Slides for the class 8 of the course ELE2611 (Circuits II) at Polytechnique Montreal, in French. Videos here: https://www.youtube.com/playlist?list=PLDKmox2v5e7tKNXeRBaLjCLIdv6d3X-82
1 introduction générale à l'automatique slideshareKheddioui
Ce cours est développé dans le cadre de la formation de la filière d'ingénieurs en génie des procédés et de l'environnement de la faculté des sciences et techniques de l'université Hassan II de Casablanca.
Je serai ravi d'échanger avec des collègues et étudiants pour son enrichissement.
1 introduction générale à l'automatique slideshareKheddioui
Ce cours est développé dans le cadre de la formation de la filière d'ingénieurs en génie des procédés et de l'environnement de la faculté des sciences et techniques de l'université Hassan II de Casablanca.
Je serai ravi d'échanger avec des collègues et étudiants pour son enrichissement.
This document discusses phase lead and lag compensators for digital control systems. It covers:
1. Designing a discrete-time phase lead/lag compensator by mapping the z-plane to the w-plane using bilinear transformation.
2. Defining phase lead and lag compensators based on the positions of poles and zeros in the w-domain transfer function.
3. A design approach using frequency response methods to meet a phase margin specification by determining the parameters of a first-order digital phase lead or lag compensator.
4. Examples of designing phase lead and lag compensators for different plant transfer functions to meet specifications on phase margin and steady state error.
El documento presenta varios circuitos electrónicos, incluyendo un intervalador para limpiaparabrisas, un generador de ruido blanco, y un fotovibrato. Cada circuito incluye un diagrama y una breve descripción de su funcionamiento y componentes clave.
O documento discute circuitos digitais multiplexadores e demultiplexadores. Explica como um multiplexador seleciona um sinal de entrada e o transfere para a saída e como um demultiplexador recebe um sinal multiplexado e o distribui para canais de saída. Também mostra circuitos lógicos para multiplexadores e demultiplexadores de 2 e 4 canais e como eles podem ser construídos usando blocos menores.
Machado de Assis escreve uma carta para Carolina Augusta Xavier de Novais expressando seu desejo de vê-la em breve no Rio de Janeiro. Ele discute planos para mudar seu irmão Faustino para uma nova casa na cidade e fala sobre seu amor por Carolina, dizendo que seu amor por ela é diferente dos amores de sua vida passada.
ELE2611 Classe 6 - Sensibilité, Amplificateurs opérationnels non idéauxJerome LE NY
Slides for the class 6 of ELE2611 (Circuits II) at Polytechnique Montreal - in French.
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ELE2611 Classe 2 - Compléments sur les circuits dynamiques linéairesJerome LE NY
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This document discusses phase lead and lag compensators for digital control systems. It covers:
1. Designing a discrete-time phase lead/lag compensator by mapping the z-plane to the w-plane using bilinear transformation.
2. Defining phase lead and lag compensators based on the positions of poles and zeros in the w-domain transfer function.
3. A design approach using frequency response methods to meet a phase margin specification by determining the parameters of a first-order digital phase lead or lag compensator.
4. Examples of designing phase lead and lag compensators for different plant transfer functions to meet specifications on phase margin and steady state error.
El documento presenta varios circuitos electrónicos, incluyendo un intervalador para limpiaparabrisas, un generador de ruido blanco, y un fotovibrato. Cada circuito incluye un diagrama y una breve descripción de su funcionamiento y componentes clave.
O documento discute circuitos digitais multiplexadores e demultiplexadores. Explica como um multiplexador seleciona um sinal de entrada e o transfere para a saída e como um demultiplexador recebe um sinal multiplexado e o distribui para canais de saída. Também mostra circuitos lógicos para multiplexadores e demultiplexadores de 2 e 4 canais e como eles podem ser construídos usando blocos menores.
Machado de Assis escreve uma carta para Carolina Augusta Xavier de Novais expressando seu desejo de vê-la em breve no Rio de Janeiro. Ele discute planos para mudar seu irmão Faustino para uma nova casa na cidade e fala sobre seu amor por Carolina, dizendo que seu amor por ela é diferente dos amores de sua vida passada.
ELE2611 Classe 6 - Sensibilité, Amplificateurs opérationnels non idéauxJerome LE NY
Slides for the class 6 of ELE2611 (Circuits II) at Polytechnique Montreal - in French.
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ELE2611 Classe 2 - Compléments sur les circuits dynamiques linéairesJerome LE NY
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ELE2611 Classe 7 - Circuits non-linéaires statiquesJerome LE NY
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ELE2611 Classe 3 - Filtres analogiques linéaires IJerome LE NY
Approximations rationnelles classiques, dénormalisation de fonction de transfert.
Slides for the class 3 of the course ELE2611 (Circuits II) at Polytechnique Montreal, in French. Videos here: https://www.youtube.com/playlist?list=PLDKmox2v5e7tKNXeRBaLjCLIdv6d3X-82
ELE2611 Classe 4 - Filtres analogiques linéaires IIJerome LE NY
Synthèse en cascade de filtres actifs.
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PFE Réalisation d’un onduleur monophasé autonome commandé par PIC 16F877RAMZI EL IDRISSI
Réalisé par :
EL IDRISSI Ramzi
SEMLALI Amine
AGHMADI Ahmed
Filiére :
Génie Industriel & Energies Renouvelables ( l'école supérieure de technologie de Berrechid )
Este documento describe los modelos y la toma de decisiones en las organizaciones. Explica que los modelos simplifican problemas complejos mediante la selección de variables clave y el establecimiento de relaciones entre ellas. También cubre temas como la construcción de modelos cuantitativos y cualitativos, y cómo los modelos pueden usarse para evaluar alternativas y tomar decisiones bajo condiciones de certidumbre e incertidumbre.
El dueño de una tienda tenía cachorros en venta. Un niño con una pierna discapacitada vio a un cachorro cojo y quiso comprarlo, aunque solo tenía $2.37. El dueño ofreció regalárselo pero el niño insistió en pagarlo completo a $0.50 por mes. El dueño dudó que el perro pudiera jugar como los demás pero el niño explicó que él tampoco podía correr bien y que el perro lo necesitaba. Conmovido, el dueño aceptó la venta.
El documento habla sobre asegurar y controlar la facturación de grandes consumidores. En los últimos años, más del 17% de los medidores de grandes clientes se han detenido, lo que ha reducido la facturación en un 70%. Recientemente se cambiaron 51 medidores y se aumentó la facturación en 3000 m3 en un mes. El objetivo es instalar nuevas prácticas y métodos para mejorar el proceso de mantenimiento de medidores y asegurar la correcta facturación.
En enero de 1819, las tropas patriotas chilenas al mando del general Balcarce ocuparon la ciudad de Concepción y forzaron al ejército realista a retirarse más al sur. La flota chilena liderada por Cochrane bloqueó el puerto del Callao en Perú. En junio, Rondeau reemplazó a Pueyrredón como Director y pidió ayuda a San Martín para defender Buenos Aires de una posible expedición realista. Sin embargo, en octubre surgió oposición en Chile a la expedición al Perú y se pid
ELE2611 Classe 9 - Notions d'électrotechniqueJerome LE NY
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ELE2611 Classe 5 - Filtres analogiques linéaires IIIJerome LE NY
Synthèse globale de filtres passifs et actifs.
