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ELE2611 Classe 7 - Circuits non-linéaires statiques

Le cours ELE2611 traite des circuits actifs avec un accent sur les composants non-linéaires statiques, tels que les diodes, explorant leurs caractéristiques courant-tension. Les étudiants apprendront à analyser des circuits non-linéaires et à étudier le fonctionnement d'amplificateurs opérationnels dans des modes non-linéaires ou saturés. Ce cours met en lumière l'importance des approximations linéaires par morceaux pour faciliter l'analyse et la conception de circuits électroniques.

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Introduction ELE2611 - Circuits Actifs 3 credits, heures/semaine: 4 - 0 - 5 https://moodle.polymtl.ca/course/view.php?id=1756 Cours 7 - Circuits non-lin´eaires statiques Instructeur: Jerome Le Ny jerome.le-ny@polymtl.ca Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 1/30
Introduction Motivation pour ce cours Jusqu’ici quasiment tous les circuits rencontr´es ont ´et´e lin´eaires : Utilisation exclusive de composants fondamentaux lin´eaires (R, L, C). Maintient des AO dans leur r´egime lin´eaire (avec r´etroaction n´egative). Il existe aussi de nombreuses applications o`u l’on d´esire r´ealiser des fonctions non-lin´eaires. Exemples : comparateurs, interrupteurs, limiteurs, redresseurs, m´elangeurs (transposition de fr´equence), etc. Pas d’outil th´eorique comme la transform´ee de Laplace permettant d’´etudier les circuits non-lin´eaires en toute g´en´eralit´e. Ces circuits peuvent exhiber toutes sortes de comportements, y compris chaotique. On se contente d’´etudier des petits syst`emes non-lin´eaires avec des structures particuli`eres. Pour les circuits dynamiques non-lin´eaires, on doit faire l’´etude principalement dans le domaine temporel (´equa. diffs.). On s’attardera ici sur des composants statiques dont les caract´eristiques sont approximativement “lin´eaires par morceau”. Ex : diodes, AO dans ses trois modes de fonctionnement (-Sat, lin´eaire, +Sat). N.B. : On retourne `a partir de ce cours au mod`ele id´eal de l’A.O., introduit au cours 1. Par contre, on ne le contraint plus `a fonctionner uniquement en mode lin´eaire. Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 2/30
Introduction Outline Composants statiques non-lin´eaires Caract´eristiques courant-tension Caract´eristiques lin´eaires par morceaux, exemple des diodes Exemples d’analyse de circuits non-lin´eaires statiques, caract´eristiques de transfert Montages avec l’AO op´erant en mode non-lin´eaire ou satur´e Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 3/30
Introduction Composants statiques non-lin´eaires Caract´eristiques courant-tension Outline Composants statiques non-lin´eaires Caract´eristiques courant-tension Caract´eristiques lin´eaires par morceaux, exemple des diodes Exemples d’analyse de circuits non-lin´eaires statiques, caract´eristiques de transfert Montages avec l’AO op´erant en mode non-lin´eaire ou satur´e Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 4/30
Introduction Composants statiques non-lin´eaires Caract´eristiques courant-tension Composants statiques non-lin´eaires Rappel du cours 1 (revoir diapositives 12-14) : d’autres composants que les r´esistances ´etablissent une relation statique (vs. dynamique) entre courant et tension : F(v(t), i(t)) = 0 v´erifi´ee `a tout instant, mais pas forc´ement lin´eaire ou affine. Dipˆoles statiques non-lin´eaires (“r´esistances non-lin´eaires”) On peut tracer leur caract´eristique courant-tension dans le plan v − i ou i − v (“driving point characteristic”) i + -v i i v i v Diode à jonction pn Diode à effet tunnel Résistance non linéaire générique (asymmétrique) + - i Ex: diode idéale i + - v vv Exemples : Lin´eaires/affines : r´esistance v(t) − Ri(t) = 0, source de tension, de courant. Diodes : caract´eristique tension-courant d’une diode `a jonction p-n, dans les basses fr´equences et pour v pas trop n´egatif : i(t) = Is exp v(t) VT − 1 . Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 5/30
Introduction Composants statiques non-lin´eaires Caract´eristiques courant-tension Terminologie Rappel : composant statique et passif, en convention r´ecepteur : p(t) = v(t)i(t) ≥ 0, ∀t v(t) et i(t) toujours de mˆeme signe (convention r´ecepteur). Caract´eristique tension-courant dans les quadrants 1 et 3. Un composant statique non passif est dit actif (ex : r´esistance n´egative) Un dipˆole statique dont la caract´eristique F(i, v) = 0 d´efinit une fonction v → i est dit contrˆol´e en tension I.e., pour toute valeur de v, on associe au plus une valeur de i Un dipˆole statique dont la caract´eristique F(i, v) = 0 d´efinit une fonction i → v est dit contrˆol´e en courant I.e., pour toute valeur de i, on associe au plus une valeur de v Un dipˆole peut ˆetre contrˆol`e `a la fois en tension et en courant (ex : r´esistance lin´eaire), ou aucun des deux (ex : diode id´eale). Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 6/30
Introduction Composants statiques non-lin´eaires Caract´eristiques lin´eaires par morceaux, exemple des diodes Outline Composants statiques non-lin´eaires Caract´eristiques courant-tension Caract´eristiques lin´eaires par morceaux, exemple des diodes Exemples d’analyse de circuits non-lin´eaires statiques, caract´eristiques de transfert Montages avec l’AO op´erant en mode non-lin´eaire ou satur´e Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 7/30
Introduction Composants statiques non-lin´eaires Caract´eristiques lin´eaires par morceaux, exemple des diodes Approximations lin´eaires par morceau d’une caract´eristique i v -Ez Ez: tension de claquage, d'avalanche ou tension Zener (par ex. Ez = 5 V pour une diode Zener) zone d'utilisation des diodes classiques zone d'utilisation des diodes Zener Vs Vs: tension de seuil (typiquement Vs = 0.7 V) Approximation linéaire par morceaux Diode idéale: Vs = 0, Ez = 1 i Caractéristique d'une diode à jonction p-n Approximations lin´eaires par morceaux des caract´eristiques i − v Simplifie les calculs pour la conception, p. ex. mod`ele de diode passante `a tension de seuil constant vs. mod`ele exponentiel. Tant que l’on ne change pas de segment sur les caract´eristiques, on peut appliquer l’analyse lin´eaire. Mod`eles non-lin´eaires plus pr´ecis plutˆot utilis´es en simulation pour valider les analyses. Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 8/30
