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Réf /10
Simulation des systèmes asservis
( Logiciel MATLAB - SIMULINK )
Laboratoire
d’automatique
ISET Gafsa département génie électrique Février 2001
Page 43
Conditions de fonctionnement
- Les manipulations s'effectuent dans le laboratoire "d'automatique".
- La durée de la manipulation est de 3 heures.
- Les étudiants travaillent par groupes de 4 au maximum.
- Chaque groupe doit présenter au début de la séance une
recherche bibliographique sur le thème de la manipulation.
OBJECTIFS GENERAUX
- Se familiariser avec les logiciels de CAO d’automatique
- Savoir simuler des systèmes asservis.
- Savoir utiliser des logiciels d’automatique CAO pour le calcul des
structures de commande.
OBJECTIFS SPECIFIQUES
A l’issus de cette manipulation, l’étudiant doit être capable de :
- Réaliser la simulation temporelle d’un système asservi linéaire en utilisant
l’outil SIMULINK.
- Réaliser la simulation fréquentielle d’un système asservi linéaire en
utilisant l’outil SIMULINK
- Réaliser la simulation fréquentielle d’un système asservi linéaire en
utilisant la programmation sous MATLAB.
PRE – REQUIS
- Notions sur l’informatique
- Notions sur l’étude temporelle des systèmes asservis.
- Notions sur l’étude fréquentielle des systèmes asservis
EQUIPEMENT ET ACCESSSOIRES
- Micro ordinateur.
- Logiciel MATLAB.
- Imprimante.
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Simulation des systèmes asservis
( Logiciel MATLAB - SIMULINK )
Laboratoire
d’automatique
ISET Gafsa département génie électrique Février 2001
Page 44
PRESENTATION DU LOGICIEL :
MATLAB ( MATrix LABoratory ) est un système interactif et convivial de
calcul numérique et de visualisation graphique destin é aux ingénieurs et
scientifiques. Il possède un langage de programmation à la fois puissant et simple
d’utilisation.
Dans MATLAB, l’élément de base est la matrice. L’utilisateur ne s’occupe
pas des allocations mémoire ou de redimensionnement comme dans les langages
classiques. Les problèmes numériques peuvent être résolus en un temps record, qui
ne représente qu’une fraction infime du temps à passer avec d’autres langages
comme le Basic, C, C++ ou le Fortran.
En complément de MATLAB, l’outil additionne l SIMULINK est proposé
pour la modélisation et la simulation de systèmes dynamiques en utilisant une
représentation de type graphique ( schéma bloc ).
1. Initiation :
Programmation sous MATLAB
Si on veut développer un programme, on doit suivre les éta pes suivantes :
- Lancer MATALAB en cliquant deus fois sur son icône sous Windows
Une fenêtre « MATLAB command Windows » est alors affichée.
- Cliquer sur « File » et choisir « New » « Mfile »
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Simulation des systèmes asservis
( Logiciel MATLAB - SIMULINK )
Laboratoire
d’automatique
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une nouvelle fenêtre est ouverte dans la quelle on peut écri re notre programme
- Donner un nom au programme qu’on enregistrera
- Pour l’exécution du programme taper son nom dans la fenêtre
« MATLAB command Windows »
Exemple de programmation : Etude d’un circuit électrique RLC
Le circuit RLC suivant est attaqué par un signal sinusoïdal   jwt
e
t
e 
Avec : R = 100  ; L = 0.1 H ; C = 1mM
et en domaine de pulsation allant de 0 à 5000 rad/s.
Dans le domaine fréquentiel, ce circuit est défini par la fonction de
transfert suivant :
  jRCw
LCw
jw
V
jw
V
jw
H
e
s



 2
1
1
)
(
)
(
Nous désirons calculer et tracer la réponse en fréquence de cette fonction
de transfert.
Pour ce la on doit développer le programme suivant :
L
R
C
Ve Vs
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Page 46
Résultat de l’exécution du programme
Lorsque le module décroît très rapidement, il est néc essaire d’utiliser les
échelles logarithmiques pour la pulsation et le module.