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ELE2611 Classe 1 - Rappels et montages avec amplificateurs opérationnelsJerome LE NY
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Rénovation des prairies sans labour est-ce possible en bio.pdfidelewebmestre
Il est parfois nécessaire de rénover ses prairies lorsque la productivité ou la qualité n'est plus au rendez-vous, ou lorsque le couvert en place s'est dégradé. Le recours au labour est fréquent mais n'est pas toujours réalisable, voire souhaitable dans certains contextes (sol superficiel, caillouteux, ...) ; il peut favoriser l'érosion et modifie la structure du sol. Face à ces constats, plusieurs partenaires (Arvalis, Idele, la Blanche Maison et l'AFPF) se sont réunis dans le cadre du projet "Praigly" pour tenter de trouver des itinéraires techniques alternatifs à la destruction ou la rénovation de prairies.
Note Agro-climatique et prairies n°4 - Juin 2024idelewebmestre
Ce printemps maussade n’a pas facilité la gestion de l’herbe et cette situation perdure encore aujourd’hui. Conséquence des précipitations et des températures proches de la moyenne, la pousse de l’herbe n’a pas atteint son pic habituel, entraînant pour l’instant une perte sèche de production pour les exploitations. Mais cette humidité devrait permettre de maintenir la pousse de l’herbe sur une partie de cet été. Le plus gros des fauches a eu lieu le week-end de l’Ascension et les foins ont commencé au compte-goutte début juin. Si le rendement est satisfaisant, la qualité est rarement au rendez-vous du fait d’une végétation épiée. Quelques parcelles ne sont toujours pas portantes et certains animaux sont encore affouragés en bâtiment dans la moitié Nord. Les semis de maïs ont eux aussi été retardés et ne sont pas encore terminés sur la majorité des régions.
Alternative - Complément au Tramway et 3ème lien de la ville de Québec Daniel Bedard
An update of this presentation has been done with Slide 16 that has been updated and 17 &18 has been added, only.
Cette présentation a été ajournée avec la diapo 16 qui a été modifié et la 17 & 18 qui a été ajouté.
Voir ici
https://www.slideshare.net/slideshow/alternative-au-3eme-lien-et-complement-au-tramway-de-la-ville-de-quebec-rev-1-som-pdf/269774781
CDPQ Infra dévoile un plan de mobilité de 15 G$ sur 15 ans pour la région de Québec. Une alternative plus économique et rapide, ne serait-elle pas posssible?
- Valoriser les infrastructures ferroviaires du CN, en créant un Réseau Express Métropolitain (REM) plutôt qu'un nouveau tramway ou une combinaison des 2.
- Optimiser l'utilisation des rails pour un transport combiné des marchandises et des personnes, en accordant une priorité aux déplacements des personnes aux heures de pointes.
- Intégrer un téléphérique transrives comme 3ème lien urbain dédiés aux piétons et cyclistes avec correspondance avec le REM.
- Le 3 ème lien routier est repensé en intégrant un tunnel routier qui se prolonge avec le nouveau pont de l'Île d'Orléans et quelques réaménagemet de ses chausées.
https://www.linkedin.com/in/bedarddaniel/
English:
CDPQ Infra unveils a $15 billion, 15-year mobility plan for the Quebec region. Wouldn't a more economical and faster alternative be possible?
Leverage CN's railway infrastructure by creating a Metropolitan Express Network (REM) instead of a new tramway or a combination of both.
Optimize the use of rails for combined freight and passenger transport, giving priority to passenger travel during peak hours.
Integrate a cross-river cable car as a third urban link dedicated to pedestrians and cyclists, with connections to the REM.
Rethink the third road link by integrating a road tunnel that extends with the new Île d'Orléans bridge and some reconfiguration of its lanes.
https://www.linkedin.com/in/bedarddaniel/
Combinaison des approches génétique et de modélisation pour développer un nouveau biomarqueur non invasif de résilience basé sur les métabolites du lait, par Marie Ithurbide - INRAE
PROVINLAIT - Bâtiment et bien-être estivalidelewebmestre
Le changement climatique s’exprime de plus en plus par la manifestation d’épisodes caniculaires et par la diminution de la ressource fourragère en été, ce qui contraint les éleveurs à rentrer leur troupeau plus fréquemment. Les animaux logés en bâtiment pendant la période estivale sont exposés à un stress thermique qui peut altérer leur bien-être et leurs performances à court et moyen terme. La conception du bâtiment ou certains équipements peuvent permettre de réduire ce stress pour assurer un meilleur confort aux animaux pendant les périodes de fortes chaleurs.
Alternative - Complément au Tramway et 3 ème lien de la ville de Quebec (PDF)Daniel Bedard
CDPQ Infra unveils a $15 billion, 15-year mobility plan for the Quebec region. Wouldn't a more economical and faster alternative be possible?
English follow after french.
La Caisse Dépot Province de Québec CDPQ, dévoile un plan de mobilité de 15 G$ sur 15 ans pour la région de Québec. Une alternative plus économique et rapide, ne serait-elle pas posssible?
- Valoriser les infrastructures ferroviaires du CN, en créant un Réseau Express Métropolitain (REM) plutôt qu'un nouveau tramway ou une combinaison des 2.
- Optimiser l'utilisation des rails pour un transport combiné des marchandises et des personnes, en accordant une priorité aux déplacements des personnes aux heures de pointes.
- Intégrer un téléphérique transrives comme 3ème lien urbain dédiés aux piétons et cyclistes avec correspondance avec le REM.
- Le 3 ème lien routier est repensé en intégrant un tunnel routier qui se prolonge avec le nouveau pont de l'Île d'Orléans et quelques réaménagemet de ses chausées.
Cette présentation est la mem que la première à l'exception de la diopo 16 et 17 qui a été ajouté.
English:
- Leverage CN's railway infrastructure by creating a Metropolitan Express Network (REM) instead of a new tramway or a combination of both.
- Optimize the use of rails for combined freight and passenger transport, giving priority to passenger travel during peak hours.
- Integrate a cross-river cable car as a third urban link dedicated to pedestrians and cyclists, with connections to the REM.
- Rethink the third road link by integrating a road tunnel that extends with the new Île d'Orléans bridge and some reconfiguration of its lanes.
This as my prevoius presentation except for slide 16 &17 that have been added.
05_UMT STAR_Vers une indexation de la longévité fonctionnelle en ovin lait
ELE2611 Classe 8 - Circuits non-linéaires dynamiques, oscillateurs
1. Introduction
ELE2611 - Circuits Actifs
3 credits, heures/semaine: 4 - 0 - 5
https://moodle.polymtl.ca/course/view.php?id=1756
Cours 8 - Circuits non-lin´eaires dynamiques, oscillateurs
Instructeur: Jerome Le Ny
jerome.le-ny@polymtl.ca
Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 1/47
2. Introduction
Motivation pour ce cours
Jusqu’ici, nous avons rencontr´e seulement des circuits qui transforment
des signaux (filtres, comparateurs, etc.).
