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Université Mohammed V – Agdal
Faculté des Sciences Juridiques,
Economiques et sociales
RABAT
http://www.fsjesr.ac.ma
‫ا‬–‫ال‬ ‫اآ‬
‫آ‬‫د‬ ‫وا‬ ‫ا‬ ‫م‬ ‫ا‬
‫وا‬
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Filière de Sciences Économiques et de Gestion
Semestre : S3
Module : M 12 (Méthodes Quantitatives III)
Matière : Algèbre I
Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver
1
Syllabus
Contenu du cours
Chapitre 1 : Espaces vectoriels réels
I- Structure d’espace vectoriel réel
II- Sous espaces vectoriels
III- Combinaison linéaire - Système générateur
IV- Système libre - système lié
V- Ordre et rang d’un système de vecteurs
VI- Base d’un espace vectoriel
VII- Espace vectoriel de dimension fini
Chapitre 2 : Applications linéaires
I- Définitions et généralités
II-Opérations sur les applications linéaires
III- Image et image réciproque
IV- Noyau et image d’une application linéaire
V- Applications linéaires injectives et surjectives
VI- Rang d’une application linéaire
Chapitre 3 : Matrices
I- Généralités (définition, matrices particulières)
II- Matrices carrées
III- Opérations sur les matrices
IV- Matrice inverse : Méthode de Gauss-Jordan
V- Matrice associée à un système de vecteurs
VI- Matrice d’une application linéaire
VII- Changement de base
Chapitre 4 : Calcul de déterminants
I- Calcul d’un déterminant d’ordre n
II- Propriétés des déterminants
III- Inversion d’une matrice par la méthode des
cofacteurs
IV- Rang d’une matrice, Rang d’une application
linéaire
Objectif du cours
Introduire l’étudiant à l’algèbre linéaire par des notions sur les espaces vectoriels et les
applications linéaires ainsi que sur le calcul matriciel.
Pré-reqcuis recommandé
Calcul dans
Notions élémentaires sur les ensembles
Mode d’évaluation
Contrôle final (2h)
contrôle de rattrapage (1h30)
Déroulement du cours
Cours magistraux (26h)
Travaux dirigés (14h)
Support du cours
Polycopié du cours
Séries d’exercices corrigés
[S3, Module M12, Matière : Mathématiques II] Chapitre 1 : espace vectoriel réel
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1
CHAPITRE 1 : ESPACE VECTORIEL RÉEL
I- Structure d’espace vectoriel réel ..............................................................................................................2
I-1 L’espace vectoriel IRn
...................................................................................................................................... 2
I-2 Espace vectoriel réel........................................................................................................................................ 2
I-3 Propriétés ......................................................................................................................................................... 3
II- Sous espaces vectoriels............................................................................................................................4
II-1 Définition et propriétés.................................................................................................................................. 4
II-1-1 Définition .........................................................................................................................................................................4
II-1-2 Propriétés : .......................................................................................................................................................................4
II-2 Intersection de sous espaces vectoriels......................................................................................................... 4
II-3 Somme de sous espaces vectoriels................................................................................................................. 5
III- Combinaison linéaire - système générateur .........................................................................................7
III-1 Combinaison linéaire.................................................................................................................................... 7
III-2 Système générateur ...................................................................................................................................... 7
IV- Système libre - système lié......................................................................................................................8
V- Ordre et rang d’un système de vecteurs..................................................................................................9
VI- Base d’un espace vectoriel...................................................................................................................10
VII- Espace vectoriel de dimension fini.....................................................................................................11
[S3, Module M12, Matière : Mathématiques II] Chapitre 1 : espace vectoriel réel
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2
I- Structure d’espace vectoriel réel
I-1 L’espace vectoriel IRn
Définition :
Les éléments de sont des suites finies de n termes réels :
, , … , , , , … ,
Définition :
On peut définir sur une loi de composition interne, l'addition, notée + par :
, , , … , , , … , , , … ,
Propriétés de l'addition :
Elle est associative : , , ,
Elle est commutative : , ,
Elle a un élément neutre : 0 0,0, … ,0 , / 0 0
Tout élément X a un opposé noté , , … , / 0
Définition :
On peut aussi définir sur une loi de composition externe, multiplication par un réel,
noté "." ou parfois sans signe, par :
, . , , … , , , … ,
Propriétés de la multiplication par un réel :
1.
, , . . .
, , . . .
, , . . .
L'ensemble , muni de ces deux lois est un espace vectoriel sur . On le note ( ,+,.).
I-2 Espace vectoriel réel
Définition :
Un ensemble E, muni d'une loi de composition interne "+" (qui a deux éléments de E fait
correspondre un élément de E) et d'une loi de composition externe "." (qui à un élément de
et à un élément de E fait correspondre un élément de E) ayant les huit propriétés
énoncées précédemment est appelé espace vectoriel réel.
Ses éléments sont appelés vecteurs. On le note (E,+,.).
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3
Exemples :
1) ,.),( 3
+IR est un e.v.r., où les lois " ++++ " et "." sont définies dans 3
IR par :



==
+++=+=+
∈∀∈=∀=∀
),,(),,.(.
),,(),,(),
:,),,(),,(
321321
332211321321
3
321321
xxxxxxx
yxyxyxyyyxxxyx
IRIRyyyyxxxx
ααααα
α
2) ,.)),(( +IRIF est un e.v.r., où les lois " ++++ " et "." sont définies dans )(IRIF par :



∈∀=
∈∀+=+
∈∀∈∀
IRxxfxf
IRxxgxfxgf
aonIRIRFgf
)())(.(
)()())((
:,),(,
αα
α
I-3 Propriétés
Si ,.),( +E un espace vectoriel réel, alors EyxIR ∈∀∈∀ ,,,βα , on a :
1) EE 00. =α
2) EIR x 0.0 =
3) EE xoux 000. ==⇒= αα
4) ).().( xx αα −=−
5) ).().().( xxx βαβα −=−
6) ).().().( yxyx ααα −=−
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4
II- Sous espaces vectoriels
II-1 Définition et propriétés
II-1-1 Définition
Définition :
Un sous ensemble F d’un espace vectoriel E est dit sous espace vectoriel (s.e.v.) de E ssi :
1) φ≠F
2) F est stable pour "+ " : ),( FyxFyx ∈+∈∀
3) F est stable pour "." : ).),(( FxFIRx ∈×∈∀ αα
ssi :
1) φ≠F
2) FyxIRFyx ∈+∈∀∈∀ ..),(,),( 22
βαβα
Exemples :
1) ,.)),(( +IRP (l’ensemble des polynômes de degré n≤ ) est un s.e.v. de ,.)),(( +IRF .
2) { } ,.),0( +×IR et { } ,.),0( +× IR sont des s.e.v. de ,.),( 2
+IR .
II-1-2 Propriétés :
Si E est un espace vectoriel, alors :
1) Tout sous espace vectoriel de E est un espace vectoriel.
2) L’intersection de n sous espaces vectoriels de E est un espace vectoriel.
3) { } ,.),0( +E est un sous espace vectoriel de E .
4) E0 appartient à tous les sous espaces vectoriels de E .
II-2 Intersection de sous espaces vectoriels
Théorème :
L'intersection de deux sous espaces vectoriels d'un espace vectoriel réel E est un sous
espace vectoriel de E .
Remarque :
La réunion de deux sous espaces vectoriels n'est en général pas un sous espace vectoriel.
Théorème :
L'intersection de plusieurs sous espaces vectoriels d'un espace vectoriel réel E est un
sous espace vectoriel de E .
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5
II-3 Somme de sous espaces vectoriels
Définition :
Soit E un espace vectoriel et soient 1E et 2E deux sous espaces vectoriels de E .
• La somme des sous espaces vectoriels 1E et 2E , notée par 21 EE + , est égale à :
{ }21212121 /),(/ xxxEExxExEE +=×∈∃∈=+
• La somme directe des sous espaces vectoriels 1E et 2E , notée par 21 EE ⊕ , est égale à :
{ }21212121 /),(!/ xxxEExxExEE +=×∈∃∈=⊕
• Si 21 EEE ⊕= , alors les sous espaces vectoriels 1E et 2E sont dits sous espaces
supplémentaires de E .
Théorème :
Si 1E et 2E sont deux sous espaces vectoriels d’un espace vectoriel E alors 21 EE + et
21 EE ⊕ sont aussi des sous espaces vectoriels de E .
Théorème :
Si 1E et 2E sont deux sous espaces vectoriels d’un espace vectoriel E , alors les
propositions suivantes sont équivalentes :
1) 21 EEE ⊕=
2) 21 EEE += et { }EEE 021 =∩
Exemple :
)(IRFE = : 21 EEE ⊕= , avec
o { }IRxxfxfEfE ∈∀−=∈= )()(/1 (ensemble des fonctions paires)
o { }IRxxfxfEfE ∈∀−−=∈= )()(/2 (ensemble des fonctions impaires)
Pour montrer que 21 EEE ⊕= , il suffit de vérifier que 21 EEE += et { }EEE 021 =∩ .
En effet :
1) 21 EEE += :
• Soit Ef ∈ . On pose





−−=
−+=
))()((
2
1
)(
))()((
2
1
)(
2
1
xfxfxf
xfxfxf
• On a :







+=
∈⇒−=−−=−
∈⇒=+−=−
)()()(
)())()((
2
1
)(
)())()((
2
1
)(
21
2222
1111
xfxfxfet
Efxfxfxfxf
Efxfxfxfxf
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6
• Donc : 212121 /),( fffEEffEf +=×∈∃∈∀
• D’où : 21 EEE +=
2) { }EEE 021 =∩ :
• Si 210 EEf ∩∈ , alors :



∈∈∀−−=
∈∈∀−=
)()()(
)()()(
2000
1000
EfIRxxfxf
EfIRxxfxf
• Donc : EOf =0 , ( )IRxxf ∈∀= 0)(0
• D’où : { }EEE 021 =∩
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7
III- Combinaison linéaire - système générateur
III-1 Combinaison linéaire
Définition :
Dans un espace vectoriel E , on appelle une combinaison linéaire de n vecteurs
nuu ,,1 L , tout vecteur u de E qui peut s’écrire sous la forme :
∑=
=++=
n
i
iinn uuuu
1
11 ααα L , avec n
n IR∈),,( 1 αα L
Théorème :
L’ensemble des combinaisons linéaires de n vecteurs d’un espace vectoriel E est un sous
espace vectoriel de E .
III-2 Système générateur
Définition :
Dans un espace vectoriel E , on dit qu’un système de n vecteurs { }nuu ,,1 L est un
système générateur de E (ou que les vecteurs nuu ,,1 L sont des vecteurs générateurs
de E ) si tout vecteur u de E peut s’écrire comme une combinaison linéaire des
vecteurs nuu ,,1 L : ∑=
=++=∈∃∈∀
n
i
iinnn uuuuIREu
1
111 /),,()( ααααα LL
Le système { }nuu ,,1 L s’appelle aussi partie ou famille génératrice de E .
On dit aussi que le système { }nuu ,,1 L engendre E ou que E est engendré par le
système { }nuu ,,1 L .
On note >=< nuuE ,,1 L ou { }nuuVectE ,,1 L=
Remarque :
Le sous espace vectoriel des combinaisons linéaires des vecteurs nuu ,,1 L est engendré par les
vecteurs nuu ,,1 L : >=<






