Le document traite du calcul intégral, présentant des exercices sur le calcul d'intégrales et la détermination d'aires sous des courbes. Il décrit les techniques pour trouver des primitives et les principes de base permettant de calculer les aires comprises entre une courbe, l'axe des abscisses, et des limites verticales. Plusieurs intégrales spécifiques sont énoncées et résolues, illustrant des méthodes d'intégration.

1. Enoncé: Calculer les intégrales I, J, K.
Enoncés des exercices
TECHNIQUES ET METHODES
Calcul intégral.
1)
2) 3
cos sinJ x xdx
π
π−
= ∫
3)
3
21
10 3
5 3 8
x
K dx
x x
−
=
− +∫
4)
1
20
2 3
3 5
x
I dx
x x
−
=
− +
∫
Soit f la fonction:
(L’unité graphique est 2 cm)
Déterminer l’aire ( L ) du domaine du
plan compris entre la courbe Cf , l’axe
des abscisses et les droites
d’équations x = 1 et x = 4.
4
2
3
: x
f x e
x
 
 
 
→ ×
Calcul intégral
Énoncés des exercices de 1 à 4
ANIS
BEN
ALI
2013-2014 4 ANNEE SECONDAIRE ANIS BEN ALI
CALCUL INTEGRAL

2. Vulgarisation
Pour comprendre
Primitives et calcul intégral
Le calcul intégral
x
y
A
fC
L’aire du domaine du plan compris entre la courbe (Cf)
représentative de f, l’axe des abscisses, et les droites
d’équations x = a et x = b, s’écrit :
( ) ( )A F b F a= −
F étant une primitive de f
sur l’intervalle considéré,
le chapitre consacré à la
recherche d’une ( ou des)
primitive(s) F de f permet de
passer de 1 à 2.
1
2
En unité d’aire (si
on cherche une aire).
Exemple: Si l’unité graphique est 2 cm
sur l’axe des abscisses et 3 cm sur l’axe
des ordonnées , l’unité d’aire est 6 cm2,
par conséquent:
( ) ( ) 2
6A F b F a cm= − ×  
Se lit:
« L’aire est égale à l’intégrale
de f(x) dx entre les bornes a et b »
(dx étant la notation infinitésimale)
L’aire est égale à la primitive F
de f prise entre les bornes a et b.
( a et b appartenant à I
l’intervalle considéré sur lequel f doit
être continue)
L’aire du domaine du plan
est égale à la primitive de
la borne supérieure moins la
primitive de la borne
inférieure ».
Les techniques de recherches de primitives F de f , nous permettrons
de poursuivre le calcul intégral et déterminer ainsi l’aire d’un domaine
du plan compris entre la courbe représentative de f, l’axe des abscisses
et les droites d’équation x = a et x = b (par exemple).
a b
( )
b
a
A f x dx= ∫
( )
b
a
A F x=  
ANIS
BEN
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3. 2
2 3
3 5
x
x x
−
− +
2
3 5x x− +
1 , 0 0 8I −≃
2 5 3I  = − − 
2 3 5I  = − 
2 2
2 1 3 5 0 0 5I  = − + − − +
 
2
2 3
3 5
x
x
x x
−
→
− +
1
20
2 3
3 5
x
I dx
x x
−
=
− +
∫
Enoncés: Calculer les intégrales I, J, K.
16/ Calcul d’aire.
4
2
3
: x
f x e
x
 
 
 
→ ×
3
0
cos sinJ x xdx
π
= ∫
3
21
10 3
5 3 8
x
K dx
x x
−
=
− +∫
1
20
2 3
3 5
x
I dx
x x
−
=
− +
∫
« TECHNIQUES ET METHODES »
Calcul intégral
1)
3)
4)
2)
Voici une solution :
1)
Une primitive de
Utilisons la propriété du cours:
2
: 2 3 5F x x x→ − +
11
2
20 0
2 3
2 3 5
3 5
x
I dx x x
x x
−  = = − +
 − +
∫
1
2
0
2 3 5I x x = − +
 
