Cours transfert thermique-formation complete

I- Généralités
II- Conduction
III- Rayonnement
IV- Convection
V. Applications
TRANSFERTS THERMIQUES

I- Généralités
Transfert thermique
=
Énergie en transit dû à une différence de température
Les modes de transfert de chaleur

La conduction
transport d’énergie dans la matière sans de déplacement de matière
Transport par les électrons (conducteur) ou les phonons (isolant)
nécessite un milieu solide de transmission
transmission faible dans les gaz

La convection
transport d’énergie dans la matière avec déplacement de matière
Transport par écoulement de fluide (liquides, gaz) / différence de masse volumique
nécessite un milieu fluide de transmission

Le rayonnement
transport d’énergie sous forme d’ondes électromagnétiques
pas de déplacement de matière
pas de contact entre les objets ou milieux qui échangent l’énergie
pas de milieu de transmission nécessaire (dans le vide, ça marche aussi !)

I- Généralités
Un flux de chaleur s'exprime donc en Joules/s, c'est-à-dire en Watt c'est une puissance.
Flux de chaleur : quantité de chaleur transférée par unité de temps dt
dQ
=
Φ
Analogie avec la mécanique des fluides :
Un débit fluide est un flux de matière [m3/s]
Pour obtenir un débit de fluide, il faut force motrice:
une différence de pression ou d’énergie potentielle.
Analogie avec l’électricité :
Un débit de courant est un flux d’électrons [C/s]
Pour obtenir un débit de courant, il faut force motrice:
une différence de potentielle électrique.
Un débit de chaleur est un flux de chaleur [J/s]
Pour obtenir un débit de chaleur, il faut une force motrice:
une différence de température
Une densité de flux de chaleur s'exprime donc W/m2
Densité de flux de chaleur : quantité de chaleur transférée par unité de temps par unité de surface
dt
dQ
S
1
=
φ

I- Généralités
1
2
3
Déperdition d’une piscine
Capteurs solaires (production ECS)
Échangeurs de chaleur
Thermique des bâtiments
Rendement dans les turbines
Équilibre thermique de la Terre
Changements climatiques

II.A.- Loi de Fourier
II- Conduction
A B
Dans cette barre métallique chauffée en son extrémité A, on observe un gradient
longitudinal de température T(x): T(A) T(B)
Cette différence du potentiel température T(A) - T(B) provoque un flux de
chaleur Φ :
Φ = h S [ T(A) - T(B) ] en J/s
h est défini comme un coefficient de transfert de chaleur

Milieu de propagation du flux de chaleur: un solide
Cause du phénomène: un écart de température
Dans le béton, la température T(M) va varie
de 26°C au contact de l'eau, à 8°C au contact du sol.
Il existe donc une fonction de variation
de la température
T = T(M)
dans le milieu conduisant la chaleur

Puisque la température varie dans le solide en
fonction de l'endroit où on la mesure,
c'est dire que:
Lorsqu'on de déplace de: M en M + dM
T(M + dM) = T(M) + dT
T est une fonction des 3
variables d'espace x, y et z:
Il existe donc un gradient de température:
La variation totale dT est la somme des 3 variations:
et la variation totale de
température est égale au
produit scalaire: avec:

Cause Effet
La Loi de Fourier exprime que l'effet produit est proportionnel à sa cause
provoque
Un gradient
local de
température
un densité de flux
de chaleur locale
W/m2 °C/m
W/(m .°C)

II.B.- Champs de lignes isothermes
I- Conduction
les vecteurs densité de flux et gradient de
température sont colinéaires.
qui signifie que les vecteurs densité de flux
sont orthogonaux aux lignes isothermes
conduit donc à
l'expression du
produit scalaire:
La Loi de Fourier:
Définition du
gradient:
on a:
Si:
quand M + dM Lignes de flux
orthogonales aux
isothermes
Lignes isothermes
Définition de (C), une ligne isotherme: Si M ∈
∈
∈
∈ (C) alors T(M) = Cte ou dT ≡
≡
≡
≡ 0

II.C.- conduction en 1D (problème du mur)
I- Conduction
x = 0 x = L
T(x = 0) = T0
T(x = L) = TL
Dans le cas général, T dépendra de l'espace: ce sera T(x, t)
et la Loi de Fourier se réduit à l'équation différentielle
1 D ⇒ une seule variable d’espace x
Flux de chaleur φ
φ
φ
φ en W/m2
x = 0 x = L
T0 TL TL
Cause du phénomène de conduction dans le milieu: une différence de température
Effet: un Flux de chaleur
dx
dT
λ
φ −
=

Dans cette hypothèse, rien ne dépend de la variable temps t : T(x,t) ≡
≡
≡
≡ T(x)
x x + dx
La température de cette tranche de
matière de longueur dx demeure
constante
φ
φ
φ
φ(x) φ
φ
φ
φ(x + dx) Par conséquent:
φ
φ
φ
φ(x) = φ
= φ
= φ
= φ(x + dx) Le flux de chaleur est constant
Hypothèse stationnaire
( )
0
0
0
.
)
(
)
(
)
(
)
( T
T
L
dx
x
T
dx
x
dT
dx
x
dx
dT
x L
L
x
x
L
x
x
−
−
=
⇔
−
=
⇔
−
=
⇔
−
= ∫
∫
=
=
=
=
λ
φ
λ
φ
λ
φ
λ
φ
L
T
T L
−
= 0
λ
φ

L'écart de température T1 - T2
provoque un flux de chaleur à
travers le mur:
Ecart de température: T1 - T2 = 20°C - 5°C = 15°C
Epaisseur du mur: L = 0,20 m
λ pour le béton: λ = 0,92 W / (m .°C)
Flux thermique à travers le mur: φ = 0,92 x 15 / 0,20 = 69 W/m2
Puissance pour S = 5 m x 4 m = 20 m2, Φ = φ S = 1,38 kW
Exemple: mur en béton
L
T
T 2
1 −
= λ
φ

ρ
ρ
ρ
ρ est la résistivité électrique
1/λ
λ
λ
λ est la résistivité thermique, inverse de la conductivité
R s'exprime en °C/W
Analogie électrique
( ) Φ
=
Φ
=
−
⇒
−
=
Φ
= R
S
L
T
T
T
T
L
S λ
λ
φ 2
1
2
1
Φ
=
− R
T
T 2
1
S
L
S
L
S
L
R
ρ
λ
λ
≡
=
=
1
Différence de potentiel
Résistance thermique
r est la résistance spécifique
λ
L
S
R
r =
= . ( ) φ
λ
φ r
T
T
T
T
L
S
=
−
⇒
−
=
Φ
= 2
1
2
1
r s'exprime en °C.m²/W

Mur multicouches (1D stationnaire)
Chaque couche est caractérisée par:
son épaisseur ei
sa conductivité λi
les températures Ti et Ti+1 de ses 2 faces
La densité de Flux thermique est constante tout le mur:
Loi du mur simple avec additivité des résistances spécifiques
n
n
n
R
T
T
R
T
T 1
1
2
1
... +
−
=
=
−
=
Φ
1
1
1
2
1
1
...
1
+
+ −
=
−
=
=
−
=
Φ
∑
n
i
i
n
n
n
T
T
R
T
T
R
T
T
R
∑
∑
∆
=
∆
=
Φ
i i
i
i
i
e
T
S
R
T
λ

II.D.- équation générale de la chaleur
I- Conduction
Expression locale de la loi exprimant un lien causal entre un apport d'énergie
et une variation de température – application du 1er principe de la thermodynamique
∫∫∫
=
Φ
V
dV
dT
c
dt .
.
.
ρ
soit un apport d'énergie
1 - Flux par conduction reçu par un volume V délimité par une surface S
∫∫
−
=
Φ
S
dS
n
W .
.
]
[
r
r
φ ∫∫
−
=
S
C dS
n
dt
J
Q .
.
.
]
[
r
r
φ
2 - Éventuellement, apport thermique de sources de chaleur internes de densité de
puissance volumique p [W/m3]
∫∫∫
=
V
I dv
p
dt
J
Q .
.
]
[
1er principe : Qc+Qi=∆U=mc ∆T
Apport d’énergie implique une variation d’énergie du corps
Les apports peuvent être :
∫∫∫
∫∫∫
∫∫ =
+
−
V
V
S
dT
c
dV
dv
p
dt
dS
n
dt .
.
.
.
.
.
. ρ
φ
r
r

(Formule d'Ostrogradski) ∫∫∫
∫∫ ∫∫∫ ∇
=






=
→
→
dv
dv
div
ds
n .
φ
φ
φ
r
r
Bilan thermique V
0 ∀
=






∂
∂
−
+
∇
−
∫∫∫
V
dv
t
T
c
p ρ
φ
r
0
=
∂
∂
−
+
∇
−
t
T
c
p ρ
φ
r
Loi de Fourier T
∇
−
=
r
r
λ
φ ( ) 0
=
∂
∂
−
+
∇
∇
t
T
c
p
T ρ
λ
r
Milieu homogène isotrope ( ) 0
T
0 =
∂
∂
−
+
∆
⇒
=
∂
∂
−
+
∇
∇
t
T
c
p
t
T
c
p
T
λ
ρ
λ
λ
ρ
λ
r
Diffusivité thermique
c
a
ρ
λ
= [m2s-1] Le cuivre a une diffusivité thermique a = 1, 1 . 10-4 m2/s)
2
2
α
∂
∂
=
∆ 2
2
2
2
2
2
2
1
1
z
r
r
r
r ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∆
θ
( )
2
2
2
2
2
2
2
sin
1
sin
sin
1
.
1
ϕ
θ
θ
θ
θ
θ ∂
∂
+






∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
∆
r
r
r
r
r
Régime stationnaire
0
T =
+
∆
λ
p
0
1
T =
∂
∂
−
∆
t
T
a
0
T =
∆
Milieu inerte Régime stationnaire+milieu inerte
Équation de Poisson Équation de Fourier Équation de Laplace

Conditions aux limites
Indispensables pour la résolution de l'équation
2 grands type (Dirichlet, Neumann)
Conditions de Dirichlet :
les CL imposent la température en surface (ou en un point particulier) à chaque instant
)
,
,
( s
s
s
S z
y
x
T
T =
-assez éloignées de la réalité (imposer une température ?!)
-facilitent les calculs
Conditions de Neumann :
les CL imposent le flux en surface à chaque instant
)
,
,
,
( t
z
y
x s
s
s
S φ
φ =
-Plus réaliste (tiens compte des flux par rayonnement par exemple)
-Dans le cas stationnaire, φS= φ0

II.E.- Modèles élémentaires
I- Conduction
Mur homogène, régime stationnaire, conductivité constante 0
)
(
0
T 2
2
=
∂
∂
→
=
∆
x
x
T
2
1
2
1
0
)
(
T
T
x
T
T
x
C
x
C
x
T
=
→
=
=
→
=
+
=
δ 1
2
2
1
1
T
C
T
T
C
=
−
−
=
δ
( )
S
R
T
T
T
S
dx
dT
S
T
x
T
T
x
T
λ
δ
δ
λ
λ
δ
=
∆
=
Φ
−
=
−
=
Φ
+
−
−
=
R
)
(
2
1
1
2
1
Mur homogène à N couches, régime stationnaire
T2 T3
φ
T1 T2
φ
T1 T2
φ
Tn Tn+1
φ
On apllique pour chaque couche le modèle précédent
( ) ∑
∑ =
=
+
+
+
=
∆
=
−
=
Φ
−
=
Φ
+
−
−
=
N
i i
i
T
N
i
i
N
i
i
i
i
i
i
i
i
S
R
T
R
T
T
T
T
S
T
x
T
T
x
T
...
1
T
...
1
1
1
1
1
R
)
(
λ
δ
δ
λ
δ
T1 Tn+1

Cylindre creux homogène, régime stationnaire, conductivité constante
0
)
(
1
)
(
0
T 2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
→
=
∆
r
r
T
r
r
r
T
2
2
1
1
1
ln
ln
ln
0
T
T
r
r
T
T
r
r
C
r
u
r
u
dr
du
dr
dT
u
=
→
=
=
→
=
=
+
=
+
→
=
( )
2
1
1
2
1
1
2
2
1
2
1
1
2
1
ln
ln
ln
ln
)
(
r
r
r
T
T
T
C
r
r
T
T
C
C
r
C
r
T
−
−
=
−
=
+
=
( )
( )
λ
π
π
λ
φ
λ
λ
.
.
2
ln
R
2
ln
1
)
(
ln
)
(
)
(
ln
ln
)
(
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
1
L
r
r
rL
r
r
r
T
T
R
r
S
r
r
T
T
r
r
S
dr
dT
r
S
r
r
r
r
T
T
T
r
T
=
∆
=
∆
=
=
Φ
−
=
−
=
Φ
−
−
=
r1
r2
T1
T2
-Φ
Φ
Φ
Φ er R sont indépendant de r
- On utilise souvent une puissance linéaire linéique Φl=Φ pour 1 m de tuyau (L = 1 m)
L

Cylindre creux homogène à N couches, régime stationnaire, conductivité λi constante
r1
r2
r3
On apllique pour chaque couche le modèle précédent
( )
( )
( ) ( )
∑
∑
=
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
=
∆
=
Φ
−
=
−
=
=
−
=
Φ
−
=
Φ
+
−
−
=
N
i i
n
n
T
T
N
N
i i
n
n
n
n
n
n
n
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
L
r
r
R
T
R
T
T
L
r
r
T
T
L
r
r
T
T
L
r
r
r
r
T
T
L
T
r
r
r
r
T
T
r
T
..
1
1
1
1
..
1
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
1
2
ln
1
2
ln
2
ln
...
2
ln
1
ln
2
ln
ln
ln
ln
)
(
λ
π
λ
π
λ
π
λ
π
λ
π
Φ
Φ
Φ
Φ est indépendant de r

il se conserve au passage de N couches
Exemple : canalisation calorifugées

Mur homogène, régime stationnaire, conductivité constante, CL Dirichlet + Neumann
2
1
2
1
)
(
0
)
(
φ
δ
φ
δ =
→
=
=
→
=
+
=
x
T
T
x
C
x
C
x
T
λ
φ
λ
λ
φ
δ
2
1
1
2
1
2
)
(
−
=
⇒
−
=






∂
∂
−
=
=
=
C
C
x
x
T
T
C
x
S
R
T
T
T
T
T
T
T
x
x
T
λ
δ
λ
δ
φ
λ
δ
φ
δ
λ
φ
δ
λ
φ
=
∆
=
Φ
−
=
−
=
−
⇒
+
−
=
=
⇒
+
−
=
R
)
(
)
( 2
1
2
1
2
2
1
2
T1 T2
φ
Cylindre plein, régime stationnaire, conductivité λ constante
Idem cylindre creux avec r1 0 ∞

 →

+
= →0
2
1 ln
)
( r
C
r
C
r
T
Physiquement inacceptable, sauf si C1=0 T(r)=constante, donc Φ = 0 W

Mur composite, régime stationnaire
0
)
(
0
T 2
2
=
∂
∂
→
=
∆
x
x
T
T1 T2
φ
T1 T2
φ
T1 T2
φ
Problème a priori 2D, mais l'approximation 1D permet
cependant une bonne modélisation de la réalité
Mur composite de N couches caractérisées par:
son épaisseur ei
sa conductivité λi
sa surafce Si
les températures T1 et T2 de ses 2 faces
T1 T2
i
i
i
i
N
i i
T S
e
R
R
T
R
T
λ
=
∆
=
∆
=
Φ
∑
= ..
1
1
R1=e1/(λ1S1)
R1=e1/(λ1S1)
R1=e1/(λ1S1)

II.F.- Modèle du milieu semi-infini
I- Conduction
T, Φ
Milieu semi infini = milieu dont les dimensions sont
suffisamment grandes pour que les perturbations (T
ou Φ
Φ
Φ
Φ) appliqueés sur l'une des faces ne se fassent
pas ressentir sur l'autre
Description réaliste du sol
Résolution de l'équation de la chaleur
⇓
Transformée de Laplace d'une fonction
Méthode de séparation des variables
Théorème de superposition (décomposition de Fourier)
Fonction de Green
Calcul numérique

Tranformée de Laplace
∫
∞
−
=
=
0
)
(
)
exp(
)]
(
[
)
( dt
t
f
pt
t
f
L
p
F
dnF(p)/dxn
∂nT(x,t)/∂xn
1/p2
t
1-erf[x/(4at)1/2]
(1/p)exp(-qx) q²=p/a
1/p2
t
non définie
1/t
1/p
1 (Heaviside)
F(p)
f(t)
f continue bornée sur [0, +∞[ (même par morceaux)
∃α 0α1 / tα|f(t)| → 0 si t→0
Si f est définie sur |R, f est nulle sur |R-
F(p) définie pour p0 (majoration à l’∞)
Si p complexe c'est la transformée de Fourier
Linéarité : L[af(t)+bg(t)]=aL[f(t)]+bL[g(t)]
Dérivée : L[fn(t)]=pF(p)-f(0+)]
Similitude : L[f(kt)]=(1/k)F(p/k)
Dérivation : F(n)(p)=L[(-1)ntnf(t)]
voir cours méthématiques
les tables de tranformées de Laplace permettent un passage relativement aisé f(t)F(p)
l'inverse n'est pas toujours très simple !

