0 0n n n nn p n p et U  
0 0
( )L n n n nU G n p n p  
 Exemple
Pour un semiconducteur type n
0
0 0
0
( )
1 1
n n
n n n
p p
p
n D
p p p
U n p p
avec
n N

 

 
 
    
 
  est la duréedeviedes porteurs minoritairesp
-113-Chap: II
Porteurs photoexcités
 Soit un semiconducteur type n sous illumination
hn
 Si à l’instant t=0, on coupe l’excitation lumineuse alors on peut écrire :
n
L
p
G G U
t

   

U
0n n p Lp p G 
 Si à l’instant t> 0, on peut écrire :
0
0
( ) ( )
; (0)p
n nn
p
n n
p
t
L p
p pp
U
t
p p p p
t t
p A e p A G






   

    
  
 
     
0
/
( ) pt
n n p Lp t p G e



 
-114-Chap: II
Injection par une face
 Excitation lumineuse sur une face de l’échantillon de longueur infinie 
génération de paires électrons-trous (cas d’un semi-conducteur type n avec les
conditions E=0).
 Création de paires électrons-trous à la surface uniquement : pour hn=3,5 eV, le
coefficient d’absorption (Ge, Si ou GaAs) est de 106 cm-1 i.e l’intensité lumineuse
décroît de 1/e en 10 nm !
 Solution à l’équilibre :
 Lp=(Dpp)1/2 est la longueur de diffusion qui peut
atteindre 1 cm dans le silicium et le germanium
mais n’excède pas 10-2 cm dans l’arséniure de
gallium.
0
2
2
0
n nn n
p
p
p pp p
D
t x 
 
  
 
0
0 0
/( )
( ) (0)
( 0) (0)
px Ln n
n n n n
n n
p x p
p x p p p e
p x p Cte
   
         
-115-Chap: II
 Excitation lumineuse sur une face de l’échantillon de longueur W  génération de
paires électrons-trous (cas d’un semi-conducteur type n avec les conditions E=0).
 Création de paires électrons-trous à la surface uniquement : pour hn=3,5 eV, le
coefficient d’absorption (Ge, Si ou GaAs) est de 106 cm-1 i.e l’intensité lumineuse décroît
de 1/e en 10 nm !
 Solution à l’équilibre :
 Densité de courant de diffusion en x=W :
Relation
importante dans le
cadre du
transistor
0
2
2
0
n nn n
p
p
p pp p
D
t x 
 
  
 
0
0 0
0
( ) sinh( )/
( ) (0)
( 0) (0) sinh( )/
n n p
n n n n
n n p
p x W p W x L
p x p p p
p x p Cte W L
  
         
0
1
' ( ) (0)
sinh /
pn
p p n n
x W p p
Dp
j x qD q p p
x L W L
 
      
-116-Chap: II
EC
EV
hn~Eg
+ h
- e
radiatif Auger
+ h
- e
- E~Eg
+ h
- e
par pièges
ET
recombinaison linéaire
recombinaison quadratique

n
R


 2
nR  
recombinaison cubique (Auger)
 3
nR  
Les mécanismes de recombinaison qui ont tendance à
ramener le système à son équilibre initial
Génération et recombinaison
Chap: II
Génération et recombinaison
E
x
EC
EV
Génération
thermique
Recombinaison
thermique
Génération
radiative
Recombinaison
radiative
-118-Chap: II
Les processus de recombinaison les plus
importants
-119-
Chap: II
EC
EV
EC
EV
Recombinaison
directe
h n Eg
Recombinaison radiative Recombinaison non radiative
phonons
Recombinaison
indirecte
Par pièges
k
 Recombinaison par transitions radiative
Recombinaison par transition
directe
0 0
0 0 0
0 0 0 0
0 0
, ,
( )
(( )( ) )
( )
R
n n n p p p
avec n p
R np U R R np n p
U n n p p n p
p
U p n p p
 



     
  
     
     

     
Cette recombinaison radiative est
efficace dans les semiconducteurs
à structure de bande directeIII-V
( GaAs,…)
On les utilise pour les Diodes
électroluminescentes et les Laser à
semiconducteurs.
0 0
1
( )
R
n p p



  
x
génération
radiative
recombinaison
radiative
E
EC
EV
-120-Chap: II
En cas de faible injection:
0 0
1
( )
R
n p




Semiconducteur intrinsèque:
1
2
R
in



Semiconducteur type n:
Semiconducteur type p:
1
R
DN



1
R
AN



0 0
1
( )
R
n p p



  
-121-Chap: II
 Recombinaison Auger
Eg
k
e1
e2
h
e2
’
Egap
Ee1
BC
BV
e1
e2
e2
e1
L’électron e1 passe de la BC
vers la BV et disparaît.
L’électron e2 gagne Ef-Ei =Eg.
(a) (b)
Plus probable dans les
semiconducteur type n
fortement dopés
distance entre électrons
très petite
Plus probable dans les
semiconducteur type p
fortement dopés
distance entre trous
très petite
-122-Chap: II
Conservation de l’énergie et de la quantité de mouvement
'1 22
E +E E E Egap e h ee
  
1 2' 2e h e ek k k k  
Energie de seuil
 
2
E ~ 1.1-1.2 Ec hh
T gap gap
c hh
m m
E
m m



1 2
E +E E E Egap e h e T  
2
( )/ (1.1 1.2) /
2
~ ~g T B g BE E k T E k T
c v
dn dp n p
e e
dt dt N N
   

Pour une forte densité d’excitation n~p
3dn dp
Cn
dt dt
 
-123-Chap: II
2 2 2 2
0 0 0 0 0
0
;R n p np R n p n p
U R R
      
 
Pour un semiconducteur type n:
2 2 2 2
0 0 0 0
2 2
2
2 2
( ) ( )
( )
1 1
A
D
A A
U n p p n p n p p np
U n p n p
p
U p n np
n np N
 
 
 

  
 
             
   

   
   
Pour un semiconducteur type p:
2 21 1
A
A A
p np N  
 
   
La recombinaison Auger domine au dopage fort ou injection très forte
-124-Chap: II
 Recombinaison par pièges
 Les recombinaison par pièges sont liés aux défauts du cristal.
 Ce sont les impuretés qui entraînent l’existence de centres de
recombinaison..
 Il existe toujours des impuretés chimiques dans un cristal réel,
constituées d’atomes autres que ceux du semiconducteur considéré (S,
Au, Cu, Ag, Fe, ..).
 Ces impuretés induisent des niveaux d’énergie supplémentaires situés
dans la bande interdite du semiconducteur et qui sont appelés centres
de recombinaison
 Ces niveaux peuvent se comporter comme des centres accepteurs ou
donneur d’électrons.
 Ces niveaux mettent en jeu des énergie plus faibles que celles
correspondant à une transition bande-à-bande.
 Les recombinaisons SRH (Shockley, Read, Hall) sont décrites par
quatre processus: capture d’un électron, émission d’un électron,
capture d’un trou, émission d’un trou.
-125-Chap: II
Niveaux d’énergie dans la Bande interdite
ET
EV
EC
Représentation
Schématique de la
recombinaison par piège
Signe - indique accepteurs
Signe + indique donneurs
-126-Chap: II
Recombinaison indirecte (SHR)
E
x
EC
EV
capture
électron
émission
électron
capture
trou
émission
trou
Centre de
recombinaison
(trap)
ET
SHR = Shockley-Hall-Read
-127-Chap: II
Probabilité d’occupation d’un niveau piège:
1
( )
1 exp
t t
t F
f E
E E
kT

 
   
rn: taux de capture d’un électron  Taux de recombinaison
rp: taux de capture de trous
gn: taux de génération d’électrons: émission
gp: taux d’émission de trou
en: probabilité d’émission d’électron
ep: probabilité d’émission de trou
Cn: Probabilité de capture 
σn: section de capture:surface à l’intérieur de laquelle les porteurs
sont capturés
Nt: densité volumique des pièges  Ntft = nombre des électrons piégés
(1-ft): probabilité d’avoir des pièges vides
Cn th nv  
.
Quelque définitions
-128-Chap: II
Et EtEt Et
Avant Après Avant Après
Capture
Capture d’électron Capture de trou
15 2
(1 )
(1 )
10
n n n t t
n t t
n
r v n N f
C n N f
cm

 
    
    
 15 2
10
p p p t t
p t t
p
r v p N f
C p N f
cm

 
   
   

-129-Chap: II
Et EtEt Et
Avant Après Avant Après
Emission
Emission d’électron Emission de trou
n n t tg e N f   (1 )p p t tg e N f  
-130-Chap: II
Et Et=
(1 )
n n
n t t n t t
r g
C N f n e N f

 
exp expt F F
n n c
E E E E
e C N
kT kT
    
      
exp F
c
E E
n N
kT
 
   
 1 /n n t te C n f f 
 1 / exp t F
t t
E E
f f
kT
 
    
Taux net de recombinaison à l’équilibre
thermodynamique
Si Et≈ Ei  émission =capture  cas très dangereux
Si Et>>Ei  émission prédominante  pièges vides
exp i t
n n i
E E
e C n
kT
 
   
-131-Chap: II
exp expt F F V
p p v
E E E E
e C N
kT kT
    
        
exp F V
v
E E
p N
kT
 
   
1
t
p p
t
f
e C p
f


 / 1 exp t F
t t
E E
f f
kT
 
    
(1 )
p p
p t t p t t
r g
C N f p e N f

 
Taux net d’émission à l’équilibre
thermodynamique
Et Et=
Si Et<<Ei  Et≈EV émission des trous et prédominante
 pièges remplis
exp t i
p p i
E E
e C n
kT
 
   
-132-Chap: II
[1 ]n n n n t t n t tU r g C N f n e N f    
Un= Taux net de recombinaison
des électrons
(1 )p p p p t t n t tU r g C N f p e N f    
Hors d’équilibre thermodynamique
Et Et=
Un= Taux net de recombinaison
des trousEt Et=
-133-Chap: II
(1 ) [1 ]
[ ]
p n
p t t P t t n t t n t t
n P t n n p p
U U U
C N f p e N f C N f n e N f
C n e f nC e pC e
 
    
    
n P
t
n n p p
C n e
f
nC e pC e


  
1
p n
t
n n p p
C p e
f
nC e pC e

 
  
Si Et < EV + 0.2V  ep très grand  ft ≈1 et 1- ft ≈0
Si Et > EV + 0.2V  en très grand  1- ft ≈0 et ft ≈1
Se sont les pièges profonds qui sont les plus dangereux
-134-Chap: II
2
2
( )
( )
e e
t i t i
n p i t
n n p p
n p i t
E E E E
kT kT
n i p i
C C np n N
U
C n e C p e
C C np n N
C n n C p n
 
 


  


   
     
   
2
( )
2 cos
i
t
t i
i
np n
U CN
E E
n p n h
kT


 
   
 
15 2
10n p n pcm C C C   
     Approximation:
-135-Chap: II
Cas de faible injection
2
( )n p i t
n p
n n p p
C C np n N
U U
C n e C p e

 
  
2
0 0 0 0; ; in n n p p p n p n     
0 0( )n p t
n p
n n p p
C C N n p p n
U U
C n e C p e
 
 
  
Semiconducteur intrinsèque en faible injection
(important dans les jonctions p-n)
0 0; in p n p n   
2
2
1 '/ 1 / '( ') ( / ')
2 2
n p t i
i in i p i i r
p t n t
C C N n n n n
R
n n n nC n n C n n n
C N C N
  

  
    
Temps de
Recombinaison
1 '/ 1 / '
2 2
i i
r
p t n t
n n n n
C N C N

 
 
: '
i tE E
kT
iposons n n e



-136-Chap: II
Pièges au milieu du gap
   
1 '/ 1 / ' 1 1
1 '/ 1 / '
2 2 2 2
i i
r i p i n
p t n t
n n n n
n n n n
C N C N
  
 
     minimise
1/ ; 1/n p p t p p p tv N v N    
 
1/2 1/2
1/2 1/2
'1 1 1 1
( ) '/ / ' ( )
2 2 2 2 '
p n i
r p n p i n i p n p n
n i p
n n
n n n n
n n
 
        
 
 
         
 
Le minimum à lieu si
1/ 2 1/ 2
1/ 2 1/ 2
'
1
'
p n i
n i p
n n
n n
 
 
 
2
,min
1 1
( )
2 2
r p n p n p n             , ,min ,si 2n p n p r n p      
' exp g t
c
E E
n N
kT
 
  
 
exp g i
i c
E E
n N
kT
 
  
 
'
exp t i
i
n E E
n kT
 
   
La recombinaison la plus rapide:
, ln ln ;
2 2
pn
t opt i i
p n
CkT kT
E E E
C


   
-137-Chap: II
Importance des pièges au milieu du gap
1/2 1/2
1/2 1/2
'1 1 1 '
( ) 1
2 2 ' 2 '
p n i i
r p n p n n
n i p i
n n n n
n n n n
 
     
 
    
           
   
r n 
'
exp t i
i B
n E E
n k T
 
  
 
( ) 1 cosh t i
r t n
B
E E
E
k T
 
  
   
  
(Et-Ei)/kBT
r/n
Taux de recombinaison
Relatif(n/r)
(Et-Ei)/kBT
-138-Chap: II
Recombinaison au milieu du gap
  