∈∈= ∑=
nii
n
i
iin uuEuIRuE ,,,, 1
1
Lαα
Exemple :
{ } >=<× 21,0 uuIR , avec )0,1(1 =u et )0,1(2 −=u :
{ } )0,()0,1.()0,1.()0,/(,,0)0,( βαβαβα −=−+=∈∃×∈∀ xIRIRx
il suffit de prendre par exemple x=α et 0=β
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IV- Système libre - système lié
Définition :
n vecteurs nuu ,,1 L d’un espace vectoriel E sont linéairement indépendants (le
système { }nuu ,,1 L est un système libre) si : 00 111 ===⇒=++ nEnnuu αααα LL
n vecteurs nuu ,,1 L d’un espace vectoriel E sont linéairement dépendants (ole système
{ }nuu ,,1 L est un système lié) s’ils ne sont pas linéairement indépendants :
Ennn uu 0/)0,,0(),,( 111 =++≠∃ αααα LLL
Exemples :
Les vecteurs )1,0,1(1 =u , )1,1,1(2 −=u et )0,1,0(3 =u de 3
IR sont linéairement indépendants.
Les vecteurs )1,0,1(1 =u , )1,1,1(2 −=u et )2,1,0(3 =u de 3
IR sont linéairement dépendants.
Théorème :
Un système de vecteurs est lié ssi un des vecteurs du système est combinaison linéaire
des autres vecteurs du système.
Si un des vecteurs d’un système est combinaison linéaire des autres vecteurs du système
alors tout vecteur de ce système est combinaison linéaire des autres vecteurs du
système.
Propriétés :
1) Le vecteur E0 n’appartient à aucun système libre de E .
2) EuEu 0/ ≠∈∀ , le système { }u est libre.
3) Tout système de vecteurs extrait d’un système libre est libre.
4) Tout système de vecteurs contenant un système lié est lié.
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V- Ordre et rang d’un système de vecteurs
Définition :
L’ordre d’un système est le nombre de vecteurs du système.
Le rang d’un système est égal au plus grand nombre de vecteurs linéairement
indépendants que l’on peut extraire de ce système.
Exemples : { })1,0(),1,1(),1,2(1 −=S
L’ordre de 1S est égal à 3.
Le rang de 1S est égal à 2 car :
o Les vecteurs )1,0()1,1(),1,2( −et sont linéairement dépendants ))1,0()1,1.(2)1,2(( −+= , ce
qui implique que 3)( 1 <Srang .
o Les vecteurs )1,1()1,2( et sont linéairement indépendants, ce qui implique que 2)( 1 =Srang .
Propriétés :
1) Un système de vecteurs est libre ssi son rang est égal à son ordre.
2) Dans un système lié de rang r , les vecteurs libres extraits en nombre r sont dits
vecteurs principaux, les autres sont dits non principaux et sont combinaison linéaire des
premiers.
3) Le rang d’un système de vecteurs est égal à la dimension de l’espace engendré par ces
vecteurs.
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VI- Base d’un espace vectoriel
Définition :
Une base d’un espace vectoriel E c’est tout système libre de vecteurs générateurs de E .
Exemples :
1) { })1,0(),0,1( est une base de 2
IR
2) { })1,1(),1,0(),0,1 n’est pas une base de 2
IR .
3) { })1,0,0(),0,1,0(),0,0,1( est une base de 3
IR : on l'appelle la base canonique de 3
IR .
4) En général, { })1,0,,0(,),0,,1,,0(,),0,0,1( LLLLLL est la base canonique de n
IR .
Théorème :
Un système de vecteurs { }nuu ,,1 L est une base de E ssi tout vecteur de E s’écrit de
manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs nuu ,,1 L :
∑=
=++=∈∃∈∀
n
i
iinnn uuuuIREu
1
111 /),,!()( ααααα LL
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VII- Espace vectoriel de dimension fini
Définition :
Un espace vectoriel réel est dit de dimension finie s’il admet une base constituée d’un
nombre fini n de vecteurs.
Ce nombre n s’appelle la dimension de l’espace. On note nE =dim .
Exemple :
n
IR est un espace vectoriel réel de dimension n .
Propriétés :
Si E est un espace vectoriel réel de dimension n , alors :
1) Toutes les bases de E ont le même ordre égal à n .
2) L’ordre de tout système générateur de E est supérieur à n .
3) L’ordre de tout système libre de E est inférieur à n .
4) Si l’ordre d’un système libre ou générateur de E est égal à n , alors ce système est une base
de E .
5) Si F est un sous espace vectoriel de E , alors F est un espace vectoriel réel de dimension
fini m , avec nm ≤ . Si de plus nm = , alors EF ≡ .
6) Si 1E et 2E sont deux sous espaces vectoriels de E , alors :
• )dim(dimdim)dim( 212121 EEEEEE ∩−+=+
• 2121 dimdim)dim( EEEE +=⊕
Théorème :
Soit E un espace vectoriel réel de dimension fini.
Si 1E et 2E sont deux sous espaces vectoriels supplémentaires de E , 21 EEE ⊕= , alors
21 dimdimdim EEE += .
Si { }puuB ,,11 L= et { }qvvB ,,12 L= sont deux bases respectives de 1E et 2E , alors
{ }qp vvuuB ,,,,, 11 LL= est une base de E .
Théorème :
Soit E un espace vectoriel réel de dimension fini. Soient 1E et 2E deux sous espaces
vectoriels de E , de bases respectives { }puuB ,,11 L= et { }qvvB ,,12 L= .
Si { }qp vvuuB ,,,,, 11 LL= est une base de E alors 21 EEE ⊕= .
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 2 : applications linéaires
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CHAPITRE 2 : APPLICATIONS LINÉAIRES
I- Définitions et généralités............................................................................................................... 13
I-1 Définitions............................................................................................................................................13
I-2 Propriétés.............................................................................................................................................13
II- Opérations sur les applications linéaires ....................................................................................... 15
II-1 Addition ..............................................................................................................................................15
II-2 Multiplication par un scalaire...............................................................................................................15
II-3 Composition de deux applications linéaires ..........................................................................................15
III- Image et image réciproque par une application linéaire............................................................... 16
IV- Noyau et image d’une application linéaire................................................................................... 17
V- Applications linéaires injectives et surjectives ............................................................................... 18
VI- Rang d’une application linéaire ................................................................................................... 19
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 2 : applications linéaires
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13
I- Définitions et généralités
I-1 Définitions
Définition :
Soient E et F deux espaces vectoriels réels. On dit qu’une application f de E vers
F est une application linéaire ssi :
i) )()()(:),( 2
yfxfyxfEyx +=+∈∀
ii) )(.).(:),( xfxfEIRy ααα =×∈∀
ssi )(.)(.)..(:),(,),( 22
yfxfyxfEyxIR βαβαβα +=+∈∀∈∀
Définition :
Soient E et F deux espaces vectoriels réels, et f une application linéaire de E vers F .
• On dit que f est un endomorphisme ssi FE = .
• On dit que f est un isomorphisme ssi f est bijective.
• On dit que f est un automorphisme ssi FE = et f est bijective.
Exemples :
1) L’application f définie de 2
IR vers IR par yxyxf +=)),(( est une application linéaire.
2) L’application f définie de 2
IR vers 2
IR par ),()),(( xyyxf = est un automorphisme.
Définition : (égalité)
Deux applications linéaires f et g définies de E vers F sont égales, gf ≡ , ssi
)()(: xgxfEx =∈∀
I-2 Propriétés
I-2-1 Expression analytique d’une application linéaire
Théorème :
Soient ,.),( +E et ,.),( +F deux espaces vectoriels réels de dimensions finis. Toute
application linéaire de ,.),( +E vers ,.),( +F est complètement déterminée par la donnée
de l’image d’une base { }puuB ,,1 L= de ,.),( +E : Si ∑=
=
p
i
iiuxx
1
alors ∑=
=
p
i
ii ufxxf
1
)()( .
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 2 : applications linéaires
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14
Définition : (expression analytique)
L’écriture ∑=
=
p
i
ii xaxf
1
)( , où )( iii ufxa , s’appelle l’expression analytique de f
relativement à la base B .
I-2-2 Autres propriétés
Soient E et F deux espaces vectoriels réels. Si f est une application linéaire de E vers F , alors :
1) FEf 0)0( = : FE xfxfxxffEx 0)()()()0(, =−=−=∈∀
2) )()(, xfxfEx −=−∈∀ : )()(0)()0()0()( xfxfxffxfxf FEE −=−=−=−=−
3) :),,(,),,( 11
n
n
n
n ExxIR ∈∀∈∀ LL αα )(.)(.)..( 1111 nnnn xfxfxxf αααα ++=++ LL
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15
II- Opérations sur les applications linéaires
Théorème :
L’ensemble ),( FEL des applications linéaires définies de E vers F , muni de l’addition
et de la multiplication par un scalaire est un espace vectoriel réel.
II-1 Addition
Si f et g sont deux applications linéaires, définies de E vers F , alors l’application gf + ,
définie de E vers F par )()())(( xgxfxgf +=+ , est une application linéaire.
II-2 Multiplication par un scalaire
Si f est une application linéaire définie de E vers F et α un réel, alors l’application ).( fα
définie de E vers F par )(.))(.( xfxf αα = est une application linéaire.
II-3 Composition de deux applications linéaires
Soient E , F et G trois espaces vectoriels réels.
• Si f est une application linéaire de E vers F et g une application linéaire de F vers G ,
alors l’application fg o est une application linéaire de E vers G .
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16
III- Image et image réciproque par une application linéaire
Soient E et F deux espaces vectoriels réels et f est une application linéaire de E vers F .
Définition :
• Soit A un sous ensemble de E . On appelle l’image de A par f , et on note )(Af
l’ensemble : { } { }yxfAxFyAxxfAf =∈∃∈=∈= )(://)()(
• Soit B un sous ensemble de F . On appelle l’image réciproque de B par f , et on
note )(1
Bf −
l’ensemble : { }BxfExBf ∈∈=−
)(/)(1
Théorème :
Si A est un sous espace vectoriel de E , alors )(Af est un sous espace vectoriel de F .
Si B est un sous espace vectoriel de F , alors )(1
Bf −
est un sous espace vectoriel de E .
Théorème :
L’image d’un système générateur d’un sous espace vectoriel A de E est un système
générateur du sous espace vectoriel )(Af de F .
L’image par f d’un système lié est un système lié.
Si l’image par f d’un système est libre alors ce système est libre.
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 2 : applications linéaires
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17
IV- Noyau et image d’une application linéaire
Soient E et F deux espaces vectoriels réels et f est une application linéaire de E vers F .
Définition :
• On appelle l’image de f , et on note )Im( f , l’image de E par f :
{ } { }yxfExFyExxfEff =∈∃∈=∈== )(://)()()Im(
• On appelle le noyau de f et on note )( fKer , l’image réciproque de { }F0 par f :
{ } { }FF xfExffKer 0)(/)0()( 1
=∈== −
Théorème :
)Im( f est un sous espace vectoriel de F .
)( fKer est un sous espace vectoriel de E .
Théorème :
)Im( f est le sous espace vectoriel de F engendré par l’image d’une base quelconque de E
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18
V- Applications linéaires injectives et surjectives
E un espace vectoriel réel de dimension n et F un espace vectoriel réel de dimension p .
f une application linéaire de E vers F .
Théorème :
f est injective ssi { }EfKer 0)( =
f est surjective ssi Ff =)Im(
f est bijective, FE dimdim = ssi f est injective ssi f est surjective
Corollaire :
Si l’application linéaire f est injective alors FE dimdim ≤ .
Si l’application linéaire f est surjective alors FE dimdim ≥ .
Si l’application linéaire f est bijective alors FE dimdim = .
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19
VI- Rang d’une application linéaire
Définition :
Soit E et F deux espaces vectoriels réels de dimension fini et soit f une application
linéaire de E vers F .
On appelle le rang de l’application linéaire f , et on note )( frg , la dimension de
l’image de f : )Im(dim)( ffrg =
Théorème :
Soit E et F deux espaces vectoriels réels de dimension fini.
Si f est une application linéaire de E vers F , alors :
)()(dim)Im(dim)(dimdim frgfKerffKerE +=+= .
Théorème :
Soit E et F deux espaces vectoriels réels de dimension fini. Si f est une application
linéaire de E vers F , alors :
f est injective ssi Efrg dim)( =
f est surjective ssi Ffrg dim)( =
f est bijective ssi FEfrg dimdim)( ==
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20
CHAPITRE 3 : MATRICES
I- Généralités.................................................................................................................................... 21
I-1 Définition .............................................................................................................................................21
I-2 Matrices particulières ...........................................................................................................................22
II- Matrices carrées........................................................................................................................... 23
II-1 Diagonale d’une matrice carrée............................................................................................................23
II-2 Matrice diagonale................................................................................................................................23
II-3 Matrice triangulaire.............................................................................................................................24
II-4 Matrice symétrique..............................................................................................................................25
II-5 Matrice antisymétrique........................................................................................................................25
III- Opérations sur les matrices.......................................................................................................... 26
III-1 Egalité ................................................................................................................................................26
III-2 Addition .............................................................................................................................................26
III-3 Multiplication par un scalaire..............................................................................................................26
III-4 Produit de deux matrices ....................................................................................................................27
III-5 Puissance d’une matrice......................................................................................................................29
III-6 Propriétés de l’ensemble des matrices.................................................................................................31
IV- Matrice inversible........................................................................................................................ 32
V- Matrice inverse : Méthode de Gauss-Jordan ................................................................................. 33
V-1 Principe de la méthode ........................................................................................................................33
V-2 Exemples.............................................................................................................................................33
VI- Matrice associée à un système de vecteurs .................................................................................. 36
VII- Matrice d’une application linéaire .............................................................................................. 37
VIII- Changement de base................................................................................................................. 39
VIII-1 Matrice de passage...........................................................................................................................39
VIII-2 Coordonnés d’un vecteur..................................................................................................................40
VIII-3 Application linéaire...........................................................................................................................41
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21
I- Généralités
I-1 Définition
Définition :
• On appelle une matrice A , de type ),( pn ( *
, INpn ∈ ) à coefficients réels, un tableau
de n lignes et p colonnes constituées de nombres réels, dits coefficients de la
matrice A . On note par :
jcolonne
iligne
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
np
ip
p
nj
ij
j
n
i
↑
←
















=
M
M
L
M
L
M
L
M
M
L
M
L
M
L
M
M
11
1
1
11
• On appelle le coefficient pjniija ≤≤≤≤ 1,1, de la matrice A , l’élément d’intersection de la
ligne i et la colonne j .
• On note aussi la matrice A par :
pjniijaA ≤≤≤≤= ,1),( ,



colonneladeindicel'désigne
ligneladeindicel'désigne
j
i
• On note ),( pnM l’ensemble des matrices de type ),( pn .
Exemples :
♦ )3,2(
6
3
5
2
4
1
MA ∈





= )2,3(
6
5
4
3
2
1
MB ∈










=
♦ )1,2(
2
1
MC ∈





= ( ) )2,1(21 MD ∈= ( ) )1,1(1 ME ∈=
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22
I-2 Matrices particulières
I-2-1 Matrice ligne
C’est toute matrice A de type ),1( p , )),1(( pMA∈
I-2-2 Matrice colonne
C’est toute matrice A de type )1,(n , ))1,(( nMA∈
I-2-3 Matrice nulle
C’est la matrice de ),( pnM dont tous les coefficients ija son nuls. On note pn,0 .
I-2-4 Matrice unité ou identité
C’est la matrice de ),( nnM dont les coefficients ija vérifient



≠=
=
jia
a
ij
ii
si0
1
. On note nI .
I-2-5 Matrice opposée
La matrice opposée d’une matrice A de ),( pnM c’est la matrice B de ),( pnM dont les
coefficients sont les opposés de ceux de la matrice A .
On note )( AB −= :
pj
ni
ijij ab
≤≤
≤≤
−=
1
1
, , )( AB −= ssi )( BA −=
I-2-6 Matrice transposée
La matrice transposée d’une matrice A de ),( pnM c’est la matrice B de ),( npM dont les
lignes sont les colonnes de la matrice A et les colonnes sont les lignes de la matrice A .
On note AB t
= :
pi
nj
jiij ab
≤≤
≤≤
=
1
1
, , AB t
= ssi BA t
=
Exemples
♦ D et E sont des matrices lignes
♦ C et E sont des matrices colonnes
♦ ( ) )3,1(321 MA ∈= : ( ) )3,1(321)( MA ∈−−−=− )1,3(
3
2
1
MAt
∈










=
♦ )2,2(
43
21
MA ∈





= : )2,2(
43
21
)( MA ∈





−−
−−
=− )2,2(
42
31
MAt
∈





=
♦ )3,2(
6
5
4
3
2
1
MA ∈





= : )3,2(
6
5
4
3
2
1
)( MA ∈





−
−
−
−
−
−
=− )2,3(
6
4
2
5
3
1
MAt
∈










=
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23
II- Matrices carrées
Définition :
• On appelle matrice carrée d’ordre n toute matrice de type ),( nn .
• On note )(nM l’ensemble des matrices de type ),( nn .
II-1 Diagonale d’une matrice carrée
Définition :
Soit A une matrice carrée d’ordre n : njiaA ij ≤≤= ,1)( . Les coefficients
niaii ≤≤1)( sont dits éléments ou coefficients diagonaux de la matrice A et constitue la
diagonale principale de la matrice A .
Exemple :
♦ 





=
43
21
A . Les éléments diagonaux de la matrice A sont 111 =a et 422 =a .
II-2 Matrice diagonale
Définition :
Soit A une matrice carrée d’ordre n : njiaA ij ≤≤= ,1)( .
On dit que la matrice A est une matrice diagonale si tous les éléments non diagonaux
de la matrice sont nuls : )si0( jiaij ≠=
Exemples :
♦ 





=
20
01
A
♦ Matrice scalaire )(,
00
0
0
00
IRa
a
a
A ∈












=
L
OOM
MOO
L
♦ Matrice unité ou matrice identité (matrice scalaire avec 1=a ) :












=
100
0
0
001
L
OOM
MOO
L
nI
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24
II-3 Matrice triangulaire
Définition :
Soit A une matrice carrée d’ordre n : njiaA ij ≤≤= ,1)( .
• On dit que A est une matrice triangulaire inférieure si tous ses éléments au dessus de
la diagonale principale sont nuls )si0( jiaij <= :
))((,
0
00
,1
)1(1
21
11
IRa
aaa
a
a
A njiij
nnnnn
∈














= ≤≤
−L
OOM
MOO
L
• On dit que A est une matrice triangulaire supérieure si tous ses éléments au dessous
de la diagonale principale sont nuls )si0( jiaij >= :
))((,
00
0
,1
)1(
11211
IRa
a
a
aaa
A njiij
nn
nn
n
∈












= ≤≤
−
L
OOM
MOO
L
Exemples :
♦










−
201
010
000
et 





23
01
sont des matrices triangulaires inférieures.
♦










−
200
310
210
et 





20
31
sont des matrices triangulaires supérieures.
Remarque :
♦ Si une matrice A est triangulaire supérieure alors sa matrice transposée At
est
triangulaire inférieure et inversement.
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II-4 Matrice symétrique
Définition :
Soit A une matrice carrée d’ordre n : njiaA ij ≤≤= ,1)( .
• On dit que la matrice A est une matrice symétrique si elle est égale à sa matrice
transposée : AA t
= ),1( njiaa ijji ≤≤∀=
Exemples :
♦












−
−
−
−
=
1232
2154
3532
2421
A










−=
232
311
210
A 





=
23
31
A
II-5 Matrice antisymétrique
Définition :
Soit A une matrice carrée d’ordre n : njiaA ij ≤≤= ,1)( .
• On dit que la matrice A est une matrice antisymétrique si sa matrice transposée est
égale à sa matrice opposée : )( AAt
−= ),1( njiaa ijji ≤≤∀−=
Exemples :
♦












−−
−−
−
−
=
0232
2054
3502
2420
A










−
−
−
=
032
301
210
A 




 −
=
03
30
A
Remarque :
♦ Tous les éléments diagonaux d’une matrice antisymétrique sont nuls :
)10(),1( nianjiaa iiijji ≤≤∀=⇒≤≤∀−=
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26
III- Opérations sur les matrices
III-1 Egalité
Définition :
Deux matrices A et B de ),( pnM sont égales si elles ont les mêmes coefficients :
• BA ≡ ssi pjniba ijij ≤≤∀≤≤∀= 1,1, , avec )( ijaA = et )( ijbB =
Propriété :
♦ BAssiBA tt
≡≡
III-2 Addition
Définition :
• Soient A et B deux matrices de ),( pnM . La matrice C de ),( pnM définie par :
)1,1( pjnibac ijijij ≤≤∀≤≤∀+= s’appelle la matrice somme des matrices A et
B .
• On note BAC += .
Propriétés :
♦ ),(,, pnMCBA ∈∀ : )()( CBACBA ++=++
♦ ),(, pnMBA ∈∀ : ABBA +=+
♦ ),(, pnMBA ∈∀ : BABA ttt
+=+ )(
Exemple :






=
654
321
A et 





−−−
=
321
123
B 





=





−−−
+++
=+⇒
333
444
362514
132231
BA
III-3 Multiplication par un scalaire
Définition :
• Soient A une matrice de ),( pnM et α un réel )( IR∈α . La matrice C de ),( pnM
définie par : )1,1( pjniac ijij ≤≤∀≤≤∀= α s’appelle la matrice produit externe de
la matrice A par le scalaire α .
• On note AC .α= .
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27
Propriétés :
♦ ),( pnMA∈∀ , IR∈∀ βα, : AAA ..).( βαβα +=+
♦ ),(, pnMBA ∈∀ , IR∈∀α : BABA ..).( ααα +=+
Exemples :
♦ ),( pnMA∈ et 1=α AA =⇒ .1
♦ ),( pnMA∈ et 0=α pnA ,0.0 =⇒
♦ 





−
−
=
212
121
A et 3−=α :






−−
−−
=





−×−×−×−
−×−×−×−
=−
636
363
)2()3(1)3(2)3(
)1()3(2)3(1)3(
).3( A
III-4 Produit de deux matrices
III-4-1 Définition et propriétés
Définition :
• Soient A une matrice de ),( mnM et B une matrice de ),( pmM . La matrice C de
),( pnM définie par : )1,1(
1
pjnibac
m
k
kjikij ≤≤∀≤≤∀= ∑=
s’appelle la matrice
produit de la matrice A par la matrice B .
• On note BAC ×= .
• On ne peut effectuer la multiplication de deux matrices A et B que si le nombre des
colonnes de la matrice A est égal au nombre de lignes de la matrice B (ici m ).
Propriétés :
♦ ),( mnMA∈∀ , ),( pmMB ∈ , ),( qpMC ∈ : ),()()( qnMCBACBA ∈××=××
♦ ),( mnMA∈∀ , ),(, pmMCB ∈∀ : ),()()()( pnMCABACBA ∈×+×=+×
♦ ),( mnMA∈∀ et ),( pmMB ∈∀ : ),()( npMABBA ttt
∈×=×
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28
III-4-2 Produit d’une matrice ligne par une matrice colonne :
Soient ),,,,( 1 imiki aaaA LL= une matrice ligne )),1(( mMA∈ et
















