1. Introduction aux transferts thermiques
Partie 1 : Conduction thermique/Convection thermique/rayonnement
thermique+Bilan global
Partie 2 : Application : thermique du bâtiment
Programme
Cours de Transferts Thermiques
N.Belouaggadia
4. 4
N.Belouaggadia
La Conduction.
La chaleur se transmet au travers d’un corps sans déplacement de la
matière qui constitue ce corps. Le transfert de chaleur s’effectue de proche en
proche des zones les plus chaudes vers les zones les plus froides. C’est le mode
de transmission de la chaleur dans les solides et dans les fluides au repos.
La Convection.
La chaleur se transmet d’un corps solide chaud à un fluide plus froid (ou
inversement) en mvt au voisinage de celui-ci et également au sein du fluide par
mouvement de tout ou une partie de ces constituants.
Le mouvement du fluide peut être provoqué mécaniquement (pompe,
ventilateur…) la convection est dite forcée. Lorsque le mouvement se produit
naturellement sous l’effet des gradients de la température et donc la masse
volumique, la convection est dite libre.
Le rayonnement.
Les atomes, molécules et électrons libres des corps peuvent perdre, de
façon spontanée ou au cours d’interactions, une partie de leur énergie cinétique ce
qui donne lieu à l’émission d’un rayonnement électromagnétique.
Lorsqu’un tel rayonnement est intercepté par la surface d’un corps, une partie est
absorbée et se retrouve dans l’énergie cinétique de ces composants, c’est –à dire
sous forme de chaleur.
Un transfert de chaleur s’opère ainsi (des corps rayonnant les plus chauds vers
ceux à plus basses températures) sans support matériel
5. 5
N. Belouaggadia
Chapitre I :
Equations générales d’un problème de conduction
Cette science est basée sur deux hypothèses fondamentales :
= La loi de fourrier
= L’hypothèse de conservation de la chaleur.
I-1 Champs thermiques Généralité et définitions
A chaque point M d’un corps (solide ou fluide) est associé à tout instant une
grandeur physique, sa température, qui est une fonction scalaire des
coordonnées du point et du temps : T(x,y,z,t).
Rappels
6. 6
N. Belouaggadia
I-1-1 Surface isotherme
A chaque instant ti, l’ensemble des points d’égale température
constitue une surface isotherme ; celle-ci est donc définie par une
équation du type T(x,y,z,ti)=cte.
Chapitre I :
I-1-2 Flux thermique
Un flux thermique mesure une puissance échangée à travers une surface.
En notant dQ la quantité de chaleur échangée pendant dt par une surface S, le
flux thermique s’exprime par :
dQ
dt
f =
7. 7
N. Belouaggadia
Chapitre I :
Milieu isotrope
Les propriétés physiques du corps (solide ou fluide) en un point M sont les mêmes
quelle que soit la direction de l’espace. Par opposition, on parlera du milieu anisotrope.
Dans un milieu isotrope les vecteurs densité de flux sont normaux aux isothermes.
Milieu homogène
La composition du corps (solide ou fluide) est parfaitement uniforme donc les propriétés
physiques sont les mêmes en tout point
Milieu continu
Le corps solide ou fluide ne présente pas d’interruption dans l’espace.
Source interne de chaleur
Une source de chaleur (réactions chimiques effet Joule, …) est définie en un point M et
à un instant t par la puissance thermique qu’elle libère en ce point. Cette puissance peut
être également fonction de la température : q(x,y,z,T)
8. 8
N. Belouaggadia
1 Cas d’un milieu quelconque
Considérons un milieu matériel D quelconque, siège à l’instant t d’un champ de
température T (x,y,z,t).
La quantité de chaleur qui s’échappe d’un volume dv entourant le point M,
délimité par une surface ds, pendant dt a pour expression :
2 -Cas d’un milieu isotrope
Les propriétés du corps (solide ou fluide) étant les mêmes dans
toutes les directions, la loi de Fourier se résume à :
T
grad
l
j
® ®
= -
La densité de flux thermique traversant ds est proportionnelle au gradient de
température, le coefficient de proportionnalité est la conductivité thermique du
matériau.
l
[ ] (T)
d grad
j l
® ®
= - ×
Loi de Fourier
9. Le vecteur représente la densité locale du flux thermique au point
considéré. Il caractérise, en chaque point du milieu, la direction, le sens et
l’intensité du flux de chaleur.
j
L’unité de la densité j est le W/m2.