Remarque: Cette intégrale est négative.
Rappel du cours: « L’intégrale d’une
fonction négative est négative »
sur ]0;1[ , ( 2x -3 ) est négatif et
est positif,
donc le quotient:
est négatif, et l’intégrale d’une
fonction négative est négative,
ce qui confirme le signe
du résultat.
Soit f la fonction:
Déterminer l’aire ( L )
comprise entre la courbe Cf ,
l’axe des abscisses et les droites
d’équations x = 1 et x = 4.
à 10 -3 près
est la fonction F définie comme suit
( voir détail de la recherche
de primitive page suivante )
se lit: « Primitive de la borne supérieure
moins primitive de la borne inférieure »
( ) ( ) ( ) ( )
b b
aa
f x dx F x F b F a= = −  ∫
ANIS
BEN
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4. Technique et méthode : Comment déterminer la primitive de f sur I :
Remarque: u ne s’annule pas sur R et est
strictement positif car =9 - 28= -19,
donc u du signe de a, donc positif .
Technique & Méthode:
Changeons de
variable, passons
de la variable x à
la variable u,
f devient comme
ci contre, et nous
désirons un
schéma de la
forme ci contre,
Alors utilisons les
propriétés
suivantes:
2
2 3
( )
3 5
x
f x
x x
−
=
− +
I = ℝ
Voici une solution :
En remarquant que le numérateur
est la dérivée du polynôme se trouvant
sous la racine du dénominateur :
Posons :
2
( ) 3 5u x x x= − +
( ) 1
'n n
x nx −
=
'
( )
u
f u
u
=
1
2
u u=
1
2
1
2
'
( ) '
u
f u u u
u
−
= =
1 n
n
a
a
−
=
Cette transformation a pour but de « mettre f
sous la forme de notre schéma général
d’intégration » noté ci dessous.
Puis intégrons ( passage de A à B):
1
2
( ) 2 2F u u k u k= × + = +
Puis en revenant à la variable x, les primitives
F de f sur R sont :
2
( ) 2 3 5F x x x k= − + +
A B
A
B
L’expression de f avec la variable u sous
la forme souhaitée est:
'
2
u
u k
u
= +∫
Vous pouvez toujours retenir la
formule ci contre, mais dans un
souci d’économie de
mémorisation et aussi de gestion
des calculs, il est bien de retenir
la manière de procéder
précédente.
TECHNIQUES ET METHODES
Techniques de recherches de primitives
2
2 3
( )
3 5
x
f x
x x
−
=
− +
∆
'( ) 2 3u x x= −
1
'
1
n
n u
u u k
n
+
× = +
+∫
1
2
( ) 'f u u u
−
=
1
'
1
n
n u
u u k
n
+
× = +
+∫
1 2
( ) ( ) 'F u f u du u u−
= =∫ ∫
( )
1
1
1 22
1 1 21
2
u u
F u k k
−
+
= + = +
−
+
ANIS
BEN
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5. ( ) ( )
4 41
1 1
4
J  = − − − −
 
( )4 41
cos cos
4
J π π = − − − 
41
c o s
4
J x
π
π−
 = −  
41
co s
4
J x
π
π−
 
= −  
3
cos sinJ x xdx
π
π−
= ∫
41
: cos
4
F x x→ −
3
cos sinx x x→
3
cos sinJ x xdx
π
π−
= ∫
Enoncés: Calculer l’intégrale de la fonction proposée:
3
cos sinJ x xdx
π
π−
= ∫
« TECHNIQUES ET METHODES »
calcul intégral
2)
Voici une solution :
2)
Une primitive de la fonction :
est la fonction F définie comme suit
( voir technique de recherche
de primitive page suivante )
Utilisons la propriété du cours:
Puis:
Une puissance paire étant
toujours positive: ( -1 )4 = 1
Remarque et rappel de cours: Si une
fonction f est continue et impaire sur un
intervalle I, symétrique par rapport à
zéro, alors pour tout a de I :
Ici,
étudions la parité de f:
La fonction cosinus étant paire, cosx = cos(-x)
la fonction sinus étant impaire sin(-x)= - sin x
D’où:
Par conséquent f étant impaire et les bornes d’intégration
étant symétriques par rapport à zéro, il est bienvenu
d’appliquer directement la propriété du cours, et par
conséquent de se passer, dans le cas présent, de tout
calcul:
[ ]
1 1
1 1 0
4 4
J = − − = − ×
0J =
( ) 0
a
a
f t dt
−
=∫
( ) 3
cos sinf x x x=
( ) ( ) ( )3
cos sinf x x x− = − −
( )sin sinx x− = −
( )cos cosx x= −
( ) ( )
( )
3
3
cos
cos sin
f x x sinx
f x x x
− = × −
− = −
( )( )f x f x− = −
0J =
( ) ( ) ( ) ( )
b b
aa
f x dx F x F b F a= = −  ∫
( ) ( ) ( )
b
a
F x F b F a= −  
ANIS
BEN
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6. Technique et méthode : Comment déterminer la primitive de f sur I
:
3
( ) cos sinf x x x=
Voici une solution :
Ici, il s’agit d’une fonction trigonométrique, mais
attention le schéma d’intégration à utiliser est le
schéma « puissance » suivant:
1
'
1
n
n u
u u k
n
+
× = +
+∫
Posons : ( ) cosu x x=
sin
cos−
sin−
cos
d
d x
Rappel sur les dérivées de
fonctions trigonométriques:
u est dérivable
Sur , et :
Il s’agit d’un moyen mnémotechnique pour
retrouver les schémas des dérivées de fonctions
trigonométriques:
La dérivée d’un sinus donne un cosinus, on
tourne d’un quart de tour dans le sens anti-
trigonométrique pour dériver (sens horaire) .
Ainsi, la dérivée d’un cosinus donne un
(-sinus), et ainsi de suite.
L’expression de f en fonction de la variable u est:
On reconnaît le schéma
d’intégration général en (un).
Ou encore:
Déterminons la primitive F de f:
3
( ) ( ) 'F u f u du u u= = −∫ ∫
( ) ( )k f x dx k f x dx× =∫ ∫
Utilisons le schéma d’intégration de (un) :
Puis en revenant à la variable x, les primitives
F de f sur sont:
41
( ) cos
4
F x x k
−
= +
'( ) sinu x x= − Par
linéarité:
I = ℝ
TECHNIQUES ET METHODES
Techniques de recherches de primitives
3 1
41
( )
3 1 4
u
F u k u k
+
−
= − + = +
+
ℝ
'( ) sinu x x− =
ℝ
( )3
( ) 'f u u u= −3
( ) cos sinf x x x=
3
( ) 'f u u u= −
3
( ) 'F u u u= − ∫
1
'
1
n
n u
u u k
n
+
× = +
+∫
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7. « TECHNIQUES ET METHODES »
calcul intégral
Enoncé: Calculer l’intégrale de la fonction proposée:
3)
3
21
10 3
5 3 8
x
K dx
x x
−
=
− +∫
Voici une solution :
3)
3
21
10 3
5 3 8
x
K dx
x x
−
=
− +∫
2
10 3
5 3 8
x
x
x x
−
→
− +
( )2
: 5 3 8F x ln x x→ − +
Utilisons la propriété du cours:
3
21
10 3
5 3 8
x
K dx
x x
−
=
− +∫
Puis:
( ) ( )2
5 3 3 3 8 5 3 8K ln ln = × − × + − − + 
( ) ( )45 9 8 10K ln ln= − + −  
[ ]44 10K ln ln= −
( )ln ln lnab a b= +
Utilisons les
propriétés:
2 2
ln
5
K
 
