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Conduction : régime
variable/transitoire
Milieu thermiquement mince
• Considérons un solide :
– T(t=0)=Ti. A l'instant t = 0,
– le corps est immergé dans un liquide de température T < Ti.
•  En raison du transfert de chaleur par convection à l'interface
solide-liquide, la température du solide diminue au temps t > 0
jusqu'à ce qu'il atteigne T.
•  Il est supposé que la température du solide est uniforme dans
l'espace à tout instant au cours du processus transitoire, c'est à dire
pas de gradient de température dans le solide. Cette hypothèse est
appelée l'hypothèse milieu thermiquement mince.
•  La réponse transitoire de température est déterminée par la
formulation d'un bilan énergétique global sur le solide.
Milieu thermiquement mince
St
out 
 

 
t
d
T
d
c
V
T
T
S
h 


 
 
T
T
S
h 
 

Milieu thermiquement mince
    















 

t
c
V
S
h
T
T
T
T i

 exp
 
t
d
T
d
c
V
T
T
S
h 


 
  t
t
t
C
R
c
V
S
h







 

1
Constante du temps thermique, exprimée
en s
 Rt est la résistance thermique de convection
 Ct est la capacité thermique du solide.
 




















 

t
i
t
t t
c
V
dt
S
h
dt
Q




 exp
1
0
0
Chaleur échangée entre le solide et le fluide :
Milieu thermiquement mince
Validité de la méthode
La méthode n'est applicable que lorsque : R conduction << R
convection
 Le nombre de Biot :
1
.
0



c
L
h
Bi
S
h
S
L
Bi
c
1


Il est, par conséquent, un critère pour mesurer la validité de l'hypothèse
de capacité localisées.
 La méthode est valable lorsque la condition suivante est satisfaite :
S
V
Lc

Avec
Milieu thermiquement mince
Fo
Bi
c
V
t
S
h



2
c
L
t
a
Fo 
Avec
 
Fo
Bi
T
T
T
T
i
i








exp


c
a



Avec
N° de Fourier
(Diffusivité)
Milieu thermiquement épais
L’équation de la chaleur (milieu inerte q=0) :
t
T
a
1
=
z
T
y
T
x
T
2
2
2
2
2
2










Transformation de Laplace Séparation des variables
Méthode analytique : Méthode numérique
Milieu thermiquement épais
Nous nous limiterons dans ce qui suit à la résolution des problèmes
thermocinétiques à deux variables : une variable spatiale x, et le temps t.
Ceci correspond à de nombreux cas pratiques où les conditions aux limites sont
indépendantes de y et z.
L’équation de la chaleur se réduit alors à :
t
T
a
1
=
x
T
2
2




Méthode analytique :
Transformation de Laplace
La transformée de Laplace d’une fonction T(t) est définie, sous certaines
conditions, par l’intégrale :
dt
t)
T(x,
p)
(x,
T 0

 
 pt
e
Milieu thermiquement épais
Propriétés de la Transformée de Laplace
       
t
f
B
t
f
A
t
f
B
t
f
A 2
1
2
1
.
.
.
. 


1. Linéarité
2. Transformée de Laplace de la fonction dérivée
3. Dérivation par rapport à un paramètre 
   
)
,
(
,




t
f
t
f





     
0
f
t
f
p
dt
t
df


   
)
,
(
,




t
f
t
f
n
n
n
n





Milieu thermiquement épais
Propriétés de la Transformée de Laplace
Milieu thermiquement épais
Transformation de Laplace
t
x)
T(t,
a
1
=
x
x)
T(t,
2
2




  0
=
x)
T(0,
x)
T(t,
p.
a
1
-
x)
T(t,
dx
d
2
2

équation différentielle du second
ordre a
T
-
=
x)
T(t,
a
p
-
x)
T(t,
dx
d 0
2
2
L’équation sans second membre admet comme solution :
(k.x)
exp
B
+
(-k.x)
exp
A
=
p)
(x,
T
a
p
=
k2
Avec :
Milieu thermiquement épais
Transformation de Laplace
L’équation sans second membre admet comme solution :
(k.x)
exp
B
+
(-k.x)
exp
A
=
p)
(x,
T
Une solution particulière de l’équation différentielle avec second membre est :
0
T
p
1
=
p)
(x,
T
a
T
-
=
x)
T(t,
a
p
-
x)
T(t,
dx
d 0
2
2
La solution générale de l’équation de la chaleur transformée s’écrit :
p
T
(k.x)
exp
B
+
(-k.x)
exp
A
=
p)
(x,
T 0

t)
T(x,
Milieu thermiquement épais
Etude de cas :
Application : Mur semi-infini soumis à un
saut de température
On appelle mur semi-infini le milieu défini
par le demi-espace. Un exemple simple est
celui d’un sol plan dont la surface peut être
soumise à diverses conditions.
Soit un tel mur semi-infini, initialement à une température uniforme T0
dans l’ensemble de sa masse.
On suppose que l’on porte brusquement sa surface à une température
constante T1
0
1
2
2
T
=
)
0
x,
(
T
T
=
)
t
0,
(
T
0
=
t
T
a
1
-
x
T




