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Problème 19 
Etude d’une thermistance 
en utilisation bolométrique 
pour la détermination à distance 
de la température d’un corps 
(19.1) 
CORRIGE : 
1). En effectuant le rapport des expressions de R(T) prises pour 1 T et 2 T puis en prenant 
le logarithme népérien, on a immédiatement : 
3433,70K 
R T 
ln ( ) 
B T T 
1 2 1 
= 
− 
( ) 
2 
2 1 
= 
R T 
T T 
Le coefficient de température de cette thermistance est donné par : 
dR T B 
1 ( ) 0 
( ) 
α = =− < 
2 
R T dT T 
B étant possitive, α est négatif et la thermistance est donc du type CTN. 
2). En combinant les expressions de R(T) et 1 R(T ) tirées de (19.1), on obtient : 
⎡ ⎤ 
R(T) R(T ) exp B 1 1 
= ⎢ − 1 
⎥ 
T T 
⎣ 1 
⎦ 
(19.2) 
Les valeurs de R(T) sur l’étendue de mesure 25°C ≤ t ≤ 30°C sont reportées dans le tableau 
19.1. 
t en °C R(T) en Ω 
25 5000,00 
26 4811,17 
27 4630,65 
28 4458,05 
29 4292,95 
30 4135,00 
Tableau 19.1 Valeurs de R(T) sur l’étendue de mesure 25°C ≤ t ≤ 30°C
3). Le calcul est immédiat et donne : 
( )1 1 1 
R T R T R R R T R V I R I 
⎛ ⎞ + − 
= ⎜ − ⎟ = ⎝ + ⎠ + + 
mes ( ) 2 ( ) 3 g ( ) 3 1 
g 
( ) 1 ( ) 2 ( ) 
R T R R T R R T R 
1 1 1 
(19.3) 
Soit en inversant (19.3) : 
R I V 
1 
+ 
RT R 
1 
R I V 
1 
3 
( ) g mes 
g mes 
= 
− 
(19.4) 
4). De façon simpliste on peut penser que la thermistance se trouve à la température 
a 1 t = t = t et comme 1 1 R(T ) = R , on obtient alors 0 mes V = . 
5). La température de la thermistance n’est donc pas égale à 1 t = 25°C. D’après (19.3), 
mes V étant négatif, on conclut que la thermistance est à une température plus élevée que 1 t . Le 
circuit électrique étant isolé et thermostaté, l’échauffement de la thermistance ne peut être 
qu’un auto-échauffement provenant de la puissance qu’elle dissipe par effet Joule. 
(19.4) permet de calculer la résistance présentée par la thermistance, ce qui donne 
R(T) = 4970,04Ω pour 15mV mes V = − . 
De (19.2), on tire : 
1 
− ⎛ ⎞ 
= ⎜ + ⎟ = 
⎝ ⎠ 
T R T 
1 1 ln ( ) 298,31K 
T B RT 
( ) 
1 1 
Ce qui donne t = 25,16°C, d’où l’auto échauffement 0,16 C a Δt = ° . 
6). Le bilan thermique sur une durée dτ donne : 
( ) J a a P dτ − K T −T dτ = MCdT (19.5) 
En régime permanent, l’expression précédente devient : 
( ) J a a a a P = K T −T = K ΔT (19.6) 
7). Pour 25 C a t = ° , on a déterminé R(T) = 4970,04Ω à la question 5. En revenant au 
circuit et en notant R I le courant circulant dans la thermistance, on a : 
( ) 2 
1 2 ( ) ( ) ( ) 
⎛ + ⎞ 
2 1 1 
= = ⎜ ⎟ ⎝ + + ⎠ 
J R g 
1 1 
2 
⎛ ⎞ 
= ⎜ 1 
⎟ = ⎝ + 1 
⎠ 
( ) ( ) 3 
( ) 2 4,98mW 
( ) 3 
g 
R RT R 
P RT I RT I 
R T R R T R 
R T R I 
R T R 
(19.7) 
8). De (19.6), (19.7) et de la valeur de l’auto-échauffement déterminée à la question 5, on 
déduit la valeur du coefficient d’échange thermique de a K : 
K P 
0,032W.K 1 a 
= = − 
Δ 
a 
t 
(19.8)
9). Pour une température t sur l’étendue de mesure 25°C ≤ t ≤ 30°C, on détermine la 
résistance R(T) de la thermistance (équation (19.2)) puis la puissance J P (équation (19.7)) 
dissipée par effet Joule. En considérant le coefficient d’échange thermique (équation (19.8)) 
constant, on déduit l’auto-échauffement (équation (19.6)). Les résultats numériques sont 
reportés dans le tableau 19.2. 