Nous avons aussi besoin de circuits qui g´en`erent des signaux avec des
caract´eristiques donn´ees (fr´equence, amplitude, forme).
Signaux d’horloge, porteuses de signal en communication, signaux de test,
signaux audio, signaux d’excitation de capteurs, etc.
Th´eoriquement, on peut g´en´erer des signaux p´eriodiques sinuso¨ıdaux avec
un circuit lin´eaire dont les pˆoles sont complexes conjugu´es sur l’axe des
imaginaires. En pratique, un oscillateur purement lin´eaire n’est pas
r´ealisable, il faut p. ex. un m´ecanisme (non-lin´eaire) de r´etroaction pour
maintenir les pˆoles exactement sur l’axe des fr´equences. En bref, tout
oscillateur n´ecessite un ´el´ement non-lin´eaire.
Nous allons analyser dans ce cours divers circuits dynamiques permettant
d’impl´ementer des fonctions utiles qui n´ecessitent des ´el´ements
non-lin´eaires, en particulier des oscillateurs.
Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 2/47
3. Introduction
Plan pour ce cours
Circuits lin´eaires par morceaux du premier ordre
Parcours dynamique
Analyse alg´ebrique
Ciruits `a r´esistance n´egative du premier ordre : multivibrateurs
Oscillateur de relaxation (non sinuso¨ıdal) ou multivibrateur astable
Flip-Flop ou multivibrateur bistable
Multivibrateur monostable (timer)
Timer 555
Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes)
Oscillateurs `a r´esistance n´egative du second ordre
Oscillateurs harmoniques `a r´etroaction
Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 3/47
4. Introduction
Circuits lin´eaires par morceaux du premier ordre
Parcours dynamique
Plan pour ce cours
Circuits lin´eaires par morceaux du premier ordre
Parcours dynamique
Analyse alg´ebrique
Ciruits `a r´esistance n´egative du premier ordre : multivibrateurs
Oscillateur de relaxation (non sinuso¨ıdal) ou multivibrateur astable
Flip-Flop ou multivibrateur bistable
Multivibrateur monostable (timer)
Timer 555
Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes)
Oscillateurs `a r´esistance n´egative du second ordre
Oscillateurs harmoniques `a r´etroaction
Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 4/47
5. Introduction
Circuits lin´eaires par morceaux du premier ordre
Parcours dynamique
Circuits non-lin´eaires du premier ordre
F(i,v)=0
i
+
-
vC
i = C
dv
dt
F(i,v)=0
i
+
-
v
circuit statique
nonlinéaire
(actif ou passif)
circuit statique
nonlinéaire
(actif ou passif)
v = L
di
dt
L
v
i
i > 0 )
dv
dt
< 0
i = 0 : ´Equilibre
i < 0 )
dv
dt
> 0
(stable ou instable)
v > 0 )
di
dt
< 0
v < 0 )
di
dt
> 0
v = 0 : ´Equilibre
(stable ou instable)
v
i
eq.
stable
eq.
instables
eq.
stables
eq. instable
Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 5/47
6. Introduction
Circuits lin´eaires par morceaux du premier ordre
Parcours dynamique
Parcours dynamique
La technique d’analyse du parcours dynamique pour ces circuits du premier
ordre repose sur les principes suivants (cf. figure de la diapositive pr´ec´edente) :
Le point (i(t), v(t)) se d´eplace n´ecessairement sur la caract´eristique
courant-tension F(i, v) = 0 du dipˆole statique au cours du temps.
Le sens de parcours est d´etermin´e par l’´equation de l’´el´ement dynamique
(condensateur ou bobine) qui donne le signe de dv
dt
ou de di
dt
.
Exemple : pour un condensateur, l’´equation dv
dt
= −i/C implique que si
(i(t0), v(t0)) est un point sur la trajectoire pour lequel i(t0) > 0, alors
n´ecessairement la trajectoire doit se d´eplacer `a ce point dans le sens des
tensions v d´ecroissantes.
Toujours pour un condensateur, si i(t0) = 0, alors dv
dt
(t0) = 0, i.e., le
syst`eme est en ´equilibre (en l’absence de perturbation, v(t) ne change
plus, i(t) reste `a 0). Pour une bobine, les ´equilibres correspondent aux
points v = 0.
Toutefois, ces ´equilibres peuvent ˆetre stables ou instables (´etudier une
petite perturbation de i). Un ´equilibre instable n’est pas observ´e en
pratique car il n’est pas robuste aux perturbations.
Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 6/47
7. Introduction
Circuits lin´eaires par morceaux du premier ordre
Parcours dynamique
Points d’impasse
i = C
dv
dt
v = L
di
dt
Condensateur + dipôle statique
F(i, v) = 0
v
i
points
d'impasse
saut
(v constant)
Bobine + dipôle statique
F(i, v) = 0
v
i
saut
(i constant)
Avec les circuits du premier ordre, l’analyse du parcours dynamique peut
nous amener `a des points d’impasse
Plus de progr`es continu n’est possible sur la caract´eristique F(i, v) = 0, en
suivant les r`egles pr´ec´edentes.
En mˆeme temps, on n’est pas `a un point d’´equilibre (i = 0 pour un
condensateur, v = 0 pour une bobine) et donc la trajectoire doit continuer
`a ´evoluer.
Cela est dˆu `a une mod´elisation insuffisante. Malgr´e tout, la solution
math´ematique, si elle est possible, est d’effectuer un saut instantan´e :
Pour un condensateur, le saut doit s’effectuer `a tension constante.
Pour une bobine, le saut doit s’effectuer `a courant constant.
Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 7/47
8. Introduction
Circuits lin´eaires par morceaux du premier ordre
Analyse alg´ebrique
Plan pour ce cours
Circuits lin´eaires par morceaux du premier ordre
Parcours dynamique
Analyse alg´ebrique
Ciruits `a r´esistance n´egative du premier ordre : multivibrateurs
Oscillateur de relaxation (non sinuso¨ıdal) ou multivibrateur astable
Flip-Flop ou multivibrateur bistable
Multivibrateur monostable (timer)
Timer 555
Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes)
Oscillateurs `a r´esistance n´egative du second ordre
Oscillateurs harmoniques `a r´etroaction
Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 8/47
9. Introduction
Circuits lin´eaires par morceaux du premier ordre
Analyse alg´ebrique
Analyse alg´ebrique des temps de parcours
Une fois le parcours dynamique d´etermin´e, on calcule les temps de
parcours sur la caract´eristique.
Cela n’est pratique analytiquement que si l’on a fait une approximation
lin´eaire par morceaux de la caract´eristique.
Pour le temps de parcours sur chaque morceau, on remplace le dipˆole
statique par une source continue + une r´esistance (n´egative ou positive),
comme discut´e au cours 7.
On r´esout ensuite pour v(t) (condensateur) ou i(t) (bobine) : solution
valide tant que l’on reste sur le mˆeme segment de la caract´eristique.