 
2
2
/ ' /'
( )
( ') ( ') ( ') / ( / ')
i n pn p
t t
n p n p i
n n nC n p C
f E
C n n C p p n n p n n
 
 

 
     
1/2 1/2
1/2 1/2
'
1
'
p n i
n i p
n n
n n
 
 
 
 
   
 
   
' '
' '
/ /
( )
/ [ ' / ] / [ ' / ]
n p n p
F t
n p n p n p n p
n n n n
f E
n n n p n n n n
   
       
 
 
     
Pour
1
~ ( ) ~
2
n p F tf E 
Et
Pièges effectifs Ei
Taux de recombinaison
: '
i tE E
kT
iposons p n e


-139-Chap: II
Semiconducteur fortement dopé
0 0
0 0
( )
( ') ( ')
n p t
n p
n p
C C N n p p n
R R
C n n C p p
 
 
  
p t
p
p
R C N p



 Type-n:
'
0 0,n p n
Type-p
'
0 0,p n p n t
n
n
R C N n



 
Les taux de recombinaison sont déterminés par les porteurs minoritaires.
-140-
Taux de génération dans les processus
d'absorption optique
 = coefficient
d'absorption
F0
FR
FT
0F
F
 R
R
x
T eR=x 
FF )1()( 0
x
F(x) F(x+dx)
S
dx
photons absorbés en dV=Sdxporteurs générés en dV=Sdx
  dxeRSSddxxxSdN x
 
FFFF )1()()( 0
dxxSdN )(F 
)()( x
Sdx
dN
dV
dN
xGG F
Génération et recombinaison
Diffusion, relation d’Einstein
Le phénomène de diffusion est un phénomène général en physique. Il apparaît
dès qu’il existe une différence de concentration entre deux zones, les particules
se déplaçant des zones à forte concentration vers les zones à faible
concentration. Ce phénomène crée un flux de diffusion qui, dans le cas de
particules chargées donnera naissance à un courant électrique.
( )C x
I
x

 

Diffusion de porteurs dans un semi conducteur.
Considérons un semi-conducteur dans lequel la
densité des électrons varie comme le montre la
figure ci contre (il en serait de même avec les
trous). Nous nous placerons dans l’hypothèse
d’un modèle unidimensionnel dans lequel nous
considèrerons que les électrons se déplacent
uniquement suivant l’axe des X.
Les électrons seront considérés comme étant
monocinétiques et le temps mis pour parcourir la
distance l sera très petit par rapport à leur durée de
vie.
-142-Chap: II
Diffusion, relation d’Einstein
La variation de concentration va créer un flux de particules F dirigé vers les x croissants
1 2
1 22 2( )
2
N N
N N
F x
 


 
Soit N1 le nombre de particules comprises
entre x0 –l et x0 et N2 le nombre entre x0 et
x0 +l à l’instant t=0. A un instant t=t0 (t>t0),
on
peut considérer que statistiquement, N1 /2
particules ont leur vitesse dirigée vers la
droite, de même, N2 /2 ont leur vitesse
dirigée vers
la gauche. Le flux qui en résulte pendant le
temps  nécessaire pour parcourir la
distance l vaut:
1 0 2 0
1 2
2 2
n n n n
Or N et N
 
 
2
1 2
( )
2 2 2 R
n n n
soit F x

  
   
  02 x
n dn
or
dx 
  
  
 
-143-Chap: II
Exercice
• Etude de la durée de vie
Considérons un matériau semi-conducteur (Silicium) dopé phosphore dans lequel existe un niveau
recombinant Er dont les caractéristiques sont:
Position par rapport à la bande de conduction Ec – Er = 0,375 eV
Densité d’états sur le niveau recombinant: Nr = 1013 cm-3
1°) – Ecrire l’expression de la durée de vie de Hall-Schokley-Read en fonction des deux variables qui
sont:
Tracer le diagramme de bandes correspondant.
2°) – Donner l’expression de la durée de vie dans les différents cas suivants:
AN: n = 10-15 cm2 ; p = 10–16 cm2 ; vth = 107 cm/s.
3°) – Que devient la durée de vie si le centre recombinant se situe au milieu de la bande interdite?
4°) – Vers quelle limite tendrait la durée de vie s’il n’y avait pas de centre recombinant?
5°) – Tracer les variations asymptotiques de la durée de vie en fonction de la position du niveau de
fermi et déterminer les valeurs correspondant aux intersections des asymptotes. Conclusions.
,I F I r
F r
E E E E
U U
kT kT
 
 
) , 0
) , 0
) 0
F r F
F r F
F
a U U U
b U U U
c U
 
 

Solution de l’éxercice
1°)-La durée de vie est donnée par l’expression de Hall-Schokley-Read qui s’écrit:
Avec
En reportant ces expressions dans la formule donnant la
durée de vie, on obtient:
Cette expression va se simplifier en fonction des valeurs relatives de UF et Ur.
Calcul de la valeur de Ur: à 300 °K, kT = 26 10-3eV, EG = 1,12 eV. Ur = (Ei-Er)/kT →Ur = - (0,56-0,375)/26
10-3 = -7.
2°) Le niveau de Fermi se trouve au dessous du niveau intrinsèque donc, le matériau est
de type P.
En reportant les valeurs numériques, on obtient: n = 100s; p = 10s.
Conclusion: pour un matériau de type P la durée de vie est celle des électrons (porteurs
minoritaires). =n = 100s
Solution de l’éxercice
Solution de l’éxercice
UF >>Ur , UF£ 0 Le niveau de Fermi se trouve au dessus du niveau intrinsèque donc, le matériau est de
type N.
Conclusion: pour un matériau de type N la durée de vie est celle des trous (porteurs minoritaires).
s p t =t = 10m
UF = 0 Le niveau de Fermi est confondu avec le niveau intrinsèque donc, le matériau est Intrinsèque.
- -
A.N: t =5,49ms
3°)-Si le centre recombinant se situe au milieu de la bande interdite, Ur = 0. Il s’en suit exp(Ur) =1
d’ou:
Plan Général
UF >>Ur , UF³ 0 et UF£ 0 rien ne change; t t pour un matériau N et pour un matériau P. p = t t n =
UF = 0 exp(UF) = 1 et comme exp(Ur) =1, il s’en suit: s
p n
t =t +t =110m
4°)-S’il n’y avait pas de centre recombinant, tout se passerait comme si ce centre se trouvait dans
une des
bandes permises; à la limite sur EC ou EV.
La valeur de Ur devient alors: Ur = EI – Er = EI – EC = - EG/(2kT).
Dans le cas d’un matériau intrinsèque (UF = 0), la durée de vie devient: s
Cela correspond environ à 3 heures et 8 minutes, ce qui est énorme et inconcevable. Ce type de
matériau, s’il existait, ne
présenterait quasiment aucun intérêt car son comportement fréquentiel serait fonction de l’inverse
de la durée de vie (10 –4 Hz!!!).
Solution de l’éxercice
Solution de l’éxercice
5°)- Tracé du diagramme donnant la variation de la durée de vie.
Pour Ur < UF < - (Ur+2,3), la
durée de vie varie quasi
linéairement.
Pour , la
durée de vie devient constante et
égale à tn.
Pour , la durée
de vie devient constante et égale à
tp.
Le terme –(Ur+2,3) est dû au fait
que les durées de vie du type N et
P sont dans un rapport 10. Or,
UF >>Ur , UF£ 0
UF >>Ur+2,3 , UF³ 0
Plan Général
UF
10
UF = Ur UF = - (Ur + 2,3)
Ln(10) = 2,3.
.
Pour UF = Ur = 0, on obtient la variation assymptôtique tracée en bleu
eJustification des points d’intersection des assymptôtes.
Pour Ur < UF < 0, la durée de vie peut se simplifier: . L’intersection des
assymptôtes a lieu pour: e UR UF
On justifie donc la courbe tracée ci-dessus.
Position du niveau de Fermi
A très basse température, les échanges se
font entre le niveau donneur (ou accepteur)
et la bande voisine. Le niveau de Fermi se
situe donc entre ces deux niveaux c’est-à
dire très près du niveau EC (ou EV). Le
niveau de Fermi peut donc se situer dans
toute la bande interdite ( contrairement au
matériau Intrinsèque ou il est au milieu). Sa
position se calcule à partir de l’équation de
neutralité qui s’écrit:
Cette équation n’a pas de solution analytique et se résout donc
numériquement. Elle est très complexe.
On peut avoir une idée du résultat en traçant les variations
asymptotiques des quatre termes de cette équation.
Ces différents termes, représentés en fonction de l’énergie, dans
la bande interdite, se coupent en un point qui correspond à la
position du niveau de Fermi (neutralité).
Pour ce, on considère que la somme de deux logarithmes est le
logarithme du plus grand.