Milieu thermiquement épais
Application : Mur semi-infini soumis à un saut de température
0
1
2
2
T
=
)
0
x,
(
T
T
=
)
t
0,
(
T
0
=
t
T
a
1
-
x
T




0
=
)
0
x,
(
T
-
T
=
)
t
0,
(
0
=
t
a
1
-
x 0
1
2
2








T
-
t)
T(x,
=
)
t
x,
( 0

Température imposée à la surface de mur
Distribution de température initiale à travers le mur
Milieu thermiquement épais
Application : Mur semi-infini soumis à un saut de température
T
-
t)
T(x,
=
)
t
x,
( 0

a
T
-
=
x)
T(t,
a
p
-
x)
T(t,
dx
d 0
2
2
a
T
-
=
T
x)
(t,
a
p
-
T
x)
(t,
dx
d 0
0
0
2
2

 

  a
T
-
=
T
x)
(t,
a
p
-
x)
(t,
dx
d 0
0
2
2



a
T
-
=
p
T
x)
(p,
a
p
-
x)
(p,
dx
d 0
0
2
2








 0
=
x)
(p,
a
p
-
x)
(p,
dx
d
2
2


T
-
t)
T(0,
=
)
t
0,
( 0

p
T
-
T
=
)
p
0,
( 0
1

Milieu thermiquement épais
Application : Mur semi-infini soumis à un saut de température
0
=
x)
(p,
a
p
-
x)
(p,
dx
d
2
2


p
T
-
T
=
)
p
0,
( 0
1

a
p
=
k
:
avec
(k.x)
exp
B
+
(-k.x)
exp
A
=
p)
(x, 2

Solution :
La température (x, t), ni sa transformée ne pouvant tendre vers l’infini, la
constante d’intégration B est nécessairement nulle.
En x= 0 :
p
T
-
T
A
=
)
p
0,
( 0
1


   
p
k.x
-
exp
T
-
T
=
p)
(x, 0
1

D’où l’expression de la solution
transformée :
Milieu thermiquement épais
Application : Mur semi-infini soumis à un saut de température
   
p
k.x
-
exp
T
-
T
=
p)
(x, 0
1







at
2
x
erfc
a
p
k
,
p
2
-kx

e
T(t) T(p) = e T(t) dt
-pt
0


  





at
2
x
erfc
T
-
T
=
t)
(x, 0
1
 T
+
t)
(x,
=
t)
T(x, 0

at
2
x
=
u
:
posant
en
)
u
(
erfc
=
T
T
T
-
t)
T(x,
0
1
0

Milieu thermiquement épais
Application : Mur semi-infini soumis à un saut de température
La fonction erfc (u) est la fonction d’erreur complémentaire, définie à partir de la
fonction d’erreur erf (u) par la relation :
erfc (u) = 1 - erf (u)
 

u
0
2
d
-
exp
2
=
(u)
erf 


Milieu thermiquement épais
Exercices d’application :
A quelle profondeur doit-on enterrer une canalisation d’eau pour qu’une
brusque baisse de température à - 15 °C n’entraîne pas le gel de cette
canalisation au bout de 15 jours ?
Hypothèses :
- le sol est à une température initiale uniforme et égale à 5°C, sa
diffusivité thermique a =2,8. 10-7 m2.s-1;
- la température en surface du sol chute brusquement à -15°C et se
maintient à cette valeur pendant 15 jours.
Milieu thermiquement épais
Application : Mur semi-infini soumis à un saut de température
La solution de ce problème de mur semi-infini est donnée par l’équation :
)
u
(
erfc
=
T
T
T
-
t)
T(x,
0
1
0
 at
2
x
=
u
avec
La température initiale T0 du sol étant 5°C, l’échelon de température T1 - T0 vaut -
20°C, et la solution s’écrit
  





at
2
x
erfc
T
-
T
+
T
=
t)
T(x, 0
1
0
Le gel de la conduite se produira à la profondeur x et au temps t, lorsqu’il se réalise la
condition : 0
=
t)
T(x,
Milieu thermiquement épais
Application : Mur semi-infini soumis à un saut de température
0,25
=
(u)
erf
-
1
=
(u)
erfc
Condition satisfaite lorsque
 