3.25 V
v (V)2.5 V
2 V
0
i (mA)
P0
P1
P2
F(i,v)=0
+
-
vC
i
R
C vs
i
+
-
v
v (V)
0
i (mA)
P0
P1
P2
F(i,v)=0
+
-
v
i
L
L isR
+
-
v
i
P3
10
I0
Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 9/47
10. Introduction
Circuits lin´eaires par morceaux du premier ordre
Analyse alg´ebrique
Rappels : ´equa. diff. lin´eaires d’ordre 1 `a coeffs. constants
Il faut savoir int´egrer ces ´equations diff´erentielles, rapidement et sans
aide : dx
dt
= αx + C, x(t0) = x0.
Solutions de forme exponentielles sauf pour α = 0.
α < 0 : syst`eme stable, solution en r´egime permanent : x(t) → −C
α
pour
t → +∞ (prendre dx/dt = 0 dans l’EDO), x(t) → ±∞ quand t → −∞.
α > 0 : syst`eme instable, solution tend vers ±∞ quand t → +∞, vers −C
α
quand t → −∞ (prendre dx/dt = 0 dans l’EDO).
α = 0 : instable (ou “marginalement stable”), x(t) = x0 + C(t − t0).
Cas α = 0. Pour C = 0 ⇒ x(t) = eα(t−t0)
x0.
Pour C = 0 constante, on se ram`ene au cas pr´ec´edent car
d
dt
x +
C
α
= α x +
C
α
⇒x(t) = x0 +
C
α
eα(t−t0)
−
C
α
En bref, la solution est de la forme M1 exp(α(t − t0)) + M2, et on ajuste
M1, M2 pour satisfaire la condition aux limites +∞ (syst`eme stable) ou −∞
(syst`eme instable), et la condition initiale.
Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 10/47
11. Introduction
Circuits lin´eaires par morceaux du premier ordre
Analyse alg´ebrique
Rappels : ´equa. diff. lin´eaires d’ordre 1 `a coeffs. constants (r´esum´e)
L’´equation
dx
dt
= αx + C, x(t0) = x0.
a pour solution
Si α = 0 :
x(t) = x0 + C(t − t0).
Si α < 0 :
x(t) = (x0 − x∞) eα(t−t0)
+ x∞, avec x∞ = −
C
α
= lim
t→∞
x(t).
Si α > 0 :
x(t) = (x0 − x−∞) eα(t−t0)
+ x−∞, avec x−∞ = −
C
α
= lim
t→−∞
x(t).
Toujours valider votre solution en v´erifiant que la condition initiale et `a ±∞
voulues sont satisfaites.
Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 11/47
12. Introduction
Circuits lin´eaires par morceaux du premier ordre
Analyse alg´ebrique
Analyse alg´ebrique, temps de parcours : cas du condensateur
3.25 V
v (V)2.5 V
2 V
0
P0
P1
P2
F(i,v)=0
-
vC
R
C vs
i
+
-
v
F(i,v)=0
-
vL
L isR
+
-
v
i
10
R = 0 : Is = C
dv
dt
(prendre une source de courant Is )
R = 0 : v = vs + Ri = vs − RC
dv
dt
,
i.e.,
dv
dt
= −
1
RC
(v − vs )
Temps ∆t = t1 − t0 pour passer de v(t0) `a v1 = v(t1) :
Cas R = 0 : ∆t = C
Is
(v1 − v0)
Cas R > 0 : v(t) = vs + (v(t0) − vs )e−(t−t0)/τ
, τ = RC > 0, v(t) → vs
quand t → +∞
∆t = τ ln
vs − v(t0)
vs − v1
Cas R < 0 : v(t) = vs + (v(t0) − vs )e(t−t0)/τ
, τ = |RC| > 0, v(t) → vs
quand t → −∞
∆t = τ ln
vs − v1
vs − v(t0)
Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 12/47
13. Introduction
Circuits lin´eaires par morceaux du premier ordre
Analyse alg´ebrique
Exemple avec un condensateur
3.25 V
v (V)2.5 V
2 V
0
i (mA)
P0
P1
P2
F(i,v)=0
+
-
vC
i
R
C vs
i
+
-
v
v (V)
0
i (mA)
P0
P1
P2
F(i,v)=0
+
-
v
i
L
L isR
+
-
v
i
P3
10
I02.5V
2V
P0
P1
t
3.25V
v
31.9 μs
v(t) = 3.25 0.75 exp
✓
t (en µs)
62.5
◆
v(t) = 2 exp
✓
t 31.9 (en µs)
100
◆
La caract´eristique F(i, v) = 0 est donn´ee ci-dessus. Pour v(0) = 2.5 V ,
C = 0.5 µF, re-d´eterminer et tracer v(t) pour t ≥ 0.
Trajectoire P0 → P1 : v(0) = 2.5V , relation v = 3.25 + R1i,
R1 = −1.25
0.01
= −125 Ω.
Trajectoire P1 → P2 : v(t1) = 2V , relation v = R2i, R2 = 2
0.01
= +200 Ω.
N.B. : si on avait un segment horizontal, on utiliserait une source de
courant.
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14. Introduction
Circuits lin´eaires par morceaux du premier ordre
Analyse alg´ebrique
Exemple avec une bobine
3.25 V
v (V)2.5 V
2 V
A)
P0
P1
v (V)
0
i (mA)
P0
P1
P2
F(i,v)=0
+
-
v
i
L
L isR
+
-
v
i
P3
I0
Pour le circuit ci-dessus, la caract´eristique du dipˆole statique (contrˆol´e en
courant) est donn´ee `a droite. En supposant i(0) = I0 A (= −iL(0)),
d´eterminer i(t) pour tout t ≥ 0 (introduisez les param`etres de la
caract´eristique dont vous aurez besoin).
N.B. : Dans ce cas (pour R = 0), on utilise le circuit de Norton ´equivalent
au dipˆole statique au lieu du circuit de Th´evenin.
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15. Introduction
Ciruits `a r´esistance n´egative du premier ordre : multivibrateurs
Oscillateur de relaxation (non sinuso¨ıdal) ou multivibrateur astable
Plan pour ce cours
Circuits lin´eaires par morceaux du premier ordre
Parcours dynamique
Analyse alg´ebrique
Ciruits `a r´esistance n´egative du premier ordre : multivibrateurs
Oscillateur de relaxation (non sinuso¨ıdal) ou multivibrateur astable
Flip-Flop ou multivibrateur bistable
Multivibrateur monostable (timer)
Timer 555
Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes)
Oscillateurs `a r´esistance n´egative du second ordre
Oscillateurs harmoniques `a r´etroaction
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16. Introduction
Ciruits `a r´esistance n´egative du premier ordre : multivibrateurs
Oscillateur de relaxation (non sinuso¨ıdal) ou multivibrateur astable
Oscillateur de relaxation (non sinuso¨ıdal)
Condensateur + r´es. n´eg. type S, ou
bobine + r´es. n´eg. type N
R´egime lin´eaire instable, transitoire si
mode initial
Tant que v0 = +Vsat , iin < 0 et vin
augmente
Quand vin atteint v+ = βVsat , la
tension d’entr´ee de l’AO s’inverse et vo
devient −Vsat
Lors du saut, vin est constant et iin
s’inverse
vin se met alors `a diminuer, jusqu’`a
atteindre `a nouveau v+ = −βVsat , et le
cycle recommence
Aussi appel´e multivibrateur astable
vin
iin
-Saturation
+
Saturation
Vsat
Vsat
pente
R1
R2Rf
1/Rf
1/Rf
=
R2
R1 + R2
Montage résistance négative type S
-
+
vin
1+
-
vo
Rf
R1
R2
iin
vo
t
+Vsat
-Vsat
C
C
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17. Introduction
Ciruits `a r´esistance n´egative du premier ordre : multivibrateurs
Oscillateur de relaxation (non sinuso¨ıdal) ou multivibrateur astable
Oscillations : solution alg´ebrique
iin
+
-
vinC
Vsat
Rf
Région +Sat
Vo=+Sat
vin = Vsat+Rf iin
vin: -β Vsat ➙ +β Vsat
iin
+
-
vinC
Vsat
Rf
Région -Sat
Vo=-Sat
vin = -Vsat+Rf iin
vin: +β Vsat ➙ -β Vsat
t
vin
t1
βVsat
-βVsat
t2
𝝉 = Rf C
vin(t2) = Vsat,
d
dt
(vin + Vsat) =
1
⌧
(vin + Vsat),
) vin(t) = Vsat
✓
1
R1 + 2R2
R1 + R2
e
t t2
⌧
◆
vin(t1) = Vsat,
d
dt
(vin Vsat) =
1
⌧
(vin Vsat),
) vin(t) = Vsat
✓
1
R1 + 2R2
R1 + R2
e
t t1
⌧
◆
Après phase transitoire, vo oscille entre
-Vsat et +Vsat, et vin entre +βVsat et -βVsat,
avec β=R2 / (R1+R2).
