Le document traite des quadripôles en électronique, avec un accent sur la transmittance complexe, le gain et le déphasage. Il aborde également des applications pratiques comme les circuits RC et les diagrammes de Bode pour visualiser les performances de ces circuits. Enfin, il décrit différents types de filtres, notamment les filtres passe-bas d'ordre 1 et d'ordre 2.

1. Transmittance complexe
Fonction de transfert
Enseignement d’électronique de Première Année
IUT de l’Indre
Eric PERONNIN

2. www.geii.eu 2
Quadripôles
Définition
 Circuit électrique possédant deux bornes d’entrée et deux
bornes de sortie.
 Il est dit linéaire s’il ne comporte que des éléments linéaires.
 Il est dit passif s’il ne comporte que des composants passifs
(résistance, inductance, capacité).
Représentation
V1 et I1 sont aussi notés Ve et Ie (idem (V2,I2) <=> (Vs,Is) )
2
QV
I I
2V
2
1
Quadripôle
1

3. www.geii.eu 3
Transmittance complexe
Définition
 C’est le rapport, en notation complexe, qui existe entre la
tension en sortie du quadripôle et la tension en entrée de ce
quadripôle.
 Mathématiquement :
 Note :
 ce calcul s’effectue en régime harmonique donc en utilisant
les impédances complexes des éléments du circuit
– pour une inductance :
– pour une capacité :
3
1 QV
2
Quadripôle
V

4. www.geii.eu 4
Gain et déphasage
Gain
 Il exprime le rapport de l’amplitude du signal de sortie sur
l’amplitude du signal d’entrée en décibel (dB)
Déphasage
 Il exprime le décalage angulaire (en degré ou radian) sur un
diagramme de Fresnel entre les signaux d’entrée et de sortie
4

5. www.geii.eu 5
Diagramme de Bode
Définition :
 C’est la représentation graphique de G(w) et de j(w) sur un
diagramme semi-logarithmique :
5
GainendBoudépahasage(degréouradian)
Fréquence en Hz ou pulsation en rad/s
1 décade

6. www.geii.eu 6
1 2V V
R
C
I
Application : circuit RC
Transmittance complexe :
 Calcul de T(jw) :
 loi des mailles : et loi d’Ohm :
 élimination de I :
 finalement :
– où est la pulsation de coupure du circuit
– on note également la constante de temps du circuit .
6

7. www.geii.eu 7
   
    2
0
2
00
0
1log
2
1
201log2001log201log.20
1
1
log20log20
wwwwww
ww
ww




 


j
j
jTG
1 2V V
R
C
I
Application : circuit RC
Gain et déphasage :
 Rappel :
 Gain :
– soit :
 Déphasage :
– soit :
7
 
RC
où
j
jT
1
1
1
0
0


 w
ww
w
    
     0
1
0
0
tan01arg1arg
1
1
argarg
wwww
ww
wwj










j
j
jT
   0
1
tan wwwj 

    2
01log10 www G

8. www.geii.eu 8
-45
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
-100
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10 100 1000 10000 100000
Gain(dB)-Déphasage(degré)
Fréquence
Gain asymptotique
Gain
réelDéphasage
réel
Déphasage
asymptotique
Application : circuit RC
Diagramme de Bode :
8

9. www.geii.eu 9
  





















0
2
0
log201log10
w
w
w
w
wjT
Diagramme asymptotique
Justification du diagramme de Bode asymptotique :
 Soit :  le repère (X,Y) est alors un repère
cartésien ou X numérote les décades et
Y représente le gain.
 Cas de l’amplitude pour :
 L’atténuation étant faible, on l’assimile à une constante
égale au gain en 0, ici 0 dB, d’où une asymptote
horizontale à Y=0 pour
 Cas de l’amplitude pour 
 soit
 c’est une droite passant par Y=0dB en w =w0 et possédant
une pente de -20dB par décade = asymptote oblique.
9
 
 




w
w
GY
X log
0ww 
0ww 
0ww 0ww 
02020 XXY 

10. www.geii.eu 10
Transmittance complexe généralisée
Sous une forme factorisée, elle s’écrit :
– les w1i et w2i sont les pulsations de coupure des termes du premier ordre
– les w3i et w3i sont les pulsations naturelles des termes du second ordre
– les m3i et m4i sont les coefficients d’amortissement des termes du second ordre
– K est un gain (dit « gain statique » lorsque u = 0)
10
   






















































4
3
2
1
1
2
44
4
1
2
33
3
1 2
1 1
21
21
1
1
n
i ii
i
n
i ii
i
n
i i
n
i iu
jj
m
jj
m
j
j
jKjT
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
ww

11. www.geii.eu 11
Gain
Gain
 Note : si alors et si alors
Déphasage
Diagramme de Bode
11
  KjT w
 
 
 