Pour ce faire, il suffit d’ajouté les lignes suivante au programme
précédent :
% coordonnées logarithmiques
figure(3)
semilogx (w ; 180*angle (H) /pi)
grid , tiltle (‘phase en coordonnées semi logarithmiques’)
figure(4)
loglog (w, abs(H))
grid, title (‘module en coordonnées logarithmique’)
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Résultat de l’exécution du nouveau programme :
Utilisation de SIMULINK
1 - Initiation
Si on veut utiliser le SIMULINK, on doit suivre les étapes suivantes :
- Lancer MATALAB en cliquant deus fois sur son icône sous Windows
- Taper la commande SIMULINK à partir de la fenêtre « MATLAB
command Windows »
Une fenêtre est alors affichée sur la partie supérieure de l’écran. Elle
contient les différentes familles de blocs disponibles dans la bibliothèque
SIMULINK
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Pour examiner le continu d’une famille de blocs : pointer le rectangle
correspondant et cliquer deux fois la souris, tous les blocs appartenant à cette
famille seront affichés.
Pou fermer une fenêtre cliquer la souris sur le signe x en haut et à
gauche de la fenêtre en question.
Par exemple en cliquant deux fois sur le bloc Sinks en aboutit au menu
suivant :
Le contenu des autres blocs est :
Sources : générateurs de signaux ( sinus, carré, etc…)
Discrète : modèles discrets
Linear : modèles analogiques linéaires
Nonlinear : non linéarité (seuil, relais, etc…)
Connections : blocs de connexion ( multiplexeur , démultiplexeur ,etc…)
- Cliquer sur « File »et choisir « New », une nouvelle fenêtre est ouverte
La fenêtre ouverte est nommée « Untitled » ; vous pouvez la renommer quand
vous la sauvegardez.
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Pour construire le modèle à simuler on procède comme dans un laboratoire :
 Etape 1 : Placer les éléments de votre système ( discrète, linear,
N.linear, connections, …)
 Etape 2 : Placer le(s) générateur(s) de signaux (sources).
 Etape 3 : Placer les appareils de mesure (Sinks)
 Etape 4 : Faire les connections (à l’aide de la souris)
 Etape 5 : Faire le réglage des différents éléments ( gain, base de
temps, fréquence, etc …)
 Etape 6 : Choisir les caractéristiques des blocs et lancer la
simulation.
 Etape 7 : Analysez les résultats (Scope, Enregistreur, Fichier,…)
2 – Sélectionner un objet :
Pour sélectionner un objet on doit cliquer une seule fois ; à ses coins
apparaissent des carrés noir. On peut sélectionner tous les objet existant
dans la fenêtre active en utilisant « SELECT ALL » du menu « EDIT ».
3 – Manipuler un bloc :
Les bloc possèdent deux propriétés : Générale et particulière
- Générale : commune pour tous les blocs ( dimension et position).
- Particulière : chaque bloc a ses caractéristiques ( la valeur du gain,
la valeur initiale d’un intégrateur, ….)
Lorsqu’un bloc est copié, il hérite tous les propriétés de celui de l’original.
a – Comment changer ou copier un bloc ?
Les blocs peuvent être changés ou copiés dans une fenêtre par
utilisation de la souris ou par l’usage de « CUT », « COPY » et
« PASTE » du menu « EDIT »
Utilisation de la souris :
Pour copier un bloc de la bibliothèque,, il faut pointer, maintenir
appuyé le bouton gauche de la souris tout en déplaçant vers l’endroit où on
désire reproduire le schéma du bloc. Lâcher le bouton et le bloc sera inséré
dans sa nouvelle position. Si la nouvelle posit ion est dans la fenêtre active
le bloc est déplacé et si elle dans une autre fenêtre, il est copié.
Pour dupliquer un bloc se trouvant dans la fenêtre de travail il faut
procéder de la même manière mais en utilisant le bouton droit de la souris.
b – Comment supprimer un bloc ?
Pour supprimer un ou plusieurs bloc, il faut le(s) sélectionner
puis actionner sur « DELETE KEY », ou choisir « CLEAR » ou
« CUT » du menu EDIT
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c – Comment redimensionner un bloc ?
Mettre le curseur dans l’un des carrés noirs qui se trouvent aux
coins du bloc sélectionné quand on veut changer ses dimensions.
4 – Manipulation des lignes :
a – Comment connecter les blocs ?