t en °C R(T) en Ω ( ) J P t en mW a Δt en °C 
25 5000,00 5,00 0,16 
26 4811,17 4,90 0,15 
27 4630,65 4,81 0,15 
28 4458,05 4,71 0,15 
29 4292,95 4,61 0,14 
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Tableau 19.2 Evolution de la puissance dissipée par effet Joule et de l’auto échauffement 
On constate que la puissance dissipée et l’auto-échauffement sont pratiquement constants. 
Pour la suite ils seront fixés à leurs valeurs moyennes soit 4,76mW J P = et 0,15 C a Δt = ° . 
Les erreurs introduites sont alors au maximum de 5%. 
10). Le bilan thermique sur une durée dτ s’écrit maintenant : 
( ) J a a a P dτ +φ dτ − K T −T dτ = MCdT (19.9) 
où pendant l’intervalle de temps dτ , φ dτ a est l’énergie radiative absorbée, J P dτ l’énergie 
dissipée par effet Joule et K T T dτ a a ( − ) l’énergie cédée à l’enceinte ; ce bilan thermique 
provoquant une augmentation dT de la température de la thermistance. 
En régime permanent, (19.9) devient : 
+φ 
a 
a 
a 
T T T P 
K 
− = Δ = 
Les calculs précédents ont montré que l’on pouvait considérer que 4,76mW J J P  P = . Grâce 
à ceci, il est possible de découpler l’échauffement dû à l’absorption du rayonnement de l’auto-échauffement 
par effet Joule et on a 0,15K J a J a a P K  P K = ΔT = . L’échauffement total de 
la thermistance s’écrit alors : 
φ 
T T T T 
Δ = − = a 
+Δ (19.10) 
a a 
a 
K 
11). La paroi, considérée comme un corps noir, émet une puissance de rayonnement par 
unité de surface cn φ donnée par la loi de Stefan-Bolzmann : 4 
cn cn φ =σ T . Une fraction a φ 
de 
cn φ , ne dépendant que de la géométrie, est absorbée par la thermistance et provoque un 
déséquilibre 250mV mes V = − du pont. De (19.4), on déduit immédiatement la résistance
présentée par la thermistance, soit R(T) = 4512,20Ω et de (19.2), l’échauffement total 
Δt = 2,68°C . Le résultat (19.10) permet d’en déduire la puissance absorbée à savoir 
( )81,12mW a a a φ = K ΔT − ΔT = . 
12). La température de la paroi étant maintenant de cn t′ , elle émet une puissance de 
rayonnement par unité de surface 4 
cn cn φ ′ =σ T′ dont la fraction a φ 
′ est absorbée par la 
thermistance provoquant la nouvelle déviation du pont 100mV mes V′ = − . Les calculs étant 
similaires à ceux de la question précédente, on trouve : R(T′) = 4801,98Ω, Δt′ =1,05°C et 
a ′ = 28,86mW . 
13). Comme il n’y a pas modification de la géométrie du problème, les puissances 
absorbées sont dans le rapport des puissances émises, on a φ 
: 
′ ′ ′ 
= = 
4 
4 
T 
T 
φ φ σ 
φ φ σ 
a cn cn 
a cn cn 
On en déduit que ( )1 4 751,60K cn cn a a T′ = T φ ′ φ = soit 478,45 C cn t′ = ° . 
L’hypothèse faite sur le fait que la paroi peut être considérée comme un corps noir n’est pas 
une nécessité. Le résultat serait le même si on postulait simplement que son émissivité est 
constante dans l’intervalle des températures considérées. 
Le dispositif qui vient d’être décrit correspond à un pyromètre optique sans contact à poste 
fixe. D’autres techniques peuvent être utilisées utilisant non plus une thermistance mais une 
photopile ou un détecteur optique classique Si ou Ge (pour les températures supérieures à 
1000°C) et plus récemment InGaAs pour des températures inférieures. Cependant, ces 
matériaux ne peuvent travailler dans la gamme de rayonnement basses températures 
(inférieures à 200°C ) sans être eux-mêmes refroidis. Pour cette gamme de température, le 
bolomètre constitue une solution de remplacement économique. 