0log20
0log20
log20
KsiK
KsiK
KG w
1K 1K   0wG  0wG
   






0
00
arg
Ksi
Ksi
K

wj
0dB w0 w
 wG
1K
1K
0 w0 w
 wj
0K
0K
-

12. www.geii.eu 12
Dérivateur
Gain
 Note :
 Déphasage
Diagramme de Bode
12
  






00
log20log20
w
w
w
w
w
j
G
  00 wG
 
2
arg
0

w
w
wj 






j
0dB w0/10 w0 10w0 w
 wG  wj
/2
-20dB
20dB
0 w0/10 w0 10w0 w
 
0w
w
w
j
jT 

13. www.geii.eu 13
Dérivateur
Justification du diagramme de Bode
 Soit :
 Le repère (X,Y) est alors un repère cartésien ou X numérote
les décades et Y représente le gain
 Dans ce repère cartésien, l’équation du gain s’écrit :
» où X0 correspond avec w0
 C’est une droite qui passe par Y=0dB en w = w0 avec une
pente de +20dB par décade (Y augmente de 20dB pour un
accroissement unitaire de X ce qui représente 1 décade)
13
 
 




w
w
GY
X log
02020 XXY 
 
0w
w
w
j
jT 

14. www.geii.eu 14
Filtre passe-bas d’ordre 1  
01
1
ww
w
j
jT


Transmittance complexe du passe-bas
Gain
Déphasage
Diagramme de Bode
14
 

















2
0
0
1log10
1
1
log20
w
w
w
w
w
j
G
  dBG 30 w
  











 
0
1
0
tan1arg
w
w
w
w
wj
j
  dBG 00 
 
4
0

wj 
0dB w0/10 w0 10w0 w
 wG  wj
/2
-20dB -20dB
0 w0/10 w0 10w0 w
coupuredepulsationoù 0w

15. www.geii.eu 15
Filtre passe-bas d’ordre 1
Réponse temporelle à 1 échelon de tension :
 Définition de Ve :
 Obtention de l’équation temporelle à partir de la transmittance
complexe :
 Multiplier par revient à dériver par rapport au temps :
 On retrouve une équation différentielle du premier ordre et
donc :
15
 
 




0
00
tcEtV
ttV
te
e
e
 
  e
s
ses
e
s
V
V
jVV
j
V
jjV
jV









000
1
1
1
w
w
w
w
www
w
      Etv
dt
tdv
tvV
V
jV e
s
se
s
s 
00
1
ww
w
   t
s eEtv 
 0
1 w
wj

16. www.geii.eu 16
Filtre passe-bas d’ordre 1
 En vert, l’entrée avec E = 5v
 En rouge, le signal de sortie (constante de temps = 1s)
16

17. www.geii.eu
VsVe C
R
RVe
L
Vs
Filtre passe-bas d’ordre 1
Réalisations passives :
 Cricuit RC :
 Circuit LR :
Réalisation active :
17
+
-
3
2
6
Ve
R
Vs1
C
R
 
CR
où
j
jT




1
1
1
0
0
w
ww
w
 
L
R
où
j
jT 

 0
01
1
w
ww
w
 
CR
où
j
jT





1
1
1
0
0
w
ww
w

18. www.geii.eu 18
0w
wj
x 
Filtre passe-bas d’ordre 2
Transmittance complexe du passe-bas d’ordre 2 (ou second
ordre) :
 w0 est la pulsation naturelle du filtre
 m est le coefficient d’amortissement (m>0 au dénominateur)
Factorisation du dénominateur :
 Possible dans certains cas :
 Posons : et factorisons
 On trouve aisément que c’est possible si et on a alors :
où
18
2
21)( xmxxD 
1m
 














21
11
1
w
w
w
w
w
jj
jT  12
02,1  mmww
21
2
0 www 

19. www.geii.eu 19




2
2;0m
2
0 21 mr ww
Filtre passe-bas d’ordre 2
En l’absence de possibilité de factorisation donc lorsque
 Gain :
 Remarque : on montre que pour , le gain présente
un maximum en appelée pulsation de
résonnance.
 Déphasage :
 le calcul s’établit pour assurer la continuité du déphasage :
19
1m
 








































2
0
22
0
2
00
2
1log20
21
1
log20
w
w
w
w
w
w
w
w
w
m
jj
m
G
 
 

ww
ww
w
w
w
w
wj k
mjj
m 























 
2
0
01
2
00 1
2
tan21arg
00 10 wwww  pourketpourk

20. www.geii.eu 20
Filtre passe-bas d’ordre 2
Diagramme de Bode asymptotique
20
0dB w0/10 w0 10w0 w
 wG  wj

-40dB -40dB
0 w0/10 w0 10w0 w
0dB w0/10 w1 w0 w2 10w0 w
 wG  wj
-20dB -20dB
/2
0dB w0/10 w1 w0 w2 10w0 w

21. www.geii.eu 21
Filtre passe-bas d’ordre 2
Diagramme de Bode : l’amplitude (tracé pour fo=1Hz)
21