Pour relier la sortie (OUTPUT) d’un bloc à l’entrée (INPUT) de
l’autre, sélectionner la sortie, maintenir appuyé sur le bouton gauche et
traîner la pointe à l’entrée désirée . Lorsqu’on lâche le bouton, on obtient
une ligne de connexion avec une extrémité qui désigne la direction du
parcours du signal. La ligne de connexion est tracée dans deux sens
possibles de l’entrée à la sortie ou inversement mais son orientation ne
change pas.
b – Comment connecter deux lignes ?
Pointer la ligne, maintenir appuyé sur le bouton droit de la souris
et l’on déplace vers l’endroit désiré. De cette façon on obtient un e
nouvelle dérivation et il nous apparaît un point noir qui indique la
connexion entre deux lignes.
5 – Simulation des modèles :
Généralement on utilise un oscilloscope « SCOPE » ou un « XYgraph »
ou « To workspace » pour voir les courbes de simulation de notre
modèle. On démarre ou on arrête la simulation en choisissant,
respectivement, « Start » ou « Stop » du menu « Simulation ».
 Après le démarrage de la simulation, on clique deux fois sur
l’oscilloscope pour voir la courbe.
 Si on utilise le « To workspace », on doit le nommer, une fois
la simulation est terminée, on tape la commande plot(name) à
partir de la fenêtre « MATLAB command Windows »
name : le nom du « To workspace »
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MANIPULATION :
I- Première partie : Utilisation de SIMULINK :
1- Génération d’une rampe :
Réaliser le schéma de simulation suivant :
Donner la réponse à un échelon d’amplitude 1 pour les valeurs
suivantes du gain : ( G = 1 ; G = 2 ; G = 5 ).
2- Réponse temporelle des systèmes de premier et second ordre :
a – Tracer la réponse à un échelon ( E0 = 1 V ) d’un système de premier ordre
pour différentes valeurs de T ( 5s ; 7s ; 10s ; 15s ) ; K = 1. Déterminer le
temps de stabilisation à 5% et à 10%.
b – Tracer la réponse à un échelon ( E0 = 1 V ) d’un système de premier ordre
généralisé ( T = 4 s , K = 1) pour  = 0 ; 0.5 ; 1 ; 1.5 ; 2 ).
c – Tracer la réponse à un échelon ( E0 = 1 V ) d’un système de second ordre
( f = 0.3 Hz , K = 1) pour m = 0 ; 0.1 ; 0.3 ; 0.5 ; 0.7 ). Déterminer le
dépassement et le temps de pic, en déduire le temps de stabilisation à 5%.
d – Tracer la réponse à un échelon ( E0 = 1.5 V ) d’un système de second
ordre ( f = 0.25 Hz , K = 1) pour m = 1 ; 1.3 ; 1.5 ). Déterminer le temps de
stabilisation à 5%.
3- Réponse temporelle des systèmes linéaires :
Soit la fonction de transfert suivante :
p
p
p
e
p
e
p
e
p
p
p
H 6
2
4
2
2
2
2
1
1
1
1
)
( 









Tracer la réponse à un échelon d’amplitude 1 V.
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II- Deuxième partie : Programmation sous MATLAB :
1- Réponse en fréquence des système de 1er
et 2ième
ordre :
a– Tracer la réponse en fréquence ( diagramme de Bode ) d’un système de
premier ordre ( K = 1 ) pour T = 5s, en développant le programme suivant :
b– Tracer la réponse en fréquence ( diagramme de Bode ) d’un système de
premier ordre généralisé ( K = 1 ; T = 4 s ) pour  = 0.5 ;1.5
c– Tracer la réponse en fréquence ( diagramme de bode ) d’un système de
second ordre ( f = 0.3 Hz ; K = 1 ) pour m = 0.1 ; 0.3
Remarque :
Pour changer l’ordre de système il suffit de changer l’expression de la
fonction de transfert « t »

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utilisation de MATLAB dans l'asservissement.pdf

  • 1. TP 2 Réf /10 Simulation des systèmes asservis ( Logiciel MATLAB - SIMULINK ) Laboratoire d’automatique ISET Gafsa département génie électrique Février 2001 Page 43 Conditions de fonctionnement - Les manipulations s'effectuent dans le laboratoire "d'automatique". - La durée de la manipulation est de 3 heures. - Les étudiants travaillent par groupes de 4 au maximum. - Chaque groupe doit présenter au début de la séance une recherche bibliographique sur le thème de la manipulation. OBJECTIFS GENERAUX - Se familiariser avec les logiciels de CAO d’automatique - Savoir simuler des systèmes asservis. - Savoir utiliser des logiciels d’automatique CAO pour le calcul des structures de commande. OBJECTIFS SPECIFIQUES A l’issus de cette manipulation, l’étudiant doit être capable de : - Réaliser la simulation temporelle d’un système asservi linéaire en utilisant l’outil SIMULINK. - Réaliser la simulation fréquentielle d’un système asservi linéaire en utilisant l’outil SIMULINK - Réaliser la simulation fréquentielle d’un système asservi linéaire en utilisant la programmation sous MATLAB. PRE – REQUIS - Notions sur l’informatique - Notions sur l’étude temporelle des systèmes asservis. - Notions sur l’étude fréquentielle des systèmes asservis EQUIPEMENT ET ACCESSSOIRES - Micro ordinateur. - Logiciel MATLAB. - Imprimante.