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  • 2. 2 LE SEMICONDUCTEUR HORS ÉQUILIBRE 2-1 2-2Recombinaison et génération Phénomènes de transport
  • 3. Phénomènes de transport dans Les semiconducteurs 2-1
  • 4. Phénomènes de transport • Mouvement thermique • Mouvement de dérive • Mouvement de diffusion Chap: II -4-
  • 5. Mobilité-conductivité Mouvement thermique Approche classique Soit un cristal Sc contenant des e- et des trous libres de densité n et p. Si on ajoute un kT, cette énergie va augmenter l'agitation thermique. Si vth est la vitesse moyenne d'agitation thermique, l'énergie cinétique d'agitation thermique vaut : 2 0 3 1 2 2 thE kT m v  5 0 3 10 / 300 th kT T v m s m    A 300K, on obtient vth ≈ 105 m/s (soit 400 000 km/h). Les porteurs ont ainsi une vitesse thermique moyenne, orientée dans toutes les directions de l’espace. Les trajectoires sont très complexes Interaction avec la réseau Chap: II -5-
  • 6. En l’absence d'un champ électrique E, la vitesse moyenne d'entraînement est nulle th v   Trajectoire linéaire entre choc Dans l’approximation classique l’électron subit des collisions. On définie:  < >: Le temps caractéristique représente le temps moyen entre deux collisions.  <ℓ>: le libre parcours moyen , ou distance moyenne parcourue entre deux collisions on a <ℓ> = vth<> 0thv  Chap: II -6- Collisions multiples dues à l’agitation thermique d’origines: - atomes du réseau - impuretés ionisées - défauts       Pour Si: <> = 0.1 à 1 ps, <ℓ> = 10 à 100 nm
  • 7. E Mouvement de dérive Appliquer champ électrique sur le semiconducteurs: E ≡ champ électrique [V cm-1] ⇒ force nette 2 0 1 3 2 2 thm v kT 5 10 /thv m s 0thv  0v  2 0 1 3 2 2 m v kT Chap: II -7-
  • 8. Chap: II -8- Condition: faible champ électrique E temps moyen entre deux collisions constant, accroissement de vitesse dû au champ reste faible par rapport à vth, redistribution isotrope des vitesses après chaque collision. Soit la force F=qE agissant sur le mouvement des porteurs composante de vitesse parallèle à la direction du champ E qui s’ajoute à la composante thermique Conductivité sous l’effet d’un champ électrique.
  • 9. En présence d'un champ électrique E constant et uniforme, La force à laquelle est soumis l’électron est : F = Fappliquée + Flocale Cette dernière est due à toutes les interactions avec le réseau (vibration thermique). 0 0l dv F qE F m m dt      0 0 1 ( ) l q v t Et F dt m m     Les porteurs ont une vitesse thermique moyenne, orientée dans toutes les directions de l’espace qui est légèrement modifiée en imposant une direction statistique préférentielle par la présence du champ électrique. Trajectoire incurvée entre choc Chap: II -9- Conductivité sous l’effet d’un champ électrique.
  • 10. 0 q v E m       La vitesse d'entraînement vaut donc: 0 0 1 ( ) 0l q v t v E car Fdt m m     Soit  la mobilité: Pour les Semiconducteurs: n nv E  nv  Vitesse moyenne des électrons E qE p pv E pv  Vitesse moyenne des trous qE E *n n q m    *p p q m    * pm * pmet sont les masses effectives de conduction Si v << vth ou E faible (cm2/Vs) -10-Chap: II
  • 11. Cristal À T=300K n(cm2/Vs) p(cm2/Vs) GaAs 8000 300 InAs 30000 450 Diamand 1800 1200 Si 1350 480 Ge 3600 1800 PbS 550 600 In0.53Ga0.47As 11000 -11-Chap: II  La mobilité est une grandeur déterminante pour les composants électroniques → performances des dispositifs  Elle est inversement proportionnelle à la masse effective et dépend des collisions dans le cristal  Ces collisions peuvent être dues aux impuretés, aux phonons, aux autres porteurs, et à tout autre défaut  La mobilité s’exprime en cm2/Vs, (Rq: en MKSA m2/Vs = 1/T)  La masse effective des électrons est plus faible que celle des trous et le temps de relaxation est plus long → mobilité des électrons est supérieur à la mobilité des trous  Le temps de collision augmente quand la température diminue, du moins dans un semiconducteur pur
  • 12. -12- • Pour faible niveau de dopage, μ est limitée par les collisions avec les réseaux. Si la Température augmente; μ diminue. • Pour le dopage moyen et haut niveau de dopage, μ est limitée par les collisions avec les impuretés ionisées. • Trous "plus lourd" que les électrons: Pour le même niveau de dopage, μn> μp Chap: II Mobilité en fonction de la température
  • 13. Densité de courant et Mobilité Courant causé par le champ électrique due aux électrons: nqn tAQ j A t A t       Loi d’Ohm : j E 2 * n n n n nq qn m     q A vnt (due aux électrons seulement) (A/cm2) -13-Chap: II 2 * n n n n nq j qn E nq E m       
  • 14. Densité de courant et Mobilité Courant total due aux électrons et aux trous:  n p n pj qn qp nq pq E E          n pqn qp    p( est la mobilité des trous)* p p p p q E E m    Pour les trous, jn et jp sont les courants de dérive dans le champ électrique. -14-Chap: II
  • 15. * 0 2 5 ? 300 1.18 ? 1000 / 0.15 / ( ) 3 1.08 10 / s 150 / s th e d th th d d V T K m m V E V m m V s kT V V m m V E V m                 Exercice: Calculer la vitesse d'un électron dans un morceau de silicium de type n causée par son énergie thermique à température ambiante et sa vitesse due l'application d'un champ électrique de 1000 V / m à travers le morceau de silicium. Chap: II -15-
  • 16. • Importance de la mobilité sur les composants – Mobilité la plus élevée possible => vitesse plus grande pour un même E – Facteurs limitant: • Dopage • Défauts (cristallins, structuraux, …) • Température • Champ électrique de saturation + géométrie Densité de courant et Mobilité -16-Chap: II
  • 17. • Vitesse de saturation des électrons – La relation linéaire vitesse – champ valide uniquement pour: • Des champs électrique pas trop élevés • Porteurs en équilibre thermique avec le réseau – Sinon: • Au-delà d’un champ critique, saturation de la vitesse • Apparition d’un autre phénomène: « velocity overshoot » pour des semiconducteurs multivallée. • Régime balistique: pour des dispositifs de dimensions inférieures au libre parcours moyen (0.1µm) -17-Chap: II Densité de courant et Mobilité
  • 18. -18-Chap: II Influence du champ électrique sur la mobilité • Pour des champs électriques faibles, la loi de proportionnalité (vitesse–champ) est valable  la courbe réelle est linéarisée et la pente définit la mobilité  • Dès que les champs électriques deviennent importants (quelques kilovolts), la vitesse sature et converge vers la vitesse thermique. Bien que les trajectoires entre chocs soient suffisamment incurvées pour prendre la direction du champ, l’énergie thermique reste très supérieure à l’énergie apportée entre ces chocs et la mobilité décroît n nv E  n nj qn E
  • 19. Vitesse de saturation -19- Chap: II Dans le cas du GaAs, la situation est plus complexe dès que l’on dépasse un certain champ électrique critique, car le semiconducteur est « multi-vallée » Dès que l’énergie de l’électron se rapproche de EL ou EX , les porteurs transfèrent de la vallée centrale vers les vallées satellites et voient leur masse effective changer et augmenter. En conséquence, leur mobilité diminue. En général * * * 1 2 3,m m m
  • 20. Vitesse de saturation Survitesse (« overshoot ») Différents comportement en fonction du SC -20- Chap: II Le GaAs présente une meilleure mobilité (rapport 5) et une survitesse qui est exploitée dans la réalisation de certains composants très rapides HF
  • 21. -21-Chap: II Influence de la température sur la mobilité L’augmentation de température se traduit par une agitation thermique plus importante dans le réseau cristallin et, de ce fait, le temps de relaxation va diminuer car la probabilité de chocs avec les atomes augmente. Il s’en suit une diminution de la mobilité qui suit une loi empirique de la forme: 3/2 T   est un coefficient qui dépend de la nature du matériau et du type de porteur
  • 22. 2 * n n n n nq E J E m    2 * p p p p pq E J E m    La loi d'Ohm locale (microscopique) : pour les électrons, et pour les trous. 2 1 1 * 2 1 1 * ( ) ( ) n n n n p p p p nq nq cm m pq pq cm m                 n p n pqn qp        Def: Les conductivités électriques s'écrivent : Le courant total étant la somme des courants de trous et d'électrons, la conductivité totale du matériau s'écrit naturellement: pour les électrons, et pour les trous. -24-Chap: II
  • 23. n p n pqn qp        22 * * ( ) pn n p n p n p pq Enq E J J J m m E E             1 1 ( ) ( ) 1 1 n p n n p p cm q n p si n p qn si p n qp                 Le courant total étant la somme des courants de trous et d'électrons, la conductivité totale du matériau s'écrit naturellement: La résistivité  d’un matériau est l’inverse de la conductivité  -25-Chap: II
  • 24. Resistance t wL pn qpqn     1 wt L wt L I V R  I IV Pour calculer R, Il faut trouver  de la concentration des électron et des trous, et après utiliser les dimensions de l’échantillon -26-Chap: II
  • 25. -27-Chap: II  Cas du silicium dopé à 300K : n=280 cm²/V.s et p=90 cm²/V.s n=ND=1018 cm-3 et p=2,2 102 cm-3 =2,2 10-2 cm et = 48 -1 cm-1  Cas du silicium intrinsèque à 300K : n=1350 cm²/V.s et p=480 cm²/V.s p=n=ni=1,5 1010 cm-3 =3,4 105 cm et = 2,9 10-6 -1 cm-1 Résistivité
  • 26. La concentration en impuretés peut cependant différée de la concentration réelle en porteurs : Exemple : cas du silicium dopé p (Gallium) avec NA=1017 cm-3, on peut montrer qu’il y a en réalité 23% d’accepteurs non-ionisés ce qui fait une concentration réelle de porteurs de 7,7 1016 cm-3 !  Même pour de très forts dopages la résistivité du semi-conducteur reste très supérieure à celle d’un métal dont l’ordre de grandeur est le µ.cm. -28-Chap: II  La concentration en impuretés d’un semi-conducteur peut être obtenue si sa résistivité est connue. Résistivité
  • 27. Temps pour la dérive à travers L = 0,1 m Très rapide 6 10 /dn thv cm s v  der n th n E J qnv qn E E       3 2 4.8 10 /der nJ A cm  10d th L t ps v   Chap: II Exercices-1 Soit le Silicium avec ND = 3 x 1016 cm-3 à la température ambiante μn ≈ 1000 cm2 / V • s, ρ n ≈ 0.21 Ω • cm, n ≈ 3X 1016 cm-3 Appliquer E = 1 kV / cm Solution Exercice 1-
  • 28. Exercices-2 -30-Chap: II Quelle est la résistivité d'un morceau de silicium de type n avec n = 1 000 cm2V-1s-1 et p = 100 cm2V-1s-1 ? La densité de porteurs due au dopage de type n = 1017 cm-3. ni = 1.5x 1010 cm-3 Conductivité (type n seulement, pourquoi?) Résistivité 17 3 2 1 1 19 1 1 10 1000 1.6 10 16 ( ) n nnq cm cm V s Coulombe cm                1 1 0.0625 ( ) 16n cm      Solution Exercice 2
  • 29. Exercice-3 -31-Chap: II Un échantillon de Si est dopé avec 1018 atomes/cm3 /. Quelle est la concentration p de trou d'équilibre à 300 K? Où est EF par rapport à Ei? Solution Exercice 3 Ec Ev Ei EF 0.465 eV Concentration de trous à l'équilibre 18 10 ln 10 0.025 ln 0.465 1.5 10 F i i n E E kT n eV       2 20 3 18 2.25 10 225 10 in p cm n     Niveau de Fermi
  • 30. Exercice 4 -32-Chap: II Vrai ou faux: • Quant masse affectifs augmente, la mobilité diminue • Mobilité pour un semi-conducteur particulier restera constant dans chaque direction •Pour un semi-conducteur de type n, le niveau de Fermi EF sera toujours plus près de la bande de conduction qu’au centre de la bande interdite Ei •Quant la bande interdite d'un semi-conducteurs augmente, la densité des paires trou-électron généré thermiquement diminue •Le produit de la concentration d'électrons et la concentration de trous dans un semiconducteur est constante indépendamment de la température Vrai Faux Faux Faux Vrai
  • 31.     61019 1039.4105.11830106.1   ipni nq  (Ω.cm)-1 5 1028.2 1  i i   (Ω.cm) Pour le Silicium intrinsèque : mn = 1350 et mp = 480 cm2/V-s . Ainsi, étant donné que : n = p = ni Calculer la résistivité intrinsèque du Silicium à 300 K -33-Chap: II Exercice-5 Solution Exercice 5
  • 32. Exercice 6- En considérant une erreur maximale admissible de 1% , déterminer à partir de quel dopage on peut considérer que, dans le calcul de la résistivité, seul les porteurs majoritaires interviennent. Application numérique au cas du Germanium, Silicium et Arséniure de gallium. On donne: Germanium n = 4500 cm2/V.s p = 2000 cm2/V.s Silicium n = 1500 cm2/V.s p = 600 cm2/V.s Arséniure de Gallium n = 7500 cm2/V.s p = 300 cm2/V.s -34-Chap: II
  • 33. Solution Exercice 6- -35-Chap: II La résistivité d’un matériau semi-conducteur s’exprime par la relation: La conductivité est l’inverse de la résistivité. Elle vaut donc: Le matériau étant à l’équilibre, les densités de porteurs sont reliées par la loi d’action de masse En utilisant cette dernière relation, on peut exprimer la conductivité en fonction d’un seul type de porteurs, par exemple les électrons. Il s’en suit En développant cette relation, on obtient une équation du second degré qui permet de relier n et s. Les solutions de cette équation peuvent se mettre sous la forme:   1 n pq n p       n pq n p    2 inp n 2 i n p n q n n           2 2 0 p i n n n n n q      