• Champ thermique
L’ensemble des vecteurs constitue un champ de vecteurs dit champ
thermique :
j
N.Belouaggadia
10. 2.2 Source interne de chaleur
• C’est un apport de chaleur par des corps placés ou transitant à l’intérieur du
système matériel étudié.
Exemples de sources internes : noyau de la terre, réactions nucléaires, réactions
chimiques, passage d’un courant électrique, ….
• On caractérise une source interne de chaleur par la puissance thermique q
qu’elle produit par unité de volume qui est fonction de la position du point, de la
température et du temps :
)
t
,
T
,
z
,
y
,
x
(
q
q= en W/m3
• La puissance thermique produite, à chaque instant, dans un domaine D de
volume V est obtenue par sommation sur D :
dV
)
t
,
z
,
y
,
x
(
q
)
t
(
P V
t
òòò
= en W
N.Belouaggadia
11. 11
N. Belouaggadia
Chapitre I :
I-3- EQUATION DE PROPAGATION DE LA CHALEUR
L’équation de propagation de la chaleur (en abrégé E.P.C.) exprime en
tout point d’un domaine D la conservation de l’énergie (Premier principe
de la thermodynamique).
Rappelons d’abord la définition de la chaleur massique. Considérons un
solide de masse m. S’il reçoit une quantité de chaleur dQ sa température
s’élève de dT telle que : CdT
m
dQ ×
=
Puissance dégagée par les sources internes + Puissance thermique
absorbée (Flux thermique qui sort du système) = Variation d’énergie interne.
dv
t
T
C
dv
q
ds
T
grad
dv
q
ds
n
V
V
S
V
S
ò
ò
ò
ò
ò ¶
¶
=
+
×
=
+
×
-
®
®
®
®
r
l
f
12. 12
N. Belouaggadia
Chapitre I :
L’utilisation du théorème d’Ostrogradski permet d’écrire :
dv
t
T
C
dv
q
T
grad
div
V
V
ò
ò ¶
¶
r
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
ú
û
ù
ê
ë
é
+
l
®
Cette relation étant valable quel que soit le volume V, on obtient :
t
T
C
q
)
T
grad
(
div
¶
¶
r
=
+
l
®
t
T
C
q
T
2
¶
¶
r
=
+
lÑ
l Constante :
où désigne l’opérateur Laplacien
Ñ
2
13. 13
N. Belouaggadia
EQUATION DE PROPAGATION DE LA CHALEUR
L’équation de propagation de la chaleur (en abrégé E.P.C.) exprime en tout point
d’un domaine D la conservation de l’énergie (Premier principe de la
thermodynamique).
Dans un milieu homogène isotrope, sans sources de chaleur, l’équation de propagation
de la chaleur est donnée par :
0
=
DT
On peut résoudre analytiquement cette équation dans le cas stationnaire
unidimensionnel en y ajoutant des conditions aux limites.
Cas stationnaire
:
T
t
T
C D
=
¶
¶
l
r
15. 15
N. Belouaggadia
Chapitre I :
Equation de la chaleur en régime permanent
En régime permanent et dans un matériaux isotrope, l’équation de la
chaleur est une équation de Poisson :
l
q
T
2
-
=
Ñ
L’expression développée varie avec le système de coordonnées :
Cartésiennes :
l
q
z
T
y
T
x
T
2
2
2
2
2
2
-
=
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
Cylindriques:
l
q
q
z
T
T
r
1
)
r
T
r
(
r
r
1
2
2
2
2
2
-
=
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
l
j
q
q
q
q
q
q
T
sin
r
1
)
T
(sin
sin
r
1
)
r
T
r
(
r
r
1
2
2
2
2
2
2
2
-
=
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
Sphériques:
16. 16
N.Belouaggadia
Milieux homogènes sans production de la chaleur dans la masse
x
2
T
f
1
T
e
x=0 x=e
T1
2
2
0
d T
T Ax B
dx
= Þ = +
( )
2 1
1 1 2
( ) et =-
T T dT
T x T x T T
e dx e
l
j l
-
= + = -
Expression de la résistance thermique de conduction d'un mur plan
Comme en électricité, la résistance est le rapport d’une différence de potentiel donc
ici de température et d’un débit d’énergie donc ici le flux Φ, d’où l’expression suivante
de la résistance thermique
S
e
T
T
R
l
f
=
-
= 2
1
17. 17
Soit une plaque de conductibilité =34W/mK, de
surface S = 0,2m² et d ’épaisseur e = 4cm.
