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Calcul des échanges de chaleur
par rayonnement.
Réalisé par : Encadré par:
Mohamed IDOMAR Mme: DLIMI
Mohamed AIT EL BORJ
1
Plan
I-Introduction
II-Echanges par rayonnement entre deux surfaces noires
III- Calcule des facteurs de forme
a- cas d’une surface fermée
b-Relation d’addition
c-Cas de deux surfaces en influence totale
IV- Applications(1)
V- Entre deux surfaces grises opaques
VI- Applications(2)
VII-conclusion
2
Introduction :
Le rayonnement est un mode de transfert
de chaleur qui est très rencontré, dans notre
exposé en s’intéressent au calcule d’échange
de chaleur par ce type de transfert , et on se
limite à étudier certains cas simples pour les
quels le calcul des échanges est possible.une
première approximation consiste a assimilé
tous les corps rencontrés à des corps gris et
que les sources soient obéissant à la loi de
Lambert .
3
Echanges par rayonnement entre deux surfaces
noires opaques, séparées par un milieu
parfaitement transparent
4
Echanges par rayonnement entre deux surfaces
noires opaques, séparées par un milieu
parfaitement transparent
5
11 cosdS 
Figure :Echanges par
rayonnement entre deux surfaces
L’équation :
Décrit le flux totale émis par un élément de surface dS1 d’un
corps noir dans l’angle solide
2111
0
T21
2
dcosdSL=d 1   
2
22
21
d
cosdS
=d


2
2211
0
T
21
2
d
cosdScosdSM
=d 1


Donc
dS2
Et comme:
soit un deuxième corps dont l’élément de surface dS2
intercepte le rayonnement émis par dS1 . Alors lorsque le
corps numéro 2 est un corps noir, ce flux est totalement
absorbé . Simultanément dS2 (à la température T2) émet en
direction de dS1 :
par intégration :
Φ1 2= σT1
4
Φ1 2= σT1
4S1F12
Avec : F12=
6
2
2211
0
T
12
2
d
cosdScosdSM
=d 2



dS2
F21=
• Avec F12 et F21 sont des quantités purement
géométriques et sans dimensions
: Facteur de forme sous lequel S1 voit S2
: Facteur de forme sous lequel S2 voit S1
7
= σT2
4S2F21
8
  2
22114
2
4
12,1
2
d
cosdScosdS
T-T=d


Le bilan de l’échange est :
 
21S
2
22114
2
4
12,1
d
cosdScosdS
T-T=
S



Par intégration, en obtient le flux total échangé entre S1 et S2 :
  121
4
2
4
12,1 ST-T= F
  121
0
2
0
12,1 SM-M= F
 
121
2,10
2
0
1
S
M-M
F


Calcule de facteur de forme

jS
jiF
iS
2
ij
jjii
i
,
d
cosdScosdS
S
1
=


9

jS
jii FS
iS
2
ij
jjii
,
d
cosdScosdS
=



jS
ijj FS
iS
2
ij
jjii
,
d
cosdScosdS
=


ijjii FSFS ,j, =
D’une façonne générale et quelle que soit les surfaces
qu’échangent de la chaleur par rayonnement, on définit le
facteur de forme par :
(Relation de réciprocité)
i
ji
, =

 
jiF
Le facteur de forme est aussi la fraction du flux hémisphérique qui atteint Sj en
provenance de Si :
De ce fait, le problème du calcul des échanges se réduit uniquement au calcul de ces facteurs de
forme
Calcule des facteurs de forme
a- cas d’une surface fermée
On considère une surface Si qui sur toute son étendue a une émission Φi. La
surface Si est environnée par un nombre N de surface et Φi est envoyé sur toutes
ces surfaces (la surface Si peut également rayonner vers elle-même si elle est
concave). Le flux Φi peut donc se décomposer de la manière suivante.
10
1=
i
1
jiN
1j
, 