  • 2. TP 2 Réf /10 Simulation des systèmes asservis ( Logiciel MATLAB - SIMULINK ) Laboratoire d’automatique ISET Gafsa département génie électrique Février 2001 Page 44 PRESENTATION DU LOGICIEL : MATLAB ( MATrix LABoratory ) est un système interactif et convivial de calcul numérique et de visualisation graphique destin é aux ingénieurs et scientifiques. Il possède un langage de programmation à la fois puissant et simple d’utilisation. Dans MATLAB, l’élément de base est la matrice. L’utilisateur ne s’occupe pas des allocations mémoire ou de redimensionnement comme dans les langages classiques. Les problèmes numériques peuvent être résolus en un temps record, qui ne représente qu’une fraction infime du temps à passer avec d’autres langages comme le Basic, C, C++ ou le Fortran. En complément de MATLAB, l’outil additionne l SIMULINK est proposé pour la modélisation et la simulation de systèmes dynamiques en utilisant une représentation de type graphique ( schéma bloc ). 1. Initiation : Programmation sous MATLAB Si on veut développer un programme, on doit suivre les éta pes suivantes : - Lancer MATALAB en cliquant deus fois sur son icône sous Windows Une fenêtre « MATLAB command Windows » est alors affichée. - Cliquer sur « File » et choisir « New » « Mfile »
  • 3. TP 2 Réf /10 Simulation des systèmes asservis ( Logiciel MATLAB - SIMULINK ) Laboratoire d’automatique ISET Gafsa département génie électrique Février 2001 Page 45 une nouvelle fenêtre est ouverte dans la quelle on peut écri re notre programme - Donner un nom au programme qu’on enregistrera - Pour l’exécution du programme taper son nom dans la fenêtre « MATLAB command Windows » Exemple de programmation : Etude d’un circuit électrique RLC Le circuit RLC suivant est attaqué par un signal sinusoïdal   jwt e t e  Avec : R = 100  ; L = 0.1 H ; C = 1mM et en domaine de pulsation allant de 0 à 5000 rad/s. Dans le domaine fréquentiel, ce circuit est défini par la fonction de transfert suivant :   jRCw LCw jw V jw V jw H e s     2 1 1 ) ( ) ( Nous désirons calculer et tracer la réponse en fréquence de cette fonction de transfert. Pour ce la on doit développer le programme suivant : L R C Ve Vs
  • 4. TP 2 Réf /10 Simulation des systèmes asservis ( Logiciel MATLAB - SIMULINK ) Laboratoire d’automatique ISET Gafsa département génie électrique Février 2001 Page 46 Résultat de l’exécution du programme Lorsque le module décroît très rapidement, il est néc essaire d’utiliser les échelles logarithmiques pour la pulsation et le module. Pour ce faire, il suffit d’ajouté les lignes suivante au programme précédent : % coordonnées logarithmiques figure(3) semilogx (w ; 180*angle (H) /pi) grid , tiltle (‘phase en coordonnées semi logarithmiques’) figure(4) loglog (w, abs(H)) grid, title (‘module en coordonnées logarithmique’)
  • 5. TP 2 Réf /10 Simulation des systèmes asservis ( Logiciel MATLAB - SIMULINK ) Laboratoire d’automatique ISET Gafsa département génie électrique Février 2001 Page 47 Résultat de l’exécution du nouveau programme : Utilisation de SIMULINK 1 - Initiation Si on veut utiliser le SIMULINK, on doit suivre les étapes suivantes : - Lancer MATALAB en cliquant deus fois sur son icône sous Windows - Taper la commande SIMULINK à partir de la fenêtre « MATLAB command Windows » Une fenêtre est alors affichée sur la partie supérieure de l’écran. Elle contient les différentes familles de blocs disponibles dans la bibliothèque SIMULINK