vo est constante par morceaux, vin est
exponentielle par morceaux.
Analyse du circuit avec les modèles linéaires
équivalents dans chaque région.
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18. Introduction
Ciruits `a r´esistance n´egative du premier ordre : multivibrateurs
Oscillateur de relaxation (non sinuso¨ıdal) ou multivibrateur astable
P´eriode des oscillations
Par symm´etrie, T = 2 × ∆t[P1→P2]
Sur le segment P1 → P2, on a
vin = Vsat + Rf iin
le circuit statique est ´equivalent `a une
source +Vsat en s´erie avec une
r´esistance Rf
D’apr`es la diapositive 12, on a
∆t[P1→P2] = (Rf C) ln
Vsat − vP1
Vsat − vP2
⇒ T = 2Rf C ln
1 + β
1 − β
T = 2Rf C ln 1 +
2R2
R1
La p´eriode se r`egle sur un instrument
en commutant entre valeurs de C et en
faisant varier R de mani`ere continue
vin
iin
- Saturation
+
Saturation
Vsat
Vsat
pente
R1
R2Rf
1/Rf
1/Rf
=
R2
R1 + R2
Vsat
Vsat
P1
P2
P3
P4
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19. Introduction
Ciruits `a r´esistance n´egative du premier ordre : multivibrateurs
Oscillateur de relaxation (non sinuso¨ıdal) ou multivibrateur astable
Formes des oscillations `a l’entr´ee
Les oscillations de vC (ou iL pour un montage avec bobine) sont presque
triangulaires si T est suffisamment petite par rapport `a τ = Rf C (ou
τ = L
Rf
), c’est-`a-dire β suffisamment petit : on exploite la quasi-lin´earit´e
du d´ebut de la courbe exponentielle
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20. Introduction
Ciruits `a r´esistance n´egative du premier ordre : multivibrateurs
Oscillateur de relaxation (non sinuso¨ıdal) ou multivibrateur astable
Un autre point de vue sur l’oscillateur de relaxation
vin
vo
Rf
C vovin
t
vin
t1
βVsat
-βVsat
t2
vo
t
+Vsat
-Vsat
VsatVsat
Vsat
Vsat
Connection en r´etroaction d’une bascule inverseuse et d’un circuit RC
vo = +Vsat ⇒ vin tend exponentiellement vers Vsat, jusqu’`a atteindre le
seul de bascule +βVsat
Alors vo = −Vsat ⇒ vin tend exponentiellement vers −Vsat, jusqu’`a
atteindre le seul de bascule −βVsat
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21. Introduction
Ciruits `a r´esistance n´egative du premier ordre : multivibrateurs
Oscillateur de relaxation (non sinuso¨ıdal) ou multivibrateur astable
G´en´eration de signaux triangulaires de meilleure qualit´e
vin
vo
vovin
vo
t
+Vsat
-Vsat
Vsat
Vsat
VthVtl
-
+
R
C
t
vin
t1
Vth
Vtl
t2
On remplace le passe-bas RC pr´ec´edent par un int´egrateur inverseur
(notez la bascule, non-inverseuse).
Analysez ce circuit. Montrez que t1 = (t2 − t1) = RC Vth−Vtl
Vsat
.
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22. Introduction
Ciruits `a r´esistance n´egative du premier ordre : multivibrateurs
Flip-Flop ou multivibrateur bistable
Plan pour ce cours
Circuits lin´eaires par morceaux du premier ordre
Parcours dynamique
Analyse alg´ebrique
Ciruits `a r´esistance n´egative du premier ordre : multivibrateurs
Oscillateur de relaxation (non sinuso¨ıdal) ou multivibrateur astable
Flip-Flop ou multivibrateur bistable
Multivibrateur monostable (timer)
Timer 555
Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes)
Oscillateurs `a r´esistance n´egative du second ordre
Oscillateurs harmoniques `a r´etroaction
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23. Introduction
Ciruits `a r´esistance n´egative du premier ordre : multivibrateurs
Flip-Flop ou multivibrateur bistable
Flip-flop
Echangeons le condensateur avec un bobine,
+ r´es. n´eg. type S (autre r´ealisation possible :
condensateur + r´esistance n´egative type N)
Pour l’instant vs ≡ 0
R´egime lin´eaire instable, transitoire si pr´esent
vs ≡ 0 ⇒ d
dt
iin = −vin
L
Pour vs = 0, suivant la condition initiale iin(0),
le circuit atteint un des deux ´equilibres stables
(et vo = ±Vsat )
Signal vs permet de changer l’´etat du circuit
d’un ´equilibre `a l’autre (prochaine diapositive)
Equilibre instable (0, 0) jamais observ´e en
pratique
Flip-flop = multivibrateur bistable
vin
iin
-Sat
+
Sat
Vsat
Vsat
pente
R1
R2Rf
1/Rf
1/Rf
=
R2
R1 + R2
Montage résistance négative type S
-
+
vin
1+
-
vo
Rf
R1
R2
iin
L
L
=
+vs(t)
=
+vs(t)
vin
+
-
iin
Equilibres
stables
Parcours dyn.
pour vs=0
-
-
Q1
Q2
+
-
vL
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24. Introduction
Ciruits `a r´esistance n´egative du premier ordre : multivibrateurs
Flip-Flop ou multivibrateur bistable
Changement d’´etat du flip-flop
iin
-Sat
+
Sat
VsatVsat
Q1
Q2
P0
P1
P2
P3
P4
v
F(iin,vin)=0 F(iin,vin+E)=0
E V
E
T
t
vs
0 t1
t2
(t = t+
1 )
(t = t+
2 )
(t = t2 )
Un signal de commutation vs permet de passer d’un ´etat `a l’autre
La bobine voit la tension vL = vs + vin
Illustration pour le passage de Q1 `a Q2. Conditions pour le changement
d’´etat : E > βVsat suffisamment grand pour que P1 soit dans le demi-plan
droit, et dur´ee d’impulsion T suffisamment longue pour passer le point P2
Pour passer de Q2 `a Q1, on donne une impulsion oppos´ee −E : translation
de la caract´eristique F(iin, vin) = 0 vers la gauche au lieu de la droite.
