1. CHAPITRE 7 INTÉGRATION
1 Définition et approche géométrique
1. Définition
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [ a, b ].
On considère le domaine délimité par la courbe représentant f, l’axe des
abscisses et les droites d’équations x = a et x = b.
b
L’aire de ce domaine, en unités d’aire, est le nombre réel noté
appelé intégrale de a à b de la fonction f.
∫
a
f ( x ) dx et
2. Approche géométrique
La fonction f peut être encadrée par deux fonctions en escalier, l’une majo-
rant f et l’autre la minorant.
L’aire du domaine sous la courbe est donc encadrée par deux suites adja-
centes d’aires de rectangles associés à une subdivision de [ a, b ]. Si on sub-
divise de plus en plus finement, ces deux suites convergent vers un même
nombre, ce nombre est l’aire sous la courbe f .
y
f
O a b x
3. Généralisation
Si f est continue et négative sur un intervalle [ a, b ], l’opposée de cette
fonction est positive et on peut revenir à la définition précédente.
b b
Si f 0, alors ∫
a
f ( x ) dx 0 et ∫
a
f ( x ) dx représente une aire.
b b
Si f 0, alors ∫
a
f ( x ) dx 0 et ∫
a
f ( x ) dx représente l’opposé d’une aire.
218

2. cours savoir-faire exercices corrigés
exemple d’application
On considère la fonction f : x x 2 sur [ 0 ; 1 ] .
1
1
On subdivise l’intervalle [ 0 ; 1 ] en segments d’amplitude -- . Calculer
n
-
∫ 0
f ( x ) dx
en utilisant la définition.
corrigé commenté
1
Sur 0 ; -- , l’aire sous la courbe
-
n 1
est encadrée par celle d’un rectan-
gle d’aire nulle associée à x 0 et
par celle d’un rectangle d’aire égale
1 1 2 1 2
à -- ×  --  associé à x  --  .
- - -
n  n  n
Et ainsi de suite jusqu’au dernier
n–1
intervalle ------------ ; 1 , où l’aire
n
sous la courbe est encadrée par
1
l’aire du rectangle de largeur -- et -
n 1 2 n–1
2 0 --
- --
- ------------ 1
n–1
de longueur  ------------ associée à n n n
 n 
n–1 2 1
x  ------------ et l’aire du rectangle de largeur -- et de longueur 1 associée à x
- 1.
 n  n
Donc l’aire sous la courbe représentant f sur [ 0 ; 1 ] est telle que :
1 1 n–1 2 1 1
1 1 2 2 1 1
0 + ----- × -- + … +  ------------ × -- ----- × -- +  --  × -- + … + -- × 1
n
- -
2 n  n  n
-
∫ 0
f ( x ) dx
n
- -
2 n  n
-
n
-
n
-
1
1 1
soit ----- [ 1 + 2 2 + … + ( n – 1 ) 2 ]
n3
-
∫ 0
f ( x ) dx ----- ( 1 + 2 2 + … + n 2 ).
n3
-
Indication : On rappelle que la somme des carrés des n premiers nombres entiers
n ( n + 1 ) ( 2n + 1 )
naturels est ------------------------------------------- .
-
6
1
1 1
Donc --------- ( n – 1 ) ( n ) ( 2n – 1 )
6n 3
-
∫ 0
f ( x ) dx --------- n ( n + 1 ) ( 2n + 1 ),
6n 3
-
1
1 1 1 1 1 1
soit -- – ------ + ---------
-
3 2n 6n 2
- -
∫ 0
f ( x ) dx -- + ------ + --------- ;
-
3 2n 6n 2
- -
lim  -- – ------ + --------- = lim  -- + ------ + --------- = -- ,
1 1 1 1 1 1 1
or - - - - - - -
n → + ∞ 3 2n 6n 2 n → + ∞ 3 2 n 6 n 2 3
1
1
d’où
∫ 0
f ( x ) dx = -- .
3
-
219