=
mj
kj
j
b
b
b
B
M
M
1
une matrice
colonne ))1,(( mMB ∈ . La matrice BAC ×= est alors égale au scalaire défini par :
mjimkjikji bababaC ++++= LL11 , ))1,1(( MA∈
Exemple : )2,0,1,2,1( −−=A et
















−
−
=
1
1
2
0
2
B :
2)1()2(102)1(02)2(1 −=−×−+×+×−+×+−×=× BA
III-4-3 Calcul pratique du produit matriciel :
Soient A une matrice de ),( mnM et B une matrice de ),( pmM :
,
11
1
1
11
i
nm
im
m
nk
ik
k
n
i Lligne
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A ←
















=
M
M
L
M
L
M
L
M
M
L
M
L
M
L
M
M
j
mp
kp
p
mj
kj
j
m
k
Ccolonne
b
b
b
b
b
b
b
b
b
B
↑
















=
M
M
L
M
L
M
L
M
M
L
M
L
M
L
M
M
11
1
1
11
Pour obtenir le coefficient ijP de la matrice produit BAP ×= ,on fait le produit de la ligne iL
de la matrice A ( iL : matrice ligne) par la colonne jC de la matrice B ( jC : matrice colonne) :
















=
pn
pi
p
jn
ji
j
n
i
CL
CL
CL
CL
CL
CL
CL
CL
CL
P
M
M
L
M
L
M
L
M
M
L
M
L
M
L
M
M
11
1
1
11
, ),( pnMP ∈
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Exemples :
♦ 





−
−
=
212
121
A et










−=
01
10
01
B :
)3,2(MA∈ et )2,3(MB ∈ )2,2()( MBA ∈×⇒ et )3,3()( MAB ∈×






−
−
=





××
××
=×
10
20
2212
2111
CLCL
CLCL
BA










−
−−
−
=










×××
×××
×××
=×
121
212
121
333213
322212
312111
CLCLCL
CLCLCL
CLCLCL
AB
♦ 





−
−
=
212
121
A et










−−
=
0101
0110
1001
B
)3,2(MA∈ et )4,3(MB ∈ )4,2()( MBA ∈×⇒






=





××××
××××
=×
2314
1322
42322212
41312111
CLCLCLCL
CLCLCLCL
BA
On ne peut pas effectuer la multiplication AB × .
III-5 Puissance d’une matrice
Définition :
• Soit A une matrice carrée d’ordre n ))(( nMA∈ . On définit les puissances de la
matrice A par : )(),( *
nMAINpAAA
foisp
p
∈∀∈∀××= 43421 L , avec nIA =0
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30
Théorème :
Soient A et B deux matrices carrées d’ordre n ))(,( nMBA ∈ .
Si les matrices A et B commutent )( ABBA ×=× , alors :
∑∑ =
−
=
−
==+
p
k
kkpk
p
p
k
kpkk
p
p
BABABA CC 00
..)(
Cette formule s’appelle la formule de Newton.
Exemple : 





=
21
02
A et 





−
=
11
01
B
♦ Les matrices A et B commutent :






−
=×
21
02
BA et 





−
=×
21
02
AB
♦ Le calcul direct de 2
)( BA + :






=+
30
03
BA et )()()( 2
BABABA +×+=+ 





=+⇒
90
09
)( 2
BA
♦ La formule de Newton pour le calcul de 2
)( BA + :
222
.2)( BBAABA +×+=+






=×=
44
042
AAA , 





−
=×=
12
012
BBB et 





−
=×
21
02
BA






=+⇒
90
09
)( 2
BA
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III-6 Propriétés de l’ensemble des matrices
♦ )(nM est un espace vectoriel réel de dimension 2
n :
La matrice nulle est l’élément neutre pour la loi "+ ".
Le symétrique de la matrice A pour la loi "+ " est égal à sa matrice opposée.
{ },1, njiEB ij ≤≤= est une base de )(nM ,
jcolonne
iligneE
jinm
E ijmnij
↑
←
















=


 =
=
0
0
0
0
1
0
0
0
0
:
sinon0
),(),(si1
)(
M
M
L
M
L
M
L
M
M
L
M
L
M
L
M
M
La base B s’appelle la base canonique de )(nM .
♦ La matrice identité est l’élément neutre pour la loi "×××× ".
♦ En général ABBA ×≠× : 





×





≠





×





01
01
10
10
10
10
01
01
♦ En général nnn BABA 0ou00 ==⇒/=× : 





=





×





00
00
10
00
00
01
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices
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32
IV- Matrice inversible
Définition :
• Une matrice carrée A d’ordre n ))(( nMA∈ est dite inversible s’il existe une matrice
carrée B d’ordre n ))(( nMB ∈ telle que : nIABBA =×=×
• On note 1−
= AB
• La matrice 1−
= AB s’appelle la matrice inverse de la matrice A .
Exemples :
♦ 





=
31
21
A , 





−
−
=
11
23
B : 2
10
01
IABBA =





=×=×
La matrice A est alors inversible et BA =−1
.
♦ 





=
00
10
A , 





=∀
dc
ba
B : 22
0
0
&
00
I
c
a
ABI
dc
BA ≠





=×≠





=×
La matrice A est alors non inversible.
Théorème :
Si deux matrices A et B de )(nM sont inversibles alors la matrice BA× est
inversible et 111
)( −−−
×=× ABBA .
En particulier si une matrice A de )(nM est inversible alors la matrice *,)( INpA p
∈
est inversible et pp
AA )()( 11 −−
= .
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices
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33
V- Matrice inverse : Méthode de Gauss-Jordan
V-1 Principe de la méthode
La majorité des méthodes de calcul de l’inverse d’une matrice font appel à la notion de
déterminant qu’on étudiera au chapitre suivant.
Dans ce paragraphe, on exposera une méthode ne faisant pas appel à cette notion. Cette
méthode, dite méthode de Gauss-Jordan, consiste à transformer la matrice A en nI et par la même
occasion la matrice nI en 1−
A en utilisant des opérations élémentaires sur les lignes de la matrice, type
addition à chaque ligne d’une combinaison linéaire des autres lignes, multiplication d’une ligne par un
scalaire ou permutation des lignes.
Si au bout d’un certain nombre de transformations, on voit apparaître à la place de la matrice A ,
une matrice avec une ligne identiquement nulle, il devient alors impossible de faire apparaître les
coefficients de la matrice nI dans la matrice A . On en conclut que la matrice A est non inversible.
V-2 Exemples
V-2-1 Matrice inversible :










−
−−
−
=
142
121
132
A
Exposé de la méthode :
♦ On écrit la matrice A dans la colonne gauche et la matrice 3I dans la colonne droite, et on
effectue les transformations adéquates sur les lignes de la matrice A et de la matrice 3I
pour faire apparaître au fur et à mesure les coefficients de la matrice 3I à gauche et les
coefficients de la matrice 1−
A apparaîtront ainsi à droite:
♦ On écrit A à gauche et 3I à droite :




















−
−−
−
100
010
001
142
121
132
♦ On multiplie la 1ère
ligne par )2/1( : 11 ).2/1( LL → :




















−
−−
−
100
010
002/1
142
121
2/12/31
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices
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34
♦ On ajoute à la 2ème
ligne la 1ère
ligne : 122 LLL +→
♦ On ajoute à la 3ème
ligne la 1ère
ligne multipliée par )2(− : 133 2LLL −→










−









−
−
101
012/1
002/1
010
2/12/10
2/12/31
♦ On échange la 2ème
ligne et la 3ème
ligne : 32 LL ↔










−










−
−
012/1
101
002/1
2/12/10
010
2/12/31
♦ On ajoute à la 1ère
ligne la 2ème
ligne multipliée par )2/3(− : 211 )2/3( LLL −→
♦ On ajoute à la 3ème
ligne la 2ème
ligne multipliée par )2/1( : 233 )2/1( LLL +→










−
−









 −
2/110
101
2/302
2/100
010
2/101
♦ On ajoute à la 1ère
ligne la 3ème
ligne : 311 LLL +→










−
−










2/110
101
112
2/100
010
001
♦ On multiplie la 3ème
ligne par )2( : 33 .2 LL →










−
−










120
101
112
100
010
001
♦ On voit ainsi apparaître à la place de la matrice A la matrice identité 3I . La matrice qui
apparaît simultanément à la place de la matrice identité 3I n’est autre que la matrice 1−
A .
♦ En effet :










=










−
−−
−










−
−
=










−
−










−
−−
−
100
010
001
142
121
132
120
101
112
120
101
112
142
121
132
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices
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35
V-2-2 Matrice non inversible :










=
111
010
101
A
Exposé de la méthode :
♦ On écrit la matrice A dans la colonne gauche et la matrice 3I dans la colonne droite, et on
effectue les transformations adéquates sur les lignes de la matrice A et de la matrice 3I
pour faire apparaître au fur et à mesure les coefficients de la matrice 3I à gauche et les
coefficients de la matrice 1−
A apparaîtront ainsi à droite:
♦ On écrit A à gauche et 3I à droite :




















100
010
001
111
010
101
♦ On ajoute à la 3ème
ligne la 1ère
ligne multipliée par )1(− : 133 LLL −→










−









101
010
001
010
010
101
♦ On ajoute à la 3ème
ligne la 2ème
ligne multipliée par )1(− : 233 LLL −→










−−









111
010
001
000
010
101
♦ On voit apparaître à la place de la matrice A , une matrice avec une ligne identiquement
nulle ( 3L ), la matrice A est alors non inversible.
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices
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36
VI- Matrice associée à un système de vecteurs
Définition :
Soit ,.),( +E un espace vectoriel réel de dimension n , muni d’une base { }neeB ,,1 L= .
Soit un système de p vecteurs de E , { }puuS ,,1 L= .
• On appelle la matrice du système { }puuS ,,1 L= , relativement à la base { }neeB ,,1 L=
, la matrice suivante :
pj
n
i
np
ip
p
nj
ij
j
n
i
uuu
e
e
e
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
↑↑↑
←
←
←
















=
1
111
1
1
11
M
M
L
M
L
M
L
M
M
L
M
L
M
L
M
M
où la colonne j de la matrice A est formée des coordonnées du vecteur ju du système
{ }puuS ,,1 L= dans la base { }neeB ,,1 L= : pjeiau
n
i
ijj ,1,
1
== ∑=
• On note )/( BSMA = : )),(( pnMA∈
Remarque :
♦ La matrice A dépend de la base B choisie.
Exemple :
♦ 3
IRE =
♦ { }321 ,, eeeB = la base canonique de 3
IR : )0,0,1(1 =e , )0,1,0(2 =e et )1,0,0(3 =e .
♦ { }321 ,, uuuS = : )2,0,2(1 −=u , )1,2,1(2 −=u et )3,2,0(3 −=u :
321
3
2
1
3
2
1
312
220
012
)1,0,0.(3)0,1,0).(2()0,0,1.(0)3,2,0(
)1,0,0.(1)0,1,0).(2()0,0,1.(1)1,2,1(
)1,0,0).(2()0,1,0.(0)0,0,1.(2)2,0,2(
uuu
e
e
e
A
u
u
u
↑↑↑
←
←
←










−
−−=⇒






+−+=−=
+−+=−=
−++=−=
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices
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37
VII- Matrice d’une application linéaire
Définition :
Soient ,.),( +E un espace vectoriel réel de dimension p , muni d’une base
{ }puuB ,,1 L= et ,.),( +F un espace vectoriel réel de dimension n , muni d’une base
{ }nvvB ,,' 1 L= . Soit f une application linéaire de ,.),( +E vers ,.),( +F .
• La matrice de f relativement aux bases B et 'B , notée par )',/( BBfM c’est la
matrice du système { })(,),( 1 pufufS L= , relativement à la base { }nvvB ,,' 1 L= .
Remarques :
♦ Si { }puuB ,,1 L= et { }nvvB ,,' 1 L= alors :
)()()(
)',/(
1
111
1
1
11
pj
n
i
np
ip
p
nj
ij
j
n
i
ufufuf
v
v
v
a
a
a
a
a
a
a
a
a
BBfM
↑↑↑
←
←
←
















=
M
M
L
M
L
M
L
M
M
L
M
L
M
L
M
M
, )),()',/(( pnMBBfM ∈
♦ La colonne j de la matrice )',/( BBfM représente les coordonnées du vecteur
)( juf dans la base 'B :









++++=
++++=
++++=
nnpiippp
nnjiijjj
nnii
vavavauf
vavavauf
vavavauf
LL
M
LL
M
LL
11
11
111111
)(
)(
)(
♦ La matrice )',/( BBfM dépend des bases choisies B et 'B .
Exemple : 2
IRE = , 3
IRF = : ),,(),( xyyxyxyxf −+−=
♦ { }21,uuB = la base canonique de 2
IR : )0,1(1 =u et )1,0(2 =u .
♦ { }321 ,,' vvvB = la base canonique de 3
IR : )0,0,1(1 =v , )0,1,0(2 =v et )1,0,0(3 =v .
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices
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38
•










−
−
=⇒




++−=−=
−+=−=
11
11
11
)',/(
)1,1,1()(
)1,1,1()(
3212
3211
BBfM
vvvuf
vvvuf
♦ { }21,uuB = une base de 2
IR : )1,1(1 =u et )1,1(2 −=u
♦ { }321 ,,' vvvB = une base de 3
IR : )1,1,1(1 =v , )0,1,0(2 =v et
)1,1,1(3 −−=v
•










=⇒




+=−=
==
20
22
00
)',/(
22)2,0,2()(
2)0,2,0()(
322
21
BBfM
vvuf
vuf
♦ )',/()',/( BBfMBBfM ≠
Théorème : (matrice de la composée)
Soient E , F et G trois espaces vectoriels réels, muni des bases respectives B , 'B et
''B . Si FEf a: et GFg a: sont deux applications linéaires alors :
)',/()",'/()",/( BBfMBBgMBBfgM ×=o
Exemple : 3
IRE = , 2
IRF = et 2
IRG = : ),(),,( zyyxzyxf ++= et ),(),( xyyxg =
♦ { }321 ,, eeeB = la base canonique de 3
IR : )0,0,1(1 =e , )0,1,0(2 =e et )1,0,0(3 =e
♦ { }21,"' εε== BB la base canonique de 2
IR : )0,1(1 =ε et )1,0(2 =ε .
♦ 





=⇒++=
110
011
)',/(),(),,( BBfMzyyxzyxf
♦ 





=⇒=
01
10
)",'/(),(),( BBgMxyyxg
♦ 





=⇒++=
011
110
)",/(),(),,)(( BBfgMyxzyzyxfg oo
♦ )',/()",'/()",/( BBfMBBgMBBgfM ×=o :
)",/(
011
110
110
011
01
10
)',/()",'/( BBfgMBBfMBBgM o=





=





×





=×
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices
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39
VIII- Changement de base
VIII-1 Matrice de passage
Définition :
Soient { }nuuB ,,1 L= et { }nvvB ,,' 1 L= deux bases d’un espace vectoriel réel E . On
appelle la matrice de passage de la base B à la base 'B et on note 'BBP , la matrice du
système { }nvvB ,,' 1 L= relativement à la base { }nuuB ,,1 L= .
Remarques :
♦ Si { }puuB ,,1 L= et { }nvvB ,,' 1 L= alors :
nj
n
i
nn
in
n
nj
ij
j
n
iBB
vvv
u
u
u
a
a
a
a
a
a
a
a
a
P
↑↑↑
←
←
←
















=
1
111
1
1
11
'
M
M
L
M
L
M
L
M
M
L
M
L
M
L
M
M
, ))(( ' nMPBB ∈
♦ La colonne j de la matrice de passage 'BBP représente les coordonnées du vecteur jv
dans la base B :









++++=
++++=
++++=
nnniinnn
nnjiijjj
nnii
uauauav
uauauav
uauauav
LL
M
LL
M
LL
11
11
111111
♦ Si B et 'B sont deux bases d’un espace vectoriel réel E , alors :
• nBB IP = , où Id est l’application identité de E .
• ),'/(' BBIdMPBB = , où Id est l’application identité de E .
Théorème :
Si { }nuuB ,,1 L= et { }nvvB ,,' 1 L= sont deux bases d’un espace vectoriel réel E , alors
la matrice de passage de B à 'B , est inversible et BBBB PP '
1
' )( =−
.
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices
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40
Exemple : Dans 2
IR , on considère les bases B et 'B :
{ }
{ }



−===
===
)1,1('),1,1(':',''
)1,0(),0,1(:,
2121
2121
eeeeB
eeeeB




+−=−=
+==
212
211
)1,1('
)1,1('
eee
eee





 −
=⇒
11
11
'BBP





+==
−==
211
211
'
2
1
'
2
1
)1,0(
'
2
1
'
2
1
)0,1(
eee
eee






−
=⇒
2/12/1
2/12/1
'BBP
VIII-2 Coordonnés d’un vecteur
Théorème :
Soient { }nuuB ,,1 L= et { }nvvB ,,' 1 L= sont deux bases d’un espace vectoriel réel E .
Soit un x vecteur de E .
Si