  • 34. Solution Exercice 6- -36-Chap: II Les solutions de cette équation peuvent se mettre sous la forme: Le terme est très petit devant l’unité. La racine carrée est donc de la forme . Le développement limité au premier ordre de ce terme est . La solution peut donc se mettre sous la forme: 2 2 2 1 1 4 2 i n p n q n n q               1 1 2     2 2 2 4 i n pq n    2 2 2 1 1 4 2 2 i n p n q n n q                  1 
  • 35. Solution Exercice 6- -37-Chap: II Une seule des solutions est physiquement réaliste. C’est celle qui correspond au signe +. Le signe – donnerait la densité des électrons dans le cas ou ils sont minoritaires. On obtient donc: L’erreur commise en négligeant les porteurs minoritaires est donc égale à: . Pour une erreur inférieure à 1%, on aura: On obtient donc: ou encore, en repassant à la résistivité: On peut donc calculer cette valeur pour chacun des matériaux les plus couramment utilisés. Dès que la résistivité sera inférieure à cette valeur, on pourra considérer que la résistivité dépend exclusivement de la concentration des porteurs majoritaires. 2 2 2 1 i n p D n q n n N q              2 2 2 i n pq n    2 2 2 2 10 i n pq n      10 i n pq n   1 10 i n pq n    
  • 36. Solution Exercice 6- -38-Chap: II Applications numériques 2 2 13 3 1 4500 / 2000 / 2.510 8.3 n p i Gremanium cm V s cm V s n cm cm            2 2 10 3 1 1500 / 600 / 1.510 41.1 n p i Silicium cm V s cm V s n cm cm            2 2 7 3 1 : 7500 / 300 / 10 33.9 n p i Arséniure de Gallium cm V s cm V s n cm cm           
  • 37. Solution Exercice 6- -39-Chap: II Applications numériques suite Si la résistivité satisfait à la condition énoncée ci dessus, on pourra écrire: Matériau de type P Matériau de type N Dans la réalité, cette condition sera TOUJOURS respectées et la résistivité (ou la conductivité) ne dépendront que de la densité des porteurs Majoritaires. 2 1 , ,i A A A p n p N n N qN       2 1 , ,i D D D n n n N p N qN      
  • 38. -40-Chap: II Exercice 7- Calculer la résistivité maximale de ces trois matériaux. Comparer cette valeur avec la résistivité intrinsèque . Conclusion. Exercice 8- La pureté maximale possible avec les technologies actuelles étant de 1013 cm–3, calculer les conductivités correspondantes pour les trois corps étudiés précédemment. Exercice 9- On dope un barreau de silicium avec du phosphore. Donner le type et la valeur du dopage pour obtenir un matériau de résistivité  = 0,6 .cm. Quelle est la masse de phosphore nécessaire pour doper un lingot de 40 cm de long et de 15 cm de diamètre. Sachant que l’on peut garantir la pesée du phosphore au 1/100ème de milligramme, quelle est l’erreur maximale commise sur le dopage?
  • 39. Solution Exercice 7- Si la résistivité passe par un maximum, la conductivité passera par un minimum. Celle ci s’exprime en fonction d’un seul type de porteurs par la relation (Exercice n° 6): Cette fonction passera par un minimum pour la valeur de n qui annulera la dérivée; On obtient donc: = m . On peut remarquer que cette valeur est inférieure à ni car p < n. Le matériau présentant la résistivité maximale serait donc de type P. En reportant cette valeur de la densité dans l’expression de , on obtient: 2 i n p n q n n           2 2 0i n p n q n n             p i n n n    max 1 2 i i n pqn     -41-Chap: II
  • 40. Solution Exercice 7- -42-Chap: II Applications numériques 2 2 13 3 1 max 4500 / 2000 / 2.510 41.7 n p i i Gremanium cm V s cm V s n cm cm            2 2 10 3 1 max 1500 / 600 / 1.510 205 n p i i Silicium cm V s cm V s n cm k cm            2 2 7 3 1 max : 7500 / 300 / 10 169.5 n p i i Arséniure de Gallium cm V s cm V s n cm M cm           
  • 41. Solution Exercice 7- -43-Chap: II La résistivité Intrinsèque s’exprime par la relation: Applications numériques 2 2 13 3 1 4500 / 2000 / 2.510 38.5 n p i t Gremanium cm V s cm V s n cm cm            2 2 10 3 1 1500 / 600 / 1.510 186 n p i t Silicium cm V s cm V s n cm k cm            2 2 7 3 1 : 7500 / 300 / 10 70.2 n p i t Arséniure de Gallium cm V s cm V s n cm M cm              1 i n pqn      On pourra remarquer que le matériau le plus résistif n’est pas l’intrinsèque; Cela est dû à la différence des mobilités
  • 42. Solution Exercice 8- La pureté maximale permettant d’obtenir des dopages de 1013 cm-3 on pourra, dans le cas du Germanium, obtenir un matériau Intrinsèque. Pour les deux autres, cela ne sera pas possible. Les résistivités limites que l’on pourra obtenir seront donc:   2 1 1 : , ,i A A A pn p n Typ P p N n N qNq n p           2 1 1 : , ,i D D D nn p n Typ N n N p N qNq n p         1 1 : 1 ; : 417typ P k cm typ N cm       Application numérique pour le Silicium 1 1 : 1.56 ; : 73.5typ P k cm typ N cm       Application numérique pour l’Arséniure de Gallium Les dopages couramment utilisés en technologie étant toujours nettement supérieurs à cette valeur de 1013 cm-3 , la résistivité ne dépendra que des majoritaires.
  • 43. La valeur de la résistivité que l’on souhaite obtenir est nettement inférieure à la valeur pour laquelle on peut considérer que seuls les porteurs majoritaires interviennent. Le phosphore étant de type N on aura donc: On peut tirer la valeur de ND de cette relation. Cela nécessite toutefois la connaissance de n. Solution Exercice 9- 1 D nqN    15 3 19 1 1 710 1.610 0.6 1500 D n N cm q        On pourra résoudre le problème en procédant par approximations successives. -On se donne une valeur de la mobilité et on en déduit le dopage. De cette valeur du dopage on tire une valeur de mobilité à l’aide de l’abaque correspondant et on recommence le calcul jusqu’à obtenir deux valeurs consécutives dont l’écart est inférieur à l’erreur que l’on peut tolérer. Si par exemple on se fixe une mobilité de 1500 cm2/Vs, on obtient un dopage qui vaut:
  • 44. Ce dopage donne une mobilité qui vaut sensiblement 1100 cm2/Vs. On peut donc recalculer la nouvelle valeur du dopage qui vaut: 9,5 1015 soit une mobilité de 1050 approximativement et un nouveau dopage de 1016 cm-3. Vu l’écart entre ces deux dernières valeurs, on s’arrêtera là. Il faudra donc introduire sensiblement 1 atome de Phosphore tous les 1 Million d’atomes de Silicium. Dans ce type de calculs, l’important est de déterminer la puissance de 10 car on travaille sur des grands nombres. Une erreur de quelques pourcents sur le résultat est tout à fait acceptable. Solution Exercice 9-
  • 45. Calcul du poids de Phosphore utilisé. Le lingot est cylindrique de longueur 40 cm et de diamètre 15 cm. Son volume est donc: V = p r2 h = p * 7,52 * 40 = 7068 cm3. La masse atomique du silicium est de 28.1 g/mole et celle du phosphore vaut 31 g/mole (voir tableau de Mendeleïev). Le nombre d’atomes par mole est égal à 6,02 1023 (nombre d’Avogadro). La densité d’atomes de Silicium est de 5,02 1022 cm-3. La masse de phosphore utilisée vaut donc: On peut rapprocher cette valeur du poids du lingot de silicium qui vaut: Le poids du dopant est donc infiniment petit par rapport à celui du lingot. Si l’erreur absolue sur la pesée du Phosphore est de 1/100ème de mg, l’erreur relative vaut: 0,01/3,64 c’est à dire 2,7 10-3. L’erreur sur le dopage sera la même car la densité d’atomes dopants est directement proportionnelle au poids. Cette précision est illusoire car les variations du process ne permettent pas d’atteindre de telles précisions. Solution Exercice 9- 16 23 7068 10 31 3.64 6.0210 PM g mg     22 23 7068 5.0210 28.1 16.56 6.0210 SiM g kg    
  • 46. Solution Exercice 10- Pour obtenir un matériau de type opposé, le dopant utilisé devra être un accepteur c’est-à-dire appartenir à la colonne III de la classification périodique des éléments. Pour le silicium, le dopant généralement utilisé est le Bore. Le processus sera le même que celui décrit ci-dessus pour le phosphore. Toutefois, le matériau n’étant pas intrinsèque au départ de l’opération, il faudra d’abord injecter une quantité d’atomes de Bore égale à celle du phosphore pour compenser le matériau. On obtiendra du silicium « Intrinsèque par compensation ». A partir de ce matériau compensé, on appliquera le même raisonnement que précédemment. Le nombre de trous dans ce matériau sera donc: p = NA – ND La résistivité s’écrit: On obtient NA = 1016 + 6,25 1015 = 1,625 10 16 cm-3. Qui correspond à un poids de 2,06 mg de Bore.   1 1 1 A D p A D p p et donc N N qp q N N q          Exercice 10- A partir du semi-conducteur précédent, on souhaite obtenir un matériau de type opposé. Quel dopant va-t-on utiliser et quelle est la concentration et le poids nécessaire permettant d’obtenir un matériau de résistivité égale à 2 cm.
  • 47. -49-Chap: II Exercice 11- Calculer le rapport du courant d’électrons et de trous correspondant au matériau de l’exercice n° 9. Conclusion. Solution Exercice 11- Le matériau étant homogène, le courant est dû à la conduction. On peut donc écrire: Application numérique: ce rapport vaut 0.78 1012 ce qui revient à dire que le courant de conduction est le courant d ’électrons c’est-à-dire le courant des porteurs majoritaires. 2 2 2 n n n n n n iP P P p i p p I J qn n n nI J qp n n             
  • 48. Solution Exercice 12-Le courant de conduction s’écrit: : : 9000 / n n D D D D I j S S E q n S E q n v S I I Donc v q n S q N S AN v cm s                       Exercice 12- On considère un barreau de silicium de 2 cm de long et 0,1 cm2 de section . Le silicium est de type N (ND = 5 1015 cm-3 ). On applique aux bornes de ce barreau une tension de 12 Volts et on mesure un courant de 720 mA. Calculer la mobilité des électrons.
  • 49. -51-Chap: II Exercice 13- Comparer la vitesse des électrons dans un semi-conducteur (par exemple celui de l’exercice n° 9) à celle des électrons dans un métal qui serait parcouru par la même densité de courant. En déduire la mobilité des électrons dans le cuivre . On donne: densité atomique: 5 1022 cm-3. Solution Exercice 13- Pour une même densité de courant, on aura: 22 3 4 5 10 ' : : 9 10 / 9 / sc sc métal m sc m m sc m j q n v et j q N v avec N cm n D ou q n v q N v onoblient v v N AN v cm s soit m s                  Ceci s’explique simplement par le fait que dans un métal il y a un électron libre par atome d’ou une population extrêmement importante qui se déplacera très lentement. Il ne faut pas confondre vitesse de déplacement des porteurs et vitesse de propagation du courant électrique.
  • 50. Exercice 14- Calculate the mean free time of an electron and mean free path having a mobility of 1000 cm2/V-s at 300 K. Assume me = 0.26m0, where m0 = electron rest mass = 9.1 x 10-31 kg.
  • 51. 31 4 2 -1 -1 19 2 5 From (5), (0.26 9.1 10 kg)(1000 10 m .V .s ) 1.6 10 C 0.148 ps 3 ; 2 2 3 10 m/s 14.8 nm e e th th m e s mv kT v t kT v m l v                   Exercice 14- Calculate the mean free time of an electron and mean free path having a mobility of 1000 cm2/V-s at 300 K. Assume me = 0.26m0, where m0 = electron rest mass = 9.1 x 10-31 kg. Solution Exercice 14-
  • 52. Exercice 15- In metals, μe = 5 x 10-3 m3/(V-s) and l = 1 cm, V = 10 volts is applied. Find the drift velocity vD and compare to thermal velocity vth.
  • 53. 2 3 2 23 31 5 m 10 V 5 10 V.s 10 cm 5 m/s 3 3 1.38 10 J/K 300K 9.1 10 kg 1.17 10 m/s D e e D th th D th V v E l v kT v m v v v                                   Exercice 15- In metals, μe = 5 x 10-3 m3/(V-s) and l = 1 cm, V = 10 volts is applied. Find the drift velocity vD and compare to thermal velocity vth. Solution Exercice 15-
  • 54. Transport sous l’effet d’un gradient de concentration Il apparaît un courant qui tend à homogénéiser la concentration Ce courant est d'autant plus faible que la différence de concentration est faible (il tend vers 0 à l'équilibre) -56-Chap: II ( )C x I x     négatif parce que les particules diffusent vers les régions de plus faible concentration proportionnel au gradient de concentration
  • 55. Mouvement de diffusion des porteurs Le phénomène de diffusion est lié à l’existence de gradient de concentration ou gradient de température Il y a diffusion des régions de forte concentration vers les régions de faible concentrations Loi de Fick : le mouvement des porteurs de charges s’effectuera dans une direction qui a tendance à uniformiser leur distribution spatiale. Ce phénomène est équivalent à celui de l’équilibre de la pression d’un gaz dans une enceinte. C C i x     0 C x    F D C     C : concentration de l’espèce C i (Loi de Fick) : D : coefficient de diffusion (cm-2s-1) Le flux des particules F est proportionnel au gradient de concentration Le signe( – ) vient du fait que pour qu’il y ait étalement, le gradient doit être < 0. Cette loi est générale et s’applique aussi bien aux électrons, aux trous , aux atomes et aux ions. -57-Chap: II