=  
  1, 48K ≃
Rédaction copie:
Enoncé: Calculer l’intégrale
suivante: 3
21
10 3
5 3 8
x
K dx
x x
−
=
− +∫
2
( ) 5 3 8u x x x= − +
'( ) 1 0 3u x x= −
'
( )
u
f u
u
=
'
( ) ( )
u
F u f u du ln u
u
= = =∫ ∫
( )2
( ) 5 3 8F x l n x x= − +
et:
( )
3
2
1
5 3 8K ln x x = − + 
( ) ( )45 9 8 10K ln ln= − + −  
[ ]
4 4
4 4 1 0 ln
1 0
K ln ln
 
= − =  
 
22
ln
5
K
 
=  
 
u est dérivable
et ne s’annule
pas sur .
Posons :
à 10 -2 près.
Une primitive de la fonction :
est la fonction F définie comme suit
( voir technique de recherche
de primitive page suivante )
'u
ln u
u
=∫
( ) ( ) ( ) ( )
b b
aa
f x dx F x F b F a= = −  ∫
( )
3
2
1
5 3 8K ln x x = − + 
( ) ( ) ( )
b
a
F x F b F a= −  
( )4 11 10K ln ln= × −  
2
2 ln 11 10K ln ln= + −
2 2 ln11 10K ln ln= + −
ln lnx xα
α=
Est une autre
écriture
ℝ
2 2 ln 11 10K ln ln= + −
Ou bien :