Le principe du bolomètre a connu récemment un nouvel essor avec l’arrivée des caméras 
bolométriques où chaque pixel est en soi un microbolomètre comme celui précédemment 
décrit. 
Il y a quarante ans, les caméras thermiques n’étaient accessibles qu’aux militaires et 
nécessitaient un refroidissement de leurs capteurs optiques à −200°C. Les composants 
optoélectroniques (InSb, PtSi…) et méthodes de refroidissement (effet Peltier, cycle 
Stirling…) se sont améliorés mais les caméras thermiques restaient d’un coût élevé et parfois 
d’une utilisation délicate. 
L’arrivée des caméras bolométriques est en train de changer cet état de fait. Sont proposées 
actuellement sur le marché des caméras de 80.000 pixels pour des résolutions meilleures que 
0,1°C.
Figure 19.5 Schéma et images en microscopie à balayage d’un pixel bolométrique 
(documentation Ulis*) 
*D’après “Uncooled amorphous silicon technology enhancement for 25 μm pixel pitch achievement” E. Mottin, 
A. Bain, J.L. Martin, J.L. Ouvrier-Buffet, S Bisotto, J.J. Yon (LETI/CEA-DOPT/LIR) et J.L. Tissot (ULIS). 
Ces caméras commencent à être utilisées pour des mesurandes primaires qui s’accompagnent 
de production de chaleur donc d’une évolution de la température. Des expériences ont déjà 
abouti, permettant d’étudier les contraintes mécaniques subies par des structures. Par effet 
thermoélastique, le champ de contrainte dans la structure, lié à une excitation extérieure, 
s’accompagne d’une très faible augmentation de la température locale proportionnelle à la 
somme des contraintes principales. Comme ces variations de température sont très faibles, on 
cycle de façon périodique l’excitation sur la structure et on synchronise la prise d’images 
thermiques sur cette excitation. Un traitement des images permet de n’extraire que les 
variations locales de température en phase avec l’excitation donc avec la contrainte. On 
mesure dans ce cas directement l’énergie associée à contrainte et non la déformation comme 
c’est le cas lorsque l’on utilise des jauges de contrainte collées.
Concentration de contrainte autour de trou de rivet (industrie aéronautique) et mesure de 
contrainte sur support de fusée (industrie automobile) 
Mécanique de la rupture, flexion 3 points sur éprouvette en titane 
Figure 19.6 Mesure de contrainte (documentation Cedip)

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  • 1. Problème 19 Etude d’une thermistance en utilisation bolométrique pour la détermination à distance de la température d’un corps (19.1) CORRIGE : 1). En effectuant le rapport des expressions de R(T) prises pour 1 T et 2 T puis en prenant le logarithme népérien, on a immédiatement : 3433,70K R T ln ( ) B T T 1 2 1 = − ( ) 2 2 1 = R T T T Le coefficient de température de cette thermistance est donné par : dR T B 1 ( ) 0 ( ) α = =− < 2 R T dT T B étant possitive, α est négatif et la thermistance est donc du type CTN. 2). En combinant les expressions de R(T) et 1 R(T ) tirées de (19.1), on obtient : ⎡ ⎤ R(T) R(T ) exp B 1 1 = ⎢ − 1 ⎥ T T ⎣ 1 ⎦ (19.2) Les valeurs de R(T) sur l’étendue de mesure 25°C ≤ t ≤ 30°C sont reportées dans le tableau 19.1. t en °C R(T) en Ω 25 5000,00 26 4811,17 27 4630,65 28 4458,05 29 4292,95 30 4135,00 Tableau 19.1 Valeurs de R(T) sur l’étendue de mesure 25°C ≤ t ≤ 30°C