  • 56.  Cas des électrons : Dn : coefficient de diffusion des électrons. Par convention la densité de courant est de sens opposé au déplacement des électrons. Les électrons étant de charge <0, se déplaçant vers les x>0, le gradient de concentration <0, la densité de courant est <0. , , 1 . .n n D n D nF J J q D n q        Cas des trous : Dp : coefficient de diffusion des trous Par convention la densité de courant est dans le même sens que celui des tous. Les trous étant de charge>0, se déplaçant vers les x>0, le gradient de concentration<0, la densité de courant est>0. , , 1 . .p p D p D pF J J q D p q       Courants de Diffusion : En considérant macroscopiquement la diffusion des électrons et des trous, leur déplacement est équivalent à un courant. On peut donc exprimer les densités de courant de diffusion des électrons et des trous en multipliant le flux des porteurs par la charge élémentaire. -58- Chap: II
  • 57. , , ( ). . ( ). . .( ) n D n n p D p p D n p J q F q D n J q F q D p J q D n D p                   Pour les électrons Pour les trous Total Densité de courant de diffusion -59-Chap: II
  • 58. Densité de courant totale  Les coefficients de diffusion s’expriment en cm²/s. Ils sont de l’ordre de grandeur de l’unité et en général tels que Dn>Dp.  Les équations présentées ici ne sont valables que pour un semi-conducteur homogène et à température constante. Ces équations sont profondément modifiées quand le dopage, le « gap » ou la température varient.  Le modèle utilisé ici unidimensionnel permet de mener à bien des calculs analytiques.  Densité de courant total d’électrons dans un semi-conducteur :  Densité de courant total de trous dans un semi-conducteur :  Densité de courant total dans un semi-conducteur : , , ( ) n n deriv n Dif n n dn x J J J q nE qD dx     , , ( ) p p deriv p Dif p p dp x J J J q pE qD dx     , , n p deriv diff n p n p J J J J J     -60- Chap: II
  • 59. Relations d’Einstein Démonstration simple de la relation d’Einstein; dan le cas à une dimension on a: 2 0 1 1 2 2 thm v kT 2 0 ( ) n n th th th th n m kT D v l v v v q q       0 n q m    De même pour les trous: p p kT D q  p n p n D D kT q    Relation d’Einstein -61-Chap: II
  • 61. Equations de Maxwell  Equations de Maxwell pour des matériaux isotropes et homogènes : Conditions statiques  E et D sont le champ et l’induction électrique.  H et B sont le champ et l’induction magnétique.  s et 0 sont la permittivité du semi-conducteur et la perméabilité du vide.  (x,y,z) est la densité de charge électrique totale, Jcond la densité de courant de conduction et Jtot la densité de courant total (incluant à la fois la conduction et la diffusion  .Jtot=0).  Parmi les six équations de Maxwell, la plus importante est sans doute celle de Poisson. , cond tot B D E H J J t t             00 ,B B H   ( , , ) , ( , ) ( ') ( , ') ' t sD x y z D r t t t E r t dt       sD E -63- Chap: II
  • 62. Equation de Poisson  L’équation de Poisson est issue des équations de Maxwell et reste valable dans un semi-conducteur. En supposant un modèle à une dimension on peut écrire : On peu l’écrire comme: Concentration de charges C/m3 Permittivité du semi-conducteur en F/cm Laplacien en V/cm² ( , , )sD E x y z     2 2 0 r V x        -64-Chap: II sc x dx dE dx Vd   )( 2 2 
  • 63. Equation de Poisson -65-Chap: II  )()()()(2 2 xNxNxnxp e dx Vd AD sc    Charge mobiles (électrons et trous) Charges fixes (dopants ionisés)  Dans un semi-conducteur dopé par les deux types de dopants, la concentration de charges totales tient compte des porteurs libres et des atomes ou impuretés ionisées :  Dans de nombreux cas, pour aboutir à une solution analytique, il faudra simplifier cette expression en comparant les différentes concentrations. ( )D Aq p n N N       
  • 64. Longueur de Debye • Si on écrit l’équation de Poisson dans un type n en exprimant n en fonction de : • Si Nd(x) => Nd+DNd(x) , alors FFi est modifié de FFi Fi   kTe id sc Fi Fi enxN e dx d / 2 2 )( F  F  en remarquant que: V(x)=FFi cte )( 2 2 2 xN e kT Ne dx d d sc Fi sc dFi       -66-Chap: II
  • 65. Longueur de Debye • Signification physique? – Solution de l’équation différentielle du 2° degré: – La « réponse » des bandes n’est pas abrupte mais « prend » quelques LD ( si Nd=1016 cm-3, LD=0.04µm). Dans cette région, présence d’un champ électrique (neutralité électrique non réalisée) avec expFi D x A L    2 sc D D kT L e N   -67-Chap: II
  • 66. Equations de continuité  Hors équilibre thermodynamique, on cherche à déterminer le taux de variation de la concentration des porteurs (électrons et trous) en fonction du temps (modèle unidimensionnel).  Soit un élément de volume d’épaisseur dx. Si le flux entrant F(x) est supérieur au flux sortant F(x+dx), la concentration des particules augmente. L’évolution du nombre de porteurs par unité de temps est donné par: ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) N C Sdx t t F x S F x dx S F F F x S S F x dx S dx x x                   C div F t     x x dx dx S F C(t) -68-Chap: II ( ) ( ) ( ) ( ) F F x dx F x x x dx x F dx F x F x dx x             Equations de continuité
  • 67.  Pour les électrons: Variation de concentration = variation du flux + génération-recombinaison C dF G U t dx       Supposons que dans cet élément il soit possible de générer des paires de porteurs par des photons (taux de génération G, cm-3/s) ou d’en faire disparaître sur place par recombinaison (taux de recombinaison U , cm-3/s) , 1 n n n n n n J qF J q nE qD n n div J G U t q           Pour les trous: , 1 p p p p p p J qF J q pE qD p p div J G U t q           -69-Chap: II
  • 68.   2 2 1 tot n n n n n n F j D nE G U q t x x               Hors équilibre thermodynamique, on cherche à déterminer le taux de variation de la concentration des porteurs (électrons et trous) en fonction du temps (modèle unidimensionnel).  Hypothèse de faible injection i.e la densité de porteurs injectés est inférieure à la densité de porteurs majoritaires à l’équilibre  le taux de recombinaison U  (np-np0)/n avec np la densité de porteurs minoritaires, np0 la densité de porteurs minoritaires à l’équilibre thermodynamique et n le temps de vie des électrons.  La même hypothèse existe pour les trous conduisant à la relation : U  (pn-pn0)/p  Si les électrons et les trous sont générés et recombinés par paires sans pièges ou autres effets similaires alors on peut écrire que: n=p.   2 2 1 tot p p p p p n F j D pE G U q t x x             -70-Chap: II
  • 69. Exercice 14 Un échantillon de Si est dopé avec 1017 atomes de phosphore par cm3. - Ce semi-conducteur est de quel type? -Quelle est la concentration de porteur de charge majoritaire? - Que mesurer sa résistivité? - Quelle est la tension de Hall dans un échantillon de 100 m d'épaisseur si Ix = 1.0 mA et ? -71-Chap: II 5 2 10 /z   Wb cmB
  • 70. -Puisque le phosphore est un élément de la Vème colonne il a un 1 électron faiblement lié dans la matrice Si. Ainsi, il s'agit d'impureté donneur et le semi- conducteur est de type n. -Comme l'énergie de Fermi devrait être suffisamment en dessous de EC (c.-à-d EC - EF >> kT = 0,0259 eV). Ainsi presque tous les niveaux donneurs seront ionisés et les électrons occuperont des états dans la bande de conduction. En conséquence -A partir des courbes données dans le cours, la mobilité des électrons est de 700 cm2/(Vs). Ainsi, la conductivité est (p0 est négligeable): -La résistivité est: -Le coefficient de Hall pour les électrons est donné comme -La tension de Hall est Solution de l’exercice 14 0 dn N 19 17 1 0 1.6 10 700 10 11.2( ) .nq n          cm 1/ 0.0893   cm 3 5 2 3 2 10 10 / ( 62.5 / ) 62.5 10 x z AB H I V R t            A Wb cm cm C V cm B   1 3 0 62.5 /HR qn      cm C -72- Chap: II
  • 72. Trouver la résistivité du silicium intrinsèque à la température ambiante et le classer comme un isolant, semi-conducteur, ou conducteur. On donne n et p -74-Chap: II Exercice 15
  • 73. Pour le silicium intrinsèque, les densités d'électrons et de trous sont toutes deux égales à ni. Les inconnues: la résistivité  et la classification. Approche: Utiliser l’équation:  = q(n n + p p) (cm)-1 Hypothèses: La température est indéterminée; supposent «température ambiante» avec ni 1010/cm3. Compte tenu de courant de dérive et de la mobilité, nous pouvons calculer la résistivité: jn drift = Qnvn = (-qn)(- nE) = qn nE A/cm2 jp drift = Qpvp = (-qp)(- pE) = qp pE A/cm2 jT drift = jn + jp = q(n n + p p)E = E Ceci définit la conductivité électrique:  = q(n n + p p) (cm)-1 La résistivité  est l'inverse de la conductivité  = 1/ (cm) -75-Chap: II Solution de l’exercice 15
  • 74. -76-Chap: II Phénomènes de diffusion (Exercices). Exercice n° 16- Soit un échantillon de silicium de type N de résistivité  = 0,5 cm. La durée de vie des porteurs en excès est inversement proportionnelle au dopage et vaut  = 10 s pour N = 1016 cm-3. On génère à la surface du semi-conducteur des porteurs en excès avec une vitesse de génération qui vaut: g = 1017 cm-3.s-1. A) La longueur de l’échantillon est supposée infinie. 1°) Déterminer la loi de répartition des trous en fonction de la distance. Calculer la densité des trous dans le plan x = 0 . 2°) A quelle distance l’excès de densité de trous devient-il égal au 110ème de sa valeur en 0? Quelle est à cette distance la densité du courant de trous? 3°) Calculer la vitesse de diffusion des trous. Quelle serait la valeur du champ électrique qui leur communiquerait la même vitesse? 4°) Calculer la quantité d’électricité emmagasinée lors de la diffusion. B) Mêmes questions lorsque on place un contact Ohmique à la distance W = 10-4 cm.
  • 75. -77-Chap: II Phénomènes de diffusion: Exercice n° 16- (Solution). Le premier travail est déterminer la densité des porteurs à l’équilibre thermodynamique afin de savoir si la génération satisfait l’hypothèse de faible niveau d’injection. Le matériau est de type N et sa résistivité vaut :  =0,5 cm. L’abaque des résistivités en fonction du dopage nous permet de lire pour  =0,5 cm une valeur de dopage qui est sensiblement égale à: ND=1016 cm-3 . Compte tenu de cette valeur, on en déduit: Dans le plan x = 0, la densité des porteurs excédentaires injectés vaut: On peut donc vérifier que: Cette double condition satisfait donc l’hypothèse de faible niveau d’injection. On peut donc considérer que la densité des porteurs en excès obéit à l’équation de conservation des porteurs qui s’écrit: 16 3 0 2 4 3 0 10 2.5610 D i D n N cm n p cm N       17 7 10 3 0 10 10 10 /p g paireélectron trou cm        0 0p p et p n 1 p p p p div J g t q      
  • 76. -78-Chap: II Les conditions particulières liées à notre cas entraînent: g = 0 dans le volume car la génération est localisée dans le plan x = 0.  car on se place dans le cas d’un régime permanent. Le champ électrique est nul en volume (pas de tension appliquée). L’équation se ramène donc à: Les solutions de cette équation sont donc de la forme: 2 2 2 2 2 2 0 ' 0p p p p p p d p p d p p D qui s écrie avec L D x x L          0 dp dt  ( ) p p x x L L p x Ae Be    Phénomènes de diffusion: Exercice n° 16- (Solution suite)
  • 77. -79-Chap: II A) – La longueur de l’échantillon est supposée infinie. 1°)- La détermination des constantes d’intégration satisfait aux conditions aux limites énoncées ci-dessous: en x =0 p (0) = p = g0 en x = p() =0 car à une distance infiniment grande, tous les porteurs sont recombinés. On en déduit donc: Cette deuxième relation impose que B = 0 (le terme de réflexion est nul). Il s’en suit: La solution s’écrit donc: C’est la solution générale, en physique, de tout système que l’on laisse évoluer librement. La densité du courant de trous (lié à la diffusion) est proportionnelle à la dérivée de la distribution des porteurs. Elle s’écrit: En x = 0, la valeur de la densité de courant est: / / ( ) ( )p px L x Lp p x p p D pd J qD pe q e dx L       0 A B p Ae Be       A p  / ( ) px L p x Ae   (0) p p p D p J q L   Phénomènes de diffusion: Exercice n° 16- (Solution suite)
  • 78. -80-Chap: II A) –Application Numérique: il faut donc déterminer Dp et Lp. L’abaque de mobilités nous donne pour : p = 450 cm2/V.s On en déduit: Dp = p * UT = 450 * 26 10-3 = 11,7 cm2/s, d’ou; La densité de courant dans le plan origine vaut donc: - 2°)- La densité des porteurs décroît exponentiellement. La distance pour laquelle elle sera divisée par 10 se déduit de: Au delà de cette distance, l’excès de densité de porteurs devient très faible. Cela permet de relativiser l’infini pour un porteur. La densité de courant varie suivant la même loi ce qui implique que dans un système, si on place un contact à une distance grande devant la longueur de diffusion, la densité de courant tendra vers 0. On comprend donc que les dimensions des composants devront être petites. 16 3 10DN cm  2 7 3 11.7 10 1.08 10 10.8p p p pL D soit L cm m          10 19 3 (0) 3 11.7 10 1.610 17.33 / 1.08 10 p p p D p J q A cm L          / ( ) 1 ln10 2.3 24.84 10 px L p p p x pe soit x L L qui donne x m p p           Phénomènes de diffusion: Exercice n° 16- (Solution suite)