0.25
T
-
T
T
-
=
at
2
x
erfc
0
1
0







0,75
0,25
-
1
=
(u)
erf  u = 0,81
Avec :
a = 2,8. 10-7 m2.s-1 et t = 15 jours = 15 . 24 . 3600 = 1.296.000 s,
on obtient
m
0,98
=
0,3628
1,62
=
10
.
1,296
.
10
.
2,8
2
.
0,81
=
x 6
-7
Enterrée à 1 m de profondeur, la conduite d’eau mettra 15 jours pour se refroidir
de +5°C à 0°C, lorsque la surface du sol passe brutalement de +5°C à -15°C

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  • 2. Milieu thermiquement mince • Considérons un solide : – T(t=0)=Ti. A l'instant t = 0, – le corps est immergé dans un liquide de température T < Ti. •  En raison du transfert de chaleur par convection à l'interface solide-liquide, la température du solide diminue au temps t > 0 jusqu'à ce qu'il atteigne T. •  Il est supposé que la température du solide est uniforme dans l'espace à tout instant au cours du processus transitoire, c'est à dire pas de gradient de température dans le solide. Cette hypothèse est appelée l'hypothèse milieu thermiquement mince. •  La réponse transitoire de température est déterminée par la formulation d'un bilan énergétique global sur le solide.
  • 3. Milieu thermiquement mince St out       t d T d c V T T S h        T T S h    
  • 4. Milieu thermiquement mince                        t c V S h T T T T i   exp   t d T d c V T T S h        t t t C R c V S h           1 Constante du temps thermique, exprimée en s  Rt est la résistance thermique de convection  Ct est la capacité thermique du solide.                          t i t t t c V dt S h dt Q      exp 1 0 0 Chaleur échangée entre le solide et le fluide :
  • 5. Milieu thermiquement mince Validité de la méthode La méthode n'est applicable que lorsque : R conduction << R convection  Le nombre de Biot : 1 . 0    c L h Bi S h S L Bi c 1   Il est, par conséquent, un critère pour mesurer la validité de l'hypothèse de capacité localisées.  La méthode est valable lorsque la condition suivante est satisfaite : S V Lc  Avec
  • 6. Milieu thermiquement mince Fo Bi c V t S h    2 c L t a Fo  Avec   Fo Bi T T T T i i         exp   c a    Avec N° de Fourier (Diffusivité)
  • 7. Milieu thermiquement épais L’équation de la chaleur (milieu inerte q=0) : t T a 1 = z T y T x T 2 2 2 2 2 2           Transformation de Laplace Séparation des variables Méthode analytique : Méthode numérique
  • 8. Milieu thermiquement épais Nous nous limiterons dans ce qui suit à la résolution des problèmes thermocinétiques à deux variables : une variable spatiale x, et le temps t. Ceci correspond à de nombreux cas pratiques où les conditions aux limites sont indépendantes de y et z. L’équation de la chaleur se réduit alors à : t T a 1 = x T 2 2     Méthode analytique : Transformation de Laplace La transformée de Laplace d’une fonction T(t) est définie, sous certaines conditions, par l’intégrale : dt t) T(x, p) (x, T 0     pt e
  • 9. Milieu thermiquement épais Propriétés de la Transformée de Laplace         t f B t f A t f B t f A 2 1 2 1 . . . .    1. Linéarité 2. Transformée de Laplace de la fonction dérivée 3. Dérivation par rapport à un paramètre      ) , ( ,     t f t f            0 f t f p dt t df       ) , ( ,     t f t f n n n n     
  • 10. Milieu thermiquement épais Propriétés de la Transformée de Laplace
  • 11. Milieu thermiquement épais Transformation de Laplace t x) T(t, a 1 = x x) T(t, 2 2       0 = x) T(0, x) T(t, p. a 1 - x) T(t, dx d 2 2  équation différentielle du second ordre a T - = x) T(t, a p - x) T(t, dx d 0 2 2 L’équation sans second membre admet comme solution : (k.x) exp B + (-k.x) exp A = p) (x, T a p = k2 Avec :
  • 12. Milieu thermiquement épais Transformation de Laplace L’équation sans second membre admet comme solution : (k.x) exp B + (-k.x) exp A = p) (x, T Une solution particulière de l’équation différentielle avec second membre est : 0 T p 1 = p) (x, T a T - = x) T(t, a p - x) T(t, dx d 0 2 2 La solution générale de l’équation de la chaleur transformée s’écrit : p T (k.x) exp B + (-k.x) exp A = p) (x, T 0  t) T(x,