  • 6. TP 2 Réf /10 Simulation des systèmes asservis ( Logiciel MATLAB - SIMULINK ) Laboratoire d’automatique ISET Gafsa département génie électrique Février 2001 Page 48 Pour examiner le continu d’une famille de blocs : pointer le rectangle correspondant et cliquer deux fois la souris, tous les blocs appartenant à cette famille seront affichés. Pou fermer une fenêtre cliquer la souris sur le signe x en haut et à gauche de la fenêtre en question. Par exemple en cliquant deux fois sur le bloc Sinks en aboutit au menu suivant : Le contenu des autres blocs est : Sources : générateurs de signaux ( sinus, carré, etc…) Discrète : modèles discrets Linear : modèles analogiques linéaires Nonlinear : non linéarité (seuil, relais, etc…) Connections : blocs de connexion ( multiplexeur , démultiplexeur ,etc…) - Cliquer sur « File »et choisir « New », une nouvelle fenêtre est ouverte La fenêtre ouverte est nommée « Untitled » ; vous pouvez la renommer quand vous la sauvegardez.
  • 7. TP 2 Réf /10 Simulation des systèmes asservis ( Logiciel MATLAB - SIMULINK ) Laboratoire d’automatique ISET Gafsa département génie électrique Février 2001 Page 49 Pour construire le modèle à simuler on procède comme dans un laboratoire :  Etape 1 : Placer les éléments de votre système ( discrète, linear, N.linear, connections, …)  Etape 2 : Placer le(s) générateur(s) de signaux (sources).  Etape 3 : Placer les appareils de mesure (Sinks)  Etape 4 : Faire les connections (à l’aide de la souris)  Etape 5 : Faire le réglage des différents éléments ( gain, base de temps, fréquence, etc …)  Etape 6 : Choisir les caractéristiques des blocs et lancer la simulation.  Etape 7 : Analysez les résultats (Scope, Enregistreur, Fichier,…) 2 – Sélectionner un objet : Pour sélectionner un objet on doit cliquer une seule fois ; à ses coins apparaissent des carrés noir. On peut sélectionner tous les objet existant dans la fenêtre active en utilisant « SELECT ALL » du menu « EDIT ». 3 – Manipuler un bloc : Les bloc possèdent deux propriétés : Générale et particulière - Générale : commune pour tous les blocs ( dimension et position). - Particulière : chaque bloc a ses caractéristiques ( la valeur du gain, la valeur initiale d’un intégrateur, ….) Lorsqu’un bloc est copié, il hérite tous les propriétés de celui de l’original. a – Comment changer ou copier un bloc ? Les blocs peuvent être changés ou copiés dans une fenêtre par utilisation de la souris ou par l’usage de « CUT », « COPY » et « PASTE » du menu « EDIT » Utilisation de la souris : Pour copier un bloc de la bibliothèque,, il faut pointer, maintenir appuyé le bouton gauche de la souris tout en déplaçant vers l’endroit où on désire reproduire le schéma du bloc. Lâcher le bouton et le bloc sera inséré dans sa nouvelle position. Si la nouvelle posit ion est dans la fenêtre active le bloc est déplacé et si elle dans une autre fenêtre, il est copié. Pour dupliquer un bloc se trouvant dans la fenêtre de travail il faut procéder de la même manière mais en utilisant le bouton droit de la souris. b – Comment supprimer un bloc ? Pour supprimer un ou plusieurs bloc, il faut le(s) sélectionner puis actionner sur « DELETE KEY », ou choisir « CLEAR » ou « CUT » du menu EDIT