  • 79. -81-Chap: II A) 3°)- Vitesse de diffusion des trous. dans laquelle, est la vitesse de dérive des porteurs. On en tire: On peut remarquer que la vitesse du porteur est une constante indépendante de sa position Le champ électrique qui communiquerait la même vitesse aux porteurs serait: ce qui est très faible ( ) ( )p x D DJ v q p x v     Dv ( ) 2 3 ( ) ( ) 10.8 10 / p p p x D D p p p p D p p p D D J q p x v q p x qui donne v L L L L ou encore v V cm L             24.07 / pD T D p p p p p Dv U v E soit E soit E V cm L L         Phénomènes de diffusion: Exercice n° 16- (Solution suite)
  • 80. -82-Chap: II A) 4°)- Quantité d’électricité emmagasinée lors de la diffusion. Elle s’exprime par la relation: S est la section du barreau. La charge par unité de surface vaut donc: Cette valeur peut paraître faible mais on verra que dans les composants, on obtient des valeurs beaucoup plus petites . On peut exprimer cette charge en fonction du courant. Il vient; La constante de temps qui intervient dans le calcul de la charge est la Durée de vie du porteur. Dans le régime libre, les paramètres associés au phénomène de diffusion sont les paramètres caractéristiques dus porteurs. / 0 0 ( ) px L pQ qS p x dx qS p e dx q S p L           2 1.73 /p Q q p L pCb cm S     2 2 p p p p p p p p p p p p p p D p D p L L I J S q S or Q q S p L q S I L L D D donc Q I                     Phénomènes de diffusion: Exercice n° 16- (Solution suite)
  • 81. -83-Chap: II B) – La longueur de l’échantillon est finie, de dimension W. La seule modification intervient sur les conditions aux limites de l’équation de conservation. Elles deviennent: L’annulation de l’excès de densité est due au contact Ohmique qui est recombinant. Il s’en suit: On a donc un système de deux équations à deux inconnues à résoudre. Cela donne: 00 (0) ( ) 0 en x p p g en x W p W        / / 0p pW L W L A B p Ae Be       / / / / / / / 1 0 1 1 2 p p p p p p p W L W L W L W L W L W L W L p p e e e A p p We e sh Le e          / / / / / / / 1 0 1 1 2 p p p p p p p W L W L W L W L W L W L W L p p e e e B p p We e sh Le e           Phénomènes de diffusion: Exercice n° 16- (Solution suite)
  • 82. -84-Chap: II B) En reportant, on obtient. C’est la solution générale du système. On pourra vérifier que le passage à la limite x →infini nous ramène à la solution en exponentielle. La densité de courant peut donc se déduire de la loi de distribution des porteurs. Pour la vitesse de diffusion des porteurs, on aura: ( ) 2 p p W x W x L L p p p W x sh Lp p x e e p W W sh sh L L                ( ) p p p x p p p p p W x sh L qD pd W x J qD p ch W Wdx Lsh L sh L L                 ( ) ( ) p p x D p p p qD p W x J qp x v ch W LL sh L      Phénomènes de diffusion: Exercice n° 16- (Solution suite)
  • 83. -85-Chap: II B) qui donne: La proximité du contact ohmique se traduit donc par une accélération des porteurs. La vitesse tend théoriquement vers l’infini. En réalité, la limitation physique correspond à la vitesse thermique qui vaut sensiblement 107 cm/s à 300 °K. La quantité d’électricité emmagasinée s’exprime par: Ces expressions sont relativement compliquées mais vont généralement se simplifier dans les cas pratiques. Dans le cas de l’exercice, W = 1m. Dans toutes les expressions précédentes, on remarque des termes faisant intervenir des fonctions du rapport W/Lp. Ce terme intervient sous forme de sinus ou de cosinus hyperboliques. Dès que ce rapport sera inférieur à 1/3, on pourra simplifier. En effet: pour  << , sh  →; ch →1 + 2/2 … etc. Par exemple; sh(1/3) = 0,339. On considèrera donc que dès que le rapport W/L est inférieur à 1/3 on peut linéariser les relations en utilisant les développements limités des fonctions correspondantes ( ) coth ( ) p x p p p D p p p p W x ch J D L D W x v W xqp x L L Lsh L       0 0 ¨0 ( ) 1 W W W p p p p p p p p W x W x sh ch L L qS pL W Q qS p x dx qS p dx qS pL ch W W W Lsh sh sh L L L                              Phénomènes de diffusion: Exercice n° 16- (Solution suite)
  • 84. -86-Chap: II B) W = 1 mm; W/L = 1:10,8 = 0,0926 <<1/3. Compte tenu de ce qui précède, on peut donc linéariser les équations. On obtient donc: Pour la distribution des porteurs La distribution est donc linéaire. Le courant, qui est la dérivée de la distribution , sera donc constant (les porteurs injectés seront récupérés au niveau du contact!) On peut en effet se contenter d’un développement limité au 1er ordre pour le cosinus hyperbolique qui tend donc vers 1 alors que dans le cas du calcul de la charge ou intervient un terme en 1-ch, on prendra le développement au second ordre. On peut remarquer que par rapport à la distance infinie, on a remplacé dans l’expression du courant, la longueur de diffusion par la dimension du barreau. Cette dernière étant beaucoup plus petite que la longueur de diffusion et intervenant en dénominateur d’une fraction fait que le courant devient plus important. De plus, il est indépendant de la distance. ( ) 1 p p W x sh L x p x p p W x Wsh L            2 ( ) 2 2 2 1 2 1 2 p p p p x p p p p p p p p p p p W x sh L qD p qD pd W x W J qD p ch W W Wdx L Lsh L sh L L L L qD p qD pW W L W                                 Phénomènes de diffusion: Exercice n° 16- (Solution suite)
  • 85. -87-Chap: II B) En ce qui concerne la vitesse de diffusion, on a: On remarque le phénomène d’accélération du au contact (sana oublier la limitation due à la vitesse thermique). Pour le calcul de la charge stockée, il vient: On peut donc remarquer que pour passer de l’espace infini au barreau court, il suffit de remplacer Lp par W sauf dans le cas de la charge stockée ou apparaît un facteur 1:2. Ce facteur provient du développement limité au « second ordre » ( ) 1 coth ( ) 1 p x p p p p D p p p p p J D D D DW x W x v ch W xqp x L L L W W xL sh L W         2 2 1 1 1 2 2 p p p p p p qS pL qS pLW W qS pW Q ch W WL Lsh L L                             Phénomènes de diffusion: Exercice n° 16- (Solution suite)
  • 86. -88-Chap: II B) Comme dans le cas du barreau infini, on peut écrire la charge comme étant le produit d’un courant par un temps. Il s’en suit: Le terme qui apparaît s’exprime en secondes. Il s’agit du « temps de transit » entre le plan d’injection et le contact. Applications Numériques. Densité de courant: Vitesse de diffusion (en x = 0) Charge stockée: Ce cas particulier est celui que l’on retrouvera dans tous les composants actifs du type bipolaire: Diodes à jonction et transistors bipolaires. 2 2 2 2 2 p p p p p p p qD p qD pqS pW W W Q or I J S S donc Q S I W W D D         2 2 p W D ( ) 2 187.16 p p x qD p A J W cm    2 0.08 2 qS pW Q pCb Q S cm     0 260 p p D en x D D cm v W x W s          Phénomènes de diffusion: Exercice n° 16- (Solution suite)
  • 87. Génération et Recombinaison des porteurs de charges 2-2
  • 88. Un semi-conducteur est dit à l’équilibre thermodynamique si sa température est constante, s’il est homogène et si les densités de porteurs obéissent à la loi d’action de masse: Lorsqu’on perturbe cet équilibre , on peut définir deux cas: - Extraction de porteurs: - Injection de porteurs: Le deuxième cas est le plus fréquent. L’injection peut se faire de différentes manières: -Élévation de température, -Utilisation d’un rayonnement ionisant, -Injection à partir d’une électrode. 2 00 inpn  2 inp n 2 inp n 2 inp n -90- Injection ou extraction de porteurs, durée de vie Chap: II
  • 89. On désignera par n et p les densités de porteurs en excès. Les densités totales pour un matériau hors d’équilibre s’écriront alors: On peut classer les phénomènes d’injection en deux catégories suivant la valeur de la densité des porteurs injectés par rapport à la densité des porteurs majoritaires dans le matériau. -Faible niveau d’injection si la densité des porteurs injectés est faible par rapport à celle des majoritaires, -Fort niveau d’injection si elle devient du même ordre de grandeur. 0 0n n n et p p p      -91- Injection ou extraction de porteurs, durée de vie Chap: II n n pour type N p p pour type P     n n pour type N p p pour type P    
  • 90. Dans un matériau semi-conducteur, les densités de porteurs existant dans les bandes sont le résultat de deux mécanismes permanents d’échange entre elles. Il s’agit de la Génération et de la Recombinaison. -92- Phénomènes de génération recombinaison Chap: II Les porteurs créés passent de la bande de valence vers celle de conduction puis effectuent le chemin inverse en se recombinant. Il existe donc un flot permanent de porteurs allant de la bande de valence vers la bande de conduction et vice et versa. Les phénomènes de génération et de recombinaison sont illustrés ci-contre. A l’équilibre thermodynamique, les densités étant constantes, on peut en déduire que la génération et la recombinaison sont égales: g0 = r0. -Si g > r, on a augmentation de la densité des porteurs, c’est à dire injection. -Si g < r, on a une diminution de la densité des porteurs, c’est à dire extraction. Ces mécanismes d’écart par rapport à l’équilibre s’effectuent avec une constante de temps  appelée durée de vie des porteurs.
  • 91. fon fon hn>Eg - e - e + h + h Génération thermalisation hn ~ Eg recombinaison Semiconducteurs hors équilibre thermodynamique Génération des porteurs gSi h En  gSi h En   Pas de création de paire électron /trou  Possibilité de création de paire électron /trou L’énergie sera perdue par relaxation des porteurs (thermalisation) gh En  Soit un photon tq: -93-Chap: II
  • 92. A Noter la relation parabolique entre l'énergie et de le vecteur d’onde Pour les trous, qui sont censés être à charge positive, la relation est inversée Semiconducteurs à gap directe et indirecte: Concept de l'espace k-2 Dans l‘espace d’énergie –moment (E-k) Gap Directe Gap indirecte k = moment du phonon E= énergie phononMoment Energie 2 2 * 2 C C k E E m   -94- Moment Energie 2 2 * 2 V V k E E m   Chap: II
  • 93. Phonon  Les atomes vibrent autour de leur position moyenne à une température finie. Ces vibrations produisent des ondes vibratoires à l'intérieur du cristal.  Les Phonons sont les quanta de ces ondes vibratoires. Les Phonons se déplacent avec une vitesse égale à la vitesse du son.  Leur longueur d'onde est déterminée par la constante de réseau cristallin. Phonons ne peut exister qu’à l'intérieur du cristal.  La transition qui implique des phonons sans produire des photons sont appelés transitions non radiatives.  Ces transitions sont observées dans les semiconducteurs à bande interdite indirecte.  Ainsi, afin d'avoir LED et laser efficaces, il faut choisir des matériaux ayant des bandes interdites directes telles que le composé S / C de GaAs, AlGaAs, etc -95-Chap: II
  • 94. Pour un semiconducteur de structure de bande directe Sous l’effet de hn l’électron va gagner cette énergie et va monter dans la bande de conduction puis descendre en perdant a chaque fois un phonon Conservation de l’énergie: 2 2 2 2 * * ( ) ( ) 2 2 f i g f C V i g C V E E E E E E E k k E m m          Conservation de la quantité de mouvement: f i photon ik k k k k    E Eg=1.46eV Pour GaAs B.V . B.C - kx hn Ef,kf Ei,ki Car le photon n’a pas de quantité de mouvement importante -96-Chap: II
  • 95. Pour un semiconducteur de structure de bande indirecte Les transitions sont indirectes: La quantité de mouvement n’est pas conservée. On a besoin d’un phonon Conservation de l’énergie: si: Ef - Ei = hn + Eq (absorption de phonon) si: Ef - Ei = hn - Eq (émission de phonon) E Eg B.V . B.C kx hn Ef,kf Ei,ki Δk k Eq Eg=1.12eV Pour Si f ik k k   Eq: énergie de phonon Eq: énergie de phonon Eq= hnq Conservation de la quantité de mouvement f i photon i photonkk k k negligeaq q bk le     -97-Chap: II
  • 96. Tout le spectre électromagnétique 0 1 2 3 4 5 6 Eg (eV)  (m) 1 0.8 0.6 0.4 0.3 0.22357 InS b Ge Si CdS e InN GaAs GaP Cd S SiC GaN ZnS AlGaN AlN Yellow Red Green Blue Violet Infrared UltravioletVisible    m eVE  24.1  -98-Chap: II
  • 97. Coefficient absorption La dépendance d'énergie de photon du coefficient absorption est exprimée par le terme 1/2 1/2 ( ) ( ) . ( ) *( ) . g g h E h A trans directe h h B h E trans indirecte n  n n  n n     Le coefficient absorption augmente avec la racine carrée de l'énergie de photon et le début de l'absorption est au gap A et B* sont différent Supposons : A = B* = 104; ils peuvent différer par ~ 5x102 (Ge / GaAs) mais même si on les prend égaux, Des différences notables ont lieu. Notons : pour hn grand , des transitions interbande peuvent aussi avoir lieu dans des semiconducteurs à gap indirects. Relation entre  et intensité de la lumière I (Loi de Baer-Lambert) : I0 : Intensité de la lumière incidente x : distance de la surface0 x I I e    -99-Chap: II