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25. Introduction
Ciruits `a r´esistance n´egative du premier ordre : multivibrateurs
Flip-Flop ou multivibrateur bistable
Comparaison avec une bascule de Schmitt simple
Notez qu’une bascule de Schmitt permet aussi de r´ealiser un flip-flop (et
est aussi appel´e multivibrateur bistable).
Pour la bascule de Schmitt, il y a seulement une condition sur l’amplitude
de l’impulsion `a l’entr´ee pour basculer d’un ´etat `a l’autre (vin > βVsat ou
vin < −βVsat).
Le montage pr´ec´edent ajoute une condition sur la dur´ee minimum de
l’impulsion pour effectuer le basculement. Peut permettre de filtrer des
perturbations de grande amplitude mais de courte dur´ee.
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26. Introduction
Ciruits `a r´esistance n´egative du premier ordre : multivibrateurs
Multivibrateur monostable (timer)
Plan pour ce cours
Circuits lin´eaires par morceaux du premier ordre
Parcours dynamique
Analyse alg´ebrique
Ciruits `a r´esistance n´egative du premier ordre : multivibrateurs
Oscillateur de relaxation (non sinuso¨ıdal) ou multivibrateur astable
Flip-Flop ou multivibrateur bistable
Multivibrateur monostable (timer)
Timer 555
Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes)
Oscillateurs `a r´esistance n´egative du second ordre
Oscillateurs harmoniques `a r´etroaction
Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 26/47
27. Introduction
Ciruits `a r´esistance n´egative du premier ordre : multivibrateurs
Multivibrateur monostable (timer)
Multivibrateur monostable ou g´en´erateur d’impulsion
Sur une impulsion d’entr´ee, le multivibrateur monostable passe dans un
´etat instable pendant une dur´ee bien d´etermin´ee (contrˆol´ee typiquement
par une constante RC), avant de revenir dans son ´etat stable de d´epart.
Permet d’obtenir une fonction de minuteur (timer) en r´eponse `a un
´ev´enement.
[Sedra et Smith, ch. 17]
Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 27/47
28. Introduction
Ciruits `a r´esistance n´egative du premier ordre : multivibrateurs
Timer 555
Plan pour ce cours
Circuits lin´eaires par morceaux du premier ordre
Parcours dynamique
Analyse alg´ebrique
Ciruits `a r´esistance n´egative du premier ordre : multivibrateurs
Oscillateur de relaxation (non sinuso¨ıdal) ou multivibrateur astable
Flip-Flop ou multivibrateur bistable
Multivibrateur monostable (timer)
Timer 555
Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes)
Oscillateurs `a r´esistance n´egative du second ordre
Oscillateurs harmoniques `a r´etroaction
Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 28/47
29. Introduction
Ciruits `a r´esistance n´egative du premier ordre : multivibrateurs
Timer 555
Timer 555
http://en.wikipedia.org/wiki/555_timer_IC
Invent´e en 1971 par Hans Camenzind (Signetics, rachet´e par Philips
Semiconductors, maintenant NXP). Un des circuits int´egr´es les plus
r´epandus, > 1 milliards d’unit´es produites chaque ann´ee.
3 modes d’op´eration suivant le circuit externe utilis´e :
astable (oscillateur)
bistable (flip-flop)
monostable (one-shot pulse generator)
Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 29/47
30. Introduction
Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes)
Plan pour ce cours
Circuits lin´eaires par morceaux du premier ordre
Parcours dynamique
Analyse alg´ebrique
Ciruits `a r´esistance n´egative du premier ordre : multivibrateurs
Oscillateur de relaxation (non sinuso¨ıdal) ou multivibrateur astable
Flip-Flop ou multivibrateur bistable
Multivibrateur monostable (timer)
Timer 555
Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes)
Oscillateurs `a r´esistance n´egative du second ordre
Oscillateurs harmoniques `a r´etroaction
Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 30/47
31. Introduction
Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes)
Approches pour la g´en´eration de signaux sinuso¨ıdaux
Les signaux sinuso¨ıdaux sont probablement les plus importants et les plus
fr´equemment utilis´es en ´electronique.
Souvent (audio, comms), on a besoin de g´en´erer des sinuso¨ıdes les plus
pures possibles (c’est-`a-dire, le contenu fr´equentiel du signal ne contient
quasiment qu’une fr´equence). Puret´e mesur´ee par le THD (Total
Harmonic Distortion, ou taux de distortion harmonique), id´ealement 0.
3 approches principales pour la g´en´eration de sinuso¨ıdes
Mise en forme d’un signal triangulaire par quadripˆole statique non-lin´eaire.
Cf. cours 7. Le signal triangulaire peut ˆetre g´en´er´e par un oscillateur de
relaxation. Approche simple et couramment utilis´ee, mais THD ´elev´e.
Oscillateurs `a r´etroaction (quelquefois appel´es “oscillateurs lin´eaires”). Les
plus courants pour un bon THD. Boucle de r´etroaction maintenue `a la
limite de la stabilit´e par un limiteur d’amplitude (composant non-lin´eaire).
Oscillateurs harmoniques `a r´esistance n´egative. Ajout d’un second
composant dynamique aux oscillateurs de relaxation. Plutˆot utilis´es aux
hautes fr´equences (RF) lorsque les oscillateurs `a r´etroaction ne
fonctionnent plus bien. Impl´ementations `a base de transistors plutˆot
qu’avec des AO comme ici, mais principes de fonctionnement identiques.
Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 31/47
32. Introduction
Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes)
Oscillateurs `a r´esistance n´egative du second ordre
Plan pour ce cours
Circuits lin´eaires par morceaux du premier ordre
Parcours dynamique
Analyse alg´ebrique
Ciruits `a r´esistance n´egative du premier ordre : multivibrateurs
Oscillateur de relaxation (non sinuso¨ıdal) ou multivibrateur astable
Flip-Flop ou multivibrateur bistable
Multivibrateur monostable (timer)
Timer 555
Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes)
Oscillateurs `a r´esistance n´egative du second ordre
Oscillateurs harmoniques `a r´etroaction
Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 32/47
33. Introduction
Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes)
Oscillateurs `a r´esistance n´egative du second ordre
Perturbation de l’oscillateur de relaxation
-
+
vin
1+
-
vo
Rf
R1
R2
iin
C
L
+
-
vin
1+
-
vo
Rf
R1
R2
iin
LC
t t
T = 2Rf C ln
✓
1 + 2
R2
R1
◆
T = 2
L
Rf
ln
✓
1 + 2
R1
R2
◆
+
-
vc
iL
osc. de rel. pr´ec´edents → ondes carr´ees pour vo, ondes ∼ dents de scie ou
triangulaires pour vc ou iL suivant le cas et valeur de τ.