  • 13. Milieu thermiquement épais Etude de cas : Application : Mur semi-infini soumis à un saut de température On appelle mur semi-infini le milieu défini par le demi-espace. Un exemple simple est celui d’un sol plan dont la surface peut être soumise à diverses conditions. Soit un tel mur semi-infini, initialement à une température uniforme T0 dans l’ensemble de sa masse. On suppose que l’on porte brusquement sa surface à une température constante T1 0 1 2 2 T = ) 0 x, ( T T = ) t 0, ( T 0 = t T a 1 - x T    
  • 14. Milieu thermiquement épais Application : Mur semi-infini soumis à un saut de température 0 1 2 2 T = ) 0 x, ( T T = ) t 0, ( T 0 = t T a 1 - x T     0 = ) 0 x, ( T - T = ) t 0, ( 0 = t a 1 - x 0 1 2 2         T - t) T(x, = ) t x, ( 0  Température imposée à la surface de mur Distribution de température initiale à travers le mur
  • 15. Milieu thermiquement épais Application : Mur semi-infini soumis à un saut de température T - t) T(x, = ) t x, ( 0  a T - = x) T(t, a p - x) T(t, dx d 0 2 2 a T - = T x) (t, a p - T x) (t, dx d 0 0 0 2 2       a T - = T x) (t, a p - x) (t, dx d 0 0 2 2    a T - = p T x) (p, a p - x) (p, dx d 0 0 2 2          0 = x) (p, a p - x) (p, dx d 2 2   T - t) T(0, = ) t 0, ( 0  p T - T = ) p 0, ( 0 1 
  • 16. Milieu thermiquement épais Application : Mur semi-infini soumis à un saut de température 0 = x) (p, a p - x) (p, dx d 2 2   p T - T = ) p 0, ( 0 1  a p = k : avec (k.x) exp B + (-k.x) exp A = p) (x, 2  Solution : La température (x, t), ni sa transformée ne pouvant tendre vers l’infini, la constante d’intégration B est nécessairement nulle. En x= 0 : p T - T A = ) p 0, ( 0 1       p k.x - exp T - T = p) (x, 0 1  D’où l’expression de la solution transformée :
  • 17. Milieu thermiquement épais Application : Mur semi-infini soumis à un saut de température     p k.x - exp T - T = p) (x, 0 1        at 2 x erfc a p k , p 2 -kx  e T(t) T(p) = e T(t) dt -pt 0           at 2 x erfc T - T = t) (x, 0 1  T + t) (x, = t) T(x, 0  at 2 x = u : posant en ) u ( erfc = T T T - t) T(x, 0 1 0 
  • 18. Milieu thermiquement épais Application : Mur semi-infini soumis à un saut de température La fonction erfc (u) est la fonction d’erreur complémentaire, définie à partir de la fonction d’erreur erf (u) par la relation : erfc (u) = 1 - erf (u)    u 0 2 d - exp 2 = (u) erf   
  • 19. Milieu thermiquement épais Exercices d’application : A quelle profondeur doit-on enterrer une canalisation d’eau pour qu’une brusque baisse de température à - 15 °C n’entraîne pas le gel de cette canalisation au bout de 15 jours ? Hypothèses : - le sol est à une température initiale uniforme et égale à 5°C, sa diffusivité thermique a =2,8. 10-7 m2.s-1; - la température en surface du sol chute brusquement à -15°C et se maintient à cette valeur pendant 15 jours.
  • 20. Milieu thermiquement épais Application : Mur semi-infini soumis à un saut de température La solution de ce problème de mur semi-infini est donnée par l’équation : ) u ( erfc = T T T - t) T(x, 0 1 0  at 2 x = u avec La température initiale T0 du sol étant 5°C, l’échelon de température T1 - T0 vaut - 20°C, et la solution s’écrit         at 2 x erfc T - T + T = t) T(x, 0 1 0 Le gel de la conduite se produira à la profondeur x et au temps t, lorsqu’il se réalise la condition : 0 = t) T(x,
  • 21. Milieu thermiquement épais Application : Mur semi-infini soumis à un saut de température 0,25 = (u) erf - 1 = (u) erfc Condition satisfaite lorsque   0.25 T - T T - = at 2 x erfc 0 1 0        0,75 0,25 - 1 = (u) erf  u = 0,81 Avec : a = 2,8. 10-7 m2.s-1 et t = 15 jours = 15 . 24 . 3600 = 1.296.000 s, on obtient m 0,98 = 0,3628 1,62 = 10 . 1,296 . 10 . 2,8 2 . 0,81 = x 6 -7 Enterrée à 1 m de profondeur, la conduite d’eau mettra 15 jours pour se refroidir de +5°C à 0°C, lorsque la surface du sol passe brutalement de +5°C à -15°C