 

 i
i
N
j
jiF




Alors :
.
b-Relation d’addition
11
Soit une surface Sj décomposables en deux surfaces (Sj1 et Sj2), on obtient la
relation
Sj1 Sj2
Sj
Si
c-Cas de deux surfaces en influence
totale
12
Cas de deux sphères, de deux cylindres très longs, de deux plans
infinis parallèles… Tous le flux émet par 1 est reçus intégralement
par 2(influence totale)
112 F
2
1
211212121
S
S
FSFSFS 
2
1
222221 11
S
S
FFF 
Applications
13
A. Surfaces convexes
 
 
 







0
0
0
333323313
222232212
111131121
FSFSFS
FSFSFS
FSFSFS
S1
S2 S3
323232313131212121 ,, FSFSFSFSFSFS  Relations de
Réciprocités
C. Entre 2 surfaces non concaves quelconques (sans obstacle)
S2
R S
S1Q
P
Pour PQRS (enceinte fermée S1 convexe)
11111121 SFSFSFS PSQR  
Pour QSP (plan de fermeture)
2
1
11
RPQR
QR
SSS
FS


Pour PQR (plan de fermeture)
2
1
11
SQPS
PS
SSS
FS


11111121 SFSFSFS PSQR  
14
C. Entre 2 surfaces non concaves quelconques (sans obstacle)
1
11
121
22
S
SSSSSS
FS
SQPSRPQR





S2
R S
S1Q
P
   
1
12
.2
'
S
SSSS
FoùD
PSRQQSPR 

15
   
1
12
.2
'
S
SSSS
FoùD
PSRQQSPR 

Règle de Hottel : le facteur de forme entre une surface émettrice (1) et
une surface réceptrice (2) en géométrie bidimensionnelle s’obtient par
le quotient de (la somme des surfaces croisées moins la somme des
surfaces non croisées) par deux fois la surface émettrice. En termes de
longueurs des arcs, on a aussi :
1
____
________________
12
2L
cotés
2
 















diag
PQ
PSRQQSPR
F
Valable uniquement pour des surfaces PLANE ou CONVEXE
S2
R S
S1Q
P
16
Détermination des facteurs de forme par
la règle de Hottel
Applications
1
2
P
Q R S
h
a b
Deux facettes dans des plans normaux
  


 












2222
____________________
2112
2
1
2
1
..
___
hbabha
PSQRQSPR
FbFh
RS
 
   22
2112
2
1
..jointives0 hbbhFbFhfacettesaSi 
17
Détermination des facteurs de vue pour les géométries suivantes
1
2
34 a
a
1
044332211  FFFF
:,,,,,,, 4224322341143113. FFFFFFFFcàdF adjacentsc
:,,, 43342112. FFFFcàdF opposésc
4142,012
2
222
. 


a
aa
F opposésc
1
2
2
1
2
2
1120:1:
1:..
14131211 

FFFFiex
iFbienaonBN
j
ij
2929,0
2
2
1
2
22
. 


a
aa
F adjacentsc
18
• Entre deux surfaces grises opaques, séparées par un
milieu inerte parfaitement transparent.
Ce type de surface ,outre le flux radiatif émis,
réfléchit une partie du flux radiatif incident (qu’elle
reçoit).on introduit une nouvelle grandeur, appelée
radiosité J, constituée du flux émis et du flux réfléchi
c’est à dire du flux qui quitte la surface.
Avec:
E:l’eclairement :la densité de flux
19
  J
e r E
(S)
radiosité J,
reJ  
4
Te  
Er  
• Entre deux surfaces grises opaques, séparées
par un milieu inerte parfaitement transparent.
20
  J
e r E
(S)
radiosité J,
reJ  
4
Te  
   EEEr   11
(Car corps gris :  = )
Application :
Cas deux plans (gris) infinis parallèles (influence
totale)
21
S2 S1





21
1
)1(
1
J
J


2
12
2
)1(
J
J






Pour S1 on a :
4
111 Te  
21)1( Jr  
Eclairement de S2
Eclairement de S1
 1211 1   JJ
Application :
Cas deux plans (gris) infinis parallèles (influence
totale)
22
S2 S1





