Cours d'Analyse - Topologie Leçon 1 - Tawfik Masrour

1. Université My Ismaïl Meknès
Ecole Nationale Arts et Métiers
ENSAM 2013-2014
Cours d’Analyse 2
Semestre 1
T. Masrour
1
T. Masrour - Analyse 2

2. Leçon 1
1. Avant Propos
Ce chapitre se fixe comme objectifs de généraliser des notions déjà étudiées auparavant dans le cadre de
l’espace vectoriel réel telles que la notion de :






Distance
Norme
Suites
Convergence
Continuité
…
Parmi les utilités importantes on peut citer simplement :
L’étude des fonctions à plusieurs variables et les équations différentielles ou les équations aux
dérivées partielles qui régissent les phénomènes physiques ou d’ingénierie….
Figure 1 : Une courbe gaussienne en deux dimensions, d'équation
.
2
T. Masrour - Analyse 2

3. 2. Distances, espaces métriques
2.2. Définition (Distance)
Soit
un ensemble quelconque non vide (en pratique on utilisera le plus souvent
).
On dit qu’une application :
est une distance sur E si elle vérifie les trois propriétés suivantes :
(d1) :
(d2) :
(
(d3) :
2.3.Remarques
La propriété (d1) s’appelle propriété de séparation.
La propriété (d2) s’appelle propriété de symétrie.
La propriété (d3) s’appelle inégalité triangulaire.
2.4. Définition (Espace métrique)
L’ensemble
muni d’une distance
On omettra parfois
est appelé espace métrique et est noté
.
si aucun risqué de confusion n’est à craindre.
2.5.Exemples
1.
Soit
, et soit l’application
définie comme suit :
Pour tout
Alors
2.
3
est une distance.
, muni de l’application
définie comme suit :
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4. est un espace métrique et
s’appelle distance de Manhattan.
Figure 2 : Distance de Manhattan (chemins rouge, jaune et bleu) contre distance euclidienne en vert
Remarque : La figure ci-dessus compare la géométrie vue par la distance euclidienne par rapport
à celle du “taxi de Manhattan”:
Les trois lignes de (rouge, jaune et bleu) sont de même longueur pour le même trajet. En
géométrie euclidienne, la ligne verte a une longueur
, et est le chemin le plus court.
3.
, muni de l’application
définie comme suit :
est un espace métrique et l’application s’appelle distance euclidienne.
4.
, muni de l’application
définie comme suit :
est un espace métrique et l’application s’appelle : “distance sup” ou encore “distance de
Tchebychev”.
5.
, muni de l’application
est un espace métrique et
6.
4
Soit
définie comme suit :
s’appelle distance de Minkowski.
, un ensemble quelconque qui contient au moins deux éléments on le munit de
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5. l’application
définie comme suit :
est un espace métrique et
s’appelle distance discrète.
C’est la distance la plus simple que l’on puisse imaginer.
7.
On peut munir l’espace des fonctions bornées ou continues de
d’une application définie sur son produit avec lui meme par
à valeurs dans
On définit ainsi une distance appelée distance sup ou uniforme sur l’espace des fonctions.
3. Boules ouvertes et fermées et Notion de Bornitude dans un espace métrique.
On définit les boules ouvertes fermées et les sphères dans un espace métrique de la manière
suivante :
3.2. Définition (Boules)
Soient
un espace métrique,
et
 On appelle boule ouverte de centre et de rayon pour la distance
l’ensemble :
 On appelle boule fermée de centre et de rayon pour la distance
l’ensemble :
 On appelle la sphère de centre
et de rayon
3.3.Définition (Ensembles bornés dans un espace métrique)
Soit
un espace métrique et
boule fermée dans qui contient .
. On dira que
est borné si et seulement s’il existe une
3.4.Exemples : (à faire en classe de cours)
1.
Considérons un ensemble
1.1.
1.2.
Donner toutes les boules ouvertes et fermées ainsi que les sphères de
Montrer que tout ensemble de E est borné pour la distance discrète.
2.
quleconque muni de la distance discrete.
Considérer dans le plan les trois distances :
centre l’origine et de rayon 1.
5
).
et tracer les boules ouvertes de
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