0
)
,
(
1
)
,
(
2
2
=
∂
∂
−
∂
∂
t
t
x
T
a
x
t
x
T
Exemple : équation de la chaleur unidimensionnelle sans source (soit Π(x,p) =L[T(x,t)]
[ ] 0
)
0
,
(
T
)
,
(
1
)
,
(
2
2
=
−
Π
−
Π +
x
p
x
p
a
dx
p
x
d
a
T
p
x
a
p
dx
p
x
d 0
2
2
)
,
(
)
,
(
=
Π
−
Π
Eq. Diff. Conventionnelle à résoudre, puis inversion F(p)f(t) pour la solution finale
[ ]
a
p
k
kx
B
kx
A
p
x
p
x
a
p
dx
p
x
d
p
x
a
p
p
p
x
a
p
p
x
p
a
p
T
(x,p)
*(x,p)
T
(x,t)
*(x,t)
=
+
+
−
=
Π
⇒
=
Π
−
Π
Π
=






−
Π
=
−
Π
−
Π
=
Π
⇒
−
=
2
2
2
0
0
0
0
)
exp(
)
exp(
)
,
(
*
0
)
,
(
*
)
,
(
*
)
,
(
*
T
)
,
(
T
)
,
(
1
T
T
Équation de la chaleur
Transformée de Laplace
Changement de variable
Conditions initiales détermination des constantes d’intégration A et B

Application : mur semi-infini à température T0, λ constant, soumis à un saut de température T1
z
T0
T1 appliquée « brusquement »









=
=
=
∂
∂
−
∂
∂
1
0
2
2
)
,
0
(
)
0
,
(
0
)
,
(
1
)
,
(
T
t
T
T
z
T
t
t
z
T
a
z
t
z
T









−
=
Π
=
Π
=
Π
−
Π
p
T
T
p
z
p
z
a
p
dz
p
z
d
0
1
2
2
)
,
0
(
*
0
)
0
,
(
*
0
)
,
(
*
)
,
(
*









−
=
=
=
∂
∂
−
∂
∂
0
1
2
2
)
,
0
(
*
0
)
0
,
(
*
0
)
,
(
*
1
)
,
(
*
T
T
t
T
z
T
t
t
z
T
a
z
t
z
T
Π* ne peut pas → ∞ (majoration) : B=0






=
→








−
=
at
x
erfc
t
f
p
x
a
p
p
F
4
)
(
exp
)
(
A
A
p
T
T
p
x
x =
=
−
=
Π
⇒
= )
0
exp(
)
,
(
*
0 0
1








−
−
=
Π z
a
p
p
T
T
p
x exp
)
,
(
* 0
1








+
+








−
=
Π z
a
p
B
z
a
p
A
p
x exp
exp
)
,
(
*
( ) ( ) 





−
+
=
⇒






−
= z
at
erfc
T
T
T
t
x
T
z
at
erfc
T
T
t
x
T
4
1
4
1
0
1
0
0
1 )
,
(
)
,
(
*
tables

Fonction erreur erf(u) et fonction erreur complémentauir erfc(u)
( )
( ) ( )








−
=








−
=
−
=
−
=
−
=
∞
=
−
=
−
=
∫
∫
2
2
0
2
2
2
0
2
2
1
2
2
1
0
0
1
2
β
β
π
α
β
α
β
π
π
ξ
ξ
π
u
u
du
d
d
u
u
u
du
d
u
u
u
u
d
u
u
u
exp
.
)
erf(
exp
)
erf(
exp
)
erf(
)
erf(
)
erf(
erf
)
erf(
)
erf(
)
erfc(
exp
)
erf(
Fonction tabulée (pas de solution analytique)

( ) ( ) ( ) 





−
−
=






−
+
=
⇒






−
= z
at
T
T
T
z
at
T
T
T
t
x
T
z
at
T
T
t
x
T
4
1
4
1
4
1
0
1
1
0
1
0
0
1 erf
erfc
)
,
(
erfc
)
,
(
*
( )
( ) ( ) ( ) ( )
t
T
T
bS
t
T
T
S
c
t
c
T
T
S
at
T
T
S
z
at
at
T
T
S
dz
t
z
dT
S
z
z
.
.
exp
)
,
(
π
π
λρ
ρ
λ
π
λ
π
λ
π
λ
λ
0
1
0
1
0
1
0
1
0
2
0
1
0 4
1
4
2
−
=
−
=
−
=
−
=









−
−
=



−
=
Φ
=
=
( )2
1
c
b λρ
=
On peut donc également calculer la densité de flux qui traverse le plan (la surface) z=0
Effusivité thermique du matériau. Le flux pénétrant dans le
matériau est proportionnel à son effusivité !
Mise en contact de deux milieux semi-infinis
Milieu 1, température initiale T1, effusivité b1
Milieu 2, température initiale T2, effusivité b2
Si T1T2
ϕ1=b1(πt)-1/2(T-T1)0 et ϕ2=b2(πt)-1/2(T-T2)0
Conservation du flux ϕ1=-ϕ2
2
1
2
2
1
1
b
b
T
b
T
b
T
+
+
= Si b1≈b2 alors T≈(T1+T2)/2
Si b1b2 alors T≈T1
Explication de la sensation
physiologique des températures (cf. TD)

Méthode de séparation des variables
On cherche s’il existe une solution particulière à variables séparées satisfaisant le
système d’équation (chaleur + CL) : T(x,t)=X(x).Y(t)









=
=
=
∂
∂
−
∂
∂
2
0
0
0
1
2
2
0
0
1
CL
t
z
y
x
T
CL
z
y
x
T
t
t
z
T
a
z
t
z
T
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
)
,
(
)
,
(









=
=
=
∂
∂
−
∂
∂
2
0
1
2
2
0
0
CL
t
x
T
CL
x
T
t
t
Y
a
z
X
z
z
X
t
Y
)
,
(
)
,
(
)
(
)
(
)
(
).
(









=
=
=
2
0
1
0
1
CL
t
x
T
CL
x
T
t
Y
t
Y
a
z
X
z
X
)
,
(
)
,
(
)
(
)
(
'
)
(
)
(

( )
t
ak
t
Y
k
t
Y
t
Y
a
k
z
X
z
X
2
2
2
1
−
=
−
=
=
−
=
=
exp
)
(
)
(
)
(
'
)
(
)
(

δ
α
α
)
exp(
)
(
)
(
)
(
'
)
(
)
(

t
i
t
Y
i
t
Y
t
Y
i
z
X
z
X
a
ω
η
ω
β
ω
β
=
=
=
=
=
α 0 car sinon T∞ pour t∞
Modèle adaptée pour les phénomènes
qui tendent vers une distribution de la
température constante àl’équilibre
Modèle adaptée pour les phénomènes
périodiques en fonction du temps
La solution élémentaire = X(z).Y(t) + Ci les conditions aux limites sont essentielles

Application : mur semi-infini à température T0, λ constant, soumis à une variation périodique de sa
température en surface (modèle du sol sous rayonnement solaire)
z
T1 








=
=
∞
=
∂
∂
−
∂
∂
t
A
t
t
t
z
a
z
t
z
ω
θ
θ
θ
θ
cos
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
0
2
2
0
0
0
0
1









+
=
=
∞
=
∂
∂
−
∂
∂
t
A
T
t
T
T
T
t
t
z
T
a
z
t
z
T
ω
cos
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
0
1
1
2
2
0
0
0
1
( ) ( )
( ) ( )
[ ] )
exp(
exp
exp
)
,
(
exp
exp
)
(
)
(
)
(

)
exp(
)
(
)
(
)
(
'
t
i
ikz
ikz
t
z
ikz
ikz
z
X
k
i
a
i
a
z
X
z
X
t
i
t
Y
i
t
Y
t
Y
ω
η
µ
κ
θ
µ
κ
ω
β
ω
η
ω
β
×
+
+
−
=
+
+
−
=
⇒
=
=
=
=
⇒
=
=
2
2
θ : fluctuation de température
la solution doit être finie si x∞ : µ = 0
θ(0,t)=A0cosωt : κη=A0
)
exp(
exp
)
,
( t
i
z
a
i
A
t
z ω
ω
θ 







−
= 0

( ) ( ) ( )
i
a
a
i
i
i
i +






=
⇒
+
=
−
+
=
= 1
2
1
2
1
2
1
2
or
2
1
2 ω
ω
ω
ω
ω
β
)
exp(
exp
)
,
( t
i
z
a
i
A
t
z ω
ω
θ 







−
= 0
( )






−
















−
=
















−
















−
=














−
















−
=










+






−
=
D
z
a
t
A
z
a
a
t
A
a
t
i
z
a
A
t
i
z
i
a
A
t
z
exp
cos
exp
cos
)
exp(
exp
)
exp(
exp
)
,
(
2
1
0
2
1
2
1
0
2
1
2
1
0
2
1
0
2
2
2
2
2
1
2
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
θ
L’amplitudes oscillations décroît rapidement
si on s’éloigne du plan z=0
pour des fréquences croissantes
Il existe un déphasage temporel des oscillations
entre deux profondeurs
D : profondeur d'amortissement (à cette profondeur la variation cyclique de T est atténuée par le
facteur 1/e = 37% (86% à 2D, 98% à 4D) T est à peu près constante (=T1) pour z=4D.
2
1
2






=
ω
a
D

La diffusivité thermique des sols est dans la gamme a=0,5.10-6 m2s-1.
Cas de l’ensoleillement journalier : période du signal 24h D=0,1173 m
Cas de l’ensoleillement annuel : période du signal 365 jr D=2,2411 m
Cas d’une période glaciaire : période du phénomène 1000 ans D=224,11 m
les bonnes caves sont toujours à quelques mètres sous terre !
le permafrost (sol gelé en profondeur lors de la dernière glaciation)
ne dégèle que très superficiellement pendant l’été
a =0,5.10-6 m2s-1
D= 0,12 m (4D = 0,48)
w = (2π)/(24.3600)
T0 = 15 °
C, A 0 = 5 °
C

II.A.- Loi de Newton
II- Convection
C'est le transfert de chaleur par des
courants de fluides, liquides ou
gazeux.
Ce phénomène peut se développer
naturellement, les différences de
potentiel motrices étant des
différences de densité: c'est la
CONVECTION NATURELLE.
On peut aussi le générer
mécaniquement à l'aide de pompes
ou de ventilateurs: c'est la
CONVECTION FORCEE.

