SlideShare une entreprise Scribd logo
1  sur  20
Télécharger pour lire hors ligne
Transformation
  de Fourier
    Cours et exercices
           par


   Michel LECOMTE
 Ecole des Mines de Douai
        Juillet 2001
LA TRANSFORMATION DE FOURIER


   I. Introduction.


   A. Rappel sur le développement en série de Fourier


   Soit f une fonction ( ou signal) périodique de période T .
   Joseph FOURIER, mathématicien français, a¢rma, dans un mémoire daté de
1807, qu’il était possible, dans certaines conditions, de décomposer une fonction
périodique f sous la forme d’une somme in…nie de signaux sinusoïdaux : .
   Ainsi on a, dans certaines conditions ( par exemple si f est de classe C 1 par
morceaux):
                                      +1
                                      X
                      f(t) = a0 +           an cos n!t + b n sin n!t
                                      n=1

   avec
                                                   2¼
                                            T =
                                                   !
   On peut donc considérer f comme la somme
   - d’un terme constant a0
   - d’un nombre in…ni de termes sinusoïdaux appelés harmoniques.
   L’harmonique de rang n est

                          un (t) = an cos n!t + b n sin n!t

   Il peut s’écrire sous la forme

                             u n (t) = An cos(n!t ¡ ' n )

   avec
                     p                                      bn
              An =     a2 + b2
                        n    n        et      tan(' n ) =        ( si a n 6= 0)
                                                            an

   An représente l’amplitude,    2¼
                                 n!
                                      la période , 'n la phase et      n!
                                                                       2¼
                                                                            la fréquence .

   Remarque : Si on utilise les coe¢cients de Fourier complexes, on obtient alors
une décomposition :
                                             +1
                                             X
                                 f (t) =            cn ein!t
                                            n=¡1


   avec cn coe¢cient de Fourier complexe de f .En fait, on démontre que

                   jAn j
            cn =         et Arg(cn ) = ¡' n             [2¼]         (si n 2 N)
                     2




                                               1
Si on représente l’amplitude An des di¤érentes harmoniques en fonction de leurs
fréquences n! = nf0
             2¼
                            ( n pouvant varier théoriquement de ¡1 à +1 et
       !    1
f0 = 2¼ = T ), on obtient un diagramme en bâtons appelé spectre de fréquence
du signal .




               Figure 1: spectre de fréquence d’un signal périodique


   Il est souvent intéressant de caractériser un signal par son spectre de fréquence. .
En e¤et, celui-ci met en évidence l’importance du fondamental ainsi que la décrois-
sance plus ou moins rapide des amplitudes des harmoniques de rang élevé. Il peut
aussi servir à déterminer le nombre d’harmoniques nécessaires pour transmettre la
quasi totalité de l’énergie du signal ( notion de bande passante... ).

   B. Première approche de la transformée de Fourier


   Pour une fonction périodique f , on obtient une relation de la forme:

                                   +1
                                   X
                         f (t) =          cn e in!t                (1)
                                   n=¡1

    qui peut être interprétée comme la décomposition du signal f sur la famille de
          ¡     ¢
fonctions e in!t n2Z jouant un rôle analogue à celui d’une base..
    On peut écrire, pour marquer le fait que les coe¢cients de Fourier dépendent
de la fonction f :
                                        +1
                                        X                 2¼
                             f (t) =           cn (f ) ein T   t

                                       n= ¡1



                                             2
On remarquera que n a une dimension de fréquence . Lorsque n décrit l’ensemble
                          T
des entiers relatifs, n décrit un ensemble de fréquences qui dépend de T .
                      T
    Pour une fonction f qui n’est pas périodique, il est évidemment exclu
d’utiliser la relation (1)..
    On peut cependant considérer qu’une fonction qui n’est périodique est une fonc-
tion dont la période est in…nie .
    Or si T est ”très grand”, l’ensemble des fréquences n ( que l’on notera s ) est
                                                           T
un ensemble qui couvre presque toutes les fréquences possibles.
    On est passé d’une succession de fréquences à un ensemble continu de fréquences;
aussi quand il s’agit de faire la somme, il faut passer d’une somme discrète, au sens
des séries, à une somme continue, c’est-à-dire au sens du calcul intégral:
                            Z   +1
                  f (t) =            cs (f ) e2i¼ st T ds                     (2)
                               ¡1

    On peut remarquer la présence de T. On est en fait passé de la variable n à la
variable s .On a :


                                     n                              dn
                                s=             d’où          ds =
                                     T                              T
   En reprenant la dé…nition des coe¢cients de Fourier,
                                          Z    +T
                                     1          2                   n
                           cn (f ) =                    f (u) e¡2i¼ T u du
                                     T        ¡T
                                               2


   et en faisant tendre T vers +1, la relation (2) s’écrit:

                           Z   +1   µZ    +1                    ¶
                 f (t) =                       f (u) e¡ 2i¼su du e2i¼st ds
                            ¡1           ¡1



   la fonction
                                               Z   +1
                       s ! F (f )(s) =                    f (u) e¡ 2i¼su du
                                               ¡1

    représentant la transformation de Fourier et aussi ”un passage à l’espace des
fréquences”.

   La relation (2) s’écrit alors:
                                      Z   +1
                            f (t) =            F (f )(s) e¡ 2i¼st ds
                                         ¡1

   Ces considérations vont motiver les dé…nitions données au paragraphe II .




                                                    3
II. DEFINITIONS

  On note L1 (R) l’ensemble des fonctions f dé…nies de R dans R , continues par
morceaux et telles que :

                                 Z   +1
                                          jf (t)j dt   existe
                                     ¡1

Exemples
  1. La fonction f dé…nie de R dans R par:
                                                     1
                                       f (t) =
                                                   1 + t2

appartient à L1 (R) car
                       Z   +1
                                  1
                                       dt = 2 lim arctan(x) = ¼
                        ¡1      1 + t2       x!+1


    2 Par contre, la fonction g dé…nie de R dans R par g(t) = t n’appartient pas à
L1 (R) . De façon plus générale, sauf dans le cas de la fonction nulle, les fonctions
polynômes n’appartiennent pas à L1 (R).


   De…nition Soit f 2 L1 (R) , on appelle transformée de Fourier de f; la fonction

F (f ) : R ! C telle que
                                            R +1
                             F (f )(s) =     ¡1
                                                   e¡ 2i¼st f (t)dt



   Remarques:
   1. L’application F : f ! F (f ) est appelée transformation de Fourier :

    2. F (f )(s) est dé…ni par une intégrale dépendant du paramètre réel s, con-
trairement à la transformation de Laplace où le paramètre p est complexe.
    On a
                                   ¯             ¯
                           8s 2 R ¯e ¡2i¼ stf (t)¯ = jf (t)j

donc la fonction F (f ) est dé…nie et bornée sur R. On admettra que F (f ) est
continue sur R .

   3. La courbe d’équation y = jF (f )(s)j est appelée spectre de f .
   On démontre que lim jF (f )(s)j = 0
                      jsj !1




    Cas particuliers
    1. Si f est paire . On sait que eiµ = cos µ + i sin µ . Donc l’intégrale de Fourier
s’écrit :

                                 Z   +1
                   F (f )(s) =            f (t)(cos 2¼st ¡ i sin 2¼st) dt
                                  ¡1



                                               4
Or les fonctions t ! f (t) cos 2¼st et t ! f (t) sin 2¼st sont respectivement paire
et impaire Donc

                    Z   +1                                           Z   +1
                             f (t) cos 2¼st dt          =        2            f (t) cos 2¼st dt
                     ¡1                                              0
                    Z +1
               et            f (t) sin 2¼st dt          =        0
                        ¡1

   Donc
                                                                                         Z    +1
si f est paire , F(f )(s) est un nombre réel et                          F (f )(s) = 2             f (t) cos 2¼st dt
                                                                                          0



   2. Si f est impaire alors on a de la même façon :

                                                    Z       +1
                             F (f )(s) = ¡2i                     f (t) sin 2¼st dt
                                                        0



   III. EXEMPLES DE TRANSFORMEES

   1.Signal ”porte”

   La fonction ” porte” notée ¦ est dé…nie par:
                         8        £       ¤
                         < si t 2 ¡ 1 ; 1
                                     2 2      ¦(t) = 1
                                 :            £       ¤
                                       si t 2 ¡ 1 ; 1
                                            =   2 2                  ¦(t) = 0


   Comme f est paire , si s 6= 0 , on a :
                             Z       1=2
                                                                          sin 2¼st 1=2 sin ¼s
           F (¦)(s) = 2                    ¦(t) cos 2¼st dt = 2 [                 ]0 =
                                 0                                          2¼s          ¼s



   si s = 0, alors F (¦)(0) = 1 . La fonction F (¦) est donc prolongeable par
continuité en 0.
   En conclusion:
   La transformée de Fourier de la fonction ”porte” ¦ est la fonction dé…nie de R
dans R par :

                                                                 sin ¼s
                                             F (¦) : s !
                                                                   ¼s
   Cette fonction s’appelle sinus cardinal. Sa représentation graphique est donnée
…gure 3.