Introduction Composants statiques non-lin´eaires Caract´eristiques lin´eaires par morceaux, exemple des diodes Approximations lin´eaires par morceau d’une caract´eristique (suite) i v Diode à effet tunnel i + - v v0 𝜶 R = -1/𝛂 v0 + - ii0=𝛂 v0 v = v0 - i/𝛂 R = -1/𝛂 ou v + - i v + - i = i0 - 𝛂 v (i0= 𝛂 v0) i0 Avec l’approximation lin´eaire par morceaux de la caract´eristique i − v, on peut remplacer dans chaque r´egion le composant non-lin´eaire par un dipˆole ´equivalent comprenant une source id´eale (de tension ou de courant) et une r´esistance (positive ou n´egative). Ex : pour la diode `a effet tunnel, le segment du milieu a pour ´equation v = v0 − i/α (α > 0) ou i = i0 − αv : correspond `a une source de tension v0 en s´erie avec une r´esistance n´egative R = −1/α, ou encore `a une source de courant i0 = αv0 en parall`ele avec une conductance n´egative G = −α. Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 9/30
Introduction Composants statiques non-lin´eaires Exemples d’analyse de circuits non-lin´eaires statiques, caract´eristiques de transfert Outline Composants statiques non-lin´eaires Caract´eristiques courant-tension Caract´eristiques lin´eaires par morceaux, exemple des diodes Exemples d’analyse de circuits non-lin´eaires statiques, caract´eristiques de transfert Montages avec l’AO op´erant en mode non-lin´eaire ou satur´e Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 10/30
Introduction Composants statiques non-lin´eaires Exemples d’analyse de circuits non-lin´eaires statiques, caract´eristiques de transfert Exemple : points d’op´eration possibles Calculer les 3 mod`eles (Vd , Rd ) equivalents `a la diode pour chaque r´egion lin´eaire, en fonction des param`etres donn´es sur la figure. En supposant les conditions de la figure, calculer les 3 points d’op´eration (i, v) possibles de ce circuit (les points d’´equilibres multiples ne sont pas possibles pour les circuits lin´eaires). Is Rs i v caractéristique i-v de la diode 0 I2 I1 V1 Rs Vd=Vd1,Vd2,Vd3 Rd=Rd1,Rd2,Rd3 + - v i Is Is i=Is-v/Rs caractéristique i-v de la source V2 V3 V4 R´egion 1 : Vd1 = , Rd1 = car v = i × R´egion 2 : Vd2 = , Rd2 = (< 0) car v = R´egion 3 : Vd3 = , Rd3 = (> 0) car v = Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 11/30
Introduction Composants statiques non-lin´eaires Exemples d’analyse de circuits non-lin´eaires statiques, caract´eristiques de transfert Exemple : points d’op´eration possibles Calculer les 3 mod`eles (Vd , Rd ) equivalents `a la diode pour chaque r´egion lin´eaire, en fonction des param`etres donn´es sur la figure. En supposant les conditions de la figure, calculer les 3 points d’op´eration (i, v) possibles de ce circuit (les points d’´equilibres multiples ne sont pas possibles pour les circuits lin´eaires). Is Rs i v caractéristique i-v de la diode 0 I2 I1 V1 Rs Vd=Vd1,Vd2,Vd3 Rd=Rd1,Rd2,Rd3 + - v i Is Is i=Is-v/Rs caractéristique i-v de la source V2 V3 V4 R´egion 1 : Vd1 = 0, Rd1 = V1/I1 car v = i × V1/I1 R´egion 2 : Vd2 = V2, Rd2 = V1 − V2 I1 (< 0) car v = V2 + V1 − V2 I1 i R´egion 3 : Vd3 = V3, Rd3 = V4 − V3 I2 (> 0) car v = V3 + V4 − V3 I2 i Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 11/30
Introduction Composants statiques non-lin´eaires Exemples d’analyse de circuits non-lin´eaires statiques, caract´eristiques de transfert Combinaisons s´erie et parall`ele de r´esistances non lin´eaires + - v R + v1 + - - v2 ia ib i -Ez ia v1 ia Ez ia v2 Ez -Ez v v ib 1/R Ez -Ez v 1/R i v R i Ez -Ez combinaison série combinaison parallèle Pour obtenir la caract´eristique courant-tension d’un dipˆole complexe : Pour les composants en s´erie, on somme les tensions Pour les composants en parall`ele, on somme les courants Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 12/30
Introduction Composants statiques non-lin´eaires Exemples d’analyse de circuits non-lin´eaires statiques, caract´eristiques de transfert Caract´eristique de transfert d’un quadripˆole non-lin´eaire statique On utilise aussi la notion de caract´eristique de transfert, qui est la relation entre la tension (ou courant) d’entr´ee vin et la tension (ou courant) de sortie vout d’un quadripˆole statique, en g´en´eral non-lin´eaire Les caract´eristiques lin´eaires par morceaux peuvent ˆetre r´ealis´ees par des r´esistances, diodes (de caract´eristique i − v lin. par morceaux aussi), et sources DC, p. ex. vin vout v1 v2 V1 6 V2 6 R1 {Rparam2} R2 {Rparam1} R3 {Rparam1} R4 {Rparam2} R5 {Rparam3} R6 {Rparam3} R7 12k D2 myD D3 myD D4 myD R9 10k R10 10k D1 myD PWL(000.2580.500.75-8101.2581.501.75-820) V3 tuo ni 2 1 .model myD D(Ron=0 Roff=1G Vfwd=0.0) .param Rparam1=100 .param Rparam2=100 .param Rparam3=100 .tran 0 2 v1 v2 Diviseur pour la génération des niveaux de tension Diodes devenant passantes au points de cassure Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 13/30
Introduction Composants statiques non-lin´eaires Exemples d’analyse de circuits non-lin´eaires statiques, caract´eristiques de transfert Exemple : mise en forme d’un signal triangulaire Soit un signal p´eriodique `a produire. On dispose d’une source de signal triangulaire (cf. prochain cours). Faire une approximation lin´eaire par morceaux de la demi-p´eriode du signal `a produire. On con¸coit ensuite un quadripˆole non-lin´eaire ayant cette approximation comme caract´eristique de transfert. Application p. ex. `a la synth`ese de sinuso¨ıdes (pas de tr`es bonne qualit´e). V1 6 V2 6 R1 {Rparam2} R2 {Rparam1} R3 {Rparam1} R4 {Rparam2} R5 {Rparam3} R6 {Rparam3} R7 12k D2 myD D3 myD D4 myD R9 10k R10 10k D1 myD PWL(000.2580.500.75-8101.2581.501.75-820) V3 tuo ni 2 1 .model myD D(Ron=0 Roff=1G Vfwd=0.0) .param Rparam1=100 .param Rparam2=100 .param Rparam3=100 .tran 0 2 V1 V2 -V1 -V2 Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 14/30