22. www.geii.eu 22
Filtre passe-bas d’ordre 2
Diagramme de Bode réel : déphasage
 Points d’inflexion :
 2 de part et d’autre d’ lorsque
 1 double en
lorsque
 Points spécifiques :
22
 
 
  



180lim
90
00
0
wj
wj
j
w

23. www.geii.eu 23
Filtre passe-bas d’ordre 2
Réponse à un échelon de tension :
Passage du domaine fréquentiel au domaine temporel :
 Une multiplication par revient à dériver par rapport à :
 d’où l’équation différentielle régissant l’évolution de :
23

24. www.geii.eu 24
Filtre passe-bas d’ordre 2
Résolution de l’équation caractéristique :
2 cas de figure concrets possibles :
24
 :
2 racines complexes
conjuguées :
avec
et
 :
2 racines réelles distinctes :
où

25. www.geii.eu
Filtre passe-bas d’ordre 2
Solution pour :
Constantes d’intégration :
 Conditions initiales (exemple) :
Solution pour :
Constantes d’intégration :
 Conditions initiales (exemple) :
25

26. www.geii.eu 26
Filtre passe-bas d’ordre 2
Tracé de la réponse à un échelon
26

27. www.geii.eu
Filtre passe-bas d’ordre 2
Réalisation passive : Exemples de réalisations
actives :
 Cellule Sallen & Key :
 Cellule de Rauch :
27
VsVe C
LR
+
-
3
2
6
C1
Ve
Vs
R1
C2
R2
Vs
R2
R1
C5
C4 +
-
3
2
6
R3
Ve

28. www.geii.eu 28
Inverse d’une transmittance
Le diagramme de 1/T(jw) s’obtient facilement à partir du
diagramme de T(jw) en changeant les signes du gain et du
déphasage :
Exemple :
28
   
   
   




 
wjwj
ww
ww
GG
jTjT 1
0dB w0 w
 wG  wjT
 wjT
1
0 w0 w
 wj
 wG
 wjT
1
 wj
 wjT

29. www.geii.eu 29
Rappel pour
Gain :
Déphasage :
Diagramme de Bode :
29
 

















2
0
0
1log10
1
1
log20
w
w
w
w
w
j
G
  dBG 30 w
  











 
0
1
0
tan1arg
w
w
w
w
wj
j
  dBG 00 
 
4
0

wj 
0dB w0/10 w0 10w0 w
 wG  wj
/2
-20dB -20dB
0 w0/10 w0 10w0 w

30. www.geii.eu 30
Application pour
Gain :
Déphasage :
Diagramme de Bode :
30
   






























2
0
2
0
1log101log10
w
w
w
w
w
w GG
    











 
0
1
0
1
tantan
w
w
wj
w
w
wj
0dB w0/10 w0 10w0 w
 wG  wj
/2
-20dB -20dB
0 w0/10 w0 10w0 w
/2

31. www.geii.eu 31
Produit de transmittances
Le diagramme de Bode du produit de deux transmittances
complexes s’obtient en faisant la somme des diagrammes de
Bode de chacune des transmittances
 Soit :
 Soit G1 et j1 le gain et déphasage de T1(jw)
 Soit G2 et j2 le gain et déphasage de T2(jw)
 On a donc :
31
     
     




wjwjwj
www
21
21 GGG
     www jTjTjT 21 

32. www.geii.eu 32
Exemple : K>1
Gain :
32
 






























2
2
2
1
1log101log10log20
w
w
w
w
w KG
-20dB
0dB w1/10 w1 w2 10w2 w
K
2
1
1
w
wj

1
1
1
w
wj

 wG

33. www.geii.eu 33
Exemple : K>1
Déphasage :
33
  


















21
11
w
w
w
w
w
jj
KjT
 wj
-/2
0 w1/10 w1 w2 10w2 w
K
2
1
1
w
wj

-
1
1
1
w
wj

  











 
2
1
1
1
tantan0
w
w
w
w
wj

34. www.geii.eu 34
Domaine de Laplace
L’étude d ’un quadripôle en régime harmonique se fait avec la
transmittance complexe. Pour des études plus complexes, on
recherche la fonction de transfert de Q
 on la note H(p)=V2(p)/V1(p)
Pour déterminer H(p), on utilise les impédances complexes
généralisées
 pour la résistance : R(p) = R
 pour la capacité : C(p) = 1/Cp
 pour l’inductance : L(p) = Lp
– Remarque : p, variable de Laplace, est un complexe
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35. www.geii.eu 35
Domaine de Laplace
Remarques :
 Pour passer du domaine de Laplace au régime harmonique, on
prend p = jw.
 On peut aussi, sous certaines conditions, passer du domaine
temporel au domaine de Laplace par le biais d’une
transformation dite « Transformation de Laplace » (l’inversion
est aussi possible, cf. mathématiques 2ième d’année).
 Intérêts en électronique :
 Légère simplification d’écriture (p au lieu de jw).
 Déterminer plus facilement les réponses à des signaux assez
complexes.
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