Saut dans le parcours dynamique peut en fait s’expliquer comme la limite
d’un meilleur mod`ele avec un deuxi`eme ´el´ement dynamique formant un
circuit LC.
Pour d´eterminer si l’´el´ement parasite est en s´erie ou parall`ele, le faire
tendre vers 0. On doit alors retrouver les montages pr´ec´edents. Ex : L en
parall`ele de C pour le montage de gauche ci-dessus court-circuiterait C
quand L → 0.
Si le L ou C additionnel est plus grand, on peut en fait g´en´erer des ondes
`a peu pr`es sinuso¨ıdales pour vC ou iL.
Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 33/47
34. Introduction
Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes)
Oscillateurs `a r´esistance n´egative du second ordre
Exemple
Les oscillateurs harmoniques `a r´esistance n´egative emploient un circuit
r´esonnant connect´e `a un circuit montrant une r´esistance n´egative et
fournissant de l’´energie.
Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 34/47
35. Introduction
Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes)
Oscillateurs `a r´esistance n´egative du second ordre
Analyse de l’osc. harmonique `a r´esistance n´egative
L’analyse math´ematique rigoureuse de l’oscillateur harmonique `a
r´esistance n´egative n’est pas particuli`erement facile. On ne donnera que
quelques id´ees qui peuvent guider la conception.
On voit sur la simulation pr´ec´edente qu’initialement l’AO travaille dans
son r´egime lin´eaire.
Dans ce mode, la partie statique (AO, R1, R2, Rf ) du circuit se comporte
comme une r´esistance n´egative RN = −Rf
R2
R1
. On a alors
|RN |C
L r
bobine (avec r parasite)
Si RN + r ≤ 0, i.e., Rf ≥ R1
R2
r, alors le circuit RLC ci-dessus est instable
(Q < 0, polynˆome du 2nd degr´e avec changement de signe, montrer qu’il
y a un pˆole `a droite), ce qui permet initialement de faire grandir les
oscillations spontan´ement `a partir d’un bruit quelconque (il faut aussi
|Q| > 1/
√
2 pour avoir des oscillations).
Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 35/47
36. Introduction
Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes)
Oscillateurs `a r´esistance n´egative du second ordre
Analyse de l’osc. harmonique `a r´es. n´egative (cont.)
Les oscillations vont finir par arrˆeter de grandir, parce que le montage de
r´es. n´eg. ne fournit plus assez d’´energie (remarquer que viniin devient > 0,
passif, pour |vin| ou |iin| grands).
Une fois les oscillations ´etablies `a vo, on peut voir le montage comme un
circuit RLC qui filtre ce signal vo, pour tenter de ne conserver qu’une
harmonique.
C
L r
bobine
=
+
Rf
vo
La fr´equence de l’oscillation ∼ sinuso¨ıdale vC est alors ∼ ω0 = 1√
LC
.
La puret´e de la sinuso¨ıde aux bornes de C est li´ee au facteur de qualit´e
Q = 1
Rf
L
C
. Une bonne sinuso¨ıde demande donc Rf faible. Mais Rf trop
faible tuerai les oscillations en pratique car on doit respecter Rf ≥ R1
R2
r.
Autre point de vue : il ne faut pas prendre RN trop grand, sinon le circuit
est initialement trop instable et on n’obtiendra pas un signal sinuso¨ıdal.
On peut aussi prendre L
C
1 mais C et surtout L sont des param`etres
moins flexibles, en particulier avec ω0 sp´ecifi´e.
Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 36/47
37. Introduction
Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes)
Oscillateurs `a r´esistance n´egative du second ordre
Analyse de l’osc. harmonique `a r´es. n´egative II
“L’analyse” pr´ec´edente peut ˆetre une source d’intuition pour guider le
choix des composants.
Analyse math´ematique :
´Equations du circuit L, C s´erie + r´es. n´eg. type S (vin = f (iin)). Puisque
vin = f (iin) = −Ldiin
dt
+ vc , en d´enotant i = iin, on obtient
di
dt
=
vc
L
−
1
L
f (i),
dvc
dt
= −
i
C
0
Vsat
Vsat
RfRf
Rf
R2
R1
(1 )Vsat
Rf
(1 )Vsat
Rf
i
f(i)
=
R2
R1 + R2
Vsat+
R
fi
V
sat+
R
fi
Vsat
Rf
Vsat
Rf
Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 37/47
38. Introduction
Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes)
Oscillateurs `a r´esistance n´egative du second ordre
Analyse de l’osc. harmonique `a r´es. n´egative II
Dans la r´egion autour de i = 0, f (i) = −Rf
R2
R1
i = −RN i donc
di
dt
=
Rf R2
LR1
i +
vc
L
,
dvc
dt
= −
i
C
⇒
d2
i
dt2
=
RN
L
di
dt
+
1
L
−i
C
, i.e.,
d2
i
dt2
−
RN
L
di
dt
+
1
LC
i = 0
Equation caract´eristique : X2
− RN
L
X + ω2
0 = 0, ω2
0 = 1
LC
, changement de
signe ⇒ au moins une solution instable.
Coefficient d’amortissement : ζ = −1
2
C
L
RN . On a des oscillations (pˆoles
complexes) pour |ζ| < 1, i.e., RN < 2 L/C.
Ces oscillations sont croissantes i(t) ∝ eαt
cos(ωd t + φ), avec α = RN
2L
,
ωd = ω0 1 − ζ2
vc = v(0) −
t
0
i(τ)
C
dτ est aussi oscillant et croissant
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39. Introduction
Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes)
Oscillateurs `a r´esistance n´egative du second ordre
Analyse de l’osc. harmonique `a r´es. n´egative II
Au bout d’un certain temps, i sort de la r´egion ou f (i) = −RN i, puis sort
de la r´egion active ou i × f (i) < 0 (i.e., |i| > vsat /Rf ). Hors de cette
r´egion, le dipˆole non lin´eaire est passif et cesse donc de fournir de
l’´energie.
Ce m´ecanisme limite l’amplitude des oscillations, qui se stabilisent
finalement `a une valeur ind´ependente des conditions initiales. La
d´etermination analytique de cette amplitude exacte n’est pas simple.
L’´etude compl`ete du syst`eme `a 2 ´equations diff´erentielles peut se visualiser
par son portrait de phase, qui pr´esente un cycle limite.
Distortion de la sinuso¨ıde li´ee `a la forme du cycle limite.
Des analyses similaires peuvent ˆetre faites pour L C connect´e `a une
r´esistance n´egative de type N. Le circuit RLC consid´er´e pour la r´esonance
et le filtrage de vo est alors un RLC parall`ele.
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40. Introduction
Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes)
Oscillateurs `a r´esistance n´egative du second ordre
Portrait de phase pour un oscillateur harmonique
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41. Introduction
Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes)
Oscillateurs harmoniques `a r´etroaction
Plan pour ce cours
Circuits lin´eaires par morceaux du premier ordre
Parcours dynamique
Analyse alg´ebrique
Ciruits `a r´esistance n´egative du premier ordre : multivibrateurs
Oscillateur de relaxation (non sinuso¨ıdal) ou multivibrateur astable
Flip-Flop ou multivibrateur bistable
Multivibrateur monostable (timer)
Timer 555
Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes)
Oscillateurs `a r´esistance n´egative du second ordre
Oscillateurs harmoniques `a r´etroaction
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42. Introduction
Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes)
Oscillateurs harmoniques `a r´etroaction
Oscillateurs harmoniques `a r´etroaction
Aux fr´equences mod´er´ees ( 500 MHz), les oscillateurs harmoniques `a
r´etroaction (feedback oscillators) sont les plus r´epandus. Ceux-cis peuvent
employer des AO + circuits RC jusqu’aux fr´equences de l’ordre de 1 MHz.