Introduction Composants statiques non-lin´eaires Exemples d’analyse de circuits non-lin´eaires statiques, caract´eristiques de transfert Exemple : limiteur d’amplitude 1 - + vin 1+ - + - vo i = 0 i+ = 0 i1 + -vf v1+ - R1 Rf vd = 0 + - if vf = f(if ) vo = −vf = −f (if ), i1 = if = v1 R1 vin = v1 ⇒ vo = −f vin R1 Validit´e : −Vsat < −f vin R1 < Vsat Application : limiteur d’amplitude (protection de circuits, traitement de signaux). Pour Rf le circuit `a diodes Zener de la diapo 12 : symm´etrie de la caract´eristique par rapport `a l’axe des x et changer les noms des axes. Ez -Ez vf (V ) i (mA) Ez -Ez vo (V ) vin (V ) R1 = 1 k⌦ N.B. : Malgr´e la pr´esence des composants non lin´eaires, ici l’AO fonctionne en mode lin´eaire quelque soit vin ! (pour Ez < Vsat ) Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 15/30
Introduction Composants statiques non-lin´eaires Exemples d’analyse de circuits non-lin´eaires statiques, caract´eristiques de transfert Exemple : limiteur d’amplitude 2 Etablir la caract´eristique de transfert vin − vout du circuit suivant. L’´etage de sortie permet de limiter l’amplitude en sortie d’un circuit g´en´eral (application ici pour un amplificateur inverseur). - + +V -V A B vout vin R1 R2 R3 R4 R5 Rf vin vout L+ L- (Rf k R3)/R1 (Rf k R4)/R1 Rf /R1 D1 D2 N.B. : on peut bien sur concevoir des limiteurs d’amplitude plus simples mais moins flexibles `a base de diodes et r´esistances seulement. Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 16/30
Introduction Composants statiques non-lin´eaires Exemples d’analyse de circuits non-lin´eaires statiques, caract´eristiques de transfert Diff´erences avec l’analyse lin´eaire L’introduction de composants non-lin´eaires donne lieu `a une vari´et´e de ph´enom`enes impossibles `a obtenir avec des circuits lin´eaires. Par exemple, on a vu qu’un circuit non-lin´eaire statique aliment´e par une source de courant id´eale peut avoir un, plusieurs, ou mˆeme aucun point d’op´eration possible (math´ematiquement). Pour un circuit lin´eaire, il existe n´ecessairement une unique solution. Pour les circuits non-lin´eaires, mˆeme si la source est une tension sinuso¨ıdale pure de fr´equence ω0, les signaux de tension aux bornes des composants en r´egime permanent peuvent contenir d’autres harmoniques. Ce ph´enom`ene est n´ecessaire par exemple `a la r´ealisation des m´elangeurs (de fr´equence) utilis´es en communications, radars, etc. Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 17/30
Introduction Montages avec l’AO op´erant en mode non-lin´eaire ou satur´e Outline Composants statiques non-lin´eaires Caract´eristiques courant-tension Caract´eristiques lin´eaires par morceaux, exemple des diodes Exemples d’analyse de circuits non-lin´eaires statiques, caract´eristiques de transfert Montages avec l’AO op´erant en mode non-lin´eaire ou satur´e Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 18/30
Introduction Montages avec l’AO op´erant en mode non-lin´eaire ou satur´e Rappel du cours 1 : AO fonctionnant en mode satur´e - + v v+ i+ = 0 i = 0 vo + - vd +Vsat Vsat Région linéaire vd = v+ v Entrée inverseuse Entrée non inverseuse région "+ Saturation" 1 vo = f(vd) région "- Saturation" Caractéristique de transfert linéaire par morceaux L’AO op`ere en mode satur´e lorsque la condition de validit´e du mode lin´eaire (−Vsat < vo < Vsat) n’est pas satisfaite Rappelons que pour l’AO id´eal hors de la r´egion lin´eaire on a vo = Vsat × signe(vd ) (et toujours i− = i+ = 0) vd = v+ − v− > 0 est la condition de validit´e pour la r´egion “+Saturation” vd = v+ − v− < 0 est la condition de validit´e pour la r´egion “-Saturation” - + i+ = 0 i = 0 + - vd = 0 1 + - o Région linéaire Vsat < vo < Vsat i = 0- i+ = 0+ vd > 0 + - Vsat o i = 0- i+ = 0+ + - Vsat o vd < 0 Région +Saturation Région -Saturation v+ v > 0 v+ v < 0Condition de validité: vo = Vsat vo = Vsat Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 19/30
Introduction Montages avec l’AO op´erant en mode non-lin´eaire ou satur´e Comparateur Circuit le plus simple utilisant le mode satur´e : le comparateur ou d´etecteur de seuil. vin < ET → vo = −Vsat vin > ET → vo = +Vsat vin = ET → −Vsat < vo < Vsat iin = 0 dans tous les cas - + 1 ET i+ = 0 i = 0 + - vin ET vin vo vo + Saturation - Saturation région linéaire Vsat Vsat Caractéristique de transfert N.B. : La sp´ecification de performance la plus importante pour un comparateur est le temps de r´eponse. Pour qu’un AO puisse ˆetre utilis´e comme un bon comparateur, il faut donc que sa vitesse de balayage (slew rate) soit ´elev´ee. Il y a aussi des circuits int´egr´es comparateurs optimis´es pour cette op´eration. Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 20/30
Introduction Montages avec l’AO op´erant en mode non-lin´eaire ou satur´e Amplificateur non inverseur : analyse compl`ete On raisonne pour les 3 modes de l’AO, avec leur condition de validit´e. Mode lin´eaire (cours 1) : vo = 1 + R2 R1 vin pour − R1 R1+R2 Vsat ≤ vin ≤ R1 R1+R2 Vsat. Mode +Sat : vo = +Vsat pour vd > 0. v− = R1 R1 + R2 Vsat , vd = vin − v− ⇒ vin − R1 R1 + R2 Vsat > 0 → vin > R1 R1 + R2 Vsat + - 1 + - vin vo + - i+ = 0 i = 0 R1 R2 Zone -Sat : vo = −Vsat pour vin < − R1 R1+R2 Vsat . Vsat -Vsat R1 R1 + R2 Vsat R1 R1 + R2 Vsat vin vo Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 21/30
Introduction Montages avec l’AO op´erant en mode non-lin´eaire ou satur´e Bascules de Schmitt Les bascules de Schmitt sont des circuits ou l’AO est mont´e avec un feedback positif, qui le force `a saturer. + - 1+ - + - i = 0 i+ = 0 Bascule non inverseuse (inverser polarités de l'A.O. en ampli. inverseur) R2 R1iin vin vo vo vin - + 1 + - vin vo Vsat R1 R2 Vsat Vsat Vsat R1 R2 R2 R1 Bascule inverseuse (inverser polarités de l'A.O. en ampli. non inverseur) + - i+ = 0 i = 0 vin vo Vsat R1 R1 + R2 Vsat R1 R1 + R2 R1 R2 Vsat Vsat 1 + R2 R1 zone linéaire instable zone linéaire instable Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 22/30