  • 98. Pour un semiconducteur à base de Silicium de type N à l’équilibre thermodynamique: nn0=1016 cm-3 ≈ ND ; pn0=104 cm-3 , AM1: Aire masse 1 ; c’est l’énergie solaire à midi AM1 F ≈ 1017 photons /cm2/s. hn>Eg 1-Quel est le taux des porteurs photogénérés? 2- Quel est le nombre des porteurs ainsi créés ? -100-Chap: II Exercice 17 100 s pour le Si  Excitation lumineuse  génération de paires électrons- trous (cas d’un semi-conducteur type n).
  • 99. Soit G le taux des porteurs photogénérés: 19 3 1 10 1/ F G F cm s       1- En 1ére approximation les photons sont absorbés dans une épaisseur de 1/ Pout le Silicium  = 102 cm-1 c’est l’épaisseur du silicium ou de la lumière est absorbée -101-Chap: II Solution de l’exercice 17 1 100 m  
  • 100. 0 0 n n n n n n n p p p       Les porteurs ainsi créés ont une durée de vie: 100 s pour le Si  19 4 15 3 10 10 10n p G cm         0 0 16 15 16 3 4 15 15 3 10 10 10 10 10 10 n n n n n n n n cm p p p cm p p                 Comme pn<nn0 on est en faible injection A 100 soleils: Δn= Δp= 1017cm-3 > nno  Forte injection -102-Chap: II Solution de l’exercice 17 suite 2-
  • 101. -103-Chap: II Exercices Exercice n° 18- Déterminer la longueur d’onde maximale permettant de générer une paire électron-trou dans du silicium. Même chose pour le Germanium et l’Arséniure de Gallium. Conclusions. Exercice n° 19- On considère le barreau de silicium représenté sur la figure ci contre; Les caractéristiques du matériau sont les suivantes: •Silicium type P (dopage: NA = 1015 cm-3) •Longueur du barreau: 1 cm; section 4 10-2 cm2. •Durée de vie des porteurs:  = 10-5 s •On donne pour le silicium: ni = 1,6 1010 cm-3. 1- On applique entre les bornes de ce barreau une tension de 10 V. Calculer le courant qui circule dans cette structure. 2- On éclaire ce barreau de silicium avec une radiation de longueur d’onde telle que la vitesse de génération des porteurs soit constante dans tout le volume du matériau. Cette vitesse de génération vaut: g= 1017 cm-3.s-1. Déterminer la variation relative de la résistance du barreau sous éclairement.
  • 102. Exercice n° 20- On considère un barreau de semi-conducteur homogène type N (dopage ND = 1015 cm-3. ) d’épaisseur W, dont on éclaire la face avant avec une radiation de courte longueur d’onde. La génération suit une loi de la forme :  est une constante fonction de  et s’exprime en cm-1. En se plaçant dans le cas de l’hypothèse de faible injection, montrer que , le système étant isolé, il apparaît entre les deux faces du semi-conducteur une différence de potentiel que l’on calculera. A.N:  = 0.1 cm-1 , W = 100 mm . -104-Chap: II Exercices 0 x g g e 
  • 103. -105-Chap: II Injection de porteurs, variation de résistance (Solution). Exercice n° 18- Pour générer une paire électron-trou dans un matériau semi-conducteur, il faut que l’énergie du rayonnement soit supérieure ou égale à la largeur de la bande interdite, soit: E ≥EG Or, l’énergie transportée par un rayonnement s’exprime par la relation: L’énergie étant inversement proportionnelle à la longueur d’onde, l’énergie minimum correspondra à la longueur d’onde maximum permettant de générer des porteurs. La relation s’écrira donc: Applications numériques. Le tableau des constantes donne: h = 4,14 10-15 eV/s; c = 3 108 m/s; Silicium: EG = 1,12 eV max = 1,1 m (c’est le proche infra rouge) Germanium: EG = 0,67 eV max = 1,85 m (c’est l’ infra rouge) As Ga: EG = 1,4 eV max = 0,88 m (c’est le rouge foncé) On peut remarquer que pour les trois matériaux, le rayonnement visible sera efficace et que les rayonnements de grande longueur d’onde ne seront pas arrêtés par ces matériaux. La longueur d’onde maximum correspond au « seuil de transparence ». Plus le rayonnement sera de courte longueur d’onde, plus son énergie sera importante et plus la génération sera localisée au voisinage de la surface. Cette dernière obéira a une loi de la forme: Le coefficient  est fonction de la longueur d’onde. Il vaut 0 pour max c E h hn    max max G G c c h E h E      0 x g g e 
  • 104. -106-Chap: II Injection de porteurs, variation de résistance (Solution). La valeur du courant va se déduire de la loi d’Ohm: V = R×I. On peut donc calculer la résistance du barreau qui s’écrit: En remplaçant par les valeurs, on obtient: Le courant vaut donc: V L R I S    1 ( )n p avec q n p      2 2 1 ( ) i A iA n p A n Or p N et n nN q p N         20 2 19 14 14 1 1 332 2.56 10 4 10 1.6 10 ( 1390 10 470) 10 R            210 3 10 332 V I A R     
  • 105. -107-Chap: II Injection de porteurs, variation de résistance (Solution). Sous éclairement, il y aura génération de paires électrons-trous. La variation de résistance va donc dépendre de la variation de la densité des porteurs. En effet, on peut écrire: Il faut donc calculer la conductivité en obscurité et sous éclairement.  En obscurité, la conductivité (ou la résistivité) ne dépendent que des porteurs majoritaires (équilibre thermodynamique).  Sous éclairement, les conditions d’équilibre ne sont plus réalisées. Il faut donc faire attention. Les densités de porteurs sous éclairement s’écrivent: 1R R or R R                2 0 0 i A A n p p p N p et n n n n de plus n p g N                   0 0 2 ( ) ( ) ( ) obscurité n p A p i éclairement n p n A p A A p n p Donc q n p qN n et q n p q n N p N qN q n p                                     
  • 106. -108-Chap: II Injection de porteurs, variation de résistance (Solution). Si à l’équilibre thermodynamique seuls les majoritaires interviennent, la variation est due aux deux types de porteurs. On remarque en effet que c’est la somme des mobilités qui est à prendre en compte. 3 ( ) ( ) : 3.95 10 n p n p A p A p q n p g qN N R AN R                       
  • 107. -109-Chap: II Injection de porteurs, variation de résistance (Solution). Exercice n° 19- La génération de porteurs sur la face avant va créer un excès de densité de porteurs. Le fait d’utiliser une radiation de faible longueur d’onde (bleu ou Ultra violet), génère des porteurs de manière locale. Le taux de génération va varier avec la distance par rapport à la face avant. La densité des porteurs excédentaires va décroître de façon exponentielle avec la distance. Dans le cas d’une hypothèse de faible injection, on peut considérer que seuls les minoritaires seront perturbés. Le gradient de concentration qui apparaît entre les deux faces du semi-conducteur va créer un phénomène de diffusion d’ou un courant associé. Ce courant s’écrit: La structure étant isolée, le courant total est donc nul. Il existe donc un phénomène antagoniste qui compense la diffusion. Ce phénomène correspondra à un courant de conduction qui va s’opposer à la diffusion. 0 , 0 ( )( ) x p diff p p x p d g ed p x J qD qD dx dx qD g e              
  • 108. -110-Chap: II Injection de porteurs, variation de résistance (Solution). L’existence d’un courant de conduction est liée à l’apparition d’un champ électrique. Ce courant s’exprime par une relation du type: Les deux termes se compensant, on peut écrire: , 0 0 ( ) ( ) ( ) x p derive p x p J x v q g e E V q g e W                    , , 0 0( ) ( )x x p derive p diff p p V J J q g e qD g e W            p p V D W  D’ou: Soit; Cette tension fait apparaître un + sur la face avant .TV U W
  • 109. 1n p p div J G R t q       En régime permanent 0np t    Si il n y a pas de conduction de courant: 1 0pdiv J q  G RDonc :  En équilibre thermodynamique th thG R G – taux de génération : nombre de paires électron-trou créé / cm3 /s R – taux de recombinaison: nombre de paires électron-trou annihilé / cm3 /s Une paires électron-trou est annihilé si un électron transite de la BC vers la BV Durée de vie des porteurs -111-Chap: II
  • 110.  Hors d’équilibre: On crée GL électrons/trous par la lumière 1n p L th p div J G G R t q       R n p  avec En régime permanent et pas de courant électrique: L thG R G   U Taux net de recombinaison 1n p p div J G U t q      On écrit donc: Génération et recombinaison autre que thermique Origine externe -112-Chap: II
  • 111. 0 0 16 4 19 3 1 16 3 5 3 10 ; 2 10 ; 10 ; 10 ; 10 n n L n n n p G cm s n cm p cm          A l’équilibre thermodynamique: 0 0 2 0n n i thn p n et U  Hors d’équilibre thermodynamique: 0 0 0 0n n n nn p n p et U   0 0 ( )L n n n nU G n p n p    Exemple Pour un semiconducteur type n 0 0 0 0 ( ) 1 1 n n n n n p p p n D p p p U n p p avec n N                  est la duréedeviedes porteurs minoritairesp -113-Chap: II
  • 112. Porteurs photoexcités  Soit un semiconducteur type n sous illumination hn  Si à l’instant t=0, on coupe l’excitation lumineuse alors on peut écrire : n L p G G U t       U 0n n p Lp p G   Si à l’instant t> 0, on peut écrire : 0 0 ( ) ( ) ; (0)p n nn p n n p t L p p pp U t p p p p t t p A e p A G                            0 / ( ) pt n n p Lp t p G e      -114-Chap: II
  • 113. Injection par une face  Excitation lumineuse sur une face de l’échantillon de longueur infinie  génération de paires électrons-trous (cas d’un semi-conducteur type n avec les conditions E=0).  Création de paires électrons-trous à la surface uniquement : pour hn=3,5 eV, le coefficient d’absorption (Ge, Si ou GaAs) est de 106 cm-1 i.e l’intensité lumineuse décroît de 1/e en 10 nm !  Solution à l’équilibre :  Lp=(Dpp)1/2 est la longueur de diffusion qui peut atteindre 1 cm dans le silicium et le germanium mais n’excède pas 10-2 cm dans l’arséniure de gallium. 0 2 2 0 n nn n p p p pp p D t x         0 0 0 /( ) ( ) (0) ( 0) (0) px Ln n n n n n n n p x p p x p p p e p x p Cte               -115-Chap: II
  • 114.  Excitation lumineuse sur une face de l’échantillon de longueur W  génération de paires électrons-trous (cas d’un semi-conducteur type n avec les conditions E=0).  Création de paires électrons-trous à la surface uniquement : pour hn=3,5 eV, le coefficient d’absorption (Ge, Si ou GaAs) est de 106 cm-1 i.e l’intensité lumineuse décroît de 1/e en 10 nm !  Solution à l’équilibre :  Densité de courant de diffusion en x=W : Relation importante dans le cadre du transistor 0 2 2 0 n nn n p p p pp p D t x         0 0 0 0 ( ) sinh( )/ ( ) (0) ( 0) (0) sinh( )/ n n p n n n n n n p p x W p W x L p x p p p p x p Cte W L              0 1 ' ( ) (0) sinh / pn p p n n x W p p Dp j x qD q p p x L W L          -116-Chap: II
  • 115. EC EV hn~Eg + h - e radiatif Auger + h - e - E~Eg + h - e par pièges ET recombinaison linéaire recombinaison quadratique  n R    2 nR   recombinaison cubique (Auger)  3 nR   Les mécanismes de recombinaison qui ont tendance à ramener le système à son équilibre initial Génération et recombinaison Chap: II
  • 117. Les processus de recombinaison les plus importants -119- Chap: II EC EV EC EV Recombinaison directe h n Eg Recombinaison radiative Recombinaison non radiative phonons Recombinaison indirecte Par pièges k
  • 118.  Recombinaison par transitions radiative Recombinaison par transition directe 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , , ( ) (( )( ) ) ( ) R n n n p p p avec n p R np U R R np n p U n n p p n p p U p n p p                                  Cette recombinaison radiative est efficace dans les semiconducteurs à structure de bande directeIII-V ( GaAs,…) On les utilise pour les Diodes électroluminescentes et les Laser à semiconducteurs. 0 0 1 ( ) R n p p       x génération radiative recombinaison radiative E EC EV -120-Chap: II
  • 119. En cas de faible injection: 0 0 1 ( ) R n p     Semiconducteur intrinsèque: 1 2 R in    Semiconducteur type n: Semiconducteur type p: 1 R DN    1 R AN    0 0 1 ( ) R n p p       -121-Chap: II
  • 120.  Recombinaison Auger Eg k e1 e2 h e2 ’ Egap Ee1 BC BV e1 e2 e2 e1 L’électron e1 passe de la BC vers la BV et disparaît. L’électron e2 gagne Ef-Ei =Eg. (a) (b) Plus probable dans les semiconducteur type n fortement dopés distance entre électrons très petite Plus probable dans les semiconducteur type p fortement dopés distance entre trous très petite -122-Chap: II
  • 121. Conservation de l’énergie et de la quantité de mouvement '1 22 E +E E E Egap e h ee    1 2' 2e h e ek k k k   Energie de seuil   2 E ~ 1.1-1.2 Ec hh T gap gap c hh m m E m m    1 2 E +E E E Egap e h e T   2 ( )/ (1.1 1.2) / 2 ~ ~g T B g BE E k T E k T c v dn dp n p e e dt dt N N      Pour une forte densité d’excitation n~p 3dn dp Cn dt dt   -123-Chap: II