                                                        5
Figure 2: graphe du signal porte




    Figure 3: sinus cardinal




               6
2. Fonctions impulsions
   Ces fonctions notées ¦T sont dé…nies par :

                                  £               ¤
                            si t 2 ¡ T ;
                                     2
                                              T
                                              2         ¦T (t) =   1
                                                                   T
                                    £       ¤
                             si t 2 ¡ T ; T
                                  =   2 2                ¦T (t) = 0

   où T est un nombre strictement positif.
   En fait, on a :


                                                      1   t
                                   ¦T (t) =             ¦( )
                                                      T   T
   où ¦ est la fonction porte dé…nie ci-dessus .


   En posant u =   t
                   T
                       , on obtient facilement :

                                                       sin ¼sT
                                 F (¦T )(s) =
                                                         ¼sT



   Lorsque T ! 0 , on admettra que la fonction ¦T tend vers une limite, qui n’est
pas une fonction, et qui est appelée Distribution de Dirac et sera notée ±:

   En tenant compte de

                                             sin ¼sT
                                      lim            =1
                                      T !0     ¼ sT
   On peut comprendre le résultat suivant que l’on admettra:

                                            F (±) = 1

   à comparer au résultat obtenu avec la transformée de Laplace


                                            L(±) = 1



   La propriété
                                  Z    +1
                                             ¦T (t) dt = 1
                                      ¡1

   justi…e la représentation graphique de ± par une ”impulsion unité ”




                                                  7
impulsion unité ±


3. Fonctions exponentielles


Soit a > 0 ,

                                f : t ! e ¡ajtj

La fonction f est paire
                                   Z   +1
                     F(f)(s) = 2            e¡at cos 2¼st dt
                                   0

Une double intégration par parties conduit à :




                                            2a
                           F (f)(s) =
                                        a2 + 4¼ 2 s 2




IV. LIEN AVEC LA TRANSFORMATION DE LAPLACE

Pour f appartenant à L 1 (R), on dé…nit les fonctions f + et f ¡ telle que

            8t   <   0    f + (t) = 0           et      f ¡ (t) = 0
            8t   ¸   0    f + (t) = f(t)       et       f ¡ (t) = f(¡t)

Ci-dessous on a représenté les graphes des fonctions f , f + et f ¡ dans le cas où

                                f (t) = t3 + 1




                                        8
Figure 4:




Figure 5:




    9
Figure 6:


   Théorème 1       8s 2 R       F (f )(s) = L(f +)(2i¼s) + L(f ¡ )(¡2i¼s)


    L désigne la transformation de Laplace .
    En d’autres termes, la transformée de Fourier de f en s est égale à la somme de
la transformée de Laplace de f + en 2i¼s et de la transformée de Laplace de f ¡ en
¡2i¼s .

                             démonstration en annexe


   Cas particulier : si f est nulle pour t négatif alors f ¡ (t) = 0 et :

                              F (f )(s) = L(f +)(2i¼s)




   Exemple : Reprenons l’exemple de la fonction f de R dans R

                                     f : t ! e ¡ajtj

avec a > 0
   On a

                        8t   <   0      f + (t) = f ¡ (t) = 0
                        8t   ¸   0      f + (t) = f ¡ (t) = e¡ at




                                           10
Comme
                                                 1
                              L(e¡ at ) : p !
                                                p+a
On obtient:
                                                         1         1
    F (f ) : s ! L(f + )(2i¼ s) + L(f ¡ )(¡2i¼s) =            +
                                                      2i¼s + a ¡2i¼s + a
Finalement,
                               1         1             2a
              F (f )(s) =           +          =
                            2i¼s + a ¡2i¼s + a   4¼ 2 s2 + s2




Exercice 1:
   Déterminer la transformée de Fourier de la fonction triangle ¤ dé…nie par:

                     si t 2 [¡1; 1]         ¤(t) = 1 ¡ jtj
                     si t 2 [¡1; 1]
                          =                 ¤(t) = 0

1) Directement, en utilisant la dé…nition de la transformation de Fourier .
2) En utilisant la transformation de Laplace
On représentera d’abord ¤ graphiquement.



                             solution exercice 1




                                       11
V. Propriétés de la transformation de Fourier


    La relation établie au paragraphe précédent entre les transformées de Laplace
et de Fourier nous permet de dire que que les propriétés des opérateurs L et F sont
semblables . On admettra les propriétés suivantes:


   1. F est linéaire . En e¤et, quels que soient f , g , fonctions de L 1 (R) et ¸ et
¹ complexes:


                           F (¸f + ¹g) = ¸F (f ) + ¹F (g)

   2. Transformée d’une dérivée
   Si f est continue et si df appartient à L1 (R) alors on a :
                           dt

                                   df
                              F(      ) : s ! 2i¼s F (f )(s)
                                   dt


   3. Règle de multiplication par t
   Si la fonction t ! tf(t) appartient à L1 (R) alors on a :

                          d
                             (F (f )) : s ! ¡2i¼ F (tf (t))(s)
                          ds


   la notation ( abusive) F (tf (t)) représente la transformée de Fourier de la fonction
t ! tf (t)

   4. Image d’une translatée (formule du retard si a >0)
   Soit a un réel . On pose

                              8t 2 R       g(t) = f (t ¡ a)

    g est la translatée de f ou le signal f ”retardé” de a (si a > 0) . Pour tout réel
a ,on a :

                             F (g) : s ! e¡2i¼as F (f )(s)


   5. Translation de l’image
   Soit a un réel . On a:

                           F (e 2i¼at f (t)) : s ! F (f )(s ¡ a)

   la notation ( abusive) F (e2i¼ atf (t)) représente la transformée de Fourier de la
fonction t ! e2i¼at f (t)

   6. Changement d’échelle .Soit ! > 0 .

                                                 1        s
                             F (f (!t)) : s !      F (f )( )
                                                 !        !




                                            12
7. Produit de convolution
   Soient f et g deux fonctions de L 1(R) .
   On démontre que f ¤ g appartient à L1 (R) et que

                                   F (f ¤ g) = F (f ) ¤ F (g)

   Remarque: f ¤ g désigne le produit de convolution de f et de g :
                                  Z +1
                       f ¤ g(t) =      f (u) g(t ¡ u) du
                                          ¡1




   Exercice 2
                                                si t 2 [¡1; 1]          ¤(t) = 1 ¡ jtj
   On reprend la fonction triangle ¤ :
                                                si t 2 [¡1; 1]
                                                     =                  ¤(t) = 0

   1) Calculer la dérivée de ¤ et exprimer ¤0 (t) à l’aide de la fonction porte ¦.
   2) Appliquer à la relation obtenue l’opérateur F En déduire la transformée de
Fourier de ¤ .
   3) Véri…er que ¤ = ¦ ¤ ¦ . Retrouver alors le résultat de la question 2 .