Introduction Montages avec l’AO op´erant en mode non-lin´eaire ou satur´e Bascules de Schmitt : caract´eristique de transfert + - 1+ - + - i = 0 i+ = 0 R2 R1iin vin vo vo vin Vsat R1 R2 Vsat Vsat Vsat R1 R2 R2 R1 zone linéaire instable Exemple de la bascule non-inverseuse. On raisonne pour les 3 modes de l’AO, avec leur condition de validit´e. Mode lin´eaire : vo = −R2 R1 vin pour −R1 R2 Vsat ≤ vin ≤ R1 R2 Vsat. Mode +Sat : vo = +Vsat pour vd > 0. vd − vo = R2 R1 + R2 (vin − vo) ⇒ R1Vsat + R2vin ≥ 0 → vin ≥ − R1 R2 Vsat. Mode -Sat : vo = −Vsat pour vin ≤ R1 R2 Vsat . Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 23/30
Introduction Montages avec l’AO op´erant en mode non-lin´eaire ou satur´e Bascules de Schmitt : caract´eristique de transfert (suite) + - 1+ - + - i = 0 i+ = 0 R2 R1iin vin vo vo vin Vsat R1 R2 Vsat Vsat Vsat R1 R2 R2 R1 zone linéaire instable Au contraire de l’amplificateur inverseur, la zone de validit´e du mode lin´eaire pour la bascule se superpose `a celles des modes -Sat et +Sat. Seuls les ´equilibres vo = −Vsat et vo = +Vsat sont stables. Pour voir que le mode lin´eaire est instable, consid´erer l’effet d’une petite tension vd = 0, amplifi´ee par le feedback positif. La bascule ne fonctionne donc jamais en pratique en mode lin´eaire. Les segments horizontaux de la charact´eristique peuvent ˆetre parcourus dans les 2 sens, pas les segments verticaux qui d´ecrivent un basculement d’un ´equilibre `a l’autre dans une seule direction lorsque la condition de validit´e de l’´equilibre actuel n’est plus v´erifi´ee. Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 24/30
Introduction Montages avec l’AO op´erant en mode non-lin´eaire ou satur´e Analyse alg´ebrique de l’instabilit´e du mode lin´eaire - + R1 R2 C Vi Vo V1 Supposons l’AO en mode lin´eaire, le gain A (statique) fini, et une petite capacit´e parasite C entre les entr´ees. Vo = A V1, Vi − V1 R1 − V1Cs + Vo − V1 R2 = 0 ⇒Vi = −Vo R1 R2 + V1(1 + R1Cs + R1/R2) Vi = Vo − R1 R2 + 1 A (1 + R1Cs + R1/R2) (on ´elimine V1) Vo Vi = 1 −R1 R2 + 1 A (1 + R1Cs + R1 R2 ) = − R2 R1 1 1 − 1 A 1 + R2 R1 − R2C A s Syst`eme instable, avec un pˆole r´eel tr`es `a droite p ≈ A R2C pour A grand : l’AO entre rapidement en saturation ! Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 25/30
Introduction Montages avec l’AO op´erant en mode non-lin´eaire ou satur´e Bascules de Schmitt : exemples d’utilisation Comparateur `a hyst´er´esis pour ´eviter les commutations rapides (“chattering”), probl´ematiques avec un comparateur standard en cas de bruit. (Source : S. Franco, “Design with Operational Amplifiers”) Bascule asynchrone ou verrou (latch) Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 26/30
Introduction Montages avec l’AO op´erant en mode non-lin´eaire ou satur´e R´esistance n´egative (type S) - + vin 1+ - vo vo Vsat Vsat Rf R1 R2 iin 1Vsat Vsat vin iin -Saturation + Saturation Région linéaire Vsat Vsat (1 )Vsat Rf pente R1 R2Rf 1/Rf 1/Rf Caractéristique de transfert (comme une bascule) Caractéristique tension-courant = R2 R1 + R2 Circuit qui comprend un feedback positif et n´egatif. Le circuit convertit les r´esistances positives R1, R2, Rf en une r´esistance d’entr´ee vin iin n´egative ´egale `a −R2Rf /R1 dans la r´egion lin´eaire. A partir de ce dipˆole, on peut r´ealiser un oscillateur ou un flip-flop (cf. prochain cours). Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 27/30
Introduction Montages avec l’AO op´erant en mode non-lin´eaire ou satur´e R´esistance n´egative (type S) : analyse R´egion lin´eaire : vin = v2 = βv0 avec β = LKC : vin = Rf iin + v0 ⇒ iin = × vin Cond. de validit´e : - + vin i = 0 1+ - vo Rf R1 R2 iin i+ = 0 2 3 1 4 v2 + - R´egion +Sat : vin = Rf iin + Vsat ⇒ iin = vin − Vsat Rf Validit´e : vd = R2 R1 + R2 Vsat − vin > 0 ⇒ vin < βVsat vin i = 0 + - vo Rf R1 R2 iin i+ = 0 2 3 1 4 + -vd > 0 Vsat R´egion -Sat : vin = ⇒ iin = Validit´e : vin i = 0 + - vo Rf R1 R2 iin i+ = 0 2 3 1 4 + - Vsat vd < 0 Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 28/30
Introduction Montages avec l’AO op´erant en mode non-lin´eaire ou satur´e R´esistance n´egative (type S) : analyse R´egion lin´eaire : vin = v2 = βv0 avec β = R2 R1 + R2 LKC : vin = Rf iin + v0 ⇒ iin = − R1 R2Rf × vin Cond. de validit´e : − βVsat < vin < βVsat - + vin i = 0 1+ - vo Rf R1 R2 iin i+ = 0 2 3 1 4 v2 + - R´egion +Sat : vin = Rf iin + Vsat ⇒ iin = vin − Vsat Rf Validit´e : vd = R2 R1 + R2 Vsat − vin > 0 ⇒ vin < βVsat vin i = 0 + - vo Rf R1 R2 iin i+ = 0 2 3 1 4 + -vd > 0 Vsat R´egion -Sat : vin = Rf iin − Vsat ⇒ iin = vin + Vsat Rf Validit´e : vin > −βVsat vin i = 0 + - vo Rf R1 R2 iin i+ = 0 2 3 1 4 + - Vsat vd < 0 Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 28/30
Introduction Montages avec l’AO op´erant en mode non-lin´eaire ou satur´e R´esistance n´egative (type N) + - vin 1+ - vo vo Vsat Vsat Rf R1 R2 iin 1Vsat Vsat vin iin -Saturation Région linéaire Vsat Vsat (1 )Vsat Rf pente R1 R2Rf Caractéristique de transfert Caractéristique tension-courant = R2 R1 + R2 1/Rf + Saturation 1/Rf On ´echange les bornes de l’AO Exercice : obtenir les caract´eristiques vin − vo et vin − iin ci-dessus. Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 29/30
Introduction Montages avec l’AO op´erant en mode non-lin´eaire ou satur´e Conclusion Nous avons ´etudi´e le comportement de quelques circuits statiques non-lin´eaires, en insistant sur les circuits lin´eaires par morceaux qui sont encore analysables “`a la main”. Les approches d’analyse ne sont pas aussi syst´ematiques que pour les circuits lin´eaires, et il faut donc s’entraˆıner `a analyser des circuits. Typiquement on doit raisonner en consid´erant diff´erents modes d’op´eration possibles des composants, en particulier avec les mod`eles lin´eaires par morceaux. Les montages de r´esistances n´egatives sont particuli`erement importants dans ce cours : nous verrons au prochain cours comment les utiliser pour r´ealiser des oscillateurs, des flip-flops, etc., en rajoutant juste un ou ou deux composants dynamiques. Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 30/30

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ELE2611 Classe 7 - Circuits non-linéaires statiques

  • 1.
