Résistance des matériaux examens et série d'exercices corrigésHani sami joga
Cours et exercices corrigées en RDM
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Résultats enquête RH 2024 Fonction Publique.pdfGERESO
Nous avons le plaisir de vous présenter les résultats de la 1ère édition de l’enquête « Professionnels RH de la Fonction Publique, comment allez-vous ? »
Forts du succès de notre baromètre annuel « Professionnels RH, comment allez-vous ? », publié pour la 4e fois en début d’année, et qui concerne principalement les professionnels RH des entreprises privées (90% des répondants exercent dans le secteur privé) nous avons souhaité, à travers ce nouveau baromètre, nous intéresser spécifiquement au moral des professionnels RH de la fonction publique.
En effet, les enjeux, les missions, les conditions de travail
des professionnels RH dans les établissements publics sont souvent bien distincts de ceux de leurs homologues du secteur privé…
Et leur moral également ! Ces différences justifiaient donc une enquête spécifique !
Merci à vous ! Vous avez été 240 professionnels RH dans
des établissements publics à répondre à nos questions et à nous livrer des aspects très personnels de votre vie de professionnel(le) des
ressources humaines du secteur public.
Alors, avez-vous un bon ou un mauvais moral en ce printemps 2024 ? Découvrez dans ce document tous les résultats de cette étude !
Sainte Jeanne d'Arc, patronne de la France 1412-1431.pptxMartin M Flynn
sainte patronne de la France, honorée en tant que défenseure de la nation française pour son rôle dans le siège d'Orléans et son insistance sur le couronnement de Charles VII de France pendant la guerre de Cent Ans.
Formation M2i - Prise de parole face caméra : performer en distancielM2i Formation
Le travail en distanciel est de plus en plus incontournable et s'installe durablement dans la société, mais bien souvent, les collaborateurs d'une même entreprise n'ont pas toutes les aptitudes permettant d'être efficaces et impactants avec cette nouvelle façon de travailler : le télétravail !
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Pour approfondir ces sujets et aller plus loin, vous pourrez vous inscrire à notre formation Prise de parole face caméra : performer en distanciel.
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Newsletter SPW Agriculture en province du Luxembourg du 17-05-24BenotGeorges3
Les informations et évènements agricoles en province du Luxembourg et en Wallonie susceptibles de vous intéresser et diffusés par le SPW Agriculture, Direction de la Recherche et du Développement, Service extérieur de Libramont.
https://agriculture.wallonie.be/home/recherche-developpement/acteurs-du-developpement-et-de-la-vulgarisation/les-services-exterieurs-de-la-direction-de-la-recherche-et-du-developpement/newsletters-des-services-exterieurs-de-la-vulgarisation/newsletters-du-se-de-libramont.html
Newsletter SPW Agriculture en province du Luxembourg du 03-06-24BenotGeorges3
Les informations et évènements agricoles en province du Luxembourg et en Wallonie susceptibles de vous intéresser et diffusés par le SPW Agriculture, Direction de la Recherche et du Développement, Service extérieur de Libramont.
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Bonne lecture et bienvenue aux activités proposées.
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2. Vibrations des poutres : Introduction
Introduction et hypothèses :
Les méthodes systèmatiques sont liées à la nature particulière des ensembles on en distingue 4 cas :
Les poutres : La matière est répartie le long d’une ligne moyenne
Les plaques : La matière est répartie le long d’une surface plane moyenne
Les coques : La matière est répartie le long d’une surface moyenne dans l’espace tridimensionnel.
Les corps à géométrie quelconque.
1. Hypothèses de la MMC pour les poutres :
Définition :
Une poutre est un solide t.q. 2 de ses dimensions sont petites devant une 3 ème, d’où la notion de
longueur, section droite et ligne moyenne autour de laquelle la matière est répartie.
La ligne moyenne est le lieu des centres de gravités des sections droites.
G
1
G
2
3. 3. Contraintes et torseur des forces internes de liaison.
e2
e2
P
⊗
G
e1
e3
poutre
Section droite
G : centre de gravité de la section et P : un point courant de cette section.