Coefficient d'échange de chaleur par convection
convection = transfert de chaleur par déplacement de fluide
mécanisme de transfert décrit par la loi de Newton
S
Φ
Φ
Φ
Φ
TP
fluide
T∞
( )
∞
−
=
Φ T
T
hS P
loi de Newton
Φ Flux de chaleur transmis par convection [W]
h coefficient de transfert [W.m-2K-1]
TP température de la surface d'échange [K, °
C]
T∞ température du fluide loi de la surface d'échange [K, °
C]
S aire de la surface d'échange solide/fluide [m2]

La valeur du coefficient de transfert de chaleur par convection h est fonction
de la nature du fluide
de la température du fluide
de la vitesse de déplacement du fluide
des caractéristiques géométriques de la surface de contact
( )
∞
−
=
Φ T
T
hS P Φ
=
Φ
=
∆ th
R
S
h
T
. S
h
Rconv
th
.
1
=
conduction pure conduction + convection
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
Φ
T1
T2
∑
∑
=
=
+
=
∆
=
−
=
Φ
N
i i
i
T
N
i
i
N
S
R
T
R
T
T
...
1
...
1
1
1
λ
δ
T
R
T2
T1
S
h
S
e
S
h
R
T
S
h
S
e
S
h
T
T
B
N
i i
i
A
T
B
N
i i
i
A
N
.
1
.
1
.
1
.
.
1
...
1
...
1
1
1
+
+
=
∆
=
+
+
−
=
Φ
∑
∑
=
=
+
λ
λ
T
R
interface A interface B
Les lois relatives à la conduction s'appliquent
également pour la convection (série, parallèle)
Cylindre
2πrL

II.B.- Mécanismes de convection / régimes d'écoulement
II- Convection
Convection = transfert de chaleur par déplacement de matière (fluide)
différents mécanismes de tranfert
le type d'écoulement est important dans la description du problème
Tranferts de chaleur et transferts de masse liés

mécanique des fluides + transferts
Convection libre
Fluide en mouvement par les différence de masse volumique en son sein dues à ∆T et gravité
Convection forcée
Fluide en mouvement par une cause extérieure à la flottabilité (ventilateur, pompe…)
Écoulement laminaire
Écoulement directionnel (ou irrotationnel) lignes de fluide parallèles (lignes de courant)
conduction dans une direction ⊥ aux lignes de courant
convection + conduction (négligeable) pour toute autre direction
Écoulement turbulent
Pas de direction privilégiée (pas unidirectionnel), mais déplacement d'ensemble possible
convection + conduction (négligeable) dans toutes les directions
Chaque situation fait intervenir un certain nombre de paramètres déscriptifs de la situation

Problème majeur pour calculer le flux de chaleur par convection
la détermination de h !!!!!!
Nombreux paramètres descriptifs
Analyse dimensionnelle
Théorème de VASCHY-BUCKINGHAM
Groupes adimensionnés (combinaisons des paramètres)
Mesures expérimentales lois de corrélation entre groupes
Détermination du coefficient h par connaissance des caractéristiques du fluide

II.C.- Analyse dimensionnelle appliquée à la convection forcée
II- Convection
Le problème consiste à préciser l'expression du flux
thermique Φ
Φ
Φ
Φ échangé entre le fluide extérieur à la
température T∞
∞
∞
∞ et une longueur unité de la surface du tuyau
à la température TP
( )
Φ = h T - T D
p ∞ π
Surface d'échange par
m de tuyau, en m2
Ecart de température
entre paroi extérieure
et fluide à l'infini, en K
Flux transféré,
en Watt
en W/(m2.K)

8 Grandeurs physiques et 4 dimensions: M, L, T et θ
Le théorème de VASCHY-BUCKINGHAM permet donc de prévoir que la forme
la plus générale de la loi physique décrivant le phénomène étudié s'écrira:
πi :groupements sans dimension de la forme:
0
)
,
,
,
( 4
3
2
1 =
π
π
π
π
F ( )i
P
g
f
e
d
c
b
a
T
T
h
C
U
D ∞
∞ −
= µ
ρ
λ
π
Toute fonction G de p variables indépendantes xi mesurée par q unités fondamentales (avec p q) s’exprime
nécessairement sous la forme :
les variables x1, x2, …,xq étant choisies dimensionnellement indépendantes. Les fonctions πi sont des
groupements adimensionnels des variables x1, x2, …,xp.. Dans la pratique, on choisit pour x1, x2, …,xq les
paramètres que l’on considère comme essentiels pour le problème considéré et que l’on veut voir figurer
explicitement dans l’expression de G.
( ) ( ) 0
...,
...
,...,
, ,
2
,
1
2
1
2
1 =
= +
+ p
q
q
q
q
b
a
q F
x
x
x
x
x
x
G π
π
π

L, longueur
M, masse
T, temps
θ, température
Matrice dimensionnelle
Le rang de cette matrice est 4 (nombres de vecteurs indépendants)
On choisit 4 vecteurs tels que
toutes les dimensions soient représentées
ils soient des vecteurs indépendants (D, λ, µ, ρ) ok, (D, λ, h, ρ) non ok car [h]=[λ]-[D]
les vecteurs restants [αi] au nombre de 4 (8 variables - 4 dimensions) calcul de π1, π2, π3, π4
i
exposant
i
e
d
b
a
i D α
µ
ρ
λ
π .
=
θ
MT-3θ-1
L2T-2θ-1
L-1MT-1
L-3M
LT-1
LMT-3θ-1
L
1
-1
-1
0
0
0
-1
0
i
g
f
e
d
c
b
a
0
-3
-2
-1
0
-1
-3
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
2
-1
-3
1
1
1
TP-T∞
∞
∞
∞
h
C
µ
µ
µ
µ
ρ
ρ
ρ
ρ
U∞
∞
∞
∞
λ
λ
λ
λ
D
exposant
Dimensions

Obtention des groupements
Considérons que D, λ, µ, et ρ (vecteurs indépendants soient les grandeurs
fondamentales de notre problème, 8xi-4xi(indep)=4αi
( ) ( )
( ) 0
,
,
,
0
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
4
3
2
1
4
3
2
1
=
⇒
=
=
∆
∞
π
π
π
π
π
π
π
π
ρ
µ
λ
ρ
µ
λ
F
F
D
T
h
C
U
D
G d
e
b
a
5 inconnues (a, b, d, e, exposanti) et 4 équations 1 des exposants peut être choisi
arbitrairement
divers groupements sont donc obtenus, mais certains se sont imposés par leur utilité
Longueur : a+b-3d-e=0
Masse : b+d+e+g=0
Temps : -3b-e-3g=0
Température : -b-g=0
5 inconnues (a, b, d, e, g) / 4 équations
Hypothèse : g=1soit h=h(…)
i
exposant
i
e
d
b
a
i D α
µ
ρ
λ
π .
=
g = 1 b = -g = -1 e = -3b-3g = 0 d = -b-e-g = 0 a = -b+3d+e=1
λ
π
hD
=
= Nu
1
Calcul de π
π
π
π1 pour α
α
α
α1=h
g
e
d
b
a
g
e
d
b
a
MT
MT
L
M
L
LMT
L
h
D ]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
. 1
3
1
1
3
1
3
1
−
−
−
−
−
−
−
=
= θ
θ
µ
ρ
λ
π

( ) ( )
∞
∞
∞ −








=
−
= T
T
U
C
T
T
D
P
P
2
3
2
2
4 .
Re
Pr
µ
λρ
π
µ
ρ
π
D
U∞
=
= Re
2
λ
µ
π
C
=
= Pr
3
( )
∞
∞
−
=
T
T
C
U
P
2
Ec
Longueur : a+b-3d-e+c = 0
Masse : b+d+e = 0
Temps : -3b-e-c = 0
Température : -b = 0
5 inconnues (a, b, c, d, e) / 4 équations
Hypothèse : c=1 soit U∞=U∞(…)
c = 1 b = 0 e = -3b-c = -1 d = -b-e = 1 a = -b+3d+e-c = 1
Calcul de π
π
π
π2 pour α
α
α
α2 = U∞
∞
∞
∞
c
e
d
b
a
c
e
d
b
a
LT
MT
L
M
L
LMT
L
U
D ]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
. 1
1
1
3
1
3
2
−
−
−
−
−
−
∞ =
= θ
µ
ρ
λ
π
Longueur : a+b-3d-e+2f = 0
Masse : b+d+e = 0
Temps : -3b-e-2f = 0
Température : -b-f = 0
5 inconnues (a, b, d, e, f) / 4 équations
Hypothèse : f=1 soit C=C(…)
f = 1 b = -f = -1 e = -3b-2f = 1 d = -b-e = 0 a =-b+3d+e-2f=0
Calcul de π
π
π
π3 pour α
α
α
α3 = C
f
e
d
b
a
f
e
d
b
a
T
L
MT
L
M
L
LMT
L
C
D ]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
. 1
2
2
1
1
3
1
3
3
−
−
−
−
−
−
−
=
= θ
θ
µ
ρ
λ
π
Longueur : a+b-3d-e = 0
Masse : b+d+e = 0
Temps : -3b-e = 0
Température : -b+i = 0
5 inconnues (a, b, d, e, i) / 4 équations
Hypothèse : i=1 soit C=C(…)
i = 1 b = i = 1 e = -3b = -3 d = -b-e = 2 a =-b+3d+e = 2
Calcul de π
π
π
π4 pour α
α
α
α4 = TP-T∞
∞
∞
∞
( ) i
e
d
b
a
i
P
e
d
b
a
MT
L
M
L
LMT
L
T
T
D ]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
. 1
1
3
1
3
4 θ
θ
µ
ρ
λ
π −
−
−
−
−
∞ =
−
=