  • 8. TP 2 Réf /10 Simulation des systèmes asservis ( Logiciel MATLAB - SIMULINK ) Laboratoire d’automatique ISET Gafsa département génie électrique Février 2001 Page 50 c – Comment redimensionner un bloc ? Mettre le curseur dans l’un des carrés noirs qui se trouvent aux coins du bloc sélectionné quand on veut changer ses dimensions. 4 – Manipulation des lignes : a – Comment connecter les blocs ? Pour relier la sortie (OUTPUT) d’un bloc à l’entrée (INPUT) de l’autre, sélectionner la sortie, maintenir appuyé sur le bouton gauche et traîner la pointe à l’entrée désirée . Lorsqu’on lâche le bouton, on obtient une ligne de connexion avec une extrémité qui désigne la direction du parcours du signal. La ligne de connexion est tracée dans deux sens possibles de l’entrée à la sortie ou inversement mais son orientation ne change pas. b – Comment connecter deux lignes ? Pointer la ligne, maintenir appuyé sur le bouton droit de la souris et l’on déplace vers l’endroit désiré. De cette façon on obtient un e nouvelle dérivation et il nous apparaît un point noir qui indique la connexion entre deux lignes. 5 – Simulation des modèles : Généralement on utilise un oscilloscope « SCOPE » ou un « XYgraph » ou « To workspace » pour voir les courbes de simulation de notre modèle. On démarre ou on arrête la simulation en choisissant, respectivement, « Start » ou « Stop » du menu « Simulation ».  Après le démarrage de la simulation, on clique deux fois sur l’oscilloscope pour voir la courbe.  Si on utilise le « To workspace », on doit le nommer, une fois la simulation est terminée, on tape la commande plot(name) à partir de la fenêtre « MATLAB command Windows » name : le nom du « To workspace »
  • 9. TP 2 Réf /10 Simulation des systèmes asservis ( Logiciel MATLAB - SIMULINK ) Laboratoire d’automatique ISET Gafsa département génie électrique Février 2001 Page 51 MANIPULATION : I- Première partie : Utilisation de SIMULINK : 1- Génération d’une rampe : Réaliser le schéma de simulation suivant : Donner la réponse à un échelon d’amplitude 1 pour les valeurs suivantes du gain : ( G = 1 ; G = 2 ; G = 5 ). 2- Réponse temporelle des systèmes de premier et second ordre : a – Tracer la réponse à un échelon ( E0 = 1 V ) d’un système de premier ordre pour différentes valeurs de T ( 5s ; 7s ; 10s ; 15s ) ; K = 1. Déterminer le temps de stabilisation à 5% et à 10%. b – Tracer la réponse à un échelon ( E0 = 1 V ) d’un système de premier ordre généralisé ( T = 4 s , K = 1) pour  = 0 ; 0.5 ; 1 ; 1.5 ; 2 ). c – Tracer la réponse à un échelon ( E0 = 1 V ) d’un système de second ordre ( f = 0.3 Hz , K = 1) pour m = 0 ; 0.1 ; 0.3 ; 0.5 ; 0.7 ). Déterminer le dépassement et le temps de pic, en déduire le temps de stabilisation à 5%. d – Tracer la réponse à un échelon ( E0 = 1.5 V ) d’un système de second ordre ( f = 0.25 Hz , K = 1) pour m = 1 ; 1.3 ; 1.5 ). Déterminer le temps de stabilisation à 5%. 3- Réponse temporelle des systèmes linéaires : Soit la fonction de transfert suivante : p p p e p e p e p p p H 6 2 4 2 2 2 2 1 1 1 1 ) (           Tracer la réponse à un échelon d’amplitude 1 V.
  • 10. TP 2 Réf /10 Simulation des systèmes asservis ( Logiciel MATLAB - SIMULINK ) Laboratoire d’automatique ISET Gafsa département génie électrique Février 2001 Page 52 II- Deuxième partie : Programmation sous MATLAB : 1- Réponse en fréquence des système de 1er et 2ième ordre : a– Tracer la réponse en fréquence ( diagramme de Bode ) d’un système de premier ordre ( K = 1 ) pour T = 5s, en développant le programme suivant : b– Tracer la réponse en fréquence ( diagramme de Bode ) d’un système de premier ordre généralisé ( K = 1 ; T = 4 s ) pour  = 0.5 ;1.5 c– Tracer la réponse en fréquence ( diagramme de bode ) d’un système de second ordre ( f = 0.3 Hz ; K = 1 ) pour m = 0.1 ; 0.3 Remarque : Pour changer l’ordre de système il suffit de changer l’expression de la fonction de transfert « t »