21
1
)1(
1
J
J


2
12
2
)1(
J
J






Pour S2 on a :
4
222 Te  
12 )1( Jr  
Eclairement de S2
Eclairement de S1
 2122 1   JJ
Application :
Cas deux plans (gris) infinis parallèles (influence
totale)
23
 
 




2122
1211
1
1


JJ
JJ
 
  21
211
1
111
1




J
 
  21
122
2
111
1




J
Application :
Cas deux plans (gris) infinis parallèles
(influence totale)
 21
1
12
JJ
S


 
2
2
1
1
4
2
4
1
12
111






SSS
TT





24
 
  21
211
1
111
1




J
 
  21
122
2
111
1




J
 21112112 JJSS  
J1 J2
1/S1
  
 4
2
4
1
21
21
112
111
TTS 

 



Application :
iiiii EMJ )1(0
 
ii  
 ii
i
ii
netteperduti JM
S


 0
,
1 


ii
i
S
R



1
25
 iiiiinetteperduti EMS   0
,
Le flux radiatif échangé par une surface i est égal à la différence
entre celui émis et celui absorbé.
Hi : densité de flux énergétique hémisphérique
Or
)1(
0
i
iii
i
MJ
E





Application :
Cas deux plans (gris) infinis parallèles (influence
totale)
26
S2 S1





21
1
)1(
1
J
J


2
12
2
)1(
J
J






J1 J2
1/S1
0
1M 0
2M
11
11


S

22
21


S

S1=S2
Application :
Cas de deux surfaces grises (de dimensions finies)
fermant tout l’espace
27
  2212111111111 1 JFSJFSSJS  
Le flux total (en watts) quittant S1 s’écrit :
121212 FSFS 
  212111111 1 JFJFJ  
 

N
j
jijiii JFJ
1
1 
Application :
Cas de deux surfaces grises (de dimensions
finies) fermant tout l’espace
28
  212111111 1 JFJFJ  
  222121222 1 JFJFJ  
Le flux échangé entre S1 et S2 s’écrit :
 211212212112112 JJFSJFSJFS 
121
1
FS
J1 J2
0
1M
0
2M
11
11


S

22
21


S

Conclusion
Nous avons vu au traves de cette
exposé que le calcule des échanges
d’énergie par rayonnement se réduit
généralement au calcule des facteurs
de forme.
29
MERCI POUR VOTRE
ATTENTION
30