  • 2. 3). Le calcul est immédiat et donne : ( )1 1 1 R T R T R R R T R V I R I ⎛ ⎞ + − = ⎜ − ⎟ = ⎝ + ⎠ + + mes ( ) 2 ( ) 3 g ( ) 3 1 g ( ) 1 ( ) 2 ( ) R T R R T R R T R 1 1 1 (19.3) Soit en inversant (19.3) : R I V 1 + RT R 1 R I V 1 3 ( ) g mes g mes = − (19.4) 4). De façon simpliste on peut penser que la thermistance se trouve à la température a 1 t = t = t et comme 1 1 R(T ) = R , on obtient alors 0 mes V = . 5). La température de la thermistance n’est donc pas égale à 1 t = 25°C. D’après (19.3), mes V étant négatif, on conclut que la thermistance est à une température plus élevée que 1 t . Le circuit électrique étant isolé et thermostaté, l’échauffement de la thermistance ne peut être qu’un auto-échauffement provenant de la puissance qu’elle dissipe par effet Joule. (19.4) permet de calculer la résistance présentée par la thermistance, ce qui donne R(T) = 4970,04Ω pour 15mV mes V = − . De (19.2), on tire : 1 − ⎛ ⎞ = ⎜ + ⎟ = ⎝ ⎠ T R T 1 1 ln ( ) 298,31K T B RT ( ) 1 1 Ce qui donne t = 25,16°C, d’où l’auto échauffement 0,16 C a Δt = ° . 6). Le bilan thermique sur une durée dτ donne : ( ) J a a P dτ − K T −T dτ = MCdT (19.5) En régime permanent, l’expression précédente devient : ( ) J a a a a P = K T −T = K ΔT (19.6) 7). Pour 25 C a t = ° , on a déterminé R(T) = 4970,04Ω à la question 5. En revenant au circuit et en notant R I le courant circulant dans la thermistance, on a : ( ) 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ⎛ + ⎞ 2 1 1 = = ⎜ ⎟ ⎝ + + ⎠ J R g 1 1 2 ⎛ ⎞ = ⎜ 1 ⎟ = ⎝ + 1 ⎠ ( ) ( ) 3 ( ) 2 4,98mW ( ) 3 g R RT R P RT I RT I R T R R T R R T R I R T R (19.7) 8). De (19.6), (19.7) et de la valeur de l’auto-échauffement déterminée à la question 5, on déduit la valeur du coefficient d’échange thermique de a K : K P 0,032W.K 1 a = = − Δ a t (19.8)
  • 3. 9). Pour une température t sur l’étendue de mesure 25°C ≤ t ≤ 30°C, on détermine la résistance R(T) de la thermistance (équation (19.2)) puis la puissance J P (équation (19.7)) dissipée par effet Joule. En considérant le coefficient d’échange thermique (équation (19.8)) constant, on déduit l’auto-échauffement (équation (19.6)). Les résultats numériques sont reportés dans le tableau 19.2. t en °C R(T) en Ω ( ) J P t en mW a Δt en °C 25 5000,00 5,00 0,16 26 4811,17 4,90 0,15 27 4630,65 4,81 0,15 28 4458,05 4,71 0,15 29 4292,95 4,61 0,14 30 4135,00 4,52 0,14 Tableau 19.2 Evolution de la puissance dissipée par effet Joule et de l’auto échauffement On constate que la puissance dissipée et l’auto-échauffement sont pratiquement constants. Pour la suite ils seront fixés à leurs valeurs moyennes soit 4,76mW J P = et 0,15 C a Δt = ° . Les erreurs introduites sont alors au maximum de 5%. 10). Le bilan thermique sur une durée dτ s’écrit maintenant : ( ) J a a a P dτ +φ dτ − K T −T dτ = MCdT (19.9) où pendant l’intervalle de temps dτ , φ dτ a est l’énergie radiative absorbée, J P dτ l’énergie dissipée par effet Joule et K T T dτ a a ( − ) l’énergie cédée à l’enceinte ; ce bilan thermique provoquant une augmentation dT de la température de la thermistance. En régime permanent, (19.9) devient : +φ a a a T T T P K − = Δ = Les calculs précédents ont montré que l’on pouvait considérer que 4,76mW J J P P = . Grâce à ceci, il est possible de découpler l’échauffement dû à l’absorption du rayonnement de l’auto-échauffement par effet Joule et on a 0,15K J a J a a P K P K = ΔT = . L’échauffement total de la thermistance s’écrit alors : φ T T T T Δ = − = a +Δ (19.10) a a a K 11). La paroi, considérée comme un corps noir, émet une puissance de rayonnement par unité de surface cn φ donnée par la loi de Stefan-Bolzmann : 4 cn cn φ =σ T . Une fraction a φ de cn φ , ne dépendant que de la géométrie, est absorbée par la thermistance et provoque un déséquilibre 250mV mes V = − du pont. De (19.4), on déduit immédiatement la résistance