La température de la face supérieure de la plaque
est égale à 380K; celle de la face inférieure vaut
360K.
On demande de calculer le débit de chaleur dans
cette plaque.
Exercice d’application
l
N.Belouaggadia
18. 18
• Gradient :
• Flux :
• Débit :
Tsup
Tinf
j
!
m
K
e
T
T
n
T
/
500
04
,
0
20
sup
inf
-
=
-
=
-
=
¶
¶
k
²
/
17
500
.
34 m
kW
n
T
k =
=
¶
¶
-
=
j
kW
W
A 4
,
3
3400
10
.
2
,
0
.
17 3
=
=
=
= j
f
19. 19
N.Belouaggadia
Généralisation : Mur composite multicouches
( )
1 1 2
1 2
1 1
S T T
T T
e R
l -
f = - =
( ) 2 3
2
2 3
2 2
T T
S
T T
e R
-
l
f = - =
( )
n n n 1
n n 1
n n
S T T
T T
e R
+
+
l -
f = - =
1 n 1
T T
R
+
-
f =
( )
1 n 1
1 n 1 1 2 2 3 3 4 n n 1
1 n 1 1 2 3 n
T T R
T T T T T T T T ........ T T
T T R R R ......R
+
+ +
+
- = f
- = - + - + - + -
- = + + + f
i
i
R R
= å
Mais d’une manière générale entre deux faces extrêmes :
20. 20
N.Belouaggadia
Murs en parallèles
f
2
R
1
R
2
T
1
T 2
1 R
1
R
1
R
1
+
=
Le mur avec conditions de Neumann
dT
dx
j = -l
Le mur avec conditions de Neumann revient a imposer une densité de flux sur l’une
des faces. Comme cela revient à imposer la pente de T en
fonction de x.
21. On distingue deux types de transfert par convection :
• convection libre (ou naturelle) : les mouvements des particules fluides
sont dus aux variations de la masse volumique du fluide
• convection forcée : le mouvement du fluide est produit par une
action extérieure (pompe, ventilateur, …) ; les particules chaudes
convectées (entraînées dans l’écoulement) se mélangent avec les
particules froides du fluide.
Les deux formes de convection peuvent coexister dans un écoulement
à faible vitesse : on parle alors de convection mixte
Convection thermique??
La convection thermique intervient dès qu’il y a un gradient thermique
dans un fluide, ou dans un fluide en mouvement en contact avec une
paroi solide
N.Belouaggadia
22. Le plus souvent, on s’intéresse au flux de chaleur échangé entre un
fluide et une paroi solide. Il est donné par la loi de Newton :
)
( f
p
T
T
hS
Q -
=
!
où S est la surface d’échange et (Tp-Tf ) la différence entre la
température Tp de la paroi et la température moyenne du fluide Tf.
h (en W/m2.K) est le coefficient d’échange par convection qui
dépend en général des propriétés du fluide (r, µ, cp…), de son
écoulement (vitesse, régime laminaire ou turbulent), des
caractéristiques géométriques de la paroi (forme, rugosité) et de la
définition de Tf.
N.Belouaggadia
23. fluide à
fluide à
1
¥
T
2
¥
T
Tp1 Tp2
0 e
x
N.Belouaggadia
•
•
•
•
T¥1 Tp1 Tp2 T¥2
Rc1 R Rc2
Ф
R
T
T
R
R
R
T
T
c
m
c
2
1
2
1
2
1 ¥
¥
¥
¥
-
=
+
+
-
=
F
S
h
Rc
1
1
1
=
S
e
R
l
=
S
h
Rc
2
2
1
=
2
1 c
m
c
R
R
R
R +
+
=
Mur en contact avec deux fluides
Ce mur est équivalent à trois résistances en série
24. sont les coefficients de convection connus.
2
1
h
h et
étant constantes, le mur est alors à faces isothermes de
1
¥
T 2
¥
T
et
températures Tp1 et Tp2.
La distribution de température dans le mur est :
e
x
T
T
T
x
T p
p
p
)
(
)
( 1
2
1
-
+
=
Mais T(x) ne sera connue que si l’on détermine Tp1 et Tp2.
La loi de conservation de flux permet de représenter le mur baigné par les fluides
par le circuit thermique équivalent suivant :
•
•
•
•
T¥1 Tp1 Tp2 T¥2
Rc1 R Rc2
Ф
N.Belouaggadia
25. Connaissant Ф, on peut facilement déterminer Tp1 et Tp2 et par suite le profil de
température T(x).