3. CHAPITRE 7 INTÉGRATION
2 Propriétés des intégrales
1. Propriétés
Soit f et g deux fonctions définies et continues sur [ a, b ].
a b a
• ∫
a
f ( x ) dx = 0 ; ∫ a
f ( x ) dx = – ∫ b
f ( x ) dx.
b c b
• Relation de Chasles : ∫ a
f ( x ) dx = ∫ a
f ( x ) dx + ∫
c
f ( x ) dx.
• Linéarité de l’intégrale : ( ∀α ∈ ) ( ∀β ∈ )
b b b
∫ a
( αf + βg ) ( x ) dx = α ∫ a
f ( x ) dx + β ∫ a
g ( x ) dx .
a a
• Si f est paire, alors ∫ –a
f ( x ) dx = 2 ∫0
f ( x ) dx.
a
• Si f est impaire, alors ∫–a
f ( x ) dx = 0.
a+T T
• Si f est périodique de période T, alors ∫ a
f ( x ) dx = ∫ 0
f ( x ) dx.
2. Intégrales et inégalités
Soit f et g deux fonctions définies et continues sur [ a, b ].
b
• Si pour tout réel x ∈ [ a, b ] , on a f ( x ) 0, alors ∫ a
f ( x ) dx 0.
Conséquence : Si pour tout x de [ a, b ] on a f ( x ) g ( x ),
b b
alors ∫a
f ( x ) dx ∫a
g ( x ) dx.
• Inégalité de la moyenne
La fonction f étant continue sur [ a, b ] il existe deux réels m et M tels que,
pour tout réel x ∈ [ a, b ], on ait m f ( x ) M et alors :
b
m(b – a) ∫ a
f ( x ) dx M(b – a)
3. Théorème de la moyenne
Pour toute fonction f définie et continue sur l’intervalle [ a, b ], il existe au
b
1
moins un réel c de [ a, b ] tel que f ( c ) = ----------- f ( x ) dx.
b–a a
-
∫
Le réel f ( c ) est appelé valeur moyenne de f sur [ a, b ].
220

4. cours savoir-faire exercices corrigés
4.Interprétations géométriques
Soit f une fonction continue et positive
représentée dans un repère orthogonal.
• L’encadrement
b
∫
m(b – a) f ( x ) dx M(b – a) F E
M
a
signifie que l’aire du domaine coloré est H G
minorée par l’aire du rectangle ABCD, f(c)
et majorée par celle du rectangle ABEF.
m D C
1 b
b–a a ∫
• L’égalité f ( c ) = ----------- f ( x ) dx
-
A B
signifie que l’aire du domaine coloré O a c b
est égale à celle du rectangle ABGH.
exemple d’application
2
Soit la fonction f définie sur 0 ; -- par f ( x ) = 3x 2 – 2x + 1.
-
3
2
Montrer que f est bornée sur 0 ; -- , en déduire un encadrement de :
-
3
2
--
-
∫
3
( 3x 2 – 2x + 1 ) dx.
0
corrigé commenté
La fonction f est dérivable sur , donc f ′ ( x ) = 6x – 2.
1
Pour 0 x -- , 6x – 2 0 donc f est décroissante et par suite :
-
3
1 2
f  --  f ( x ) f ( 0 ) soit -- f ( x ) 1.
- -
 3 3
1 2
Pour -- x- -- , 6x – 2
- 0 donc f est croissante et par suite :
3 3
1 2 2 2 2
f  --  f ( x )
- f  --  soit
- --
- f(x) 1. Donc ∀x ∈ 0 ; -- , --
- - f(x) 1.
 3  3 3 3 3
D’après le théorème de l’inégalité de la moyenne on a alors :
2
--
-
22
-- -- – 0 1  -- – 0 d’où :
2
∫
3
- - f ( x ) dx -
33  0
3 
2
--
-
4 2
∫
3
--
- f ( x ) dx --
-
9 0 3
221

5. CHAPITRE 7 INTÉGRATION
3 Intégration et dérivation
1. Notion de primitive
Soit une fonction f définie et continue sur un intervalle I et a un réel de I,
x
la fonction F telle que F ( x ) = ∫a
f ( t ) dt est l’unique primitive de f sur I qui
s’annule en a.
2. Définition d’une intégrale à l’aide de primitives
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle [ a, b ], F une pri-
mitive quelconque de f.
Le nombre réel F ( b ) – F ( a ) est indépendant de la primitive F choisie, on
l’appelle intégrale de f sur [ a, b ].
b b
On note ∫ a
f ( x ) dx = F ( b ) – F ( a ) = F ( x )
a
.
Remarque : La lettre choisie pour la variable est une variable muette ce qui signi-
b b b
fie que : ∫
a
f ( x ) dx = ∫ a
f ( t ) dt = ∫
a
f ( u ) du = F ( b ) – F ( a ).
3. Intégration par parties
Si u et v sont deux fonctions définies et deux fois dérivables sur [ a, b ] :
b b b
∫ a
u ( x )v′ ( x ) dx = u ( x )v ( x )
a
– ∫
a
u′ ( x )v ( x ) dx.
4
exemples d’application
³ Calculer ∫ ln x dx.
1
corrigé commenté
On ne connaît pas de primitive de la fonction logarithme, on utilise une intégra-
 1
 f ( x ) = ln x  f ′ ( x ) = --
-
tion par parties en posant  d’où  x
 g′ ( x ) = 1  g ( x ) = x.