  • 4. présentée par la thermistance, soit R(T) = 4512,20Ω et de (19.2), l’échauffement total Δt = 2,68°C . Le résultat (19.10) permet d’en déduire la puissance absorbée à savoir ( )81,12mW a a a φ = K ΔT − ΔT = . 12). La température de la paroi étant maintenant de cn t′ , elle émet une puissance de rayonnement par unité de surface 4 cn cn φ ′ =σ T′ dont la fraction a φ ′ est absorbée par la thermistance provoquant la nouvelle déviation du pont 100mV mes V′ = − . Les calculs étant similaires à ceux de la question précédente, on trouve : R(T′) = 4801,98Ω, Δt′ =1,05°C et a ′ = 28,86mW . 13). Comme il n’y a pas modification de la géométrie du problème, les puissances absorbées sont dans le rapport des puissances émises, on a φ : ′ ′ ′ = = 4 4 T T φ φ σ φ φ σ a cn cn a cn cn On en déduit que ( )1 4 751,60K cn cn a a T′ = T φ ′ φ = soit 478,45 C cn t′ = ° . L’hypothèse faite sur le fait que la paroi peut être considérée comme un corps noir n’est pas une nécessité. Le résultat serait le même si on postulait simplement que son émissivité est constante dans l’intervalle des températures considérées. Le dispositif qui vient d’être décrit correspond à un pyromètre optique sans contact à poste fixe. D’autres techniques peuvent être utilisées utilisant non plus une thermistance mais une photopile ou un détecteur optique classique Si ou Ge (pour les températures supérieures à 1000°C) et plus récemment InGaAs pour des températures inférieures. Cependant, ces matériaux ne peuvent travailler dans la gamme de rayonnement basses températures (inférieures à 200°C ) sans être eux-mêmes refroidis. Pour cette gamme de température, le bolomètre constitue une solution de remplacement économique. Le principe du bolomètre a connu récemment un nouvel essor avec l’arrivée des caméras bolométriques où chaque pixel est en soi un microbolomètre comme celui précédemment décrit. Il y a quarante ans, les caméras thermiques n’étaient accessibles qu’aux militaires et nécessitaient un refroidissement de leurs capteurs optiques à −200°C. Les composants optoélectroniques (InSb, PtSi…) et méthodes de refroidissement (effet Peltier, cycle Stirling…) se sont améliorés mais les caméras thermiques restaient d’un coût élevé et parfois d’une utilisation délicate. L’arrivée des caméras bolométriques est en train de changer cet état de fait. Sont proposées actuellement sur le marché des caméras de 80.000 pixels pour des résolutions meilleures que 0,1°C.
  • 5. Figure 19.5 Schéma et images en microscopie à balayage d’un pixel bolométrique (documentation Ulis*) *D’après “Uncooled amorphous silicon technology enhancement for 25 μm pixel pitch achievement” E. Mottin, A. Bain, J.L. Martin, J.L. Ouvrier-Buffet, S Bisotto, J.J. Yon (LETI/CEA-DOPT/LIR) et J.L. Tissot (ULIS). Ces caméras commencent à être utilisées pour des mesurandes primaires qui s’accompagnent de production de chaleur donc d’une évolution de la température. Des expériences ont déjà abouti, permettant d’étudier les contraintes mécaniques subies par des structures. Par effet thermoélastique, le champ de contrainte dans la structure, lié à une excitation extérieure, s’accompagne d’une très faible augmentation de la température locale proportionnelle à la somme des contraintes principales. Comme ces variations de température sont très faibles, on cycle de façon périodique l’excitation sur la structure et on synchronise la prise d’images thermiques sur cette excitation. Un traitement des images permet de n’extraire que les variations locales de température en phase avec l’excitation donc avec la contrainte. On mesure dans ce cas directement l’énergie associée à contrainte et non la déformation comme c’est le cas lorsque l’on utilise des jauges de contrainte collées.
  • 6. Concentration de contrainte autour de trou de rivet (industrie aéronautique) et mesure de contrainte sur support de fusée (industrie automobile) Mécanique de la rupture, flexion 3 points sur éprouvette en titane Figure 19.6 Mesure de contrainte (documentation Cedip)