R
T
T
R
R
R
T
T
c
m
c
2
1
2
1
2
1 ¥
¥
¥
¥
-
=
+
+
-
=
F
S
h
Rc
1
1
1
=
S
e
R
l
=
S
h
Rc
2
2
1
=
2
1 c
m
c
R
R
R
R +
+
=
, et
Rc1, R et Rc2 sont respectivement les résistances thermiques par convection côté face
1, de conduction du mur et par convection côté face 2 tels que :
Le flux thermique traversant le mur est :
avec :
N.Belouaggadia
26. Cylindre creux simple sans source d'énergie.
Transfert de chaleur dans un cylindre creux
L’équation de la chaleur se réduit à :
0
)
(
1
=
dr
dT
r
r
d
d
r
1 2
( ) ln( / )
1 1
ln( / )
1 2
T T
T r T r r
r r
-
= +
Le profil de la température T(r) est donné par:
Le flux de chaleur est de la forme
suivante:
)
(
)
/
ln(
2
2
1
1
2
T
T
r
r
l
-
=
F
l
p
l
p l
r
r
R
2
)
/
ln( 1
2
=
Avec la résistance thermique:
N.Belouaggadia
27. 27
N. Belouaggadia
Problème de la conduite cylindrique recouverte d'un manchon isolant.
Dans les problèmes concrets, la conduite se trouve généralement plongée dans
un fluide, de température TF et il se produit alors un transfert de chaleur par
convection entre la surface externe du manchon isolant et le fluide.
Soient Ri et Re les rayons intérieur et extérieur du tube, sa conductivité
thermique. On ajoute un manchon concentrique qui l'enveloppe, d'épaisseur e et
de conductivité . On suppose que la température du fluide extérieur est
inférieure aux températures intérieures, et que le débit de chaleur est donc dirigé
vers l'extérieur. On se propose d'étudier l'incidence de l'épaisseur du manchon
isolant sur les pertes de chaleur.
Le débit de chaleur transféré est donné par la formule
pour le tube et pour le manchon :
l
lm
Calorifugeage des tubes de petits
diamètre
28. 28
N. Belouaggadia
Ainsi qu'il sera vu plus loin, on peut écrire que le débit de chaleur transféré par
convection est :
Des trois expressions du débit on déduit que :
29. 29
N. Belouaggadia
ou encore :
La résistance thermique est la somme de deux résistances de conduction et d'une
résistance de convection. La présence d'un isolant augmente la résistance de
conduction, ce qui est souhaité, mais diminue la résistance de convection, ce qui
l'est moins.
30. 30
N. Belouaggadia
On voit que cette dérivée est susceptible d'être positive dans certaines
conditions. En effet, si , la dérivée est toujours négative (le crochet de
droite est toujours positif), quel que soit e, et l'augmentation de l'épaisseur
d'isolant réduit le débit de chaleur, et donc les pertes.
Par contre, si il existe une valeur pour laquelle
le débit est maximal. Lorsque l'épaisseur varie de 0 à emin, la dérivée est
positive, et le débit augmente. En clair, les pertes thermiques sont plus
importantes qu'en l'absence d'isolant quand e < emin.
31. 31
N. Belouaggadia
La condition est d'autant plus facile à vérifier que le
diamètre du tube cylindrique est grand.
En revanche, pour des tubes de petit diamètre, une épaisseur d'isolant
insuffisante peut, dans certains cas, accroître les pertes thermiques avec le
milieu extérieur, ce qui va à l'encontre du but recherché. Aucune règle préétablie
ne permet de prévoir ce cas a priori !
32. 32
N. Belouaggadia
Exemple d’application : Calorifugeage d’un tuyau de petit diamètre
Considérons une conduite en acier contenant de la vapeur surchauffée à 220, la
température ambiante est de 20°C. L’épaisseur de la paroi d’acier est de 1 mm
( = 70 W/m.K). L’isolant utilisé est de l’alfol ( = 0,093 W/m.K) recouvert
d’une mince couche d’aluminium (e=0,1 mm, =209 W/m.K).
acier
l l
alu
l
Calculer le flux évacué
par mètre pour :
-di = 0.4 cm, eisolant =
5mm
di = 0.8 cm, eisolant =
5mm
33. 33
N. Belouaggadia
Les courbes de la figure 1 donnent la valeur du flux de chaleur par mètre linéaire
s’échappant du tube, ceci pour différents diamètres internes, en fonction de
l’épaisseur d’isolant.