=++=
=++=
∑
∑
=
=
n
j
jjnn
n
i
iinn
vxvxvxx
uxuxuxx
1
11
1
11
''' L
L
alors : '.' XPX BB= et XPX BB .' '= ,
avec










=
nx
x
X M
1
et










=
nx
x
X
'
'
'
1
M
Exemple : 2
IRE = et
{ }
{ }



−===
===
)1,1('),1,1(':',''
)1,0(),0,1(:,
2121
2121
eeeeB
eeeeB
deux bases de 2
IRE =
♦ 2
)1,2( IRx ∈−= :




+=
−=
2211
21
''''
2
exexx
eex






=





−
=⇒
2
1
'
'
'et
1
2
x
x
XX
♦ Calcul direct de 





=
2
1
'
'
'
x
x
X : )1,1(')1,1(')1,2('''' 212211 −+=−⇒+= xxexexx



−=
=



⇒
−=+
=−
⇒
2/3'
2/1'
1''
2''
2
1
21
21
x
x
xx
xx






−
=⇒
2/3
2/1
'X
♦ Calcul de 





=
2
1
'
'
'
x
x
X par la formule de changement de base XPX BB .' '= :






−





−
==⇒





−
=
1
2
.
2/12/1
2/12/1
.'
2/12/1
2/12/1
'' XPXP BBBB 





−
=⇒
2/3
2/1
'X
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices
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41
VIII-3 Application linéaire
Théorème :
Soient ,.),( +E et ,.),( +F deux espaces vectoriels réels munis respectivement des
bases { }puuB ,,1 L= et { }nvvB ,,' 1 L= . Soient f une application linéaire de E vers F et
x vecteur de E .
Si







=++=
=++=
∑
∑
=
=
n
j
jjnn
p
i
iipp
vyvyvyxf
uxuxuxx
1
11
1
11
)( L
L
alors XBBfMY ).',/(= ,
où :










=
px
x
X M
1
et










=
ny
y
Y M
1
.
Exemple : 2
IRE = et 3
IRF = : ),,(),( xyyxyxyxf −+−=
♦ { }21,uuB = la base canonique de 2
IR : )0,1(1 =u et )1,0(2 =u .
♦ { }321 ,,' vvvB = la base canonique de 3
IR : )0,0,1(1 =v , )0,1,0(2 =v et )1,0,0(3 =v .
♦










−
−
=⇒




++−=−=
−+=−=
11
11
11
)',/(
)1,1,1()(
)1,1,1()(
3212
3211
BBfM
vvvuf
vvvuf
♦ Soit 2
21 ),( IRxxx ∈= : 2211 uxuxx += 





=⇒
2
1
x
x
X
♦ XBBfMY ).',/(=










−
+
−
=















−
−
=





=










⇒
12
21
21
2
1
2
1
3
2
1
.
11
11
11
).',/(
xx
xx
xx
x
x
x
x
BBfM
y
y
y
♦ Si 2
)1,2( IRx ∈−= , alors 





−
=
1
2
X et










−
=





−










−
−
=










3
1
3
1
2
.
11
11
11
3
2
1
y
y
y
Théorème :
Soient E et F deux espaces vectoriels réels et f une application linéaire de E vers
F . Si 1B et 1'B sont deux bases de E , 2B et 2'B deux bases de F alors :
11221122 '21
1
''21'21 ).,/(.)().,/(.)','/( BBBBBBBB PBBfMPPBBfMPBBfM −
==
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices
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42
Exemple : 2
IRE = et 3
IRF = : ),,(),( xyyxyxyxf −+−=
♦ Dans 2
IR , on considère les bases
o { }211 ,uuB = : )0,1(1 =u et )1,0(2 =u
o { }211 ,uuB = : )1,1(1 =u et )1,1(2 −=u
♦ Dans 3
IR , on considère les bases
o { }3212 ,, vvvB = : )0,0,1(1 =v , )0,1,0(2 =v et )1,0,0(3 =v
o { }3212 ,, vvvB = : )1,1,1(1 =v , )0,1,0(2 =v et )1,1,1(3 −−=v
♦










−
−
=
11
11
11
),/( 21 BBfM et 




 −
=
11
11
11BB
P
♦










−
−=









⇒
+=
=
−−=
2/102/1
011
2/102/1
2
1
2
1
2
1
2
1
22
313
22
3211
BB
P
vvv
vv
vvvv
♦ 1122
).,/(.),/( 2121 BBBB
PBBfMPBBfM =










=




 −










−
−










−
−=⇒
20
22
00
11
11
.
11
11
11
.
2/102/1
011
2/102/1
),/( 21 BBfM
♦ Calcul direct de ),/( 21 BBfM :










=⇒



+=−=−=
===
20
22
00
),/(
22)2,0,2())1,1(()(
2)0,2,0())1,1(()(
21
322
21
BBfM
vvfuf
vfuf
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 4 : déterminant d’une matrice carrée
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43
CHAPITRE 4 : DÉTERMINANT D’UNE MATRICE CARRÉE
I- Calcul d’un déterminant d’ordre n.................................................................................................. 44
I-1 Déterminant d’ordre 1 ..........................................................................................................................44
I-2 Déterminant d’ordre 2 ..........................................................................................................................44
I-3 Déterminant d’ordre n..........................................................................................................................44
II- Propriétés des déterminants......................................................................................................... 48
III- Inversion d’une matrice par la méthode des cofacteurs................................................................ 49
IV- Rang d’une matrice ..................................................................................................................... 51
IV-1 Calcul du rang d’une matrice...............................................................................................................51
IV-2 Rang d’une application linéaire...........................................................................................................53
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 4 : déterminant d’une matrice carrée
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44
I- Calcul d’un déterminant d’ordre n
I-1 Déterminant d’ordre 1
Soit )( 11aA = une matrice carrée d’ordre 1 ))1(( MA∈ . Le déterminant d’ordre 1 de la matrice
A , noté Adet , est défini par : 11det aA = .
I-2 Déterminant d’ordre 2
Soit 





=
2221
1211
aa
aa
A une matrice carrée d’ordre 2 ))2(( MA∈ . Le déterminant d’ordre 2 de la
matrice A , noté Adet , est défini par : 21122211det aaaaA ×−×= .
On note aussi 21122211
2221
1211
det aaaa
aa
aa
A ×−×==
I-3 Déterminant d’ordre n
Définition :
Soit njiijaA ≤≤= ,1)( une matrice carrée d’ordre n ))(( nMA∈ .
• On appelle le mineur de l’élément ija , le déterminant de la matrice carrée ijA d’ordre
1−n , obtenue en supprimant dans la matrice A la ligne i et la colonne j .
• On note ijAdet ou ij∆ .
Exemples :
1) Soit 





=
2221
1211
aa
aa
A : Le mineur de 11a est égal à : 2211det aA =
2) Soit










=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A :
• Le mineur de 33a est égal à : 21122211
2221
1211
33det aaaa
aa
aa
A ×−×==
• Le mineur de 32a est égal à : 21132311
2321
1311
32det aaaa
aa
aa
A ×−×==
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 4 : déterminant d’une matrice carrée
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45
Théorème :
Si njiijaA ≤≤= ,1)( est une matrice carrée d’ordre n , alors :
∑∑ =
+
=
+
−=−≤≤∀
n
k
kjkj
jk
n
k
ikik
ki
AaAanji
11
det)1(det)1(:,1
Définition :
Soit njiijaA ≤≤= ,1)( une matrice carrée d’ordre n . Le déterminant d’ordre n de la
matrice A est défini par :
• La formule du développement du déterminant de la matrice A suivant la ligne i :
∑=
+
−=≤≤∀
n
k
ikik
ki
AaAni
1
det)1(det:1
• La formule du développement du déterminant de la matrice A suivant la colonne j :
∑=
+
−=≤≤∀
n
k
kjkj
jk
AaAnj
1
det)1(det:1
Exemples :
1) 





−
=
12
21
A
♦ Développement du déterminant suivant la colonne 2 :
5det
)1()1(
det)1(det)1(
det)1(det
11222112
2222
22
1212
21
2
1
22
2
=⇒
+−=
−+−=
−=
++
=
+
∑
A
aaaa
AaAa
AaA
k
kk
k
♦ Développement du déterminant suivant la ligne 1 :
5det
)1()1(
det)1(det)1(
det)1(det
21122211
1212
21
1111
11
2
1
11
1
=⇒
−+=
−+−=
−=
++
=
+
∑
A
aaaa
AaAa
AaA
k
kk
k
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 4 : déterminant d’une matrice carrée
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46
2)










=
132
213
321
A
♦ Développement du déterminant suivant la 1ère
colonne )1( =j :
18
21
32
)2()1(
13
32
)3()1(
13
21
)1()1(det
)1()1()1(
det)1(det)1(det)1(
det)1(det
2322
1312
31
3332
1312
21
3332
2322
11
3131
13
2121
12
1111
11
3
1
11
1
=××+××−+××=⇒
+−+=
−+−+−=
−=
+++
=
+
∑
A
aa
aa
a
aa
aa
a
aa
aa
a
AaAaAa
AaA
k
kk
k
♦ Développement du déterminant suivant la 2ème
ligne 2=i :
18
32
21
)2()1(
12
31
)1()1(
13
32
)3()1(det
)1()1()1(
det)1(det)1(det)1(
det)1(det
3231
1211
23
3331
1311
22
3332
1312
21
2323
32
2222
22
2121
12
3
1
22
2
=××−+××+××−=⇒
−++−=
−+−+−=
−=
+++
=
+
∑
A
aa
aa
a
aa
aa
a
aa
aa
a
AaAaAa
AaA
k
kk
k
Remarque :
♦ En pratique, pour le développement d’un déterminant, on affecte à chaque élément
un signe, en commençant par le signe + et en respectant une alternance entre les
deux signes, par exemple :
• Déterminant d’ordre 2 :
+−
−+
• Déterminant d’ordre 3 :
+−+
−+−
+−+
• Déterminant d’ordre 4 :
+−+−
−+−+
+−+−
−+−+
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 4 : déterminant d’une matrice carrée
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47
Exemple :










−
−
−
=
132
213
321
A :










−+−+
−+−−
+−−+
1)(3)(2)(
2)(1)(3)(
3)(2)(1)(
♦ Développé suivant la 1ère
ligne, on a :
42
32
13
)3(
12
23
)2(
13
21
)1(det −=
−
×+
−
−
×−−
−
×=A
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 4 : déterminant d’une matrice carrée
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48
II- Propriétés des déterminants
1) Un déterminant est nul si :
a. L’une des colonnes ou l’une des lignes est nulle.
b. Deux colonnes ou deux lignes sont égales ou proportionnelles
c. Une ligne ou une colonne est une combinaison linéaire des autres lignes ou colonnes.
2) Un déterminant change de signe si l’on effectue un nombre impair de permutations (si par
exemple, on permute deux lignes uniquement ou deux colonnes uniquement).
3) Un déterminant est linéaire par rapport à chaque ligne et à chaque colonne (si l’on multiplie
tous les éléments d’une ligne ou d’une colonne par le même scalaire, le déterminant est
multiplié par ce scalaire).
4) Un déterminant ne change pas si :
a. On permute simultanément deux lignes et deux colonnes
b. On échange les lignes et les colonnes AAt
det)det( =
c. On ajoute à une ligne (respectivement une colonne), une combinaison linéaire des
autres lignes (respectivement colonnes).
5) Une matrice carrée est inversible ssi son déterminant est non nul.
6) Le déterminant du produit de deux matrices est égal au produit des déterminants des deux
matrices.
7) Le déterminant de l’inverse d’une matrice inversible est égal à l’inverse du déterminant de
cette matrice.
8) Un système de vecteurs est libre ssi le déterminant de la matrice de ce système dans une
base donnée est non nul.
9) Le déterminant d’une matrice triangulaire est égal au produit de ces éléments diagonaux.
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 4 : déterminant d’une matrice carrée
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49
III- Inversion d’une matrice par la méthode des cofacteurs
Définition :
Soit njiijaA ≤≤= ,1)( une matrice carrée d’ordre n . Soit ijA la matrice carrée d’ordre
1−n obtenue en supprimant dans la matrice A la ligne i et la colonne j .
• On appelle cofacteur du coefficient ija le nombre )det()1( ij
ji
A+
− .
• On appelle comatrice ou matrice des cofacteurs de la matrice A la matrice
njiijcAC ≤≤= ,1)()( définie par : njiAc ij
ji
ij ≤≤−= +
,1),det()1(
Etapes de l’inversion :
1) On vérifie si la matrice A est inversible. Pour cela, on calcule son déterminant:
a. Si 0det =A alors A n’est pas inversible.
b. Si 0det ≠A alors A est inversible, et on passe aux étapes suivantes
2) On détermine la comatrice de la matrice A : )(AC
3) On détermine la transposée de la comatrice de la matrice A : )(ACt
4) On en déduit l’inverse de la matrice A : ))((
det
11
AC
A
A t
=−
Exemple :










=
123
312
231
A
1) Calcul du déterminant de la matrice A :
18
31
23
)3(
12
23
)2(
12
31
)1(det =×+×−×=A
0det ≠A alors A est inversible, et on passe aux étapes suivantes
2) La comatrice de la matrice A :










−
−
−
=


















+−+
−+−
+−+
=
517
751
175
12
31
32
21
31
23
23
31
13
21
12
23
23
12
13
32
12
31
)(AC
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 4 : déterminant d’une matrice carrée
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50
3) La transposée de la comatrice de la matrice A :










−
−
−
=
571
157
715
))(( ACt
4) L’inverse de la matrice A : ))((
det
11
AC
A
A t
=−










−
−
−
=










−
−
−
=−
18/518/718/1
18/118/518/7
18/718/118/5
571
157
715
18
11
A
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 4 : déterminant d’une matrice carrée
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51
IV- Rang d’une matrice
IV-1 Calcul du rang d’une matrice
Définition :
Soit A une matrice de ),( pnM . On appelle le rang de la matrice A l’ordre de la plus
grande matrice carrée inversible extraite de la matrice A . On note )(Arg .
• Le rang de la matrice nulle est égal à 0.
• Si une matrice A de ),( pnM est non nulle, alors ),()(1 pnMinArg ≤≤ .
Etapes du calcul du rang :
♦ ),( pnMA∈ , ),( pnMinm = : mArg ≤≤ )(1
♦ On cherche si mArg =)(
Si on peut extraire de A , une matrice carrée inversible d’ordre m alors mArg =)( .
Sinon alors mArg <≤ )(1
• On cherche si 1)( −= mArg
o Si on peut extraire de la matrice A , une matrice carrée inversible d’ordre
1−m alors 1)( −= mArg .
o Sinon alors 1)(1 −<≤ mArg
♦ On continue ainsi la même démarche jusqu’à obtenir une matrice carrée inversible d’ordre r
extraite de la matrice A , et alors rArg =)(
Remarques :
♦ Le rang d’une matrice A de ),( pnM est égal au rang du système formé des p
colonnes égal au rang du système formé des n lignes de la matrice A .
♦ Le rang d’une matrice est égal au rang de sa transposée.
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 4 : déterminant d’une matrice carrée
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52
Exemples :
1) )4,4(
1101
1012
0210
1321
MB ∈












−
−−−
=
1ère
méthode : "matricielle"
♦ 4)(14)4,4( ≤≤⇒= BrgMin
♦ B est la seule matrice carrée d’ordre 4 extraite de B :
♦ )2(0det 421 LLLcarB +== , d’où 4)(1 <≤ Brg
♦ La matrice










−
−−
111
102
020
extraite de B est inversible 3)( =⇒ Brg
2) )3,4(
023
350
111
132
MC ∈












−
−
−
=
2ème
méthode : " vectorielle"
♦ On note par { }321 ,, uuuS = le système de vecteurs colonnes de la matrice C .
♦ { }3,0,1,21 =u , { }2,5,1,32 −=u et { }0,3,1,13 −−=u )()( SrgCrg =⇒
• { }321 ,, uuuS = est le seul système d’ordre 3 extrait de S :
• S n’est pas un système libre (car 321
2
5
2
3
uuu += ) 3)(1 <≤⇒ Crg
♦ { }21,uu est un système libre d’ordre 2 extrait du système S 2)( =⇒ Crg
[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 4 : déterminant d’une matrice carrée
Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver
53
3) )4,4(
0202
2012
2210
4321
MA ∈












−
−−−
=
1ère
méthode : "matricielle"
♦ 4)(14)4,4( ≤≤⇒= ArgMin :
• A est la seule matrice carrée d’ordre 4 extraite de A
• )(0det 342 LLLcarA −== 4)(1 <≤⇒ Arg
♦ Toutes les matrices carrées d’ordre 3 extraites de A sont non inversibles : 3)(1 <≤ Arg
♦ 