Corrélations – conclusion de l'analyse dimensionnelle
La méthode dimensionnelle fournit les grandeurs réduites
elle ne donne pas la relation qui les lie
les relation sont donc obtenues par dépouillement de données expérimentales
recherche dans les tables, bibliographies, …
0
)
,
,
,
( 4
3
2
1 =
π
π
π
π
F 0
)
( =
Ec
Pr,
Re,
Nu,
F
)
f(
F Pr
Re,
Nu
Pr
Re,
Nu, =
⇒
= 0
)
(
En écoulement subsonique








= ∞
λ
µ
µ
ρ
λ
C
D
U
f
hD
,
Caractéristiques
du fluide calculées
en θ = (θP-θ∞) /2
Eau à 50 °C
ρ = 988 kg/m3
µ = 0,55.10-3 Pa.s
λ = 0,639 W/(m.°C)
C = 4.184 J/(kg.°C)

N = 0,023 P R
u r
1
3
e
0,8
Pr = 1
Pr = 3,6
Pr = 10
Calcul du Nombre de
Calcul du Nombre de Nusselt
Nusselt (Formule de
(Formule de Colburn
Colburn)
)
NR = 57124
Nu = 225
ξ
κ
η
ψ r
P
Re
Nu +
=
Les résultats expérimentaux sont généralement exprimés sous la forme

II.D.- Cas de la convection libre (dite naturelle)
II- Convection
TP=T∞
t=t0
V = 1 u
m = ρ∞
Fluide (T∞, ρ∞)
TP=T∞+∆T
t=t0+dt
V = 1 u
m = ρ∞-∆ρ
Fluide (T∞, ρ∞)
g
f
r
r
ρ
∆
−
=
( ) g
V
g
V
g
V
Poids
P
F
f Archimède
r
r
r
r
r
r
ρ
ρ
ρ
ρ ∆
−
=
∆
−
+
−
=
+
=
= ∑ 0
0
Force ascensionnelle
( ) g
g
V
g
V
m
F
r
r
r
r
r
r
r
0
0
0
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
γ
γ
ρ
ρ
ρ
γ
∆
−
≅
∆
−
∆
−
=
→
∆
−
=
∆
−
→
=
∑
Accélération de la bulle
Coefficient de dilatation
( ) ( ) 2
1
)
(
.
)
(
.
1
)
(
)
(
/
1
1
1
1
−
−
−
=
=






∂
∂
=






∂
∂
=






∂
∂
=
x
F
dx
x
dF
dx
x
F
d
dx
x
F
d
or
T
T
m
m
T
V
V P
P
P
ρ
ρ
ρ
ρ
β
T
T P ∆
∆
≅






∂
∂
−
=
ρ
ρ
ρ
ρ
β
1
1
T
g∆
= β
γ
Module de l'accélération produite par l'expansion thermique
- β [K-1]
- g [m.s-2]

Accélération = mouvement
Le gradient de température induit un gradient de masse volumique et donne naissance à un
courant de convection
Application courante :
ascension de l'air proche du sol au lever du soleil développement d'une couche limite
convective au-dessus du sol (mais complexe car couplage avec l'humidité)
l'acsension des masses d'air cesse lorsque la température du fluide diminue (gradient
thermique de l'atmosphère), où que la température ambiante augmente.
l'atmosphère possède souvent une inversion thermique autour de 2000 m (T croit avec altitude
au-delà !) limite le développement de la couche convective (air froid sous air chaud) = CLA
βg∆T ou βg(T-T∞) est le module de l'accélaration du fluide en mouvement. β est appelé
coefficient de flottabilité en science de l'atmosphère.
Les paramètres décrivant le transfert sont donc les caractéristiques
du fluide : λ, ρ, µ, C, β, g
de la paroi : L (ou D), h
de la différence de température (TP-T∞) +humidité
9 grandeurs, 4 dimensions (L, M, T, θ)
5 nombre adimensionnés
3 groupements couramment utilisés
( )
Pr
Gr
Nu ,
f
=
( )
λ
µ
µ
ρ
β
λ
C
L
T
T
g
hL P
=
−
=
= ∞
∞
Pr
Gr
Nu 2
3
2

II.E.- Méthodologie de résolution des problèmes de convection
II- Convection
Convection forcée
Convection naturelle
1- calcul des nombres adimensionnés Re et Pr
2- suivant la valeur de Re et la configuration choix de la corrélation
3- calcul du nombre Nu par application de la corrélation
4- calcul de h = λNu/D (ou λNu/L) et de φ=hS(TP-T∞)
1- calcul des nombres adimensionnels Gr et Pr
2- suivant la valeur de Gr et la configuration choix de la corrélation
3- calcul du nombre Nu par application de la corrélation
4- calcul de h = λNu/D (ou λNu/L) et de φ=hS(TP-T∞)
Généralement, les résultats obtenus sont approximatifs (précision de la corrélation)
problèmes intéressants, mais complexes : convection avec changement d'état
Il faut dans tous les cas connaître ρ, λ, µ, et C du fluide aux températures considérées

II.F.- Interprétation des nombres adimensionés
II- Convection
Nu : nombre de NUSSELT
( )
( ) conduction
convection
conv
cond
P
conduction
P
convection
R
R
h
L
hL
T
T
L
S
T
T
hS
Φ
Φ
=
=
=
=





−
=
Φ
−
=
Φ
∞
∞
1
λ
λ
λ Nu
Caractérise le type de transfert
(convectif ou conductif)
Re : nombre de REYNOLDS
viscosité
inertie
viscosité
inertie
Re
F
F
D
U
D
U
D
U
D
U
D
U
F
D
U
F
=
=
=
=







≈
≈
∞
∞
∞
∞
∞
∞
ν
µ
ρ
µ
ρ
µ
ρ
2
2
2
2
Caractérise le régime d'écoulement
(laminaire, transitoire, turbulent)
Re faible (petit mélange) Re fort (grand mélange)
Cas d'une tuyauterie
Re 5000 : turbulent
2400Re5000 : transitoire (???)t
Re2400 : laminaire
Re = 2400 (et U∞=υRe/D)
eau U∞=24.10-4 / D [m/s]
air U∞=360.10-4 / D [m/s]

Pr : nombre de PRANTDL
thermique
dynamique
thermique
dynamique
é
diffusivit
viscosité
Pr
é
diffusivit
viscosité
=
=
=







=
=
λ
µ
ρ
λ
ρ
µ
ρ
λ
ρ
µ
C
C
C
Caractérise les profils de vitesse et de température
(importance de la diffusion visqueuse / à la diffusion thermique
Gr : nombre de GRASHOF
Caractérise le rapport des effets thermiques aux effets visqueux
en convection naturelle
( )
( )
viscosité
viscosité
inertie
elle
ascentionn
inertie
viscosité
elle
ascentionn
Gr
F
F
F
F
L
T
T
g
D
U
D
U
T
g
L
U
F
L
U
F
T
g
F
P
.
.
3
2
2
2
2
2
2
=
−








=
















∆
=









≈
≈
∆
=
=
∞
∞
∞
∞
∞
β
µ
ρ
µ
ρ
ρβ
ρ
µ
ρβ
ργ
Re

Ri : nombre de RICHARDSON
Caractérise le rapport des forces d'Archimède aux forces d'inertie
( ) 2
2
0
3
2
Re
Gr ≅






=
−








= ∞
ν
β
µ
ρ L
U
L
T
T
g P
( ) ( )
inertie
elle
ascentionn
elle
ascentionn
inertie Ri
F
F
U
L
T
T
g
L
U
T
T
g
T
g
F
L
U
F P
P
=
−
=
−
=





∆
=
=
=
∞
∞
∞
∞
∞
2
2
2
β
ρ
ρβ
ρβ
ργ
ρ
Ri 1 : Archimède inertie convection naturelle dont le moteur d'écoulement est Archimède
Ri = 1 : Archimède du même ordre de grandeur que inertie vitesse caractéristique U0
( ) ( )
[ ]2
1
0 L
T
T
g
L
T
T
g
U P
P
∞
∞
−
=
−
= β
β
Ri
Gr½ équivalent analogue à un Re en convection naturelle (laminaire/turbulente)
Ec : nombre d'ECKERT
Caractérise le rapport de l’énergie mécanique et de l’énergie thermique (phénomène de
conversion que l'on rencontre dans les tuyères à nombre de Mach élevé
( ) ( )
∞
∞
∞
∞
−
=
−
=
T
T
C
U
T
T
C
U
P
P ρ
ρ 2
2
Ec