222

6. cours savoir-faire exercices corrigés
Les fonctions f, g sont dérivables et f ′ et g′ sont continues sur [ 1 ; 4 ] donc :
4 4 4
1
∫ 1
ln x dx = x ln x
1
–
∫ 1
-- × x dx
x
-
4 4 4 4
∫ 1
ln x dx = x ln x
1
–
∫ 1
dx = x ln x – x
1
.
4 4
Remarque :
∫ 1
ln x dx = x ln x – x
1
traduit le fait que x x ln x – x est une
primitive de x ln x.
4 4
∫ 1
ln x dx = 4 ln 4 – 4 – ln 1 + 1 d’où
∫ 1
ln x dx = 4 ln 4 – 3.
3
· Calculer le réel I tel que I =
∫ x – 2 dx.
0
corrigé commenté
On commence par écrire x – 2 sans barre de valeur absolue sur [ 0 ; 3 ] .
Sur [ 0 ; 2 ] , x–2 = –x+2;
Sur [ 2 ; 3 ] , x – 2 = x – 2.
2 3
Donc I =
∫ 0
( 2 – x ) dx +
∫ 2
( x – 2 ) dx
soit :
2 3
x2 x2 9 5
I = 2x – ----- + ----- – 2x = 4 – 2 + -- – 6 – 2 + 4 d’où
- I = -- .
-
2 0 2 2 2 2
» Écrire à l’aide d’une intégrale, ln x pour x réel strictement positif.
Retrouver grâce à cette écriture qui est aussi la définition de la fonction ln, les
variations de f sur ]0 ; +∞[.
corrigé commenté
La fonction ln est la primitive sur ]0 ; +∞[ de la fonction inverse qui s’annule en
1, donc :
x
dt
ln x = ----- .
1 t
-
∫
1
Par définition d’une primitive d’une fonction, ln′ ( x ) = -- .
-
x
1
Or sur ]0 ; +∞[, -- 0 donc la fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; +•[.
-
x
223

7. CHAPITRE 7 INTÉGRATION
4 Calculs d’aires et de volumes
1. Calcul d’aire
Soit f et g deux fonctions continues sur
le segment [ a, b ], telles que pour tout g
x de [ a, b ], on ait f ( x ) g ( x ). L’aire
du domaine D coloré, délimité par les
courbes f , g et les droites d’équa- D
tions x = a et x = b, est égale au réel
b
∫
tel que = [ g ( x ) – f ( x ) ] dx. Ce j f
a
0 a b
réel est exprimé en unités d’aire noté i
u.a.
2. Calcul de volume
L’espace est rapporté à un repère orthogonal ( O ; i , j , k ) .
Soit V le volume d’un solide délimité par une surface latérale Σ et deux
plans P1 et P2 parallèles à ( O ; i , j ) et de cotes respectives a et b.
Soit le plan P parallèle à P1 et P2 de cote z.
Le plan P coupe le solide selon une surface S dont l’aire ( z ) est telle que
b
z ( z ) soit continue sur [ a, b ] et alors V = ∫ a
( z ) dz.
Le volume V est exprimé en unités de volume noté u.v.
z
b
P2
P
a P1
k
i j y
x
224

8. cours savoir-faire exercices corrigés
exemples d’application
³ Calculer le volume V de la boule de centre O et de rayon R, en cm3, dans un
repère orthonormé ( O ; i , j , k ) d’unités graphiques 1 cm.
z
O′ A
z
k
O j y
i
x
La section de la boule par le plan P de cote z ( – R z R ) est un disque de rayon O′A.
Le triangle OO′A est rectangle en O′ donc O′A 2 = OA 2 – O′O 2 = R 2 – z 2 .
Soit ( z ) l’aire de ce disque.
( z ) = ( R 2 – z 2 )π donc, en centimètres cubes :
R R R
V = π
∫ –R
( R 2 – z 2 ) dz = πR 2
∫ –R
dz – π
∫ –R
z 2 dz
R R
z3 2R 3
V = πR 2 z – π ----
- = πR 2 ( 2R ) – π  --------- 
-
–R 3 –R
 3 
4
V = -- πR 3 cm 3 .
-
3
· Soit la représentation graphique de x e x dans un repère ( O ; i , j ) .
Sur [ 0 ; + ∞ [, la courbe subit une révolution d’axe (Ox).
Quel est le volume du solide déterminé par les plans d’équations x = 0, x = 1
et engendré par la courbe ?
corrigé commenté
La section du solide par un plan perpendiculaire à (Ox) est un disque dont l’aire
S(x) est telle que S ( x ) = π ( e x ) 2 soit S ( x ) = πe 2x .
La fonction S est continue sur [0 ; 1], donc le volume V en u.v du solide est tel que :
1 1
1 1
π
V =
∫ 0
S ( x ) dx = π
∫ 0
e 2x dx = π -- e 2x
2
-
0
= -- ( e 2 – 1 ),
2
-
π
d’où V = -- ( e 2 – 1 )
-
2
225