                                    solution exercice 2




   VI. La transformée de Fourier inverse

   Dé…nition Soit f une fonction de L1 (R) . On appelle transformée de Fourier
conjuguée ( ou inverse)
   de f la fonction :
                                     Z +1
                        F (f ) : s !      e2i¼ st f (t) dt
                                               ¡1

   On admet le théorème:

   Théorème 2 Formule d’inversion
   Si f et F (f ) sont dans L1 (R) alors

                                               1
                              F (F (f )(t) =     [f (t+0) + f (t¡0]
                                               2
   où f (t + 0) et f (t ¡ 0) représentent la limite à droite et à gauche en t.
   Si f est continue en t alors

                                      F (F (f ))(t) = f (t)

   on peut écrire


                     Z   +1                                   Z   +1
       F (f )(s) =            e¡2i¼st f (t) dt () f (t) =              e2i¼ st F (f )(s) ds
                     ¡1                                       ¡1




                                                13
Remarques
   1) Ces formules nous montrent que la transformation de Fourier peut être in-
versée : il existe donc une transformation inverse qui est F que l’on pourait aussi
noter F ¡ 1

   2) Ces résultats sont particulièrement important quand on utilise l’opérateur F
pour la résolution d’équations aux dérivées partielles.

   Exemple
   On choisit f : t ! e¡ ajtj . on a vu que

                                                              2a
                                      F (f)(s) =
                                                          a2 + 4¼ 2 s 2
   Donc , comme

                                     F (F )(t) = f (t) = e¡ ajtj

   On obtient
       Z +1                                                             Z   +1
                              2a                      2a                                         1
                e2i¼ st                ds = e¡ajtj =                             e2i¼ st                ds
          ¡1              a2 + 4¼ 2 s2               4¼ 2                 ¡1
                                                                                            a2
                                                                                           4¼2   + s2

                                                       4¼ 2
   Posant u = ¡s et multipliant par                     2a
                                                              on obtient :
                                              Z   +1
                             4¼ 2 ¡ aj tj                                   1
                                 e        =              e¡ 2i¼ut    a2
                                                                                   du
                             2a                   ¡1                        + u2
                                                                    4¼2

                                                   4¼ 2
   Ce qui signi…e que la fonction t !               2a        e¡ajtj est la transformée de Fourier de la
fonction h
                                                                 1
                                        h :u !             a2
                                                          4¼ 2
                                                                 + u2

   Choisissons ® =         a
                          2¼ :   On a donc

                                      1                                         ¼ ¡2¼ ®t
                    h(u) =                        et          F (h) : t !         e
                                  ® 2 + u2                                      ®


   Si nous choisissons ® = 1, nous obtenons la transformée de Fourier de la fonction
      1
t ! 1+t2 qui est :

                                              s ! ¼ e ¡2¼ s




                                                        14
EXERCICES SUPPLEMENTAIRES

   Exercice: FOURIER 1
   La fonction ” porte” notée ¦ est dé…nie par:


                             ½          £         ¤
                                 si t 2 £ ¡ 1 ; 1 ¤
                                            2 2
                                                         ¦(t) = 1
                                 si t 2 ¡ 1 ; 1
                                      =     2 2
                                                         ¦(t) = 0

   Utiliser la transformée de Fourier de la fonction ¦ et les propriétés de l’opérateur
F pour trouver les transformées des fonctions:
                             t¡1
                    t ! ¦(       );          t ! t ¦(t) ;            t ! t2 ¦(t)
                              2


   Exercice: FOURIER 2

   Soit ® > 0 .et
                                                        2
                                         f (t) = e¡®t

   1) Véri…er que

                              f 0(t) = ¡2®t f (t)                    (1)

   2) On pose

                                        F (s) = F (f )(s)

   Montrer en appliquant F à la relation (1) que F est solution d’une équation
di¤érentielle du 1er ordre .

   3) En déduire que
                                               r
                                                    ¼ ¡ ¼2 s2
                                     F (s) =          e a
                                                    a

. On rappelle que
                                    Z   +1
                                                2            p
                                             e¡ u du =           ¼
                                        ¡1



   Exercice : FOURIER 3
   Soit
                                                 1      t2
                                   f¾ : t !     p   e¡ 2¾2
                                               ¾ 2¼

   1) Déterminer F (f¾ ) . On utilisera le résultat de l’exercice 2.

   2) Démontrer en utilisant la transformation de Fourier que :

                                    f¾ 1 ¤ f ¾2 = fp¾ 2+¾ 2
                                                         1       2


   Exercice : FOURIER 4


                                                15
Si f : t ! e¡ajtj . on a vu que

                                                            2a
                                          F (f)(s) =
                                                        a2 + 4¼ 2 s 2
    En utilisant la transformation de Fourier, trouver une solution de l’équation
intégro-di¤érentielle:
                                      Z   +1
                             y(t) +            y(t ¡ u) e¡aju j du = e¡ ajt j
                                      ¡1



      Exercice :FOURIER 5
      Soit la fonction f telle que:
                                 ½
                                           si t ¸ 0        f (t) = 0
                                           si t < 0        f (t) = et

      Soit (E) l’équation di¤érentielle:

                                  y 00 (t) + 2 y 0 (t) + y(t) = f (t)

      Déterminer, en utilisant la transformation de Fourier, la solution de (E) telle
que
                    Z   +1                          Z   +1
                              jy(t)j dt        et            jy 0 (t)j dt   existent
                        ¡1                             ¡1




                                                      16
Solution exercice 1               retour à l’énoncé

   1) Directement
   La fonction triangle ¤ est paire . Par conséquent, d’après le cours,
                            Z   +1                          Z     1
             F (¤)(s) = 2            ¤(t) cos 2¼st dt = 2             (1 ¡ t) cos 2¼st dt
                            0                                 0

   Une intégration par parties donne si s 6= 0 :

                                         1                       sin2 ¼ s
                     F (¤)(s) = 2              (1 ¡ cos(2¼st)) =
                                       4¼ 2 s2                    ¼2 s 2


   si s = 0; on a F (¤)(0) = 1. En fait, la fonction se prolonge par continuité en 0.
   2) Utilisation de la transformation de Laplace

   Avec les notations du cours :

                          8t    <      0    ¤+ (t) = ¤¡ (t) = 0
                          8t    ¸      0    ¤+ (t) = ¤¡ (t) = 1 ¡ t


   Or     F(¤)(s) = L(¤+ )(2i¼s) + L(¤¡ )(¡2i¼s)

   De plus,

                        ¤ +(t) = ¤ ¡(t) = 1 ¡ t + U (t ¡ 1) (t ¡ 1)

   avec U fonction de Heaviside ( voir cours sur le transformation de Laplace )

   Donc
                                                    1   1         1
                       L(¤+ ) = L(¤+ ) : p !          ¡ 2 + e¡p ( 2 )
                                                    p p          p

   D’où
                 1       1                 1        1       1                  1
F (¤)(s) =          ¡         + e¡2i¼ s         ¡      ¡          + e +2i¼s
               2i¼s   (2i¼s)2           (2i¼s)2   2i¼s   (¡2i¼s)2           (¡2i¼s)2


   si s 6= 0



                   1 ¡                       ¢    2                      sin2 ¼s
  F (¤)(s) =            2 ¡ e¡ 2i¼s ¡ e+ 2i¼s =         (1 ¡ cos(2¼s)) =
                 4¼ 2s2                         4¼ 2 s2                   ¼ 2 s2
   d’où si s 6= 0

                                                    sin2 ¼s
                                       F (¤)(s) =
                                                     ¼ 2 s2
   Comme à la question 1, la fonction se prolonge par continuité en 0.