Figure 1 : Augmentation
des pertes d’un tuyau de
petits diamètre lorsqu’on
l’entoure d’isolant.
34. Cylindre creux simple sans source d'énergie.
Transfert de chaleur dans un cylindre creux
L’équation de la chaleur se réduit à :
0
)
(
1
=
dr
dT
r
r
d
d
r
1 2
( ) ln( / )
1 1
ln( / )
1 2
T T
T r T r r
r r
-
= +
Le profil de la température T(r) est donné par:
Le flux de chaleur est de la forme
suivante:
)
(
)
/
ln(
2
2
1
1
2
T
T
r
r
l
-
=
F
l
p
l
p l
r
r
R
2
)
/
ln( 1
2
=
Avec la résistance thermique:
N.Belouaggadia
35. Sphère creuse simple sans source d'énergie
L’équation de la conduction :
2
2
1
( ) 0
d dT
r
r d r dr
=
N.Belouaggadia
Le profil de la température T(r) est donné par:
Le flux de chaleur est de la forme suivante:
Avec la résistance thermique:
( )
2 1
1
1
1 2
1 1
( )
1 1
T T
T r T
r r
r r
- æ ö
= - +
ç ÷
æ ö è ø
-
ç ÷
è ø
( )
1 2
1 2
4
1 1
T T
r r
f pl
-
=
æ ö
-
ç ÷
è ø 1 2
1 1 1
4
sph
R
r r
pl
æ ö
= -
ç ÷
è ø
36. Exercice d'application
1. La résistance thermique totale de la structure;
2. Le flux total qui traverse la structure;
N.Belouaggadia
37. Cylindres et sphères à multicouches
Pour un cylindre à N couches, on aurait :
å
= =
N
i
i
R
R 1
i
i
i
i
l
r
r
R
l
p
2
)
/
ln( 1
-
=
avec
R
T
T N
-
=
F 1
Pour une sphère multicouches :
i
i
i
i
i
i
r
r
r
r
R
l
p 1
1
4 -
-
-
= 1
2
N
Fig. - Coupe d’une conduite cylindrique ou
d’une coquille sphérique à multicouches.
N.Belouaggadia
38. Transfert de la chaleur dans un milieu ayant une
source interne
Ce phénomène peut être présenté dans les différents cas suivants :
• Fil conducteur traversé par un courant électrique ;
• Plaque chauffante ;
• Réacteur nucléaire.
Dans notre cas, on étudié le transfert avec une source de chaleur par unité de volume
uniforme (q = Constante).
0
q
T
l
D + =
Dans de cas, l’équation de la conduction de la chaleur en
régime stationnaire est représentée par l’équation de
Poisson:
N.Belouaggadia
39. Mur avec source interne
e
q
x
Considérons un mur simple, homogène et isotrope ayant
une épaisseur e, orienté dans la direction de l’axe Ox. On
suppose que les températures T1 et T2 (T1>T2 ) sur les
surfaces extrêmes du mur sont informes et constantes et
que les sources internes de chaleur sont uniformément
distribuées dans le volume du mur (q=cst).
L’équation de la chaleur s’écrit :
2
2
T q
d
d x l
= -
dT q
x A
dx l
= - + 2
( )
2
q
T x x Ax B
l
= - + +
Les constantes d’intégration A et B sont calculées à partir des
conditions aux limites:
1
2
0 T=T
T=T
x
x e
=
ì
í
=
î
1
2 1
( )
2
B T
T T qe
A
e l
=
ì
ï
í -
= +
ï
î
N.Belouaggadia
40. Donc :
2 2
2 1 1
2
( ) ( ) ( )
2
qe x x x
T x T T T
e e e
l
= - - + - +
e
x
A cause de sa forme parabolique, la température va admettre
un extremum, déterminé par l’annulation de sa première
dérivée. On obtient ainsi l’abscisse de cet extremum:
0
dT
dx
= 2 1
( )
0
2
T T
q qe
x
e
l l
-
+ - =
2 1
;
( )
2
Max Min
T T
e
x
q e
l -
= +
D’ou
N.Belouaggadia
41. La nature de cet extremum est dictée par le signe de la deuxième dérivée:
2
2
T q
d
d x l
= -
2
2
0
0
q
T
d
d x
!
"
2
2
0
0
q
T
d
d x
!