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Présentation2

  • 1. Calcul des échanges de chaleur par rayonnement. Réalisé par : Encadré par: Mohamed IDOMAR Mme: DLIMI Mohamed AIT EL BORJ 1
  • 2. Plan I-Introduction II-Echanges par rayonnement entre deux surfaces noires III- Calcule des facteurs de forme a- cas d’une surface fermée b-Relation d’addition c-Cas de deux surfaces en influence totale IV- Applications(1) V- Entre deux surfaces grises opaques VI- Applications(2) VII-conclusion 2
  • 3. Introduction : Le rayonnement est un mode de transfert de chaleur qui est très rencontré, dans notre exposé en s’intéressent au calcule d’échange de chaleur par ce type de transfert , et on se limite à étudier certains cas simples pour les quels le calcul des échanges est possible.une première approximation consiste a assimilé tous les corps rencontrés à des corps gris et que les sources soient obéissant à la loi de Lambert . 3
  • 4. Echanges par rayonnement entre deux surfaces noires opaques, séparées par un milieu parfaitement transparent 4
  • 5. Echanges par rayonnement entre deux surfaces noires opaques, séparées par un milieu parfaitement transparent 5 11 cosdS  Figure :Echanges par rayonnement entre deux surfaces L’équation : Décrit le flux totale émis par un élément de surface dS1 d’un corps noir dans l’angle solide 2111 0 T21 2 dcosdSL=d 1    2 22 21 d cosdS =d   2 2211 0 T 21 2 d cosdScosdSM =d 1   Donc dS2 Et comme:
  • 6. soit un deuxième corps dont l’élément de surface dS2 intercepte le rayonnement émis par dS1 . Alors lorsque le corps numéro 2 est un corps noir, ce flux est totalement absorbé . Simultanément dS2 (à la température T2) émet en direction de dS1 : par intégration : Φ1 2= σT1 4 Φ1 2= σT1 4S1F12 Avec : F12= 6 2 2211 0 T 12 2 d cosdScosdSM =d 2    dS2
  • 7. F21= • Avec F12 et F21 sont des quantités purement géométriques et sans dimensions : Facteur de forme sous lequel S1 voit S2 : Facteur de forme sous lequel S2 voit S1 7 = σT2 4S2F21
  • 8. 8   2 22114 2 4 12,1 2 d cosdScosdS T-T=d   Le bilan de l’échange est :   21S 2 22114 2 4 12,1 d cosdScosdS T-T= S    Par intégration, en obtient le flux total échangé entre S1 et S2 :   121 4 2 4 12,1 ST-T= F   121 0 2 0 12,1 SM-M= F   121 2,10 2 0 1 S M-M F  
  • 9. Calcule de facteur de forme  jS jiF iS 2 ij jjii i , d cosdScosdS S 1 =   9  jS jii FS iS 2 ij jjii , d cosdScosdS =    jS ijj FS iS 2 ij jjii , d cosdScosdS =   ijjii FSFS ,j, = D’une façonne générale et quelle que soit les surfaces qu’échangent de la chaleur par rayonnement, on définit le facteur de forme par : (Relation de réciprocité) i ji , =    jiF Le facteur de forme est aussi la fraction du flux hémisphérique qui atteint Sj en provenance de Si : De ce fait, le problème du calcul des échanges se réduit uniquement au calcul de ces facteurs de forme
  • 10. Calcule des facteurs de forme a- cas d’une surface fermée On considère une surface Si qui sur toute son étendue a une émission Φi. La surface Si est environnée par un nombre N de surface et Φi est envoyé sur toutes ces surfaces (la surface Si peut également rayonner vers elle-même si elle est concave). Le flux Φi peut donc se décomposer de la manière suivante. 10 1= i 1 jiN 1j ,       i i N j jiF     Alors : .
  • 11. b-Relation d’addition 11 Soit une surface Sj décomposables en deux surfaces (Sj1 et Sj2), on obtient la relation Sj1 Sj2 Sj Si
  • 12. c-Cas de deux surfaces en influence totale 12 Cas de deux sphères, de deux cylindres très longs, de deux plans infinis parallèles… Tous le flux émet par 1 est reçus intégralement par 2(influence totale) 112 F 2 1 211212121 S S FSFSFS  2 1 222221 11 S S FFF 
  • 13. Applications 13 A. Surfaces convexes              0 0 0 333323313 222232212 111131121 FSFSFS FSFSFS FSFSFS S1 S2 S3 323232313131212121 ,, FSFSFSFSFSFS  Relations de Réciprocités
  • 14. C. Entre 2 surfaces non concaves quelconques (sans obstacle) S2 R S S1Q P Pour PQRS (enceinte fermée S1 convexe) 11111121 SFSFSFS PSQR   Pour QSP (plan de fermeture) 2 1 11 RPQR QR SSS FS   Pour PQR (plan de fermeture) 2 1 11 SQPS PS SSS FS   11111121 SFSFSFS PSQR   14