                                               17
Solution exercice 2               retour à l’énoncé
   1)
                                8t     < 0          ¤0 (t) = ¡1
                                8t     < 0          ¤0 (t) = 1

                                                   £        ¤
                                            si t 2 £¡ 1 ; 1 ¤      ¦(t) = 1
   On appelle ¦ la fonction porte.                    2 2
                                            si t 2 ¡ 1 ; 1
                                                 =    2 2          ¦(t) = 0

   Par conséquent,
                                             1         1
                               ¤0 (t) = ¦(t + ) ¡ ¦(t ¡ )
                                             2         2
   2) D’après la propriété 4.de la transformation de Fourier: Image d’une translatée,
on obtient :
                                                                                           sin 2 (¼s)
 F (¤0 )(s) = e i¼ s F(¦)(s) ¡ e ¡i¼s F (¦)(s) = 2i sin(¼s) F(¦)(s) = 2i
                                                                                               ¼s
                                 s in(¼s)
   puisque que : F (¦)(s) =          ¼s

   D’après la propriété 2 , transformée d’une dérivée , on a :
                                F (¤0 )(s) = 2i¼s F (¤)(s)
   Donc ,
                                         1     sin 2 (¼s)   sin2 ¼s
                          F (¤)(s) =        2i            =
                                       2i¼s        ¼s        ¼2 s 2
   3)
                Z   +1                         Z    +1                         Z    t¡ 1
                                                     2                                 2
  ¦ ¤ ¦ (t) =            ¦(t ¡ u) ¦(u) du =              ¦(t ¡ u) du = ¡                   ¦(v) dv
                ¡1                                 ¡1
                                                    2                              t+ 1
                                                                                      2

   avec le changement de variables v = t ¡ u
   Alors
                          1    1
        8t > 1;       t¡ >           d’où      ¦ ¤ ¦ (t) = 0
                          2    2
                            1      1
        8t < ¡1;        t+ <¡            d’où      ¦ ¤ ¦ (t) = 0
                            2      2
                                      Z 1              Z 1
                                         2                2
        8t 2 [0; 1];      ¦ ¤ ¦ (t) =        ¦(v) dv =       1 dv = 1 ¡ t
                                                t¡ 1
                                                   2
                                                                     t¡ 1
                                                                        2

   De même, on démontre que
                            8t 2 [¡1; 0];        ¦ ¤ ¦ (t) = 1 + t
   Ceci prouve que
                               8t 2 R;        ¦ ¤ ¦ (t) = ¤(t)
   D’après la propriété 7 concernant la transformée d’un produit de convolution:
                                F (¦ ¤ ¦) = F (¦) £ F(¦)
   D’où
                                                             µ            ¶2
                                                         2       sin ¼s            sin2 ¼s
            F(¤)(s) = F (¦ ¤ ¦)(s) = [F (¦)(s)] =                              =
                                                                   ¼s               ¼ 2 s2
   qui est un résultat conforme à la question précédente .


                                               18
A NNEX E

   Démonstration du théorème 1 du cours :

   Théorème 1            8s 2 R                F (f )(s) = L(f +)(2i¼s) + L(f ¡ )(¡2i¼s)


   L désigne la transformation de Laplace .

   Démonstration: D’après la relation de Chasles,

               Z   +1                                 Z   0                             Z     +1
 F (f )(s) =            e¡2i¼ st f (t) dt =                        e ¡2i¼st f(t) dt +              e¡ 2i¼st f(t) dt
                   ¡1                                 ¡1                                  0




   en faisant le changement de variables u = ¡t dans la première intégrale on
obtient:
                       Z +1                      Z +1
          F (f )(s) =        e2i¼ su f (¡u) du +      e¡2i¼ st f (t) dt
                                     0                                        0
                                 Z       +1                               Z     +1
          F (f )(s)     =                     e2i¼ su f ¡ (u) du +                   e ¡2i¼s t f +(t) dt
                                     0                                      0



   Or
                                                      Z       +1
                                         L(f )(p) =                 e ¡pt f (t) dt
                                                          0



   D’où
                        Z       +1
                                     e2i¼ su f ¡ (u) du              =   L(f ¡ )(¡2i¼s)
                            0
                        Z       +1
                                     e¡2i¼ st f + (t) dt             =   L(f + )(2i¼s)
                            0

   Doù le résultat :



                            F (f )(s) = L(f + )(2i¼s) + L(f ¡ )(¡2i¼ s)



                                               retour au cours




                                                              19

Contenu connexe

Tendances

Le problème de voyageur de commerce: algorithme génétique
Le problème de voyageur de commerce: algorithme génétiqueLe problème de voyageur de commerce: algorithme génétique
Le problème de voyageur de commerce: algorithme génétique
Rima Lassoued
 
Devoirs Algorithme + correction pour 4 si
Devoirs Algorithme + correction pour 4 siDevoirs Algorithme + correction pour 4 si
Devoirs Algorithme + correction pour 4 si
Narûtö Bàl'Sèm
 
Tp DéMontage Moteur Asyn
Tp DéMontage Moteur AsynTp DéMontage Moteur Asyn
Tp DéMontage Moteur Asyn
youri59490
 
Projet sportif ligue powerpoint
Projet sportif ligue powerpointProjet sportif ligue powerpoint
Projet sportif ligue powerpoint
merlin69
 
47811458 exercices-systemes-echantillonnes
47811458 exercices-systemes-echantillonnes47811458 exercices-systemes-echantillonnes
47811458 exercices-systemes-echantillonnes
TRIKI BILEL
 

Tendances (20)

Filtrage image
Filtrage imageFiltrage image
Filtrage image
 
Traitement d'image sous Matlab
Traitement d'image sous Matlab  Traitement d'image sous Matlab
Traitement d'image sous Matlab
 
Le problème de voyageur de commerce: algorithme génétique
Le problème de voyageur de commerce: algorithme génétiqueLe problème de voyageur de commerce: algorithme génétique
Le problème de voyageur de commerce: algorithme génétique
 
Réseaux de neurones récurrents et LSTM
Réseaux de neurones récurrents et LSTMRéseaux de neurones récurrents et LSTM
Réseaux de neurones récurrents et LSTM
 
AI Apprentissage Automatique, Machine Learnig
AI Apprentissage Automatique, Machine LearnigAI Apprentissage Automatique, Machine Learnig
AI Apprentissage Automatique, Machine Learnig
 
Devoirs Algorithme + correction pour 4 si
Devoirs Algorithme + correction pour 4 siDevoirs Algorithme + correction pour 4 si
Devoirs Algorithme + correction pour 4 si
 
Analyse numérique interpolation
Analyse numérique interpolationAnalyse numérique interpolation
Analyse numérique interpolation
 
Tp DéMontage Moteur Asyn
Tp DéMontage Moteur AsynTp DéMontage Moteur Asyn
Tp DéMontage Moteur Asyn
 
Présentation intelligence artificielle et domaines d'applications - #DigitalT...
Présentation intelligence artificielle et domaines d'applications - #DigitalT...Présentation intelligence artificielle et domaines d'applications - #DigitalT...
Présentation intelligence artificielle et domaines d'applications - #DigitalT...
 
recherche operationnelle
recherche operationnelle recherche operationnelle
recherche operationnelle
 
Telemedecine au maroc
Telemedecine au marocTelemedecine au maroc
Telemedecine au maroc
 
chap3 numerisation_des_signaux
chap3 numerisation_des_signauxchap3 numerisation_des_signaux
chap3 numerisation_des_signaux
 
Projet sportif ligue powerpoint
Projet sportif ligue powerpointProjet sportif ligue powerpoint
Projet sportif ligue powerpoint
 
47811458 exercices-systemes-echantillonnes
47811458 exercices-systemes-echantillonnes47811458 exercices-systemes-echantillonnes
47811458 exercices-systemes-echantillonnes
 
chap2 outil_mathematiques
chap2 outil_mathematiqueschap2 outil_mathematiques
chap2 outil_mathematiques
 
Présentation robotique
Présentation robotiquePrésentation robotique
Présentation robotique
 
I fog sim
I fog simI fog sim
I fog sim
 
Théorie des langages - 01 - Compilation
Théorie des langages - 01 - CompilationThéorie des langages - 01 - Compilation
Théorie des langages - 01 - Compilation
 
Traitement de signal -chapitre 1
Traitement de signal -chapitre 1Traitement de signal -chapitre 1
Traitement de signal -chapitre 1
 
Ecrire un article scientifique
Ecrire un article scientifiqueEcrire un article scientifique
Ecrire un article scientifique
 

En vedette

Fiche decomposition fourier
Fiche decomposition fourierFiche decomposition fourier
Fiche decomposition fourier
Antonio Saba
 
Espace vectoriel
Espace vectorielEspace vectoriel
Espace vectoriel
lexois1
 
Application of fourier series
Application of fourier seriesApplication of fourier series
Application of fourier series
Girish Dhareshwar
 
Z terrorisme et droit maritime
  Z terrorisme et droit maritime  Z terrorisme et droit maritime
Z terrorisme et droit maritime
Rabah HELAL
 
Cours series fourier
Cours series fourierCours series fourier
Cours series fourier
Mehdi Maroun
 
CM3 - Transformée de Fourier
CM3 - Transformée de FourierCM3 - Transformée de Fourier
CM3 - Transformée de Fourier
Pierre Maréchal
 