10
21
est une matrice carrée inversible d’ordre 2 extraite de A 2)( =⇒ Arg
2ème
méthode : " vectorielle"
♦ On note par { }4321 ,,, uuuuS = le système de vecteurs lignes de la matrice A .
{ }4,3,2,11 =u , { }2,2,1,02 =u , { }2,0,1,23 −−−=u et { }0,2,0,24 −=u : )()( SrgArg =
♦ { }4321 ,,, uuuuS = est le seul système d’ordre 4 extrait de S : S n’est pas un système
libre (car 342 uuu −= ) 4)(1 <≤⇒ Arg
♦ On vérifie que tous les systèmes d’ordre 3 extraits de S sont liés 3)(1 <≤⇒ Arg
♦ Le système { }21,uu est un système libre d’ordre 2 extrait du système S 2)( =⇒ Arg
IV-2 Rang d’une application linéaire
Théorème :
Le rang d’une application linéaire f , définie de E vers G , est égal au rang de sa
matrice relativement à deux bases données de E et de G : ),/(()( 21 BBfMrgfrg = , 1B
et 2B sont deux bases respectives de E et de G ,
Exemple : )3,253,32(),,,( zyxtzyxtyxtzyxf −+−++−++=
♦ CBBfM t
=),/( 21 , 1B et 2B sont les bases canoniques respectives de 4
IR et de 3
IR .
♦ Donc 2)()()( === CrgCrgfrg t