II.G.- Exemple d’application
II- Convection
1- une géométrie : un tuyau à section circulaire transportant de l'eau chaude.
2- une dimension caractéristique : un diamètre D = 20 mm
3- un écart de température TP-T∞
∞
∞
∞ entre la paroi et le fluide, par exemple TP=15°C et T ∞
∞
∞
∞ =50°C
4- un fluide en écoulement à la vitesse moyenne U∞
∞
∞
∞ : le tuyau transporte un débit Q=0,5 l/s
5- un fluide de caractéristiques ρ
ρ
ρ
ρ, µ
µ
µ
µ, C, λ
λ
λ
λ dans le domaine TP et T∞
∞
∞
∞ (la moyenne par exemple)
La vitesse moyenne d’écoulement est donc U ∞
∞
∞
∞ = Q/S = 1,6 m/s
Eau à 50 °C : ρ
ρ
ρ
ρ = 988 kg/m3, µ
µ
µ
µ = 0,55.10-3 Pa.s, λ
λ
λ
λ = 0,639 W/(m.°C), C = 4184 J/(kg.°C)

7- calcul de Nu par choix d’une corrélation








=
→
= ∞
λ
µ
µ
ρ
λ
C
D
U
f
hD
f ,
)
( Pr
,
Re
Nu
pour 104 Re 1,2.105 et 0,7 Pr 100
on applique la corrélation de COLBURN
8- calcul de h 1
2
.
7156
224
02
0
639
0 −
−
=
=
=
→
= K
m
W
,
,
D
h
hD
Nu
Nu
λ
λ
9- calcul du flux de chaleur
( ) ( ) m
kW
T
T
L
D
h
T
T
hS P
P /
7
,
15
.
. =
−
=
−
=
Φ ∞
∞ π








=
→
= ∞
λ
µ
µ
ρ
λ
C
D
U
f
hD
f ,
)
( Pr
,
Re
Nu
6- calcul des nombres adimensionnés Re et Pr pour obtenir Nu
60
,
3
639
,
0
4184
.
10
.
55
,
0 3
=
=
=
−
λ
µC
Pr
124
,
57
3
10
.
55
,
0
02
,
0
.
6
,
1
.
988
=
−
=
= ∞
µ
ρ D
U
Re
224
023
,
0 8
,
0
3
1
=
= Re
Pr
Nu

III.A.- Généralités
III- Rayonnement
Cette forme de transfert d'énergie n'a
besoin d'aucun milieu de transport.
Ce transfert a également lieu dans le vide.
La différence de potentiel motrice est la
différence entre les puissances quatrièmes
des températures de la source et du
récepteur.
Principe d'un four solaire:
Le rayonnement solaire concentré par le miroir
parabolique élève la température du récepteur
jusqu'à 300 °C
Rayonnements
phénomène de surface
E = hυ = hc/λ
c=λυ = c0/n (c0 = 3.108 ms-1 dans le vide)
passage n1 / n2 : υ1= υ2= υ = c1/λ1 = c2/λ2

0.03 A
0.3 A
3 A
30 A
300 A
0.3 µm
3 µm
30 µm
300 µm
0.3 cm
3 cm
30 cm
3 m
30 m
300 m
3 km
100 GHz
10 GHz
1 GHz
100 MHz
10 MHz
1MHz
100 khz
ondes radio
micro-ondes
infrarouge
thermique
ultraviolet
rayons X
rayons Gamma
vis, pir, mir
Nomenclature générale
domaine
υ
λ
Rayonnement Direct
reçu dans la direction du soleil (en terme d'angle)
rayons parallèles (car source lointaine)
peut former des ombres et être concentrés
la quantité de rayonnement reçue par une surface
au sol dépend alors de son orientation
Rayonnement Diffus
issu de l'interaction du rayonnement direct avec
l'atmosphère
pas de direction de propagation privilégiée
par temps couvert, diffusion isotrope (on reçoit la
même quantité de rayonnement ∀
∀
∀
∀ l'orientation de la
surface réceptrice au sol)
une surface ⊥ à la surface du sol peut capter plus
d'énergie de rayonnement que si elle était //
Toute surface est soumise aux deux types de
rayonnement.
Variabilité du rayonnement solaire à la surface terrestre
conditions de surface (albédo du site = pouvoir de réflexion)
conditions atmosphériques (humidité de l'air, gaz, aérosols, nuages, température)
conditions positionnelles (lieu géographique, saison, heure de la journée)
On établit des cartes d’ensoleillement pour l’estimation du gisement solaire (mesures, modélisations)
lumière = partie visible du spectre [0,3 µm ; 3 µm]

Gisement solaire ( [kWh/m².jr], Surface orientée Sud, inclinaison=latitude)

Rayonnements à la surface terrestre
Kiehl J.T., Trenberth K.E. (1997), Earth’s annual global mean energy budget, Bulletin of the American Meteorological Society, 78(2):197-208

III.B.- Découpage de l'espace et Angle solide
III- Rayonnement
Dans le plan (2D)
si R assez grand dp'≈ dP
dP=Rdα dα = dP/R=dp.cos(θ)/R
dα = angle [rad] = mesure de périmètre
dp
dP=dp.cos(θ
θ
θ
θ)
dα
α
α
α
R0= 1m
θ
θ
θ
θ
R
dp' Dans l'espace (3D)
ds
dS=ds.cos(θ
θ
θ
θ)
dΩ
Ω
Ω
Ω
R0= 1m
θ
θ
θ
θ
R
ds'(calotte)
si R assez grand ds'≈ dS
dS=R²dΩ dΩ = dS/R²=ds.cos(θ)/R²
dΩ = angle solide [sr] = mesure de surface
R
d
R
dP
P
Cercle
π
α
π
2
2
0
=
=
= ∫
∫
2
4
0
2
4 R
d
R
dS
S
Sphère
π
π
=
Ω
=
= ∫
∫
plan = 2π rad ; ½ plan = π ; ¼ plan = π/2 espace = 4π srad ; ½ espace = 2π ; ¼ plan = π

ΩS
Application : rayonnement d'une source ponctuelle vers une surface plane circulaire
D = 1 m
S = 3,46 m²
dS
Évaluation du rayonnement reçu sur une surface plane
circulaire de rayon rS = 1 m en provenance d'une source
ponctuelle de puissance Φ = 1000 W placée à D= 1 m
Intensité dans une direction quelconque I= Φ
Φ
Φ
Φ/4π
π
π
π W.sr-1
Flux reçu par dS : dΦ = I.dΩ
Flux reçu par S : Φ = I.ΩS=(Φ/4π).ΩS
R
z
dθ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ1
( )
Φ
=
=








+
−
Φ
=
Φ
=
=
+
−
=
Ω
de
W
D
r
D
espace
l
de
sr
D
r
D
S
S
S
S
%
64
,
14
45
,
146
1
2
1
'
%
64
,
14
84
,
1
1
2
2
2
2
2
π
rS
r
Calcul de ΩS :
L'angle solide dΩ s'appuyant sur dS découpe la sphère de rayon R suivant une couronne
sphérique (rayon moyen z, largeur Rdθ) ds=2πzRdθ=2πRsinθRdθ dΩ = ds/R²=2πsinθdθ
Donc ΩS=2π[-cosθ]=2π(1-cosθ1) avec cos θ1 = D/[rS
2+D2)½
Si rS∞, ΩS 2π, donc demi-sphère et ΦS Φ/2
Si rS0, ΩS0, et ΦS 0
ds

III.C.- Caractérisation des sources émettant un rayonnement
III- Rayonnement
Flux totale Φ d'une source [W]
puissance émise par une source dans tout l'espace où elle peut rayonner
si source = plan espace = hémisphère / si source = point (source ponctuelle) espace = sphère
Intensité IOx dans une direction Ox [W.sr-1]
flux par unité d'angle solide dans la direction Ox ]
[W.sr-1
Ω
Φ
=
d
d
I Ox
Ox
2
O
x
N θ
θ
θ
θ dΩ
Ω
Ω
Ω
Source ponctuelle isotrope
π
Φ
I Ox
Ox
4
=
Source plane isotrope
π
Φ
I Ox
Ox
2
=

Emittance totale M [W.m-2]
flux total émis par unité de surface de la source dans un demi-hémisphère
permet de comparer les sources entre-elles d'étendues différentes
émis
dS
d
M φ
≡
Φ
=
Luminance totale LOx dans une direction Ox [W.m-2.sr-1]
intensité dans la direction Ox (IOx) divisée par la surface apparente de la source dans cette
même direction
permet de comparer la puissance rayonnée dans une direction Ox par des sources d'étendues
différentes ou d'orientations différentes
permet de comparer la puissance rayonnée par une même source dans différentes directions
θ
θ .cos
.cos dS
d
d
dS
I
dS
I
L Ox
Ox
Ox
Ox
.
'
2
Ω
Φ
=
=
=
O
x
N θ
θ
θ
θ dΩ
Ω
Ω
Ω
Le flux émis par un un élément de surface dS dans un
angle solide dΩ entourant une direction Ox inclinée de
d'un angle θ / à la normale à dS est
θ
.cos
dS
d
L
d Ox
Ox .
2
Ω
=
Φ