  • 122. 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 ;R n p np R n p n p U R R          Pour un semiconducteur type n: 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 1 1 A D A A U n p p n p n p p np U n p n p p U p n np n np N                                        Pour un semiconducteur type p: 2 21 1 A A A p np N         La recombinaison Auger domine au dopage fort ou injection très forte -124-Chap: II
  • 123.  Recombinaison par pièges  Les recombinaison par pièges sont liés aux défauts du cristal.  Ce sont les impuretés qui entraînent l’existence de centres de recombinaison..  Il existe toujours des impuretés chimiques dans un cristal réel, constituées d’atomes autres que ceux du semiconducteur considéré (S, Au, Cu, Ag, Fe, ..).  Ces impuretés induisent des niveaux d’énergie supplémentaires situés dans la bande interdite du semiconducteur et qui sont appelés centres de recombinaison  Ces niveaux peuvent se comporter comme des centres accepteurs ou donneur d’électrons.  Ces niveaux mettent en jeu des énergie plus faibles que celles correspondant à une transition bande-à-bande.  Les recombinaisons SRH (Shockley, Read, Hall) sont décrites par quatre processus: capture d’un électron, émission d’un électron, capture d’un trou, émission d’un trou. -125-Chap: II
  • 124. Niveaux d’énergie dans la Bande interdite ET EV EC Représentation Schématique de la recombinaison par piège Signe - indique accepteurs Signe + indique donneurs -126-Chap: II
  • 126. Probabilité d’occupation d’un niveau piège: 1 ( ) 1 exp t t t F f E E E kT        rn: taux de capture d’un électron  Taux de recombinaison rp: taux de capture de trous gn: taux de génération d’électrons: émission gp: taux d’émission de trou en: probabilité d’émission d’électron ep: probabilité d’émission de trou Cn: Probabilité de capture  σn: section de capture:surface à l’intérieur de laquelle les porteurs sont capturés Nt: densité volumique des pièges  Ntft = nombre des électrons piégés (1-ft): probabilité d’avoir des pièges vides Cn th nv   . Quelque définitions -128-Chap: II
  • 127. Et EtEt Et Avant Après Avant Après Capture Capture d’électron Capture de trou 15 2 (1 ) (1 ) 10 n n n t t n t t n r v n N f C n N f cm               15 2 10 p p p t t p t t p r v p N f C p N f cm             -129-Chap: II
  • 128. Et EtEt Et Avant Après Avant Après Emission Emission d’électron Emission de trou n n t tg e N f   (1 )p p t tg e N f   -130-Chap: II
  • 129. Et Et= (1 ) n n n t t n t t r g C N f n e N f    exp expt F F n n c E E E E e C N kT kT             exp F c E E n N kT        1 /n n t te C n f f   1 / exp t F t t E E f f kT        Taux net de recombinaison à l’équilibre thermodynamique Si Et≈ Ei  émission =capture  cas très dangereux Si Et>>Ei  émission prédominante  pièges vides exp i t n n i E E e C n kT       -131-Chap: II
  • 130. exp expt F F V p p v E E E E e C N kT kT               exp F V v E E p N kT       1 t p p t f e C p f    / 1 exp t F t t E E f f kT        (1 ) p p p t t p t t r g C N f p e N f    Taux net d’émission à l’équilibre thermodynamique Et Et= Si Et<<Ei  Et≈EV émission des trous et prédominante  pièges remplis exp t i p p i E E e C n kT       -132-Chap: II
  • 131. [1 ]n n n n t t n t tU r g C N f n e N f     Un= Taux net de recombinaison des électrons (1 )p p p p t t n t tU r g C N f p e N f     Hors d’équilibre thermodynamique Et Et= Un= Taux net de recombinaison des trousEt Et= -133-Chap: II
  • 132. (1 ) [1 ] [ ] p n p t t P t t n t t n t t n P t n n p p U U U C N f p e N f C N f n e N f C n e f nC e pC e             n P t n n p p C n e f nC e pC e      1 p n t n n p p C p e f nC e pC e       Si Et < EV + 0.2V  ep très grand  ft ≈1 et 1- ft ≈0 Si Et > EV + 0.2V  en très grand  1- ft ≈0 et ft ≈1 Se sont les pièges profonds qui sont les plus dangereux -134-Chap: II
  • 133. 2 2 ( ) ( ) e e t i t i n p i t n n p p n p i t E E E E kT kT n i p i C C np n N U C n e C p e C C np n N C n n C p n                          2 ( ) 2 cos i t t i i np n U CN E E n p n h kT           15 2 10n p n pcm C C C         Approximation: -135-Chap: II
  • 134. Cas de faible injection 2 ( )n p i t n p n n p p C C np n N U U C n e C p e       2 0 0 0 0; ; in n n p p p n p n      0 0( )n p t n p n n p p C C N n p p n U U C n e C p e        Semiconducteur intrinsèque en faible injection (important dans les jonctions p-n) 0 0; in p n p n    2 2 1 '/ 1 / '( ') ( / ') 2 2 n p t i i in i p i i r p t n t C C N n n n n R n n n nC n n C n n n C N C N             Temps de Recombinaison 1 '/ 1 / ' 2 2 i i r p t n t n n n n C N C N      : ' i tE E kT iposons n n e    -136-Chap: II
  • 135. Pièges au milieu du gap     1 '/ 1 / ' 1 1 1 '/ 1 / ' 2 2 2 2 i i r i p i n p t n t n n n n n n n n C N C N           minimise 1/ ; 1/n p p t p p p tv N v N       1/2 1/2 1/2 1/2 '1 1 1 1 ( ) '/ / ' ( ) 2 2 2 2 ' p n i r p n p i n i p n p n n i p n n n n n n n n                            Le minimum à lieu si 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 ' 1 ' p n i n i p n n n n       2 ,min 1 1 ( ) 2 2 r p n p n p n             , ,min ,si 2n p n p r n p       ' exp g t c E E n N kT        exp g i i c E E n N kT        ' exp t i i n E E n kT       La recombinaison la plus rapide: , ln ln ; 2 2 pn t opt i i p n CkT kT E E E C       -137-Chap: II
  • 136. Importance des pièges au milieu du gap 1/2 1/2 1/2 1/2 '1 1 1 ' ( ) 1 2 2 ' 2 ' p n i i r p n p n n n i p i n n n n n n n n                                r n  ' exp t i i B n E E n k T        ( ) 1 cosh t i r t n B E E E k T             (Et-Ei)/kBT r/n Taux de recombinaison Relatif(n/r) (Et-Ei)/kBT -138-Chap: II
  • 137. Recombinaison au milieu du gap      2 2 / ' /' ( ) ( ') ( ') ( ') / ( / ') i n pn p t t n p n p i n n nC n p C f E C n n C p p n n p n n              1/2 1/2 1/2 1/2 ' 1 ' p n i n i p n n n n                   ' ' ' ' / / ( ) / [ ' / ] / [ ' / ] n p n p F t n p n p n p n p n n n n f E n n n p n n n n                       Pour 1 ~ ( ) ~ 2 n p F tf E  Et Pièges effectifs Ei Taux de recombinaison : ' i tE E kT iposons p n e   -139-Chap: II
  • 138. Semiconducteur fortement dopé 0 0 0 0 ( ) ( ') ( ') n p t n p n p C C N n p p n R R C n n C p p        p t p p R C N p     Type-n: ' 0 0,n p n Type-p ' 0 0,p n p n t n n R C N n      Les taux de recombinaison sont déterminés par les porteurs minoritaires. -140-
  • 139. Taux de génération dans les processus d'absorption optique  = coefficient d'absorption F0 FR FT 0F F  R R x T eR=x  FF )1()( 0 x F(x) F(x+dx) S dx photons absorbés en dV=Sdxporteurs générés en dV=Sdx   dxeRSSddxxxSdN x   FFFF )1()()( 0 dxxSdN )(F  )()( x Sdx dN dV dN xGG F Génération et recombinaison
  • 140. Diffusion, relation d’Einstein Le phénomène de diffusion est un phénomène général en physique. Il apparaît dès qu’il existe une différence de concentration entre deux zones, les particules se déplaçant des zones à forte concentration vers les zones à faible concentration. Ce phénomène crée un flux de diffusion qui, dans le cas de particules chargées donnera naissance à un courant électrique. ( )C x I x     Diffusion de porteurs dans un semi conducteur. Considérons un semi-conducteur dans lequel la densité des électrons varie comme le montre la figure ci contre (il en serait de même avec les trous). Nous nous placerons dans l’hypothèse d’un modèle unidimensionnel dans lequel nous considèrerons que les électrons se déplacent uniquement suivant l’axe des X. Les électrons seront considérés comme étant monocinétiques et le temps mis pour parcourir la distance l sera très petit par rapport à leur durée de vie. -142-Chap: II
  • 141. Diffusion, relation d’Einstein La variation de concentration va créer un flux de particules F dirigé vers les x croissants 1 2 1 22 2( ) 2 N N N N F x       Soit N1 le nombre de particules comprises entre x0 –l et x0 et N2 le nombre entre x0 et x0 +l à l’instant t=0. A un instant t=t0 (t>t0), on peut considérer que statistiquement, N1 /2 particules ont leur vitesse dirigée vers la droite, de même, N2 /2 ont leur vitesse dirigée vers la gauche. Le flux qui en résulte pendant le temps  nécessaire pour parcourir la distance l vaut: 1 0 2 0 1 2 2 2 n n n n Or N et N     2 1 2 ( ) 2 2 2 R n n n soit F x           02 x n dn or dx          -143-Chap: II
  • 142. Exercice • Etude de la durée de vie Considérons un matériau semi-conducteur (Silicium) dopé phosphore dans lequel existe un niveau recombinant Er dont les caractéristiques sont: Position par rapport à la bande de conduction Ec – Er = 0,375 eV Densité d’états sur le niveau recombinant: Nr = 1013 cm-3 1°) – Ecrire l’expression de la durée de vie de Hall-Schokley-Read en fonction des deux variables qui sont: Tracer le diagramme de bandes correspondant. 2°) – Donner l’expression de la durée de vie dans les différents cas suivants: AN: n = 10-15 cm2 ; p = 10–16 cm2 ; vth = 107 cm/s. 3°) – Que devient la durée de vie si le centre recombinant se situe au milieu de la bande interdite? 4°) – Vers quelle limite tendrait la durée de vie s’il n’y avait pas de centre recombinant? 5°) – Tracer les variations asymptotiques de la durée de vie en fonction de la position du niveau de fermi et déterminer les valeurs correspondant aux intersections des asymptotes. Conclusions. ,I F I r F r E E E E U U kT kT     ) , 0 ) , 0 ) 0 F r F F r F F a U U U b U U U c U     
  • 143. Solution de l’éxercice 1°)-La durée de vie est donnée par l’expression de Hall-Schokley-Read qui s’écrit: Avec En reportant ces expressions dans la formule donnant la durée de vie, on obtient: Cette expression va se simplifier en fonction des valeurs relatives de UF et Ur. Calcul de la valeur de Ur: à 300 °K, kT = 26 10-3eV, EG = 1,12 eV. Ur = (Ei-Er)/kT →Ur = - (0,56-0,375)/26 10-3 = -7. 2°) Le niveau de Fermi se trouve au dessous du niveau intrinsèque donc, le matériau est de type P. En reportant les valeurs numériques, on obtient: n = 100s; p = 10s. Conclusion: pour un matériau de type P la durée de vie est celle des électrons (porteurs minoritaires). =n = 100s
  • 145. Solution de l’éxercice UF >>Ur , UF£ 0 Le niveau de Fermi se trouve au dessus du niveau intrinsèque donc, le matériau est de type N. Conclusion: pour un matériau de type N la durée de vie est celle des trous (porteurs minoritaires). s p t =t = 10m UF = 0 Le niveau de Fermi est confondu avec le niveau intrinsèque donc, le matériau est Intrinsèque. - - A.N: t =5,49ms 3°)-Si le centre recombinant se situe au milieu de la bande interdite, Ur = 0. Il s’en suit exp(Ur) =1 d’ou: Plan Général UF >>Ur , UF³ 0 et UF£ 0 rien ne change; t t pour un matériau N et pour un matériau P. p = t t n = UF = 0 exp(UF) = 1 et comme exp(Ur) =1, il s’en suit: s p n t =t +t =110m 4°)-S’il n’y avait pas de centre recombinant, tout se passerait comme si ce centre se trouvait dans une des bandes permises; à la limite sur EC ou EV. La valeur de Ur devient alors: Ur = EI – Er = EI – EC = - EG/(2kT). Dans le cas d’un matériau intrinsèque (UF = 0), la durée de vie devient: s Cela correspond environ à 3 heures et 8 minutes, ce qui est énorme et inconcevable. Ce type de matériau, s’il existait, ne présenterait quasiment aucun intérêt car son comportement fréquentiel serait fonction de l’inverse de la durée de vie (10 –4 Hz!!!).
  • 147. Solution de l’éxercice 5°)- Tracé du diagramme donnant la variation de la durée de vie. Pour Ur < UF < - (Ur+2,3), la durée de vie varie quasi linéairement. Pour , la durée de vie devient constante et égale à tn. Pour , la durée de vie devient constante et égale à tp. Le terme –(Ur+2,3) est dû au fait que les durées de vie du type N et P sont dans un rapport 10. Or, UF >>Ur , UF£ 0 UF >>Ur+2,3 , UF³ 0 Plan Général UF 10 UF = Ur UF = - (Ur + 2,3) Ln(10) = 2,3. . Pour UF = Ur = 0, on obtient la variation assymptôtique tracée en bleu eJustification des points d’intersection des assymptôtes. Pour Ur < UF < 0, la durée de vie peut se simplifier: . L’intersection des assymptôtes a lieu pour: e UR UF On justifie donc la courbe tracée ci-dessus.
  • 148. Position du niveau de Fermi A très basse température, les échanges se font entre le niveau donneur (ou accepteur) et la bande voisine. Le niveau de Fermi se situe donc entre ces deux niveaux c’est-à dire très près du niveau EC (ou EV). Le niveau de Fermi peut donc se situer dans toute la bande interdite ( contrairement au matériau Intrinsèque ou il est au milieu). Sa position se calcule à partir de l’équation de neutralité qui s’écrit: Cette équation n’a pas de solution analytique et se résout donc numériquement. Elle est très complexe. On peut avoir une idée du résultat en traçant les variations asymptotiques des quatre termes de cette équation. Ces différents termes, représentés en fonction de l’énergie, dans la bande interdite, se coupent en un point qui correspond à la position du niveau de Fermi (neutralité). Pour ce, on considère que la somme de deux logarithmes est le logarithme du plus grand.