GP = ye2 + ze3
Hyp : On a un état plan des contraintes et des forces de cohésion, on fait par exemples, le choix suivant
( e1 , e2 ) plan des forces
e3 : axe des moments.
4. 2. Hypothèses de la MMC.
Hyp 1. : Petites vibrations autour de la position d’équilibre stable qui correspond à des petites
déformations dans le domaine élastique. Remarquons qu’on peut avoir de grands déplacements et petites
déformations, exples : déformations d’ailettes d turbines, éoliennes…
Hyp 2. : (Navier-Bernouilli)
Quand la poutre se déforme toute section droite reste droite (perpendiculaire) à la ligne moyenne et
inaltérée (aucune déformation ne s’effectue dans son plan : contour inchangée)
La section tourne en un seul bloc et se comporte comme un solide rigide.
G
1
G
2
5. 3.1. Contraintes en un point.
Notons
σ
Le tenseur des contraintes :
σ11 ( P ) e1 : tenseur des contraintes normales
σ12 ( P ) e 2 : tenseur des contraintes tangentielles
σ12 ( P )
P
σ11 ( P )
G
Rq : Par hypothèses les contraintes tangentielles et normales ne dépendent que de la variable x.
6. 3.2. Torseur des forces en un point.
T
Solide 2
Solide 1
P
M
G
N
Les actions du solide 2 sur le solide 1 sont
T=
∫∫
S
σ12 ds e 2
Où l’on noté :
Remarque :
N=
∫∫
S
σ11ds e1
N, T et M
M=
∫∫
S
GP ∧ τ ( P ) ds = −
∫∫
S
yσ11ds e3
τ ( P ) : Vecteur des contraintes en P suivant e1
M : ((moment causé par τ ( P ) ).e 3 ) porté par e 3
à cause de l’hypothèse des contraintes planes
( e1 , e2 ) plan des
forces
e3 : axe des moments.
7. 4. Déplacements et vitesses des pts d’une même
section (Cinématique)
4.1. torseur des déplacements et torseur des vitesses (Exercice).
Ecrire le torseur des déplacements à partir des des déplacements
u ( x; t ) : déplacement longitudinal
v( x; t ) : déplacement transversal
4.2. Déformations : tenseur, torseur et loi de comportement (Exercice).
4.3. Etablissement des équations de la dynamique pour la poutre. (Exercice).
8. 5. Equations aux dérivées partielles.
5.1. Equations.
Hypothèses : Il n y a que des forces réparties :
p( x , t ) suivant e 2
p( x , t )
e2
e1
∂N
∂ 2 u ( x, t )
Sur e1 :
= ρA
∂x
∂t 2
∂T
∂ 2 v( x , t )
Sur e 2 :
+ p ( x , t ) = ρA
∂x
∂t 2
- N( x )
∂M
∂ θ( x , t )
Sur e3 :
+ T = ρI
∂x
∂t 2
T+
- M( x )
*
2
N
∂u
=ε=
EA
∂x
T
GA '
M
∂θ
=χ=
EI
∂x
=γ=
∂v
−θ
∂x
G 0 ( x + dx )
G0 ( x)
*
- T( x )
6 équations
∂T
dx
∂x
dx
N+
M+
∂M
dx
∂x
∂N
dx
∂x
9. 5.2. Vibrations libres longitudinales.
Hyp :
∂N
∂ 2 u ( x, t )
= ρA
∂x
∂t 2
p( x , t ) = 0
⇒
∂ 2u
∂t 2
−c
2
∂ 2u
∂x 2
N
∂u
∂N
∂ 2u
=
⇒
= EA 2
EA ∂x
∂x
∂x
et
= 0; où c =
E
vitesse de l' onde
ρ
!!!! Il faut 2 conditions initiales (t=0) et 2 conditions aux limites (généralement les extrémités)
Application :
N
N
l
Barre libre dont les extrémités sont soumises à des vibrations longitudinales.