    Introduction ELE2611 - CircuitsActifs 3 credits, heures/semaine: 4 - 0 - 5 https://moodle.polymtl.ca/course/view.php?id=1756 Cours 7 - Circuits non-lin´eaires statiques Instructeur: Jerome Le Ny jerome.le-ny@polymtl.ca Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 1/30
  • 2.
    Introduction Motivation pour cecours Jusqu’ici quasiment tous les circuits rencontr´es ont ´et´e lin´eaires : Utilisation exclusive de composants fondamentaux lin´eaires (R, L, C). Maintient des AO dans leur r´egime lin´eaire (avec r´etroaction n´egative). Il existe aussi de nombreuses applications o`u l’on d´esire r´ealiser des fonctions non-lin´eaires. Exemples : comparateurs, interrupteurs, limiteurs, redresseurs, m´elangeurs (transposition de fr´equence), etc. Pas d’outil th´eorique comme la transform´ee de Laplace permettant d’´etudier les circuits non-lin´eaires en toute g´en´eralit´e. Ces circuits peuvent exhiber toutes sortes de comportements, y compris chaotique. On se contente d’´etudier des petits syst`emes non-lin´eaires avec des structures particuli`eres. Pour les circuits dynamiques non-lin´eaires, on doit faire l’´etude principalement dans le domaine temporel (´equa. diffs.). On s’attardera ici sur des composants statiques dont les caract´eristiques sont approximativement “lin´eaires par morceau”. Ex : diodes, AO dans ses trois modes de fonctionnement (-Sat, lin´eaire, +Sat). N.B. : On retourne `a partir de ce cours au mod`ele id´eal de l’A.O., introduit au cours 1. Par contre, on ne le contraint plus `a fonctionner uniquement en mode lin´eaire. Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 2/30
  • 3.
    Introduction Outline Composants statiques non-lin´eaires Caract´eristiquescourant-tension Caract´eristiques lin´eaires par morceaux, exemple des diodes Exemples d’analyse de circuits non-lin´eaires statiques, caract´eristiques de transfert Montages avec l’AO op´erant en mode non-lin´eaire ou satur´e Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 3/30
  • 4.
    Introduction Composants statiques non-lin´eaires Caract´eristiquescourant-tension Outline Composants statiques non-lin´eaires Caract´eristiques courant-tension Caract´eristiques lin´eaires par morceaux, exemple des diodes Exemples d’analyse de circuits non-lin´eaires statiques, caract´eristiques de transfert Montages avec l’AO op´erant en mode non-lin´eaire ou satur´e Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 4/30
  • 5.
    Introduction Composants statiques non-lin´eaires Caract´eristiquescourant-tension Composants statiques non-lin´eaires Rappel du cours 1 (revoir diapositives 12-14) : d’autres composants que les r´esistances ´etablissent une relation statique (vs. dynamique) entre courant et tension : F(v(t), i(t)) = 0 v´erifi´ee `a tout instant, mais pas forc´ement lin´eaire ou affine. Dipˆoles statiques non-lin´eaires (“r´esistances non-lin´eaires”) On peut tracer leur caract´eristique courant-tension dans le plan v − i ou i − v (“driving point characteristic”) i + -v i i v i v Diode à jonction pn Diode à effet tunnel Résistance non linéaire générique (asymmétrique) + - i Ex: diode idéale i + - v vv Exemples : Lin´eaires/affines : r´esistance v(t) − Ri(t) = 0, source de tension, de courant. Diodes : caract´eristique tension-courant d’une diode `a jonction p-n, dans les basses fr´equences et pour v pas trop n´egatif : i(t) = Is exp v(t) VT − 1 . Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 5/30
  • 6.
    Introduction Composants statiques non-lin´eaires Caract´eristiquescourant-tension Terminologie Rappel : composant statique et passif, en convention r´ecepteur : p(t) = v(t)i(t) ≥ 0, ∀t v(t) et i(t) toujours de mˆeme signe (convention r´ecepteur). Caract´eristique tension-courant dans les quadrants 1 et 3. Un composant statique non passif est dit actif (ex : r´esistance n´egative) Un dipˆole statique dont la caract´eristique F(i, v) = 0 d´efinit une fonction v → i est dit contrˆol´e en tension I.e., pour toute valeur de v, on associe au plus une valeur de i Un dipˆole statique dont la caract´eristique F(i, v) = 0 d´efinit une fonction i → v est dit contrˆol´e en courant I.e., pour toute valeur de i, on associe au plus une valeur de v Un dipˆole peut ˆetre contrˆol`e `a la fois en tension et en courant (ex : r´esistance lin´eaire), ou aucun des deux (ex : diode id´eale). Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 6/30
  • 7.
    Introduction Composants statiques non-lin´eaires Caract´eristiqueslin´eaires par morceaux, exemple des diodes Outline Composants statiques non-lin´eaires Caract´eristiques courant-tension Caract´eristiques lin´eaires par morceaux, exemple des diodes Exemples d’analyse de circuits non-lin´eaires statiques, caract´eristiques de transfert Montages avec l’AO op´erant en mode non-lin´eaire ou satur´e Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 7/30
  • 8.
    Introduction Composants statiques non-lin´eaires Caract´eristiqueslin´eaires par morceaux, exemple des diodes Approximations lin´eaires par morceau d’une caract´eristique i v -Ez Ez: tension de claquage, d'avalanche ou tension Zener (par ex. Ez = 5 V pour une diode Zener) zone d'utilisation des diodes classiques zone d'utilisation des diodes Zener Vs Vs: tension de seuil (typiquement Vs = 0.7 V) Approximation linéaire par morceaux Diode idéale: Vs = 0, Ez = 1 i Caractéristique d'une diode à jonction p-n Approximations lin´eaires par morceaux des caract´eristiques i − v Simplifie les calculs pour la conception, p. ex. mod`ele de diode passante `a tension de seuil constant vs. mod`ele exponentiel. Tant que l’on ne change pas de segment sur les caract´eristiques, on peut appliquer l’analyse lin´eaire. Mod`eles non-lin´eaires plus pr´ecis plutˆot utilis´es en simulation pour valider les analyses. Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 8/30
  • 9.
    Introduction Composants statiques non-lin´eaires Caract´eristiqueslin´eaires par morceaux, exemple des diodes Approximations lin´eaires par morceau d’une caract´eristique (suite) i v Diode à effet tunnel i + - v v0 𝜶 R = -1/𝛂 v0 + - ii0=𝛂 v0 v = v0 - i/𝛂 R = -1/𝛂 ou v + - i v + - i = i0 - 𝛂 v (i0= 𝛂 v0) i0 Avec l’approximation lin´eaire par morceaux de la caract´eristique i − v, on peut remplacer dans chaque r´egion le composant non-lin´eaire par un dipˆole ´equivalent comprenant une source id´eale (de tension ou de courant) et une r´esistance (positive ou n´egative). Ex : pour la diode `a effet tunnel, le segment du milieu a pour ´equation v = v0 − i/α (α > 0) ou i = i0 − αv : correspond `a une source de tension v0 en s´erie avec une r´esistance n´egative R = −1/α, ou encore `a une source de courant i0 = αv0 en parall`ele avec une conductance n´egative G = −α. Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 9/30
  • 10.