Loi de Lambert
loi de Lambert = source dont LOx indépendante de Ox LOx = L = constante
source Lambertienne = source isotrope (ou diffuse)
θ
θ
θ
cos
On
Ox
On
Ox
Ox I
I
dS
I
dS
I
L
L =
⇒
=
=
=
.cos
.cos
Loi de Lambert – relation entre M et L
π
σ
θ
θ
θ
.
.
.
.
.cos
.
.
.cos
.
.cos
.
2
dS
L
d
dS
L
d
d
dS
L
dS
d
L
d
dS
d
L
d
disqueD
Ox
Ox
Ox
=
=
Φ
Ω
=
Ω
=
Φ
Ω
=
Φ
∫
∫
∫ I
I
sphère R=1
dΣ
Σ
Σ
Σ=dΩ
Ω
Ω
Ω
N
dσ
σ
σ
σ=dΣ
Σ
Σ
Σcosθ
θ
θ
θ=dΩ
Ω
Ω
Ωcosθ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
Disque D
L
dS
d
M
LdS
d π
π =
Φ
=
→
=
Φ
dS

III.D.- Caractérisation des récepteurs de rayonnement
III- Rayonnement
Éclairement d'un récepteur E [W.m-2]
flux reçu par unité de surface réceptrice en provenance de l'ensemble des directions d'où elle
peut recevoir du rayonnement
flux, intensité, luminance concepts valides et inchangés
émittance M éclairement E
reçu
φ
dS
dΦ
E ≡
=
2
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
cos
cos
cos
cos
θ
.
dS
D
θ
.
dS
L
Φ
d
D
θ
.
dS
dΩ
θ
.
.dS
dΩ
L
Φ
d
=
=
=
Relation entre éclairement du récepteur et luminance de la source
θ
θ
θ
θ2
dS2 dS1
θ
θ
θ
θ1
dΩ2
dΩ
Ω
Ω
Ω1
D 2
2
1
2
2
1
2 cos
cos
D
θ
θ
dS
L
dS
dΦ
E =
=

III.E.- Thermodynamique du rayonnement
III- Rayonnement
Un corps qui absorbe intégralement le rayonnement qu'il reçoit est un corps noir. La formulation de
l'exitance spectrale (ou émittance spectrale) du corps noir M0(λ,T) est issue de la loi de Planck
(luminance énergétique spectrale) :
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
0
10
2
10
4
10
6
10
8
Longueur d'onde (µm)
Emittance
spectrale
T=5800
T=288
0.5 10.07






−






=
1
exp
2
)
,
(
5
2
0
T
k
hc
hc
T
M
λ
λ
π
λ
[W m–2 µm-1]
avec λ = longueur d’onde [µm]
T = température absolue [K]
h = constante de Planck (6,625 × 10–34 W s2)
c = vitesse de la lumière dans le vide (3 × 108 m s–1)
k = constante de Boltzmann (1,38 × 10–23 J K–1)
C1=3,741.108 Wµm4m-2
C2=14388 µm.K
Loi du déplacement de Wien
Pour une température donnée, l'exitance spectrale d'un
corps noir varie avec la longueur d'onde il existe un
λmax correspondant à la valeur maximale de M(λ,T)
Le soleil émet donc dans un domaine de longueurs d'ondes différent de celui de la Terreon peut traiter ces deux
domaines indépendamment (notamment pour la partition de l'énergie solaire à la surface du sol).
pour le soleil, T=5800 Kλmax=499 nm (visible)
pour la Terre, T=288 Kλmax=10 µm (infrarouge)
mK
T
d
T
dM 3
max
0
10
897
,
2
0
)
,
( −
×
=
⇒
= λ
λ
λ






−






=
1
exp
)
,
(
2
5
1
0
T
C
C
T
M
λ
λ
λ

Loi de Stefan-Boltzmann
La puissance totale rayonnée par unité de surface du corps noir, appelée exitance totale, est calculée
en intégrant la formule de Planck sur l'hémisphère et sur toutes les longueurs d'onde :
[W m–2]
avec σSB = constante de Stefan-Boltzmann (5,67 × 10−8 W m–2 K–4).
4
,
0
0
)
,
(
)
( T
d
d
T
M
T
M σ
λ
λ
λ
=
Ω
= ∫∫
∩
Corps gris
Un corps noir est un corps idéal. Dans la nature et à température égale, la plupart des
surfaces émettent moins qu’un corps noir : M(T) = ε σ T4 avec 0 ε 1
ε = émissivité du corps
ε = M(T)gris / M0(T)noir
on parle de corps gris lorsque ε est indépendant de la longueur d'onde ελ=ε / εOx,λ=εOx
on parle de corps diffusant si εOx=ε / εOx,λ=ελ
corps gris et diffusant εOx,λ=ε
( )
( )
( ) ( ) ( ) 4
0
0
ε.σT
T
M
T
ε.M
T
M
T
M
T
M
ε =
→
=
→
= densité de flux de rayonnement émis [W.m-2]
≡ φ

III.E.- Interaction avec la matière
III- Rayonnement
Φi = flux total incident
Φa =flux total absorbé
Φr = flux total réflechi
Φt = flux total transmis
absoptance α = Φa/Φi
réflectance ρ = Φr/Φi
transmittance τ = Φt/Φi
Conservation de l'énergie Φi=Φa+Φr+Φt ⇒ 1 = α
α
α
α+ρ
ρ
ρ
ρ+τ
τ
τ
τ
Si les propriétés optiques d'un matériau dépend de la
longueur d'onde, on peut découper le domaine de
longueur d'onde pour obtenir des propiétés constantes
sur un domaine (cas de la vitre ci-contre)
IR [3-10 µm] :α=0,65 ρ=0,30 τ=0,05 ( serres)
1 = α
α
α
αλ
λ
λ
λ+ρ
ρ
ρ
ρλ
λ
λ
λ+τ
τ
τ
τλ
λ
λ
λ
Lois de Kirchoff :
∀Le corps εOx,λ= αOx,λ et ελ= αλ
Corps gris : ελ=ε et αλ=α ε=α
Corps noir : ελ=ε = α = 1

Échanges radiatifs entre deux surfaces assimilées à des corps noirs
12
1
0
1
1
2
2
2
1
1
1
0
1
12
1
1
2
2
2
0
1
1
1
12
1
12
2
2
1
cos
cos
1
cos
cos
cos
F
S
M
.dS
dS
πD
θ
θ
S
S
M
Φ
θ
.
dS
D
θ
.
dS
π
M
θ
.
dS
dΩ
L
Φ
d
,S
S
=
=
=
=
∫∫
θ
θ
θ
θ2
dS2 dS1
θ
θ
θ
θ1
dΩ21
dΩ
Ω
Ω
Ω12
D
Flux émis par dS1 en direction de dS2
Flux total émis par S1 Φ1=M0
1S1
Seule une fraction atteint S2 Φ12=F12Φ1
Flux total émis par S2 Φ2=M0
2S2
Seule une fraction atteint S1 Φ21=F21Φ2
Fij = facteur de forme géométrique
i
j
,S
S
j
i
i
ij .dS
dS
πD
θ
θ
S
F
j
i
∫∫
= 2
cos
cos
1
12
1
0
2
21
2
0
2
21
21
2
0
1
12
1
0
1
12
F
S
M
F
S
M
F
S
M
F
S
M
=
=
Φ
=
=
Φ
Théorème de réciprocité : SiFij=SjFji
Flux net échangé
Pour S1, pertes+gains Φ1net = Φ 12- Φ 21=M0
1S1F12-M0
2S2F21=S1F12(M0
1-M0
2)=S1F12(T1
4-T2
4)
Pour S2, pertes+gains Φ 2net = Φ 21- Φ 12=M0
2S2F21-M0
1S1F12=S2F21(M0
2-M0
1)=S2F21(T2
4-T1
4)
( ) ( )
4
4
4
4
2
1 j
i
ji
j
j
i
ij
i
net
net
échangé T
T
F
S
T
T
F
S −
=
−
=
Φ
−
=
Φ
=
Φ Ti Tj

Φ
Φ
Φ
Φéchangé 0

S1 perd de l'énergie

Échange de rayonnement entre deux surfaces grises
Milieu 1 : S1, ε1
Milieu 2 : S2, ε2
2
1
Facteurs de forme évidents
le flux émis par l'un est totalement absorbé par l'autre F12=F21=1
S1
S2 le flux émis par S1 est totalement absorbé par S2 F12=1
S2 surface concave S1F12=S2F21 F21=S1/S2 F22=1-F21=1-S1/S2
1
1
=
=
∑
=
n
j
ij
ji
j
ij
i
F
additivité
F
S
F
S
é
réciprocit
Fii : échange de Si avec elle-même surfaces concaves
beaucoup plus complexe notion de radiosité
on se limite à présenter quelques cas utiles