∂u
∂u
⇒
( t ) = ∂u ( t ) = 0 ∀t
N = 0 en x = 0 et en x = ⇒ cond' n lim car N = EA
∂x
∂x x =0
∂x x =
La solution est alors donnée
par :
ou encore par u ( x, t ) =
u ( x, t ) =
∞
kπ
kπc
kπc
cos
x A k cos
t + B k sin
t
k =1
∑
∞
ω
cos k x ( A k cos( ωk t ) + B k sin ( ωk t ) )
c
k =1
∑
si ωk =
kπ
c
10. 5. Vibration longitudinale( traction-compression barres)
5.1. Solution théorique exacte.
Pendant la vibration longitudinale chaque élément de longueur dx de la barre (ou de la poutre) est
soumis alternativement à une traction et à une compression. Si la barre est suffisamment mince pour
qu’il soit possible de négliger les forces d’inertie transversales, les forces internes sont alors
essentiellement axiales. La loi de Hooke reliant la
contrainte
σ à la déformation ε peut s’écrire :
et la seconde loi de Newton relative à un élément de volume dV et de masse volumique ρ :
à partir de ces deux lois, on obtient la condition d’équilibre d’un élément de longueur dx compris entre deux
sections droites :
11. Et si la barre a une section constante :
Si, de plus, à une extrémité libre, on fixe une masse M la force d’inertie de M et la force élastique
s’équilibrent pour x=l ‘ (où l désigne la longueur de la barre)
12. Exemples de vibrations longitudinales.
Barre de section variable soumise à des vibrations longitudinales
Barre de section constante soumise à des vibrations longitudinales et ayant une masse M à son extrémité
libre
13. 5.2. Vibrations libres transversales.
Hyp :
Poutre non chargée, cisaillement négligé et l’énergie cinétique de la rotation de la poutre
est faible devant celle de la translation
∂T
∂ 2 v( x , t )
Sur e 2 :
+ p ( x , t ) = ρA
∂x
∂t 2
p( x, t ) = 0 ⇒
∂M
∂ 2 θ( x , t )
Sur e3 :
+ T = ρI
∂x
∂t 2
Loi de comportement
or
∂2 θ
∂2
t
∂M
∂3v
T=−
= − EI 3
∂x
∂x
∂M
+T = 0
∂x
=0 ⇒
∂v
∂v
=γ=
−θ⇒
=θ
'
∂x
∂x
GA
T
∂T
∂ 2 v( x , t )
= ρA
∂x
∂t 2
M
∂θ
∂θ
∂2v
et
=χ=
⇒ M = EI
= EI 2
EI
∂x
∂x
∂x
en dérivant une fois il vient alors :
∂ 2 v( x , t )
∂t 2
EI ∂ 4 v( x , t )
+
=0
4
ρA ∂x
14. 5.2. Vibrations libres transversales (2)
∂ 2 v( x , t )
On cherche des solutions à variables séparées de l’équation
v( x , t ) = φ( x ) q ( t )
où φ( x ) : forme propre de vibration
∂t 2
et q( t ) : une fonction du temps
φ( 4 )
ρA q ( 2 )
⇒
(x) = −
( t ) = α4 , ∀t, x
φ
EI q
⇒
Les solutions
:
d 4φ
dx 4
4
EI ∂ 4 v( x , t )
+
=0
ρA ∂x 4
= α φ et
d 2q
dt 2
+ α4
α = cste / x et t
EI
q=0
ρA
2 EI
α
q( t ) = A cos
t − ϕ et φ( x ) = Be sx avec s sol' n de l' éq caract :
ρA
B s 4 − α 4 e sx = 0 ⇒ s = ±α ou s = ±iα
(
)
⇒ φ( x ) = A1 sin ( αx ) + A 2 cos( αx ) + A 3sh ( αx ) + A 4 ch ( αx )
A et ϕ sont déterminés par les conditions initiales
A1 , A 2 , A 3 et A 4 sont déterminés par les conditions aux limites