" e
x
N.Belouaggadia
42. La valeur extrême de la température est:
2
2 1 2 1 2 1
; 1
( ) ( )
2 2 2 2
Max Min
T T T T T T
q e qe e
T T
q e e q e
l l
l l
æ ö æ ö
æ ö
- - -
æ ö
= - + + + + +
ç ÷ ç ÷
ç ÷
ç ÷
è ø
è ø
è ø è ø
( )
2
2 1
2
1 2
2
x
T T
dT qe x
S S
dx e e e
f l l
l
é ù
-
æ ö
= - = - - +
ê ú
ç ÷
è ø
ë û
Ou encore :
( )
2 1
2
x
S T T qSe
qSx
e
l
f
-
= + -
N.Belouaggadia
43. Exercice N° 1:
Déterminer :
a) La position du plan neutre;
b) La température maximale dans le mur;
c) Les flux surfaciques qui traversent les surfaces limites du mur
N.Belouaggadia
44. Cas d’un cylindre plein avec source interne de chaleur
L’équation de la chaleur s’écrira alors :
1 d dT q
r
r dr dr l
æ ö
æ ö
= -
ç ÷
ç ÷
è ø
è ø
d dT qr
r
dr dr l
æ ö
= -
ç ÷
è ø
2
2
dT qr
r A
dr l
= - + 2
dT qr A
dr r
l
= - +
2
( ) ln( )
4
qr
T r A r B
l
= - + +
Donc :
Où A et B sont 2 constantes d’intégration à déterminer par les conditions
aux limites
N.Belouaggadia
45. ,
1
0 T=T
T=T
Max Min
r
r R
=
ì
í
=
î
Au centre du cylindre (pour r=0), la température doit
être finie ⇒ A=0.
2
1
4
qR
B T
l
= +
2 2
1
( ) ( )
4
q
T r R r T
l
= - +
Cette expression montre que dans le barreau cylindrique considéré, la température
a une variation parabolique en fonction du rayon. Elle va donc admettre un
extremum qui peur être déterminé en étudiant la fonction T=T(r).
0
dT
dr
= 0
2
qr
l
- =
0
r =
D’où la confirmation de
l’hypothèse faite que, sur
l’axe du barreau (r=0), la
température admet un
extremum
2
; 1
4
Max Min
qR
T T
l
= +
N.Belouaggadia
46. Le flux thermique surfacique est donné par la loi de fourrier et a une
direction radiale:
2
r
dT q
r
dr
j l
= - =
Sa valeur maximale étant à la surface du barreau pour r=R:
max
2
q
R
j =
Le flux thermique transféré par la surface extérieure du barreau cylindrique
rapporté à une longueur est:
2
max
2 . . .
R L R Lq Vq
f p j p
= = =
N.Belouaggadia
47. Le champ de température au sein de la barre est solution du système suivant :
Considérons une barre pleine, siège d’une dissipation uniforme de chaleur q =
constante. Le problème admet une symétrie de révolution autour de l’axe oz (la
température admet un optimum sur la surface médiane en r = 0
0
1
dT
r 0 0
dr
dT
r R - . .( ( ) )
dr r R
d dT q
r
r dr dr
En
En h T r R T
l
l ¥
=
ì æ ö
æ ö
= -
ï ç ÷
ç ÷
è ø
è ø
ï
ï
ï é ù
= =
í ê ú
ë û
ï
ï é ù
= = = -
ï ê ú
ë û
ï
î
Barre cylindrique en contact avec un fluide :
TR
Tf
R
Tmax
0
N.Belouaggadia
48. La solution de l’équation différentielle est de la forme :
2
( ) ln( )
4
qr
T r A r B
l
= - + +
Au centre du cylindre (pour r=0), la température doit être finie ⇒ A=0.
2
( )
2 4
f
qR qR
h B T
l
l l
- -
- = + -
2
4 2
f
qR qR
B T
h
l
= + +
2 2
( ) ( )
4 2
f
q qr
T r r R T
h
l
= - - + +
La valeur extrême de la température est l’axe (r=0):
2
max;min
4 2
f
qR qR
T T
h
l
= + +
N.Belouaggadia
49. Le flux thermique surfacique est donné par loi de fourrier:
2
r
r R
dT q
R
dr
j l
=
ö
= - =
÷
ø
Devoir à faire
Calculer :
N.Belouaggadia
50. 2
1
0
dT
- . .( ( ) )
dr
dT
0 - . .( ( 0) )
dr
x
x
e
x e h T x e T
x h T x T
l
l ¥
=
¥
=
é ù
= = = -
ê ú
ë û
é ù
= = = -
ê ú
ë û
e
q
x
2
( )
2
q
T x x Ax B
l
= - + +
N.Belouaggadia
51. 51
N. Belouaggadia
Exemple : Barreau cylindrique avec source interne :
Refroidissement d’un barreau d’uranium de diamètre D = 50 mm, plongé dans
l’eau à 130°C.