En vedette (16)

Fourier series
Fourier seriesFourier series
Fourier series
 
Fourier series
Fourier seriesFourier series
Fourier series
 
GEII - Ma3 - Représentations de Fourier et convolution
GEII - Ma3 - Représentations de Fourier et convolutionGEII - Ma3 - Représentations de Fourier et convolution
GEII - Ma3 - Représentations de Fourier et convolution
 
Les Séries de Fourier
Les Séries de FourierLes Séries de Fourier
Les Séries de Fourier
 
Fiche decomposition fourier
Fiche decomposition fourierFiche decomposition fourier
Fiche decomposition fourier
 
2 signaux et systèmes slideshare
2 signaux et systèmes slideshare2 signaux et systèmes slideshare
2 signaux et systèmes slideshare
 
Espace vectoriel
Espace vectorielEspace vectoriel
Espace vectoriel
 
Introduction to Signal Processing Orfanidis [Solution Manual]
Introduction to Signal Processing Orfanidis [Solution Manual]Introduction to Signal Processing Orfanidis [Solution Manual]
Introduction to Signal Processing Orfanidis [Solution Manual]
 
Wave motion
Wave motionWave motion
Wave motion
 
Application of fourier series
Application of fourier seriesApplication of fourier series
Application of fourier series
 
Z terrorisme et droit maritime
  Z terrorisme et droit maritime  Z terrorisme et droit maritime
Z terrorisme et droit maritime
 
Cours series fourier
Cours series fourierCours series fourier
Cours series fourier
 
Périodiques Institut Fourier Rugbis 2014
Périodiques Institut Fourier Rugbis 2014Périodiques Institut Fourier Rugbis 2014
Périodiques Institut Fourier Rugbis 2014
 
Solved problems
Solved problemsSolved problems
Solved problems
 
CM3 - Transformée de Fourier
CM3 - Transformée de FourierCM3 - Transformée de Fourier
CM3 - Transformée de Fourier
 
Séries de Fourier
Séries de FourierSéries de Fourier
Séries de Fourier
 

Similaire à Fourier

Généralités sur les fonctions
Généralités sur les fonctionsGénéralités sur les fonctions
Généralités sur les fonctions
Ămîʼndǿ TrànCè
 
Mathématiques - Primitives particulières
Mathématiques - Primitives particulièresMathématiques - Primitives particulières
Mathématiques - Primitives particulières
Loïc Dilly
 

Similaire à Fourier (20)

Traitement de signal rappel outilmathematiques
Traitement de signal rappel outilmathematiquesTraitement de signal rappel outilmathematiques
Traitement de signal rappel outilmathematiques
 
Integrale
IntegraleIntegrale
Integrale
 
Transformationdelaplace
TransformationdelaplaceTransformationdelaplace
Transformationdelaplace
 
Polynomial Regression on Riemannian Manifolds, report, 2012
Polynomial Regression on Riemannian Manifolds, report, 2012Polynomial Regression on Riemannian Manifolds, report, 2012
Polynomial Regression on Riemannian Manifolds, report, 2012
 
Echantillonage
EchantillonageEchantillonage
Echantillonage
 
L'essentiel du programme de l'agrégation de mathématiques
L'essentiel du programme de l'agrégation de mathématiquesL'essentiel du programme de l'agrégation de mathématiques
L'essentiel du programme de l'agrégation de mathématiques
 
Chapitre2-ISS.pdf
Chapitre2-ISS.pdfChapitre2-ISS.pdf
Chapitre2-ISS.pdf
 
Cours series fourier
Cours series fourierCours series fourier
Cours series fourier
 
Cours integrale riemann
Cours integrale riemannCours integrale riemann
Cours integrale riemann
 
Analyse de Fourier ( serie de Fourier et TF)
Analyse de Fourier ( serie de Fourier et TF)Analyse de Fourier ( serie de Fourier et TF)
Analyse de Fourier ( serie de Fourier et TF)
 
Cours fourier
Cours fourier Cours fourier
Cours fourier
 
traitement de signal cours
traitement de signal cours traitement de signal cours
traitement de signal cours
 
Chapitre 2-Transformer en Z.pdf
Chapitre 2-Transformer en Z.pdfChapitre 2-Transformer en Z.pdf
Chapitre 2-Transformer en Z.pdf
 
B-Tds-Signaux_TC.pdf
B-Tds-Signaux_TC.pdfB-Tds-Signaux_TC.pdf
B-Tds-Signaux_TC.pdf
 
cours2.pdf
cours2.pdfcours2.pdf
cours2.pdf
 
Généralités sur les fonctions
Généralités sur les fonctionsGénéralités sur les fonctions
Généralités sur les fonctions
 
corr_exos.pdf
corr_exos.pdfcorr_exos.pdf
corr_exos.pdf
 
Chap2 laplace
Chap2 laplaceChap2 laplace
Chap2 laplace
 
CAPES maths 2019 composition 2
CAPES maths 2019 composition 2CAPES maths 2019 composition 2
CAPES maths 2019 composition 2
 
Mathématiques - Primitives particulières
Mathématiques - Primitives particulièresMathématiques - Primitives particulières
Mathématiques - Primitives particulières
 

Dernier

Decret-n°19-10-du-23-janvier-2019-reglementant-lexportation-des-déchets-spéci...
Decret-n°19-10-du-23-janvier-2019-reglementant-lexportation-des-déchets-spéci...Decret-n°19-10-du-23-janvier-2019-reglementant-lexportation-des-déchets-spéci...
Decret-n°19-10-du-23-janvier-2019-reglementant-lexportation-des-déchets-spéci...
zidani2
 

Dernier (12)

Système National de Santé au- Maroc-(2017)."pdf"
Système National de Santé au- Maroc-(2017)."pdf"Système National de Santé au- Maroc-(2017)."pdf"
Système National de Santé au- Maroc-(2017)."pdf"
 
Quitter la nuit. pptx
Quitter        la             nuit.   pptxQuitter        la             nuit.   pptx
Quitter la nuit. pptx
 
Fiche - Accompagnement du travail coopératif au sein d’une équipe d’enseignan...
Fiche - Accompagnement du travail coopératif au sein d’une équipe d’enseignan...Fiche - Accompagnement du travail coopératif au sein d’une équipe d’enseignan...
Fiche - Accompagnement du travail coopératif au sein d’une équipe d’enseignan...
 
Comment enseigner la langue française en Colombie?
Comment enseigner la langue française en Colombie?Comment enseigner la langue française en Colombie?
Comment enseigner la langue française en Colombie?
 
PLANNING HEBDO ET CR LYCEE COUDON 21 MAI2024
PLANNING HEBDO ET CR LYCEE COUDON 21 MAI2024PLANNING HEBDO ET CR LYCEE COUDON 21 MAI2024
PLANNING HEBDO ET CR LYCEE COUDON 21 MAI2024
 
Webinaire Technologia | DAX : nouvelles fonctions
Webinaire Technologia | DAX : nouvelles fonctionsWebinaire Technologia | DAX : nouvelles fonctions
Webinaire Technologia | DAX : nouvelles fonctions
 
Gestion des flux de trésorerie dans les entreprises
Gestion des flux de trésorerie dans les entreprisesGestion des flux de trésorerie dans les entreprises
Gestion des flux de trésorerie dans les entreprises
 
MARTYRS DE TURQUIE – une histoire de persécution chrétienne en Anatolie.pptx
MARTYRS DE TURQUIE – une histoire de persécution chrétienne en Anatolie.pptxMARTYRS DE TURQUIE – une histoire de persécution chrétienne en Anatolie.pptx
MARTYRS DE TURQUIE – une histoire de persécution chrétienne en Anatolie.pptx
 
Decret-n°19-10-du-23-janvier-2019-reglementant-lexportation-des-déchets-spéci...
Decret-n°19-10-du-23-janvier-2019-reglementant-lexportation-des-déchets-spéci...Decret-n°19-10-du-23-janvier-2019-reglementant-lexportation-des-déchets-spéci...
Decret-n°19-10-du-23-janvier-2019-reglementant-lexportation-des-déchets-spéci...
 