( )
4
2
4
1
1
1
2
1 T
T
S
net
net −
=
−
= σε
φ
φ
( ) ( )
2
1
2
2
12
1
1
12
4
2
4
1
12
1
0
2
0
1
12
1
12
.
1
1
1
1
S
S
F
F
T
T
F
S
M
M
F
S
net
ε
ε
ε
ε
σ
φ
−
+
+
−
=
−
=
−
=
Facteur de forme gris entre S1 et S2
dépend de la géométrie
dépend des propriétés radiatives des surfaces
Cas d'une surface convexe S1 totalement entourée d'une surface concave S2
S1 ne peut rayonner sur elle-même F11=0 donc F12=1 (additivité)
1
2
1
2
1
12 .
1
1
1
−














−
+
=
S
S
F
ε
ε
Cas d'une surface convexe S1 totalement entourée d'une surface concave S2, S2S1
1
1
12
1
1
ε
ε
=
=
F
Cas d'une surface convexe S1 placée à l'intérieur d'une enceinte noire (ε2=1)
( )
4
2
4
1
1
1
2
1 T
T
S
net
net −
=
−
= σε
φ
φ
1
12 ε
=
F
Cas de 2 surfaces // à distance faible / à leurs dilmensions
F12=1 et S1 ≈ S2
1
2
1
12 1
1
1
−






−
+
=
ε
ε
F

III.F.- Eclairement reçu sur Terre – bilan radiatif
III- Rayonnement
Soleil = corps noir à T=5800 K
D=149.637.000 km
RSoleil=696.700 km
σ = 6,67.10-8 W.m-2.K-4 Σ
=
≈
=
Σ
≈
=
−
−
−
d
D
dS
T
Φ
d
D
dS
D
θ
.
dS
dΩ
.d
dΩ
L
θ
.
.dS
dΩ
L
Φ
d
Terre
Soleil
Soleil
Terre
T
Terre
T
S
T
S
Soleil
S
Soleil
T
S
Soleil
Soleil
2
4
2
2
2
2
cos
cos
π
σ
2
4
2
4
2
2
4
2
4
2
.
2
tan
.
1






≈
=
=
Σ
=
= ∫
Σ
α
σ
α
σ
π
π
σ
π
σ
Soleil
Soleil
Soleil
Soleil
Soleil
Terre
Soleil
T
T
D
R
T
d
D
T
dS
dΦ
E
D
dΩ
α
α
α
α
dΣ
Σ
Σ
Σ
θ
θ
θ
θS
Par définition, la constante solaire S0 est la densité de flux d'énergie (ou puissance) totale
rayonnée par le Soleil par unité de surface normale aux rayons solaires au sommet de
l'atmosphère.

α: diamètre apparent du soleil
(αmoyen= 1923’’)
S0 = 1393,4 W m−2 ≈ 1400 W m−2
S0 varie en fonction:
distance Terre/Soleil (max au solstice d'hiver, mini au solstice d'été)
de l'activité du Soleil (cycle de 11 ans)
on définit une constante solaire moyenne E0 = 1353 W.m-2
( )
( )
Doy
E
Doy
E .
984
,
0
cos
033
.
0
1
)
( 0 +
= Doy = Day of the Year
Effets de l'atmosphère
Le rayonnement électromagnétique est perturbé par deux processus :
absorption par certains gaz atmosphériques (loi de Beer-Lambert) vibrations, rotations

diffusion par les molécules et les aérosols (Rayleigh, Mie, non-sélective)
Le phénomène de diffusion est d'autant plus important que la longueur d'onde est petite.

l'ozone (O3) présente une très forte absorption des UV (néfaste aux êtres vivants).
l'oxygène (O2) et le dioxyde de carbone (CO2) sont uniformément mélangés dans
l'atmosphère et en quantité constante. La contribution de O2 est très forte autour de 0,7 µm.
Celle du CO2 a lieu au delà de 1 µm et surtout dans l'infrarouge thermique où le CO2 joue un
rôle déterminant dans l'effet de serre.
la vapeur d'eau (H2O), dont la quantité varie fortement d'un endroit à l'autre et d'un moment à
l'autre de l'année. Elle présente plusieurs bandes d'absorption importantes aux longueurs
d'onde supérieures à 0,7 µm. En particulier elle absorbe une bonne partie du rayonnement
infrarouge de grandes longueurs d'onde émis par la Terre.
d'autres gaz comme le CH4, CO, N2O, CFC possèdent des bandes d'absorption dans
l'infrarouge thermique. Moins abondants que la vapeur d'eau ou le dioxyde de carbone, ces
constituants ont un pouvoir de piégeage du rayonnement des centaines ou des milliers de fois
supérieur

h : épaisseur de l'atmosphère à la verticale d'un lieu
θs : hauteur du Soleil
d : distance parcourue par les rayons lumineux dans
l’atmosphère (ou air mass)
d
cos
1
cos
AM
spectre
h
d
s
s
⇒
=
=
θ
θ
en posant par convention h = 1.
Par convention, on nomme le spectre solaire hors atmosphère AM0.
Quant d=1, l'allure du spectre est noté AM1 (soleil au zénith au niveau de la mer)
La distance réellement parcourue est de 7,8 km – épaisseur standard moyenne)
Le spectre AM2 (soleil à 60°
, typique de nos latitudes) et très utilisés en Europe.
AM1.5 (soleil à 48°
) qui sert de référence pour la mesure de cellules photovoltaïques
(avec une puissance incidente de 1000 W.m-2 et une température de 25°
C
(conditions dites STC) sauf indication contraire, c’est pour de telles conditions que
doivent être fournies les performances et spécifications d’un dispositif photovoltaïque
donné.
Notion de Air Mass

Rayonnements à la surface terrestre
Les divers rayonnements à la surface du sol
rayonnement direct+diffusé incident de courte longueur d'onde (visible) = Rg
partie réfléchie par le sol Rv↑=αRg
rayonnement thermique (grande longueur d'onde) de l'atmosphère Ra=σTA
4 car l'atmosphère peut
être considérée comme un corps noir de température apparente TA. Les basses couches participe
fortement à ce rayonnement, et on a des formules empiriques qui permettent de relier Ra à des mesures
de température et d'humidité de l'air à 2 m à partir des profils verticaux de température et d'humidité
obtenus par radiosondages. En raison de la forte contribution des basses couches, plusieurs formules
simplifiées faisant intervenir latempérature et la pression de vapeur saturante mesurées à 2 m ont été
proposées pour des ciels clairs :
rayonnement thermique de la Terre (grande longueur d'onde) Rir↑. La Terre se comporte comme un
corps gris d'émissivité εS, telle que
4
7
1
24
,
1 a
a
a
a T
T
e
R σ








= avec Ta la température de l'air [K] et ea la tension de vapeur d'eau [hPa]
( ) 4
1 S
S
S T
Ra
Rir σ
ε
ε +
−
↑= (non absoprtion+émission)
Bilan radiatif au sol : le rayonnement net
( ) ( ) ( )
4
4
4
1
1
. S
A
S
S
net T
T
Rg
T
Ra
Ra
Rg
Rg
R −
+
−
≈
−
−
−
+
−
= εσ
α
σ
ε
ε
α
Cette énergie est alors convertie en :
flux de conduction dans le sol G (=-λgradT)
flux de convection dans l'air H (=ρKH∂T/∂z)
flux d'évaporation (ou condensation) de l'humidité (sol/atmopshère) LVE (=ρKQ∂q/∂z)

III.G.- Exemple d'application : le capteur plan solaire
III- Rayonnement
Un capteur plan est constitué de plusieurs éléments :
- un serpentin dans lequel circule de l'eau (celle à chauffer)
on maximise la surface du tuyau susceptible d'échanger de la chaleur
on choisit un matériaux bon conducteur thermique (cuivre)
- une plaque dans laquelle est encapsulé le serpentin
♦peinte en noir sur le dessus
pour absorber au maximum le rayonnement incident
éviter les pertes par réflexion.
♦réfléchissante sur sa face opposée (feuille d'aluminium)
limitation du rayonnement IR dans toutes les directions
- une autre plaque thermiquement isolante sous la première (et résistante à haute
température).
- une vitre de protection, mais pas seulement….

Capteur solaire thermique plan : Coffre rigide et
vitré à l'intérieur duquel une plaque et des tubes
métalliques noirs (absorbeur) reçoivent le
rayonnement solaire et chauffent un liquide
caloporteur (antigel). Certains capteurs peuvent être
intégrés ou incorporés en toiture (ils assurent
alors également une fonction de couverture du
bâtiment ⇒ démarche HQE).
Piscine chauffée à Laval (53)
But : chauffer de l'eau à l'aide du rayonnement solaire

Rôle principale de la vitre = effet de serre
Le verre est transparent pour λ3 µm, avec un
faible coefficient de réflexion (ρ=10%), et très
absorbant pour λ3.5 µm. Le rayonnement
solaire traverse la vitre, alors que le
rayonnement IR issu de la plaque ne la
traverse pas.
La plaque et la vitre peuvent être
séparées par de l'air, le vitrage peut
être multiple, et avoir subi différents
traitements. La vitre permet
également de limiter les pertes par
convection forcée du vent.
De fait, la vitre absorbe le
rayonnement IR de la plaque,
qu'elle réemet à 50% sous forme
radiative vers l'atmosphère, mais
également 50% vers la
plaqueeffet de serre
À l'équilibre thermodynamique

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