La production interne de la chaleur est supposée uniformément répartie, sa
puissance volumique étant q = 75 MW/m3. La conductivité thermique de l’uranium
sera prise égale à
30 W/ m.K
Le coefficient de transfert pariétal est h = 57 kW/m2.K
On se propose de calculer les températures au centre et à la paroi ainsi que le flux
évacué par mètre linéaire de barreau.
Tau centre = 537°C Tparoi = 146°C
D’où le flux thermique
Qui est bien égale à la puissance libérée par mètre linéaire
ml
/
kW
147
)
D
.
).(
T
T
.(
h eau
paroi =
-
= p
f
4
D
.
.
q
2
p
52. .) Transfert de chaleur par des surfaces ailetées
Le flux thermique transféré, à partir d’une surface à Ts, à un milieu environnant est
donné par la loi de Newton :
)
( ¥
-
=
F T
T
hA s
s
où As est la surface d’échange et h le coefficient d’échange par convection.
Lorsque les températures Ts et T∞ sont considérées fixes, le flux Φ peut être augmenté
de deux façons :
- Soit accroître le coefficient h
- Soit accroître la surface As
L’augmentation de h nécessite l’installation d’une pompe ou remplacer cette dernière
par une autre plus puissante, ce qui entraîne une dépense d’énergie supplémentaire,
parfois intolérable. Cette approche est donc non pratique et non adéquate.
N.Belouaggadia
53. L’alternative est alors d’augmenter la surface d’échange en attachant des ailettes
sur celle-ci. Les matériaux constituant ces ailettes doivent avoir une conductivité
thermique élevée.
Les différents types d’ailettes commercialisées sont représentés sur les figures ci-
dessous.
N.Belouaggadia
54. .) transfert de chaleur dans une ailette
Caractéristiques géométriques d’une ailette
t
w
L
base
sommet
t est l’épaisseur de l’ailette , w sa largeur et L sa longueur.
N.Belouaggadia
55. Equation de l’ailette
Dans l’analyse thermique des ailettes, on suppose que :
- un fonctionnement permanent
- il n’y a pas de production de chaleur dans celles-ci
- la conductivité thermique du matériau est constante
- les ailettes sont minces
- le coefficient d’échange par convection h est le même partout sur
la surface de l’ailette.
Sous les hypothèses précédentes, le bilan d’énergie sur un élément de volume
dV de l’ailette de longueur dx, de section Ac et de périmètre p, à une position x
donnée (Fig.18) s’exprime par :
)
(
]
[ ¥
-
=
¶
¶
T
T
hp
x
A
dx
d
c
)
T
(
λ
Ce bilan constitue l’équation de l’ailette.
N.Belouaggadia
56. x x+dx
•
•
• x
O
Φx Φx+dx
échange par convection Φcv
L
•
Bilan thermique d’une ailette
N.Belouaggadia
57. Dans le cas où la section Ac est constante, le bilan précédent, avec λ=cste, se
met sous la forme :
0
2
2
2
=
- q
a
q
dx
d
¥
-
= T
T
q c
A
hp l
a /
=
et
avec :
La solution générale de cette équation s’écrit :
x
x
e
c
e
c
x a
a
q -
+
= 2
1
)
(
où C1 et C2 sont des constantes arbitraires, déterminées à partir des conditions aux
limites à la base et au sommet de l’ailette.
La condition à la base de l’ailette est :
¥
-
=
=
= T
T
x b
b
q
q )
0
(
Au sommet, on peut avoir plusieurs possibilités :
-Température fixe à x = L
- Echange thermique négligeable
- Echange de chaleur par convection
- Echange combiné par convection et par rayonnement
N.Belouaggadia
58. Nous étudierons, dans a suite, ces différentes conditions aux limites.
Ailette infiniment longue
La solution de l’équation de l’ailette est :
]
)
(
exp[ 2
/
1
x
A
hp
T
T
T
T
c
b l
-
=
-
-
¥
¥
T diminue exponentiellement de Tb à .