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8. u est dérivable et ne s’annule pas sur .
Car est strictement négatif
= 9 - 160 = -151, donc u toujours
du signe de a, donc positif .
Technique et méthode : Comment déterminer la primitive de f sur I
Voici une solution :
2
10 3
( )
5 3 8
x
f x
x x
−
=
− +
I = ℝ
En remarquant que le numérateur
est la dérivée du dénominateur :
Technique & Méthode:
Changement de variable
Posons :
'( ) 10 3u x x= −
Dérivons u: ( ) 1
'n n
x nx −
=
Changeons de variable, passons
de la variable x à la variable u.
f fonction de la variable u devient:
'
( )
u
f u
u
=
Schéma d’intégration en ln
Ici, nous sommes en présence
du schéma d’intégration en « ln » :
2
( ) 5 3 8F x ln x x k= − + +
Or on a vu que (5x2-3x+8) est toujours
strictement positif sur R , par conséquent
les primitives F de f sont :
( )2
( ) 5 3 8F x ln x x k= − + +
Intégrons:
Puis en revenant à la variable x, les
primitives F de f sur R, sont :
( Remarque: La
fonction Ln
est définie
pour tout u
strictement
positif ).
TECHNIQUES ET METHODES
Techniques de recherches de primitives
∆
∆
ℝ
'
( ) ( )
u
F u f u du ln u k
u
= = = +∫ ∫
'
( )
u
f u
u
=
'u
ln u k
u
= +∫2
10 3
( )
5 3 8
x
f x
x x
−
=
− +
2
( ) 5 3 8u x x x= − +
( )F u ln u k= +
ANIS
BEN
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9. Notons tout d’abord que pour tout x
de [1;4] , ( 3 / x 2 ) est positif et la fonction
exponentielle étant positive, la fonction
f est positive sur [1;4].
Remarque: Une étude plus approfondie de f
nous permettrait de prouver qu’elle est
décroissante sur cet intervalle. ( la
dérivée de f étant négative sur cet
intervalle). La calculatrice donne le
graphique ci dessus.
« TECHNIQUES ET METHODES »
calcul intégral
Soit f la fonction:
L’unité graphique est 2 cm
Déterminer l’aire ( L )
comprise entre la courbe Cf , l’axe des abscisses et
les droites d’équations x = 1 et x = 4.
Enoncé:
4)
Voici une solution :
2
2 2cm×
Une primitive de :
4
2
3
: x
f x e
x
 
 
 
→ ×
4
3
:
4
x
F x e
 
 
 
→ − ×
Sur [ 1; 4] est la fonction F, définie par:
( voir technique de recherche de
primitive page suivante )
Utilisons la propriété du cours:
4
4
21
3 x
L e d x
x
 
 
 
= ×∫
4
4
1
3
4
x
L e
 
 
 
 −
= × 
  
L’unité d’aire est:
4 4
4 13
4
L e e
   
   
   
 −
= − 
  
43
4
L e e = − 
La calculatrice donne:
.u a
4
2
3
: x
f x e
x
 
 
 
→ ×
L’aire du domaine du plan compris
entre la courbe représentative de f
l ’axe des abscisses et les droites
d’équations x = 1 et x = 4 est :
1x = 4x =
fC
La fonction f étant définie et
dérivable sur [1;4] elle est donc
continue et par conséquent
intégrable sur cet intervalle.
Remarque: Il est pratique de mettre en facteur le
coefficient (-3/4), pour aérer les calculs.
( )4 33
4 3 1
4
L e e e e = × − = − 
2
c m
2
155, 64L cm≃ à 10 -2 cm2 près.
x
y
( ) ( ) ( ) ( )
b b
aa
f x dx F x F b F a= = −  ∫
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10. 3
( )
4
u
F u e k
−
= +
3
( ) '
4
u
F u u e= − ∫
( ) 2
3 3
'
4
u x
x
−
=
Technique et méthode : Comment déterminer la primitive de f sur I
Voici une solution :
4
2
3
( ) x
f x e
x
 
 
 
= × ] [0 ;I = + ∞
Le schéma d’intégration en
exponentielle étant le suivant:
On désire obtenir une expression
de la forme (u’e u). Remarquons que la
dérivée de (4 / x) ressemble à (3 / x 2).
Technique & Méthode:
Posons :
Dérivons u:
( ) 1
'n n
x nx −
=
1
( ) 4u x x−
=
2
'( ) 4u x x−
= −
Ou bien directement en utilisant
la dérivée de ( 1 / x ):
'
2
1 1
x x
− 
= 
 
2
4
'( )u x
x
−
=
'
2 2
1 1 4
4 4
x x x
− −   
= × =   
   
u est
dérivable
sur +
*.
Pour retrouver (3/x2), multiplions u’(x) par
(-3), et divisons par (4), l’équation devient:
2
4
'( )u x
x
= −
2
3 4 3
'( )
4 4
u x
x
− − − 
= × 
 
Soit:
L’expression de f avec la variable u est:
Par linéarité
de l’intégrale:
Intégrons les deux membres de l’équation:
Utilisons le schéma d’intégration
en exponentielle:
Puis en revenant à la variable x, les
primitives F de f sur +
*. sont:
4
3
( )
4
x
F x e k
 
 
 
= − × +
( ) ( )k f x dx k f x dx× =∫ ∫
TECHNIQUES ET METHODES
Techniques de recherches de primitives
ℝ
ℝ
4
2
3
( ) x
f x e
x
 
 
 
= ×
' u u
u e e k= +∫ 3
( ) '
4
u
f u u e= − ×
3
( ) ( ) '
4
u
F u f u du u e= = − ×∫ ∫
4
( )u x
x
=
' u u
u e e k= +∫
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