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COUR DE S2 algèbre

  • 1. Université Mohammed V – Agdal Faculté des Sciences Juridiques, Economiques et sociales RABAT http://www.fsjesr.ac.ma ‫ا‬–‫ال‬ ‫اآ‬ ‫آ‬‫د‬ ‫وا‬ ‫ا‬ ‫م‬ ‫ا‬ ‫وا‬ ‫ط‬ ! ‫اا‬ Filière de Sciences Économiques et de Gestion Semestre : S3 Module : M 12 (Méthodes Quantitatives III) Matière : Algèbre I Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 1 Syllabus Contenu du cours Chapitre 1 : Espaces vectoriels réels I- Structure d’espace vectoriel réel II- Sous espaces vectoriels III- Combinaison linéaire - Système générateur IV- Système libre - système lié V- Ordre et rang d’un système de vecteurs VI- Base d’un espace vectoriel VII- Espace vectoriel de dimension fini Chapitre 2 : Applications linéaires I- Définitions et généralités II-Opérations sur les applications linéaires III- Image et image réciproque IV- Noyau et image d’une application linéaire V- Applications linéaires injectives et surjectives VI- Rang d’une application linéaire Chapitre 3 : Matrices I- Généralités (définition, matrices particulières) II- Matrices carrées III- Opérations sur les matrices IV- Matrice inverse : Méthode de Gauss-Jordan V- Matrice associée à un système de vecteurs VI- Matrice d’une application linéaire VII- Changement de base Chapitre 4 : Calcul de déterminants I- Calcul d’un déterminant d’ordre n II- Propriétés des déterminants III- Inversion d’une matrice par la méthode des cofacteurs IV- Rang d’une matrice, Rang d’une application linéaire Objectif du cours Introduire l’étudiant à l’algèbre linéaire par des notions sur les espaces vectoriels et les applications linéaires ainsi que sur le calcul matriciel. Pré-reqcuis recommandé Calcul dans Notions élémentaires sur les ensembles Mode d’évaluation Contrôle final (2h) contrôle de rattrapage (1h30) Déroulement du cours Cours magistraux (26h) Travaux dirigés (14h) Support du cours Polycopié du cours Séries d’exercices corrigés
  • 2. [S3, Module M12, Matière : Mathématiques II] Chapitre 1 : espace vectoriel réel Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 1 CHAPITRE 1 : ESPACE VECTORIEL RÉEL I- Structure d’espace vectoriel réel ..............................................................................................................2 I-1 L’espace vectoriel IRn ...................................................................................................................................... 2 I-2 Espace vectoriel réel........................................................................................................................................ 2 I-3 Propriétés ......................................................................................................................................................... 3 II- Sous espaces vectoriels............................................................................................................................4 II-1 Définition et propriétés.................................................................................................................................. 4 II-1-1 Définition .........................................................................................................................................................................4 II-1-2 Propriétés : .......................................................................................................................................................................4 II-2 Intersection de sous espaces vectoriels......................................................................................................... 4 II-3 Somme de sous espaces vectoriels................................................................................................................. 5 III- Combinaison linéaire - système générateur .........................................................................................7 III-1 Combinaison linéaire.................................................................................................................................... 7 III-2 Système générateur ...................................................................................................................................... 7 IV- Système libre - système lié......................................................................................................................8 V- Ordre et rang d’un système de vecteurs..................................................................................................9 VI- Base d’un espace vectoriel...................................................................................................................10 VII- Espace vectoriel de dimension fini.....................................................................................................11
  • 3. [S3, Module M12, Matière : Mathématiques II] Chapitre 1 : espace vectoriel réel Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2 I- Structure d’espace vectoriel réel I-1 L’espace vectoriel IRn Définition : Les éléments de sont des suites finies de n termes réels : , , … , , , , … , Définition : On peut définir sur une loi de composition interne, l'addition, notée + par : , , , … , , , … , , , … , Propriétés de l'addition : Elle est associative : , , , Elle est commutative : , , Elle a un élément neutre : 0 0,0, … ,0 , / 0 0 Tout élément X a un opposé noté , , … , / 0 Définition : On peut aussi définir sur une loi de composition externe, multiplication par un réel, noté "." ou parfois sans signe, par : , . , , … , , , … , Propriétés de la multiplication par un réel : 1. , , . . . , , . . . , , . . . L'ensemble , muni de ces deux lois est un espace vectoriel sur . On le note ( ,+,.). I-2 Espace vectoriel réel Définition : Un ensemble E, muni d'une loi de composition interne "+" (qui a deux éléments de E fait correspondre un élément de E) et d'une loi de composition externe "." (qui à un élément de et à un élément de E fait correspondre un élément de E) ayant les huit propriétés énoncées précédemment est appelé espace vectoriel réel. Ses éléments sont appelés vecteurs. On le note (E,+,.).
  • 4. [S3, Module M12, Matière : Mathématiques II] Chapitre 1 : espace vectoriel réel Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 3 Exemples : 1) ,.),( 3 +IR est un e.v.r., où les lois " ++++ " et "." sont définies dans 3 IR par :    == +++=+=+ ∈∀∈=∀=∀ ),,(),,.(. ),,(),,(), :,),,(),,( 321321 332211321321 3 321321 xxxxxxx yxyxyxyyyxxxyx IRIRyyyyxxxx ααααα α 2) ,.)),(( +IRIF est un e.v.r., où les lois " ++++ " et "." sont définies dans )(IRIF par :    ∈∀= ∈∀+=+ ∈∀∈∀ IRxxfxf IRxxgxfxgf aonIRIRFgf )())(.( )()())(( :,),(, αα α I-3 Propriétés Si ,.),( +E un espace vectoriel réel, alors EyxIR ∈∀∈∀ ,,,βα , on a : 1) EE 00. =α 2) EIR x 0.0 = 3) EE xoux 000. ==⇒= αα 4) ).().( xx αα −=− 5) ).().().( xxx βαβα −=− 6) ).().().( yxyx ααα −=−
  • 5. [S3, Module M12, Matière : Mathématiques II] Chapitre 1 : espace vectoriel réel Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 4 II- Sous espaces vectoriels II-1 Définition et propriétés II-1-1 Définition Définition : Un sous ensemble F d’un espace vectoriel E est dit sous espace vectoriel (s.e.v.) de E ssi : 1) φ≠F 2) F est stable pour "+ " : ),( FyxFyx ∈+∈∀ 3) F est stable pour "." : ).),(( FxFIRx ∈×∈∀ αα ssi : 1) φ≠F 2) FyxIRFyx ∈+∈∀∈∀ ..),(,),( 22 βαβα Exemples : 1) ,.)),(( +IRP (l’ensemble des polynômes de degré n≤ ) est un s.e.v. de ,.)),(( +IRF . 2) { } ,.),0( +×IR et { } ,.),0( +× IR sont des s.e.v. de ,.),( 2 +IR . II-1-2 Propriétés : Si E est un espace vectoriel, alors : 1) Tout sous espace vectoriel de E est un espace vectoriel. 2) L’intersection de n sous espaces vectoriels de E est un espace vectoriel. 3) { } ,.),0( +E est un sous espace vectoriel de E . 4) E0 appartient à tous les sous espaces vectoriels de E . II-2 Intersection de sous espaces vectoriels Théorème : L'intersection de deux sous espaces vectoriels d'un espace vectoriel réel E est un sous espace vectoriel de E . Remarque : La réunion de deux sous espaces vectoriels n'est en général pas un sous espace vectoriel. Théorème : L'intersection de plusieurs sous espaces vectoriels d'un espace vectoriel réel E est un sous espace vectoriel de E .
  • 6. [S3, Module M12, Matière : Mathématiques II] Chapitre 1 : espace vectoriel réel Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 5 II-3 Somme de sous espaces vectoriels Définition : Soit E un espace vectoriel et soient 1E et 2E deux sous espaces vectoriels de E . • La somme des sous espaces vectoriels 1E et 2E , notée par 21 EE + , est égale à : { }21212121 /),(/ xxxEExxExEE +=×∈∃∈=+ • La somme directe des sous espaces vectoriels 1E et 2E , notée par 21 EE ⊕ , est égale à : { }21212121 /),(!/ xxxEExxExEE +=×∈∃∈=⊕ • Si 21 EEE ⊕= , alors les sous espaces vectoriels 1E et 2E sont dits sous espaces supplémentaires de E . Théorème : Si 1E et 2E sont deux sous espaces vectoriels d’un espace vectoriel E alors 21 EE + et 21 EE ⊕ sont aussi des sous espaces vectoriels de E . Théorème : Si 1E et 2E sont deux sous espaces vectoriels d’un espace vectoriel E , alors les propositions suivantes sont équivalentes : 1) 21 EEE ⊕= 2) 21 EEE += et { }EEE 021 =∩ Exemple : )(IRFE = : 21 EEE ⊕= , avec o { }IRxxfxfEfE ∈∀−=∈= )()(/1 (ensemble des fonctions paires) o { }IRxxfxfEfE ∈∀−−=∈= )()(/2 (ensemble des fonctions impaires) Pour montrer que 21 EEE ⊕= , il suffit de vérifier que 21 EEE += et { }EEE 021 =∩ . En effet : 1) 21 EEE += : • Soit Ef ∈ . On pose      −−= −+= ))()(( 2 1 )( ))()(( 2 1 )( 2 1 xfxfxf xfxfxf • On a :        += ∈⇒−=−−=− ∈⇒=+−=− )()()( )())()(( 2 1 )( )())()(( 2 1 )( 21 2222 1111 xfxfxfet Efxfxfxfxf Efxfxfxfxf
  • 7. [S3, Module M12, Matière : Mathématiques II] Chapitre 1 : espace vectoriel réel Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 6 • Donc : 212121 /),( fffEEffEf +=×∈∃∈∀ • D’où : 21 EEE += 2) { }EEE 021 =∩ : • Si 210 EEf ∩∈ , alors :    ∈∈∀−−= ∈∈∀−= )()()( )()()( 2000 1000 EfIRxxfxf EfIRxxfxf • Donc : EOf =0 , ( )IRxxf ∈∀= 0)(0 • D’où : { }EEE 021 =∩
  • 8. [S3, Module M12, Matière : Mathématiques II] Chapitre 1 : espace vectoriel réel Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 7 III- Combinaison linéaire - système générateur III-1 Combinaison linéaire Définition : Dans un espace vectoriel E , on appelle une combinaison linéaire de n vecteurs nuu ,,1 L , tout vecteur u de E qui peut s’écrire sous la forme : ∑= =++= n i iinn uuuu 1 11 ααα L , avec n n IR∈),,( 1 αα L Théorème : L’ensemble des combinaisons linéaires de n vecteurs d’un espace vectoriel E est un sous espace vectoriel de E . III-2 Système générateur Définition : Dans un espace vectoriel E , on dit qu’un système de n vecteurs { }nuu ,,1 L est un système générateur de E (ou que les vecteurs nuu ,,1 L sont des vecteurs générateurs de E ) si tout vecteur u de E peut s’écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs nuu ,,1 L : ∑= =++=∈∃∈∀ n i iinnn uuuuIREu 1 111 /),,()( ααααα LL Le système { }nuu ,,1 L s’appelle aussi partie ou famille génératrice de E . On dit aussi que le système { }nuu ,,1 L engendre E ou que E est engendré par le système { }nuu ,,1 L . On note >=< nuuE ,,1 L ou { }nuuVectE ,,1 L= Remarque : Le sous espace vectoriel des combinaisons linéaires des vecteurs nuu ,,1 L est engendré par les vecteurs nuu ,,1 L : >=<       ∈∈= ∑= nii n i iin uuEuIRuE ,,,, 1 1 Lαα Exemple : { } >=<× 21,0 uuIR , avec )0,1(1 =u et )0,1(2 −=u : { } )0,()0,1.()0,1.()0,/(,,0)0,( βαβαβα −=−+=∈∃×∈∀ xIRIRx il suffit de prendre par exemple x=α et 0=β
  • 9. [S3, Module M12, Matière : Mathématiques II] Chapitre 1 : espace vectoriel réel Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 8 IV- Système libre - système lié Définition : n vecteurs nuu ,,1 L d’un espace vectoriel E sont linéairement indépendants (le système { }nuu ,,1 L est un système libre) si : 00 111 ===⇒=++ nEnnuu αααα LL n vecteurs nuu ,,1 L d’un espace vectoriel E sont linéairement dépendants (ole système { }nuu ,,1 L est un système lié) s’ils ne sont pas linéairement indépendants : Ennn uu 0/)0,,0(),,( 111 =++≠∃ αααα LLL Exemples : Les vecteurs )1,0,1(1 =u , )1,1,1(2 −=u et )0,1,0(3 =u de 3 IR sont linéairement indépendants. Les vecteurs )1,0,1(1 =u , )1,1,1(2 −=u et )2,1,0(3 =u de 3 IR sont linéairement dépendants. Théorème : Un système de vecteurs est lié ssi un des vecteurs du système est combinaison linéaire des autres vecteurs du système. Si un des vecteurs d’un système est combinaison linéaire des autres vecteurs du système alors tout vecteur de ce système est combinaison linéaire des autres vecteurs du système. Propriétés : 1) Le vecteur E0 n’appartient à aucun système libre de E . 2) EuEu 0/ ≠∈∀ , le système { }u est libre. 3) Tout système de vecteurs extrait d’un système libre est libre. 4) Tout système de vecteurs contenant un système lié est lié.
  • 10. [S3, Module M12, Matière : Mathématiques II] Chapitre 1 : espace vectoriel réel Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 9 V- Ordre et rang d’un système de vecteurs Définition : L’ordre d’un système est le nombre de vecteurs du système. Le rang d’un système est égal au plus grand nombre de vecteurs linéairement indépendants que l’on peut extraire de ce système. Exemples : { })1,0(),1,1(),1,2(1 −=S L’ordre de 1S est égal à 3. Le rang de 1S est égal à 2 car : o Les vecteurs )1,0()1,1(),1,2( −et sont linéairement dépendants ))1,0()1,1.(2)1,2(( −+= , ce qui implique que 3)( 1 <Srang . o Les vecteurs )1,1()1,2( et sont linéairement indépendants, ce qui implique que 2)( 1 =Srang . Propriétés : 1) Un système de vecteurs est libre ssi son rang est égal à son ordre. 2) Dans un système lié de rang r , les vecteurs libres extraits en nombre r sont dits vecteurs principaux, les autres sont dits non principaux et sont combinaison linéaire des premiers. 3) Le rang d’un système de vecteurs est égal à la dimension de l’espace engendré par ces vecteurs.
  • 11. [S3, Module M12, Matière : Mathématiques II] Chapitre 1 : espace vectoriel réel Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 10 VI- Base d’un espace vectoriel Définition : Une base d’un espace vectoriel E c’est tout système libre de vecteurs générateurs de E . Exemples : 1) { })1,0(),0,1( est une base de 2 IR 2) { })1,1(),1,0(),0,1 n’est pas une base de 2 IR . 3) { })1,0,0(),0,1,0(),0,0,1( est une base de 3 IR : on l'appelle la base canonique de 3 IR . 4) En général, { })1,0,,0(,),0,,1,,0(,),0,0,1( LLLLLL est la base canonique de n IR . Théorème : Un système de vecteurs { }nuu ,,1 L est une base de E ssi tout vecteur de E s’écrit de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs nuu ,,1 L : ∑= =++=∈∃∈∀ n i iinnn uuuuIREu 1 111 /),,!()( ααααα LL
  • 12. [S3, Module M12, Matière : Mathématiques II] Chapitre 1 : espace vectoriel réel Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 11 VII- Espace vectoriel de dimension fini Définition : Un espace vectoriel réel est dit de dimension finie s’il admet une base constituée d’un nombre fini n de vecteurs. Ce nombre n s’appelle la dimension de l’espace. On note nE =dim . Exemple : n IR est un espace vectoriel réel de dimension n . Propriétés : Si E est un espace vectoriel réel de dimension n , alors : 1) Toutes les bases de E ont le même ordre égal à n . 2) L’ordre de tout système générateur de E est supérieur à n . 3) L’ordre de tout système libre de E est inférieur à n . 4) Si l’ordre d’un système libre ou générateur de E est égal à n , alors ce système est une base de E . 5) Si F est un sous espace vectoriel de E , alors F est un espace vectoriel réel de dimension fini m , avec nm ≤ . Si de plus nm = , alors EF ≡ . 6) Si 1E et 2E sont deux sous espaces vectoriels de E , alors : • )dim(dimdim)dim( 212121 EEEEEE ∩−+=+ • 2121 dimdim)dim( EEEE +=⊕ Théorème : Soit E un espace vectoriel réel de dimension fini. Si 1E et 2E sont deux sous espaces vectoriels supplémentaires de E , 21 EEE ⊕= , alors 21 dimdimdim EEE += . Si { }puuB ,,11 L= et { }qvvB ,,12 L= sont deux bases respectives de 1E et 2E , alors { }qp vvuuB ,,,,, 11 LL= est une base de E . Théorème : Soit E un espace vectoriel réel de dimension fini. Soient 1E et 2E deux sous espaces vectoriels de E , de bases respectives { }puuB ,,11 L= et { }qvvB ,,12 L= . Si { }qp vvuuB ,,,,, 11 LL= est une base de E alors 21 EEE ⊕= .
  • 13. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 2 : applications linéaires Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 12 CHAPITRE 2 : APPLICATIONS LINÉAIRES I- Définitions et généralités............................................................................................................... 13 I-1 Définitions............................................................................................................................................13 I-2 Propriétés.............................................................................................................................................13 II- Opérations sur les applications linéaires ....................................................................................... 15 II-1 Addition ..............................................................................................................................................15 II-2 Multiplication par un scalaire...............................................................................................................15 II-3 Composition de deux applications linéaires ..........................................................................................15 III- Image et image réciproque par une application linéaire............................................................... 16 IV- Noyau et image d’une application linéaire................................................................................... 17 V- Applications linéaires injectives et surjectives ............................................................................... 18 VI- Rang d’une application linéaire ................................................................................................... 19
  • 14. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 2 : applications linéaires Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 13 I- Définitions et généralités I-1 Définitions Définition : Soient E et F deux espaces vectoriels réels. On dit qu’une application f de E vers F est une application linéaire ssi : i) )()()(:),( 2 yfxfyxfEyx +=+∈∀ ii) )(.).(:),( xfxfEIRy ααα =×∈∀ ssi )(.)(.)..(:),(,),( 22 yfxfyxfEyxIR βαβαβα +=+∈∀∈∀ Définition : Soient E et F deux espaces vectoriels réels, et f une application linéaire de E vers F . • On dit que f est un endomorphisme ssi FE = . • On dit que f est un isomorphisme ssi f est bijective. • On dit que f est un automorphisme ssi FE = et f est bijective. Exemples : 1) L’application f définie de 2 IR vers IR par yxyxf +=)),(( est une application linéaire. 2) L’application f définie de 2 IR vers 2 IR par ),()),(( xyyxf = est un automorphisme. Définition : (égalité) Deux applications linéaires f et g définies de E vers F sont égales, gf ≡ , ssi )()(: xgxfEx =∈∀ I-2 Propriétés I-2-1 Expression analytique d’une application linéaire Théorème : Soient ,.),( +E et ,.),( +F deux espaces vectoriels réels de dimensions finis. Toute application linéaire de ,.),( +E vers ,.),( +F est complètement déterminée par la donnée de l’image d’une base { }puuB ,,1 L= de ,.),( +E : Si ∑= = p i iiuxx 1 alors ∑= = p i ii ufxxf 1 )()( .
  • 15. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 2 : applications linéaires Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 14 Définition : (expression analytique) L’écriture ∑= = p i ii xaxf 1 )( , où )( iii ufxa , s’appelle l’expression analytique de f relativement à la base B . I-2-2 Autres propriétés Soient E et F deux espaces vectoriels réels. Si f est une application linéaire de E vers F , alors : 1) FEf 0)0( = : FE xfxfxxffEx 0)()()()0(, =−=−=∈∀ 2) )()(, xfxfEx −=−∈∀ : )()(0)()0()0()( xfxfxffxfxf FEE −=−=−=−=− 3) :),,(,),,( 11 n n n n ExxIR ∈∀∈∀ LL αα )(.)(.)..( 1111 nnnn xfxfxxf αααα ++=++ LL
  • 16. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 2 : applications linéaires Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 15 II- Opérations sur les applications linéaires Théorème : L’ensemble ),( FEL des applications linéaires définies de E vers F , muni de l’addition et de la multiplication par un scalaire est un espace vectoriel réel. II-1 Addition Si f et g sont deux applications linéaires, définies de E vers F , alors l’application gf + , définie de E vers F par )()())(( xgxfxgf +=+ , est une application linéaire. II-2 Multiplication par un scalaire Si f est une application linéaire définie de E vers F et α un réel, alors l’application ).( fα définie de E vers F par )(.))(.( xfxf αα = est une application linéaire. II-3 Composition de deux applications linéaires Soient E , F et G trois espaces vectoriels réels. • Si f est une application linéaire de E vers F et g une application linéaire de F vers G , alors l’application fg o est une application linéaire de E vers G .