    Introduction Composants statiques non-lin´eaires Exemplesd’analyse de circuits non-lin´eaires statiques, caract´eristiques de transfert Outline Composants statiques non-lin´eaires Caract´eristiques courant-tension Caract´eristiques lin´eaires par morceaux, exemple des diodes Exemples d’analyse de circuits non-lin´eaires statiques, caract´eristiques de transfert Montages avec l’AO op´erant en mode non-lin´eaire ou satur´e Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 10/30
  • 11.
    Introduction Composants statiques non-lin´eaires Exemplesd’analyse de circuits non-lin´eaires statiques, caract´eristiques de transfert Exemple : points d’op´eration possibles Calculer les 3 mod`eles (Vd , Rd ) equivalents `a la diode pour chaque r´egion lin´eaire, en fonction des param`etres donn´es sur la figure. En supposant les conditions de la figure, calculer les 3 points d’op´eration (i, v) possibles de ce circuit (les points d’´equilibres multiples ne sont pas possibles pour les circuits lin´eaires). Is Rs i v caractéristique i-v de la diode 0 I2 I1 V1 Rs Vd=Vd1,Vd2,Vd3 Rd=Rd1,Rd2,Rd3 + - v i Is Is i=Is-v/Rs caractéristique i-v de la source V2 V3 V4 R´egion 1 : Vd1 = , Rd1 = car v = i × R´egion 2 : Vd2 = , Rd2 = (< 0) car v = R´egion 3 : Vd3 = , Rd3 = (> 0) car v = Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 11/30
  • 12.
    Introduction Composants statiques non-lin´eaires Exemplesd’analyse de circuits non-lin´eaires statiques, caract´eristiques de transfert Exemple : points d’op´eration possibles Calculer les 3 mod`eles (Vd , Rd ) equivalents `a la diode pour chaque r´egion lin´eaire, en fonction des param`etres donn´es sur la figure. En supposant les conditions de la figure, calculer les 3 points d’op´eration (i, v) possibles de ce circuit (les points d’´equilibres multiples ne sont pas possibles pour les circuits lin´eaires). Is Rs i v caractéristique i-v de la diode 0 I2 I1 V1 Rs Vd=Vd1,Vd2,Vd3 Rd=Rd1,Rd2,Rd3 + - v i Is Is i=Is-v/Rs caractéristique i-v de la source V2 V3 V4 R´egion 1 : Vd1 = 0, Rd1 = V1/I1 car v = i × V1/I1 R´egion 2 : Vd2 = V2, Rd2 = V1 − V2 I1 (< 0) car v = V2 + V1 − V2 I1 i R´egion 3 : Vd3 = V3, Rd3 = V4 − V3 I2 (> 0) car v = V3 + V4 − V3 I2 i Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 11/30
  • 13.
    Introduction Composants statiques non-lin´eaires Exemplesd’analyse de circuits non-lin´eaires statiques, caract´eristiques de transfert Combinaisons s´erie et parall`ele de r´esistances non lin´eaires + - v R + v1 + - - v2 ia ib i -Ez ia v1 ia Ez ia v2 Ez -Ez v v ib 1/R Ez -Ez v 1/R i v R i Ez -Ez combinaison série combinaison parallèle Pour obtenir la caract´eristique courant-tension d’un dipˆole complexe : Pour les composants en s´erie, on somme les tensions Pour les composants en parall`ele, on somme les courants Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 12/30
  • 14.
    Introduction Composants statiques non-lin´eaires Exemplesd’analyse de circuits non-lin´eaires statiques, caract´eristiques de transfert Caract´eristique de transfert d’un quadripˆole non-lin´eaire statique On utilise aussi la notion de caract´eristique de transfert, qui est la relation entre la tension (ou courant) d’entr´ee vin et la tension (ou courant) de sortie vout d’un quadripˆole statique, en g´en´eral non-lin´eaire Les caract´eristiques lin´eaires par morceaux peuvent ˆetre r´ealis´ees par des r´esistances, diodes (de caract´eristique i − v lin. par morceaux aussi), et sources DC, p. ex. vin vout v1 v2 V1 6 V2 6 R1 {Rparam2} R2 {Rparam1} R3 {Rparam1} R4 {Rparam2} R5 {Rparam3} R6 {Rparam3} R7 12k D2 myD D3 myD D4 myD R9 10k R10 10k D1 myD PWL(000.2580.500.75-8101.2581.501.75-820) V3 tuo ni 2 1 .model myD D(Ron=0 Roff=1G Vfwd=0.0) .param Rparam1=100 .param Rparam2=100 .param Rparam3=100 .tran 0 2 v1 v2 Diviseur pour la génération des niveaux de tension Diodes devenant passantes au points de cassure Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 13/30
  • 15.
    Introduction Composants statiques non-lin´eaires Exemplesd’analyse de circuits non-lin´eaires statiques, caract´eristiques de transfert Exemple : mise en forme d’un signal triangulaire Soit un signal p´eriodique `a produire. On dispose d’une source de signal triangulaire (cf. prochain cours). Faire une approximation lin´eaire par morceaux de la demi-p´eriode du signal `a produire. On con¸coit ensuite un quadripˆole non-lin´eaire ayant cette approximation comme caract´eristique de transfert. Application p. ex. `a la synth`ese de sinuso¨ıdes (pas de tr`es bonne qualit´e). V1 6 V2 6 R1 {Rparam2} R2 {Rparam1} R3 {Rparam1} R4 {Rparam2} R5 {Rparam3} R6 {Rparam3} R7 12k D2 myD D3 myD D4 myD R9 10k R10 10k D1 myD PWL(000.2580.500.75-8101.2581.501.75-820) V3 tuo ni 2 1 .model myD D(Ron=0 Roff=1G Vfwd=0.0) .param Rparam1=100 .param Rparam2=100 .param Rparam3=100 .tran 0 2 V1 V2 -V1 -V2 Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 14/30
  • 16.
    Introduction Composants statiques non-lin´eaires Exemplesd’analyse de circuits non-lin´eaires statiques, caract´eristiques de transfert Exemple : limiteur d’amplitude 1 - + vin 1+ - + - vo i = 0 i+ = 0 i1 + -vf v1+ - R1 Rf vd = 0 + - if vf = f(if ) vo = −vf = −f (if ), i1 = if = v1 R1 vin = v1 ⇒ vo = −f vin R1 Validit´e : −Vsat < −f vin R1 < Vsat Application : limiteur d’amplitude (protection de circuits, traitement de signaux). Pour Rf le circuit `a diodes Zener de la diapo 12 : symm´etrie de la caract´eristique par rapport `a l’axe des x et changer les noms des axes. Ez -Ez vf (V ) i (mA) Ez -Ez vo (V ) vin (V ) R1 = 1 k⌦ N.B. : Malgr´e la pr´esence des composants non lin´eaires, ici l’AO fonctionne en mode lin´eaire quelque soit vin ! (pour Ez < Vsat ) Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 15/30
  • 17.