EL KATRY Reem: Proposition de Programme Artistique et Exposition pour les Écoles
EL KATRY Reem: Proposition de Programme Artistique et Exposition pour les ÉcolesEL KATRY Reem: Proposition de Programme Artistique et Exposition pour les Écoles
EL KATRY Reem: Proposition de Programme Artistique et Exposition pour les Écoles
 
Présentation sur les Risques Électriques et Leur Prévention en Algérie
Présentation sur les Risques Électriques et Leur Prévention en AlgériePrésentation sur les Risques Électriques et Leur Prévention en Algérie
Présentation sur les Risques Électriques et Leur Prévention en Algérie
 
Présentation Webinaire Cohésion - Concevoir et mettre en place une CMDB, comm...
Présentation Webinaire Cohésion - Concevoir et mettre en place une CMDB, comm...Présentation Webinaire Cohésion - Concevoir et mettre en place une CMDB, comm...
Présentation Webinaire Cohésion - Concevoir et mettre en place une CMDB, comm...
 

Fourier

  • 1. Transformation de Fourier Cours et exercices par Michel LECOMTE Ecole des Mines de Douai Juillet 2001
  • 2. LA TRANSFORMATION DE FOURIER I. Introduction. A. Rappel sur le développement en série de Fourier Soit f une fonction ( ou signal) périodique de période T . Joseph FOURIER, mathématicien français, a¢rma, dans un mémoire daté de 1807, qu’il était possible, dans certaines conditions, de décomposer une fonction périodique f sous la forme d’une somme in…nie de signaux sinusoïdaux : . Ainsi on a, dans certaines conditions ( par exemple si f est de classe C 1 par morceaux): +1 X f(t) = a0 + an cos n!t + b n sin n!t n=1 avec 2¼ T = ! On peut donc considérer f comme la somme - d’un terme constant a0 - d’un nombre in…ni de termes sinusoïdaux appelés harmoniques. L’harmonique de rang n est un (t) = an cos n!t + b n sin n!t Il peut s’écrire sous la forme u n (t) = An cos(n!t ¡ ' n ) avec p bn An = a2 + b2 n n et tan(' n ) = ( si a n 6= 0) an An représente l’amplitude, 2¼ n! la période , 'n la phase et n! 2¼ la fréquence . Remarque : Si on utilise les coe¢cients de Fourier complexes, on obtient alors une décomposition : +1 X f (t) = cn ein!t n=¡1 avec cn coe¢cient de Fourier complexe de f .En fait, on démontre que jAn j cn = et Arg(cn ) = ¡' n [2¼] (si n 2 N) 2 1
  • 3. Si on représente l’amplitude An des di¤érentes harmoniques en fonction de leurs fréquences n! = nf0 2¼ ( n pouvant varier théoriquement de ¡1 à +1 et ! 1 f0 = 2¼ = T ), on obtient un diagramme en bâtons appelé spectre de fréquence du signal . Figure 1: spectre de fréquence d’un signal périodique Il est souvent intéressant de caractériser un signal par son spectre de fréquence. . En e¤et, celui-ci met en évidence l’importance du fondamental ainsi que la décrois- sance plus ou moins rapide des amplitudes des harmoniques de rang élevé. Il peut aussi servir à déterminer le nombre d’harmoniques nécessaires pour transmettre la quasi totalité de l’énergie du signal ( notion de bande passante... ). B. Première approche de la transformée de Fourier Pour une fonction périodique f , on obtient une relation de la forme: +1 X f (t) = cn e in!t (1) n=¡1 qui peut être interprétée comme la décomposition du signal f sur la famille de ¡ ¢ fonctions e in!t n2Z jouant un rôle analogue à celui d’une base.. On peut écrire, pour marquer le fait que les coe¢cients de Fourier dépendent de la fonction f : +1 X 2¼ f (t) = cn (f ) ein T t n= ¡1 2
  • 4. On remarquera que n a une dimension de fréquence . Lorsque n décrit l’ensemble T des entiers relatifs, n décrit un ensemble de fréquences qui dépend de T . T Pour une fonction f qui n’est pas périodique, il est évidemment exclu d’utiliser la relation (1).. On peut cependant considérer qu’une fonction qui n’est périodique est une fonc- tion dont la période est in…nie . Or si T est ”très grand”, l’ensemble des fréquences n ( que l’on notera s ) est T un ensemble qui couvre presque toutes les fréquences possibles. On est passé d’une succession de fréquences à un ensemble continu de fréquences; aussi quand il s’agit de faire la somme, il faut passer d’une somme discrète, au sens des séries, à une somme continue, c’est-à-dire au sens du calcul intégral: Z +1 f (t) = cs (f ) e2i¼ st T ds (2) ¡1 On peut remarquer la présence de T. On est en fait passé de la variable n à la variable s .On a : n dn s= d’où ds = T T En reprenant la dé…nition des coe¢cients de Fourier, Z +T 1 2 n cn (f ) = f (u) e¡2i¼ T u du T ¡T 2 et en faisant tendre T vers +1, la relation (2) s’écrit: Z +1 µZ +1 ¶ f (t) = f (u) e¡ 2i¼su du e2i¼st ds ¡1 ¡1 la fonction Z +1 s ! F (f )(s) = f (u) e¡ 2i¼su du ¡1 représentant la transformation de Fourier et aussi ”un passage à l’espace des fréquences”. La relation (2) s’écrit alors: Z +1 f (t) = F (f )(s) e¡ 2i¼st ds ¡1 Ces considérations vont motiver les dé…nitions données au paragraphe II . 3
  • 5. II. DEFINITIONS On note L1 (R) l’ensemble des fonctions f dé…nies de R dans R , continues par morceaux et telles que : Z +1 jf (t)j dt existe ¡1 Exemples 1. La fonction f dé…nie de R dans R par: 1 f (t) = 1 + t2 appartient à L1 (R) car Z +1 1 dt = 2 lim arctan(x) = ¼ ¡1 1 + t2 x!+1 2 Par contre, la fonction g dé…nie de R dans R par g(t) = t n’appartient pas à L1 (R) . De façon plus générale, sauf dans le cas de la fonction nulle, les fonctions polynômes n’appartiennent pas à L1 (R). De…nition Soit f 2 L1 (R) , on appelle transformée de Fourier de f; la fonction F (f ) : R ! C telle que R +1 F (f )(s) = ¡1 e¡ 2i¼st f (t)dt Remarques: 1. L’application F : f ! F (f ) est appelée transformation de Fourier : 2. F (f )(s) est dé…ni par une intégrale dépendant du paramètre réel s, con- trairement à la transformation de Laplace où le paramètre p est complexe. On a ¯ ¯ 8s 2 R ¯e ¡2i¼ stf (t)¯ = jf (t)j donc la fonction F (f ) est dé…nie et bornée sur R. On admettra que F (f ) est continue sur R . 3. La courbe d’équation y = jF (f )(s)j est appelée spectre de f . On démontre que lim jF (f )(s)j = 0 jsj !1 Cas particuliers 1. Si f est paire . On sait que eiµ = cos µ + i sin µ . Donc l’intégrale de Fourier s’écrit : Z +1 F (f )(s) = f (t)(cos 2¼st ¡ i sin 2¼st) dt ¡1 4