  • 15. C. Entre 2 surfaces non concaves quelconques (sans obstacle) 1 11 121 22 S SSSSSS FS SQPSRPQR      S2 R S S1Q P     1 12 .2 ' S SSSS FoùD PSRQQSPR   15     1 12 .2 ' S SSSS FoùD PSRQQSPR  
  • 16. Règle de Hottel : le facteur de forme entre une surface émettrice (1) et une surface réceptrice (2) en géométrie bidimensionnelle s’obtient par le quotient de (la somme des surfaces croisées moins la somme des surfaces non croisées) par deux fois la surface émettrice. En termes de longueurs des arcs, on a aussi : 1 ____ ________________ 12 2L cotés 2                  diag PQ PSRQQSPR F Valable uniquement pour des surfaces PLANE ou CONVEXE S2 R S S1Q P 16 Détermination des facteurs de forme par la règle de Hottel
  • 17. Applications 1 2 P Q R S h a b Deux facettes dans des plans normaux                    2222 ____________________ 2112 2 1 2 1 .. ___ hbabha PSQRQSPR FbFh RS      22 2112 2 1 ..jointives0 hbbhFbFhfacettesaSi  17
  • 18. Détermination des facteurs de vue pour les géométries suivantes 1 2 34 a a 1 044332211  FFFF :,,,,,,, 4224322341143113. FFFFFFFFcàdF adjacentsc :,,, 43342112. FFFFcàdF opposésc 4142,012 2 222 .    a aa F opposésc 1 2 2 1 2 2 1120:1: 1:.. 14131211   FFFFiex iFbienaonBN j ij 2929,0 2 2 1 2 22 .    a aa F adjacentsc 18
  • 19. • Entre deux surfaces grises opaques, séparées par un milieu inerte parfaitement transparent. Ce type de surface ,outre le flux radiatif émis, réfléchit une partie du flux radiatif incident (qu’elle reçoit).on introduit une nouvelle grandeur, appelée radiosité J, constituée du flux émis et du flux réfléchi c’est à dire du flux qui quitte la surface. Avec: E:l’eclairement :la densité de flux 19   J e r E (S) radiosité J, reJ   4 Te   Er  
  • 20. • Entre deux surfaces grises opaques, séparées par un milieu inerte parfaitement transparent. 20   J e r E (S) radiosité J, reJ   4 Te      EEEr   11 (Car corps gris :  = )
  • 21. Application : Cas deux plans (gris) infinis parallèles (influence totale) 21 S2 S1      21 1 )1( 1 J J   2 12 2 )1( J J       Pour S1 on a : 4 111 Te   21)1( Jr   Eclairement de S2 Eclairement de S1  1211 1   JJ
  • 22. Application : Cas deux plans (gris) infinis parallèles (influence totale) 22 S2 S1      21 1 )1( 1 J J   2 12 2 )1( J J       Pour S2 on a : 4 222 Te   12 )1( Jr   Eclairement de S2 Eclairement de S1  2122 1   JJ
  • 23. Application : Cas deux plans (gris) infinis parallèles (influence totale) 23         2122 1211 1 1   JJ JJ     21 211 1 111 1     J     21 122 2 111 1     J
  • 24. Application : Cas deux plans (gris) infinis parallèles (influence totale)  21 1 12 JJ S     2 2 1 1 4 2 4 1 12 111       SSS TT      24     21 211 1 111 1     J     21 122 2 111 1     J  21112112 JJSS   J1 J2 1/S1     4 2 4 1 21 21 112 111 TTS       
  • 25. Application : iiiii EMJ )1(0   ii    ii i ii netteperduti JM S    0 , 1    ii i S R    1 25  iiiiinetteperduti EMS   0 , Le flux radiatif échangé par une surface i est égal à la différence entre celui émis et celui absorbé. Hi : densité de flux énergétique hémisphérique Or )1( 0 i iii i MJ E     
  • 26. Application : Cas deux plans (gris) infinis parallèles (influence totale) 26 S2 S1      21 1 )1( 1 J J   2 12 2 )1( J J       J1 J2 1/S1 0 1M 0 2M 11 11   S  22 21   S  S1=S2
  • 27. Application : Cas de deux surfaces grises (de dimensions finies) fermant tout l’espace 27   2212111111111 1 JFSJFSSJS   Le flux total (en watts) quittant S1 s’écrit : 121212 FSFS    212111111 1 JFJFJ      N j jijiii JFJ 1 1 
  • 28. Application : Cas de deux surfaces grises (de dimensions finies) fermant tout l’espace 28   212111111 1 JFJFJ     222121222 1 JFJFJ   Le flux échangé entre S1 et S2 s’écrit :  211212212112112 JJFSJFSJFS  121 1 FS J1 J2 0 1M 0 2M 11 11   S  22 21   S 
  • 29. Conclusion Nous avons vu au traves de cette exposé que le calcule des échanges d’énergie par rayonnement se réduit généralement au calcule des facteurs de forme. 29