Au-del`a, on utilisera des transistors + circuits LC ou crystaux.
Ces oscillateurs sont form´es d’une boucle de r´etroaction positive, avec A
un amplificateur (dont on contrˆole pr´ecis´emment le gain) et H(s) un filtre
s´electionnant la fr´equence des oscillations.
A
y
H(s)
+
+
u
u: bruit ou perturbation
t
Y (s) = A(U(s) + H(s)Y (s))
Y (s) =
A
1 AH(s)
U(s)
1 AH(s0) = 0 pour s0 ⇡ +✏ ± j!0
On d´emarre les oscillations avec un bruit quelconque excitant un circuit
instable dont les pˆoles sont complexes conjugu´es avec partie imaginaire
proche de la pulsation ω0 d´esir´ee
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43. Introduction
Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes)
Oscillateurs harmoniques `a r´etroaction
Oscillateurs harmoniques `a r´etroaction : stabilisation d’amplitude
D´emarrage des oscillations
A
y
H(s)
+
+
u
u: bruit ou perturbation
t
Y (s) = A(U(s) + H(s)Y (s))
Y (s) =
A
1 AH(s)
U(s)
1 AH(s0) = 0 pour s0 ⇡ +✏ ± j!0
Intuition par l’analyse lin´eaire : une fois l’amplitude des oscillations
suffisamment grande, un m´ecanisme non-lin´eaire de contrˆole de gain r´eduit
le gain A `a la valeur A0 permettant de ramener les pˆoles exactement `a
±jω0. Si les oscillations d´ecroissent, ce m´ecanisme augmente de nouveau
le gain. La condition (n´ecessaire) sur A0 et H(jω0) pour avoir des
oscillations `a ω0 est le crit`ere de Barkhausen
A0H(jω0) = 1
et en particulier si A0 ∈ R, il faut ∠H(jω0) = 0.
N.B. : pour analyser ces oscillateurs math´ematiquement rigoureusement
dans le r´egime o`u les oscillations sont ´etablies (cycle limite), il faudait
encore ´etudier le syst`eme non-lin´eaire avec le contrˆole de gain.
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44. Introduction
Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes)
Oscillateurs harmoniques `a r´etroaction
Exemple : oscillateur `a pont de Wien
R
R
C
C
-
+
v0
va
R1
R2
filtre passe-bande
H(s) =
Va(s)
Vo(s)
gain A
Montage montr´e ici sans son m´ecanisme de
limitation d’amplitude
H(s) =
Zp
Zp + Zs
=
1
1 + Zs Yp
H(s) =
1
1 + (R + 1/Cs)(Cs + 1/R)
H(s) =
RCs
(RCs)2 + 3RCs + 1
ω0 =
1
RC
, H(jω0) =
1
3
(∠H(jω0) = 0)
Pour avoir des oscillations `a ω0, il faut
A0 = 3 = 1 +
R2
R1
.
Equation caract´eristique : 1 − AH(s) = 0 ⇔ (RC)2
s2
+ (3 − A)RCs + 1 = 0
Racines `a droite pour A > 3, s0 = ±jω0 pour A = 3 et `a gauche pour A < 3.
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45. Introduction
Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes)
Oscillateurs harmoniques `a r´etroaction
Oscillateur `a pont de Wien : exemple de stabilisation d’amplitude 1
R4
158k
C1
1n
C2
1n
R5
158k
R1
10k
R2
22.1k
R3
100k
D1
{myD}
D2
{myD}V1
5
U1
LTC1050
V2
-5
out
out2
V+-V
V+
V-
.lib opamp.sub
.model myD D(Ron=0.1 Roff=1G Vfwd=0.7)
.tran 5us 30ms 0ms 5us UIC
Initialement, pas de courant dans R3 → Amplificateur non-inverseur :
A = 1 + 22.1
10
= 3.21.
Quand l’amplitude de vout est suffisante, les diodes commence `a ˆetre
passantes, le gain commence `a diminuer vers A = 1 + 22.1 100
10
= 2.8,
jusqu’`a la stabilisation des oscillations.
La taille des oscillations d´epend des tensions de seuil des diodes, et des
valeurs des r´esistances de l’amplificateur.
On peut aussi prendre la sortie `a out2, plus pure car filtr´ee, mais n´ecessite
un buffer si on a une charge.
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46. Introduction
Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes)
Oscillateurs harmoniques `a r´etroaction
Oscillateur `a pont de Wien : exemple de stabilisation d’amplitude 2
R4
158k
C1
1n
C2
1n
R5
158k
R1
10k
R2
20.3k
R3
1k
D1
{myD}
D2
{myD}5
V1
U1
LTC1050
-5
V2
R6
3k
R7
1k
R8
3k
V3
5
V4
5
V+-V
V+
V-
out
a
b
.lib opamp.sub
.model myD D(Ron=0.1 Roff=1G Vfwd=0.0)
.tran 5us 100ms 0ms 5us UIC
b
a
Ajout d’un limiteur d’amplitude en sortie (cf. cours 7).
N´ecessit´e de d´emarrer les oscillations lentement (prendre R2 par trop
´elev´ee) pour limiter la distortion introduite par le limiteur
Taille des oscillations : r´esoudre pour vout,max avec les ´equations
vout −vb ≈
vb + 5
3
(n´egliger courant dans D1), vb = v− +Vs,D1 , v− ≈ vout /3
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47. Introduction
Oscillateurs harmoniques (g´en´erateurs de sinuso¨ıdes)
Oscillateurs harmoniques `a r´etroaction
Conclusion
Voici un bref r´ecapitulatif de ce cours
Etude des circuits dynamiques du premier ordre :
Commencer par analyser le parcours dynamique, y compris la pr´esence et
nature des points d’´equilibres.
Les trajectoires sur un parcours lin´eaire par morceaux se calculent en
r´esolvant des ´equations diff´erentielles lin´eaires du premier ordre `a
coefficients constants.
Oscillateurs de relaxation : r´ealisable avec un circuit d’ordre 1 et une
r´esistance n´egative, en l’absence d’´equilibre stable sur le parcours
dynamique.
Flip-flop : r´ealisable avec un circuit d’ordre 1 et une r´esistance n´egative, en
pr´esence de deux ´equilibres stables sur le parcours dynamique (ou, plus
simple, par une bascule de Schmitt).
Oscillateurs harmoniques : n´ecessitent des circuits d’ordre 2. On peut faire
une ´etude locale pour le d´emarrage des oscillations et obtenir de l’intuition
avec l’analyse lin´eaire, mais l’analyse rigoureuse des oscillations en r´egime
permanent (cycle limite) n´ecessite une analyse non-lin´eaire.
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