  • 6. Or les fonctions t ! f (t) cos 2¼st et t ! f (t) sin 2¼st sont respectivement paire et impaire Donc Z +1 Z +1 f (t) cos 2¼st dt = 2 f (t) cos 2¼st dt ¡1 0 Z +1 et f (t) sin 2¼st dt = 0 ¡1 Donc Z +1 si f est paire , F(f )(s) est un nombre réel et F (f )(s) = 2 f (t) cos 2¼st dt 0 2. Si f est impaire alors on a de la même façon : Z +1 F (f )(s) = ¡2i f (t) sin 2¼st dt 0 III. EXEMPLES DE TRANSFORMEES 1.Signal ”porte” La fonction ” porte” notée ¦ est dé…nie par: 8 £ ¤ < si t 2 ¡ 1 ; 1 2 2 ¦(t) = 1 : £ ¤ si t 2 ¡ 1 ; 1 = 2 2 ¦(t) = 0 Comme f est paire , si s 6= 0 , on a : Z 1=2 sin 2¼st 1=2 sin ¼s F (¦)(s) = 2 ¦(t) cos 2¼st dt = 2 [ ]0 = 0 2¼s ¼s si s = 0, alors F (¦)(0) = 1 . La fonction F (¦) est donc prolongeable par continuité en 0. En conclusion: La transformée de Fourier de la fonction ”porte” ¦ est la fonction dé…nie de R dans R par : sin ¼s F (¦) : s ! ¼s Cette fonction s’appelle sinus cardinal. Sa représentation graphique est donnée …gure 3. 5
  • 7. Figure 2: graphe du signal porte Figure 3: sinus cardinal 6
  • 8. 2. Fonctions impulsions Ces fonctions notées ¦T sont dé…nies par : £ ¤ si t 2 ¡ T ; 2 T 2 ¦T (t) = 1 T £ ¤ si t 2 ¡ T ; T = 2 2 ¦T (t) = 0 où T est un nombre strictement positif. En fait, on a : 1 t ¦T (t) = ¦( ) T T où ¦ est la fonction porte dé…nie ci-dessus . En posant u = t T , on obtient facilement : sin ¼sT F (¦T )(s) = ¼sT Lorsque T ! 0 , on admettra que la fonction ¦T tend vers une limite, qui n’est pas une fonction, et qui est appelée Distribution de Dirac et sera notée ±: En tenant compte de sin ¼sT lim =1 T !0 ¼ sT On peut comprendre le résultat suivant que l’on admettra: F (±) = 1 à comparer au résultat obtenu avec la transformée de Laplace L(±) = 1 La propriété Z +1 ¦T (t) dt = 1 ¡1 justi…e la représentation graphique de ± par une ”impulsion unité ” 7
  • 9. impulsion unité ± 3. Fonctions exponentielles Soit a > 0 , f : t ! e ¡ajtj La fonction f est paire Z +1 F(f)(s) = 2 e¡at cos 2¼st dt 0 Une double intégration par parties conduit à : 2a F (f)(s) = a2 + 4¼ 2 s 2 IV. LIEN AVEC LA TRANSFORMATION DE LAPLACE Pour f appartenant à L 1 (R), on dé…nit les fonctions f + et f ¡ telle que 8t < 0 f + (t) = 0 et f ¡ (t) = 0 8t ¸ 0 f + (t) = f(t) et f ¡ (t) = f(¡t) Ci-dessous on a représenté les graphes des fonctions f , f + et f ¡ dans le cas où f (t) = t3 + 1 8
  • 11. Figure 6: Théorème 1 8s 2 R F (f )(s) = L(f +)(2i¼s) + L(f ¡ )(¡2i¼s) L désigne la transformation de Laplace . En d’autres termes, la transformée de Fourier de f en s est égale à la somme de la transformée de Laplace de f + en 2i¼s et de la transformée de Laplace de f ¡ en ¡2i¼s . démonstration en annexe Cas particulier : si f est nulle pour t négatif alors f ¡ (t) = 0 et : F (f )(s) = L(f +)(2i¼s) Exemple : Reprenons l’exemple de la fonction f de R dans R f : t ! e ¡ajtj avec a > 0 On a 8t < 0 f + (t) = f ¡ (t) = 0 8t ¸ 0 f + (t) = f ¡ (t) = e¡ at 10
  • 12. Comme 1 L(e¡ at ) : p ! p+a On obtient: 1 1 F (f ) : s ! L(f + )(2i¼ s) + L(f ¡ )(¡2i¼s) = + 2i¼s + a ¡2i¼s + a Finalement, 1 1 2a F (f )(s) = + = 2i¼s + a ¡2i¼s + a 4¼ 2 s2 + s2 Exercice 1: Déterminer la transformée de Fourier de la fonction triangle ¤ dé…nie par: si t 2 [¡1; 1] ¤(t) = 1 ¡ jtj si t 2 [¡1; 1] = ¤(t) = 0 1) Directement, en utilisant la dé…nition de la transformation de Fourier . 2) En utilisant la transformation de Laplace On représentera d’abord ¤ graphiquement. solution exercice 1 11
  • 13. V. Propriétés de la transformation de Fourier La relation établie au paragraphe précédent entre les transformées de Laplace et de Fourier nous permet de dire que que les propriétés des opérateurs L et F sont semblables . On admettra les propriétés suivantes: 1. F est linéaire . En e¤et, quels que soient f , g , fonctions de L 1 (R) et ¸ et ¹ complexes: F (¸f + ¹g) = ¸F (f ) + ¹F (g) 2. Transformée d’une dérivée Si f est continue et si df appartient à L1 (R) alors on a : dt df F( ) : s ! 2i¼s F (f )(s) dt 3. Règle de multiplication par t Si la fonction t ! tf(t) appartient à L1 (R) alors on a : d (F (f )) : s ! ¡2i¼ F (tf (t))(s) ds la notation ( abusive) F (tf (t)) représente la transformée de Fourier de la fonction t ! tf (t) 4. Image d’une translatée (formule du retard si a >0) Soit a un réel . On pose 8t 2 R g(t) = f (t ¡ a) g est la translatée de f ou le signal f ”retardé” de a (si a > 0) . Pour tout réel a ,on a : F (g) : s ! e¡2i¼as F (f )(s) 5. Translation de l’image Soit a un réel . On a: F (e 2i¼at f (t)) : s ! F (f )(s ¡ a) la notation ( abusive) F (e2i¼ atf (t)) représente la transformée de Fourier de la fonction t ! e2i¼at f (t) 6. Changement d’échelle .Soit ! > 0 . 1 s F (f (!t)) : s ! F (f )( ) ! ! 12
  • 14. 7. Produit de convolution Soient f et g deux fonctions de L 1(R) . On démontre que f ¤ g appartient à L1 (R) et que F (f ¤ g) = F (f ) ¤ F (g) Remarque: f ¤ g désigne le produit de convolution de f et de g : Z +1 f ¤ g(t) = f (u) g(t ¡ u) du ¡1 Exercice 2 si t 2 [¡1; 1] ¤(t) = 1 ¡ jtj On reprend la fonction triangle ¤ : si t 2 [¡1; 1] = ¤(t) = 0 1) Calculer la dérivée de ¤ et exprimer ¤0 (t) à l’aide de la fonction porte ¦. 2) Appliquer à la relation obtenue l’opérateur F En déduire la transformée de Fourier de ¤ . 3) Véri…er que ¤ = ¦ ¤ ¦ . Retrouver alors le résultat de la question 2 . solution exercice 2 VI. La transformée de Fourier inverse Dé…nition Soit f une fonction de L1 (R) . On appelle transformée de Fourier conjuguée ( ou inverse) de f la fonction : Z +1 F (f ) : s ! e2i¼ st f (t) dt ¡1 On admet le théorème: Théorème 2 Formule d’inversion Si f et F (f ) sont dans L1 (R) alors 1 F (F (f )(t) = [f (t+0) + f (t¡0] 2 où f (t + 0) et f (t ¡ 0) représentent la limite à droite et à gauche en t. Si f est continue en t alors F (F (f ))(t) = f (t) on peut écrire Z +1 Z +1 F (f )(s) = e¡2i¼st f (t) dt () f (t) = e2i¼ st F (f )(s) ds ¡1 ¡1 13