    Introduction Composants statiques non-lin´eaires Exemplesd’analyse de circuits non-lin´eaires statiques, caract´eristiques de transfert Exemple : limiteur d’amplitude 2 Etablir la caract´eristique de transfert vin − vout du circuit suivant. L’´etage de sortie permet de limiter l’amplitude en sortie d’un circuit g´en´eral (application ici pour un amplificateur inverseur). - + +V -V A B vout vin R1 R2 R3 R4 R5 Rf vin vout L+ L- (Rf k R3)/R1 (Rf k R4)/R1 Rf /R1 D1 D2 N.B. : on peut bien sur concevoir des limiteurs d’amplitude plus simples mais moins flexibles `a base de diodes et r´esistances seulement. Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 16/30
  • 18.
    Introduction Composants statiques non-lin´eaires Exemplesd’analyse de circuits non-lin´eaires statiques, caract´eristiques de transfert Diff´erences avec l’analyse lin´eaire L’introduction de composants non-lin´eaires donne lieu `a une vari´et´e de ph´enom`enes impossibles `a obtenir avec des circuits lin´eaires. Par exemple, on a vu qu’un circuit non-lin´eaire statique aliment´e par une source de courant id´eale peut avoir un, plusieurs, ou mˆeme aucun point d’op´eration possible (math´ematiquement). Pour un circuit lin´eaire, il existe n´ecessairement une unique solution. Pour les circuits non-lin´eaires, mˆeme si la source est une tension sinuso¨ıdale pure de fr´equence ω0, les signaux de tension aux bornes des composants en r´egime permanent peuvent contenir d’autres harmoniques. Ce ph´enom`ene est n´ecessaire par exemple `a la r´ealisation des m´elangeurs (de fr´equence) utilis´es en communications, radars, etc. Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 17/30
  • 19.
    Introduction Montages avec l’AOop´erant en mode non-lin´eaire ou satur´e Outline Composants statiques non-lin´eaires Caract´eristiques courant-tension Caract´eristiques lin´eaires par morceaux, exemple des diodes Exemples d’analyse de circuits non-lin´eaires statiques, caract´eristiques de transfert Montages avec l’AO op´erant en mode non-lin´eaire ou satur´e Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 18/30
  • 20.
    Introduction Montages avec l’AOop´erant en mode non-lin´eaire ou satur´e Rappel du cours 1 : AO fonctionnant en mode satur´e - + v v+ i+ = 0 i = 0 vo + - vd +Vsat Vsat Région linéaire vd = v+ v Entrée inverseuse Entrée non inverseuse région "+ Saturation" 1 vo = f(vd) région "- Saturation" Caractéristique de transfert linéaire par morceaux L’AO op`ere en mode satur´e lorsque la condition de validit´e du mode lin´eaire (−Vsat < vo < Vsat) n’est pas satisfaite Rappelons que pour l’AO id´eal hors de la r´egion lin´eaire on a vo = Vsat × signe(vd ) (et toujours i− = i+ = 0) vd = v+ − v− > 0 est la condition de validit´e pour la r´egion “+Saturation” vd = v+ − v− < 0 est la condition de validit´e pour la r´egion “-Saturation” - + i+ = 0 i = 0 + - vd = 0 1 + - o Région linéaire Vsat < vo < Vsat i = 0- i+ = 0+ vd > 0 + - Vsat o i = 0- i+ = 0+ + - Vsat o vd < 0 Région +Saturation Région -Saturation v+ v > 0 v+ v < 0Condition de validité: vo = Vsat vo = Vsat Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 19/30
  • 21.
    Introduction Montages avec l’AOop´erant en mode non-lin´eaire ou satur´e Comparateur Circuit le plus simple utilisant le mode satur´e : le comparateur ou d´etecteur de seuil. vin < ET → vo = −Vsat vin > ET → vo = +Vsat vin = ET → −Vsat < vo < Vsat iin = 0 dans tous les cas - + 1 ET i+ = 0 i = 0 + - vin ET vin vo vo + Saturation - Saturation région linéaire Vsat Vsat Caractéristique de transfert N.B. : La sp´ecification de performance la plus importante pour un comparateur est le temps de r´eponse. Pour qu’un AO puisse ˆetre utilis´e comme un bon comparateur, il faut donc que sa vitesse de balayage (slew rate) soit ´elev´ee. Il y a aussi des circuits int´egr´es comparateurs optimis´es pour cette op´eration. Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 20/30
  • 22.
    Introduction Montages avec l’AOop´erant en mode non-lin´eaire ou satur´e Amplificateur non inverseur : analyse compl`ete On raisonne pour les 3 modes de l’AO, avec leur condition de validit´e. Mode lin´eaire (cours 1) : vo = 1 + R2 R1 vin pour − R1 R1+R2 Vsat ≤ vin ≤ R1 R1+R2 Vsat. Mode +Sat : vo = +Vsat pour vd > 0. v− = R1 R1 + R2 Vsat , vd = vin − v− ⇒ vin − R1 R1 + R2 Vsat > 0 → vin > R1 R1 + R2 Vsat + - 1 + - vin vo + - i+ = 0 i = 0 R1 R2 Zone -Sat : vo = −Vsat pour vin < − R1 R1+R2 Vsat . Vsat -Vsat R1 R1 + R2 Vsat R1 R1 + R2 Vsat vin vo Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 21/30
  • 23.
    Introduction Montages avec l’AOop´erant en mode non-lin´eaire ou satur´e Bascules de Schmitt Les bascules de Schmitt sont des circuits ou l’AO est mont´e avec un feedback positif, qui le force `a saturer. + - 1+ - + - i = 0 i+ = 0 Bascule non inverseuse (inverser polarités de l'A.O. en ampli. inverseur) R2 R1iin vin vo vo vin - + 1 + - vin vo Vsat R1 R2 Vsat Vsat Vsat R1 R2 R2 R1 Bascule inverseuse (inverser polarités de l'A.O. en ampli. non inverseur) + - i+ = 0 i = 0 vin vo Vsat R1 R1 + R2 Vsat R1 R1 + R2 R1 R2 Vsat Vsat 1 + R2 R1 zone linéaire instable zone linéaire instable Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 22/30
  • 24.
    Introduction Montages avec l’AOop´erant en mode non-lin´eaire ou satur´e Bascules de Schmitt : caract´eristique de transfert + - 1+ - + - i = 0 i+ = 0 R2 R1iin vin vo vo vin Vsat R1 R2 Vsat Vsat Vsat R1 R2 R2 R1 zone linéaire instable Exemple de la bascule non-inverseuse. On raisonne pour les 3 modes de l’AO, avec leur condition de validit´e. Mode lin´eaire : vo = −R2 R1 vin pour −R1 R2 Vsat ≤ vin ≤ R1 R2 Vsat. Mode +Sat : vo = +Vsat pour vd > 0. vd − vo = R2 R1 + R2 (vin − vo) ⇒ R1Vsat + R2vin ≥ 0 → vin ≥ − R1 R2 Vsat. Mode -Sat : vo = −Vsat pour vin ≤ R1 R2 Vsat . Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 23/30
  • 25.