  • 17. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 2 : applications linéaires Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 16 III- Image et image réciproque par une application linéaire Soient E et F deux espaces vectoriels réels et f est une application linéaire de E vers F . Définition : • Soit A un sous ensemble de E . On appelle l’image de A par f , et on note )(Af l’ensemble : { } { }yxfAxFyAxxfAf =∈∃∈=∈= )(://)()( • Soit B un sous ensemble de F . On appelle l’image réciproque de B par f , et on note )(1 Bf − l’ensemble : { }BxfExBf ∈∈=− )(/)(1 Théorème : Si A est un sous espace vectoriel de E , alors )(Af est un sous espace vectoriel de F . Si B est un sous espace vectoriel de F , alors )(1 Bf − est un sous espace vectoriel de E . Théorème : L’image d’un système générateur d’un sous espace vectoriel A de E est un système générateur du sous espace vectoriel )(Af de F . L’image par f d’un système lié est un système lié. Si l’image par f d’un système est libre alors ce système est libre.
  • 18. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 2 : applications linéaires Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 17 IV- Noyau et image d’une application linéaire Soient E et F deux espaces vectoriels réels et f est une application linéaire de E vers F . Définition : • On appelle l’image de f , et on note )Im( f , l’image de E par f : { } { }yxfExFyExxfEff =∈∃∈=∈== )(://)()()Im( • On appelle le noyau de f et on note )( fKer , l’image réciproque de { }F0 par f : { } { }FF xfExffKer 0)(/)0()( 1 =∈== − Théorème : )Im( f est un sous espace vectoriel de F . )( fKer est un sous espace vectoriel de E . Théorème : )Im( f est le sous espace vectoriel de F engendré par l’image d’une base quelconque de E
  • 19. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 2 : applications linéaires Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 18 V- Applications linéaires injectives et surjectives E un espace vectoriel réel de dimension n et F un espace vectoriel réel de dimension p . f une application linéaire de E vers F . Théorème : f est injective ssi { }EfKer 0)( = f est surjective ssi Ff =)Im( f est bijective, FE dimdim = ssi f est injective ssi f est surjective Corollaire : Si l’application linéaire f est injective alors FE dimdim ≤ . Si l’application linéaire f est surjective alors FE dimdim ≥ . Si l’application linéaire f est bijective alors FE dimdim = .
  • 20. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 2 : applications linéaires Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 19 VI- Rang d’une application linéaire Définition : Soit E et F deux espaces vectoriels réels de dimension fini et soit f une application linéaire de E vers F . On appelle le rang de l’application linéaire f , et on note )( frg , la dimension de l’image de f : )Im(dim)( ffrg = Théorème : Soit E et F deux espaces vectoriels réels de dimension fini. Si f est une application linéaire de E vers F , alors : )()(dim)Im(dim)(dimdim frgfKerffKerE +=+= . Théorème : Soit E et F deux espaces vectoriels réels de dimension fini. Si f est une application linéaire de E vers F , alors : f est injective ssi Efrg dim)( = f est surjective ssi Ffrg dim)( = f est bijective ssi FEfrg dimdim)( ==
  • 21. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 20 CHAPITRE 3 : MATRICES I- Généralités.................................................................................................................................... 21 I-1 Définition .............................................................................................................................................21 I-2 Matrices particulières ...........................................................................................................................22 II- Matrices carrées........................................................................................................................... 23 II-1 Diagonale d’une matrice carrée............................................................................................................23 II-2 Matrice diagonale................................................................................................................................23 II-3 Matrice triangulaire.............................................................................................................................24 II-4 Matrice symétrique..............................................................................................................................25 II-5 Matrice antisymétrique........................................................................................................................25 III- Opérations sur les matrices.......................................................................................................... 26 III-1 Egalité ................................................................................................................................................26 III-2 Addition .............................................................................................................................................26 III-3 Multiplication par un scalaire..............................................................................................................26 III-4 Produit de deux matrices ....................................................................................................................27 III-5 Puissance d’une matrice......................................................................................................................29 III-6 Propriétés de l’ensemble des matrices.................................................................................................31 IV- Matrice inversible........................................................................................................................ 32 V- Matrice inverse : Méthode de Gauss-Jordan ................................................................................. 33 V-1 Principe de la méthode ........................................................................................................................33 V-2 Exemples.............................................................................................................................................33 VI- Matrice associée à un système de vecteurs .................................................................................. 36 VII- Matrice d’une application linéaire .............................................................................................. 37 VIII- Changement de base................................................................................................................. 39 VIII-1 Matrice de passage...........................................................................................................................39 VIII-2 Coordonnés d’un vecteur..................................................................................................................40 VIII-3 Application linéaire...........................................................................................................................41
  • 22. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 21 I- Généralités I-1 Définition Définition : • On appelle une matrice A , de type ),( pn ( * , INpn ∈ ) à coefficients réels, un tableau de n lignes et p colonnes constituées de nombres réels, dits coefficients de la matrice A . On note par : jcolonne iligne a a a a a a a a a A np ip p nj ij j n i ↑ ←                 = M M L M L M L M M L M L M L M M 11 1 1 11 • On appelle le coefficient pjniija ≤≤≤≤ 1,1, de la matrice A , l’élément d’intersection de la ligne i et la colonne j . • On note aussi la matrice A par : pjniijaA ≤≤≤≤= ,1),( ,    colonneladeindicel'désigne ligneladeindicel'désigne j i • On note ),( pnM l’ensemble des matrices de type ),( pn . Exemples : ♦ )3,2( 6 3 5 2 4 1 MA ∈      = )2,3( 6 5 4 3 2 1 MB ∈           = ♦ )1,2( 2 1 MC ∈      = ( ) )2,1(21 MD ∈= ( ) )1,1(1 ME ∈=
  • 23. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 22 I-2 Matrices particulières I-2-1 Matrice ligne C’est toute matrice A de type ),1( p , )),1(( pMA∈ I-2-2 Matrice colonne C’est toute matrice A de type )1,(n , ))1,(( nMA∈ I-2-3 Matrice nulle C’est la matrice de ),( pnM dont tous les coefficients ija son nuls. On note pn,0 . I-2-4 Matrice unité ou identité C’est la matrice de ),( nnM dont les coefficients ija vérifient    ≠= = jia a ij ii si0 1 . On note nI . I-2-5 Matrice opposée La matrice opposée d’une matrice A de ),( pnM c’est la matrice B de ),( pnM dont les coefficients sont les opposés de ceux de la matrice A . On note )( AB −= : pj ni ijij ab ≤≤ ≤≤ −= 1 1 , , )( AB −= ssi )( BA −= I-2-6 Matrice transposée La matrice transposée d’une matrice A de ),( pnM c’est la matrice B de ),( npM dont les lignes sont les colonnes de la matrice A et les colonnes sont les lignes de la matrice A . On note AB t = : pi nj jiij ab ≤≤ ≤≤ = 1 1 , , AB t = ssi BA t = Exemples ♦ D et E sont des matrices lignes ♦ C et E sont des matrices colonnes ♦ ( ) )3,1(321 MA ∈= : ( ) )3,1(321)( MA ∈−−−=− )1,3( 3 2 1 MAt ∈           = ♦ )2,2( 43 21 MA ∈      = : )2,2( 43 21 )( MA ∈      −− −− =− )2,2( 42 31 MAt ∈      = ♦ )3,2( 6 5 4 3 2 1 MA ∈      = : )3,2( 6 5 4 3 2 1 )( MA ∈      − − − − − − =− )2,3( 6 4 2 5 3 1 MAt ∈           =
  • 24. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 23 II- Matrices carrées Définition : • On appelle matrice carrée d’ordre n toute matrice de type ),( nn . • On note )(nM l’ensemble des matrices de type ),( nn . II-1 Diagonale d’une matrice carrée Définition : Soit A une matrice carrée d’ordre n : njiaA ij ≤≤= ,1)( . Les coefficients niaii ≤≤1)( sont dits éléments ou coefficients diagonaux de la matrice A et constitue la diagonale principale de la matrice A . Exemple : ♦       = 43 21 A . Les éléments diagonaux de la matrice A sont 111 =a et 422 =a . II-2 Matrice diagonale Définition : Soit A une matrice carrée d’ordre n : njiaA ij ≤≤= ,1)( . On dit que la matrice A est une matrice diagonale si tous les éléments non diagonaux de la matrice sont nuls : )si0( jiaij ≠= Exemples : ♦       = 20 01 A ♦ Matrice scalaire )(, 00 0 0 00 IRa a a A ∈             = L OOM MOO L ♦ Matrice unité ou matrice identité (matrice scalaire avec 1=a ) :             = 100 0 0 001 L OOM MOO L nI
  • 25. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 24 II-3 Matrice triangulaire Définition : Soit A une matrice carrée d’ordre n : njiaA ij ≤≤= ,1)( . • On dit que A est une matrice triangulaire inférieure si tous ses éléments au dessus de la diagonale principale sont nuls )si0( jiaij <= : ))((, 0 00 ,1 )1(1 21 11 IRa aaa a a A njiij nnnnn ∈               = ≤≤ −L OOM MOO L • On dit que A est une matrice triangulaire supérieure si tous ses éléments au dessous de la diagonale principale sont nuls )si0( jiaij >= : ))((, 00 0 ,1 )1( 11211 IRa a a aaa A njiij nn nn n ∈             = ≤≤ − L OOM MOO L Exemples : ♦           − 201 010 000 et       23 01 sont des matrices triangulaires inférieures. ♦           − 200 310 210 et       20 31 sont des matrices triangulaires supérieures. Remarque : ♦ Si une matrice A est triangulaire supérieure alors sa matrice transposée At est triangulaire inférieure et inversement.
  • 26. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 25 II-4 Matrice symétrique Définition : Soit A une matrice carrée d’ordre n : njiaA ij ≤≤= ,1)( . • On dit que la matrice A est une matrice symétrique si elle est égale à sa matrice transposée : AA t = ),1( njiaa ijji ≤≤∀= Exemples : ♦             − − − − = 1232 2154 3532 2421 A           −= 232 311 210 A       = 23 31 A II-5 Matrice antisymétrique Définition : Soit A une matrice carrée d’ordre n : njiaA ij ≤≤= ,1)( . • On dit que la matrice A est une matrice antisymétrique si sa matrice transposée est égale à sa matrice opposée : )( AAt −= ),1( njiaa ijji ≤≤∀−= Exemples : ♦             −− −− − − = 0232 2054 3502 2420 A           − − − = 032 301 210 A       − = 03 30 A Remarque : ♦ Tous les éléments diagonaux d’une matrice antisymétrique sont nuls : )10(),1( nianjiaa iiijji ≤≤∀=⇒≤≤∀−=
  • 27. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 26 III- Opérations sur les matrices III-1 Egalité Définition : Deux matrices A et B de ),( pnM sont égales si elles ont les mêmes coefficients : • BA ≡ ssi pjniba ijij ≤≤∀≤≤∀= 1,1, , avec )( ijaA = et )( ijbB = Propriété : ♦ BAssiBA tt ≡≡ III-2 Addition Définition : • Soient A et B deux matrices de ),( pnM . La matrice C de ),( pnM définie par : )1,1( pjnibac ijijij ≤≤∀≤≤∀+= s’appelle la matrice somme des matrices A et B . • On note BAC += . Propriétés : ♦ ),(,, pnMCBA ∈∀ : )()( CBACBA ++=++ ♦ ),(, pnMBA ∈∀ : ABBA +=+ ♦ ),(, pnMBA ∈∀ : BABA ttt +=+ )( Exemple :       = 654 321 A et       −−− = 321 123 B       =      −−− +++ =+⇒ 333 444 362514 132231 BA III-3 Multiplication par un scalaire Définition : • Soient A une matrice de ),( pnM et α un réel )( IR∈α . La matrice C de ),( pnM définie par : )1,1( pjniac ijij ≤≤∀≤≤∀= α s’appelle la matrice produit externe de la matrice A par le scalaire α . • On note AC .α= .
  • 28. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 27 Propriétés : ♦ ),( pnMA∈∀ , IR∈∀ βα, : AAA ..).( βαβα +=+ ♦ ),(, pnMBA ∈∀ , IR∈∀α : BABA ..).( ααα +=+ Exemples : ♦ ),( pnMA∈ et 1=α AA =⇒ .1 ♦ ),( pnMA∈ et 0=α pnA ,0.0 =⇒ ♦       − − = 212 121 A et 3−=α :       −− −− =      −×−×−×− −×−×−×− =− 636 363 )2()3(1)3(2)3( )1()3(2)3(1)3( ).3( A III-4 Produit de deux matrices III-4-1 Définition et propriétés Définition : • Soient A une matrice de ),( mnM et B une matrice de ),( pmM . La matrice C de ),( pnM définie par : )1,1( 1 pjnibac m k kjikij ≤≤∀≤≤∀= ∑= s’appelle la matrice produit de la matrice A par la matrice B . • On note BAC ×= . • On ne peut effectuer la multiplication de deux matrices A et B que si le nombre des colonnes de la matrice A est égal au nombre de lignes de la matrice B (ici m ). Propriétés : ♦ ),( mnMA∈∀ , ),( pmMB ∈ , ),( qpMC ∈ : ),()()( qnMCBACBA ∈××=×× ♦ ),( mnMA∈∀ , ),(, pmMCB ∈∀ : ),()()()( pnMCABACBA ∈×+×=+× ♦ ),( mnMA∈∀ et ),( pmMB ∈∀ : ),()( npMABBA ttt ∈×=×
  • 29. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 28 III-4-2 Produit d’une matrice ligne par une matrice colonne : Soient ),,,,( 1 imiki aaaA LL= une matrice ligne )),1(( mMA∈ et                 = mj kj j b b b B M M 1 une matrice colonne ))1,(( mMB ∈ . La matrice BAC ×= est alors égale au scalaire défini par : mjimkjikji bababaC ++++= LL11 , ))1,1(( MA∈ Exemple : )2,0,1,2,1( −−=A et                 − − = 1 1 2 0 2 B : 2)1()2(102)1(02)2(1 −=−×−+×+×−+×+−×=× BA III-4-3 Calcul pratique du produit matriciel : Soient A une matrice de ),( mnM et B une matrice de ),( pmM : , 11 1 1 11 i nm im m nk ik k n i Lligne a a a a a a a a a A ←                 = M M L M L M L M M L M L M L M M j mp kp p mj kj j m k Ccolonne b b b b b b b b b B ↑                 = M M L M L M L M M L M L M L M M 11 1 1 11 Pour obtenir le coefficient ijP de la matrice produit BAP ×= ,on fait le produit de la ligne iL de la matrice A ( iL : matrice ligne) par la colonne jC de la matrice B ( jC : matrice colonne) :                 = pn pi p jn ji j n i CL CL CL CL CL CL CL CL CL P M M L M L M L M M L M L M L M M 11 1 1 11 , ),( pnMP ∈
  • 30. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 29 Exemples : ♦       − − = 212 121 A et           −= 01 10 01 B : )3,2(MA∈ et )2,3(MB ∈ )2,2()( MBA ∈×⇒ et )3,3()( MAB ∈×       − − =      ×× ×× =× 10 20 2212 2111 CLCL CLCL BA           − −− − =           ××× ××× ××× =× 121 212 121 333213 322212 312111 CLCLCL CLCLCL CLCLCL AB ♦       − − = 212 121 A et           −− = 0101 0110 1001 B )3,2(MA∈ et )4,3(MB ∈ )4,2()( MBA ∈×⇒       =      ×××× ×××× =× 2314 1322 42322212 41312111 CLCLCLCL CLCLCLCL BA On ne peut pas effectuer la multiplication AB × . III-5 Puissance d’une matrice Définition : • Soit A une matrice carrée d’ordre n ))(( nMA∈ . On définit les puissances de la matrice A par : )(),( * nMAINpAAA foisp p ∈∀∈∀××= 43421 L , avec nIA =0
  • 31. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 30 Théorème : Soient A et B deux matrices carrées d’ordre n ))(,( nMBA ∈ . Si les matrices A et B commutent )( ABBA ×=× , alors : ∑∑ = − = − ==+ p k kkpk p p k kpkk p p BABABA CC 00 ..)( Cette formule s’appelle la formule de Newton. Exemple :       = 21 02 A et       − = 11 01 B ♦ Les matrices A et B commutent :       − =× 21 02 BA et       − =× 21 02 AB ♦ Le calcul direct de 2 )( BA + :       =+ 30 03 BA et )()()( 2 BABABA +×+=+       =+⇒ 90 09 )( 2 BA ♦ La formule de Newton pour le calcul de 2 )( BA + : 222 .2)( BBAABA +×+=+       =×= 44 042 AAA ,       − =×= 12 012 BBB et       − =× 21 02 BA       =+⇒ 90 09 )( 2 BA
  • 32. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 31 III-6 Propriétés de l’ensemble des matrices ♦ )(nM est un espace vectoriel réel de dimension 2 n : La matrice nulle est l’élément neutre pour la loi "+ ". Le symétrique de la matrice A pour la loi "+ " est égal à sa matrice opposée. { },1, njiEB ij ≤≤= est une base de )(nM , jcolonne iligneE jinm E ijmnij ↑ ←                 =    = = 0 0 0 0 1 0 0 0 0 : sinon0 ),(),(si1 )( M M L M L M L M M L M L M L M M La base B s’appelle la base canonique de )(nM . ♦ La matrice identité est l’élément neutre pour la loi "×××× ". ♦ En général ABBA ×≠× :       ×      ≠      ×      01 01 10 10 10 10 01 01 ♦ En général nnn BABA 0ou00 ==⇒/=× :       =      ×      00 00 10 00 00 01
  • 33. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 32 IV- Matrice inversible Définition : • Une matrice carrée A d’ordre n ))(( nMA∈ est dite inversible s’il existe une matrice carrée B d’ordre n ))(( nMB ∈ telle que : nIABBA =×=× • On note 1− = AB • La matrice 1− = AB s’appelle la matrice inverse de la matrice A . Exemples : ♦       = 31 21 A ,       − − = 11 23 B : 2 10 01 IABBA =      =×=× La matrice A est alors inversible et BA =−1 . ♦       = 00 10 A ,       =∀ dc ba B : 22 0 0 & 00 I c a ABI dc BA ≠      =×≠      =× La matrice A est alors non inversible. Théorème : Si deux matrices A et B de )(nM sont inversibles alors la matrice BA× est inversible et 111 )( −−− ×=× ABBA . En particulier si une matrice A de )(nM est inversible alors la matrice *,)( INpA p ∈ est inversible et pp AA )()( 11 −− = .
  • 34. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 33 V- Matrice inverse : Méthode de Gauss-Jordan V-1 Principe de la méthode La majorité des méthodes de calcul de l’inverse d’une matrice font appel à la notion de déterminant qu’on étudiera au chapitre suivant. Dans ce paragraphe, on exposera une méthode ne faisant pas appel à cette notion. Cette méthode, dite méthode de Gauss-Jordan, consiste à transformer la matrice A en nI et par la même occasion la matrice nI en 1− A en utilisant des opérations élémentaires sur les lignes de la matrice, type addition à chaque ligne d’une combinaison linéaire des autres lignes, multiplication d’une ligne par un scalaire ou permutation des lignes. Si au bout d’un certain nombre de transformations, on voit apparaître à la place de la matrice A , une matrice avec une ligne identiquement nulle, il devient alors impossible de faire apparaître les coefficients de la matrice nI dans la matrice A . On en conclut que la matrice A est non inversible. V-2 Exemples V-2-1 Matrice inversible :           − −− − = 142 121 132 A Exposé de la méthode : ♦ On écrit la matrice A dans la colonne gauche et la matrice 3I dans la colonne droite, et on effectue les transformations adéquates sur les lignes de la matrice A et de la matrice 3I pour faire apparaître au fur et à mesure les coefficients de la matrice 3I à gauche et les coefficients de la matrice 1− A apparaîtront ainsi à droite: ♦ On écrit A à gauche et 3I à droite :                     − −− − 100 010 001 142 121 132 ♦ On multiplie la 1ère ligne par )2/1( : 11 ).2/1( LL → :                     − −− − 100 010 002/1 142 121 2/12/31
  • 35. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 34 ♦ On ajoute à la 2ème ligne la 1ère ligne : 122 LLL +→ ♦ On ajoute à la 3ème ligne la 1ère ligne multipliée par )2(− : 133 2LLL −→           −          − − 101 012/1 002/1 010 2/12/10 2/12/31 ♦ On échange la 2ème ligne et la 3ème ligne : 32 LL ↔           −           − − 012/1 101 002/1 2/12/10 010 2/12/31 ♦ On ajoute à la 1ère ligne la 2ème ligne multipliée par )2/3(− : 211 )2/3( LLL −→ ♦ On ajoute à la 3ème ligne la 2ème ligne multipliée par )2/1( : 233 )2/1( LLL +→           − −           − 2/110 101 2/302 2/100 010 2/101 ♦ On ajoute à la 1ère ligne la 3ème ligne : 311 LLL +→           − −           2/110 101 112 2/100 010 001 ♦ On multiplie la 3ème ligne par )2( : 33 .2 LL →           − −           120 101 112 100 010 001 ♦ On voit ainsi apparaître à la place de la matrice A la matrice identité 3I . La matrice qui apparaît simultanément à la place de la matrice identité 3I n’est autre que la matrice 1− A . ♦ En effet :           =           − −− −           − − =           − −           − −− − 100 010 001 142 121 132 120 101 112 120 101 112 142 121 132