  • 15. Remarques 1) Ces formules nous montrent que la transformation de Fourier peut être in- versée : il existe donc une transformation inverse qui est F que l’on pourait aussi noter F ¡ 1 2) Ces résultats sont particulièrement important quand on utilise l’opérateur F pour la résolution d’équations aux dérivées partielles. Exemple On choisit f : t ! e¡ ajtj . on a vu que 2a F (f)(s) = a2 + 4¼ 2 s 2 Donc , comme F (F )(t) = f (t) = e¡ ajtj On obtient Z +1 Z +1 2a 2a 1 e2i¼ st ds = e¡ajtj = e2i¼ st ds ¡1 a2 + 4¼ 2 s2 4¼ 2 ¡1 a2 4¼2 + s2 4¼ 2 Posant u = ¡s et multipliant par 2a on obtient : Z +1 4¼ 2 ¡ aj tj 1 e = e¡ 2i¼ut a2 du 2a ¡1 + u2 4¼2 4¼ 2 Ce qui signi…e que la fonction t ! 2a e¡ajtj est la transformée de Fourier de la fonction h 1 h :u ! a2 4¼ 2 + u2 Choisissons ® = a 2¼ : On a donc 1 ¼ ¡2¼ ®t h(u) = et F (h) : t ! e ® 2 + u2 ® Si nous choisissons ® = 1, nous obtenons la transformée de Fourier de la fonction 1 t ! 1+t2 qui est : s ! ¼ e ¡2¼ s 14
  • 16. EXERCICES SUPPLEMENTAIRES Exercice: FOURIER 1 La fonction ” porte” notée ¦ est dé…nie par: ½ £ ¤ si t 2 £ ¡ 1 ; 1 ¤ 2 2 ¦(t) = 1 si t 2 ¡ 1 ; 1 = 2 2 ¦(t) = 0 Utiliser la transformée de Fourier de la fonction ¦ et les propriétés de l’opérateur F pour trouver les transformées des fonctions: t¡1 t ! ¦( ); t ! t ¦(t) ; t ! t2 ¦(t) 2 Exercice: FOURIER 2 Soit ® > 0 .et 2 f (t) = e¡®t 1) Véri…er que f 0(t) = ¡2®t f (t) (1) 2) On pose F (s) = F (f )(s) Montrer en appliquant F à la relation (1) que F est solution d’une équation di¤érentielle du 1er ordre . 3) En déduire que r ¼ ¡ ¼2 s2 F (s) = e a a . On rappelle que Z +1 2 p e¡ u du = ¼ ¡1 Exercice : FOURIER 3 Soit 1 t2 f¾ : t ! p e¡ 2¾2 ¾ 2¼ 1) Déterminer F (f¾ ) . On utilisera le résultat de l’exercice 2. 2) Démontrer en utilisant la transformation de Fourier que : f¾ 1 ¤ f ¾2 = fp¾ 2+¾ 2 1 2 Exercice : FOURIER 4 15
  • 17. Si f : t ! e¡ajtj . on a vu que 2a F (f)(s) = a2 + 4¼ 2 s 2 En utilisant la transformation de Fourier, trouver une solution de l’équation intégro-di¤érentielle: Z +1 y(t) + y(t ¡ u) e¡aju j du = e¡ ajt j ¡1 Exercice :FOURIER 5 Soit la fonction f telle que: ½ si t ¸ 0 f (t) = 0 si t < 0 f (t) = et Soit (E) l’équation di¤érentielle: y 00 (t) + 2 y 0 (t) + y(t) = f (t) Déterminer, en utilisant la transformation de Fourier, la solution de (E) telle que Z +1 Z +1 jy(t)j dt et jy 0 (t)j dt existent ¡1 ¡1 16
  • 18. Solution exercice 1 retour à l’énoncé 1) Directement La fonction triangle ¤ est paire . Par conséquent, d’après le cours, Z +1 Z 1 F (¤)(s) = 2 ¤(t) cos 2¼st dt = 2 (1 ¡ t) cos 2¼st dt 0 0 Une intégration par parties donne si s 6= 0 : 1 sin2 ¼ s F (¤)(s) = 2 (1 ¡ cos(2¼st)) = 4¼ 2 s2 ¼2 s 2 si s = 0; on a F (¤)(0) = 1. En fait, la fonction se prolonge par continuité en 0. 2) Utilisation de la transformation de Laplace Avec les notations du cours : 8t < 0 ¤+ (t) = ¤¡ (t) = 0 8t ¸ 0 ¤+ (t) = ¤¡ (t) = 1 ¡ t Or F(¤)(s) = L(¤+ )(2i¼s) + L(¤¡ )(¡2i¼s) De plus, ¤ +(t) = ¤ ¡(t) = 1 ¡ t + U (t ¡ 1) (t ¡ 1) avec U fonction de Heaviside ( voir cours sur le transformation de Laplace ) Donc 1 1 1 L(¤+ ) = L(¤+ ) : p ! ¡ 2 + e¡p ( 2 ) p p p D’où 1 1 1 1 1 1 F (¤)(s) = ¡ + e¡2i¼ s ¡ ¡ + e +2i¼s 2i¼s (2i¼s)2 (2i¼s)2 2i¼s (¡2i¼s)2 (¡2i¼s)2 si s 6= 0 1 ¡ ¢ 2 sin2 ¼s F (¤)(s) = 2 ¡ e¡ 2i¼s ¡ e+ 2i¼s = (1 ¡ cos(2¼s)) = 4¼ 2s2 4¼ 2 s2 ¼ 2 s2 d’où si s 6= 0 sin2 ¼s F (¤)(s) = ¼ 2 s2 Comme à la question 1, la fonction se prolonge par continuité en 0. 17
  • 19. Solution exercice 2 retour à l’énoncé 1) 8t < 0 ¤0 (t) = ¡1 8t < 0 ¤0 (t) = 1 £ ¤ si t 2 £¡ 1 ; 1 ¤ ¦(t) = 1 On appelle ¦ la fonction porte. 2 2 si t 2 ¡ 1 ; 1 = 2 2 ¦(t) = 0 Par conséquent, 1 1 ¤0 (t) = ¦(t + ) ¡ ¦(t ¡ ) 2 2 2) D’après la propriété 4.de la transformation de Fourier: Image d’une translatée, on obtient : sin 2 (¼s) F (¤0 )(s) = e i¼ s F(¦)(s) ¡ e ¡i¼s F (¦)(s) = 2i sin(¼s) F(¦)(s) = 2i ¼s s in(¼s) puisque que : F (¦)(s) = ¼s D’après la propriété 2 , transformée d’une dérivée , on a : F (¤0 )(s) = 2i¼s F (¤)(s) Donc , 1 sin 2 (¼s) sin2 ¼s F (¤)(s) = 2i = 2i¼s ¼s ¼2 s 2 3) Z +1 Z +1 Z t¡ 1 2 2 ¦ ¤ ¦ (t) = ¦(t ¡ u) ¦(u) du = ¦(t ¡ u) du = ¡ ¦(v) dv ¡1 ¡1 2 t+ 1 2 avec le changement de variables v = t ¡ u Alors 1 1 8t > 1; t¡ > d’où ¦ ¤ ¦ (t) = 0 2 2 1 1 8t < ¡1; t+ <¡ d’où ¦ ¤ ¦ (t) = 0 2 2 Z 1 Z 1 2 2 8t 2 [0; 1]; ¦ ¤ ¦ (t) = ¦(v) dv = 1 dv = 1 ¡ t t¡ 1 2 t¡ 1 2 De même, on démontre que 8t 2 [¡1; 0]; ¦ ¤ ¦ (t) = 1 + t Ceci prouve que 8t 2 R; ¦ ¤ ¦ (t) = ¤(t) D’après la propriété 7 concernant la transformée d’un produit de convolution: F (¦ ¤ ¦) = F (¦) £ F(¦) D’où µ ¶2 2 sin ¼s sin2 ¼s F(¤)(s) = F (¦ ¤ ¦)(s) = [F (¦)(s)] = = ¼s ¼ 2 s2 qui est un résultat conforme à la question précédente . 18
  • 20. A NNEX E Démonstration du théorème 1 du cours : Théorème 1 8s 2 R F (f )(s) = L(f +)(2i¼s) + L(f ¡ )(¡2i¼s) L désigne la transformation de Laplace . Démonstration: D’après la relation de Chasles, Z +1 Z 0 Z +1 F (f )(s) = e¡2i¼ st f (t) dt = e ¡2i¼st f(t) dt + e¡ 2i¼st f(t) dt ¡1 ¡1 0 en faisant le changement de variables u = ¡t dans la première intégrale on obtient: Z +1 Z +1 F (f )(s) = e2i¼ su f (¡u) du + e¡2i¼ st f (t) dt 0 0 Z +1 Z +1 F (f )(s) = e2i¼ su f ¡ (u) du + e ¡2i¼s t f +(t) dt 0 0 Or Z +1 L(f )(p) = e ¡pt f (t) dt 0 D’où Z +1 e2i¼ su f ¡ (u) du = L(f ¡ )(¡2i¼s) 0 Z +1 e¡2i¼ st f + (t) dt = L(f + )(2i¼s) 0 Doù le résultat : F (f )(s) = L(f + )(2i¼s) + L(f ¡ )(¡2i¼ s) retour au cours 19