    Introduction Montages avec l’AOop´erant en mode non-lin´eaire ou satur´e Bascules de Schmitt : caract´eristique de transfert (suite) + - 1+ - + - i = 0 i+ = 0 R2 R1iin vin vo vo vin Vsat R1 R2 Vsat Vsat Vsat R1 R2 R2 R1 zone linéaire instable Au contraire de l’amplificateur inverseur, la zone de validit´e du mode lin´eaire pour la bascule se superpose `a celles des modes -Sat et +Sat. Seuls les ´equilibres vo = −Vsat et vo = +Vsat sont stables. Pour voir que le mode lin´eaire est instable, consid´erer l’effet d’une petite tension vd = 0, amplifi´ee par le feedback positif. La bascule ne fonctionne donc jamais en pratique en mode lin´eaire. Les segments horizontaux de la charact´eristique peuvent ˆetre parcourus dans les 2 sens, pas les segments verticaux qui d´ecrivent un basculement d’un ´equilibre `a l’autre dans une seule direction lorsque la condition de validit´e de l’´equilibre actuel n’est plus v´erifi´ee. Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 24/30
  • 26.
    Introduction Montages avec l’AOop´erant en mode non-lin´eaire ou satur´e Analyse alg´ebrique de l’instabilit´e du mode lin´eaire - + R1 R2 C Vi Vo V1 Supposons l’AO en mode lin´eaire, le gain A (statique) fini, et une petite capacit´e parasite C entre les entr´ees. Vo = A V1, Vi − V1 R1 − V1Cs + Vo − V1 R2 = 0 ⇒Vi = −Vo R1 R2 + V1(1 + R1Cs + R1/R2) Vi = Vo − R1 R2 + 1 A (1 + R1Cs + R1/R2) (on ´elimine V1) Vo Vi = 1 −R1 R2 + 1 A (1 + R1Cs + R1 R2 ) = − R2 R1 1 1 − 1 A 1 + R2 R1 − R2C A s Syst`eme instable, avec un pˆole r´eel tr`es `a droite p ≈ A R2C pour A grand : l’AO entre rapidement en saturation ! Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 25/30
  • 27.
    Introduction Montages avec l’AOop´erant en mode non-lin´eaire ou satur´e Bascules de Schmitt : exemples d’utilisation Comparateur `a hyst´er´esis pour ´eviter les commutations rapides (“chattering”), probl´ematiques avec un comparateur standard en cas de bruit. (Source : S. Franco, “Design with Operational Amplifiers”) Bascule asynchrone ou verrou (latch) Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 26/30
  • 28.
    Introduction Montages avec l’AOop´erant en mode non-lin´eaire ou satur´e R´esistance n´egative (type S) - + vin 1+ - vo vo Vsat Vsat Rf R1 R2 iin 1Vsat Vsat vin iin -Saturation + Saturation Région linéaire Vsat Vsat (1 )Vsat Rf pente R1 R2Rf 1/Rf 1/Rf Caractéristique de transfert (comme une bascule) Caractéristique tension-courant = R2 R1 + R2 Circuit qui comprend un feedback positif et n´egatif. Le circuit convertit les r´esistances positives R1, R2, Rf en une r´esistance d’entr´ee vin iin n´egative ´egale `a −R2Rf /R1 dans la r´egion lin´eaire. A partir de ce dipˆole, on peut r´ealiser un oscillateur ou un flip-flop (cf. prochain cours). Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 27/30
  • 29.
    Introduction Montages avec l’AOop´erant en mode non-lin´eaire ou satur´e R´esistance n´egative (type S) : analyse R´egion lin´eaire : vin = v2 = βv0 avec β = LKC : vin = Rf iin + v0 ⇒ iin = × vin Cond. de validit´e : - + vin i = 0 1+ - vo Rf R1 R2 iin i+ = 0 2 3 1 4 v2 + - R´egion +Sat : vin = Rf iin + Vsat ⇒ iin = vin − Vsat Rf Validit´e : vd = R2 R1 + R2 Vsat − vin > 0 ⇒ vin < βVsat vin i = 0 + - vo Rf R1 R2 iin i+ = 0 2 3 1 4 + -vd > 0 Vsat R´egion -Sat : vin = ⇒ iin = Validit´e : vin i = 0 + - vo Rf R1 R2 iin i+ = 0 2 3 1 4 + - Vsat vd < 0 Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 28/30
  • 30.
    Introduction Montages avec l’AOop´erant en mode non-lin´eaire ou satur´e R´esistance n´egative (type S) : analyse R´egion lin´eaire : vin = v2 = βv0 avec β = R2 R1 + R2 LKC : vin = Rf iin + v0 ⇒ iin = − R1 R2Rf × vin Cond. de validit´e : − βVsat < vin < βVsat - + vin i = 0 1+ - vo Rf R1 R2 iin i+ = 0 2 3 1 4 v2 + - R´egion +Sat : vin = Rf iin + Vsat ⇒ iin = vin − Vsat Rf Validit´e : vd = R2 R1 + R2 Vsat − vin > 0 ⇒ vin < βVsat vin i = 0 + - vo Rf R1 R2 iin i+ = 0 2 3 1 4 + -vd > 0 Vsat R´egion -Sat : vin = Rf iin − Vsat ⇒ iin = vin + Vsat Rf Validit´e : vin > −βVsat vin i = 0 + - vo Rf R1 R2 iin i+ = 0 2 3 1 4 + - Vsat vd < 0 Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 28/30
  • 31.
    Introduction Montages avec l’AOop´erant en mode non-lin´eaire ou satur´e R´esistance n´egative (type N) + - vin 1+ - vo vo Vsat Vsat Rf R1 R2 iin 1Vsat Vsat vin iin -Saturation Région linéaire Vsat Vsat (1 )Vsat Rf pente R1 R2Rf Caractéristique de transfert Caractéristique tension-courant = R2 R1 + R2 1/Rf + Saturation 1/Rf On ´echange les bornes de l’AO Exercice : obtenir les caract´eristiques vin − vo et vin − iin ci-dessus. Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 29/30
  • 32.
    Introduction Montages avec l’AOop´erant en mode non-lin´eaire ou satur´e Conclusion Nous avons ´etudi´e le comportement de quelques circuits statiques non-lin´eaires, en insistant sur les circuits lin´eaires par morceaux qui sont encore analysables “`a la main”. Les approches d’analyse ne sont pas aussi syst´ematiques que pour les circuits lin´eaires, et il faut donc s’entraˆıner `a analyser des circuits. Typiquement on doit raisonner en consid´erant diff´erents modes d’op´eration possibles des composants, en particulier avec les mod`eles lin´eaires par morceaux. Les montages de r´esistances n´egatives sont particuli`erement importants dans ce cours : nous verrons au prochain cours comment les utiliser pour r´ealiser des oscillateurs, des flip-flops, etc., en rajoutant juste un ou ou deux composants dynamiques. Version du 28 octobre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 30/30