  • 36. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 35 V-2-2 Matrice non inversible :           = 111 010 101 A Exposé de la méthode : ♦ On écrit la matrice A dans la colonne gauche et la matrice 3I dans la colonne droite, et on effectue les transformations adéquates sur les lignes de la matrice A et de la matrice 3I pour faire apparaître au fur et à mesure les coefficients de la matrice 3I à gauche et les coefficients de la matrice 1− A apparaîtront ainsi à droite: ♦ On écrit A à gauche et 3I à droite :                     100 010 001 111 010 101 ♦ On ajoute à la 3ème ligne la 1ère ligne multipliée par )1(− : 133 LLL −→           −          101 010 001 010 010 101 ♦ On ajoute à la 3ème ligne la 2ème ligne multipliée par )1(− : 233 LLL −→           −−          111 010 001 000 010 101 ♦ On voit apparaître à la place de la matrice A , une matrice avec une ligne identiquement nulle ( 3L ), la matrice A est alors non inversible.
  • 37. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 36 VI- Matrice associée à un système de vecteurs Définition : Soit ,.),( +E un espace vectoriel réel de dimension n , muni d’une base { }neeB ,,1 L= . Soit un système de p vecteurs de E , { }puuS ,,1 L= . • On appelle la matrice du système { }puuS ,,1 L= , relativement à la base { }neeB ,,1 L= , la matrice suivante : pj n i np ip p nj ij j n i uuu e e e a a a a a a a a a A ↑↑↑ ← ← ←                 = 1 111 1 1 11 M M L M L M L M M L M L M L M M où la colonne j de la matrice A est formée des coordonnées du vecteur ju du système { }puuS ,,1 L= dans la base { }neeB ,,1 L= : pjeiau n i ijj ,1, 1 == ∑= • On note )/( BSMA = : )),(( pnMA∈ Remarque : ♦ La matrice A dépend de la base B choisie. Exemple : ♦ 3 IRE = ♦ { }321 ,, eeeB = la base canonique de 3 IR : )0,0,1(1 =e , )0,1,0(2 =e et )1,0,0(3 =e . ♦ { }321 ,, uuuS = : )2,0,2(1 −=u , )1,2,1(2 −=u et )3,2,0(3 −=u : 321 3 2 1 3 2 1 312 220 012 )1,0,0.(3)0,1,0).(2()0,0,1.(0)3,2,0( )1,0,0.(1)0,1,0).(2()0,0,1.(1)1,2,1( )1,0,0).(2()0,1,0.(0)0,0,1.(2)2,0,2( uuu e e e A u u u ↑↑↑ ← ← ←           − −−=⇒       +−+=−= +−+=−= −++=−=
  • 38. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 37 VII- Matrice d’une application linéaire Définition : Soient ,.),( +E un espace vectoriel réel de dimension p , muni d’une base { }puuB ,,1 L= et ,.),( +F un espace vectoriel réel de dimension n , muni d’une base { }nvvB ,,' 1 L= . Soit f une application linéaire de ,.),( +E vers ,.),( +F . • La matrice de f relativement aux bases B et 'B , notée par )',/( BBfM c’est la matrice du système { })(,),( 1 pufufS L= , relativement à la base { }nvvB ,,' 1 L= . Remarques : ♦ Si { }puuB ,,1 L= et { }nvvB ,,' 1 L= alors : )()()( )',/( 1 111 1 1 11 pj n i np ip p nj ij j n i ufufuf v v v a a a a a a a a a BBfM ↑↑↑ ← ← ←                 = M M L M L M L M M L M L M L M M , )),()',/(( pnMBBfM ∈ ♦ La colonne j de la matrice )',/( BBfM représente les coordonnées du vecteur )( juf dans la base 'B :          ++++= ++++= ++++= nnpiippp nnjiijjj nnii vavavauf vavavauf vavavauf LL M LL M LL 11 11 111111 )( )( )( ♦ La matrice )',/( BBfM dépend des bases choisies B et 'B . Exemple : 2 IRE = , 3 IRF = : ),,(),( xyyxyxyxf −+−= ♦ { }21,uuB = la base canonique de 2 IR : )0,1(1 =u et )1,0(2 =u . ♦ { }321 ,,' vvvB = la base canonique de 3 IR : )0,0,1(1 =v , )0,1,0(2 =v et )1,0,0(3 =v .
  • 39. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 38 •           − − =⇒     ++−=−= −+=−= 11 11 11 )',/( )1,1,1()( )1,1,1()( 3212 3211 BBfM vvvuf vvvuf ♦ { }21,uuB = une base de 2 IR : )1,1(1 =u et )1,1(2 −=u ♦ { }321 ,,' vvvB = une base de 3 IR : )1,1,1(1 =v , )0,1,0(2 =v et )1,1,1(3 −−=v •           =⇒     +=−= == 20 22 00 )',/( 22)2,0,2()( 2)0,2,0()( 322 21 BBfM vvuf vuf ♦ )',/()',/( BBfMBBfM ≠ Théorème : (matrice de la composée) Soient E , F et G trois espaces vectoriels réels, muni des bases respectives B , 'B et ''B . Si FEf a: et GFg a: sont deux applications linéaires alors : )',/()",'/()",/( BBfMBBgMBBfgM ×=o Exemple : 3 IRE = , 2 IRF = et 2 IRG = : ),(),,( zyyxzyxf ++= et ),(),( xyyxg = ♦ { }321 ,, eeeB = la base canonique de 3 IR : )0,0,1(1 =e , )0,1,0(2 =e et )1,0,0(3 =e ♦ { }21,"' εε== BB la base canonique de 2 IR : )0,1(1 =ε et )1,0(2 =ε . ♦       =⇒++= 110 011 )',/(),(),,( BBfMzyyxzyxf ♦       =⇒= 01 10 )",'/(),(),( BBgMxyyxg ♦       =⇒++= 011 110 )",/(),(),,)(( BBfgMyxzyzyxfg oo ♦ )',/()",'/()",/( BBfMBBgMBBgfM ×=o : )",/( 011 110 110 011 01 10 )',/()",'/( BBfgMBBfMBBgM o=      =      ×      =×
  • 40. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 39 VIII- Changement de base VIII-1 Matrice de passage Définition : Soient { }nuuB ,,1 L= et { }nvvB ,,' 1 L= deux bases d’un espace vectoriel réel E . On appelle la matrice de passage de la base B à la base 'B et on note 'BBP , la matrice du système { }nvvB ,,' 1 L= relativement à la base { }nuuB ,,1 L= . Remarques : ♦ Si { }puuB ,,1 L= et { }nvvB ,,' 1 L= alors : nj n i nn in n nj ij j n iBB vvv u u u a a a a a a a a a P ↑↑↑ ← ← ←                 = 1 111 1 1 11 ' M M L M L M L M M L M L M L M M , ))(( ' nMPBB ∈ ♦ La colonne j de la matrice de passage 'BBP représente les coordonnées du vecteur jv dans la base B :          ++++= ++++= ++++= nnniinnn nnjiijjj nnii uauauav uauauav uauauav LL M LL M LL 11 11 111111 ♦ Si B et 'B sont deux bases d’un espace vectoriel réel E , alors : • nBB IP = , où Id est l’application identité de E . • ),'/(' BBIdMPBB = , où Id est l’application identité de E . Théorème : Si { }nuuB ,,1 L= et { }nvvB ,,' 1 L= sont deux bases d’un espace vectoriel réel E , alors la matrice de passage de B à 'B , est inversible et BBBB PP ' 1 ' )( =− .
  • 41. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 40 Exemple : Dans 2 IR , on considère les bases B et 'B : { } { }    −=== === )1,1('),1,1(':','' )1,0(),0,1(:, 2121 2121 eeeeB eeeeB     +−=−= +== 212 211 )1,1(' )1,1(' eee eee       − =⇒ 11 11 'BBP      +== −== 211 211 ' 2 1 ' 2 1 )1,0( ' 2 1 ' 2 1 )0,1( eee eee       − =⇒ 2/12/1 2/12/1 'BBP VIII-2 Coordonnés d’un vecteur Théorème : Soient { }nuuB ,,1 L= et { }nvvB ,,' 1 L= sont deux bases d’un espace vectoriel réel E . Soit un x vecteur de E . Si       =++= =++= ∑ ∑ = = n j jjnn n i iinn vxvxvxx uxuxuxx 1 11 1 11 ''' L L alors : '.' XPX BB= et XPX BB .' '= , avec           = nx x X M 1 et           = nx x X ' ' ' 1 M Exemple : 2 IRE = et { } { }    −=== === )1,1('),1,1(':','' )1,0(),0,1(:, 2121 2121 eeeeB eeeeB deux bases de 2 IRE = ♦ 2 )1,2( IRx ∈−= :     += −= 2211 21 '''' 2 exexx eex       =      − =⇒ 2 1 ' ' 'et 1 2 x x XX ♦ Calcul direct de       = 2 1 ' ' ' x x X : )1,1(')1,1(')1,2('''' 212211 −+=−⇒+= xxexexx    −= =    ⇒ −=+ =− ⇒ 2/3' 2/1' 1'' 2'' 2 1 21 21 x x xx xx       − =⇒ 2/3 2/1 'X ♦ Calcul de       = 2 1 ' ' ' x x X par la formule de changement de base XPX BB .' '= :       −      − ==⇒      − = 1 2 . 2/12/1 2/12/1 .' 2/12/1 2/12/1 '' XPXP BBBB       − =⇒ 2/3 2/1 'X
  • 42. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 41 VIII-3 Application linéaire Théorème : Soient ,.),( +E et ,.),( +F deux espaces vectoriels réels munis respectivement des bases { }puuB ,,1 L= et { }nvvB ,,' 1 L= . Soient f une application linéaire de E vers F et x vecteur de E . Si        =++= =++= ∑ ∑ = = n j jjnn p i iipp vyvyvyxf uxuxuxx 1 11 1 11 )( L L alors XBBfMY ).',/(= , où :           = px x X M 1 et           = ny y Y M 1 . Exemple : 2 IRE = et 3 IRF = : ),,(),( xyyxyxyxf −+−= ♦ { }21,uuB = la base canonique de 2 IR : )0,1(1 =u et )1,0(2 =u . ♦ { }321 ,,' vvvB = la base canonique de 3 IR : )0,0,1(1 =v , )0,1,0(2 =v et )1,0,0(3 =v . ♦           − − =⇒     ++−=−= −+=−= 11 11 11 )',/( )1,1,1()( )1,1,1()( 3212 3211 BBfM vvvuf vvvuf ♦ Soit 2 21 ),( IRxxx ∈= : 2211 uxuxx +=       =⇒ 2 1 x x X ♦ XBBfMY ).',/(=           − + − =                − − =      =           ⇒ 12 21 21 2 1 2 1 3 2 1 . 11 11 11 ).',/( xx xx xx x x x x BBfM y y y ♦ Si 2 )1,2( IRx ∈−= , alors       − = 1 2 X et           − =      −           − − =           3 1 3 1 2 . 11 11 11 3 2 1 y y y Théorème : Soient E et F deux espaces vectoriels réels et f une application linéaire de E vers F . Si 1B et 1'B sont deux bases de E , 2B et 2'B deux bases de F alors : 11221122 '21 1 ''21'21 ).,/(.)().,/(.)','/( BBBBBBBB PBBfMPPBBfMPBBfM − ==
  • 43. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 42 Exemple : 2 IRE = et 3 IRF = : ),,(),( xyyxyxyxf −+−= ♦ Dans 2 IR , on considère les bases o { }211 ,uuB = : )0,1(1 =u et )1,0(2 =u o { }211 ,uuB = : )1,1(1 =u et )1,1(2 −=u ♦ Dans 3 IR , on considère les bases o { }3212 ,, vvvB = : )0,0,1(1 =v , )0,1,0(2 =v et )1,0,0(3 =v o { }3212 ,, vvvB = : )1,1,1(1 =v , )0,1,0(2 =v et )1,1,1(3 −−=v ♦           − − = 11 11 11 ),/( 21 BBfM et       − = 11 11 11BB P ♦           − −=          ⇒ += = −−= 2/102/1 011 2/102/1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 313 22 3211 BB P vvv vv vvvv ♦ 1122 ).,/(.),/( 2121 BBBB PBBfMPBBfM =           =      −           − −           − −=⇒ 20 22 00 11 11 . 11 11 11 . 2/102/1 011 2/102/1 ),/( 21 BBfM ♦ Calcul direct de ),/( 21 BBfM :           =⇒    +=−=−= === 20 22 00 ),/( 22)2,0,2())1,1(()( 2)0,2,0())1,1(()( 21 322 21 BBfM vvfuf vfuf
  • 44. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 4 : déterminant d’une matrice carrée Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 43 CHAPITRE 4 : DÉTERMINANT D’UNE MATRICE CARRÉE I- Calcul d’un déterminant d’ordre n.................................................................................................. 44 I-1 Déterminant d’ordre 1 ..........................................................................................................................44 I-2 Déterminant d’ordre 2 ..........................................................................................................................44 I-3 Déterminant d’ordre n..........................................................................................................................44 II- Propriétés des déterminants......................................................................................................... 48 III- Inversion d’une matrice par la méthode des cofacteurs................................................................ 49 IV- Rang d’une matrice ..................................................................................................................... 51 IV-1 Calcul du rang d’une matrice...............................................................................................................51 IV-2 Rang d’une application linéaire...........................................................................................................53
  • 45. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 4 : déterminant d’une matrice carrée Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 44 I- Calcul d’un déterminant d’ordre n I-1 Déterminant d’ordre 1 Soit )( 11aA = une matrice carrée d’ordre 1 ))1(( MA∈ . Le déterminant d’ordre 1 de la matrice A , noté Adet , est défini par : 11det aA = . I-2 Déterminant d’ordre 2 Soit       = 2221 1211 aa aa A une matrice carrée d’ordre 2 ))2(( MA∈ . Le déterminant d’ordre 2 de la matrice A , noté Adet , est défini par : 21122211det aaaaA ×−×= . On note aussi 21122211 2221 1211 det aaaa aa aa A ×−×== I-3 Déterminant d’ordre n Définition : Soit njiijaA ≤≤= ,1)( une matrice carrée d’ordre n ))(( nMA∈ . • On appelle le mineur de l’élément ija , le déterminant de la matrice carrée ijA d’ordre 1−n , obtenue en supprimant dans la matrice A la ligne i et la colonne j . • On note ijAdet ou ij∆ . Exemples : 1) Soit       = 2221 1211 aa aa A : Le mineur de 11a est égal à : 2211det aA = 2) Soit           = 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A : • Le mineur de 33a est égal à : 21122211 2221 1211 33det aaaa aa aa A ×−×== • Le mineur de 32a est égal à : 21132311 2321 1311 32det aaaa aa aa A ×−×==
  • 46. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 4 : déterminant d’une matrice carrée Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 45 Théorème : Si njiijaA ≤≤= ,1)( est une matrice carrée d’ordre n , alors : ∑∑ = + = + −=−≤≤∀ n k kjkj jk n k ikik ki AaAanji 11 det)1(det)1(:,1 Définition : Soit njiijaA ≤≤= ,1)( une matrice carrée d’ordre n . Le déterminant d’ordre n de la matrice A est défini par : • La formule du développement du déterminant de la matrice A suivant la ligne i : ∑= + −=≤≤∀ n k ikik ki AaAni 1 det)1(det:1 • La formule du développement du déterminant de la matrice A suivant la colonne j : ∑= + −=≤≤∀ n k kjkj jk AaAnj 1 det)1(det:1 Exemples : 1)       − = 12 21 A ♦ Développement du déterminant suivant la colonne 2 : 5det )1()1( det)1(det)1( det)1(det 11222112 2222 22 1212 21 2 1 22 2 =⇒ +−= −+−= −= ++ = + ∑ A aaaa AaAa AaA k kk k ♦ Développement du déterminant suivant la ligne 1 : 5det )1()1( det)1(det)1( det)1(det 21122211 1212 21 1111 11 2 1 11 1 =⇒ −+= −+−= −= ++ = + ∑ A aaaa AaAa AaA k kk k
  • 47. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 4 : déterminant d’une matrice carrée Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 46 2)           = 132 213 321 A ♦ Développement du déterminant suivant la 1ère colonne )1( =j : 18 21 32 )2()1( 13 32 )3()1( 13 21 )1()1(det )1()1()1( det)1(det)1(det)1( det)1(det 2322 1312 31 3332 1312 21 3332 2322 11 3131 13 2121 12 1111 11 3 1 11 1 =××+××−+××=⇒ +−+= −+−+−= −= +++ = + ∑ A aa aa a aa aa a aa aa a AaAaAa AaA k kk k ♦ Développement du déterminant suivant la 2ème ligne 2=i : 18 32 21 )2()1( 12 31 )1()1( 13 32 )3()1(det )1()1()1( det)1(det)1(det)1( det)1(det 3231 1211 23 3331 1311 22 3332 1312 21 2323 32 2222 22 2121 12 3 1 22 2 =××−+××+××−=⇒ −++−= −+−+−= −= +++ = + ∑ A aa aa a aa aa a aa aa a AaAaAa AaA k kk k Remarque : ♦ En pratique, pour le développement d’un déterminant, on affecte à chaque élément un signe, en commençant par le signe + et en respectant une alternance entre les deux signes, par exemple : • Déterminant d’ordre 2 : +− −+ • Déterminant d’ordre 3 : +−+ −+− +−+ • Déterminant d’ordre 4 : +−+− −+−+ +−+− −+−+
  • 48. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 4 : déterminant d’une matrice carrée Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 47 Exemple :           − − − = 132 213 321 A :           −+−+ −+−− +−−+ 1)(3)(2)( 2)(1)(3)( 3)(2)(1)( ♦ Développé suivant la 1ère ligne, on a : 42 32 13 )3( 12 23 )2( 13 21 )1(det −= − ×+ − − ×−− − ×=A
  • 49. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 4 : déterminant d’une matrice carrée Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 48 II- Propriétés des déterminants 1) Un déterminant est nul si : a. L’une des colonnes ou l’une des lignes est nulle. b. Deux colonnes ou deux lignes sont égales ou proportionnelles c. Une ligne ou une colonne est une combinaison linéaire des autres lignes ou colonnes. 2) Un déterminant change de signe si l’on effectue un nombre impair de permutations (si par exemple, on permute deux lignes uniquement ou deux colonnes uniquement). 3) Un déterminant est linéaire par rapport à chaque ligne et à chaque colonne (si l’on multiplie tous les éléments d’une ligne ou d’une colonne par le même scalaire, le déterminant est multiplié par ce scalaire). 4) Un déterminant ne change pas si : a. On permute simultanément deux lignes et deux colonnes b. On échange les lignes et les colonnes AAt det)det( = c. On ajoute à une ligne (respectivement une colonne), une combinaison linéaire des autres lignes (respectivement colonnes). 5) Une matrice carrée est inversible ssi son déterminant est non nul. 6) Le déterminant du produit de deux matrices est égal au produit des déterminants des deux matrices. 7) Le déterminant de l’inverse d’une matrice inversible est égal à l’inverse du déterminant de cette matrice. 8) Un système de vecteurs est libre ssi le déterminant de la matrice de ce système dans une base donnée est non nul. 9) Le déterminant d’une matrice triangulaire est égal au produit de ces éléments diagonaux.
  • 50. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 4 : déterminant d’une matrice carrée Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 49 III- Inversion d’une matrice par la méthode des cofacteurs Définition : Soit njiijaA ≤≤= ,1)( une matrice carrée d’ordre n . Soit ijA la matrice carrée d’ordre 1−n obtenue en supprimant dans la matrice A la ligne i et la colonne j . • On appelle cofacteur du coefficient ija le nombre )det()1( ij ji A+ − . • On appelle comatrice ou matrice des cofacteurs de la matrice A la matrice njiijcAC ≤≤= ,1)()( définie par : njiAc ij ji ij ≤≤−= + ,1),det()1( Etapes de l’inversion : 1) On vérifie si la matrice A est inversible. Pour cela, on calcule son déterminant: a. Si 0det =A alors A n’est pas inversible. b. Si 0det ≠A alors A est inversible, et on passe aux étapes suivantes 2) On détermine la comatrice de la matrice A : )(AC 3) On détermine la transposée de la comatrice de la matrice A : )(ACt 4) On en déduit l’inverse de la matrice A : ))(( det 11 AC A A t =− Exemple :           = 123 312 231 A 1) Calcul du déterminant de la matrice A : 18 31 23 )3( 12 23 )2( 12 31 )1(det =×+×−×=A 0det ≠A alors A est inversible, et on passe aux étapes suivantes 2) La comatrice de la matrice A :           − − − =                   +−+ −+− +−+ = 517 751 175 12 31 32 21 31 23 23 31 13 21 12 23 23 12 13 32 12 31 )(AC
  • 51. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 4 : déterminant d’une matrice carrée Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 50 3) La transposée de la comatrice de la matrice A :           − − − = 571 157 715 ))(( ACt 4) L’inverse de la matrice A : ))(( det 11 AC A A t =−           − − − =           − − − =− 18/518/718/1 18/118/518/7 18/718/118/5 571 157 715 18 11 A
  • 52. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 4 : déterminant d’une matrice carrée Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 51 IV- Rang d’une matrice IV-1 Calcul du rang d’une matrice Définition : Soit A une matrice de ),( pnM . On appelle le rang de la matrice A l’ordre de la plus grande matrice carrée inversible extraite de la matrice A . On note )(Arg . • Le rang de la matrice nulle est égal à 0. • Si une matrice A de ),( pnM est non nulle, alors ),()(1 pnMinArg ≤≤ . Etapes du calcul du rang : ♦ ),( pnMA∈ , ),( pnMinm = : mArg ≤≤ )(1 ♦ On cherche si mArg =)( Si on peut extraire de A , une matrice carrée inversible d’ordre m alors mArg =)( . Sinon alors mArg <≤ )(1 • On cherche si 1)( −= mArg o Si on peut extraire de la matrice A , une matrice carrée inversible d’ordre 1−m alors 1)( −= mArg . o Sinon alors 1)(1 −<≤ mArg ♦ On continue ainsi la même démarche jusqu’à obtenir une matrice carrée inversible d’ordre r extraite de la matrice A , et alors rArg =)( Remarques : ♦ Le rang d’une matrice A de ),( pnM est égal au rang du système formé des p colonnes égal au rang du système formé des n lignes de la matrice A . ♦ Le rang d’une matrice est égal au rang de sa transposée.
  • 53. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 4 : déterminant d’une matrice carrée Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 52 Exemples : 1) )4,4( 1101 1012 0210 1321 MB ∈             − −−− = 1ère méthode : "matricielle" ♦ 4)(14)4,4( ≤≤⇒= BrgMin ♦ B est la seule matrice carrée d’ordre 4 extraite de B : ♦ )2(0det 421 LLLcarB +== , d’où 4)(1 <≤ Brg ♦ La matrice           − −− 111 102 020 extraite de B est inversible 3)( =⇒ Brg 2) )3,4( 023 350 111 132 MC ∈             − − − = 2ème méthode : " vectorielle" ♦ On note par { }321 ,, uuuS = le système de vecteurs colonnes de la matrice C . ♦ { }3,0,1,21 =u , { }2,5,1,32 −=u et { }0,3,1,13 −−=u )()( SrgCrg =⇒ • { }321 ,, uuuS = est le seul système d’ordre 3 extrait de S : • S n’est pas un système libre (car 321 2 5 2 3 uuu += ) 3)(1 <≤⇒ Crg ♦ { }21,uu est un système libre d’ordre 2 extrait du système S 2)( =⇒ Crg
  • 54. [S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 4 : déterminant d’une matrice carrée Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 53 3) )4,4( 0202 2012 2210 4321 MA ∈             − −−− = 1ère méthode : "matricielle" ♦ 4)(14)4,4( ≤≤⇒= ArgMin : • A est la seule matrice carrée d’ordre 4 extraite de A • )(0det 342 LLLcarA −== 4)(1 <≤⇒ Arg ♦ Toutes les matrices carrées d’ordre 3 extraites de A sont non inversibles : 3)(1 <≤ Arg ♦       10 21 est une matrice carrée inversible d’ordre 2 extraite de A 2)( =⇒ Arg 2ème méthode : " vectorielle" ♦ On note par { }4321 ,,, uuuuS = le système de vecteurs lignes de la matrice A . { }4,3,2,11 =u , { }2,2,1,02 =u , { }2,0,1,23 −−−=u et { }0,2,0,24 −=u : )()( SrgArg = ♦ { }4321 ,,, uuuuS = est le seul système d’ordre 4 extrait de S : S n’est pas un système libre (car 342 uuu −= ) 4)(1 <≤⇒ Arg ♦ On vérifie que tous les systèmes d’ordre 3 extraits de S sont liés 3)(1 <≤⇒ Arg ♦ Le système { }21,uu est un système libre d’ordre 2 extrait du système S 2)( =⇒ Arg IV-2 Rang d’une application linéaire Théorème : Le rang d’une application linéaire f , définie de E vers G , est égal au rang de sa matrice relativement à deux bases données de E et de G : ),/(()( 21 BBfMrgfrg = , 1B et 2B sont deux bases respectives de E et de G , Exemple : )3,253,32(),,,( zyxtzyxtyxtzyxf −+−++−++= ♦ CBBfM t =),/( 21 , 1B et 2B sont les bases canoniques respectives de 4 IR et de 3 IR . ♦ Donc 2)()()( === CrgCrgfrg t