¥
T
Dans ce cas :
Le flux de chaleur traversant la section Ac, à une position x de l’ailette est :
]
)
(
exp[
)
(
)
( 2
/
1
2
/
1
x
A
hp
T
T
ph
A
c
b
c
x
l
l -
-
=
F ¥
Le flux transféré par l’ailette au milieu ambiant (donc échangé par convection) est
égal au flux entrant par la base de l’ailette :
)
(
)
( 2
/
1
0 ¥
= -
=
ò
=
F
=
F T
T
ph
A
dA
h b
c
A
cv
x
a
l
q
Aa étant l’aire totale de l’ailette. N.Belouaggadia
59. Echange thermique négligeable au sommet de l’ailette
Les ailettes ne sont pas généralement assez longues pour que la température au
sommet approche celle du milieu ambiant. Une situation plus réaliste est de négliger
les pertes thermiques au sommet puisque l’aire de ce dernier est souvent
négligeable devant l’aire totale de la surface de l’ailette. Ainsi, on peut écrire :
0
)
( »
=L
x
dx
dq
La solution de l’équation de l’ailette serait :
]
cosh[
)]
(
cosh[
L
x
L
T
T
T
T
b a
a -
=
-
-
¥
¥
Le flux de chaleur transféré par l’ailette est :
)
tanh(
)
(
)
( 2
/
1
0 L
T
T
ph
A b
c
x a
l ¥
= -
=
F
=
F
On constate que ce flux est égal à celui d’une ailette longue multiplié par le facteur
tanh (αL) qui tend vers 1 lorsque L à infini.
N.Belouaggadia
60. Echange thermique par convection au sommet de l’ailette
Dans ce cas, la solution générale de l’équation de l’ailette et les conditions aux
limites sont :
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
-
=
=
-
=
=
=
+
=
¥
=
¥
-
)
(
)
(
)
0
(
)
( 2
1
b
L
L
x
b
b
x
x
T
T
h
h
dx
d
T
T
x
e
c
e
c
x
l
q
l
q
q
q
q a
a
d’où :
]
sinh[
)
/
(
]
cosh[
)]
(
sinh[
)
/
(
)]
(
cosh[
L
h
L
x
L
h
x
L
T
T
T
T
b a
al
a
a
al
a
+
-
+
-
=
-
-
¥
¥
)
sinh(
)
/
(
)
cosh(
)
cosh(
)
/
(
)
sinh(
)
(
0
L
h
L
L
h
L
T
T
A b
c
x
a
al
a
a
al
a
a
l
+
+
-
=
F
=
F ¥
=
N.Belouaggadia
61. Rendement d’une ailette
C’est le rapport entre le flux réel Φ transféré par l’ailette et le flux Φmax de l’ailette qui
aurait une conductivité thermique infinie :
max
F
F
=
h
La température d’une ailette à conductivité infinie serait uniforme et égale à la
température Tb à la base de l’ailette. Ainsi, le flux maximal transféré est :
)
(
max ¥
-
=
F T
T
hA b
a
Aa étant l’aire totale de la surface d’échange par convection de l’ailette.
Pour des ailettes assez longues et à section constante, le rendement est :
L
a
h
1
=
Pour des ailettes à sommets isolés, Ce rendement devient :
L
L a
a
h /
)
tanh(
=
N.Belouaggadia
62. Efficacité d’une ailette
L’ajout d’ailettes sur une surface n’assure pas systématiquement un transfert
important de chaleur, comparé au prix à payer. Ainsi, on caractérise la performance
des ailettes par son efficacité définie par :
b
a
a
F
F
=
e
Фa et Фb sont respectivement les flux transférés par l’ailette d’aire Ab à la base et de
surface d’échange Aa et par une surface d’aire Ab :
)
( ¥
-
=
F T
T
hA b
a
a
h )
( ¥
-
=
F T
T
hA b
a
b
Ainsi, l’efficacité s’exprime par :
et
b
a
a
A
A
h
e =
N.Belouaggadia
63. On peut aussi définir l’efficacité d’une surface ailetée par :
sna
sa
F
F
=
e
où Фsa et Фsna sont respectivement les flux transférés par la surface d’échange
ailetée Asa et par la surface sans ailette As ; ils s’écrivent :
)
(
)
( ¥
¥
-
+
-
=
F T
T
hA
T
T
hNA b
na
b
a
sa
h
)
( ¥
-
=
F T
T
hA b
s
sna
avec : As = Ana + NAb , N étant le nombre d’ailettes et Ana est l’aire de la surface
d’échange entre les ailettes.
L’efficacité d’une surface ailetée est alors :
s
a
na
A
NA
A h
e
+
=
N.Belouaggadia
